SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 -
Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä lskutoimitust snotn lusekkeeksi. Jos lusekkeess esiintyvillä symoleill on numerorvot, voidn lske lusekkeen rvo. Lusekkeit ovt esimerkiksi ) 5,4m + 6,7m + 1,55m summluseke, joss on yhteenlskettv ) x 5x summluseke, joss on yhteenlskettv c) d) e) π r h tulo joss on tekijää sin 56,7 45,7 m sin75, osmäärä + x potenssiluseke ( ) Trkk rvo j likirvo Lusekkeen rvo lskettess on huomioitv lsketnko trkoill rvoill vi mittmll ti pyöristämällä sduill likirvoill. Trkkoin rvoin voidn useimmiten pitää esimerkiksi lukumäärää 6 henkilöä ti kupplskun summ - 456, - koskevi rvoj. Likirvoj ovt tyypillisesti eriliset mittustulokset. Likirvon trkkuus voidn ilmist eri tvoin: Likirvo 45,75m on ilmistu - neljällä numeroll - khdell desimlill yksikkönä metri - senttimetrin trkkuudell Likirvon trkkuutt ilmiseviksi numeroiksi ei lsket desimliluvun luss eikä (yleensä) kokonisluvun lopuss olevi nolli. Desimliluvun lopuss olevt nollt ovt trkkuutt ilmisevi numeroit. - 1 -
Likirvon 5,0 kg trkkuus on - neljä numero - kolme desimli yksikkönä kg - 1g Lskutuloksen trkkuus likirvoill lskettess Toimintsäännöt: Yhteen- j vähennyslskuiss tulokseen otetn yhtä mont yksikköä (desimli) kuin niitä on lähtötilnteess epätrkimmss likirvoss. Muit lskutoimituksi sisältävissä lusekkeiss tulokseen otetn yhtä mont numero kuin niitä on lähtötilnteess numeromäärältään epätrkimmss likirvoss. ) 5,4m 6,7m 1,55m 1,16 m + + ),4m 6,7 m 7,m Hrjoitustehtäviä 1. ) lske lusekkeen + 4 7 rvo ) lske lusekkeen (+ 4) 7 rvo.. Lske lusekkeen 11, 61+ 1, 96 + 48,0 + 0,11 rvo j pyöristä tulos lähtörvojen trkkuutt vstvksi.. Lske lusekkeen, 456 1,945,4 + 0, 0678 rvo j pyöristä tulos lähtörvojen trkkuutt vstvksi. 4. Lske lusekkeen vstvksi. 15,6, 001 + rvo j pyöristä tulos lähtörvojen trkkuutt 1, 86 1,6 +,175 5. Lske lusekkeen 4xy y 4x 0 trkk rvo (murtoluku) kun x = 10 j y =. 6. Lske lusekkeen 1+ d 1 d trkk rvo (murtoluku) kun 1 d =. - -
7. Khden neliön sivujen pituudet mitttiin j tuloksiksi stiin 9,4 m j 11,41m. Kuink suuri on neliöiden yhteenlskettu pint-l? 8. Merkitse lusekkeeksi lukujen j erotus kerrottun lukujen c j d erotuksell. 9. Merkitse lusekkeeksi lukujen j osmäärä jettun lukujen c j d summll. Sieventäminen Lusekkeiss olevill symoleill voidn suoritt lskutoimituksi kuten numeroillkin. Useimmiten lusekett ei kuitenkn void muokt yhtä yksinkertiseksi yhdeksi luvuksi kuin numeroill lskettess. Luseke pyritään kuitenkin sttmn mhdollisimmn yksinkertisen muotoon. Lusekkeen yksinkertistmist snotn sieventämiseksi. Lusekett sievennettäessä, kuten numerolskennsskin, suoritetn kerto- j jkolskut ennen yhteen- j vähennyslskuj ellei suluill toisin osoitet. Sievennettäessä voidn käyttää seurvi relilukujen lskutoimitusten ominisuuksi: + = + yhteenlskun vihdntlki + ( + c) = ( + ) + c yhteenlskun liitäntälki = kertolskun vihdntlki ( c) = ( ) c kertolskun liitäntälki ( + c) = + c osittelulki Summlusekkeet Summlusekkeess oleviä termejä snotn smnmuotoisiksi, jos niillä on täsmälleen sm kirjinos. Toimintsääntö: Smnmuotoiset termit voidn yhdistää numerokertoimien yhteen/vähennyslskuill. ) + 5 = ( + 5) = 8 ) x + 4y x + y = ( ) x + (4 + 1) y = x + 5y c) + 4 + 6 6 = ( 4 6) + + ( + 6) = 10 + + 4 d) 4 + 4 + 6 6 + 6 = (4 6) + ( + 6) + ( 4 + 6) = + 9 + x xy y xy x y x xy y x xy y - -
Sulkujen poistminen summlusekkeest Toimintsäännöt: + merkin edeltämät sulut poistetn säilyttämällä kikkien suluiss olevien termien merkit. merkin edeltämät sulut poistetn vihtmll kikkien suluiss olevien termin merkit. ) x + 4 y + (x 6 y) = x + 4y + x 6y = 5x y ) x + 4 y (y 7 x) = x + 4y y + 7x = 4x + y Summn kertominen ti jkminen luvull Toimintsäännöt: Summ voidn kerto luvull kertomll jokinen yhteenlskettv erikseen j lskemll tulot yhteen. Summ voidn jk luvull jkmll jokinen yhteenlskettv erikseen j lskemll osmäärät yhteen. ) (5x + 4y 5 z) = 5x + 4y + ( 5 z) = 15x + 1y 15z ) 16 + 6 8c 16 6 8c = + = 4 + c 4 4 4 4 Soveltmll kertolskun sääntöä toistuvsti voidn kerto summlusekkeit keskenään: ) ( + ) ( x + 5 z) = x + 5z + x + 5z = x + 5z + x + 15z ) ( + c)(4 y) = ( ) 4 + ( ) ( y) + c 4 + c ( y) = 1 + y + 4c cy Tekijän erottminen Edellä esitettyä osittelulki ( + c) = + c voidn sovelt myös oikelt vsemmlle, jolloin on kyse tekijän erottmisest. Toimintsääntö: Jos summlusekkeen jokisess termissä on sm tekijä, se voidn erott koko lusekkeen yhteiseksi tekijäksi sulkumerkkejä käyttämällä. - 4 -
) + = ( + ) ) mx nx + x = x( m n + 1) c) ( x + y) + ( x + y) = ( x + y)( + ) d) x y = 1( x + y) Knntt huomt että tekijäksi voidn erott myös summ (edellisen esimerkin c-koht) ti luku 1 (edellisen esimerkin d-koht). Hrjoitustehtäviä 10. Sievennä seurvt lusekkeet. ) 4x + 8y 5x + 6y ) + + + 11. Poist sulut j sievennä seurvt lusekkeet. ) x + 1 (4 5 x) ) x(1 + y) + y( x) c) x x x x x x 1+ ( 4 + 7) 1. Suorit kertolskut. ) (4 5x 4 y) ) ( x + y)( + 4 z) 1. Suorit jkolskut. 0 5x 40y ) 5 10z 6xz + yz ) z 14. Erot yhteiset tekijät. ) 4mn 6n + n ) ( + c) x + y( + c) c) y xz - 5 -
Murtolusekkeet Murtolusekkeess ( 0 ) luku snotn osoittjksi (jettvksi) j luku nimittäjäksi (jkjksi). Luvun käänteisluku on luku ( 0 ). Erikoisesti luvun ( 0 ) käänteisluku on luku 1. ) luvun 4 7 käänteisluku on 7 4 1 1 ) luvun käänteisluku on = Murtolusekkeiden kerto- j jkolskut Toimintsäännnöt: Murtolusekkeet voidn kerto keskenään siten, että osoittjien tulo jetn nimittäjien tuloll. Murtolusekkeet voidn jk keskenään siten, että jettvll kerrotn jkjn käänteisluku. ) 4 4 = = 1 7 5 7 5 5 x y x w x w xw ) = = = z y z y z yz w c) d) 7 7 1 7 = = 6 7 7 14 = 7 = = - 6 -
Supistminen j lventminen Toimintsäännnöt: Murtoluseke, jonk osoittjss j nimittäjässä on sm tulon tekijä, voidn supist tällä tekijällä. Murtoluseke voidn lvent millä thns nollst erovll lusekkeell. Lventminen trkoitt sitä, että jettv j jkj kerrotn lventjll. ) c) d) d) e) (5 10 = ) 15 m( n ) n ( n ( x xy zx = m y = z ( y ( x+ 1 ( x + 1) yz ( x + 1) z z = = xy( x + 1) x( x + 1) x ) ) = y y x + ( x + ) = z z Murtolusekkeiden summ Toimintsäännnöt: Smnnimiset murtolusekkeet (joill on siis täsmälleen sm nimittäjä) voidn lske yhteen siten, että summn osoittj on yhteenlskettvien osoittjien summ j nimittäjä on yhteenlskettvien yhteinen nimittäjä. ) 5 x 4 5 + x 4 1 + + = = x ) + ( ) + + ( + ) + = = = = = + + + + + + + Jos murtolusekkeet, joill on eri nimittäjä, hlutn lske yhteen, pitää ne ensin lvent smnnimisiksi. ( + - 7 -
) ) c) 4) 7) 5 4 5 7 4 5 + 7 0 + 1 41 + = + = = = 7 4 4 7 7 4 4 7 4 7 8 6) 4) ) 7 1 18 8 18 8 + 7 7 + = + = = = y y 4y 1y 1y 1y 1y 1y 1y ) ) 5 4 + 5 + 4 8 + 4 + + = = Sopivin luku yhteiseksi nimittäjäksi on lkuperäisten nimittäjien pienin yhteinen jettv (pyj) eli luku ti luseke jok on jollinen kikill yhteenlskettvien jkjill, mutt joss on mhdollisimmn vähän tekijöitä (vrt edellisen esimerkin )- j c)-kohdt). Hrjoitustehtäviä 15. Sievennä seurvt lusekkeet. ) 4 x 5y 4 ) p 7w c) : 5 x 5z d) : 5y w 16. Supist seurvt lusekkeet. ) 4 c 8xy ) 64 xyz 16xz + c c) + c + c d) x + xc - 8 -
17. Suorit yhteenlskut j sievennä (jos mhdollist). ) + 6 4 ) c) d) e) 1 1+ x + x + 1 x + 1 x + x + + 4 6 y y 1 z + 1 z + Potenssilusekkeet Jos n on positiivinen kokonisluku, käytetään tulolle... lyhennysmerkintää n kpl tekijöitä n, jok on potenssiluseke j luetn potenssiin n ti :n n :s potenssi. Luku on kntluku j luku n eksponentti. Potenssimerkintä on kirjoitettv siten että kntluku on yksikäsitteinen. Toimintsääntö: Negtiivisen luvun, summn, osmäärän ti tulon potenssi on in kirjoitettv sulkujen vull. ) ) c) d) e) f) 4 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 81 4 = ( ) = 81 4 ( x + y) = ( x + y) ( x + y) ( x + y) ( x + y) 4 x + y = x + y y y y ( xy) = ( xy) ( xy) ( xy) xy = x y y y - 9 -
Potenssikvt Potenssilusekkeiden sieventämisessä trvitn seurvi sääntöjä: ( ) n = n n ( ) n n = ( 0 ) n m n m n = + m m n = n ( m n ( ) = m n m n > ) 4 4 4 4 ) ( x) = x = 16x 8 ) ( ) = = x x x + + c) y y = y = y = y 5 x 5 d) = x = x x x x x e) ( e ) = e = e 4 4 5 7 7 Jos lisäksi sovitn että = 1 0 = 1 ( 0 ) n 1 =, n voidn edellä esitettyjä potenssisääntöjä käyttää kikill kokonislukueksponenteill. Smll ne ntvt oikeuden siirtää tulon tekijä osoittjst nimittäjään ti päinvstoin kun smll muutetn eksponentin etumerkki. Potenssilusekkeiden rvojen lskemist vrten lskimiss on erilliset näppäimet. 1 1 ) = = 9 5 y 5 7 1 ) = y = y = 7 y y 0 c) ( + ) ( + ) = ( + ) + = ( + ) = 1 ( ) 6 d) ( x ) = x = x - 10 -
e) x z x x x x = = = z x z z z z 5 5 5 6 6 1 6 1 5 Hrjoitustehtäviä 18. Lske seurvien lusekkeiden rvot. ) ) c) ( ) + 5 + 5 0 + 5 19. Sievennä seurvt lusekkeet. ) ) c) d) 5 1 8 x y x y 5 4 1 0 1 1 ( 1) ( 1) 1 0 5 10x + y 4 5x + y 0. Sievennä seurvt lusekkeet. ) ) c) ( z) (4 y) ( c ) ( x y z ) x y z : ( c ) c 4-11 -
Rtionlilusekkeet Lusekett, joss esiintyy vi yhteen-, vähennys-, kerto- j jkolskuj, snotn rtionlilusekkeeksi. Rtionlilusekkeit voi sieventää edellä esitettyjen lusekkeenkäsittelyn sääntöjen vull. Hrjoitustehtäviä 1. Sievennä seurvt lusekkeet. ) x ( + ) 4 x( + ) c ) + + c c 1 c) (1 x )( x ) x + x 1 1 1 d) ( + ) : ( + ) 1 1 1 e) ( + ) : f) ( + )( ). Suorit lskutoimitukset. + ) + 1 ) (1 )( ) y y 1 1 c) ( x ) : 1 x x + 1 1 d) ( )( x + y) y x e) 1 1 + - 1 -
Juurilusekkeet Ei-negtiivisen luvun (siis 0 ) neliöjuurell trkoitetn luku jolle pätee: 0 ( ) = Merkinnässä luku snotn juurrettvksi. Määrittelystä seur ominisuus: jos 0 = =...(Huom! luku snot luvun itseisrvoksi) jos < 0 ) 9 =, kosk 0 j ) 196 = 14, kosk 14 0 j 14 = 196 = 9 (Huom! myös luvulle pätee ( ) = 9, mutt < 0 ) Luvun kuutiojuurell trkoitetn luku jolle pätee: ( ) = Määrittelystä seur ominisuus: = ) 64 = 4, kosk ) 1 1 =, kosk 8 4 = 64 1 1 = 8 Juurilusekkeiden rvojen likirvoj vrten lskimiss on erilliset näppäimet. - 1 -
Juurilusekkeit sievennettäessä voidn käyttää seurvi käsittelysääntöjä: = = = = Hrjoitustehtäviä. Päättele ilmn lskint seurvien juurilusekkeiden rvot. ) 0,5 ) c) 81 1 1000 10 4. Sievennä seurvt lusekkeet. ) ( x + 1) ) c) 9x x y 6 9 d) ( 4 + 7 4 7 ) - 14 -
Yhtälö Khden lusekkeen keskinäistä yhtäsuuruutt snotn yhtälöksi. yhtälöitä ovt esimerkiksi ) 5x + 7 = 4 ) x + y = 6z + 7 c) V = π r h d) v = v0 + t e) 1 h = v0t gt Käytännössä yhtälö sisältää in tuntemttomn suureen, jonk rvo ei tunnet. Tätä suurett snotn tuntemttomksi. Tuntemttomn rvoj, jotk toteuttvt yhtälön, snotn yhtälön juuriksi. Luku 5 on yhtälön x 14 = x + 6 juuri kosk yhtälö toteutuu (vsen j oike puoli svt smn rvon) kun niihin sijoitetn kyseinen luku: vp: 5 14 = 5 14 = 11 op: 5 + 6 = 11 Huom! yhtälöllä on myös toinen juuri (jok on luku 4 ). Yhtälön rtkiseminen trkoitt yhtälön kikkien juurien määrittämistä. Kvoiss olevi suureit merkitään in omill vkiintuneill symoleilln. Tällöin tuntemton määräytyy in tilnteen mukn. Yhtälössä (kvss) v = v0 + t voi tilnteest riippuen mikä thns suureist v, v 0, ti t oll tuntemton. Yhtälössä (kvss) oll tuntemton. V π = r h voi tilnteest riippuen mikä thns suureist V, r ti h Yhtälöä rtkistess tvoitteen on pelkistää yhtälö selliseen muotoon, että juuret sdn selville. Pelkistäminen on tehtävä siten, että väliviheet ovt keskenään yhtäpitäviä. Väliviheitten yhtäpitävyyttä merkitään usein ekvivlenssinuolell. Yhtälöä pelkistettäessä on käytettävissä toimintsääntöjä, joist muutmi seurvss. - 15 -
Toimintsääntöjä: Yhtälön molemmt puolet voidn kerto ti jk smll nollst erovll luvull ti lusekkeell. Yhteenlskettv voidn siirtää yhtälön toiselle puolen kun sen etumerkki smll vihdetn (sm hiemn toisin: yhtälön molemmille puolille voidn lisätä ti niistä voidn vähentää sm luku ti luseke). Huom! yhtälön vsen j oike puoli voidn viht keskenään (vihtmtt etumerkkejä). x 7 = x + 1 siirretään 7 oikelle j x vsemmlle x x = 1+ 7 sievennetään x = 8 : jetn puolittin luvull x 8 = sievennetään x = 4 sdn rtkisu (eli yhtälön kikki juuret) rtkistn v 0 yhtälöstä 1 h = v0t gt 1 h v t gt 1 1 v0t gt = h siirretään gt oikelle 1 v0t = h + gt : t jetn puolittin t :llä ( t 0) = 0 vihdetn yhtälön eri puolet keskenään 1 h + gt v0t = sievennetään t t v 0 1 gt gt h h = + = + sievennetään t t t t h gt h gt v0 = + = + sdn rtkisu t t t - 16 -
Ensimmäisen steen yhtälö Yhtälöä rtkistess pyritään pelkistämään yhtälö muotoon, jost eteenpäin eteneminen tunnetn (lgoritmin omisesti). Edellä rtkistut yhtälöt ovt olleet erästä tällist muoto ensimmäisen steen yhtälöitä. Yhtälöä jok pelkistyy muotoon x =, missä 0 ( x tuntemton), snotn ensimmäisen steen yhtälöksi. Yhtälö voidn tällöin rtkist jkmll yhtälö puolittin tuntemttomn kertoimell x = : x = 4x = 8 : 4 x = Hrjoitustehtäviä 5. Rtkise x seurvist yhtälöistä. ) 7x = 5 ) kx = m c) 7x + = 11x 5 d) x + = cx + d 6. Rtkise seurvt yhtälöt. Vstuksen trkt rvot. ) + 4 = 1 x x 1 ) = x + 4 x 7. ) Rtkise kvst F = m 1 ) Rtkise C kvst W = CU U c) Rtkise R kvst P = R d) Rtkise T kvst Q = mc T - 17 -
8. ) Rtkise r kvst E R + = r e r 1+ B ) Rtkise B kvst A = C 1 B p c) Rtkise p kvst (1 + ) = 100 d) Rtkise c kvst = ( )( )( ) A p p p p c 9. Luokll oli sovittu pidettäväksi neljä mtemtiikn koett. Liis rveli pystyvänsä prntmn pistemääräänsä jok kokeess yhdellä edelliseen kokeeseen verrttun. Kuink mont pistettä hän lski trvitsevns ensimmäisestä kokeest, kun hän oli settnut tvoitteekseen yhteensä 66 pistettä? 0. Omkotitlon sähkönkulutus on 8700kWh vuodess. Kuink mont prosentti kulutuksest iheutuu vlisimest, jonk teho on 60 W j jot käytetään keskimäärin 7, tunti vuorokudess. 1. Prturimksujen ALV pienenee %:st 8%:iin. Kuink mont % prturimksut lenevt, jos koko ALV:n pienennys siirretään sikkiden hyväksi. ALV lsketn verottomst hinnst.. Kurkun mss oli 400g j sen vesipitoisuus oli tällöin 99%. Viikon kuluttu kurkust oli hihtunut vettä siten, että vesipitoisuus oli pudonnut 98%:iin. Mikä oli tällöin kurkun mss?. Astiss on 6,7 kg suolliuost, jonk suolpitoisuus (pinoprosenttein) on 15,%. Kuink pljon sellist suolliuost, jonk suolpitoisuus on 11,%, on stin lisättävä, jott syntyvän liuoksen suolpitoisuudeksi tulisi 1,%? 4. Henkilöltä A kuluu nettoplkstn 4,5% suntolinn lyhennyksiin j korkoihin. Jäljelle jääneestä summst 87, % menee erilisiin kulutusmenoihin. A säästää loput, jolloin säästöön jää 109 /kk. Mikä on A:n ruttoplkk, kun hänen ennkonpidätysprosenttins on 5,0%? - 18 -
Toisen steen yhtälö Yhtälöä, jok pelkistyy muotoon yhtälöksi. + + = 0, missä 0, snotn toisen steen x x c Yhtälö voidn tällöin rtkist rtkisukvll: + + = 0 x x c ± 4c x = Huom! jos 4c < 0, ei yhtälöllä ole relijuuri. Rtkisukv ei knnt käyttää jos = 0 ti c = 0, tällöin menetellään seurvsti. Toimintsäännöt: Jos = 0, sdn yhtälö muotoon x =, jonk rtkisut ovt c c Jos < 0, ei yhtälöllä ole relijuuri. c x = ± Jos c = 0, sdn yhtälö muotoon x( x + ) = 0, jost edetään ns. tulon nollsäännön vull: x( x + ) = 0 x = 0 ti x + = 0 x = 0 ti x = x 8x + 6 = 0 ± x = ( 8) ( 8) 4 6 8 ± 16 8 ± 4 x = = = 4 4 1 x 18 = 0 x = 18 : x = 9 x = ± 9 = ± - 19 -
x + 6x = 0 x( x + 6) = 0 x = 0 ti x + 6 = 0 x = 0 ti x = 6 Hrjoitustehtäviä 5. Rtkise seurvt yhtälöt. Vstuksen trkt rvot. ) x x + 1 = 0 ) x(x ) = 1+ x(1 x) c) x + x 4 = 1 x x + 6. Kuvss näkyvän rvirdn kenttälueen pint-l on 49500 m j kenttälueen ympärysmitt (rdn pituus) 1000m. Suort ost ovt keskenään yhdensuuntisi j krtein on puoliympyrät. Lske kenttälueen pituus s. Ohje: rtkise ensin ympyrän säde. s 7. Erästä tuotett on pkttvn 0000 kg. Pkkmiseen pitää käyttää joko pieniä ti suuri ltikoit. Suureen ltikkoon mhtuu 80,0 kg/ltikko enemmän kuin pieneen ltikkoon (ltikot pktn täyteen). Pieniä ltikoit trvittisiin 100 kpl enemmän kuin suuri. Kuink mont kg mhtuu pieneen ltikkoon? - 0 -
Suorkulminen kolmio c β α Suorn kulmn viereisiä sivuj snotn kteeteiksi, j suorn kulmn vstist sivu hypotenuusksi. Suorkulmisen kolmion rtkiseminen Jos kolmiost tunnetn riittävästi kulmi/sivuj, voidn loput ost rtkist Pythgorn luseen j trigonometristen funktioiden vull. Pythgorn luse: Hypotenuusn pituuden neliö on kteettien pituuksien neliöiden summ: kuvss c = + Trigonometriset funktiot: terävän kulmn sini on kulmn vstisen kteetin pituuden suhde hypotenuusn pituuteen: kuvss sinα = j sin β = c c terävän kulmn kosini on kulmn viereisen kteetin pituuden suhde hypotenuusn pituuteen: kuvss cosα = j cos β = c c terävän kulmn tngentti on kulmn vstisen kteetin pituuden suhde viereisen kteetin pituuteen: kuvss tnα = j tn β = Kun tunnetn terävän kulmn trigonometrisen funktion (sini, kosini ti tngentti) rvo, sdn kulmn rvo selville lskimen vull rcusfunktiot (lskimess joko rcsin ti sin -1 näppäin) käyttämällä. - 1 -
Jos tunnetn terävän kulmn sini, voidn kulm rtkist. sinα = 0, 56 α = rcsin 0,56 4, Rtkistn oheisen suorkulmisen kolmion tuntemttomt ost kun tiedetään, että c = 1,m j α = 8,0. sinα = c c sinα = c α = c sinα = 1,m sin 8,0 7,57 m c β cosα = c c cosα = c = c cosα = 1,m cos8,0 9,69m β = 90,0 α = 90,0 8,0 = 5,0 - -
Rtkistn oheisen suorkulmisen kolmion tuntemttomt ost kun tiedetään, että =,54 m j = 4,6m. c β c = + c = + α c = (,54 m) + (4,6 m) c = 1,541 m c = 1,541 m c 5,6 m tnα =,54m tnα = = 0,8119... 4,6 m,54 α = rctn = rctn 0,8119... 9,1 4,6 β = 90, 0 α 90, 0 9,1 = 50, 9 Hrjoitustehtäviä 8. Rtkise kuvss olevn suorkulmisen kolmion kikki tuntemttomt ost kun c β ) = 16,8 mm j c =,7 mm ) = 58,km j β = 5,0 c) = 1,4 mm j = 6,8mm α - -
9. Rtkise oheisen suorkulmisen kolmion sivut j c. c 56,6,76 m 40. Lske jnn AD pituus, kun AC = 6,0cm ; BC = 6, 68cm ; j kulmt BAC j ADC ovt suori kulmi. B D A C 41. Oheisess suorkulmisess kolmioss pätee : = :. Lske α, β, j.,95m β α 4. Lske x. 90 x 107 0 4-4 -
4. Suorkulmisen kolmion pitempi kteetti on kksi kert niin pitkä kuin lyhempi kteetti. Hypotenuusn pituus on 5,00 m. Lske kolmion pint-l. 44. Tehtn piipun vrjo vksuorll mnpinnll on 11 m pitkä. Auringon vlo tulee 6,0 kltevuudess (vktsoon nähden). Määritä piipun korkeus. 45. Merivrtiosemst etelään on mjkk, jonne etäisyys on 5,0 km. Merellä on tphtunut onnettomuus pikss, jok sijitsee mjkst suorn länteen. Merivrtiosemlt ktsottun onnettomuuspikn j mjkn suunnt poikkevt toisistn 5. Kuink pitkä mtk on merivrtiosemlt onnettomuuspiklle? 46. Hrjkttoisen rkennuksen leveys on 90 mm. Kuink pitkä on kton lpe hrjlt räystäälle, kun kton kltevuus on 1: j sivuräystäs ulkonee seinästä 500 mm? 47. Herr X osti vlmiin komeron, jonk mitt ovt 600 mm, 700 mm j 40 mm. Voiko komeron nost pystyyn purkmttomn huoneess, jonk korkeus on 50cm? - 5 -
Tso- j vruusgeometri Seurvss on esitetty eräitä sovelluksiss esiintyviä tso- j vruusgeometrin tuloksi pint-loj j tilvuuksi. Kolmio α c h Kolmion pint-l: h 1 A = = csinα ( on kolmion kntsivu) Ympyrä α r Kolmion jänne jk ympyrän khteen segmenttiin (kuvss toinen segmentti viivoitettun) Ympyrän pint-l: Segmentin pint-l:, missä α on segmenttiä vstv keskuskulm. A = π r 1 Asegmentti = r r 60 α π α sin - 6 -
Suor ympyrälieriö r h Suorn ympyrälieriön tilvuus: V = π r h Suorn ympyrälieriön vipn l: Avipp = π rh Suor ympyräkrtio h r Suorn ympyräkrtion tilvuus: 1 V = π r h - 7 -
Pllo r Pllon tilvuus: Pllon pint-l: 4 V = π r A = 4π r Hrjoitustehtäviä 48. Jos vuorokutinen sdemäärä on 10 mm, kuink mont kuutiometriä ( m ) vettä st vuorokudess yhden neliökilometrin ( 1km ) lueelle? 49. Kuink mont kuutiokilometriä ( km ) vettä suomliset (väkiluku 5, miljoon) kuluttvt vuodess jos keskikulutus henkilöä kohden vuorokudess on 160 l. 50. Ympyrän säde on 4,56 m j sektorin l on 15,77 m. Kuink suuri on on keskuskulm? 51. Suorkulmion muotoiseen levyyn tehdään kksi yhtä suurt ympyrän muotoist reikää, joiden yhteenlskettu pint-l s oll korkeintn 17,% levyn lst. Kuink suuri s ympyröiden säde korkeintn oll?,16 m 8,40 m - 8 -
5. Suorn ympyrälieriön muotoisen tynnyrin pohjn säde on 0,4 m j korkeus 0,9 m. Tynnyriä täytetään vedellä nopeudell,5 l / min. Kuink kun täyttö kestää? 5. Suorn ympyrälieriön muotoisess stiss on vettä. Veteen upotetn (kokonn) pllon muotoinen kpple. Kuink pljon vedenpint nousee, kun lieriön pohjn hlkisij on 00 mm j pllon hlkisij on 180 mm. Oletetn ettei vesi virt pois lieriöstä. 54. Ympyrän hlkisij on 6,0 m. Ympyrä jetn 4,0 m pitkällä jänteellä khteen segmenttiin. Lske segmenttien lt. 55. Putkest tulee 8, 0 m inett, jok kestää vierimättä enintään 0, 0 :n kulmss vktsoon nähden. Kuink korke ks putken lle voi enintään muodostu? Alust oletetn vksuorksi. 56. Kuvss on,50cm pksuun levyyn portun reiän poikkileikkus. ) Lske reiän tilvuus, kun kulm α = 4,0 j reiän (porn) hlkisij on 1,80cm. ) Mikä pitäisi kulmn α oll jos reiän tilvuudeksi hluttisiin 0,0cm? α - 9 -