Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Transkriptio

1 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin perustele miksi ei Ratk Osoitetaan ensin, että kuvaus F on lineaarinen kuvaus Olkoot x = (x 1,x R ja y = (y 1,y R mielivaltaisia vektoreita ja olkoon luku k R mielivaltainen reaaliluku Tällöin F( x+ y = F((x 1,x +(y 1,y = F((x 1 +y 1,x +y = ((x 1 +y 1 +(x +y,5(x 1 +y 1, (x 1 +y 1 +6(x +y = ((x 1 +x +(y 1 +y,5x 1 +5y 1,( x 1 +6x +( y 1 +6y = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x +(y 1 +y,5y 1, y 1 +6y = F( x+f( y F(k x = F(k(x 1,x = F((kx 1,kx = ((kx 1 +(kx,5(kx 1, (kx 1 +6(kx = k(x 1 +x,5x 1, x 1 +6x = kf( x Siis F on lineaarinen kuvaus Kuvauksen matriisi luonnollisessa kannassa saadaan laskemalla kantavektoreiden kuvat ja laittamalla ne kuvausmatriisiin sarakkeiksi Kuvausmatriisi luonnollisessa kannassa on F(1,0 = (1,5, 1, F(0,1 = (,0,6, A = Tutki onko kuvaus F, lineaarinen kuvaus Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen ja määrää matriisin avulla vektorin F( u koordinaatit luonnollisessa kannassa Jos F ei ole lineaarinen kuvaus, niin perustele miksi ei a F : R R, F(x 1,x,x,x = (x 1 + x + x,x 1 x + x ja vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 1,, 1 ja 0 b F : R R, F(x 1,x,x,x = (x 1 +x +x +x, vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 1,, 1 ja 0 cf : R R,F(x 1,x = (x 1 +x,x,x 1 x,x 1 +x ja vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat ja 1 Ratka F(x 1,x,x,x = (x 1 + x + x,x 1 x + x Osoitetaan ensin, että kuvaus F on lineaarinen kuvaus Olkoot x = (x 1,x,x,x R ja y = (y 1,y,y,y R mielivaltaisia vektoreita ja olkoon luku k R mielivaltainen reaaliluku Tällöin F( x+ y = F((x 1,x,x,x +(y 1,y,y,y = F((x 1 +y 1,x +y,x +y,x +y = ((x 1 +y 1 +(x +y +(x +y,(x 1 +y 1 (x +y +(x +y = ((x 1 +x +x +(y 1 +y +y,(x 1 x +x +(y 1 y +y = (x 1 +x +x,x 1 x +x +(y 1 +y +y,y 1 y +y = F( x+f( y F(k x = F((kx 1,kx,kx,kx = ((kx 1 +(kx +(kx,(kx 1 (kx +(kx = k(x 1 +x +x,x 1 x +x = kf( x

2 Siis F on lineaarinen kuvaus Kuvauksen matriisi luonnollisessa kannassa saadaan laskemalla kantavektoreiden kuvat ja laittamalla ne kuvausmatriisiin sarakkeiksi F(1,0,0,0 = (1,1, F(0,1,0,0 = (, 1, F(0,0,1,0 = (1,0, F(0,0,0,1 = (0, Kuvausmatriisi luonnollisissa kannoissa on ( 1 A = 1 Vektorin u koordinaatit R : n luonnollisessa kannassa saadaan kuvavektorin koordinaateiksi R :n luonnollisessa kannassa kertomalla kuvausmatriisilla ( 1 ( = 1 0 Kuvavektorin F( u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 6 ja 1 b Kuvaus ei ole lineaarinen kuvaus, sillä jokaiselle lineaarikuvaukselle pätee F( 0 = F(0 0 = 0F( 0 = 0 Nollavektorin kuva on aina lineaarikuvauksessa nollavektori Kuvauksessa F : R R, F(x 1,x,x,x = (x 1 +x +x +x, tämä vaatimus ei toteudu, sillä F( 0 = F((0, 0, 0, 0 = (0, (0, 0 Annettu kuvaus ei voi olla lineaarikuvaus c Osoitetaan ensin, että kuvaus F on lineaarinen kuvaus Olkoot x = (x 1,x R ja y = (y 1,y R mielivaltaisia vektoreita ja olkoon luku k R mielivaltainen reaaliluku Tällöin F( x+ y = F((x 1,x +(y 1,y = F((x 1 +y 1,x +y = ((x 1 +y 1 +(x +y,(x +y,(x 1 +y 1 (x +y,((x 1 +y 1 +(x +y = (x 1 +x,x,x 1 x,x 1 +x +(y 1 +y,y,y 1 y,y 1 +y = F( x+f( y F(k x = F(k(x 1,x = F(kx 1,kx = (kx 1 +kx,kx,kx 1 kx,kx 1 +kx = k(x 1 +x,x,x 1 x,x 1 +x = kf( x Siis F on lineaarinen kuvaus Kuvauksen matriisi luonnollisessa kannassa saadaan laskemalla kantavektoreiden kuvat ja laittamalla ne kuvausmatriisiin sarakkeiksi F(1,0 = (1+ 0,0,1 0, 1+ 0 = (1,0,1, F(0,1 = (0+ 1,1,0 1, 0+ 1 = (,0, 1,, Kuvauksen matriisi luonnollisten kantojen suhteen on A = Vektorin u koordinaatit R : n luonnollisessa kannassa saadaan kuvavektorin koordinaateiksi R :n luonnollisessa kannassa kertomalla kuvausmatriisilla 1 ( A u = =

3 Vektorin F( u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat, 1, 1 ja 7 9 Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta a Muodosta muunnoksen (kannalta E = { i, j, k} kannalle E matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään j-akselin suunnassa 5-kertaiseksi ja k-akselin suunnassa -kertaiseksi ja sitten kierretään kulman π verran i-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin b Mikä on muunnosmatriisi, jos kohdan a muunnosten kuva vielä peilataan yz-tason (=jk-tason suhteen ja sitten kierretään kulman π verran i-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin? Ratk Lasketaan jokaisen kuvauksen matriisi Venytys j-akselin suunnassa 5-kertaiseksi : Venytystä vastaa lineaarikuvaus F j (x 1,x,x = (x 1,5x,x eli toisin merkinnöin F j (x 1 i+x j +x k = x1 i+5x j +x k Kuvauksen matriisiin tarvitaan vain kannan { i, j, k} vektoreiden kuvat: F j ( i = F j (1,0,0 = i = (1,0,0 F j ( j = F j (0,1,0 = 5 j = (0,5,0 F j ( k = F j (0,0,1 = k = (0,0,1 Venytyksen matriisi: V j = Venytys k-akselin suunnassa -kertaiseksi: Venytystä vastaa lineaarikuvaus F k (x 1,x,x = (x 1,x,x eli toisin merkinnöin F k (x 1 i+x j +x k = x1 i+x j +x k Kannan { i, j, k} vektoreiden kuvat: F k ( i = F k (1,0,0 = i = (1,0,0 F k ( j = F k (0,1,0 = j = (0,1,0 F k ( k = F k (0,0,1 = k = (0,0, Venytyksen matriisi: V k = Kierto: Kiertoa (x-akselin i-akselin ympäri myötäpäivään π :n verran katsottuna i-akselin positiiviselta puolelta vastaa lineaarikuvaus F K Lasketaan kuvauksen matriisi Kannan { i, j, k} vektoreiden kuvat: Kierron matriisi F K ( i = i = (1,0,0 F 1 ( j = k = (0,0, 1 F 1 ( k = j = (0,1,0 K =

4 Yhdistetty kuvaus on F K (F k (F j (x 1,x,x Sen matriisi B saadaan matriisitulosta: B = KV k V j = = b Peilaus: Peilausta yz-tason ( j k-tason suhteen vastaa lineaarikuvaus F p Kuvausta vastaava matriisi määrätään laskemalla kantavektorien kuvat F p ( i = i = ( 1,0,0 F p ( j = j = (0,1,0 F p ( k = k = (0,0,1 Peilauksen matriisi: P = Kierto i akselin ympäri π :n verran : Kiertoa i-akselin ympäri vastapäivään π :n verran katsottuna i-akselin positiiviselta puolelta vastaa lineaarikuvaus F i Kuvauksen matriisi määrätään laskemalla kantavektorien kuvat Kierron matriisi F ( i = i = (1,0,0 F ( j = k = (0,0, 1 F ( k = j = (0,1,0 K = Edellistä peilausta ja kiertoa vastaavan yhdistetyn kuvauksen matriisi on C = K P = = Kaikkia kuvauksia vastaava muunnosmatriisi on K PKV k V j = CB = = Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilaustamuodosta muunnoksen (kannalta E = { i, j, k} kannalle E matriisi, kun kuvaa aluksi peilataan xy-tason (=ij-tason suhteen, venytetään k-akselin suunnassa -kertaiseksi ja lopuksi kierretään kulman π verran j-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna j-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin Ratk Kuvauksen matriisiin tarvitaan vain kannan { i, j, k} vektoreiden kuvat Samaistetaan kuvaus ja matriisi (samankaltainen ratkaisu tarkasti edellisessä tehtävässä Peilaus: 1 1 P i = P 0 = i = 0, P j = P 1 = j = 1,

5 P 0 k = P 0 = 0 k = Peilauksen matriisi: P = 1 Venytys: 1 1 V i = V 0 = i = 0, V j = V 1 = j = 1, V 0 k = V 0 = 0 k = 0 1 Venytyksen matriisi V = Kierto: 1 K i = K0 = 0 k = 0, 0 1 K j = K1 = j = 1, K 0 1 k = K0 = i = 0 1 Kierron matriisi K = Muunnoksen matriisi: 1 K V P = = 1 1 Kun kuvankäsittelyssä tehdään peräkkäin kaksi venytystä (esim venytys z-akselin suunnassa ja sitten venytys x-akselin suunnassa, niin voidaanko venytysten järjestystä vaihtaa ja jos voidaan, niin miksi? Voidaanko kahden kierron (esim kierto π :n verran myötäpäivään x-akselin ympäri ja sitten π :n verran myötäpäivään y-akselin ympäri järjestystä vaihtaa ja jos voidaan niin miksi? Edelleen voidaanko kierron ja venytyksen järjestystä vaihtaa? Perustelut! Ratk Tarkastelemme kuvankäsittelyn muunnoksia luonnollisessa kannassa E = { i, j, k} Venytystä i-akselin suunnassa a-kertaiseksi vastaa matriisi (ja lineaarikuvaus A i = a F i (x i+y j +z k = ax i+y j +z k Venytystä j-akselin suunnassa b-kertaiseksi vastaa matriisi A j = 0 b 0 F j (x i+y j +z k = x i+by j +z k

6 Venytystä k-akselin suunnassa c-kertaiseksi vastaa matriisi A k = F k (x i+y j +z k = x i+y j +cz k c Venytysten järjestyksen saa vaihtaa, sillä kuvauksia vastaavat matriisit ovat diagonaalimatriiseja ja diagonaalimatriisit kommutoivat (eli D 1 D = D D 1 aina kun D 1 ja D ovat samankokoisia diagonaalimatriiseja Kiertojen järjestystä ei yleisesti ottaen saa vaihtaa Seuraavassa vastaesimerkki Kiertoa i-akselin ympäri myötäpäivään π :n verran katsottuna i-akselin positiiviselta puolelta vastaa lineaarikuvaus F Kuvauksen matriisi määrätään laskemalla kantavektorien kuvat F ( i = i F ( j = k F ( k = j A = Kiertoa j-akselin ympäri myötäpäivään π :n verran katsottuna j-akselin positiiviselta puolelta vastaa lineaarikuvaus F Kuvauksen matriisi määrätään laskemalla kantavektorien kuvat F ( i = k F ( j = j F ( k = i A = 1 Matriisit A ja A eivät kommutoi, joten kiertojen järjestystä ei saa vaihtaa 1 A A = A A = Venytyksen ja kierron järjestystä ei saa vaihtaa, sillä A j A = 0 b 0 ja A A j = a Määritä lineaarikuvauksen F : R R, 0 b 0 = = b 0 b 0 F(x 1,x,x = (x 1 +x x, x 1 x +x matriisi kantojen S 1 = {(1,0,1,(0,1,0,(0,1,1} ja S = {(0, 1,( 1,1} suhteen ja laske sen avulla vektorin F( u koordinaatit kannassa S, kun vektori u = i + j k, missä i = (1,0,0, j = (0,1,0 ja k = (0,0,1 b Olkoon F sellainen lineaarikuvaus reaalisten matriisien joukossa, että ( 1 F(B = B Määrää lineaarikuvauksen F matriisi kannan ( ( 0 {,, (, ( 0 1 } 0 suhteen

7 Ratk a Tarvitaan kannan S 1 vektoreiden kuvien koordinaatit kannassa S Nyt F(1,0,1 = ( 1+0 1,1 0+1 = ( 1, Vektorin ( 1, koordinaatit kannassa S saadaan vektoriyhtälöstä ( 1, = a(0, 1+b( 1,1 { eli ( 1, = ( b, a+b b = 1 Yhtälöryhmänä:, eli a = 1,b = 1 a+b = Kuvauksen matriisin 1 sarake saadaan yo kooordinaateista Nyt A = Vastaavasti F(0,1,0 = (1, Silloin koordinaatit kannassa S saadaan vektoriyhtälöstä (1, = c(0, 1+d( 1,1 = ( d, c+d Nyt c ( = 1, d = 1 ja on saatu matriisin A sarake: 1 1? A = 1 1? Edelleen F(0,1,1 = (, 1 ja (, 1 = e(0, 1 +f( 1,1 = ( f, e+f, josta e =,f = Kuvauksen matriisi annettujen kantojen suhteen on A = ( ( 1?? 1?? Olkoon i = (1,0,0, j = (0,1,0 ja k = (0,0,1 ja olkoon vektori u = i + j k = (,, 1 Vektorin F( u koordinaatit kannassa S lasketaan seuraavasti kuvausmatriisin avulla Ensin lasketaan vektorin u koordinaatit kannassa S 1 yhtälöstä Saadaan yhtälöryhmä u = (,, 1 = x(1,0,1 +y(0,1,0 +z(0,1,1 = (x,y +z,x+z x = y + z = x + z = 1 jonka ratkaisu on x =, y = 6, z = Kuvavektorin koordinaatit kannassa S saadaan matriisikertolaskulla ( ( = Tarkistus: Kuvavektori on F( u = 5(0, 1 10( 1,1 = (10, 5 Tulos on yhteensopiva luonnollisessa kannassa {( tehdyn laskutoimituksen ( ( kanssa ( } 0 1 b Joukko S =,,, on avaruuden M (R kanta Määrätään lineaarikuvauksen F : M (R M (R, F(B = B suhteen Lasketaan ( kantavektoreiden ( ( kuvat: ( 1 1 F( = = 1 ( Kuvan koordinaatit ( kannan S suhteen: ( ( 0 = a 1 +a 0 1 +a 0 ( a = a 1 +a a +a a 1 +a Saadaan yhtälöryhmä: a = 0 a 1 +a = eli matriisimuodossa 1 a +a = 0 a 1 +a = +a ( a 1 a a a = ( 1, matriisi kannan S

8 Vastaavasti: ( ( ( ( F( = = Kuvan koordinaatit kannan S suhteen: 0 0 ( ( ( ( ( 0 1 = b 1 +b 0 1 +b 0 +b 0 ( b = b 1 +b b +b b 1 +b eli matriisimuodossa 0 b 1 b 0 b = 0 b Samalla ( tavalla: ( ( 1 1 F( = = 1 ( 0 1 c 0 ( c = c 1 +c c +c c 1 +c Vastaava yhtälöryhmä matriisimuodossa: 0 c c 0 c = 1 c ( 1 1 ( ( ( ( 1 1 F( = = ( ( 0 1 d d = d 1 +d 0 d +d d 1 +d Matriisimuodossa: d 1 d d d = 6 8 = c 1 ( = d 1 ( c ( 0 +d ( 0 +c ( +d ( Kaikissa yhtälöryhmissä on sama kerroinmatriisi, joten ne voidaan ratkaista matriisiyhtälöstä: Silloin a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d a b c d a b c d = eli a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d a b c d a b c d = a 1 b 1 c 1 d 1 a b c d a b c d a b c d = Kuvauksen F matriisi kannan S suhteen on A = =

9 a Määrää lineaarikuvauksen F : R R, F(x 1,x,x = (x 1 +x,x +x matriisi A kantojen S 1 = {(1,1,1,(0,1,1,(0,0,1} ja S = {(1,1,(1, 1} suhteen Määrää A:n avulla vektorin F( u koordinaatit kannassa S, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat, 1 ja 5 b Määrää lineaarikuvauksen F : P (R R, F(a+bt+ct = (a c,a+b c matriisi A kantojen S 1 = {1,1+t,1+t+t } ja S = {(1, 1,(,1} suhteen Määrää A:n avulla vektorin F(p(t koordinaatit kannassa S, kun polynomin p(t koordinaatit kannassa S 1 ovat, ja Ratk a Lasketaan kantavektoreiden kuvat ja esitetään kuva maaliavaruuden kannassa (kts ed tehtävä F(1,1,1 = (, = a(1,1+b(1, 1 = (a+b,a b, F(0,1,1 = (1, = c(1,1 +d(1, 1 = (c+d,c d, F(0,0,1 = (0,1 = e(1,1 +f(1, 1 = (e+f,e f Koordinaatit ratkaistaan yhtälöryhmästä Tulos on (a,b = (,0, (c,d = (, 1, (e,f = ( 1, 1 Kuvauksen matriisi kantojen S 1 ja S suhteen on ( 1 A = Kysytyt koordinaatit saadaan kuvausmatriisin avulla ( = 5 ( 1 b Lasketaan kantavektoreiden kuvat ja esitetään kuva maaliavaruuden kannassa F(1 = F(1+0t+0t = (1, = a(1, 1+b(,1 = (a+b, a+b, F(1+t = F(1+1t+0t = (1, = c(1, 1+d(,1 = (c+d, c+d, F(1+t+t = F(1+1t+1t = (,1 = e(1, 1+f(,1 = (e+f, e+f Koordinaatit ratkaistaan yhtälöryhmästä Tulos on (a,b = ( 1,1, (c,d = ( 5,, (e,f = (, 1 Kuvauksen matriisi kantojen S 1 ja S suhteen on ( 1 5 A = 1 1 Kysytyt koordinaatit saadaan kuvausmatriisin avulla ( = ( 5