Lujuusopin perusteiden oleellisimmat asiat pähkinänkuoressa

Lujuusopin perusteiden oleellisimmat asiat pähkinänkuoressa Reijo Kouhia 31. maaliskuuta 2013 Johdanto Kurssin pääasiat ovat: 1. jännitys- ja muodonmuutostila, 2. lineaarisesti kimmoisa isotrooppinen materiaalimalli, 3. akselinsa suunnassa kuormitettu suora sauva, 4. suoran sauvan vääntö, 5. suoran palkin taivutus. Tämän prujun viittaukset oppikirjaan: T. Salmi, S. Pajunen, Lujuusoppi, Pressus Oy, 2010. 1 Jännitys- ja muodonmuutostila 1.1 Jännitysmatriisi ja Cauchyn jännitysteoreema Tarkastellaan kappalette B 3-dimensioisessa alueessa, katso kuvaa 1. Jos kappale B jaetaan kahteen osaan ja merkitään leikkauspintaa symbolilla S ja erotetaan kappaleen osat toisistaan. Merkitään leikkauspinnan pieneen pinta-ala-alkioon S kohdistuvaa voimaresultanttia f :llä. Määritellään traktiovektori t seuraavasti f t = lim S 0 S = df ds. (1) Traktiovektori riippuu siten paikasta x ja myös pinnan normaalin suunnasta n, eli t = t(x,n). (2) Edellä esitettyä riippuvuutta kutsutaan Cauchyn jännityspostulaatiksi eli jännitysoletukseksi. 1 1 Traktiovektoria t kutsutaan joskus myös jännitysvektoriksi. Tämä on hieman harhaanjohtava nimitys, sillä jännitys ei ole vektorisuure. 1

Kuva 1: Materiaalikappale B ja traktiovektori t. z σ z t z n z τ τ zy zx τ yz τ xz τ xy n x τ yx n y t y σ y y x σ x t x Kuva 2: Traktiovektorit kolmella toisiaan vastaan kohtisuoralla pinnalla. 2

z t x S x C t y S y n t n S O B y x ρ b V t z S z Kuva 3: Cauchyn tetraedri. Merkitään karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa koordinaattiakselien suuntaistilla tasoilla vaikuttavia traktiovektoreita t x,t y ja t z, katso kuvaa 2. Traktiovektoreiden komponentit on merkitty kuvassa ja käyttäen koordinaattiakseleiden suuntaisia yksikkövektoreita e x,e y ja e z, traktiovektoreiden lausekkeiksi saadaan t x = σ x e x +τ xy e y +τ xz e z, (3) t y = τ yx e x +σ y e y +τ yz e z, (4) t z = τ zx e x +τ zy e y +σ z e z, (5) jossa on käytetty insinöörikirjallisuudessa usein esiintyvää merkintätapaa, jossa normaalijännityksiä merkitään σ:lla ja pinnan suuntaisia leikkausjännityksiä τ:lla. Lausutaan mielivaltaisessa suunnassa oleva traktiovektori t n jännityskomponettien σ x,σ y,σ z,τ xy jne. avulla. Tätä varten tarkastellaan kuvassa 3 esiintyvän tetraedrin tasapainoa. Kyseistä tetraedrin muotoista jännityselementtiä kutsutaan Cauchyn tetraedriksi. Jokaisella tetraedrin pintatasolla esiintyvää keskimääräistä traktiota merkitään t i, i = x,y,z ja kolmion x y z pinta-alaa merkitään S:llä ja S x, S y, S z ovat kolmioiden O y z,o z x and O x y pinta-alat. Tetraedriin vaikuttava tilavuusvoima olkoon ρ b V, jossa V = 1 h S on tetraedrin tilavuus ja h on etäisyys ON. 3 Tetraedrin voimatasapainoyhtälö on joka voidaan kirjoittaa muodossa t n S + 1 3 ρ b h S t x S x t y S y +t z S z = 0, (6) S(t n + 1 3 ρ b h n x t x n y t y +n z t z) = 0. (7) nnetaan tetraedrin tilavuuden kutistua, elih 0, saadaant i t i ja t n = n x t x +n y t y +n z t z = n x (σ x e x +τ xy e y +τ xz e z )+n y (τ yx e x +σ y e y +σ yz e z ) +n z (σ zx e x +τ zy e y +σ z e z ), (8) 3

tai t n = n x σ x +n y τ yx +n z τ zx n y τ xy +n y σ y +n z τ zx n z τ xz +n y τ yz +n z σ z = n T σ = σ T n. (9) Huomaa jännitysmatriisin σ:n transpoosi viimeisessä termissä. Tämä johtuu valitusta merkintätavasta jossa leikkausjännityskomponentin alaindeksin ensimmäinen termi viittaa pinnan normaalin suuntaan ja toinen itse komponentin suuntaan. Jännitysmatriisi karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa esitettynä on σ x τ xy τ xz σ = τ yx σ y τ yz. (10) τ zx τ zy σ z Tätä jännitysmatriisin esitystapaa, jossa normaalijännityksiä merkitään σ:lla ja leikkausjännityksiä τ:lla kutsutaan von Kármánin merkintätapaa ja se on insinöörikirjallisuudessa varsin yleisesti käytetty. Yhtälöä (9) kutsutaan Cauchyn jännitysteoreemaksi ja se voidaan kirjoittaa muodossa t(x,n) = [σ(x)] T n, (11) jossa suureiden argumentit on merkitty eksplisiittisesti. Cauchyn jännitysteoreema kertoo traktiovektorin lineaarisen riippuvuden yksikkönormaalivektorista n. Jännitysmatriisi on symmetrinen, minkä voi todeta tarkastelemalla jännityselementin momenttitasapainoa. 1.2 Pinnan normaalin ja tangentin suuntaiset jännityskomponentit. TÄRKEÄÄ! Mikäli jännitysmatriisi tunnetaan, voidaan mielivaltaisen tason normaalin ja tason itsensä suuntaiset jännityskomponentit ratkaista. Normaalijännitys saadaan traktiovektorin pistetulona pinnan yksikkönormaalin kanssa σ n = t T n = n T σn. (12) Pinnan suuntainen resultoiva leikkausjännityskomponentti saadaan Pythagoraan teoreeman avulla τ n = t T t σn. 2 (13) 1.3 Pääjännitykset ja niiden suunnat. TÄRKEÄÄ! Jännitysmatriisin σ ominaisarvoja σ kutsutaan pääjännityksiksi ja ne saadaan ratkaisemalla tavanomainen ominaisarvotehtävä (σ σi)n = 0, (14) 4

jossa ominaisvektorin määrittelee sen tason normaalin jossa pääjännitysσ esiintyy. Pääjännitystasoilla leikkausjännitykset häviävät ja pääjännityskoordinaatistossa jännitysmatriisi on diagonaalinen σ 1 0 0 σ = 0 σ 2 0. (15) 0 0 σ 3 Koska (14) on homogeeninen yhtälöryhmä, sillä on nollasta eroava ratkaisu suunnille n vain mikäli kerroinmatriisi on singulaarinen. Singulaarisen matrisiin determinatti häviää, joten ominaisarvot saadaan ratkaistua ehdosta det σ x σ τ xy τ xz τ xy σ y σ τ yz τ xz τ yz σ y σ = 0. (16) Huom. Ominaisarvotehtävän ratkaisussa ei yleensä kannata käyttää pääinvarianttien lausekkeita eikä oppikirjan sivulla 308 esitettyjä erikoiskaavoja ominaisvektorien komponenttien laskemiseksi. Kehittämällä determinantti saadaan kolmannen asteen polynomi pääjännitystenσ ratkaisemiseksi. Determinantti voidaan kehittää vaikka ylimmän vaakarivin suhteen, jolloin saadaan (σ x σ) σ y σ τ yz σ z σ τ xy τ xy τ yz τ xz σ z σ +τ xz τ xy σ y σ = 0. (17) τ yz Kun ominaisarvot on ratkaistu, saadaan pääsuunnat sijoittamalla ominaisarvot yhtälöön (14). τ xz τ yz Esimerkki. Erään kontinuumipisteen P jännitysmatriisi on σ 0 2σ 0 3σ 0 σ = 2σ 0 4σ 0 6σ 0 3σ 0 6σ 0 σ 0 1. Määritä traktiovektori t tasolla, jonka normaalin osoittaa suuntaan 1:-1:2. 2. Määritä pisteen P kautta kulkevan tason 2x 2y z = 0 suuntaisen tason traktiovektori. 3. Määritä normaali ja leikkausjännityskomponentit edellisen kohdan tasolla. 4. Määritä pääjännitykset ja kaikki pääsuunnat. Ratkaisu. 1. Suunnan 1:-1:2 yksikkövektori on n = [1, 1,2] T / 6 ja traktiovektori tasolla on t = σ 0 2σ 0 3σ 0 2σ 0 4σ 0 6σ 0 3σ 0 6σ 0 σ 0 1 1 2 1 6 = σ 0 6 5 10 1. 5

2. Tason 2x 2y z = 0 yksikönormaali on n = [ 2 3, 2 3, 1 3 ]T, täten traktiovektori tällä tasolla on σ 0 2σ 0 3σ 0 2 t = 2σ 0 4σ 0 6σ 0 1 2 3 = σ 5 0 10 3. 3σ 0 6σ 0 σ 0 1 7 3. Normaalijännitys on traktiovektorin normaalikomponentti, eli σ n = t T n = 17 9 σ 0 1,9σ 0. Tasolla vaikuttava leikkausjännityskomponentti saadaan Pythagoraan teoreeman avulla τ n = t T t σn 2 = ( 5 3 )2 +( 10 3 )2 +( 7 3 )2 ( 17 9 )2 σ 0 = 9 1 1277 σ0 3,97 σ 0. 4. Pääjännitykset σ ja niiden esiintymistasojen normaalien suunnat n saadaan ratkaistua ominaisarvotehtävästä σ 0 σ 2σ 0 3σ 0 n x 0 2σ 0 4σ 0 σ 6σ 0 n y = 0. 3σ 0 6σ 0 σ 0 σ n z 0 Kyseisellä homogeenisella yhtälöryhmällä on nollasta eroava ratkaisu vain jos kerroinmatriisi on singulaarinen, eli σ 0 σ 2σ 0 3σ 0 det 2σ 0 4σ 0 σ 6σ 0 = 0, 3σ 0 6σ 0 σ 0 σ josta saadaan karakteristinen polynomi ominaisarvojen määrittämiseksi σ 3 +6σ 0 σ +40σ 2 0σ = 0. Pääjännitykset ovat siten10σ 0,0, 4σ 0. Pääjännitystä10σ 0 vastaava suunta saadaan yhtälösysteemistä 9σ 0 2σ 0 3σ 0 2σ 0 6σ 0 6σ 0 3σ 0 6σ 0 9σ 0 n x n y n z = josta saadaan suunta n x : n y : n z = 3 : 6 : 5. Vastaavasti kahdelle muulle pääsuunnalle saadaan suunnat 2 : 1 : 0 ja 1 : 2 : 3. Huomaa, että suunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vasten. 1.4 Lujuushypoteesit Metalleille soveltuvista myötöehdoista tärkeimmät ovat Trescan ja von Misesin ehdot. Lue huolella oppikirjasta luvut 12.2.1-12.2.4. 6 0 0 0,

1.5 Muodonmuutos Oppikirjan luku 4. Venymä suuntaann (yksikkövektori) saadaan lausekkeesta ε n = n T εn, (18) jossaεon symmetrinen muodonmuutosmatriisi 2 ε = ε x ε xy ε xz ε xy ε y ε yz ε xz ε yz ε z. (19) Vertaa normaalijännityksen laskemiseen 12. Muista, että liukumat ovatγ xy = 2ε xy,γ xz = 2ε xz,γ yz = 2ε yz. Suuntien n ja m välinen liukuma on Vektoreidenn ja m on oltava yksikkövektoreita. γ nm = n T εm +m T εn = 2n T εm. (20) 2 Lineaarisesti kimmoisa isotrooppinen materiaalimalli Lue oppikirjan luku 5. 3 kselinsa suunnassa kuormitettu suora sauva Normaalivoima N määritellään normaalijännitysten σ resultanttina sauvan poikkileikkausalan yli N = σd. (21) Normaalivoiman sitoo ulkoiseen kuormitukseen tasapainoyhtälö dn dx = f, (22) joka saadaan tarkastelemalla kuvan 4 mukaisen differentiaalsen sauva-alkion vaakatasapainoa, ja jossa f on sauvan akselin suuntainen voima pituusyksikköä kohti. Lisäksi tarvitaan materiaaliyhtälö, eli konstitutiivisen yhtälö, joka sitoo jännityksenσ muodonmuutokseen ε, ja joka lineaarisesti kimmoisan materiaalin tapauksessa on σ = Eε, (23) jossa E on materiaalin jäykkyyttä kuvaava kimmomoduuli. Normaalivoima saadaan materiaaliyhtälön (23) ja määritelmän (21) avulla muotoon N = Eε. (24) 2 Muodonmuutosmatriisia merktään oppikirjassa epästandardilla merkinnällä V. 7

N(x) f N(x)+dN x dx Kuva 4: ksiaalisesti kuormitettu sauva. Muodonmuutoksen, eli venymän saadaan geometrisen tarkastelun avulla muodossa ε = du dx. (25) Sijoittamalla venymän lauseke (25) normaalivoiman lausekkeeseen (24) ja tämä tasapainoyhtälöön (22), saadaan aksiaalisesti kuormitetun suoran sauvan tasapainoyhtälö lausuttuna siirtymän u avulla d ( E du ) = f. (26) dx dx Yhtälö on toisen kertaluvun tavallinen differentiaaliyhtälö, ja sauvan akselin suuntaisen siirtymän u ratkaisemiseksi tarvitaan kaksi reunaehtoa - yksi ehto sauvan kummassakin päässä. Reunaehto voidaan antaa joko siirtymälle u tai normaalivoimalle N. Merkitään jatkossa paikkakoordinaatin x-suhteen otettua derivaattaa pilkulla suureen oikeassa yläkulmassa esimerkiksi u = du/dx. Täten akselinsa suunnassa kuormitetun sauvan differentiaaliyhtälö (26) saa muodon (Eu ) = f. (27) Mikäli sauvan aksiaalijäykkyys on vakio, eli se ei riipu paikkakoordinaatista x, saadaan muoto Eu = f. (28) Tämä toisen kertaluvun vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö on helppo integroida. Lämpömuodonmutoksen vaikutus otetaan huomioon jakamalla kokonaisvenymä ε jännityksiä aiheuttavaan elastiseen osaaε e ja lämpötilan muutoksesta T aiheutuvaan osaa ε = ε e +α T, (29) jossa α on pituuden lämpötilakerroin, josta kirjallisuudessa käytetän usein lyhennettä CTE - Coefficient of Thermal Expansion. Mikäli lämpötilan muutoksista aiheutuvat muodonmuutokset pääsevät vapaasti tapahtumaan, ei niistä aiheudu jännityksiä. Esimerkki. Tarkastellaan tasajäykkää pilaria, johon vaikuttaa oman painon lisäksi puristava normaalivoima F pilarin huipussa. Reunaehdot ovat u(0) = 0, ja N(L) = F. (30) 8

ksiaalisiirtymän differentiaaliyhtälö on nyt muotoa Eu = ρg, (31) jossa ρ on materiaalin tiheys ja g on maan vetovoiman kiihtyvyys. Integroimalla yhtälö (31) kaksi kertaa saadaan siirtymälle lauseke Integroimisvakiot määritetään reunaehdoista (30) u = 1 2 ρgx2 +C 1 x+c 2. (32) u(0) = C 2 = 0 (33) N(L) = Eu (L) = ρgl+c 1 = F C 1 = F ρgl. (34) Sauvan siirtymän ja normaalivoiman lausekkeet ovat ( u(x) = ρgl2 x )( x ) E L 2L 1 φ, (35) ( x ) N(x) = Eu (x) = ρgl L 1 φ, (36) jossa dimensioton suure φ on määritelty yhtälöllä φ = F/ρgL. Palkin yläpään siirtymä ja kiinnityskohdan normaalivoima ovat u(l) = ρgl2 E (φ+ 1 ), N(0) = ρgl(1+φ) = ρgl F. (37) 2 Jännitys kiinnityskohdassa on σ(0) = N(0)/ = (ρgl + F)/, ja sauvan yläpäässä σ(l) = N(L)/ = F/. Sauva on puristettu koko pituudeltaan ja puristus kasvaa lineaarisesti oman painon vaikutuksesta. Koska esimerkkitehtävä on staattisesti määrätty, voidaan sen voimatila määrittä suoraan tasapainoyhtälöstä (22), ja tehtävä on ratkaistavissa kuten oppikirjan esimerkissä 1 sivulla 137, jossa siirtymän lauseke saadaan integroimalla yhteys N = Eu. Esimerkki. Tarkastellaan kahden jäykän seinämän välissä olevaa tasajäykkää sauvaa. Pilarin vasen pää lämpenee T 0 :n verran ja oikean pään lämpötila pysyy vakiona. Tästä aiheutuvan sauvan pituusakselin suhteen lineaarisesti muuttuva lämpätilaero T(x) = T 0 (1 x/l). Sauvan lämpöpitenemiskerroin onα. Jännityksiä aiheuttava kimmoinen venymä on ε e = ε α T = u α T. (38) Sijoittamalla tämä materiaaliyhtälöön (23) ja normaalivoiman määritelmään (21) saadaan N = Eε e = E(u α T). (39) Koska tehtävä on staattisesti määräämätön, eli hyperstaattinen, ei pelkästään tasapainoyhtälön (22) avulla voida määrittä sauvan normaalivoimajakaumaa. Sijoitetaan (39) tasapainoyhtälöön (22) jolloin saadaan sauvan differentiaaliyhtälöksi Eu = Eα T, eli u = α T 0 /L. (40) 9

Reunaehdot ovat u(0) = u(l) = 0. Integroimalla siirtymä u differentiaaliyhtälöstä (40), saadaan u(x) = 1 2 α T 0x 2 /L+C 1 x+c 2. (41) Reunaehtojen avulla saadaan integroimisvakiot määritettyä u(0) = 0 C 2 = 0, (42) u(l) = 0 C 1 = 1 2 α T 0. (43) Ratkaisu on siten ( x u(x) = 1α T 2 0 1 L)( x ), (44) L N(x) = E(u (x) α T(x)) = 1Eα T 2 0. (45) Huomaa, että normaalivoima on vakio, kuten pitääkin tasapanoyhtälön N = 0 perusteella. 4 Suoran sauvan vääntö 4.1 Määrittelyjä ja tasapainoyhtälö Mikäli suoran sauvan ainoana kuormituksena on sauvan akselin suuntainen vääntömomentti, sauvan poikkileikkaustasot kiertyvät ns. vääntökeskiön ympäri. Riippuen sauvan poikkileikkauksen muodosta poikkileikkaustasot voivat siirtyä sauvan akselin suunnassa, eli käyristyä. Tätä ilmiötä kutsutaan myös poikkipintapaunaumana. Sauvan reunaehtojen ja poikkileikkausgeometrian mukaan vääntötehtävät voidaan jaotella 1. vapaan väännön ongelmiin, joissa sauvan poikkipinnan käyristymistä ei estetä ja 2. estetyn väännön ongelmiin, joissa sauvan poikkipinnan käyristyminen estetään tai rajoitetaan. Oletetaan sauvan akselin yhtyvän x-akseliin. Vääntömomentti M x on poikkipinnan suuntaisten leikkausjännityskomponenttien τ xy ja τ xz resultanttimomentti M x = (τ xz y τ xy z)d. (46) Sauvan vääntömomentin tasapainoyhtälö on dm x dx = m x, (47) jossam x on sauvan vääntökeskiön ympäri pyörittävä jakautunyt vääntömomenttikuormitus, jonka yksikkö on newtonmetri/metri. Tasapainoyhtälö saadaan samanlaisella tarkastelulla kuin aksiaalisesti kuormitetun sauvan tasapainoyhtälö (22). Leikkausjännityksen τ ja leikkausmuodonmuutoksen γ välinen konstitutiivinem yhtälö lineaarisesti kimmoisan isotrooppisen aineen tapauksessa on jossagon materiaalin liukumoduuli. τ xy = Gγ xy, ja τ xz = Gγ xz, (48) 10

4.2 Ympyräpoikkileikkauksinen sauva Sauvan vääntymä θ määritellään vääntökulman ϕ muutosvauhtina θ = dϕ dx. (49) Liukuma etäisyydellä r sauvan poikkileikkauksen keskipisteestä on Vääntömomentti saadaan nyt lauseke M x = τrd = γ = rθ = r dϕ dx. (50) Gγrd = Gr 2 θd. (51) Jos sauvan on tehty homogeenisesta materiaalista, on leikkausmoduuli vakio, joten M x = GI p θ = GI p ϕ, (52) jossa termiäi p kutsutaan polaariseksi jäyhyysmomentiksi, ja massiivipoikkileikkauksiselle sauvalle sille saadaan lauseke R I p = r 2 d = 2π r 3 dr = 1 2 πr4, (53) 0 jossaron poikkileikkauksen säde. Sijoittamalla (52) vapaan väännön tasapainoyhtälöön (47) saadaan yhtälö (GI p ϕ ) = m x, (54) joka on täysin analoginen aksiaalisesti kuormitetun sauvan tasapainoyhtälön (26) kanssa. 4.3 Suljettu ohutseinäinen yksikoteloinen poikkileikkaus Lue oppikirjasta luku 9.6.1. 5 Suoran palkin taivutus Tarkastellaan tasopalkin taivutusta. Leikkausvoiman Q y ja taivutusmomentin M z positiiviset suunnat on esitetty kuvassa 5. Koska jatkossa käsitellään vain taivutusta yhden akselin suhteen, jotetään jatkossa alaindeksit leikkausvoiman ja taivutusmomentin merkinnöistä kirjoittamatta. Kuvan 5 differentiaalisen palkkialkion pysty ja momenttitasapainoehdoiksi saadaan yhtälöt Q = q, ja Q = M, (55) josta taivutusmomentin ja ulkoisen viivakuormituksen q välinen tasapainoyhtälö on M = q. (56) 11

M(x) q M(x)+dM y x Q(x) x dx Q(x) + dq Kuva 5: Palkin kuormitus ja sisäisten voimasuureiden positiiviset suunnat. N(x,0) P(x,y) x v(x, 0) y,v P N v (x,0) Kuva 6: Palkin taivutus. 12

Kuten aksiaalisesti kuormitetun ja väännnetyn sauvan tapauksessa, tasapainoyhtälöstä ei voida rakenteen sisäistä voimatilaa yksikäsitteisesti ratkaista. Kuvaan 5 on palkin positiivinen pinta piirretty katkoviivalla, ja voidaan havaita positiivisen taivutusmomentin aiheuttavan positiivisen pinnan venymistä ja vastaavasti negatiivisen pinnan puristumista. Ohuen palkin malli, jota kutsutaan usein Eulerin-Bernoullin palkkimalliksi, perustuu seuraaviin kolmeen otaksumaan: 1. deformoitumattomassa alkutilassa palkin akselia vastaan kohtisuorat säikeet pysyät suorina deformaation aikana, 2. eivätkä nämä säikeet veny, NP = N P, ja 3. ne säilyvät kohtisuorassa palkin akselia vasten myös deformoituneessa tilassa. Näiden oletusten ja alkeisgeometrian avulla saadaan palkin mielivaltaisen pisteenp, jonka koordinaatit ovat (x, y) akselin suuntaiselle siirtymälle u ja taipumalle v lausekkeet, katso kuvaa 6 u(x,y) = ysin(v (x,0)), (57) v(x,y) = v(x,0)+y(1 cos(v (x,0))). (58) Otaksumalla palkin akselin kiertymäkulma v (x,0) pieneksi, voidaan tehdä appoksimaatiot sin(v ) v ja cos(v ) 1, jolloin päädytään Eulerin-Bernoullin palkkimallin kinemaattisesti lineaarisen siirtymäotaksuman lausekkeisiin u(x,y) = yv (x,0), (59) v(x,y) = v(x,0) = v(x). (60) Normaalivenymän lausekkeeksi saadaan palkin poikkileikkauksen korkeuskoordinaatin y suhteen lineaariseen lausekkeeseen ε(x,y) = u x = yv (x) = yκ(x), (61) jossa palkin akselin käyristymälle on käytetty merkintää κ = v. (62) Taivutusmomentti M määritellään normaalijännitysten resultanttimomenttina M = σyd. (63) Ottamalla huomioon materiaaliyhtälö (23) ja olettamalla kimmomoduuli vakioksi poikkileikkauksen korkeussuunnassa, saadaan taivutusmomentin lausekkeeksi M = EIκ, (64) jossai on palkin jäyhyysmomentti I = y 2 d. (65) 13

P P EI Q 1 Q 2 L/2 L/2 Kuva 7: Palkkiesimerkki. Opettele poikkileikaussuureiden laskeminen, katso oppikirjan liitettä. Erityisesti Steinerin sääntö on käyttökelpoinen. Sijoittamalla taivutusmomentin lauseke (64) tasapainoyhtälöön (56) ja ottamalla huomioon kinemaattinen yhteys (62), saadaan palkin taipuman differentiaaliyhtälö (EIv ) = q. (66) Mikäli palkin taivutusjäykkyys EI ei muutu palkin akselin suunnassa, saadaan vakiokertoiminen neljännen kertaluvun tavallinen differentiaaliyhtälö EIv (4) = q. (67) Yhtälön (66) tai (67) ratkaisemiseksi on annettava kaksi reunaehtoa palkin kummassakin päässä. Tavallisimpia reunaehtotapauksia on lueteltu seuraavassa listassa. 1. Jäykästi kiinnitetyllä reunalla palkin taipuma ja kiertymä häviävät, eliv = v = 0. 2. Vapaasti tuetulla reunalla palkin taipuma häviää, eikä se voi vastaanottaa taivutusmomenttia, joten v = 0 ja M = EIv = 0. 3. Vapaalla reunalla, jolla ei ole reunakuormitusta, leikkausvoima ja taivutusmomentti häviävät, elim = EIv = 0 ja Q = (EIv ) = 0. Esimerkki. Ratkaistaan oppikirjan sivulla 444 olevan taulukon tapaus numero 18. Pistekuormasta johtuen taipuman differentiaaliyhtälön (67) ratkaisu on suoritettava kahdessa osassa. Merkitään taipumafunktiota välillä 0 x L/2 symbolilla v 1 ja vastaavasti välillä L/2 x L symbolilla v 2. Palkin kummassakin päässä voidaan asettaa kaksi reunaehtoa ja palkin keskellä neljä yhteensopivuusehtoa, joten kahdeksan integroimisvakiota voidaan ratkaista. Taipumien lausekkeet ovat v 1 = 0 + 1 x+ 2 x 2 +a 3 x 3, (68) v 2 = B 0 +B 1 x+b 2 x 2 +B 3 x 3, (69) jotka toteuttavat homogeeniset diffentiaaliyhtälöt EIv (4) i vapaasti tuetulla reunalla = 0,i = 1,2. Reunaehdot ovat ja jäykästi kiinnitetyssä päässä v 1 (0) = 0, ja M 1 (0) = EIv 1(0) = 0, (70) v 2 (L) = 0, ja v 2(L) = 0. (71) 14

Palkin keskellä yhteensopivuusehdot ovat: (i) taipuman, kaltevuuskulman ja taivutusmomentin on oltava jatkuvia, eli v 1 ( 1L) = v 2 2( 1L), 2 v 1( 1L) = 2 v 2( 1L), M 2 1( 1L) = M 2 2( 1 L). (72) 2 Leikkausvoimassa Q = EIv on oltava F :n suuruinen hyppy F +Q 2 ( 1L) Q 2 1( 1 L) = 0, (73) 2 joka on palkin keskikohdan pystytasapainoehto, katso kuvaa 7. Määritetään derivaatat v 1 = 1 +2 2 x+3 3 x 2, v 2 = B 1 +2B 2 x+3b 3 x 2, v 1 = 2 2 +6 3 x, v 2 = 2B 2 +6B 3 x, v 1 = 6 3, v 3 = 6B 3. Integroimisvakioiden eliminoiminen kannattaa aloittaa aina ehdosta, jossa derivatat ovat korkeinta kertalukua, eli tässä tapauksessa leikkausvoiman hyppyehdosta (73) F 6EIB 3 +6EI 3 = 0 B 3 = 3 + F 6EI. (74) Triviaaliehdot on myös syytä huomioida heti laskujen alkuvaiheessa v 1 (0) = 0, 0 = 0, ja M 1 (0) = EIv 1(0) = 0 2 = 0. (75) Taivutusmomentin jatkuvuusehdosta seuraa EIv 1( 1 L) = EIv 2 2( 1L) 3 2 3L = 2B 2 +3B 3 L, (76) josta sijoittamalla ehtoon (74) saadaan Näin edeten saadaan lopulta ratkaisu Taipuman ratkaisu on siten B 2 = FL 4EI. (77) 0 = 0, B 0 = FL3 48EI, 1 = FL2 32EI, B 1 = 5 FL 2 32 EI, 2 = 0, B 2 = FL 4EI, 3 = 5 F 96EI, B 3 = 11 F 96EI. v 1 = FL3 96EI v 2 = FL3 96EI ( x L) ( ) 3 5 x2, (78) L ( 2 ( x ) 3 ( x ) ) 2 x 11 24 +15 L L L 2, (79) 15

josta saadaan taivutusmomentin lausekkeiksi Leikkausvoima on tietenkin paloittain vakio M 1 = EIv 1 = 5 Fx, 16 (80) M 2 = EIv 2 = 1F(L 11 x). 2 8 (81) Q 1 = M 1 = 5 F, Q 16 2 = M 2 = 11 F. (82) 16 Taivutusmomentin äriarvot esiintyvät jäykällä tuella ja pistevoiman kohdalla, ja ne ovat M( 1L) = 5 3 FL, M(L) = FL. (83) 2 32 16 Itseisarvoltaan suurin taivutusmomentti esiintyy siten jäykästi kiinnitetyllä reunalla. Mikäli palkin poikkileikkaus on kaksoissymmetrinen, esiintyvät sekä suurin että pienin normaalijännitys palkin jäykästi kiinnitetyllä tuella. Normaalijännitykset jakautuvat lineaarisesti palkin korkeuden yli σ = M y, (84) I joka saadaan yhtälöiden (23),(61) ja (64) avulla. Piirrä taivutusmomentti ja leikkausvoimakuviot. Mieti olisiko koordinaatiston origon asettaminen pistekuorman kohdalle ollut parempi valinta! 16