Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia TKK @ Ilkka Melli (6) 33
Todeäköisyysjakaumia TKK @ Ilkka Melli (6) 34
Todeäköisyysjakaumia Sisällys 6. DISKREETTEJÄ JAKAUMIA 39 6.. DISKREETTI TASAINEN JAKAUMA 3 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 3 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN ODOTUSARVON JA VARIANSSIN OMINAISUUDET 3 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 3 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 33 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 33 6.. BERNOULLI JAKAUMA 34 BERNOULLI KOKEET 35 BERNOULLI JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 35 BERNOULLI JAKAUMAN ODOTUSARVON JA VARIANSSIN OMINAISUUDET 35 BERNOULLI JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 37 BERNOULLI JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 37 BERNOULLI JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 37 BERNOULLI JAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 38 BERNOULLI KOKEET DISKREETTIEN TODENNÄKÖISSJAKAUMIEN PERUSTANA 39 6.3. BINOMIJAKAUMA 3 BINOMIJAKAUMAN JOHTO 3 BINOMIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 3 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 3 BINOMIJAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 33 BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 33 BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 34 BINOMIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 35 BINOMIJAKAUMA JA BERNOULLI JAKAUMA 36 BERNOULLI JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMAN ODOTUSARVO JA VARIANSSI 37 BINOMIJAKAUMA JA OTANTA PALAUTTAEN 37 6.4. GEOMETRINEN JAKAUMA 38 GEOMETRISEN JAKAUMAN JOHTO 39 GEOMETRISEN JAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 39 GEOMETRISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 33 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN UNOHTAMISOMINAISUUS 333 6.5. NEGATIIVINEN BINOMIJAKAUMA 334 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN JOHTO 334 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 336 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 337 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 337 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 337 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 338 NEGATIIVINEN BINOMIJAKAUMA JA GEOMETRINEN JAKAUMA 339 6.6. HPERGEOMETRINEN JAKAUMA 339 HPERGEOMETRISEN JAKAUMAN JOHTO 34 HPERGEOMETRISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 34 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 343 TKK @ Ilkka Melli (6) 35
Todeäköisyysjakaumia HPERGEOMETRISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 343 HPERGEOMETRINEN JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMA 343 HPERGEOMETRINEN JAKAUMA JA OTANTA PALAUTTAMATTA 346 OTANTA PALAUTTAEN VS OTANTA PALAUTTAMATTA 347 6.7. POISSON JAKAUMA 348 POISSON JAKAUMAN JOHTO 349 POISSON JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 35 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 35 POISSON JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISSFUNKTIO 35 POISSON JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 35 POISSON JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 35 POISSON JAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 35 POISSON JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMA 353 POISSON JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA 355 7. JATKUVIA JAKAUMIA 358 7.. JATKUVA TASAINEN JAKAUMA 359 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TODENNÄKÖISDET 363 7.. EKSPONENTTIJAKAUMA 363 EKSPONENTTIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 364 EKSPONENTTIJAKAUMAN TIHESFUNKTIO 364 EKSPONENTTIJAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 365 EKSPONENTTIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 365 EKSPONENTTIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 366 EKSPONENTTIJAKAUMA JA POISSON JAKAUMA 367 EKSPONENTTIJAKAUMAN UNOHTAMISOMINAISUUS 368 EKSPONENTTIJAKAUMAN TODENNÄKÖISDET 369 7.3. NORMAALIJAKAUMA 37 NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 37 NORMAALIJAKAUMAN TIHESFUNKTIO 373 NORMAALIJAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 373 NORMAALIJAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 374 NORMAALIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 375 NORMAALIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 375 STANDARDOITU NORMAALIJAKAUMA 376 NORMAALIJAKAUTUNEEN SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN JAKAUMA 377 STANDARDOINTI 378 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN STANDARDOIDUSTA NORMAALIJAKAUMASTA 378 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN STANDARDOIDUSTA NORMAALIJAKAUMASTA JA NORMAALIJAKAUMAN TAULUKOT 379 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN MIELIVALTAISESTA NORMAALIJAKAUMASTA 38 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN NORMAALIJAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 38 NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 383 NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN LINEAARIKOMBINAATION JAKAUMA 384 SAMAA NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 385 TKK @ Ilkka Melli (6) 36
Todeäköisyysjakaumia NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISEN KESKIARVON JAKAUMA 385 7.4. KESKEINEN RAJA ARVOLAUSE 385 BINOMIJAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMALLA: DE MOIVREN JA LAPLACEN RAJA ARVOLAUSE 388 DE MOIVREN JA LAPLACEN RAJA ARVOLAUSEEN HAVAINNOLLISTUS 389 BINOMITODENNÄKÖISKSIEN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA 39 HPERGEOMETRISEN JAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA 39 POISSON JAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMALLA 393 POISSON TODENNÄKÖISKSIEN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA 394 7.5. LOG NORMAALIJAKAUMA 395 LOG NORMAALIJAKAUMAN JOHTO 395 LOG NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 396 LOG NORMAALIJAKAUMAN TIHESFUNKTIO 397 LOG NORMAALIJAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 398 LOG NORMAALIJAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 398 7.6. CAUCH JAKAUMA 398 CAUCH JAKAUMAN JOHTO 398 CAUCH JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 399 CAUCH JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 399 CAUCH JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 4 CAUCH JAKAUMA JA T JAKAUMA 4 7.7. GAMMA JAKAUMA 4 GAMMA FUNKTIO 4 GAMMA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 43 GAMMA JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 44 GAMMA JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 44 GAMMA JAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 44 GAMMA JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 44 GAMMA JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 45 GAMMA JAKAUMA JA POISSON JAKAUMA 46 GAMMA JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA 47 GAMMA JAKAUMA JA χ JAKAUMA 47 7.8. BETA JAKAUMA 47 BETA FUNKTIO 48 BETA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 48 BETA JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 49 BETA JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 4 BETA JAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 4 BETA JAKAUMA JA JATKUVA TASAINEN JAKAUMA 4 7.9. WEIBULL JAKAUMA 4 WEIBULL JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 4 WEIBULL JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 44 WEIBULL JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 44 WEIBULL JAKAUMAN KERTMÄFUNKTIO 44 WEIBULL JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA 44 8. NORMAALIJAKAUMASTA JOHDETTUJA JAKAUMIA 46 8.. χ JAKAUMA 47 χ JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 47 TKK @ Ilkka Melli (6) 37
Todeäköisyysjakaumia χ JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 48 χ JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 48 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ JAKAUMASTA 48 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ JAKAUMASTA JA χ JAKAUMAN TAULUKOT 49 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ JAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 4 8.. F JAKAUMA 4 F JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 4 F JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 4 F JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 4 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F JAKAUMASTA 4 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F JAKAUMASTA JA F JAKAUMAN TAULUKOT 4 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F JAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 44 8.3. T JAKAUMA 45 T JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 45 T JAKAUMAN TIHESFUNKTIO 46 T JAKAUMAN TIHESFUNKTION OMINAISUUDET 46 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN T JAKAUMASTA 47 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN T JAKAUMASTA JA T JAKAUMAN TAULUKOT 47 TODENNÄKÖISKSIEN MÄÄRÄÄMINEN T JAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 48 T JAKAUMA JA F JAKAUMA 48 T JAKAUMA JA CAUCH JAKAUMA 49 T JAKAUMA JA NORMAALIJAKAUMA 49 9. MONIULOTTEISIA JAKAUMIA 43 9.. MULTINOMIJAKAUMA 43 MULTINOMIJAKAUMAN OMINAISUUDET 43 9.. KAKSIULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA 433 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN JOHTO 433 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 438 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN TIHESFUNKTIO JA SEN OMINAISUUDET 438 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN ODOTUSARVOVEKTORI JA KOVARIANSSIMATRIISI 439 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN REUNAJAKAUMAT 44 ULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA, KORRELOIMATTOMUUS JA RIIPPUMATTOMUUS 44 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET JAKAUMAT 443 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET ODOTUSARVOT 444 REGRESSIOSUORIEN OMINAISUUDET 445 REGRESSIOSUORIEN HTÄLÖT JA STANDARDOINTI 446 HTEISKORRELAATIOKERROIN 447 ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET VARIANSSIT 447 ESIMERKKI ULOTTEISESTA NORMAALIJAKAUMASTA 447 TKK @ Ilkka Melli (6) 38
6. Diskreettejä jakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 6.. Diskreetti tasaie jakauma 6.. Beroulli jakauma 6.3. Biomijakauma 6.4. Geometrie jakauma 6.5. Negatiivie biomijakauma 6.6. Hypergeometrie jakauma 6.7. Poisso jakauma Määrittelemme tässä luvussa seuraavat diskreetit todeäköisyysjakaumat: Diskreetti tasaie jakauma Beroulli jakauma Biomijakauma Geometrie jakauma Negatiivie biomijakauma Hypergeometrie jakauma Poisso jakauma Johdamme jokaise jakauma pistetodeäköisyysfuktio. Lisäksi havaiollistamme pistetodeäköisyysfuktioita graafisesti ja johdamme jakaumie odotusarvot ja variassit sekä (hypergeometrista jakaumaa lukuu ottamatta) myös iide momettiemäfuktiot. Tarkastelemme myös jakaumie yhteyksiä muihi jakaumii. Avaisaat: Otata Beroulli jakauma, Beroulli koe, Biomijakauma, Diskreetti tasaie jakauma, Ekspoettijakauma, Geometrie jakauma, Hypergeometrie jakauma, Kertymäfuktio, Momettiemäfuktio, Negatiivie biomijakauma, Odotusarvo, Otata, Otata palauttae, palauttamatta, Otatasuhde, Pistetodeäköisyysfuktio, Poisso jakauma, Stadardipoikkeama, Variassi TKK @ Ilkka Melli (6) 39
6. Diskreettejä jakaumia 6.. Diskreetti tasaie jakauma Diskreettiä tasaista jakaumaa voidaa käyttää sellaiste satuaisilmiöide mallitamisee, joissa o äärellie määrä symmetrisiä eli yhtä todeäköisiä alkeistapahtumia. Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka mahdolliset arvot ovat x, x,, x Oletetaa, että satuaismuuttuja mahdollisii arvoihi x, x,, x liittyvät todeäköisyydet ovat yhtä suuria: Pr( xi ), i,, K, Tällöi satuaismuuttuja oudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa ja se pistetodeäköisyysfuktio o f( xi) Pr( xi) pi, i,, K, Fuktio f(x i ), i,,, määrittelee todeäköisyysjakauma, koska ja f(x i ) >, i,,, i f( xi ) Diskreeti tasaise jakauma tuusluvut Oletetaa, että satuaismuuttuja oudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa, joka pistetodeäköisyysfuktio o Odotusarvo: Variassi: Stadardipoikkeama: f( xi) Pr( xi) pi, i,, K, E( ) µ xi x i Var( ) D ( ) ( x x) σ i i D( ) σ ( xi x) i TKK @ Ilkka Melli (6) 3
6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa E( ) µ x f( x ) x x x i i i i i i i Suoraa diskreeti jakauma variassi määritelmä mukaa Var( ) D ( ) ( x ) f( x ) ( x x) ( x x) σ i µ i i i i i i Diskreeti tasaise jakauma odotusarvo ja variassi omiaisuudet Diskreeti tasaise jakauma odotusarvo f( xi) Pr( xi) pi, i,, K, E( ) µ xi x i o lukuje x, x,, x aritmeettie keskiarvo ja jakauma variassi Var( ) D ( ) ( x x) σ i i o lukuje x, x,, x otosvariassi, jossa jakajaa o käytetty havaitoje lukumäärää. Lisätietoja havaitoarvoje jakaumaa kuvaavista otostuusluvuista: ks. moistee Tilastolliset meetelmät lukua Tilastolliste aieistoje kuvaamie. Diskreeti tasaise jakauma variassi voidaa kirjoittaa myös muotoo jossa Var( ) E( ) [E( )] xi x xi x i i i i E( ) xi i o satuaismuuttuja. mometti ( lukuje x, x,, x. otosmometti). Perustelu: Var( ) ( xi x) ( xi x xi + x ) i i xi x xi x + i i TKK @ Ilkka Melli (6) 3
6. Diskreettejä jakaumia xi x ( x) x + i xi x i E( ) [E( )] Diskreeti tasaise jakauma pistetodeäköisyysfuktio Heitetää virheetötä oppaa. Olkoo satuaismuuttuja Nopaheito tulos Satuaismuuttuja pistetodeäköisyysfuktio o f(i) Pr( i) p i /6 i,, 3, 4, 5, 6 Kuva oikealla esittää jakauma pistetodeäköisyysfuktio kuvaajaa. Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E() 3.5 Jakauma odotusarvo saadaa seuraavalla laskutoimituksella: E() 3.5 6 6 7 E( ) if( i) i (+ + 3+ 4+ 5+ 6) 3.5 6 6 i i Jakauma variassi saadaa seuraavalla laskutoimituksella: Var( ) D ( ) 6 i ( E( )) () 6 ( i E( )) 6 i i f i 7 7 7 7 7 7 + + 3 + 4 + 5 + 6 6 5 3 3 5 + + + + + 6 35.97.3.. Diskreetti tasaie jakauma 3 4 5 6 TKK @ Ilkka Melli (6) 3
6. Diskreettejä jakaumia Site jakauma stadardipoikkeamaksi saadaa: 35 D( ).97.78 3 Diskreeti tasaise jakauma momettiemäfuktio Diskreeti tasaise jakauma f( xi) Pr( xi) pi, i,, K, momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o t txk m ( t) E( e ) e k Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t m ( t) E( e ) e f( x) e f( x ) e e tx txi txi txi i x i i i Diskreeti tasaise jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa diskreeti tasaise jakauma odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: Perustelu: E( ) µ xi x i Var( ) D ( ) ( x x) σ i i Diskreeti tasaise jakauma momettiemäfuktio o txi m() t e i Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : dm () t dt txi xe i t i t i Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : x i TKK @ Ilkka Melli (6) 33
6. Diskreettejä jakaumia d m () t dt t txi xie xi i t i Site diskreeti tasaise jakauma odotusarvo seuraavilla kaavoilla: dm() t µ E( ) α xi x dt α d m t () t µ,. mometti α ja variassi i E( ) xi dt t i σ saadaa Var( ) xi xi ( xi x) i i i σ α α 6.. Beroulli jakauma Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) p Olkoo tapahtuma A komplemettitapahtuma (tapahtuma A ei satu) A c todeäköisyys Ks. Ve diagrammia oikealla. Pr(A c ) P(A) p q Määritellää diskreetti satuaismuuttuja seuraavalla tavalla:, jos tapahtuma A sattuu, jos tapahtuma A ei satu Satuaismuuttuja todeäköisyysjakauma o Pr( ) p Pr( ) p q ja se pistetodeäköisyysfuktio voidaa esittää seuraavassa muodossa: x x ( ),,,, f x p q < p< q p x Saomme, että satuaismuuttuja oudattaa Beroulli jakaumaa parametrilla p ja käytämme tästä merkitää: Beroulli( p) Fuktio f(x) määrittelee todeäköisyysjakauma, koska f () > f () > A c A S TKK @ Ilkka Melli (6) 34
6. Diskreettejä jakaumia ja f() + f() q+ p ( p) + p Beroulli kokeet Oletetaa, että olemme kiiostueita satuaisilmiössä vai siitä sattuuko joki ilmiöö liittyvä tapahtuma A vai ei toisi saoe kiiostukse kohteea o vai se sattuuko tapahtuma A vai tapahtuma A komplemetti A c. Kutsumme tällaista satuaisilmiötä Beroulli kokeeksi. llä esitety mukaa Beroulli kokeita voidaa mallitaa Beroulli jakaumalla. Beroulli jakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: Variassi: Beroulli(p) E( ) Stadardipoikkeama: p pq Var( ) D ( ) σ D( ) σ pq Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa E( ) Pr( ) + Pr( ) q+ p p Määrätää satuaismuuttuja variassi käyttäe kaavaa Var( ) E( ) [E( )] jossa E( ) o satuaismuuttuja. mometti. Suoraa diskreeti jakauma. mometi määritelmä mukaa Site E( ) Pr( ) Pr( ) + q+ p p Var( ) E( ) [E( )] ( ) p p p p pq Beroulli jakauma odotusarvo ja variassi omiaisuudet Olkoo Beroulli(p) Beroulli jakauma odotusarvo E() p yhtyy kiiostukse kohteea oleva tapahtuma A todeäköisyytee Pr(A) p. TKK @ Ilkka Melli (6) 35
6. Diskreettejä jakaumia TKK @ Ilkka Melli (6) 36
6. Diskreettejä jakaumia Beroulli jakauma variassi Var() pq p( p) p p saavuttaa maksimisa /4, ku p q / Beroulli jakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää Beroulli jakauma Beroulli(.8) pistetodeäköisyysfuktiota jossa x x ( ),, f x p q x p.8, q p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) p.8 Beroulli jakauma momettiemäfuktio Beroulli jakauma x f( x) Pr( x) pq x < p<, q p, x, momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o Perustelu: t m ( t) E( e ) q + pe t Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t tx t t t ( ) E( ) ( ) Pr( ) + Pr( ) + x m t e e f x e e q pe.8.6.4. Beroulli(.8) E().8 Beroulli jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa Beroulli jakauma Beroulli(p) odotusarvo ja variassi jakauma mometti emäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: E( ) p pq Var( ) D ( ) σ TKK @ Ilkka Melli (6) 37
6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Beroulli jakauma Beroulli(p) momettiemäfuktio o m () t q + pe Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : dm() t t pe p dt t t Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : t d m() t t pe dt t t p Site Beroulli jakauma Beroulli(p) odotusarvo saadaa seuraavilla kaavoilla: dm() t µ E( ) α p dt t µ,. mometti α ja variassi σ d m() t α E( ) dt t p σ Var( ) α α p p pq Beroulli jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot,,, riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa Beroulli jakaumaa parametrilla p:,,, i ~ Beroulli(p), i,,, Tällöi satuaismuuttujie,,, summa + + + o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa (lisätietoja: ks. kappaletta Biomijakauma) parametrei (, p): Perustelu: ~ Bi(, p) Todistus perustuu siihe, että riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktio o ko. satuaismuuttujie momettiemäfuktioide tulo. TKK @ Ilkka Melli (6) 38
6. Diskreettejä jakaumia Oletetaa, että,,, i ~ Beroulli(p), i,,, Satuaismuuttujie,,, momettiemäfuktiot ovat muotoa m( t) q+ pe t, i,, K, i Muodostetaa satuaismuuttujie,,, summa: + + + Summamuuttuja momettiemäfuktio o m ( t) m ( t) m ( t) Lm ( t) ( q + pe )( q + pe ) L( q + pe ) ( q + pe ) Fuktio m (t) o biomijakauma Bi(, p) t t t t momettiemäfuktio (lisätietoja: ks. kappaletta Biomijakauma). Lisäksi fuktio m (t) o jatkuva pistee t ympäristössä. Koska momettiemäfuktio m (t) o tällöi yksikäsitteie, summamuuttuja oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p: Huomautus: + + + ~ Bi(, p) Kaikilla Beroulli jakaumilla o oltava sama tapahtuma A todeäköisyyttä kuvaava parametri p. Beroulli kokeet diskreettie todeäköisyysjakaumie perustaa Beroulli kokeet muodostavat perusta moille diskreeteille todeäköisyysjakaumille. Oletetaa, että toistamme samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja olkoo A se kiiostukse kohteea oleva tapahtuma, joka sattumista toistoje aikaa seurataa. (i) (ii) (iii) (iv) Biomijakauma saadaa määräämällä todeäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu x kertaa, ku koetta toistetaa kertaa; ks. kappaletta Biomijakauma. Geometrie jakauma saadaa määräämällä todeäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu esimmäise kerra x. koetoistossa; ks. kappaletta Geometrie jakauma. Negatiivie biomijakauma saadaa määräämällä todeäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu r. kerra x. koetoistossa; ks. kappaletta Negatiivie biomijakauma. Poisso jakauma voidaa johtaa biomijakauma raja arvoa, ku koetoistoje lukumäärä aetaa tiettyje ehtoje vallitessa kasvaa rajatta. Poisso jakauma kuvaa harviaiste tapahtumie todeäköisyyksiä pitkissä toistokoesarjoissa; ks. kappaletta Poissojakauma. TKK @ Ilkka Melli (6) 39
6. Diskreettejä jakaumia 6.3. Biomijakauma Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo Pr(A) p jolloi tapahtuma A komplemettitapahtuma ( tapahtuma A ei satu) A c todeäköisyys o Pr(A c ) p q Oletetaa, että teemme koetoistoja kappaletta, jossa o kiiteä eli ei satuaie, etukätee valittu luku, ja olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tapahtuma A esiitymiskertoje lukumäärää koetoistoje joukossa. Satuaismuuttuja oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p: Bi( p, ) Biomijakauma pistetodeäköisyysfuktio o Biomijakauma johto x x f( x) Pr( x) p q,< p<, q p, x,,,, x K Toistetaa samaa Beroulli koetta kertaa ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q Määrätää todeäköisyys sille, että saadaa tapahtumajoo, joka toteuttaa seuraava ehdo: Olkoo ( ) Joossa o x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c. c c AAA AA KA 4 44443 kappaletta mielivaltaie tapahtumajoo, joka toteuttaa ehdo ( ). Tämä joo todeäköisyys o riippumattomie tapahtumie tulosääö ojalla x x ppqpqk p p q Sama todeäköisyys o jokaisella tapahtumajoolla, joka toteuttaa ehdo ( ). Erilaiset järjestykset, joihi voimme asettaa x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c, ovat tapahtumajooia toisesa poissulkevia. Site todeäköisyys saada joo, joka toteuttaa ehdo ( ), saadaa toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö mukaa laskemalla kaikkie ehdo ( ) toteuttavie jooje todeäköisyydet x x pq TKK @ Ilkka Melli (6) 3
6. Diskreettejä jakaumia yhtee. Site meidä o määrättävä kaikkie sellaiste jooje lukumäärä, jotka toteuttavat ehdo ( ). Tämä lukumäärä o sama kui iide järjestyste lukumäärä, joihi voimme asettaa x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c. Oletetaa, että käytössämme o kahdelaisia objekteja, A ja A c. Lokeromalli mukaa kysytty lukumäärä saadaa selville laskemalla kaikkie iide tapoje lukumäärä, joilla x kappaletta objekteja A voidaa asettaa lokerikkoo, jossa o lokeroa. Huomaa, että objektie A c paikat o määrätty heti, ku objektit A o asetettu lokerikkoo. Kysyty lukumäärä ataa biomikerroi! x x!( x)! Perustelu: ks. lukua Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka. Site todeäköisyys saada tapahtumajoo, jossa o x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c, o x pq x x Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tapahtuma A esiitymiskertoje lukumäärää koetoistoje joukossa. llä esitety mukaa x x f( x) Pr( x) p q, q p, x,,, K, x Fuktio f(x) määrittelee todeäköisyysjakauma, koska ja biomikaava mukaa f( x) >, x,,, K, x x f( x) p q ( p+ q) x x x Biomijakauma pistetodeäköisyydet p x, x,,,, toteuttavat siis yhtälö x x p f( x) pq x x x x x Biomijakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: Variassi: Bi( p, ) E( ) µ p pq Var( ) D ( ) σ TKK @ Ilkka Melli (6) 3
6. Diskreettejä jakaumia Stadardipoikkeama: D( ) σ pq Perustelu: Johdamme tässä biomijakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Johdamme jakauma odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla kohdassa Biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut. Lisäksi jakauma odotusarvo ja variassi johdetaa käyttäe hyväksi biomijakauma ja Beroullijakauma yhteyttä kohdassa Biomijakauma ja Beroulli jakauma. Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa E( ) xf( x) x x x p ( p) x x x x x x x! x x p ( p) x!( x)!! x x p ( p) x!( x)! x x! x p ( p) ( x )!( x)! x ( )! x p p ( p) ( x )!( x)! x p htälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa ( )! ( )! p ( p) p ( p) ( x )!( x)! x!( x)! x x x x x x p ( p) x x x x o laskettu yhtee kaikki biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyydet. Odotusarvo omiaisuudet Olkoo Bi( p, ) Satuaismuuttuja odotusarvo E( ) p TKK @ Ilkka Melli (6) 3
6. Diskreettejä jakaumia o suoraa verraollie tehtävie koetoistoje lukumäärää että toistoje aikaa seurattava tapahtuma A todeäköisyytee p. Biomijakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää biomijakauma Bi(,/3) pistetodeäköisyysfuktiota jossa x x f( x) p q, x,,, K, x, p /3, q p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) p 4.4.3.. Bi(, /3) 3 4 5 6 7 8 9 E() 4 Alla oleva kuvasarja havaiollistaa sitä, mite parametri p vaikuttaa biomijakauma vioutee:.3 Bi(, /4) Bi(, /) Bi(, 3/4).3.3.5.5.5....5.5.5....5.5.5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 p < /: p /: p > /: Biomijakauma o positiivisesti vio eli vio oikealle. Biomijakauma o symmetrie. Biomijakauma o egatiivisesti vio eli vio vasemmalle. Biomijakauma momettiemäfuktio Biomijakauma x x f( x) Pr( x) p q,< p<, q p, x,,, K, x momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o m ( t) E( e ) ( q + pe ) t t TKK @ Ilkka Melli (6) 33
6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa m( t) E( e ) e f ( x) e p q ( pe ) q ( q pe ) x x x + x x t tx tx x x t x x t Biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa biomijakauma Bi(, p) odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: Perustelu: E( ) µ p Var( ) D ( ) σ pq Biomijakauma Bi(, p) momettiemäfuktio o m ( t) ( q + pe t ) Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : dm () t dt t + ( t ) q pe pe t p t Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : () t dt d m t t t t t t ( )( q + pe ) pe pe + ( q + pe ) pe pe q + pe pe + q + pe t t t t ( ) ( ) ( ) p+ ( ) p Site biomijakauma Bi(, p) odotusarvo seuraavilla kaavoilla: dm () t µ E( ) α p dt α d m () t t E( ) p+ ( ) p dt t t t µ,. mometti α ja variassi σ Var( ) α α p + ( ) p p pq σ saadaa TKK @ Ilkka Melli (6) 34
6. Diskreettejä jakaumia Biomijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot,,, k riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat biomijakaumaa parametrei (, p), (, p),, ( k, p):,, K, k Bi(, p), i,, K, k i Tällöi satuaismuuttujie,,, k summa i + + + k o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa parametrei + + + k ja p: Perustelu: Bi( p, ) Todistus perustuu siihe, että riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktio o ko. satuaismuuttujie momettiemäfuktioide tulo. Oletetaa, että,, K, k Bi(, p), i,, K, k i i Satuaismuuttujie,,, k momettiemäfuktiot ovat muotoa t m( t) ( q+ pe ) i, i,, K, k i Muodostetaa satuaismuuttujie,,, k summa: + + + k Summamuuttuja momettiemäfuktio o jossa m () t m () t m () t Lm () t q + pe q + pe q + pe t t t k ( ) ( ) L( ) t ( q + pe ) t ( q + pe ) + + + k k + + L+ k Fuktio m (t) o biomijakauma Bi(, p) momettiemäfuktio, jossa + + + k TKK @ Ilkka Melli (6) 35
6. Diskreettejä jakaumia Lisäksi fuktio m (t) o jatkuva pistee t ympäristössä. Koska momettiemäfuktio m (t) o tällöi yksikäsitteie, summamuuttuja oudattaa biomijakaumaa parametrei + + + k ja p: Huomautus: + + + k ~ Bi(, p) Kaikilla biomijakaumilla o oltava sama tapahtuma A todeäköisyyttä kuvaava parametri p, mutta se sijaa toistokokeide lukumäärää kuvaava parametri saa vaihdella jakaumasta toisee. Biomijakauma ja Beroulli jakauma Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia kertaa ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q Määritellää diskreetit satuaismuuttujat seuraavalla tavalla: Tällöi i, i,,, i, jos tapahtuma A sattuu kokeessa i, jos tapahtuma A ei satu kokeessa i i Beroulli(p), i,,, Määritellää diskreetti satuaismuuttuja seuraavalla tavalla: Tällöi Selvästi Tapahtuma A esiitymiskertoje lukumäärä Bi( p, ) i i koska luku esiityy summassa i täsmällee yhtä mota kertaa kui tapahtuma A sattuu : koetoisto aikaa. Tämä merkitsee sitä, että jokaie biomijakautuut satuaismuuttuja voidaa esittää riippumattomie, samaa Beroulli jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summaa. TKK @ Ilkka Melli (6) 36
6. Diskreettejä jakaumia Beroulli jakauma ja biomijakauma odotusarvo ja variassi Biomijakauma odotusarvoa ja variassia johdettaessa voidaa käyttää hyväksi sitä, että jokaie biomijakautuut satuaismuuttuja voidaa esittää riippumattomie, samaa Beroulli jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summaa. Olkoot i, i,,, riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa Beroulli jakaumaa parametrilla p: Olkoo Tällöi,,, i Beroulli(p), i,,, i Bi( p, ) Satuaismuuttuja i odotusarvo o i E( ) E i E( i) p p i i i koska satuaismuuttujie summa odotusarvo o aia satuaismuuttujie odotusarvoje summa. Satuaismuuttuja i variassi o pq pq D( ) D i D( i) i i i koska riippumattomille satuaismuuttujille pätee se, että satuaismuuttujie summa variassi o satuaismuuttujie variassie summa. Biomijakauma ja otata palauttae Olkoo perusjouko S alkioide lukumäärä (S) N Muodostetaa perusjouko S alkioide osajoukko B, jossa o (B) alkiota käyttämällä alkioide poimiassa otataa takaisipaolla eli palauttae. Otata palauttae: (i) Poimitaa alkiot perusjoukosta S osajoukkoo B satuaisesti yksi kerrallaa. (ii) Palautetaa jokaie poimittu alkio ee seuraava alkio poimimista perusjoukkoo S. (iii) Oletetaa, että jokaisella perusjouko S alkiolla o jokaisessa poimiassa sama todeäköisyys /N TKK @ Ilkka Melli (6) 37
6. Diskreettejä jakaumia tulla poimituksi osajoukkoo B. Tällöi saomme, että osajoukko B muodostaa yksikertaise satuaisotokse perusjoukosta S. Otaassa takaisipaolla alkioide poimita voidaa toteuttaa käyttämällä seuraavaa arpomismeettelyä: () Paaa uuraa jokaista perusjouko S alkiota vastaava arpalippu. () Sekoitetaa uura sisältö huolellisesti. (3) Nostetaa uurasta arpalippu, jota vastaava alkio valitaa otoksee B. (4) Palautetaa ostettu arpalippu uuraa. (5) Palataa vaiheesee (), kues haluttu otoskoko o saavutettu. Huomautuksia: Perusjouko S alkioide todeäköisyys tulla poimituksi otoksee säilyy samaa poimia aikaa. Jokaisella perusjouko S samakokoisella osajoukolla o sama todeäköisyys tulla poimituksi otoksee. Sama perusjouko S alkio voi tulla poimituksi otoksee useita kertoja. Olkoo A perusjouko S osajoukko, joka alkioide lukumäärä o (A) r Tällöi todeäköisyys poimia alkio joukosta A säilyy poimia kaikissa vaiheissa samaa: Pr( A) p r N Otaassa takaisipaolla otoksee B poimittuje A tyyppiste alkioide lukumäärä o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p: Bi( p, ) Huomautus: Otataa ilma takaisipaoa eli palauttamatta tarkastellaa kappaleessa Hypergeometrie jakauma. 6.4. Geometrie jakauma Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q Oletetaa, että teemme koetoistoja kues tapahtuma A sattuu. kerra ja olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu. kerra. TKK @ Ilkka Melli (6) 38
6. Diskreettejä jakaumia Satuaismuuttuja oudattaa geometrista jakaumaa parametrilla p: Geom( p) ja se pistetodeäköisyysfuktio o Geometrise jakauma johto x f( x) Pr( x) q p, < p<, q p, x,,3, K Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia kues kiiostukse kohteea oleva tapahtuma A sattuu. kerra. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q Oletetaa, että tapahtuma A sattuu. kerra x. kokeessa. Tällöi toistokokeide tuloksea o saatu tapahtumajoo c c c c A A A K A A 4 44443 x kappaletta jossa o esi (x ) kappaletta tapahtumia A c ja tapahtuma A o joossa viimeiseä. Tämä tapahtumajoo todeäköisyys o riippumattomie tapahtumie tulosääö ojalla x qqq qp q p x L,,,3, K Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu. kerra. llä esitety mukaa x f( x) Pr( x) q p, q p, x,,3, K Fuktio f(x) määrittelee todeäköisyysjakauma, koska f( x) >, x,,3, K ja geometrise sarja summa kaava mukaa f x q p p q p p q p x x ( ) x x x Geometrise jakauma kertymäfuktio Olkoo Geom( p) O helppo ähdä (esimerkiksi täydellisellä iduktiolla), että satuaismuuttuja kertymäfuktio o jossa [ ] F( x) Pr( x) ( p) x [x] suuri kokoaisluku, joka x TKK @ Ilkka Melli (6) 39
6. Diskreettejä jakaumia Kertymäfuktio kaavasta seuraa komplemettitapahtuma todeäköisyyde kaava ojalla Pr( > x) Pr( x) F( x) ( p) x [ ] Geometrise jakauma tuusluvut Olkoo Geom( p) Odotusarvo: E( ) µ Variassi: Stadardipoikkeama: p Var( ) D ( ) σ q p Perustelu: D( ) σ q p Johdamme tässä geometrise jakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Jakauma odotusarvo ja variassi johdetaa jakauma momettiemäfuktio avulla kohdassa geometrise jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut. Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa Tästä seuraa, että xf x x p p E( ) ( ) ( ) x x x Site x x x p x p p x p p x p p ( ) E( ) ( ) ( ) ( )( ) x x x pe( ) E( ) ( p)e( ) ( ) ( )( ) x x [ ( )]( ) x x x x x p p ( p) x x x p p x p p x p TKK @ Ilkka Melli (6) 33
6. Diskreettejä jakaumia htälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa x ( p) x p o laskettu yhtee kaikki geometrise jakauma Geom(p) pistetodeäköisyydet. Site olemme saaeet yhtälö pe( ) odotusarvo E() ratkaisemiseksi, jote E( ) p Odotusarvo omiaisuudet Olkoo Geom( p) Satuaismuuttuja odotusarvo E( ) p o käätäe verraollie tapahtuma A todeäköisyytee p. Site tapahtumaa A saa odottaa keskimääri sitä kauemmi mitä pieempi o tapahtuma A todeäköisyys. Geometrise jakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää geometrise jakauma Geom(/3) pistetodeäköisyysfuktiota pisteissä ku x f( x) q p x,,, p /3, q p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) 3 p.5.4.3.. Geom(/3) 3 4 5 6 7 8 9 E() 3 TKK @ Ilkka Melli (6) 33
6. Diskreettejä jakaumia Geometrise jakauma momettiemäfuktio Geometrise jakauma ( ) Pr( ) x f x x q p < p<, q p x,,3, K momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o t t pe m ( t) E( e ) t qe Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t tx m ( t) E( e ) e f( x) x tx x e pq x t tx t x pe e q pe x t t x x t pe qe t ( qe ) Geometrise jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa geometrise jakauma Geom(p) odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: Perustelu: E( ) µ p Var( ) D ( ) σ Geometrise jakauma Geom(p) momettiemäfuktio o t pe m() t t qe q p TKK @ Ilkka Melli (6) 33
6. Diskreettejä jakaumia Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : t t t t t dm() t pe ( qe ) pe ( qe ) pe dt ( qe ) ( qe ) p t t t t t Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : d m () t pe ( qe ) pe ( qe )( qe ) pe ( + qe ) + q t t t t t t t t 4 t 3 dt ( qe ) ( qe ) p t t t Site geometrise jakauma Geom(p) odotusarvo saadaa seuraavilla kaavoilla: dm() t µ E( ) α dt p α t d m() t + q E( ) dt p t + q q σ Var( ) α α p p p µ,. mometti α ja variassi σ Geometrise jakauma uohtamisomiaisuus Olkoo Tällöi jossa ab,. Perustelu: Geom(p) Todetaa esi, että jossa c Koska ii Site Pr( a + b a) Pr( b + ) [c ] Pr( c) Pr( < c) Pr( c ) F(c ) ( p), F o geometrise jakauma kertymäfuktio ja [x] suuri kokoaisluku, joka x { a+ b} { a} Pr( a+ b ja a) Pr( a+ b) Pr( a+ b ja a) Pr( a+ b a) Pr( a) TKK @ Ilkka Melli (6) 333
6. Diskreettejä jakaumia Pr( a+ b) Pr( a) ( p) ( p) ( p) [ a+ b ] [ a ] [ b] Fb ( ) Pr( b) Pr( > b) Pr( b+ ) Site geometrisella jakaumalla o s. uohtamisomiaisuus: Se, että tapahtuma A sattumista o jouduttu odottamaa a koetoistoa, ei vaikuta todeäköisyytee joutua odottamaa b koetoistoa lisää. Tällaista uohtamisomiaisuutta kutsutaa stokastiste prosessie teoriassa Markovomiaisuudeksi. Samalaie uohtamisomiaisuus o ekspoettijakaumalla, jota voidaa pitää geometrise jakauma jatkuvaa vastieea; lisätietoja ekspoettijakaumasta: ks. lukua Jatkuvia jakaumia. 6.5. Negatiivie biomijakauma Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q Oletetaa, että teemme koetoistoja kues tapahtuma A sattuu r. kerra ja olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu r. kerra. Satuaismuuttuja oudattaa egatiivista biomijakaumaa parametrei r ja p: NegBi( r, p) ja se pistetodeäköisyysfuktio o x x r r f( x) Pr( x) q p, p, q p r < < r,,3, K; x r, r+, r+, K Negatiivise biomijakauma johto Toistetaa samaa Beroulli koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia kues kiiostukse kohteea oleva tapahtuma A sattuu r. kerra. Olkoo ja Pr(A) p Pr(A c ) p q TKK @ Ilkka Melli (6) 334
6. Diskreettejä jakaumia Määrätää todeäköisyys sille, että saadaa tapahtumajoo joka toteuttaa seuraava ehdo: ( ) tapahtuma A Olkoo Joossa o r kappaletta tapahtumia A ja (x r) kappaletta tapahtumia A c ja o joossa viimeiseä. c c AAA AA KA 4 44443 kappaletta mielivaltaie tapahtumajoo, joka toteuttaa ehdo ( ). Tämä joo todeäköisyys o riippumattomie tapahtumie tulosääö ojalla r x r ppqpqk p p q Sama todeäköisyys o jokaisella tapahtumajoolla, joka toteuttaa ehdo ( ). Erilaiset järjestykset, joihi voimme asettaa r kappaletta tapahtumia A ja (x r) kappaletta tapahtumia A c ja joissa tapahtuma A o viimeiseä, ovat tapahtumajooia toisesa poissulkevia. Site todeäköisyys saada joo, joka toteuttaa ehdo ( ), saadaa toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö mukaa laskemalla kaikkie ehdo ( ) toteuttavie jooje todeäköisyydet r x r pq yhtee. Site meidä o määrättävä kaikkie sellaiste jooje lukumäärä, jotka toteuttavat ( ). Koska tapahtuma A pitää olla joossa viimeiseä, tämä lukumäärä o sama kui iide järjestyste lukumäärä, joihi voimme asettaa (r ) kappaletta tapahtumia A ja ((x ) (r )) (x r) kappaletta tapahtumia A c. Oletetaa, että meillä o käytössä kahdelaisia objekteja, A ja A c. Lokeromalli mukaa kysytty lukumäärä saadaa selville laskemalla kaikkie iide tapoje lukumäärä, joilla (r ) kappaletta objekteja A voidaa asettaa lokerikkoo, jossa o (x ) lokeroa. Huomaa, että objektie A c paikat o määrätty heti, ku objektit A o asetettu lokerikkoo. Kysyty lukumäärä ataa biomikerroi x ( x )! ( x )! r ( r )!(( x ) ( r ))! ( r )!( x r)! Perustelu: ks. lukua Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka. Site todeäköisyys saada tapahtumajoo, jossa o r kappaletta tapahtumia A ja (x r) kappaletta tapahtumia A c ja jossa tapahtuma A o viimeiseä, o x r pq r x r Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu r. kerra. llä esitety mukaa x x r r f( x) q p, q p r r,,3, K; x r, r+, r+ K TKK @ Ilkka Melli (6) 335
6. Diskreettejä jakaumia Voidaa osoittaa, että egatiivise biomijakauma pistetodeäköisyyksie summa. Tulos seuraa biomikaava yleistyksestä egatiivisille ekspoeteille (todistus sivuutetaa). Negatiivise biomijakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: Variassi: Stadardipoikkeama: Perustelu: NegBi( r, p) r E( ) µ p Var( ) D ( ) D( ) σ σ rq p rq p Johdamme tässä egatiivise biomijakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Jakauma odotusarvo ja variassi johdetaa jakauma momettiemäfuktio avulla kohdassa Negatiivise biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut. Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa x x r E( ) xf( x) x q p x r x r r x r r p ( x )! x r x q p ( r )!( x r)! r x! q p r!( x r)! x r x r r+ q p x r x r r p x r r+ htälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa x r x r+ r p x x r r+ x x ( r+ ) r+ q p q p r r o laskettu yhtee kaikki egatiivise biomijakauma NegBi( r+, p) pistetodeäköisyydet. r TKK @ Ilkka Melli (6) 336
6. Diskreettejä jakaumia Odotusarvo omiaisuudet Olkoo NegBi( r, p) Satuaismuuttuja odotusarvo r E( ) p o suoraa verraollie tapahtuma A esiitymiste odotettuu lukumäärää r ja käätäe verraollie tapahtuma A todeäköisyytee p. Site tapahtuma A r. esiitymistä saa odottaa keskimääri sitä kauemmi mitä useampia tapahtuma A esiitymisiä odotetaa ja mitä pieempi o tapahtuma A todeäköisyys. Negatiivise biomijakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää egatiivise biomijakauma NegBi(3,/3) pistetodeäköisyysfuktiota pisteissä ku x x r f( x) q p r x 3, 4,, 6 r 3, p /3, q p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) r 9 p Negatiivise biomijakauma momettiemäfuktio Negatiivise biomijakauma r x x r r f( x) Pr( x) q p,< p<, q p r r,, 3, K; x r, r+, r+, K momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o t r t ( pe ) m ( t) E( e ) ( qe ) t r..5..5 NegBi(3, /3) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 E() 9 TKK @ Ilkka Melli (6) 337
6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t tx m ( t) E( e ) e f( x) x tx x x r r e q p x r r r+ x ( pe ) e q x r ( pe ) ( qe ) t r ( pe ) t ( qe ) t r tx x t r t r r Negatiivise biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa egatiivise biomijakauma NegBi(r, p) odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: Perustelu: r E( ) µ p Var( ) D ( ) σ Negatiivise biomijakauma NegBi(r, p) momettiemäfuktio o m t r ( pe ) () t ( qe ) t r rq p Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : dm t r pe pe qe pe r qe qe dt t r t t r t r t r t () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t r t ( qe ) t t r r( pe ) r t ( qe ) p r+ t Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t : d m () t r ( pe ) pe ( qe ) r( pe ) ( r + )( qe ) ( qe ) t r t t r+ t r t r t t r+ dt ( qe ) t t r t r pe r qe r rq ( ) ( + ) + t ( qe ) p r+ t t TKK @ Ilkka Melli (6) 338
6. Diskreettejä jakaumia Site egatiivise biomijakauma NegBi(r, p) odotusarvo µ,. mometti α ja variassi σ saadaa seuraavilla kaavoilla: dm() t r µ E( ) α dt p α t d m () t r + rq E( ) dt p t r + rq r rq Var( ) σ α α p p p Negatiivie biomijakauma ja geometrie jakauma Olkoo NegBi( r, p) jossa r Tällöi oudattaa geometrista jakaumaa parametrilla p: Geom( p) 6.6. Hypergeometrie jakauma Oletetaa, että perusjoukossa S (S) N alkioita. Olkoo A perusjouko S joki osajoukko: A S Tällöi A ja se komplemetti A c muodostavat perusjouko S ositukse: A A c S A A c Oletetaa, että joukossa A o (A) r alkiota ja joukossa A c o alkiota. (A c ) N r Poimitaa perusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, jossa o alkiota. I (B) TKK @ Ilkka Melli (6) 339
6. Diskreettejä jakaumia Perusjouko S ositus joukoiksi A ja A c idusoi jouko B ositukse joukoiksi B A ja B A c ; ks. kuvaa edellä. Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa joukkoo B poimittuje perusjouko S osajouko A (eli jouko B A) alkioide lukumäärää. Satuaismuuttuja oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrei N, r ja : HyperGeom( Nr,, ) ja se pistetodeäköisyysfuktio o r N r x x f( x) Pr( x), max[, ( N r)] x mi( r, ) N Hypergeometrise jakauma johto Oletetaa, että otosavaruudessa S o alkiota. (S) N Olkoo A joki otosavaruude S osajoukko: A S ja olkoo A c jouko A komplemetti. Tällöi joukot A ja A c muodostavat otosavaruude S ositukse: Oletetaa, että Olkoo edellee ja A A c S A A c (A) r (A c ) N r B S (B) Otosavaruude S ositus joukkoihi A ja A c idusoi jouko B ositukse joukoiksi B A ja B A c : Ks. kuvaa edellä. (B A) (B A c ) B (B A) (B A c ) TKK @ Ilkka Melli (6) 34
6. Diskreettejä jakaumia Olkoo (B A) x (B A c ) x Joukosta S (jossa o siis N alkiota) voidaa poimia alkiota osajoukkoo B N eri tavalla. Joukosta A (jossa o siis r alkiota) voidaa poimia x alkiota r x eri tavalla. Joukosta A c (jossa o siis (N r) alkiota) voidaa poimia ( x) alkiota eri tavalla. N r x Joukosta A (jossa o siis r alkiota) voidaa poimia x alkiota riippumatta siitä, mitkä ( x) alkiota poimitaa joukosta A c (jossa o siis (N r) alkiota). Site kombiatoriika kertolaskuperiaatteesta seuraa, että iide tapoje lukumäärä, joilla voidaa poimia alkiota joukosta S site, että saadaa r alkiota joukosta A ja (N r) alkiota joukosta A c o r N r x x Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa joukkoo B poimittuje perusjouko S osajouko A (eli jouko B A) alkioide lukumäärää. Soveltamalla klassise todeäköisyyde määritelmää saadaa: r N r x x f( x) Pr( x) N Voidaa osoittaa, että hypergeometrise jakauma pistetodeäköisyyksie summa (todistus sivuutetaa). Hypergeometrise jakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: HyperGeom( Nr,, ) r E( ) µ N TKK @ Ilkka Melli (6) 34
6. Diskreettejä jakaumia Variassi: Stadardipoikkeama: r r N N N N Var( ) D ( ) σ Perustelu: r r N D( ) σ N N N Johdamme tässä hypergeometrise jakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Jakauma variassi johtamie sivuutetaa. Koska ii Koska ii r r! ( r )! r x x r r x x!( r x)! ( x )!( r x)! x r N r r N r x x x x E( ) xf( x) x r x x N x N N N! N ( N )! N N!( N )! ( )!( N )! r N r r N r x x r x x r E( ) r x N N N x N N htälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa x r N r x x N o laskettu yhtee kaikki hypergeometrise jakauma HyperGeom( N, r, ) pistetodeäköisyydet. TKK @ Ilkka Melli (6) 34
6. Diskreettejä jakaumia Odotusarvo omiaisuudet Olkoo HyperGeom( Nr,, ) Satuaismuuttuja odotusarvo r E( ) N o suoraa verraollie sekä perusjoukosta S poimittava jouko B alkioide lukumäärää että perusjouko S osajouko A alkioide lukumäärää r ja käätäe verraollie perusjouko S alkioide lukumäärää N. Hypergeometrise jakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää hypergeometrise jakauma pistetodeäköisyysfuktiota pisteissä ku HyperGeom(,,) r N r x x f( x) N x,,,, N, r, Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo r E( ).4 N.4.3.. I HyperGeom(,, ) 3 4 5 6 7 8 9 E().4 Hypergeometrie jakauma ja biomijakauma Hypergeometrista jakaumaa voidaa approksimoida biomijakaumalla, jos s. otatasuhde jossa ja N N (S) perusjouko S koko (B) perusjoukosta S poimitu osajouko B koko o kylli piei. Näi o käytäössä, jos N <.5 TKK @ Ilkka Melli (6) 343
6. Diskreettejä jakaumia Olkoo ja merkitää Site ja voimme kirjoittaa: r p N r Np HyperGeom( Nr,, ) HyperGeom( N, Np, ) Huomaa, että p o todeäköisyys poimia joukkoo B alkio perusjouko S osajoukosta A, joka koko o Aetaa yt ja ii, että r (A) N + r + r p N Tällöi hypergeometrise jakauma HyperGeom( N, Np, ) pistetodeäköisyydet kovergoivat kohde biomijakauma Bi( p, ) pistetodeäköisyyksiä: lim f ( x) f ( x), x,,, K, N + HyperGeom ( NNp,, ) Bi ( p, ) Perustelu: Olkoo Tällöi HyperGeom( Nr,, ) Pr( x) r N r x x N r! ( N r)!!( N )! x!( r x)! ( x)!( N r + x)! N!! r! ( N r)! ( N )! x!( x)! ( r x)! ( N r + x)! N! TKK @ Ilkka Melli (6) 344
6. Diskreettejä jakaumia [ r( r ) L( r x+ )] [( N r)( N r ) L( N r + x+ )] x N( N ) L( N + )) r( r ) L( r x+ ) ( N r)( N r ) L( N r + x+ ) x N( N ) L( N x+ ) ( N x)( N x ) L( N x ( x) + )) r r ( x ) N r N r N r ( x ) L L r N N N N N x N N N ( x ) N x N x N x ( x ) L L N N N N N Oletetaa, että N + ja r + ii, että r p N Tällöi r i p, i,, K, x N N i, i,, K, x N N r i p, i,,, K, x N N x i, i,,, K, x N Site r N r x x x Pr( x) p ( p) N x mikä o biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyys pisteessä x. x TKK @ Ilkka Melli (6) 345
6. Diskreettejä jakaumia Hypergeometrise jakauma HyperGeom( N, Np, ) ja biomijakauma Bi( p, ) yhteys äkyy myös siiä, että jakaumilla o sama odotusarvo: ja iide variassit E( ) E( ) p HyperGeom( N, Np, ) Bi(, p) N Var( HyperGeom ( N, Np, )) p( p) N Var( ) p( p) Bi( p, ) eroavat vai multiplikatiivisella tekijällä N N jota saotaa äärellise perusjouko korjaustekijäksi. Korjaustekijä vaikuttaa hypergeometrise jakauma variassii sitä vähemmä mitä pieempi o otatasuhde /N, sillä jos N N N Hypergeometrie jakauma ja otata palauttamatta Olkoo perusjouko S alkioide lukumäärä (S) N Muodostetaa perusjouko S alkiosta osajoukko B, joka alkioide lukumäärä o (B) käyttämällä alkioide poimiassa otataa ilma takaisipaoa eli palauttamatta. Otata palauttamatta: (i) Poimitaa alkiot perusjoukosta S osajoukkoo B satuaisesti yksi kerrallaa. (ii) Ei palauteta poimittua alkiota ee seuraava alkio poimimista perusjoukkoo S. (iii) Oletetaa, että jokaisella perusjouko S jäljellä olevalla alkiolla o k. alkiota poimittaessa sama todeäköisyys /(N k +) tulla poimituksi osajoukkoo B. Tällöi saomme, että osajoukko B muodostaa yksikertaise satuaisotokse perusjoukosta S. Otaassa ilma takaisipaoa alkioide poimita voidaa toteuttaa käyttämällä seuraavaa arpomismeettelyä: () Paaa uuraa jokaista perusjouko S alkiota vastaava arpalippu. () Sekoitetaa uura sisältö huolellisesti. TKK @ Ilkka Melli (6) 346
6. Diskreettejä jakaumia (3) Nostetaa uurasta arpalippu, jota vastaava alkio valitaa otoksee B. (4) Ei palauteta ostettua arpalippu uuraa. (5) Palataa vaiheesee (3), kues haluttu otoskoko o saavutettu. Huomautuksia: Perusjouko S alkioide todeäköisyys tulla poimituksi otoksee muuttuu poimia aikaa. Jokaisella perusjouko S samakokoisella osajoukolla o sama todeäköisyys tulla poimituksi otoksee. Sama perusjouko S alkio voi tulla poimituksi otoksee vai kerra. Olkoo A perusjouko S osajoukko, joka alkioide lukumäärä o (A) r Tällöi todeäköisyys poimia yksi alkio joukosta A o Pr( A) p r N Otaassa ilma takaisipaoa otoksee B poimittuje A tyyppiste alkioide lukumäärä o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrei N, ja r: HyperGeom( Nr,, ) Huomautus: Otataa takaisipaolla eli palauttae tarkastellaa kappaleessa Biomijakauma. Otata palauttae vs otata palauttamatta Poimitaa perusjoukosta satuaisesti otos (osajoukko) arpomalla alkiot perusjoukosta otoksee yksi kerrallaa. Otokse poimita voidaa toteuttaa joko palauttae (takaisipaolla) tai palauttamatta (ilma takaisipaoa): (i) (ii) Otaassa palauttae perusjouko alkiot arvotaa otoksee yksi kerrallaa ii, että jokaie alkio palautetaa välittömästi arpomise jälkee takaisi perusjoukkoo, jolloi sama alkio voi tulla poimituksi otoksee useita kertoja. Otaassa palauttamatta alkiot arvotaa otoksee yksi kerrallaa ii, että alkiota ei palauteta arpomise jälkee takaisi perusjoukkoo, jolloi sama alkio voi tulla poimituksi otoksee vai kerra. Olkoo perusjouko S koko (S) N Tarkastellaa perusjouko S osajoukkoa A, joka koko o (A) r Poimitaa perusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, joka koko o (B) TKK @ Ilkka Melli (6) 347
6. Diskreettejä jakaumia Määritellää diskreetti satuaismuuttuja A tyyppiste alkioide lukumäärä otoksessa B Jos otos poimitaa perusjoukosta palauttae, satuaismuuttuja oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p r/n: Bi( p, ) Jos otos poimitaa perusjoukosta palauttamatta eli ilma takaisipaoa, satuaismuuttuja oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrei N, r ja : Huomautus: HyperGeom( Nr,, ) Koska hypergeometrie jakauma kovergoi kohde biomijakaumaa, ku perusjouko koo N aetaa kasvaa rajatta, ero otaa palauttae ja otaa palauttamatta välillä o merkityksetö, jos otoskoko o piei perusjouko kokoo N verrattua ja ero häviää kokoaa, jos perusjoukko o ääretö. 6.7. Poisso jakauma Toistetaa samaa satuaiskoetta ja oletetaa, että toistot ovat toisistaa riippumattomia. Tarkastellaa joki tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Oletetaa, että tapahtuma A tapahtumaitesiteetti eli tapahtuma A esiitymiste keskimääräie lukumäärä aikayksikköä kohde o λ. Määritellää diskreetti satuaismuuttuja : Tapahtuma A esiitymiste lukumäärä ajajaksoa, joka kesto o s aikayksikköä Tietyi oletuksi satuaismuuttuja oudattaa Poisso jakaumaa parametrilla λs: jossa Poisso(λs) s ajajakso pituus aikayksiköissä λ tapahtuma A esiitymiste keskimääräie lukumäärä aikayksikköä kohde ja se pistetodeäköisyysfuktio o Huomautus: λs x e ( λs) f( x) Pr( x), λ >, x,,, K x! Poisso jakauma sytyy myös sellaisessa tilateessa, jossa tarkastellaa tapahtuma A esiitymistä avaruudessa. Tällöi parametri λ kuvaa tapahtumie A esiitymiste keskimääräistä lukumäärää tilavuusyksikköä kohde ja satuaismuuttuja kuvaa tapahtuma A esiitymiste lukumäärää avaruude osa alueessa, joka koko o s tilavuusyksikköä. TKK @ Ilkka Melli (6) 348
6. Diskreettejä jakaumia Poisso jakauma johto Luoostelemme seuraavassa vai pääkohdat Poisso jakauma johdosta. Tarkastellaa joki tapahtuma A sattumista sama satuaiskokee toistoje aikaa. Oletukset: () Toistot ovat toisistaa riippumattomia. () Pr(ksi tapahtuma A lyhyellä aikavälillä ds) λds (3) Aikaväli o ds o ii lyhyt, että todeäköisyys Olkoo Pr(k kappaletta tapahtumia A aikavälillä ds, k > ) o häviävä piei eli kertaluokkaa o(s). f(x; s) Pr(x kappaletta tapahtumia A aikavälillä [, s]) Oletuste () (3) pätiessä aikavälillä [, s + ds] voi sattua x kappaletta tapahtumia A kahdella toisesa poissulkevalla tavalla (t todeäköisyys): Tapaus : x kappaletta tapahtumia A ajahetkee s meessä: t f(x; s) Ei tapahtumia A aikavälillä ds: Lisäksi ämä ovat tapahtumia toisistaa riippumattomia. t λds Tapaus : (x ) kappaletta tapahtumia A ajahetkee s meessä: t f(x ; s) ksi tapahtuma A aikavälillä ds: Lisäksi ämä ovat tapahtumia toisistaa riippumattomia. t λds Riippumattomie tapahtumie tulosääö ja toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö mukaa josta saamme erotusosamäärä Atamalla f ( x; s + ds) f ( x; s)( λds) + f ( x ; s) λds f( xs ; + ds) f( xs ; ) λ[ f( x ; s) f( x; s)] ds ds saamme (x: suhtee) differessiyhtälö O helppo ähdä, että df( xs ; ) λ[ f( x ; s) f( x; s)] ds λs x e ( λs) f( x), x,,, K x! o tämä differessiyhtälö ratkaisu. TKK @ Ilkka Melli (6) 349