Jatko-opintoseminaari 2009-2010 Potenssit ja Möbius kuvaukset Cliffordin algebroissa Petteri Laakkonen 3.2.2010
Luku 6 Potenssit ja Möbius kuvaukset Tämä teksti noudattaa kirjan [1] luvun 6 tekstiä. Lauseiden, määritelmien ja esimerkkien numerointi on sama kuin kirjassa. Käymme läpi lähinnä korkeampi ulotteisiin Cliffordin algebroihin liittyvän teorian ja käytämme kompleksilukujen teoriaa lähinnä johdatuksena teoriaan. Kirjan kuudennen luvun ulkopuolelta otetut määritelmät ja tulokset on numeroitu roomalaisin kirjaimin. 6.0 Kertausta Olkoon f : R n+1 G Cl (n) sellainen, että f C 1 (G). Muuttuja x R n+1 kirjoitetaan muotoon x = x 0 + x 1 e 1 + + x n e n. Operaattori määritellään asettamalla := k e k k=0 ja konjugaattioperaattori määritellään asettamalla := 0 σ k e k. k=1 Fueter-muuttujat määritellään asettamalla z k := 1 2 (e kx + xe k ) = x k x 0 e k, k = 1,..., n. Määritelmä I. Funktio f on oikealta (vasemmalta) holomorfinen, mikäli Cauchy- Riemann yhtälö f = 0 ( f = 0) on voimassa. 1
Kaivetaan vielä esiin pari jatkossa tarpeellista tulosta, eli kirjan Lauseet 3.14 ja 3.20. Lause II. Tarkastellaan Cliffordin algebroja Cl (n), n = 0, 1,.... i) Jokaisella n löytyy sellainen vakio K n 2 n/2, että xy K n x y. ii) Jos y toteuttaa ehdon yȳ = y 2, niin xy = yx = x y. Määritelmä III. Cliffordin ryhmä Γ n+1 on kaikkien joukon R n+1 äärellisten nollasta eroavien paravektorien tulo. Lause IV. Kaikki rotaatiot joukossa R n+1 voidaan esittää muodossa missä u Γ n+1. f(x) = uxû (= uxũ 1 ), 6.1 Potenssit 6.1.1 Potenssit joukossa C Kompleksilukujen joukossa potenssi funktio voidaan derivoida normaaliin tapaan dz k dz = kzk 1 ja derivoituvuudesta seuraa holomorfisuus. Edelleen kaikki polynomit ovat holomorfisia. 6.1.2 Potenssit korkeamissa dimensioissa Kuten jo aiemmin on todettu joukossa Cl (n) x = x = 1 n 0, 2
eli edes polynomi x ei ole holomorfinen. Fueter-muuttujille z k on voimassa z k = z k = 0, mutta jo (z k z l ) = 2x 0 e k e l, kun k l. Fueter ratkaisi ongelman käyttämällä tietyllä tapaa symmetrisiä tuloja ja löysi näin holomorfisia polynomeja. Seuraavaksi esittelemme nämä polynomit. Kaikkien joukon {1, 2,..., k} permutaatioiden joukkoa merkitään perm(k). Määritelmä 6.1. Olkoon x R n+1. i) Multi-indeksi on vektori k = (k 1, k 2,..., k n ), missä k i Z. Jos k i, niin multi-indeksin aste on k := k := k i. Lisäksi käytämme merkintää k! := n k i!. ii) Jos k sisältää yhdenkin negatiivisen elementin, niin merkitsemme P k (x) = 0 ja jos k = (0,..., 0) = 0, niin merkitsemme P 0 (x) = 1. iii) Olkoon k > 0. Tarkastellaan indeksimonijoukkoa {j 1,..., j k }, missä on k 1 kappaletta alkioita 1, k 2 kappaletta alkiota 2 ja niin edelleen. Lisäksi oletetaan, että indeksit ovat kasvavassa järjestyksessä, eli j 1 j 2 j k. Olkoon σ perm(k). Merkitään z k := k z ji = z k 1 1 z k 2 2 z kn n ja σ(z k ) := Fueter-polynomit määritellään asettamalla: P k (x) := 1 k! σ perm(k) σ(z k ). k z jσ(i). Seuraavaksi huomataan, että Fueter-polynomeilla on tiettyjä kommutatiivisuusominaisuuksia, joiden ansiosta ne ovat holomorfisia. Lause 6.2. Merkitään ɛ i := (0,..., 0, 1, 0,..., 0), missä 1 on i. alkio. 3
i) kp k (x) = mistä seuraa, että k i P k ɛi (x) z i = k i z i P k ɛi (x), k i P k ɛi (x) e i = k i e i P k ɛi (x). ii) Kaikilla i = 1,..., n j P k (x) = k j P k ɛi (x). iii) Yhtälöt 0 P k (x) = k i e i P k ɛi (x) = e i j P k (x) ja P k (x) 0 = k i P k ɛi (x) e i = j P k (x) e i ovat voimassa ja niistä seuraa holomorfisuus, eli P k (x) = P k (x) = 0. Todistus: i) Osoitetaan aluksi kp k (x) = n k i P k ɛi (x) z i. Tarkastellaan niitä permutaatioita, joilla σ(n) = i, eli σ(z k ) = ( n 1 ) z jσ(i) Kun σ käy läpi kaikki permutaatiot, joilla yllä oleva ehto toteutuu, niin ylläolevan yhtälön oikeanpuolen tulo käy läpi kaikki mahdolliset multi-indeksin (k 1,..., k i 1, k i 1, k i+1,..., k n ) = k ɛ i määräämät tulot k i kertaa. Täten on osoitettu, että 1 kp k (x) = (k 1)! = k i P k ɛi (x) z i. 4 z i. σ perm(k) σ(n)=i σ(z k )
Vastaavasti tarkastelemalla ehtoa σ(1) = i voidaan osoittaa, että kp k (x) = n k i z i P k ɛi (x). Saadut yhtälöt voidaan kirjoittaa auki sijoittamalla z i = x i x 0 e i, jolloin k i P k ɛi (x) x i k i P k ɛi (x) x 0 e i = x i k i P k ɛi (x) x 0 e i k i P k ɛi (x), mistä reaaliosan kommutatiivisuutta käyttäen ja puolittain supistaen termi x 0 saadaan k i P k ɛi (x) e i = k i e i P k ɛi (x). ii) Väite osoitetaan induktiolla k:n suhteen. Väite on triviaalisti voimassa, jos k = 0. Oletetaan, että kohdan ii) yhtälö on voimassa arvolla k 1. Käyttäen kohdan i) tulosta saadaan k j P k (x) = k i j (P k ɛi (x) z i ) = k i k j P k ɛi ɛ j (x) z i + k i P k ɛi (x) j z i = (k 1)k j P k ɛj (x) + k j P k ɛj (x) = kk j P k ɛj (x), mistä väite seuraa jakamalla reaalisella termillä k. iii) Väite osoitetaan induktiolla k:n suhteen. Väite on triviaalisti voimassa, jos k = 0. Oletetaan, että kohdan iii) ensimmäinen yhtälö on voimassa arvolla k 1, jolloin k 0 P k (x) = k i ( 0P k ɛi (x))z i k i P k ɛi (x) 0 z i = k i k j e j P k ɛi ɛ j (x) z i k i P k ɛi (x) e i i,j=1 = (k 1) k j e j P k ɛj (x) k i e i P k ɛi (x) j=1 = k k i e i P k ɛi (x) = k i P k (x) e i. 5
Vastaavasti saadaan tulos oikean puoleiselle derivaatalle. Suorat laskut osoittavat holomorfisuustulokset. Seuraus 6.3. Fueter-plynomit ovat oikealta ja vasemmalta lineaarisesti riippumattomia. ( ) Huomautus 6.4. Polynomeja P x k x, missä k = k, kutsutaan astetta k oleviksi pallopolynomeiksi yksikköpallolla S n. Seuraus 6.5. Fueter-polynomeilla on voimassa arvio P k (x) i = 1 n z i k i = z k x k. Todistus: Fueter-muuttujilla on voimassa ominaisuus z j z j = (x j x 0 e j )(x j + x 0 e j ) = x 2 0 + x 2 j = z j 2, joten Lauseen II nojalla k σ(z k ) = z jσ(i) i = 1 n z i k i. Koska permutaatioita σ on k! kappaletta, niin saadaan P k (x) i = 1 n z i k i. Koska z j = x 2 0 + x 2 j x j = x, j=0 niin i = 1 n z i k i x k. Esimerkki 6.6. a) Astetta 1 olevat Fueter-polynomit ovat P ɛj (x) = z j, j = 1,..., n. 6
b) Astetta 2 olevat Fueter-polynomit ovat P 2ɛj (x) = z 2 j ja P ɛj +ɛ i (x) = 1 2 (z jz i + z i z j ). c) Astetta 3 olevat Fueter-polynomit ovat jotain seuraavista muodoista. P 3ɛj (x) = z 3 j, P 2ɛj +ɛ i (x) = 1 3 (z2 j z i + z j z i z j + z i z 2 j ) tai P ɛj +ɛ i +ɛ l (x) 1 6 (z jz i z l + z j z l z i + z i z j z l + z i z l z j + z l z j z i + z l z i z j ). 6.2 Möbius kuvaukset 6.2.1 Möbius kuvaukset joukossa C Määritelmä 6.8. Kuvausta f : Ĉ Ĉ f(z) = az + b cz + d, missä ad bc 0, kutsutaan Möbius-kuvaukseksi ja siihen liitetään Vahlenmatriisi [ ] a b. c d Möbius kuvaus on bijektio joukossa Ĉ ja se on holomorfinen (paitsi pisteessä z = d). Jos c 0, niin se kuvaa pisteen z = d pisteeksi w = ja pisteen c c z = pisteeksi w = a. Oletetaan edelleen, että c 0. Tällöin c f(z) = a c ad bc 1 c 2 z + d, c eli Möbius-kuvaus on yhdiste siirrosta, kierrosta, venytyksestä ja kuvauksesta 1 z. Jokaisella kyseisistä funktioista on yhteisenä ominaisuutena, että ne kuvaavat suorat ja ympyrät vastaaviksi geometrisiksi objekteiksi. Siis seuraava lause on voimassa: 7
Lause 6.9. Möbius-kuvaus kuvaa z-tason ympyrät ja suorat ympyröiksi ja suoriksi w-tasossa. Tämä lause antaa syyn puhua ympyröistä ja suorista yleistettyinä ympyröinä, jolloin siis Möbius-kuvaus kuvaa ympyrät ympyröiksi yleistetyssä mielessä. Seuraava lause saadaan suoraan helpolla laskulla. Lause 6.10. Möbius-kuvaukset muodostavat ryhmän kuvausten yhdisteen suhteen. 6.2.2 Möbius kuvaukset korkeammissa dimensioissa Tarkastellaan Möbius-kuvauksia avaruudessa R n+1, eli tutkimme tilannetta Cliffordin algebrassa Cl (n). Ensiksi tarkastelemme yleistettyjen pallojen esitystä. Olkoon c reaaliluku ja B paravektori. Yhtälö joka voidaan kirjoittaa muodossa x B = c, x B + B x = 2c =: C, määrittää tasot n-dimensionaalisessa tasossa R n+1. B keskisen ja r-säteisen Pallon samassa avaruudessa määrittelee yhtälö (x + B)( x + B) = r 2, joka voidaan puolestaan kirjoittaa muotoon x x + x B + B x = r 2 B 2 =: C. Kutsumme pallojen ja tasojen muodostamaa geometristen objektien joukkoa yleistetyiksi palloiksi (tai palloiksi yleistetyssä mielessä), joten seuraava lause on voimassa. Lause 6.14. n-dimensionaaliset yleistetyt pallot joukossa R n+1 voidaan kirjoittaa muodossa Ax x + x B + B x + C = 0, missä A ja C ovat reaalilukuja ja B paravektori, jotka toteuttavat ehdon B 2 AC > 0. 8
Olkoon x = x + a, jolloin Ax x + x B + B x + C = Ax x + (x B + B x) + x(aa + (Aa) x) + Aaā + (a B + Bā) + C }{{}}{{} =x B +B ā =C R ja B 2 AC = B + Aa 2 A(Aaā + a (B) + Bā + C) = B 2 AC = 0. Siis siirto sailyttää pallot palloina ja suorat suorina. Vastaavanlaisilla laskuilla voidaan todeta, että venytys x = axb, kierto ja peilaus yksikköpallon suhteen x = uxû, u Γ n+1, x = 1 x sailyttävät pallot palloina yleistetyssä mielessä. Lause 6.15. Siirrot, kierrot, venytykset ja peilaus yksikköpallon suhteen säilyttävät pallot yleistetyssä mielessä. Määritelmä 6.18. Olkoot a, b, c, d Γ n+1 := Γ n+1 {0} sellaisia alkioita, jotka toteuttavat ehdot 1) H := a ˆd bĉ R 0 := R \ {0} (H := ˆda ĉb R 0 ), 2) jos c 0, niin ac 1, c 1 d R n+1 (c 1 a, dc 1 R n+1 ), 3) jos c = 0, niin bd 1 R n+1 (d 1 d R n+1 ). Kuvauksen f, joka määritellään kaavalla f(x) = (ax + b)(cx + d) 1 ( f(x) = (xc + d) 1 (xa + b) ), missä x R n+1, jatkuvaa laajennusta joukkoon ˆR n+1 (respect to chordal metric) kutsutaan vasemman (oikean) puoleiseksi Möbius-kuvauksen esitykseksi. Lause 6.19. i) Möbius-kuvaus f : ˆRn+1 ˆR n+1 on bijektio ja säilyttää yleistetyt pallot. 9
ii) Möbius-kuvauksilla on sekä vasemman, että oikeanpuoleiset esitykset. iii) Möbius-kuvaukset muodostavat ryhmän ( Möbius-ryhmän). Todistus: i) Osoitetaan väite vasemmanpuoleisille esityksille. Oikeanpuoleisten esitysten tapaus saadaan vastaavasti. Olkoon c 0, jolloin f(x) = (ax + b)(cx + d) 1 = (a(x + c 1 d) + b ac 1 d)(x + c 1 d) 1 c 1 = ac 1 + (b ac 1 d)(x + c 1 d) 1 c 1. Kun määritellään kuvaukset f 1 (x) = x + c 1 d, f 2 (x) = 1 x, f 3(x) = (b ac 1 d)xc 1 ja f 4 (x) = ac 1 + x, niin f = f 4 f 3 f 2 f 1. Kuvauksista f 1 ja f 4 ovat siirtoja (c 1 d, ac 1 R n+1 ) ja f 2 on peilaus yksikköpallon suhteen, joten ne ovat bijektiivisiä kuvauksia laajennetussa avaruudessa ja säilyttävät pallot yleistetyssä mielessä. Siis jos f 3 on bijektio, joka säilyttää pallot yleistetyssä mielessä, niin väite on todistettu. Tarkastellaan kuvausta f 3. Koska c 1 d R n+1, niin c 1 d = c 1 d = dĉ 1 ja Funktio f 3 voidaan kirjoittaa muodossa b ac 1 d = b a dĉ 1 = (bĉ a d) ĉ 1. }{{} = H R 0 f 3 (x) = λĉ 1 xc 1, missä λ 0. Täten f 3 on rotaation (Lause IV) ja venytyksen yhdisteenä bijektio, joka säilyttää pallot yleistetyssä mielessä. Oletetaan seuraavaksi, että c = 0, jolloin f(x) = axd 1 + bd 1. Koska H = a d R 0, niin on oltava a = λ ˆd 1, missä λ 0. Siis f on rotaation, venytyksen ja siirron yhdisteenä bijektio, joka säilyttää pallot yleistetyssä mielessä. ii) Tyydytään taas osoittamaan, että vasemman puoleisesta esityksestä saadaan oikean puoleinen esitys ja todetaan, että toinen suunta saadaan osoitettua vastaavilla laskuilla. Kun c = 0 (oletusten nojalla a 0), niin f(x) = axd 1 + bd 1 = (a 1 ) 1 (xd 1 + a 1 bd 1 ) = (xc r + d r ) 1 (xa r + b r ), missä a r = d 1, b r = a 1 bd 1, c r = 0 ja d r = a 1. 10
Kun c 0, niin f(x) = ac 1 + (b ac 1 d)(x + c 1 d) 1 c 1 = ac 1 c 1 (cac 1 d cb) (x + c 1 d) 1 c 1 }{{} =H 0 = ac 1 ( (x + c 1 d)h 1 c ) 1 c 1 = (xh 1 c + c 1 dh 1 c) 1 (xh 1 cac 1 + c 1 dh 1 cac 1 c 1 ) = (xc r + d r ) 1 (xa r + b r ), missä a r = H 1 cac 1, b r = c 1 dh 1 cac 1 c 1, c r = H 1 c ja d r = c 1 dh 1 c. Koska Möbius-kuvaus ei ole vakio funktio, niin välttämättä Möbius-kuvauksen vakioita a, b, c ja d koskevat ehdot ovat voimassa uusilla vakioilla a r, b r, c r ja d r. iii) Kahden Möbius-kuvauksen yhdiste on Möbius-kuvaus, sillä (a (ax + b)(cx + d) 1 + b )(c (ax + b)(cx + d) 1 + d ) 1 = ((a a + b c)x + (a b + b d))((c a + d c)x + (c d + d d)) 1, eli Möbius-kuvausten joukko on suljettu kuvausten yhdisteen suhteen. Vaihdannaisuus on voimassa suoraan yhdistettyjen kuvausten ominaisuuksien perusteella ja neutraali-alkio on luonnollisesti identtinen kuvaus (a = d = 1, b = c = 0). Möbius-kuvauksen käänteiskuvaus on f 1 (x) = (xc a) 1 ( xd + b), joka on myös Möbius-kuvaus. Seuraava apulause on kirjan tehtävä 3.5.2. Apulause V. Jos x Cl (n) on paravektori, niin n j=0 e j xe j = (n 1) x. Todistus: Kirjoitetaan x = n i=0 x i e i. Nyt e 0 xe 0 = x ja kun j > 0, niin e j xe j = x i e j e i e j = x 0 x j e j + x i e i. i=0 i j 11
Edelleen e j xe j = x + ( x 0) x j e j + x i e i j=0 j=1 i j = x (n 1)x 0 x 0 = (n 1) x. x j e j + } j=1 {{ } = x j=1 x i e i i j Lause 6.20. Tarkastellaan Möbius-kuvausta f(x) = (ax+b)(cx+d) 1 ja olkoon h R n+1, sekä c r ja d r kuten edellisen lauseen todistuksessa. i) f (x)[h] = (xc r + d r ) 1 h(cx + d) 1, ii) ( f)(x) = (n 1)(xc r + d r ) 1 (cx + d) 1, iii) (f (d))(x) = (n 1)(xc r + d r ) 1 (cx + d) 1. Todistus: i) Suoraan laskemalla saadaan Möbius-kuvaukselle kaava (tapauksessa c = 0, myös c r = 0 mikä yksinkertaistaa laskuja) f(x) f(y) = (ax + b)(cx + d) 1 (yc r + d r ) 1 (ya r + b r ) = (yc r + d r ) 1 ((yc r + d r )(ax + b) (ya r + b r )(cx + d)) (cx + d) 1 = (yc r + d r ) 1 y (c r a ac) x + y (c r b a r d) + (d r a b r c) x + (d r b b r d) (cx + d) 1 }{{}}{{}}{{}}{{} =0 = 1 =1 =0 = (yc r + d r ) 1 (x y) (cx + d) 1. Siis kun f on kuten yllä ja g(x) = (cx +d) 1, jotka ovat Möbius-kuvauksia, niin yllä oleva kaava antaa g(x + h) = g(x) + (xc + d ) 1 h(c(x + h) + d) 1 = (cx + d) 1 + h O(1) ja f(x + h) f(x) = (yc r + d r ) 1 h(c(x + h) + d) 1. 12
Yhdistämällä saadut tulokset voidaan todeta, että f(x + h) = f(x) + (yc r + d r ) 1 h(cx + d) 1 + h 2 O(1), mikä osoittaa väitteen. ii) Koska i f(x) = f (x)[e i ] = (xc r + d r ) 1 e i (cx + d) 1, niin ( f)(x) = e i (xc r + d r ) 1 e i (cx + d) 1 i=0 = (n 1)(xc r + d r ) 1 (cx + d) 1, missä viimeinen yhtälö seuraa Apulauseesta V. iii) Osoitetaan vastaavasti kuin kohta ii) 13
Kirjallisuutta [1] Gürlebeck, Klaus, Klaus Habetha ja Wolfgang Sprößig: Holomorphic Functions in the Plane and n-dimensional Space. Birkhäuser, Basel, 2008. 14