ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 5 / versio 6. lokakuuta 2015
Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.6 4.11) Johteet ja eristeet Ohmin ja Joulen lait Reunaehdot Kapasitanssi Sähköstaattinen potentiaalienergia Kuvalähdeperiaate 2 (19)
Väliaineyhtälöt Yksinkertainen väliaine D = ε E J = σ E B = µ H Tyhjiössä (ja ilmassa) ε = ε 0 8.854 10 12 F/m σ = 0 S/m µ = µ 0 = 4π 10 7 H/m Oletukset väliaineesta Lineaarinen = parametrit eivät riipu kentänvoimakkuudesta Homogeeninen = parametrit eivät riipu paikasta Isotrooppinen = parametrit eivät riipu kentän suunnasta Parametrit ε, µ, σ ovat siis väliaineittain annettuja vakioita. 3 (19)
Johtavuus σ Aineet voidaan jakaa kolmeen pääluokkaan: Johde Atomien uloimmat elektronit liikkuvat helposti paikasta toiseen materiaalissa, joten varaus siirtyy helposti. Metallit ovat hyviä johteita. Esim. kuparin johtavuus σ 5.8 10 7 S/m. Eriste Aineessa ei ole lainkaan tai on niukasti vapaita elektroneja, jotka voisivat liikkua. Esimerkiksi lasi ja muovit ja ovat hyviä eristeitä: σ 10 12 S/m. Puolijohde Johteen ja eristeen välimuoto. Esimerkiksi pii ja galliumarsenidi, joiden sähköiset ominaisuudet riippuvat hyvin vahvasti seostamisesta. 4 (19)
Permittiivisyys ε ja sähköinen polarisaatio Eristeessä ei ole vapaita varauksia, mutta molekyyleilla voi olla pysyvä dipolimomentti (esim. vesi) ja toisaalta atomeille indusoituu dipolimomenti ulkoisessa sähkökentässä. Eristeaineessa väliaineyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa D = ε 0 E + P = ε 0 E + ε 0 χ e E = ε 0 (1 + χ e )E = ε 0 ε r E = εe, jossa P on mikroskooppisten dipolimomenttien aiheuttama polarisaatio ja χ e on aineen sähköinen suskeptibiliteetti. ε r = suhteellinen permittiivisyys = eristevakio Tavallisissa eristeissä 2 < ε r < 10 ja johteissa ε r 1. 5 (19)
Ohmin ja Joulen lait Ulkoinen sähkökenttä synnyttää johteeseen johtavuusvirrantiheyden J = σ E Tilavuudessa V tämä aiheuttaa tehohäviön P = E J dv V = σ V E 2 dv (Ohmin laki) (Joulen laki) Piirisuureiden avulla lausuttuna I = GV = V R, P = V I = GV 2 = RI 2 (Tasajännite ja -virta tai hetkellinen teho.) 6 (19)
Johtavuus vai permittiivisyys vai molemmat? Staattinen sähkökentänvoimakkuus E synnyttää siis sekä johtavuusvirrantiheyden J = σ E että sähkövuontiheyden D = εe. Tasavirran ylläpitäminen vaatii aina ulkopuolisen lähteen. Muulloin varaukset asettuvat johteessa tasapainotilaan, jossa johtavuusvirta on nolla. 7 (19)
Esim: Lineaarinen vastus y Olennainen huomio: J ja E ovat vakioita ja x-suuntaisia vastuksessa (miksi?). x 1 x 2 l I 1 2 I J E + V Figure 4-14 Linear resistor of cross section A and length l connected to a dc voltage source V. (Ulaby & Ravaioli, 2015) A x Vastuksen resistanssi x 1 R = V E dl I = x 2 A J ds = E xl σ E x A = l σ A. (Sähkövuontiheyttäkin on, mutta se ei oikein ole kovin kiinnostavaa tässä.) 8 (19)
Esim: Johdepallo sähkökentässä Pallo, jonka johtavuus σ on äärellinen asetetaan tasaiseen ulkoiseen sähkökenttään. Tasapainotilassa pallon pinnalle on muodostunut pintavarausjakauma, joka yhdessä ulkoisen kentän kanssa synnyttää nollakentän johteeseen. Vuoviivat ja tasapotentiaalikäyrät Johtavuudesta riippumatta pallo näyttää statiikassa ideaalijohteelta. 9 (19)
Yleiset sähköstaattiset rajapintaehdot Kahden väliaineen rajapinta, jossa pintavaraustiheys ρ s ε 1, σ 1 ρ s E tang on jatkuva n 2 (E 1 E 2 ) = 0 E 1 D 1 J 1 n 2 n 1 E 2 D 2 J 2 ε 2, σ 2 Normaalivektori osoittaa alueesta ulospäin. tang = tangentiaalikomponentti norm = normaalikomponentti J norm on jatkuva n 2 (J 1 J 2 ) = 0 D norm :n epäjatkuvuus syntyy pintavarauksesta ρ s n 2 (D 1 D 2 ) = ρ s 10 (19)
Ideaalijohteen reunaehto Ideaalieristeen ja ideaalijohteen rajapinta σ = 0 ρ s E tang häviää E n E = 0 D D = 0 σ = (J = 0 kaikkialla) n E = 0 Varaus asettuu ideaalijohteen pinnalle n D = ρ s Ideaalijohde on reunaehto sähkökentälle. (Äärellinen johtavuus riittää statiikassa, kun ei ole ulkoista lähdettä ylläpitämässä tasavirtaa.) 11 (19)
Ideaalieristeen reunaehto Johteen ja ideaalieristeen rajapinta σ > 0 n J J = 0 σ = 0 J norm häviää n J = 0 eli virta ei pääse karkaamaan johteesta. Ideaalieriste on reunaehto virrantiheydelle. 12 (19)
Kapasitanssi V + + + + + + +Q Conductor 1 + + + + E + + Q Conductor 2 Surface S Figure 4-23 A dc voltage source connected to a capacitor composed of two conducting bodies. ρ s Kondensaattorin kapasitanssin määritelmä: C = Q V Jos kenttäratkaisu on tiedossa: Q = ρ s ds = n D ds S S P 1 V = V 1 V 2 = E dl P 2 Yksittäisen johdekappaleen kapasitanssi saadaan viemällä toinen johdekappale äärettömyyteen. 13 (19)
Levykondensaattori (approksimaatio) + pinta-ala A + + + +Q + Johdelevyjen välissä on likimain vakiokenttä E = ẑ E 0 = ẑ V d, d E Samansuuntaiset johdelevyt ja välissä eristekerros. V Q jolloin ylemmän levyn varaus (alapinnalla) Q = ( ẑ) (εe) ds = εav A d C = εa d 14 (19)
Pyöreä levykondensaattori (tarkemmin) Säde a = 5 cm, eriste ε r = 2.3, d = 1 cm Potentiaaliratkaisu elementtimenetelmällä (Comsol Multiphysics 5.1)
Pyöreä levykondensaattori (tarkemmin) Sähkövuontiheys C 18.4 pf, C 0 = επa2 d 16.0 pf
Kondensaattorin energia Varataan kondensaattoria. Tällöin tehdään työ v(t) +q q C = q(t) v(t) Q Q W = v dq = 0 0 q Q2 dq = C 2C = 1 2 CV 2, missä V on lopputilan tasajännite. Varatun kondensaattorin sähköstaattinen energia on siis: W e = 1 2 CV 2 17 (19)
Sähköstaattinen energia Olkoon avaruudessa pistevaraus q 1 joka synnyttää potentiaalin V 1. Kun äärettömyydestä tuodaan toinen pistevaraus q 2 etäisyydelle R tehdään työ q 1 W e = q 2 V 1 = q 2 4πεR = q 1V 2 = 1 ( ) q2 V 1 + q 1 V 2. 2 Tämä voidaan yleistää useammalle varaukselle. Jatkumona saadaan varausjakauman ρ v kokoamiseen tarvittava työ W e = 1 ρ v V dv, 2 joka edelleen voidaan Gaussin lain, tulon derivointisäännön ja Gaussin lauseen avulla muuntaa muotoon: W e = 1 E D dv = 1 εe 2 dv 2 2 V V V 18 (19)
Kuvalähdeperiaate Perusidea: Vakiopotentiaalipinta voidaan metalloida Esim: +q +q E E V = 0 V = 0 q Sama potentiaali ja sähkökenttä johdetason yläpuolella Tason kuvalähderatkaisua kutsutaan myös peilikuvaperiaatteeksi. Joissakin tapauksissa voi peilata varauksen tai varausjakauman useammassa tasossa. 19 (19)