Fysiikan perusteet 2

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Fysiikan perusteet 2"

Transkriptio

1 Fysiikan perusteet 2 Petri Välisuo [email protected] 2. lokakuuta 2013 Sisältö 1 Sähkövaraus ja sähkökenttä Sähkövaraus ja aineen rakenne Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Coulombin laki Sähkökenttä ja sähköinen voima Sähkökentän voimaviivat Sähköinen dipoli Gaussin laki Varaus ja sähkökentän vuo Gaussin laki Gaussin lauseen sovelluksia Varaukset johteissa Sähköinen potentiaali Sähköinen potentiaalienergia Sähköinen potentiaali, eli jännite Tasapotentiaalipinnat

2 FYSI1120 Petri Välisuo 2 / Potentiaalin gradientti Kuvaputki Kenttien laskeminen tietokoneella Kapasitanssi ja eristeet Kondensaattorit ja kapasitanssi Sarjaan ja rinnan kytketyt kondensaattorit Kondensaattorin ja sähkökentän energia Eristeet Gaussin laki eristeessä Sähkövirta Resistanssi ja Sähkömotorinen voima Sähkövirta Resistiivisyys ja Resistanssi Sähkömotorinen voima ja sähköiset piirit Teho ja energia sähköisissä piireissä Tasavirtapiirit Resistanssit sarjassa ja rinnan Kirchoffin virtalaki Kirchoffin jännitelaki Theveninin teoreema Nortonin teoreema RC-Piirit Magneettikenttä ja magneettikentän voimat Magneettikenttä Magneettikentän voimaviivat ja vuo Varattujen kappaleiden liike ja magneettikenttä

3 FYSI1120 Petri Välisuo 3 / Sovelluksia Magneettikentän voima ja virrallinen johdin Virtasilmukan voima ja vääntömomentti Magneettikentän lähteet Liikkuvan varauksen magneettikenttä Sähkövirran aiheuttama magneettikenttä Samansuuntaisten virrallisten johtimien välinen voima Ympyränmuotoisen virtasilmukan magneettikenttä Amperen laki Siirtymävirta Sähkömagneettinen induktio Faradin laki Lenzin laki Liikkeestä aiheutuva sähkömotorinen voima Pyörrevirrat Maxwellin yhtälöt Induktanssi Keskinäisinduktanssi Itseinduktanssi Magneettikentän energia R L piirit LC piirit LRC sarjaankytkentä Vaihtovirta Vaihtovirran osoitinesitys

4 FYSI1120 Petri Välisuo 4 / Resistanssi ja reaktanssi LRC sarjaankytkentä Teho vaihtovirtapiirissä Resonanssi vaihtovirtapiirissä Muuntajat Sähkömagneettiset aallot Maxwellin yhtälöt ja sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Sinimuotoiset sähkömagneettiset allot Sähkömagneettisen aallon energia Seisovat sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettinen spektri Antennit

5 FYSI1120 Petri Välisuo 5 / 72 1 Sähkövaraus ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja aineen rakenne Samanmerkkiset sähkövaraukset hylkivät toisiaan, vastakkaismerkkiset vetävät toisiaan puoleensa. Atomi koostuu elektroneista protoneista ja neutroneista, elektroneilla on negatiivinen varaus ja protoneilla samansuuruinen positiivinen varaus. Protonit ja neutronit sijaitsevat atomin keskustassa, niitä pitää toisissaan vahva voima. Vahav voima estää samanmerkkisesti varautuneita protoneja työntämästä toisiaan luotaan. Elektronit kiertävät positiivisesti latautunutta ydintä, niitä pitää radallaan oman negatiivisen varauksensa ja positiivisesti varautuneen ytimen välinen sähköinen vetovoima. Atomit ovat normaalisti sähköisesti neutraaleja, eli niissä on yhtä monta elektronia kuin protoniakin. Atomit voivat kuitenkin ionisoitua, eli siitä voi poistua elektroneja tai siihen voi tullaa lisää elektroneja, jolloin syntyy positiivisia tai negatiivisia ioneja. Tärkeä perusperiaate on nettovarauksen säilymisen laki: Kaikkien suljetussa järjestelmässä olevien varauksien yhteissumma on aina vakio. Toisin sanoen varaus ei voi hävitä, eikä sitä voi syntyä tyhjästä. Protonin tai elektronin varaus (ns. alkeisvaraus) on pienin varauksen yksikkö. Kaikki varaukset ovat alkeisvarauksen monikertoja. 1.2 Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Materiaalia, joka pystyy kuljettamaan varauksia (johtamaan sähköä) kutsutaan johteeksi. Materiaalia joka ei pysty kuljettamaan varauksia (ei johda sähköä) kutsutaan eristeeksi. Monet metallit ovat johteita ja epämetallit eristeitä. Metallisidoksessa elektronit pääsevät liikkumaan ja kuljettamaan mukanaan sähkövarausta.

6 FYSI1120 Petri Välisuo 6 / 72 Epämetallien sidosten elektronit ovat sidottuja, eivätkä pääse kuljettamaan varausta. Puolijohteet ovat eristeiden ja metallien välimaastossa, niiden sidoksissa on joko vähän ylimääräisiä elektroneja, jotka pääsevät liikkumaan (N tyypin puolijohde) tai vähän liian vähän elektroneja, jolloin elektronien vajauksen muodostamat aukot voivat kuljettaa varausta (P tyypin puolijohde) Johdekappale voidaan varata, koskettamalla sitä toisella varatulla johteella, jolloin elektronit virtaavat kappaleesta toiseen, saaden äsken neutraalinkin kappaleen varautumaan. Kun johteen lähelle tuodaan sähkövaraus, se indusoituu, eli johteen elektronit pyrkivät siirtymään positiivisen varauksen suuntaan tai poispäin negatiivisesta varauksesta. Indusoidun johteen kummallekkin puolelle tulee varaus, toiselle positiivinen ja toiselle negatiivinen. Jos varaus johdetaan pois johteen siltä puolelta, jossa ei ole indusoivaa varausta, johde varautuu. Jos eristeen lähelle tuodaan varaus, senkin alkeisvaraukset voivat siirtyä jonkin verran, joten sen reunat varautuvat. Sanotaan että eriste polarisoituu. Polarisaation ja induktion vaikutuksesta varattu kappale vetää puoleensa myös varaamattomia johteita ja eristeitä. 1.3 Coulombin laki Coulombin laki määrittelee pistevarausten välisen suuruuden. Pistevarauksella tarkoitetaan varattua kappaletta, jonka halkaisia on häviävän pieni verrattuna tarkasteluetäisyyteen r. Coulomb havaitsi, että kahden varauksen välinen voimavaikutus on kääntäen verrannollinen niiden välisen etäisyyden neliöön. Hän havaitsi myös että voimavaikutus on suoraan verrannollinen varausten tuloon. Varauksen yksikkö on Coulomb (1 C). Sen vastaa noin alkeisvarausta. Vastaavasti alkeisvaraus e = C (1.1) Merkitään varauksia symboleilla q 1 ja q 2, ja niiden välinen etäisyys olkoon r. Tällöin niiden välisen voiman suuruus saadaan Coulombin lain mukaan kaavasta: F = k q 1q 2 r 2 (1.2)

7 FYSI1120 Petri Välisuo 7 / 72, missä k on vakiokerroin, ns. Coulombin vakio. Mittauksilla sen suuruuden on havaittu olevan k = Nm 2 /C Nm 2 /C 2 (1.3) Coulombin vakio voidaan määrittää ja ilmaista myös valon nopeuden avulla, jolloin: k = (10 7 Ns 2 /C 2 )c 2 (1.4), missä c = m/s on valon nopeus tyhjössä. Monissa laskuissa k on kätevämpi esittää muodossa 1/(4πε 0 ), missä ε 0 on tyhjön permittiivisyys: ε 0 = C 2 /(Nm 2 ) (1.5) Tällöin Coulombin laki saa muodon F = 1 4πε 0 q 1 q 2 r 2 (1.6) Vaikka Coulombin laki käsitteleekin periaatteessa vain kahden varauksen vuorovaikutusta, sitä voidaan käyttää myös laskettaessa useampien pistevarausten keskinäisiä voimavaikutuksia. Tällöin tarkastellaan jokaista varausparia erikseen. Kokonaisvoima on varausparien välisten voimien vektorisumma. 1.4 Sähkökenttä ja sähköinen voima Pistevaraus synnyttää ympärilleen sähkökentän. Kentän voimakkuus voidaan selvittää sijoittamalla kenttään testivaraus q 0, johon kohdistuvan voiman avulla voidaan selvittää kentän voimakkuus. Sähkökentän voimakkuus määritellään olevan testivaraukseen kohdistuvan voiman suuruus jaettuna varauksen suuruudella, eri: E = F 0 q 0 (1.7) Sähkökenttän on vektorisuure, jonka suunta on sama kuin positiiviseen testivaraukseen kohdistuvan voiman suuruus.

8 FYSI1120 Petri Välisuo 8 / 72 Voima F 0 voidaan ilmoittaa Coulombin lain avulla. Sijoitetaan F:n lauseke kaavasta (1.6). Merkitään q 1 = q on varaus joka aiheuttaa sähkökentän, ja q 2 = q 0 on testivaraus. Tällöin saadaan pistevarauksen aihettamalle sähkökentälle lauseke: E = F q 0 = 1 4πε 0 q r 2 (1.8) Merkitään kentän synnyttävän varauksen q ja testivarauksen q 0 välistä vektoria symbolilla r. r:n suuntainen yksikkövektori saadaan jakamalla vektori omalla pituudellaan: ˆr = r r (1.9) Tällöin pistevarauksen sähkökenttä voidaan suuntineen kirjoittaa muodossa: E = 1 q ˆr (1.10) 4πε 0 r2 Usean pistevarauksen testivaraukseen aiheuttama resultanttivoima voidaan laskea pistevarausten aiheuttamien voimien vektorisummana: F 0 = F 1 + F 2 + F 3 + = q 0 E 1 + q 0 E 2 + q 0 E 3 + (1.11) Usean pistevarauksen yhdessä aiheuttama sähkökenttä saadaan siten: E = F 0 q 0 = E 1 + E 2 + E 3 + (1.12) Eli siis yhteussähkökenttäkin saadaan yksittäisten sähkökenttien vektorisummana. 1.5 Sähkökentän voimaviivat Sähkökentän voimaviiva (kenttäviiva) on kuviteltu viiva tai kaari, joka on piirretty siten että se on joka pisteessä siinä pisteessä olevan sähkökentän suuntainen. Positiivinen testivaraus, joka tiputetaan voimaviivalle, lähtisi liikkumaan voimaviivaa pitkin. Tämän vuoksi voimaviivat kulkevat siis aina poispäin positiivisesta varauksesta. Huomaa kuitenkin että jos levossa oleva varaus laitetaan sähkökenttään ja päästetään liikkeelle, se liikkuu vain aluksi voimaviivaa pitkin, mutta voi myöhemmin inertian vaikutuksesta poiketa voimaviivalta. Voimaviivojen välinen etäisyys viittaa kentänvoimakkuuteen. Siellä missä viivat ovat tiheässä, kenttä on voimakkaampi kuin siellä missä viivat ovat harvemmassa.

9 FYSI1120 Petri Välisuo 9 / 72 Kenttällä ei voi olla samassa pisteessä muuta kuin yksi suunta, joten voimaviivat eivät voi koskaan leikkata toisiaan. Tasaisessa (uniform) kentässä voimaviivat ovat yhdensuuntaisia ja ne ovat jakautuneet tasavälein. 1.6 Sähköinen dipoli Sähköinen dipoli koostuu kahdesta samansuuruisesta, mutta vastakkaismerkkisestä pistevarauksesta (q ja q), jotka on kiinnitetty toisiinsa etäisyydelle d. Dipoli käsitettä käytetään mm. antennien suunnittelussa, ja monet molekyylit muodostavat niinikään sähköisen dipolin. Koska dipolin varaukset ovat yhtäsuuret ja vastakkaismerkkiset, tasaisen sähkökentän siihen kohdistama nettovoima on aina nolla. Sen sijaan, varauksiin kohdistuvat voimat voivat aiheuttaa dipoliin vääntömomentin. Jos dipoli sijoitetaan sähkökenttään, niin että sähkökentän voimaviivojen ja dipolin välinen kulma on φ, niin silloin dipoliin kohdistuvat voimat ovat F + = F = q E (1.13) Näiden voimien aiheuttaman vääntömomentin suuruus on τ = τ + + τ = qe d 2 sin(φ) + qe d sin(φ) = (qe)(d sin(φ)) (1.14) 2 Tekijää p = qd (1.15) sanotaan dipolimomentiksi. Diplimomentti ei siis riipu sähkökentästä, eikä siitä mihin asentoon dipoli on sijoitettu, vaan ainoastaan dipolin fyysisestä rakenteesta. Kun dipolimomentin lauseke sijoitetaan dipolin vääntömomentin kaavaan (1.14), tulee vääntömomentin suuruuden lausekkeeksi: τ = pe sin(φ) (1.16) Dipolimomentille p on määritetty myös suunta. Vektori p osoittaa dipolin negatiivisesta varauksesta suoraan kohti dipolin positiivista varausta. Koska sähkökenttä

10 FYSI1120 Petri Välisuo 10 / 72 E on myös vektorisuure, niin sen dipoliin kohdistaman vääntömomentin suuruus ja suunta voidaan ilmoittaa myös dipolimomenttivektorin ja sähkökenttävektorin ristitulona: τ = p E (1.17) Ristitulon x y suuruushan on xysinφ, jossa φ on vektoreiden x ja y välinen kulma, ja x ja y kuvaavat vastaavien vektoreiden pituuksia. Ristitulon suunnan saa selville tutulla kolmen sormen säännöllä: Osoitetaan peukalolla ensimmäisen tulon tekijän ( x) suuntaan ja etusormella toisen tulon tekijän ( y) suuntaan. Silloin keskisormi osoittaa ristitulon suuntaan. Jos laittaa käden nyrkkiin ja nostaa peukalon pystyyn τ:n suuntaisesti, niin muut sormet osoittavat suunnan, johon dipoli pyrkii kääntymään vääntömomentin τ vaikutuksesta. Kun sähkökentön dipoliin kohdistama vääntömomentti kääntää dipolia, se tekee työtä, joka muuttaa dipolin potentiaalia. Häviävän pieni työmäärä dw saa dipolin kääntymään äärettömän pienen kulman dφ verran. Vääntömomentin tekemä työ on silloin dw = τdφ. Koska vääntömomentti vaikuttaa vastakkaiseen suuntaan kuin kulma φ muuttuu, niin τ = pe sinφ. Tällöin dw = pe sinφ dφ. Kokonaistyö joka tehdään, kun dipolia käännetään kulmasta φ 1 kulmaan φ 2 saadaan integroimalla: W = φ2 φ 1 ( pe sinφ)dφ = pe cosφ 2 pe cosφ 1 (1.18) Työ on potentiaalin muutoksen vastaluku, joten W = U 1 U 2. Valitaan potentiaalin nollatasoksi dipolin asento φ = φ 2 ja merkitään φ = φ 1. Tällöin dipolin potentiaalienergia tasaisessa sähkökentässä voidaan esittää muodossa: U(φ) = pe cosφ (1.19) Tämä lauseke taas voidaan esittää dipolimomentti ja sähkökenttävektoreiden skalaaritulona: U(φ) = p E (1.20) Skalaaritulon tulos on nimensä mukaisesti skalaari, eli sillä ei ole suuntaa. Potentiaali ei siis ole vektorisuure. Potentiaalin U minikohta on φ = 0, eli silloin kun dipoli on sähkökenttien voimaviivojen kanssa samansuuntainen. Maksimissaan potentiaali taas on silloin kun dipoli on kohtisuorassa voimaviivoja vastaan.

11 FYSI1120 Petri Välisuo 11 / 72 2 Gaussin laki 2.1 Varaus ja sähkökentän vuo Gaussin laki määrittelee suhteen suljetun pinnan läpi kulkevan sähkökentän vuon ja pinnan sisään jäävän varauksen välille. Sähkökentällä, E tarkoitetaan sähkökentän kokonaismäärää, eli kuvaannollisesti puhuen sähkökentän voimaviivojen määrää. Sähkövuon tiheydellä, D, tarkoitetaan taas sitä kuinka tiheässä voimaviivat ovat tietyllä alueella. Sähkövuon tiheys riippuu sähkökentän voimakkuudesta ja väliaineen ominaisuuksista seuraavasti: D = ε r ε 0 E [ D] = C/m 2 (2.1) Sähkökentän vuolla tarkoitetaan tietyn pinnan S läpi kulkevan sähkökentän E määrää. Pintavektorilla S tarkoitetaan vektoria, jonka suuruus on pinta ala S ja suunta on pinnan normaalin suunta. Pinnan normaali on suora, joka on kohtisuorassa pintaa vasten. Jos n on pinnan normaalin suuntainen yksikkövektori, niin silloin: S = S n [ S] = m 2 (2.2) Jos pinta S on kohtisuorassa tasaiseen sähkökenttään E nähden, niin silloin sähkökentän vuo kyseisen pinnan läpi: Ψ = DS = εes [Ψ] = C (2.3) Jos pinta on vinossa sähkökenttään E nähden, kulman φ verran, niin silloin sähkökentän vuo pinnan läpi saadaan selville projisoimalla pinta S sähkökenttää vasten kohtisuoralle tasolle, ja laskemalla sähkökentän vuo tämän projisoidun tason läpi, jolloin: Ψ = DScos(φ) (2.4) Toinen tapa kuvata ylläolevat kaavat on sähkökentän tiheysvektorin ja pintavektorin pistetulo: Ψ = D S (2.5) Huom! Monissa kirjoissa, kuten Youngin University Physics kirjassakin, sähkövuo esitetään muodossa: Φ E = E S = Ψ/ε [Φ E ] = CVm/As (2.6)

12 FYSI1120 Petri Välisuo 12 / 72 Tämä esitysmuoto ei ole ISO standardin mukainen ISO standarin mukaan sähkövuo määritellään yhtälön (2.5) mukaisesti, ja tämä esitysmuoto on siksi suositeltava, ja sitä käytetään tässä materiaalissa. Jos sähkökenttä ei ole tasainen, tai pinta S ei ole taso, vaan epämääräisempi, silloin vuon suuruus saadaan integroimalla. Jaetaan pinta S häviävän pieniin osiin ds. Koska nämä osat ovat äärettömän pieniä, niiden voidaan kuvitella olevan tasoja ja sähkökentän voidaan olettaa olevan vakio niin pienellä alueella. Tällöin niiden läpi kulkevan vuon suuruus on D d S tai E cosφ ds. Koko pinnan S kulkeva vuo saadaan siten summaamalla erillisten osasten läpi kulkeva vuo, eli: Ψ = Dcosφ ds = D d S (2.7) Jos alue ympäröidään kokonaan kuvitellulla suljetulla pinnalla, ja selvitetään pinnan läpi kulkeva vuo, saadaan selville pinnan rajoittamalta suljetulta alueelta lähtevän nettovuon suuruus. Jos alueelta lähtevän nettovuon suuruus on nolla, ei alueen sisällä voi olla varauksia. Eli varaukset ovat sähkövuon lähteitä. Sähkökentän voimaviivat lähtevät positiivesta varauksesta, ja päätyvät negatiiviseen varaukseen. Jos alueella ei ole positiivisia eikä negatiivisia varauksia, sinne ei tule eikä sieltä lähde voimaviivoja. Alueen ulkopuolella olevien varauksien voimaviivat voivat lävistää aluetta ympäröivän kuvitellun pinnan, mutta ne vain menevät toiselta puolelta sisään, ja toiselta ulos aiheuttamatta nettovuota. 2.2 Gaussin laki Gaussin laki ja Coulombin laki esittävät itse asiassa saman asian: Varausten ja sähkökentän välisen suhteen, mutta eri suunnalta ongelmaa lähestyen. Sijoitetaan koordinaatiston origoon pistevaraus q. Ympäröidään sitten pistevaraus kuvitteellisella origokeskisellä pallolla, jonka säde on R. Sähkökenttä missä tahansa kohdassa pallon pintaa on: E = 1 4πε 0 q R 2 (2.8) Vastaavasti sähkövuon tiheys: D = ε 0 E = 1 q 4π R 2 (2.9) Sähkökentän suunta on aina kohtisuoraan pallon pintaa vastaan. Kun nyt pallon pinta jaetaan äärettömän pieniin osiin ds, joiden voidaan ajatella olevan tasoja,

13 FYSI1120 Petri Välisuo 13 / 72 niin näiden tasojen läpi kulkevan magneettivuon suuruus on yksinkertaisesti E ds. Kokonaisvuo on siten: Ψ = D S = D ds = 1 q 4π R 2 (4πR2 ) = q (2.10) 1 Sähkökenttä voitiin siirtää integroinnin ulkopuolelle, sillä se oli sama pinnan jokaisessa kohdassa. Kun integroimalla summataan pelkkiä suljetun pinnan osia, on tuloksena tultava pinnan kokonaispinta ala. Tuloksesta nähdään, että sähkövuon suuruus ei riipu valitusta pallon säteestä, vaan ainoastaan pallon sisään jäävän varauksen määrästä. Toisin sanoen pinnan sisään jäävä varaus on pinnan lävistävän nettovuon lähde. Jos varausta ei ole, ei ole nettovuotakaan, ja jos varaus pysyy vakiona, pinnan lävistää aina sama vuo, riippumatta siitä minkä mallinen pinta on tai minkä kokoisen tilavuuden se sulkee sisäänsä. Näin ollen voimme sulkea alueen minkä tahansa mallisella kuvitellulla suljetulla pinnalla, laskea pinnan lävistävän nettovuon integroimalla, ja saada siten selville pinnan sisään jäävän sähkövarauksen suruus. Kaava pätee myös silloin, kun pinnan sisään jää useita pistevarauksia. Tulos voidaan yleistää Gaussin lauseeksi: Ψ = D d S = Q encl (2.11) S, jossa Q encl on pinnan sisäänsä sulkeman (enclosed) varauksen kokonaismäärä. 2.3 Gaussin lauseen sovelluksia Gaussin laki on voimassa kaikille varausjakaumille, ja kaikkille mahdollisille kuvitelluille suljetuille pinnoille. Sovelletaan sitä varattuun johdekappaleeseen. Johteessa varauksen kuljettajat pääsevät liikkumaan vapaasti. Kun johde varataan, sinne tulee joko positiivinen, tai negatiivinen varausylimäärä. Varatunkaan johteen sisällä ei kuitenkaan ole sähkökenttää, sillä jos siellä olisi, niin varauksenkuljettajat liikkuisivat niin kauan, että kenttä kumoutuisi. Ympärödään nyt kappaleen keskusta kuvitteellisella pinnalla, niin että pinta kulkee koko ajan johteen sisällä. Nettovuon tämän pinnan läpi on oltava nolla, koska johteessa ei ole sähkökenttää, joten termi D d S on koko ajan nolla. Tästä seuraa Gaussin lain 1 Rengas integraalimerkin ympärillä, ja alaindeksi S=surface muistuttavat siitä, että ollaan integroimassa suljetun pinnan yli.

14 FYSI1120 Petri Välisuo 14 / 72 mukaan, että myös pinnan sulkeman alueen sisään jäävän varauksen on pakko olla nolla. Tämä tulos pätee kaikilla johteen sisällä olevilla alueilla. Jos siis kaikkialla johteen sisällä nettovaraus on nolla, niin varausylimäärän on pakko sijaita kokonaisuudessan johteen pinnalla. 2.4 Varaukset johteissa Edellinen tulos pätee myös, vaikka johdekappale olisi keskeltä ontto. Oletetaan esimerkiksi, että onton johdepallon sisällä olevassa eristeessä on varaus q e. Johteessa itsessään on varaus q j. Sijoitamme nyt Gaussin pinnan pallon sisään, niin että se sijaitsee kokonaan johteessa. Taaskin johteessa sähkökenttä on nolla, joten pinnan läpi ei kulje sähkökenttää. Tämän vuoksi gaussin pinnan sulkemalla alueella ei voi olla nettovarausta. Koska pallon sisään jäävässä eristeessä oli varaus q e, on pinnan sisäänsä sulkeman johteen osan sisällettävä varaus q e, jotta nettovaraus olisi nolla. Ja koska johteessa varaus on aina johteen pinnalla, niin voimme päätellä että johdepallon sisäpinnalla on varaus q e ja ulkopinnalle olevan varauksen suuruudeksi jää siis q j q e. Jos pallon sisällä ei ole varausta, ja se asetetaan sähkökenttään, niin varauksen kuljettajat johteessa siirtyvät johteen reunoille niin, että ne kumoavat ulkoisen sähkökentän. Tämän vuoksi johdepallon ulkopuolella oleva sähkökenttä ei vaikuta onton johdepallon sisäpuolella. Tähän perustuu sähkömagneettiseen suojaukseen käytetty ns. Faradayn häkki: Suojattava kohde ympäröivään johdemateriaalista tehdyllä häkillä. Auton kori toimii Faradayn häkkinä salaman iskiessä, suojaten sisäpuolta sähkökentältä. Gausiin laista seuraavia muita mielenkiintoisia ilmiöitä Kun johtavan astian sisään lasketaan varattu johdekappale, ja sillä koskettaa astian pohjaa, menettää pohjaan laskettu kappale varauksensa kokonaan, koska se on tavallaan johteessa kulkevan gaussin pinnan sisällä, ei se voi jäädä varatuksi. Van de Graaff generaattori on johdepallo, josta tulee johdin pallon keskustaan. Kun tähän pallon keskustassa olevan johtimen päähän tuodaan varauksia, ne siirtyvät välittömästi pallon kehälle, vaikka pallo olisi jo ennestäänkin voimakkaasti varattu. Näin voidaan kehittää hyvin suuri jännite. Gaussin lauseen avulla voidaan laskea myös sähkökenttä välittömästi johteen pinnan ulkopuolella. Kuvitellaan matala sylinterimäinen Gaussin pinta (tabletti), jonka toinen pääty sijaitsee johteessa ja toinen pääty johteen ulkopuolella. Johteen pinnalla on pintavaraustiheys σ (C/m 2 ). Johteen pinnan tuntumassa sähkökenttä

15 FYSI1120 Petri Välisuo 15 / 72 on kohtisuora pintaa vasten, sillä jos sillä olisi myös pinnan suuntainen komponentti, pinnassa olevat varaukset siirtyisivät, niin että komponentti kumoutuisi. Koska sähkökenttä on kohtisuora pintaa vasten, ei se läpäise sylinterin sivuseinämiä lainkaan, vaan ainoastaan sen päädyt. Siten sähkövuon suuruus sylinterimäisen Gaussin pinnan läpi saadaan tässä tapauksessa laskemalla päiden läpi kulkevat sähkövuot yhteen. Sylinterin toinen pääty on johteessa, joten sen läpi ei kulje sähkövuota. Olkoon sähkökenttä pinnan tuntumasa E. Tällöin johteen ulkopuolella olevan päädyn läpi kulkeva sähkövuo: Ψ = DS = ε 0 ES, jonka pitää Gaussin lain mukaan vastata sylinterin sisäänsä sulkeman varauksen määrää, joten: DS = ε 0 ES = σs (2.12), josta saadaan ε 0 S:lla jakamalla: E = σ ε 0 (2.13), jossa siis E on pintaa vasten kohtisuoran sähkökentän suuruus, σ on pintavaraustiheys ja ε 0 on tyhjön permittiivisyys. 3 Sähköinen potentiaali 3.1 Sähköinen potentiaalienergia Työ, potentiaalienergia ja energian säilymisperiaate ovat hyödyllisiä käsitteistä niin mekaniikassa kuin sähkötekniikassakin. Sähkökentän potentiaali on hyvin samanlainen kuin gravitaatiokentänkin potentiaali. Kun varausta siirretään sähkökentässä (tai massaa gravitaatiokentässä), niin silloin varausta siirtävä voima F tekee kappaleelle työn W. Työ on tunnetusti voima kerrottuna matkalla, ja se saadaan laskettua viivaintegraalilla: W a b = b a F d l = b a F cosφ dl (3.1), jossa dl on äärettömän lyhyt pätkä kappaleen kulkemaa kaarta pitkin. φ on voiman ja kappaleen kulkuradan differentiaalin dl välinen kulma. Jos kappale kulkee suoraa pitkin matkan d ja voima F pysyy vakiona, niin silloin yllä oleva integraali yksinkertaistuu: b W a b = F cosφ dl = Fd cosφ (3.2) a

16 FYSI1120 Petri Välisuo 16 / 72 Sellaista voimakenttää, jonka kappaleelle tekemä työ riippuu vain kappaleen kulkureitin päätepisteistä, mutta ei ollenkaan siitä mitä reittiä sinne kuljettiin, kutsutaan konservatiiviseksi (conservative), eli pyörteettömäksi kentäksi. Tietyssä pisteessä a, konservatiivisessa kentässä olevalle kappaleelle voidaan määrittää potentiaalienergia U a. Jos vastaavasti kappale sijaitsisi kentän toisessa pisteessä b, sen potentiaalienergia olisi U b. Jos kappale halutaan siirtää pisteestä a pisteeseen b, sen potentiaalienergiataso muuttuu määrän U b U a. Siirtämiseen tarvittavan työn määrä on W a b = U b U a. Jos kappaleen energiataso on suurempi pisteessä b, niin silloin työ W on positiivinen, jos se taas on suurempi pistessä a, niin silloin työ on negatiivinen. Potentiaali tasaisessa sähkökentässä Tasaisessa sähkökentässä työ, joka pitää tehdä siirrettäessä varaus q matkan d a b voimaviivoja pitkin: W a b = Fd = q 0 Ed (3.3) Voimme määritellä lähtöpisteen potentiaalienergian nollatasoksi, jolloin siirroksen jälkeen varauksen sähköinen potentiaalienergia: U b = U a +W a b = W a b = q 0 Ed (3.4) Potentiaali kasvaa, jos varaus liikkuu sähkökentän siihen kohdistamaa voimaa vastaan, ja pienenee, jos varaus liikkuu sähkökentän voiman kanssa samaan suuntaan. Kahden pistevarauksen potentiaalienergia Sähköinen potentiaalienergia voidaan laajentaa myös pelkän tasaisen kentän sijasta mihin tahansa sähkökenttään. Mikä tahansa staattinen sähkökenttä voidaan esittää pistevarausten aiheuttaman kentän summana. Tarkastellaan ensin yksittäisen pistevarauksen aiheuttamaa kenttää, jossa toinen varaus liikkuu säteittäisesti, pisteestä a pisteeseen b. Tällöin tarvittava työ on (voima Coulombin laista): rb rb 1 qq 0 W a b = F r dr = r a r a 4πε 0 r 2 dr = qq ( ) (3.5) 4πε 0 r a r b

17 FYSI1120 Petri Välisuo 17 / 72 Jos varaus ei liiku säteittäisesti, vaan mielivaltaista reittiä l, niin silloin siirtymiseen tarvittava työmäärä saadaan kaavasta: W a b = b a F cosφ dl = rb 1 qq 0 cosφ dl (3.6) r a 4πε 0 r2 Työmäärä riippuu kuitenkin ainoastaan dl:n säteittäisestä komponentista dr. Siksi aikaisempi kaava (3.5) käy tässäkin tapauksessa. Koska työmäärä riippuu vain siitä, kuinka kauaksi pistevarauksesta testivaraus viedään, niin tämäkin sähkökenttä on konservatiivinen. Tällekkin kentälle voidaan siis määrittää potentiaalienergia, joka on: U = 1 qq 0 4πε 0 r (3.7),missä q 0 on testivaraus, q on kentän aiheuttavan pistevarauksen varaus ja r on varausten välinen etäisyys. Jos kentän aiheuttavia pistevarauksia on useampia, saadaan niiden yhteisvaikutus selville selville summaamalla niiden erikseen aiheuttamat potentiaalitasot aritmeettisesti yhteen: U = q 0 4πε 0 ( q1 r 1 + q 2 r 2 + q 3 r 3 + ) = q 0 q i 4πε 0 (3.8) i r i 3.2 Sähköinen potentiaali, eli jännite Potentiaali on potentiaalienergia yksikkövarausta kohti. Tällöin pistevarauksen aiheuttama potentiaali: V = U q = 1 q 4πε 0 r (3.9) Potentiaalienergia saadaan potentiaalista: U = qv (3.10) Potentiaalin, eli jännitteen yksikkö on voltti (1 V). Jos sähkökentän aiheuttaa useamman pistevarauksen jakauma, niin niiden kokonaisvaikutus saadaan laskemalla niiden erikseen aiheuttamien potentiaalien aritmeettinen summa: V = 1 q i 4πε 0 (3.11) i r i

18 FYSI1120 Petri Välisuo 18 / 72 Tai jos potentiaalin aiheuttaa varausjakauma, niin: V = 1 1 dq (3.12) 4πε 0 r Jos sähkökenttä tunnetaan jo, niin potentiaali saadaan siitä seuraavasti: U = U a U b = V a q V b q = V a V b = b a b a q E d l (3.13) E d l = b a E cosφ dl (3.14) Jos sähkökenttä E ja siirros l ovat samansuuntaisia, niin silloin V = El. Potentiaalin yksikkö on sähkökentän yksikkö kertaa pituusyksikkö. Sähkökentän yksikköhän on Newtonia per Coulombi (N/C), joten potentiaalin yksikkö on Newtonmetriä per Coulombi (Nm/C) tai voltti (V ). Tällöin tietysti sähkökenttä voidaan myös ilmaista yksikkönä volttia per metri (V /m). Sähkökentän potentiaalienergia ilmaistaan yleensä Jouleina (J = kg m/s 2 ), mutta kun puhutaan hyvin pienien varausten energiasta, on kätevämpi käyttää yksikkö elektronivoltti (ev ). Elektronivoltti on yhden alkeisvarauksen potentiaalienergia paikassa, jossa potentiaali on yksi voltti. 1 ev = J. Potentiaali vähenee, kun siirrytään positiivisen varauksen kohdistuvan voiman suuntaisesti, eli sähkökentän suuntaisesti. 3.3 Tasapotentiaalipinnat Tasapotentiaalipinta on taso, jolla potentiaali on vakio. Tasapotentiaalikäyrä vastaa maastokartan korkeuskäyriä. Kartan korkeuskäyrää pitkin kuljettaessa, ollaan koko ajan samalla korkeudella. Samalla tavalla tasapotentiaalipinnalla ollaan koko ajan samassa potentiaalissa. Maastokartan korkeuskäyrät ovat tiheimmässä siellä, missä maaston korkeus muuttuu jyrkimmin. Samoin tasapotentiaalipinnat ovat tiheimmässä siellä, missä potentiaali muuttuu jyrkimmin. Mikään piste ei voi olla yhtäaikaa kahdessa eri potentiaalissa, joten tasapotentiaalipinnat eivät koskaan leikkaa toisiaan. Kun liikutaan pitkin tasapotentiaalipintaa, jolloin potentiaali pysyy vakiona, niin varauksen energiataso ei muutu. Sähkökentän varaukseen kohdistama voima ei siis tee työtä. Koska W = qel cos φ, niin varauksen liikesuunnan ja sähkökentän

19 FYSI1120 Petri Välisuo 19 / 72 on oltava toisiaan vastaan kohtisuorassa, jolloin cos φ = 0. Tästä voimme päätellä, että tasapotentiaalipinnat ja sähkökenttä ovat aina toisiaan vastaan kohtisuorassa. Johteen pinnassa sähkökenttä on aina kohtisuorassa johdetta vastaan, joten Johteen pinta on aina tasapotentiaalipinta. 3.4 Potentiaalin gradientti Aikaisemmin laskimme potentiaalin kun tunsimme sähkökentän. Nyt muodostamme sähkökentän lausekkeen, kun tunnemme potentiaalin. Potentiaalin muutos pisteiden a ja b välillä, sähkökentän E vaikutuksessa on aikaisemman mukaan: V a V b = b a E d l (3.15) Kun jaetaan potentiaalin muutos äärettömiin pieniin osiin dv, voimme kirjoittaa: V a V b = a b b dv = dv = a b a E d l (3.16) Ja aina kun siirrymme äärettömän pienen matkan dl, potentiaali muuttuu määrän dv = E d l (3.17) Tästä lausekkeesta voisi nyt saada potentiaalin V ratkaistua, mutta sähkökentän ja siirtymävektorin pistetulo hankaloittavat ratkaisua. Puretaan pistetulo osiin, hajoittamalla vektorit komponentteihinsa. E = îe x + ĵe y + ˆkE z (3.18), samoin d l = îdx + ĵdy + ˆkdz (3.19) Laskemalla nyt pistetulo komponenteittain, saamme lausekkeen (3.17) muotoon: dv = E x dx + E y dy + E z dz (3.20) Jos olettaisimme, että d l muuttuisi vain x:n suhteen, niin silloin yhtälö (3.20) saa muodon dv = E x dx. Ja merkiksi siitä, että oletimme d l:n muuttuvan vain

20 FYSI1120 Petri Välisuo 20 / 72 x:n suhteen, vaikka se oikeasti on sekä x:n y:n että z:n suhteen, niin merkitään se käyttäen osittaisderivaattamerkintää V = E x x. Tästä lausekkeesta voimme nyt ratkaista E x :n: E x = V / x. Samalla tavoin voidaan ratkaista sähkökentän kaikki komponentit, jolloin saame yhtälön: ( E = î V x + ĵ V y + ˆk V ) (3.21) z Tulos voidaan esittää erityisen derivaattaoperaattorin ja potentiaalin pistetulona. Määritellään: = î x + ĵ y + ˆk z (3.22) Operaattoria sanotaan nabla:ksi. Tässä materiaalissa, nablasta on jätetty pois vektorimerkki, vaikka se oikeastaan onkin vektori, koska sekaantumiseen vaaraa ei ole. Sähkökentän lauseke voidaan nyt merkitä lyhyesti: E = V (3.23) Huomaa, että potentiaali V on skalaari, ja nabla on vektori. Kun skalaarifunktio kerrotaan nablalla, sanotaan että lasketaan skalaarifunktion gradientti. Ja nyt siis sähkökenttä on potentiaalin gradientin vastaluku. Gradientti tarkoittaa skalaarikentän muutosnopeutta. Eli potentiaali muuttuu nopeiten sähkökentän voimaviivojen suunnassa, jonne gradientti osoittaa. Koska sähkökenttä on gradientin vastaluku, niin sähkökenttä osoittaa siihen suuntaan jossa gradientti pienenee nopeiten. 3.5 Kuvaputki Kuvaputken katodilta irrotetaan elektroneja kuumentamalla. Sitten elektronit kiihdytetään sähkökentällä, ja ne ohjataan kuvaputken pinnalle, jossa ne vapauttavat energiansa ja saavat aikaan valoa. Elektroneja kiihdyttävä sähkökenttä aikaansadaan sijoittamalla sopivan etäisyyden päähän katodista ontto anodi, jonka läpi elektronien annetaan kulkea. Jännite ero anodin ja katodin välillä on tyypillisesti luokkaa V k = 20 kv. Lasketaan aluksi kuinka suureksi elektronien nopeus kiihtyy, jos ne lähtevät aluksi paikaltaan. Koska sähkökenttä on konservatiivinen, elektronin kineettisen ener-

21 FYSI1120 Petri Välisuo 21 / 72 gian ja potentiaalienergian summa säilyy: K a +U a = K b +U b (3.24a) 0 + ev a = 1 2 mv2 + ev b (3.24b) mv 2 x = 2e(V b V a ) (3.24c) 2eVk v x = (3.24d) m = 19 C V (3.24e) kg = m/s (3.24f) Ennenkuin elektronit törmäävät kuvaputkeen, ne poikkeutetaan sähkö tai magneettikentällä sopivasti sivuun, jotta elektronisuihkulla voidaan pyyhkäistä kuvaruutua. Oskilloskoopissa poikkeutus tehdään sähkökentällä. Sähkökenttä saadaan aikaiseksi sijoittamalla kuvaputkeen kaksi jondelevyä, joiden väliin saadaan tasainen sähkökenttä, joka kohdistaa elektroneihin poikkeuttavan voiman, jonka suuruus F = ee. Tällöin elektronin sivutaiskiihtyvyys on a y = ee/m. Jos poikkeutuslevyjen välinen jännite on V p, ja niiden välinen etäisyys on d, niin silloin sähkökentän suuruus E = V k /d, joten kiihtyvyyden lauseke saa muodon: a y = ev p md (3.25) Jos nyt poikkeutuslevyjen leveys on L, niin elektronien kulkuaika levyjen muodostaman kentän vaikutusalueella t = L/v x. Tällöin poikittaissuuntaiseksi nopeudeksi muodostuu: v y = a y t = ev p L (3.26) md v x Poikkeutuslevyt kääntävät elektronien kulkusuunnan, niin että elektronisuihku jatkaa kulkuaan vinosti alkuperäiseen kulkusuuntaansa nähden. Suihkun poikkeutuskulman θ suuruus saadaan kaavasta: tanθ = v y v x (3.27) Jos elektronisuihkun poikkeama kuvaruudun keskipisteestä on y, ja poikkeutuslevyjen etäisyys kuvaruudusta on D, niin silloin pätee myös: tanθ = y D (3.28)

22 FYSI1120 Petri Välisuo 22 / 72, jolloin on oltava v y v x = y D y = Dv y v x = D a yt v x = D ev pl mdv 2 x (3.29) Sijoittamalla tähän pitkittäisen nopeuden lauseke, saadaan: y = D ev pl m 2 = D ev plm = V p LD md 2eV k 2mdeV k V k 2d (3.30) Tästä nähdään, että elektronisuihkun osumispiste kuvaruudulla poikkeaa kuvaruudun keskipisteessä matkan, joka on suoraan verrannollinen poikkeuttavan sähkökentän voimakkuuteen. Tällä tavalla esimerkiksi oskilloskoopilla voidaan näyttää jännitteen vaihtelu kuvaputkella. 3.6 Kenttien laskeminen tietokoneella Monesti sähkökenttiä lasketaan monimutkaisissa tapauksissa tietokoneella. Laskettava alue jaetaan pieniin osiin, ja kentän voimakkuus lasketaan erikseen jokaisella pienellä alueella tai pienessä tilavuudessa. Laskennassa voi käyttää apuna taulukkolaskentaohjelmia, tai koodata itse jollain ohjelmointikielellä. Erilaiset matematiikkaohjelmat ovat kuitenkin ehkä vielä parempia tähän tarkoitukseen. Matlab 2 on eräs suosittu matematiikkaohjelma numeeriseen laskentaan. Siitä on lisenssejä myös yliopistolla. Kotona kannattaa käyttää vapaata Octavea 3, joka on toiminnaltaan Matlab:ia vastaava. 4 Kapasitanssi ja eristeet Kondensaattori on laite, joka talletaa energiaa sähkökentän muodossa. Kondensaattorin voi tehdä esimerkiksi sijoittamalla kaksi johdelevyä lähelle toisiaan, niin että ne eivät kuitenkaan koske toisiinsa. Kun niihin sitten johtaa jännitteen, niin niiden levyyn mudostuu sähkökenttä, johon sitoiutuu energiaa. Kondensaattorin varauskykyä sanotaan kapasitanssiksi

23 FYSI1120 Petri Välisuo 23 / Kondensaattorit ja kapasitanssi Mikä tahansa kahden lähekkäin olevan, toisistaan eristetyn johteen (esim lähekkäin olevat levyt) kokonaisuus muodostaa kondensaattorin. Kun johteisiin kytketään jännitelähde, siirtää se varauksia toisesta johteesta toiseen johteeseen, sanotaan että kondensaattori varautuu. Varatun kondensaattorin toiseen johteeseen tulee varaus +Q, jolloin toisessa johteessa on oltava varaus Q, mikäli kondensaattori oli aluksi sähköisesti neutraali. Kondensaattorin johteiden välillä on nyt jännite ero V. Kondensaattorin varauksen määrä kasvaa, jos jännitettä kasvatetaan, mutta varauksen ja jännitteen suhde on vakio. Tätä suhdetta kutsutaan kondensaattorin kapasitanssiksi. C = Q V [C] = C/V = F (4.1) Kapasitanssin yksikkö on Coulombia per voltti (C/V ) eli Faradi (F) Tyhjiössä olevan kahdesta johdelevystä muodostetun levykondensaattorin levyjen väliin muodostuu varattaessa sähkökenttä. Kentän suuruus on Gaussin lain mukaan E = σ ε 0 = Q ε 0 S Jolloin levyjen välinen jännite ero on: (4.2) V = Ed = 1 ε 0 Qd S (4.3) Jolloin tyhjiössä olevan levykondensaattorin kapasitanssii siis on C = Q V = ε S 0 d (4.4) 4.2 Sarjaan ja rinnan kytketyt kondensaattorit Jos useampia kondensaattoreja kytketään sarjaan (peräkkäin), niin niistä jokainen varutuu yhtä suurella varauksella Q. Kytketään esimerkiksi kondensaattorit C 1 ja C 2 sarjaan, ja niiden yli kytketään jännite V. Molemmat kondensaattorit varautuvat, jännitteen V vaikutuksesta. Oletetaan että jännitelähteen plus napa on kytketty

24 FYSI1120 Petri Välisuo 24 / 72 kondensaattorin C 1 toiseen napaan. C 1 :n positiivinen napa varautuu näin varauksella Q. Tällöin C 1:n toinen napa varautuu varaukseen Q. Koska C 1 :n negatiivisempi napa on kytketty ainoastaan C 2 :n napaan, pitää varauksen tulla sieltä. Eli C 2 :n C 1 :een kytketty napa varautuu varaukseen +Q ja vastaavasti sen negatiivinen napa varaukseen Q. Molempien kondensaattorien varaukset ovat siis samat, kun kondensaattorit on kytketty sarjaan. Sen sijaan niiden yli vaikuttavat jännitteet V 1 = Q/C 1 ja V 2 = Q/C 2 voivat olla erisuuria. Jännitteiden suuruudet saadaan kun merkitään kondensaattorien yli olevien jännitteiden summan tulee olla V : V = Q C tot = Q C 1 + Q C 2 (4.5) Josta saadaan kytkennän kokonaiskapasitanssin lauseke Q:lla jakamalla: 1 C tot = 1 C C 2 (4.6) Jos kondensaattoreita on enemmän kuin kaksi, niin täsmälleen samalla logiikalla saadaan: 1 1 = C tot (4.7) i C i Vastaavasti kaikien rinnankytkettyjen kondensaattorien yli vaikuttaa sama jännite, mutta niihin voi varautua erisuuruinen varaus. Tällöin kokonaiskapasitanssi saadaan varausten avulla: Q tot = C tot V = C 1 V +C 2 V (4.8) Josta saadaan V:llä jakamalla C tot = C 1 +C 2, joka on yleisessä tapauksessa: C tot = C i (4.9) i Kaikkien pelkästään kondensaattoreita sisältävät kytkennät voidaan laskusääntöjen (4.9) ja (4.7) avulla korvata yhdellä vastaavalla kapasitanssilla (equivalent capasitance). 4.3 Kondensaattorin ja sähkökentän energia Kondensaattorin tärkein ominaisuus on sen kyky tallettaa energiaa. Kondensaattoriin sitoutuneen potentiaalienergian määrä saadaan selville laskemalla kuinka paljon työtä varauksettoman kondensaattorin varaamiseksi tarvitaan.

25 FYSI1120 Petri Välisuo 25 / 72 Työn differentiaali voidaan määrittää helposti: dw = vdq = q dq (4.10) C Tällöin työ saadaan integroimalla W = W 0 dw = 1 C Q 0 q dq = Q2 2C (4.11) Tämä voidaan ilmoittaa myös muodoissa: W = Q2 2C = 1 2 CV 2 = 1 QV (4.12) 2,missä W on sähköinen potentiaalienergia. Tästä saadaan vastaavasti sähkökentän energiatiheys w levyjen välissä: w = E 1 p Ad = 2 CV 2 Ad (4.13), missä w on sähkökentän potentiaalienergia tilavuusyksikköä kohti, eli kentän energiatiheys. Ja koska kapasitanssi C = ε 0 A d, niin yllä oleva kaava saadaan muotoon: w = 4.4 Eristeet 1 2 ε 0AV 2 Ad 2 = 1 2 ε V 2 0 d 2 = 1 2 ε 0E 2 (4.14) Monissa kondensaattoreissa käytetään johdelevyjen välissä eristeettä. Eristeen tarkoitus on estää levyjä koskettamasta toisiaan. Sen lisäksi eriste parantaa kondensaattorin läpilyöntilujuutta ja kasvattaa kondensaattorin kapasitanssia. Kapasitanssin kasvaminen johtuu eristeen polarisoitumisesta. Olkoon ilma/tyhjiöeristeiden kondensaattorin kapasitanssi C 0. Kun ilma/tyhjiö korvataan eristeellä, sen kapasitanssi kasvaa, ja on suuruudeltaan C. Suhdetta C/C 0 kutsutaan eristemateriaalin suhteelliseksi permittiivisyydeksi ε r. Eristeiden suhtellinen permittiivisyys ε r on aina ykköstä suurempi. Tyhjiölle se on tasan 1, ja ilmalle hyvin lähellä ykköstä PVC muoville ε r = 3.18 ja lasille 5 10.

26 FYSI1120 Petri Välisuo 26 / 72 Suhteellinen permittiivisyys kertoo kuinka suuri on aineen permittiiviisyys tyhjiöön verrattuna. Aineen permittiivisyys saadaan siten kertomalla suhteellinen permittiivisyys tyhjön perimittiivisyydellä, eli: ε = ε r ε 0 (4.15) Jos kondensaattorin levyjen väliin laitetaan eriste, sen kapasitanssi C = ε r C 0 = ε r ε 0 A d (4.16) Jos varatun tyhjiöeristeisen kondensaattorin varaus pidetään vakiona Q, ja sen levyjen välinen tyhjiö korvataan eristeellä, jonka suhteellinen permittiivisyys on ε r, niin sen jännite muuttuu arvosta V 0 = Q/C 0 arvoon V = Q/(ε r C 0 ). Eli siis V = V 0 /ε r. Tällöin myös eristeessä oleva sähkökenttä muuttuu arvosta E 0 = V 0 /d arvoon E = E 0 /ε r. Koska sähkökenttä heikkenee, pitää kondensaattorin pintavarauksen olla nyt pienempi, tai oikeastaan se ei muutu, mutta eristeen pinta varautuu vastakkaismerkkisesti polarisaation seurauksena. Eristeen sisällehän ei syntynyt nettovarausalueita sen polarisoituessa, mutta sen pinnat varautuivat. Gaussin lain avulla johdimme aiemmin, että sähkökentän voimakkuus pintavaraustiheyden läheisyydessä on E 0 = σ/ε 0. Sitä heikentää nyt eristeen pintavaraustiheys σ i. Tällöin kokonaissähkökentän voimakkuus: E = σ σ i ε 0 (4.17) Koska E = E 0 /ε r, niin saamme ) σ i = σ (1 1εr (4.18) Tämä kaava osoittaa, että eristeen suhteellisen permittiivisyyden ollessa hyvin iso, sen polarisoitumisen aiheuttama sähkökenttä miltei kumoaa ulkoisen sähkökentän. Käyttäen yllolevia sähkökentän ja jännitteen kaavoja tyhjössä ja eristeessä, voimme helposti korjata kapaistanssin ja sähkökentän energian lausekkeet: C = ε r C 0 = ε r ε 0 A d = εa d (4.19) w = 1 2 ε rε 0 E 2 = 1 2 εe2 (4.20)

27 FYSI1120 Petri Välisuo 27 / Gaussin laki eristeessä Kun muodostamme gaussin pinnan, niin että se sulkee sisäänsä eristeen ja johteen rajapinnan, se voi sisältää rajapinnalla olevan johteen indusoitumisesta ja eristeen polarisaatiosta aiheutuvan nettovarauksen Q encl. Tämän varauksen suuruus Q e ncl = (σ σ i )S. Tällöin sähkövuon tiheyden eristeessä on Gaussin lain mukaan oltava D = σ σ i (4.21) Tällöin sähkökentän voimakkuus: E = D ε 0 = σ σ i ε 0 (4.22) Koska σ i = σ(1 1/ε r ), niin: jolloin ES = σs ε r ε 0 (4.23) DS = ε 0 ε r ES = σs (4.24) Tällöin D d S = Q encl,free (4.25) Huomaa että yhtälö on täysin sama, kuin aikaisemmin esitetty yhtälö (2.11). Ainoa ero on siinä, että sähkövuon tiheydellä, D, on eri arvo eristeessä kuin tyhjiössä. Kaavassa Q encl,free tarkoittaa gaussin pinnan sulkemaa vapaan varauksen määrää, eli siis sen varauksen määrää, joka sijaitsee johteessa (= Sσ). 5 Sähkövirta Resistanssi ja Sähkömotorinen voima Sähköpiireissä sähkövirta kuljettaa sähkökentän energiaa jännite tai virtalähteestä laitteelle, joka tallettaa energian, tai muuttaa sen toiseen muotoon.

28 FYSI1120 Petri Välisuo 28 / Sähkövirta Sähkövirralla tarkoitetaan varausten siirtymistä paikasta toiseen. Staattisessa tilanteessa, johteessa ei ole sähkökenttää, joten siellä ei ole myöskään nettosähkövirtaa. Kun johteen yli vaikuttaa vakiona pysyvä sähkökenttä E, se kohdistaa voiman johteessa oleviin varauksiin, ja ne alkavat liikkua. Syntyy sähkövirtaa. Yksittäisiin varauksiin kohdistuu sähkökentän voima F = q E, joten varaus on kiihtyvässä liikkeessä. Kun sen nopeus kasvaa, se alkaa kuitenkin törmäillä johteen atomeihin, joten sen vaihtaa suuntaansa ja poukkoilee sinne tänne. Sähkökenttä pitää kuitenkin huolen siitä, että varaukset kuitenkin pikkuhiljaa ajautuvat enemmän eteenpäin kuin taakseppäin johteessa. Tätä varauksen hidasta nettoetenemisnopeutta nimitetään ajautumisnopeudeksi (drift velocity), ja sitä merkitään symbolilla v d. Ajautumisnopeus on usein vain millimetrin osia sekunnissa. Virtaa voivat kuljettaa sekä positiiviset, että negatiiviset varaukset. Metallissa virtaa kuljettavat negatiiviset elektronit. Virran suunnaksi on sovittu sama kuin sähkökentän suunta, vaikka esimerkiksi metallissa, varauksen kuljettajat kulkevat päinvastaiseen suuntaan, koska ne ovat negatiivisesti varautuneita. Sähkövirran suruudeksi on sovittu nettovarauksen kulkumäärä aikayksikössä, eli: I = dq dt (5.1) Virran yksikkö on Coulombia sekunnissa (C/s) eli Ampeeri (A). Virran suuruus on riippuvainen varausten kuljettajien määrästä ja niiden ajautumisnopeudesta. Olkoon johteessa n varauksenkuljettajaa tilavuusyksikköä kohti. Kaikki varauksenkuljettajat liikkuvat nopeudella v d. Tällöin aikadifferentiaalin dt aikana varauksenkuljettajat liikkuvat matkan v d dt. Jos virta kulkee johdossa, jonka poikkipinta ala on A, niin ajassa dt johdon poikkileikkauksen läpi kulkee nv d dta varauksenkuljettajaa. Tällöin poikkileikkauksen läpi kulkeva varaus: dq = q(nv d dta), jossa q on varauksenkuljettajan varauksen suuruus. Virran suuruus on silloin: I = dq = nqv d A (5.2) dt Virran voimakkuutta poikkipinta alaa kohti kutsutaan virrantiheydeksi: J = I A = nqv d (5.3) Jos varaukset ovat negatiivisia, niin myös niiden ajautumisnopeus v d on negatiivinen. Joten virran suunta ei riipu varausten etumerkistä.

29 FYSI1120 Petri Välisuo 29 / 72 Virrantiheys voidaan määrittää myös vektorina: J = nq v d (5.4) Virrantiheys J on aina samansuuntainen kuin sähkökenttä, riippumatta varausten etumerkistä. 5.2 Resistiivisyys ja Resistanssi Johteissa virrantiheys on (lähes) suoraan verrannollinen sähkökenttään. Sähkökentän voimakkuuden suhde virrantiheyteen on siis materiaalikohtainen vakio, ja sitä kutsutaan resistiivisyydeksi eli ominaisvastukseksi: ρ = E J (5.5) Tätä sääntöä kutsutaan Ohmin laiksi. Resistiivisyyden yksikkö on V m/a. Resistiivisyyden käänteislukua kutsutaan johtavuudeksi. Kaikkilla materiaaleilla sähkökentän ja virrantiheyden suhde ei ole vakio. Tällaisia materiaaleja sanotaan ei ohmisiksi, koska ohmin laki ei ole niillä voimassa. Resistiivisyys riippuu myös materiaalin lämpötilasta. Metallien resistiivisyys kasvaa lähes aina lämpötilan kasvaessa, hiilellä taas resistiivisyys pienenee sen lämmetessä. Jos lämötilan muutokset eivät ole kovin isoja ( 100 ), voidaan resistiivisyyden riippuvuutta lämpötilasta mallintaa resistiivisyyden lämpötilariippuvuudella α. Tällöin: ρ(t ) = ρ 0 (1 + α(t T 0 )) (5.6) Resistiivisyyden kaavasta (5.5) voidaan ratkaista sähkökenttä, jolloin saamme: E = ρ J (5.7) Olkoon johdon pituus L ja poikkipinta ala A. Johdon päiden yli vaikuttaa jännite V, jolloin sähkökenttä E = V /L. Johdossa kulkee virrantiheys J. Jännitteen V ja virran I = JA välillä vallitsee yhtälö: V I = EL JA = E L J A = ρ L A (5.8)

30 FYSI1120 Petri Välisuo 30 / 72 Termiä ρl/a kutsutaan aineen resistanssiksi: R = ρ L A (5.9) Resistanssi on siis ohmisen materiaalin yli vaikuttavan jännitteen ja siinä kulkevan virran suhde: R = V I (5.10) Resistanssin yksikkö on Volttia per Ampeeri eli Ohmi (Ω). Resistanssin käänteislukua kutsutaan johtokyvyksi eli konduktanssiksi G = 1 R (5.11) 5.3 Sähkömotorinen voima ja sähköiset piirit Vakiovirta voi kulkea vain suljetussa virtapiirissä. Mutten varauksenkuljettajat kasutuisivat yhteen kohtaan. Suljetussa vitapiirissä pitää olla jännitelähde, joka nostaa varauksenkuljettajat korkeampaan potentiaaliin, jotta ne voivat virrata sähköisen piirin läpi. Vaikutusta joka nostaa varauksenkuljettajat matalasta potentiaalista korkeampaan kutsutaan sähkömotoriseksi voimaksi (smv). Ideaalinen jännitelähde aiheuttaa smv:n ylläpitämällä vakiojännite eroa napojensa välillä. Kun jännitelähteen, jonka smv on V, napoihin kytketään resistanssi R, alkaa resistanssissa kulkea virta I = V /R. Resistanssissa tapahtuu jännitehäviö, jonka suuruus on virta kertaa resistanssi IR. Tämä on yhtäsuuri, kuin jännitelähteen smv. Eli kun varauksenkuljettajat kulkevat tämän piirikytkennän läpi, niinden potentiaali ensin nousee jännitelähteessä V volttia ja sitten se laskee resistanssi takaisin alkuperäiselle tasolle, ja sitten varaus lähtee uudelle kierrokselle. Todelliset jännitelähteet eivät ole ideaalisia, vaan niissä on sisäistä resistanssia. Tätä voidaan mallintaa lisäämällä aikaisempaan kytkentään toisen resistanssin r, joka kuvastaa jännitelähteen sisäistä resistanssia. Tällöin jännitelähteen napajännite sitä kuormitettaessa virralla I saadaan kaavasta: V = E Ir (5.12) Todellinen jännitelähde ei siis pysty pitämään napajännitettään vakiona kuormituksesta riippumatta, vaan sen jännite laskee, kun kuormitus kasvaa.

31 FYSI1120 Petri Välisuo 31 / 72 Kun nyt tämän todellisen jännitelähteen napoihin kytketään resistanssi R, vaikuttaa sen yli nyt vain jännite V = E Ir, joten siinä kulkeva virta on: I = V R = E Ir R (5.13) Tästä saadaan ratkaistua virta, kertomalla molemmat puolet R:llä, siirtämällä I:n sisältämät termit samalle puolelle, ja jakamalla yhteisellä tekijällä, jolloin: I = E R + r (5.14) Sähköpiirien virtoja ja jännitteitä ratkaistaessa voidaan sovelta potentiaaliin liittyvää kätevää sääntöä. Kun kuljetaan suljetun piirin ympäri ja palataan takaisin lähtöpisteeseen, niin tullaan takaisin samaan potentiaaliin. Tämän vuoksi silmukkaa kuljettaessa kohdattujen smv:n ja vastuksissa aiheutuvien jännitehäviöiden summien oltava aina nolla. Eli edellisessä kytkennässä E Ir IR = 0, josta saadaan helposti ratkaistua virta. Ja kun virta tunnetaan, voidaan helposti laskea jännitelähteen sisäisessä resistanssissa aiheutuva jännitehäviö: Ir, ja siten jännitelähteen napajännite. 5.4 Teho ja energia sähköisissä piireissä Oletetaan että varaukset kulkevat resistanssin R läpi, kun sen yli vaikuttaa jännite V ab ja sen läpi kulkee virta I. Jännite eron tekemä työ: W = FL = EqL = V ab q, jossa L on matka, jonka varaus joutuu kulkemaan päästäkseen resistanssin läpi. Teho on aikayksikköä tehty työ, joten P = dw dt = V abdq dt = V ab I (5.15) Resistanssissa lämmöksi muuttuva teho on siten P = V ab I = I 2 R = V ab2 R (5.16) Vastaavasti, jännitelähteen luovuttama teho: P = V ab I = (E Ir)I = EI I 2 r (5.17) Suljetussa piirissä jännite ja virtalähteet luovuttavat yhtä paljon tehoa kuin resistansseissa kulutetaan.

32 FYSI1120 Petri Välisuo 32 / 72 6 Tasavirtapiirit 6.1 Resistanssit sarjassa ja rinnan R 1 R 1 R 2 R 2 a) b) Kuva 1: Vastusten a) sarjaankytkentä ja b) rinnankytkentä Sarjaankytkettyjen resistanssien yhteisvaikutus saadaan kaavalla R tot = R 1 + R 2 + R 3 + = R i (6.1) i Rinnankytkettyjen resistanssien yhteisvaikutus saadaan taas: 1 = = R tot R 1 R 2 R 3 (6.2) i R i 6.2 Kirchoffin virtalaki Kirchoffin virtalain mukaan solmupisteeseen tulevien ja siitä lähtevien virtojen summa on nolla: I i = 0 (6.3) i Kuvassa (2) on esitetty solmupisteeseen, A, tulevat ja siitä lähtevät virrat nuolilla: I 1, I 2 ja I 3. Virtojen suuntia ei tiedetä ennen kuin piiri on ratkaistu, mutta kuvaan niille voidaan valita jo jokin suunta. Mikäli suunta valittiin väärin, saadaan piiriä ratkaistaessa virralle negatiivinen arvo. Tällöin tiedetään, että virta kulkeekin oikeasti päinvastaiseen suntaan kuin mitä aluksi arveltiin. Tärkeää on kuitenkin pysyä koko piirin ratkaisun ajan päätöksessään virran sunnasta. Kuvan kytkentään voidaan soveltaa Kirchoffin virtalakia pisteeseen A, ja kirjoittaa: +I 1 I 2 I 3 = 0 I 1 = I 2 + I 3 (6.4)

33 FYSI1120 Petri Välisuo 33 / 72 R 1 A I 1 I 3 I 2 R 3 V 1 R 2 V 2 Kuva 2: Kirchoffin virtalaki Yhtälöä voidaan hyödyntää sähköpiirejä ratkaistaessa. 6.3 Kirchoffin jännitelaki U 1 U 3 R 1 R 3 V 1 V 1 A R 2 U 2 B V 2 V 2 Kuva 3: Kirchoffin jännitelaki. Kirchoffin jännitelain mukaan, kuljettessa sähköpiirissä minkä tahansa reitin kautta takaisin lähtöpisteeseen, niin reitin varrella yhteenlaskettujen jännitehäviöiden ja sähkömotoristen voimien summa on nolla. V i = 0 (6.5) i Esimerkiksi kuljettaessa kuvassa (3), vasemman alakulman maadoitetusta solmupisteestä, silmukan A kautta takaisin alkupisteeseen, saadaan yhtälö: +V 1 U 1 U 2 = 0 (6.6)

34 FYSI1120 Petri Välisuo 34 / 72 Samalla tavoin saadaan toinen yhtälö, kuljettaessa piirin oikeasta alakulmasta myötäpäivään silmukan B kautta takaisin lähtöpisteeseen: +U1 U3 V 2 = 0 (6.7) Jännitteitä kuvaavat nuolet osoittavat aina korkeammasta potentiaalista matalampaan. Kun komponentin yli kuljetaan jännitenuolen suunnassa, potentiaali laskee. Kun taas nuolta vastaan kuljettaessa potentiaali nousee. Potentiaalin laskiessa, komponentin yli oleva jännite huomioidaan negatiivisena ja potentiaalin noustessa positiivisena. Komponentin R2 kohdalla ei voida tietää ennen piirin ratkaisemista, kumpaan suuntaan potentiaali muuttuu. Sillä ei kuitenkaan ole väliä, sillä jos kuvan mukainen suunta on väärin päin, tuloksena saadaan U2:lle negatiivinen arvo, joka tarkoittaa että jännitteen suunta olikin kuvassa väärin valittu. 6.4 Theveninin teoreema Mikä tahansa jännite- ja virtalähteistä sekä vastuksista koottu kytkentä voidaan korvata yhden jännitelähteen ja yhden resistanssin sarjaankytkennällä valitun tarkastelupisteen suhteen. R th V th Kuva 4: Theveninin teoreema Ekvivalenttikytkennän jännitelähteen V th suuruus saadaan mittaamalla tutkittavan piirin tyhjäkäyntijännite, V 0, ja resistanssin R th suuruus mittaamalla virta I 0 alkuperäisen kytkennän oikosulkutilanteessa. Tällöin: ja V th = V 0 (6.8) R th = V th I 0 (6.9)

35 FYSI1120 Petri Välisuo 35 / Nortonin teoreema Mikä tahansa jännite- ja virtalähteistä sekä vastuksista koottu kytkentä voidaan korvata yhden virtalähteen ja yhden resistanssin rinnankytkennällä valitun tarkastelupisteen suhteen. J n R n Kuva 5: Nortonin teoreema Ekvivalenttikytkennän virtalähteen I n suuruus saadaan oikosulkukokeen avulla, ja resistanssin R n suuruus mittaamalla alkuperäisen kytkennän tyhjäkäyntijännite V 0. Tällöin: I n = I 0 (6.10) R n = V o I n (6.11) 6.6 RC-Piirit Kondensaattoreista, vastuksista ja jännitelähteistä muodostettuja piirejä. Esimerkiksi kondensaattorin varaaminen tai purkaminen resistanssin läpi. Virta ja jännite muuttuvat exponentiaalisesti. Aikavakio τ = RC, määrittää virran muutoksen nopeuden. Kondensaattorin varaaminen resistanssin läpi i = dq dt = E R e t/rc = I 0 e t/rc (6.12),missä i on kondensaattoriin kulkevan virran suuruus, kun varaava lähdejännite E pysyy vakiona. C on varattavan kondensaattorin kapasitanssi, ja R on resistanssi,

36 FYSI1120 Petri Välisuo 36 / 72 S 1 R 1 V C (t = 0) V v C (t) V C (t = τ) V 1 C 1 τ t Kuva 6: Kondensaattorin varaaminen jonka läpi varattava virta syötetään. e:n eksponentissa olevaa termiä RC kutsutaan piirin aikavakioksi τ. Ajan t = τ kuluttua lataava virta on pudonnut alkuperäisestä arvostaan 1/e kertaiseksi. Kondensaattorin varaus latauksen aikana on: q = CE(1 e t/rc = Q f (1 e t/rc ) (6.13) Aikavakion τ kuluttua, kondensaattori on varautunut arvoon: Q f (1 1/e) 0.63Q f. Kun kondensaattori C vastaavasti puretaan vastuksen R läpi, niin ylläolevat kaavat saavat muodon: i = dq dt = Q 0 RC e t/rc (6.14) ja varauksen kaava q = Q 0 e t/rc (6.15) 7 Magneettikenttä ja magneettikentän voimat 7.1 Magneettikenttä Magneettikentän voi aiheuttaa kestomagneetti tai sähkömagneetti. Magneetilla on pohjoispää (N=North) ja eteläpää (S=South). Paikallaan oleva varausjakauma aiheuttaa sähkökentän. Liikkuva varaus aiheuttaa lisäksi ympärilleen magneettikentän.

37 FYSI1120 Petri Välisuo 37 / 72 Magneettikenttä kohdistaa voiman liikkuvaan varaukseen. Voimavaikutuksen suuruus on suoraan verrannollinen varauksen suuruuteen. Kuten sähkökenttä, myös magneettikenttä on vektorisuure, sitä merkitään B Magneettikentän suunta on se, johon kompassin pohjoisneula osoittaa. Magneettikentän liikkuvaan varaukseen kohdistama voima on suoraan verrannollinen varauksen suuruuteen ja kentän voimakkuutteen kuten sähkökentänkin tapauksessa, mutta lisäksi myös varauksen nopeuteen. Magneettikenttä ei kohdista voimavaikutusta paikallaan olevaan varaukseen. Varaukseen kohdistuvan voiman suunta on eri kuin magneettikentän suunta. Tässä kappaleessa käsitellään sähkökentän varaukseen aiheuttamaa voimavaikutusta, mutta ei vielä sähkökentän mudostumista. Magneettikentän B, nopeudella v liikkuvaan varaukseen q kohdistama voima on: F = q v B (7.1) Voiman suunnan saa selville tutulla oikean käden säännöllä: Osoitetaan oikean käden etusormella varauksen liikkumasuuntaan ja etusormella magneettikentän suuntaan. Tällöin saman käden peukalo osoittaa varaukseen kohdistuvan voiman suuntaan. Voimavaikutuksen suuruuden voi laskea myös kaavalla: F = qvbsin(φ) (7.2), jossa φ on varauksen liikesuunnan ja kentän suunnan välinen kulma. Magneettikentän yksikkön on Tesla (T ). 1 T = 1 N/Am. Jos varaukseen vaikuttaa sekä sähkökenttä että magneettikenttä, niin silloin varaukseen vaikuttavien voimien resultantti saadaan erillisten voimien vektorisummana: F = q( E + v B) (7.3)

38 FYSI1120 Petri Välisuo 38 / Magneettikentän voimaviivat ja vuo Magneettikentän voimaviivat (tai kenttäviivat) osoittavat magneettikentän suunnan. Edelleen voimaviivat osoittavat siihen suuntaan, johon kompassineula kyseisessä paikassa osoittaisi. Magneettivuo Φ B määritellään samoin kuin sähkövuokin. Tasaista magneettikentää vasten kohtisuorassa olevan pinnan läpäisevä magneettivuo saadaan kertomalla magneettikentän voimakkuudella pinta ala. Jos pinta ei ole kohtisuorassa magneettikentää vasten, niin silloin vuon suuruus saadaan kaavasta: Φ B = B S = BScos(φ) (7.4) Yleisessä tapauksessa, jossa pinta ei ole tasainen tai magneettikenttä ei pysy vakiona, magneettivuon suuruus saadaan integroimalla: Φ B = B d S = B cos(φ)ds (7.5) Magneettivuon yksikkö on Weber (Wb). 1 Wb = 1 T /m 2 = 1 Nm/A. Sähkökentän lähteenä toimivat varaukset. Sen takia Gaussin lain mukaan, sähkökentän vuo suljetun pinnan läpi on yhtä suuri, kuin pinnnan sisään jäävät kentän lähteet, eli varaukset. Mutta magneettikentän luo aina magneetti, jossa on sekä pohjois että eteläpää. Tämän vuoksi magneettikentän nettolähde on aina nolla, jolloin magneettikentän nettovuo suljetun pinnan läpi on aina nolla. Siksi Gaussin lause saa magneettikentän osalta muodon: B d S = 0 (7.6) Siis kaikki suljettuun pinnan sisään tulevat kenttäviivat lähtevät myös sieltä ulos. Lisäksi magneettikentän kenttäviivat ovat aina suljettuja silmukoita. Ne eivät siis koskaan pääty eivätkä ala mistään. Magneettivuo saadaan kertomalla magneettivuo alueen pinta alalla. Jos magneettivuo tunnetaan, niin siitä voidaan voidaan laskea magneettikenttä kaavalla: B = dφ B ds (7.7) Tämän vuoksi magneettikentän voimakkuutta B sanotaan joskus myös magneettivuon tiheydeksi.

39 FYSI1120 Petri Välisuo 39 / Varattujen kappaleiden liike ja magneettikenttä Koska magneettikentän voimavaikutus on aina kohtisuorassa varauksen liikesuuntaa vastaan, se ei koskaan muuta kappaleen nopeutta, vaan muuttaa vain sen suuntaa. Kun varattu hiukkanen tulee magneettikenttään, siten että sen alkuperäinen nopeus on kohtisuorassa magneettikenttää nähden, niin silloin hiukkanen joutuu ympyräradalle. Magneettikenttä kohdistaa varauksen voiman F M, joka kompensoi keskihakuvoiman F k, eli pitää sen. Tällöin: qvb = m v2 R Tästä voidaan ratkaista hiukkasen ympyräradan säde: R = mv q B (7.8) (7.9) Huom: Hiukkasen liikeradan säde ei ole riippuvainen varauksen etumerkistä. Hiukkasen ympyrärädan kulmanopeus: ω = v R = v q B mv = q B m (7.10) Syklotroniksi kutsutussa hiukkaskiihdyttimessä, hiukkaset kulkevat ympyrärataa, juuri kaavan (7.10) osoittamalla kulmataajuudella. Epätasaisessa magneettikentässä hiukkasten liikeradat ovat mutkikkaampia. Yksi käytännön esimerkki on kahdella toisistaan erillään olevan käämin aiheuttama magneettikenttä, jonka sisään voidaan vangita varattuja hiukkasia ns. magneettipulloon. Maapallon ympärillä olevat Van Allenin vyöhykkeet vangitsevat juuri samalla periaatteella Auringosta peräisin olevia varattuja hiukkasia, aiheuttaeen revontulia. 7.4 Sovelluksia Nopeudenvalitsin Kun varattuja hiukkasia ohjataan putkeen, jossa niihin kohdistuu sekä sähkökentän että magneettikentän voimavaikutus, mutta vastakkaisiin suuntiin, niin silloin

40 FYSI1120 Petri Välisuo 40 / 72 vain tietyllä nopeudella kulkevat hiukkaset etenevät suoraan. Jotta hiukkanen kulkisi suoraan, magneettikentän ja sähkökentän voimavaikutusten tulee olla yhtä suuria, eli qvb = qe (7.11) Josta saadaan ratkaistua nopeus v = E B (7.12) Hiukkkasen varauksen ja massan mittaus Hiukkasen massan ja varauksen suhde saadaan mitattua ns. Thomsonin järjestelyllä. Hiukkaset johdetaan kuvaputken anodilta kohti kuvaruutua, nopeudella v. Hiukkasten kineettinen energia on yhtä suuri kuin sitä kiihdyttävän sähkökentän hiukkaselle tekemä työ: 1 2 mv2 = ev (7.13) Tästä voidaan ratkaista nopeus: v = 2eV m (7.14) Sitten kiihdytetyt hiukkaset ohjataan yhdistetyn poikittaisen magneettikentän ja sitä vastaan kohtisuoran sähkökentän kautta kuvaputkelle. Jos hiukkanen osuu keskelle kuvaputkea, pitää sen nopeuden olla yhtälön (7.12) mukainen: E B =,josta saadaan 2eV m (7.15) e m = E2 2V B (7.16) Tällä mekanismilla saatiin siis kätevästi mitattu hiukkasen varauksen suhde sen massaan.

41 FYSI1120 Petri Välisuo 41 / 72 Massaspektrometri Massaspektrometrissa vakionopeuteen kiihdytetyt hiukkaset johdetaan poikittaiseen magneettikenttään, jossa niiden annetaan kaareutua ja iskeytyä seinään. Iskeytyminen tapahtuu sitä kauempana ympyräradan keskipisteestä, mitä suurempi massa hiukkasella oli. Järjestelyllä voidaan mitata hiukkasten massoja, ja saadaan selville minkäpainoisista hiukkasista jokin tietty materiaali koostuu. 7.5 Magneettikentän voima ja virrallinen johdin Johtimessa kulkeva virta koostuu liikkuvista varauksenkuljettajista. Koska magneettikenttä kohdistaa voimavaikutuksen liikkuviin varauksiin, se aiheuttaa voimavaikutuksen myös virralliseen johtimeen. Jos varauksenkuljettavat liikkuvat ajautumisnopeudella v d, niin niihin kohdistuu jokaiseen voima F = qv d B, mikäli johdin on kohtisuorassa magneettikenttää kohti. Jos varauksenkuljettajia on n kappaletta tilavuusyksikköä kohti, niin johdin jonka poikkipinta ala on A ja pituus on l sisältää nal varauksenkuljettajaa. Siihen kohdistuvan kokonaisvoiman suuruus on siten: F = (nal)qv d B = (nqv d A)lB (7.17) Ja koska I = JA = nqv d A, niin F = JAlB = IlB (7.18) Jos johdin ei ole kohtisuorassa magneettikentää vastaan, niin sitten voiman suuruuden saa kaavasta: F = I l B (7.19) Jos johdin ei ole suora, niin sitten kokonaisvoima pitää laskea integroimalla äärettömän lyhyiden johdonpätkien d l yli. Esimerkkisovelluksena virralliseen johtimeen kohdistuvasta voimasta on tavallinen kaiutin. Se koostuu kestomagneetin kenttään käämitystä kelasta. Kelan johtimessa kulkee virta, johon magneettikenttä kohdistaa voimavaikutuksen. Voima liikuttaa kaiuttimen kartiota, ja muuttaa siten sähkövirran ilman liikkeeksi. 7.6 Virtasilmukan voima ja vääntömomentti Kun johdin taivutetaan suorakulmaiseksi virtasilmukaksi, ja laitetaan virtasilmukka magneettikenttään, aiheuttaa magneettikenttä voiman virtasilmukan sivuihin,

42 FYSI1120 Petri Välisuo 42 / 72 ja siten vääntömomentin virtasilmukkaan. Jos silmukan sivut, joiden pituus on a, ovat koko ajan kohtisuorassa magneettikenttää vastaan, niihin kohdistuva voima F = IaB. Jos silmukan leveys on b, niin voimien silmukkaan kohdistama vääntömomentti:, τ = 2(F b )sin(φ) = IabBsin(φ) = IBAsin(φ) (7.20) 2 missä A = ab on silmukan pinta ala ja kulma φ on silmukan ja magneettikenttää vastaan kohtisuoran tason välinen kulma. Virtasilmukalle on määritelty magneettinen dipolimomentti: µ = I A (7.21) Dipolimonentin suunta saadaan oikean käden säännöllä, asettamalla käsi nyrkkiin, peukalo suoraksi ojennettuna. Peukalo osoittaa dipolimomentin suuntaan silloin kun muut sormet osoittavat silmukassa kulkevan virran suuntaan. Virtasilmukkaan kohdistuvan vääntömomentti voidaan nyt ilmoittaa dipolimonentin ja magneettikentän ristitulon avulla suuntineen muodossa: τ = µ B (7.22) Magneettidipolin potentiaalienergia: U = µ B (7.23) Kun silmukka ei olekaan yhden ainoan, vaan N:n johtimen muodostama käämi, niin silloin vääntömomentti N kertaistuu: τ = NIBAsin(φ) (7.24) Käämin dipolimomentti on vastaavasti: µ = NI A (7.25) Kestomagneetti magneettikentässä Joidenkin aineiden molekyyleillä on nettomagneettikenttä (esim rauta ja nikkeli). Koska molekyylien asennot ovat sattumanvaraisia aineella ei kuitenkaan normaalisti ole nettomagneettikenttää. Aine magnetisoituu, kun sen molekyylien magneettiset momentit kääntyvät samansuuntaisiksi.

43 FYSI1120 Petri Välisuo 43 / 72 Aine voi magnetoitua ulkoisen magneettikentän vaikutuksesta, koska sen molekyylit kääntyvät ulkoisen kentän suuntaisiksi, ja jäävät siten pysyvästi. Magnetoinnin voi purkaa tuomalla materiaaliin energiaa (täräyttämällä sitä voimakkaasti tai kuumentamalla), tällöin molekyylit kääntyilevät, eikä aineella enää ole nettomagneettikenttää. Kestomagneetti pyrkii kääntymään magneettikentässä siten, että sen molekyylien aiheuttama nettomagneettikenttä olisi samansuuntainen ulkoisen magneettikentän kanssa. Virtasilmukan dipolimomentti pyrkii myös kääntymään ulkoisen magneettikentän suuntaiseksi. 8 Magneettikentän lähteet 8.1 Liikkuvan varauksen magneettikenttä Liikkuva varaus aiheuttaa sähkökentän lisäksi ympärilleen myös magneettikentän. Kentän voimakkuus on: B = µ 0 q v ˆr 4π r 2 (8.1),missä µ 0 on tyhjön permeabiliteetti, r on varauksen ja kenttäpisteen välinen vektori, v on varauksen etenemisnopeus ja q varauksen suuruus. Magneettikentän suunta on kohtisuorassa sekä varauksen kulkusuuntaan että kentän pisteen ja varauksen yhdistävää vektoria vastaan. Tällöin magneettikenttä muodostuu rengasmaisesti varauksen kulkusuunnan ympärille. Tyhjön permeabiliteetti µ 0 = 4π 10 7 Ns 2 /C 2 (8.2a) = 4π 10 7 Wb/(Am) (8.2b) = 4π 10 7 T m/a (8.2c) Tyhjön permeabiliteetille on säädetty tarkasti yllä olevaksi luvuksi määrittämällä virran suuruus tai oikeammin varauksen yksikkö sopivasti. Lisäksi tyhjön permeabiliteettien ja permittivisyyden sekä valon nopeuden välillä on olemassa yhtälö: c = 1 ε 0 µ 0 (8.3)

44 FYSI1120 Petri Välisuo 44 / Sähkövirran aiheuttama magneettikenttä Erittäin lyhyen virrallisen sähkölangan pätkän dl aiheuttama magneettikenttä saadaan helposti johtettua yhtälöstä (8.1). Virran I aiheuttama varauksen differentiaali dq = nqadl (8.4), missä n on varaustenkuljettajien määrä tilavuusyksikköä kohti, q on varauksenkuljettajan varaus, A on johtimen poikkipinta ala ja dl on johdonpätkän pituus. Tällöin magneettikentän differentiaali saadaan kaavan (8.1) avulla, sijoittamalla varauksen paikalle varauksen differentiaali dq: db = µ 0 dq v d sinφ 4π r 2 = µ 0 n q v d A dl sinφ 4π r 2 = µ 0 I dl sinφ 4π r 2 (8.5a) (8.5b) (8.5c), missä v d on varaustenkuljettajien ajautumisnopeus. Ja jos vielä vektorien suunnat otetaan huomioon, niin: d B = µ 0 Id l ˆr 4π r 2 (8.6) Lauseketta (8.6) sanotaan Biot Savartin laiksi. Biot Savartin lain avulla saadaan laskettu virrallisen johtimen aiheuttaman sähkökentän suuruus pisteessä p: B = µ 0 Id l ˆr 4π r 2 (8.7) Hyvin pitkän virrallisen johtimen ympärilleen aiheuttaman magneettikentän voimakkuus saadaan Biot Savartin laista integroimalla (tosin integraalin laskeminen ei ole helppoa): B = µ 0I 2πr (8.8) Virrallisen johtimen magneettikenttä muodostuu samankeskisistä ympyröistä, joiden keskipisteessä johdin on. Kentän suunta johtimen ympärillä saadaan oikean käden säännöllä seuraavasti:

45 FYSI1120 Petri Välisuo 45 / 72 Laita oikea käsi nyrkkiin, niin että peukalo osoittaa virran suuntaan. Silloin muut sormet osoittavat magneettikentän suuntaan. 8.3 Samansuuntaisten virrallisten johtimien välinen voima Kun kaksi suoraa johdinta laitetaan samansuuntaisesti rinnakkain lähelle toisiaan, ne aiheuttavat kummatkin magneettikentän ja kumpaankin vaikuttaa toisen johtimen magneettikentän aiheuttama voima. Toinen johtimista aiheuttaa ympärilleen magneettikentän: B = µ 0I 1 2πr (8.9) Tämä magneettikenttä kenttä aiheuttaa toiseen virralliseen johtimeen, jonka pituus on L 2 voimavaikutuksen: F = I 2 L 2 B = I 2 L 2 µ 0 I 1 2πr Jolloin voimavaikutus johdon pituusyksikköä kohti on: F = µ 0I 1 I 2 L 2 2πr (8.10) (8.11) Oikean käden sääntöjen mukaan saadaan selvitettyä magneetikentän suunta ja sen avulla myös toiseen johtimeen kohdistuvat voiman suunta. Näemme että jos virta on molemmissa johtimissa samansuuntainen, niin silloin johdot vetävät toisiaan puoleensa. Jos taas virrat ovat vastakkaissuuntaiset, niin silloin johtivet hylkivät toisiaan. Ampeeri on määritelty juuri tämän johtimien toisiinsa kohdistaman voiman avulla: Yksi ampeeri on sellainen virta, joka kahdessa hyvin pitkässä samansuuntaisissa, metrin etäisyydellä toisistaan olevissa johtimissa aiheuttaa Newtonin voiman metriä kohti. 8.4 Ympyränmuotoisen virtasilmukan magneettikenttä Rengasmaisen virtasilmukan aiheuttaman magneettikentän voimakkuus voidaan laskea Biot Savartin lain (8.6) avulla. Olkoon ympyränmallisen virtasilmukan säde a, ja siinä kulkeva virta I. Sijoitetaan virtasilmukka koordinaatistoon siten, että silmukan keskipiste on koordinaatiston

46 FYSI1120 Petri Välisuo 46 / 72 origossa, ja silmukka sijaitsee yz tasossa. Tällöin x akseli kulkee silmukan lävitse silmukan keskeltä ja on kohtisuorassa silmukan tasoa (yz tasoa) vastaan. Lasketaan nyt virtasilmukan aiheuttaman magneettikentän voimakkuus x akselilla. Koska virtasilmukka vaikuttaa x akselin pisteissä ympyräsymmetrisesti, kentän z:n ja y:n suuntaiset komponentit kumoutuvat, jättäen jäljelle ainoastaan x komponentin. Virtasilmukasta erotetun dl:n mittaisen segmentin aiheuttama kentänvoimakkuus x akselin pisteessä x on: db = µ 0I dl 4π x 2 + a 2 (8.12) Tämän magneettikentän differentiaalin suuruuden x komponentti saadaan käyttäen trigonometriaa (cosθ = db x /db = a/r) db x = dbcosθ = µ 0I 4π dl x 2 + a 2 a x 2 + a 2 (8.13) Kokonaiskentänvoimakkuus saadaan integroimalla virtasilmukan ympäri: B x = db x = µ 0I a 4π (x 2 + a 2 ) (3/2) dl (8.14) dl:n integraali silmukan ympäri on yksinkertaisesti silmukan ympärysmitta, 2πa, joten: B x = µ 0 Ia 2 2(x 2 + a 2 ) (3/2) (8.15) Jos silmukassa olisikin N kierrosta (virtasilmukkaa), niin jokainen kierros aiheuttaisi x akselille samanlaisen kentän. Kokonaiskenttä saadaan summaamalla jokaisen silmukan aiheuttamat vaikutukset. Pelkkä aritmeettinen summa riittää nyt, koska kaikkien silmukoiden vaikutus on samansuuntainen: B x = µ 0 NIa 2 2(x 2 + a 2 ) (3/2) (8.16) Kenttä on sitä voimakkaampi, mitä lähempänä ollaan origoa. Origossa kentän voimakkuus saadaan sijoittamalla yllä olevaan kaavaaan x = 0, jolloin saadaan: B x = µ 0NI 2a (8.17)

47 FYSI1120 Petri Välisuo 47 / 72 Aikaisemmin totesimme magneettidipolin dipolimomentin µ olevan dipolin muodostavan virtasilmukan virta kertaa silmukan pinta ala. Eli äsken laskemamme N kierroksisen virtasilmukan dipolimomenttin on µ = NIA = NIπa 2 (8.18) Sijoittamalla tämä yhtälöön (8.16), saadaan minkä tahansa N kierroksisen virtasilmukan kenttä x akselilla lausuttua muodossa: µ 0 µ B x = 2π(x 2 + a 2 ) (3/2) (8.19) Aikaisemmin totesimme, että ulkoinen magneettikenttä aiheuttaa voimavaikutuksen magneettidipoliin, nyt näemme, että magneettidipoli aiheuttaa myös ympärilleen magneettikentän. 8.5 Amperen laki Samalla tavalla kuin Gaussin lause auttoi laskemaan sähkökentti symmetrisissä tapauksissa, auttaa Amperen laki laskemaan magneettikenttiä. Amperen laki käyttää hyväkseen magneettikentän viivaintegraalia suljetun silmukan ympäri: H d l (8.20) L Lasketaan kyseinen integraali suoran virtajohtimen ympäri. Suoran virtajohtimen, jossa kulkee virta I, etäisyydelle r aiheuttama magneettikenttä H on suuruudeltaan: H = Eµ 0 = I 2πr (8.21) Suunnaltaan magneettikenttä on koko ajan kohtisuorassa virtaa vasten ja sen kenttäviivat kulkevat ympyrän muodossa johtimen ympärillä. Tällöin integraali (8.20) on helppo laskea, koska pistetulo kutistuu tavalliseksi tuloksi, ja magneettikenttä on koko ajan vakio, jolloin se voidaan siirtää integroinnin ulkopuolelle: L H d l = H L dl = I 2πr = I (8.22) 2πr Viivaintegraalin arvo ei siis tässä tapauksessa ollut ollenkaan riippuvainen säteestä r, vaan se on yksinkertaisesti silmukan läpi kulkevan virran suuruus.

48 FYSI1120 Petri Välisuo 48 / 72 Voidaan osoittaa, jos integroitavan silmukan sisällä ei kulje virtaa, niin silloin magneettikentän integraali silmukan ympäri on nolla. Lisäksi silmukan ei tarvitse olla ympyrän mallinen, vaan se voi olla mikä tahansa suljettu silmukka. Yleisessä muodossa Amperen laki saa muodon: H d l = I encl (8.23) L Eli integroitaessa magneettikenttää minkä tahansa suljetun silmukan ympäri, tulos on aina yhtäsuuri, kuin silmukan sisällä kulkevien virtojen nettosumma kertaa permeabiliteetti. Amperen lailla voidaan laskea magneettikentän voimakkuuksia samalla tavalla kuin sähkökenttän voimakkuutta laskettiin Gaussin lain avulla. Esimerkiksi magneettikentän voimakkuus virrallisen johtimen sisällä: Olkoon johtimen säde R. Tällöin Amperen lain mukaan magneettikentän integraali johtimen sisällä olevan poikkileikkauksen suuntaisen ympyrän ympäri on yhtä suuri kuin ko. ympyrän läpi kulkevan virran suuruus, kerrottuna tyhjön permeabiliteetilla. Jos ympyrän keskipiste on johtimen keskipiste, niin tapaus on ympyräsymmetrinen, joten magneettikentän voimakkuus on vakio koko ympyrän matkalla, jolloin magneettikentän integraaliksi tulee B(2πr). Kyseisen ympyrän läpi kulkee virta, joka saadaan kertomalla virrantiheys ympyrän poikkipinta alalla: I encl = πr 2 I/(πR 2 ), joten: B(2πr) = µ 0 Ir 2 R 2 (8.24) Josta saadaan magneettikenttä helposti ratkaistua: B = µ 0I r 2π R 2 (8.25) Saatu yhtälö pätee kaikkialla johtimen sisällä. Ratkaistaan sitten magneettikenttä johtimen ulkopuolella. Käytetään samanlaista ympyränmuotoista integrointipolkua johtimen ympäri kuin johtimen sisälläkin. Nyt vain silmukan läpi kulkevan virran voimakkuus on suoraan I. Tällöin kaava (8.24) yksinkertaistuu muotoon: B(2πr) = µ 0 I (8.26) Ja näin ollen magneettikenttä johtimen ulkopuolella on suuruudeltaan: B = µ 0I (8.27) 2πr, joka on yhtä suuri kuin aikaisemmin johtamamme virrallisen johtimen aiheuttaman magneettikentän lauseke, mutta Amperen lain avulla sen johtaminen oli paljon helpompaa.

49 FYSI1120 Petri Välisuo 49 / Siirtymävirta Amperen laki äsken esitetyssä muodossa ei päde kaikissa tilanteissa. Ajatellaan että johto on katkaistu, kytkemällä keskelle johdinta levykondensaattori. Kun nyt kondensaattoria ladattaessa, lasketaan amperen lain avulla magnetttikentän voimakkuus johtimen ympärillä, lähellä kondensaattoria, on magneettikenttä selvästi H d l = i. Mutta jos tämän ympyränmuotoisen reitin sisältämää tasoa vähän venytetään, se saadaan kulkemaan kondensaattorin levyjen välistä, jolloin sen läpi ei kulje ollenkaan virtaa. Tähän asti ymmärtämämme aperen lain mukaan, pitäisi magneettikentän olla silloin nolla. Pelastus tähän ongelmaan löytyy määrittelemällä ns. siirtymävirta (displacement current). Kondensaatorin latautuessa kondensaattorin levyjen välissä ei kulje virtaa, mutta sen sijaan sinne viritetyn tason läpi kulkevan sähkövuon määrä muuttuu. Sähkövuon suuruuden ja kondensaattorin varauksen välinen suhde saadaan johdettua seuraavasti. Lähdetään liikkeelle kondensaattorin varuaksen ja kapasitanssin lausekkeesta, ja ilmoitetaan sitten kapasitanssi kondensaattorin geometristen ominaisuuksien avulla. Sitten saamme selville sähkökentän suuruuden ja siten myös sähkövuon: q = Cv = εa d (Ed) = εea = Ψ (8.28) Kaavassa, v on kondensaattorin levyjen välinen hetkellisjännite, E on levyjen välinen sähkökenttä, d on levyjen välinen etäisyys ja A on kondensaattorilevyjen välinen pinta ala. Magneettivuon muutos vastaa siis kuvitteellista siirtymävirtaa: i D = q t = Ψ t (8.29) Kuvitteellista virtaa i D sanotaan siirtymävirraksi, ja sen suuruus on väliaineen permittiivisyys kertaa sähkövuon muutosnopeus. Täydentämällä Amperen laki siirtymävirralla, saadaan Amperen lain yleistetty muoto: H d l = (i + i D ) encl (8.30) L Amperen laki tässä mudossa pätee riippumatta siitä, minkä muotoiseksi venytämme pinnan, jota suljettu integraali ympäröi. Kun kondensaattoria ladataan virralla i, niin kondensaattorin levyjen välissä oleva kuvitteellinen siirtymävirta i D aiheuttaa levyjen välissä samanlaisen magneettikentän kuin virta i aiheuttaa johtimen ympärille.

50 FYSI1120 Petri Välisuo 50 / 72 Amperen lain yleinen muoto osoittaa, että muuttuva sähkökenttä indusoi magneettikentän, vaikka alueella ei olisi lainkaan varauksenkuljettajia. 9 Sähkömagneettinen induktio Yksi tämän kappaleen keskeisimmistä asioista on Faradin laki. Se yhdistää sähkömotorisen voiman ja magneettivuon muutoksen toisiinsa. Tätä voi havainnollistaa yksinkertaisella koejärjestelyllä: Kytketään käämi jännitemittariin, ja liikutetaan kestomagneettia käämin lähellä. Kun magneettia liikutetaan, jännitemittari näyttää, että käämiin syntyy jännite. Mitä nopeammin magneettia liikutetaan, sitä suurempi jännite käämiin syntyy. Sanotaan että muuttuva magneettikenttä indusoi käämiin jännitteen (sähkömotorisen voiman). Mutta jännite indusoituu käämin vain silloin kuin magneeti liikkuu, eli magneettikenttä muuttuu. 9.1 Faradin laki Tietyn alan S läpi kulkevan magneettivuon suuruus saadaan, samalla tavoin kuin sähkövuokin, integroimalla magneettikentän ja alan differentiaalin pistetuloa: Φ B = B d S = BdS cos φ (9.1) Jos pinta alan läpi kulkevan magneettivuon suuruus muuttuu, indusoituu ko. alueen ympärille sähkömotorinen voima, jonka suuruuden antaa Faradin laki: E = Φ B t (9.2) Sanallisesti Faradin laki voidaan ilmaista seuraavasti: Suljettuun silmukkaan indusoituneen sähkömotorisen voiman suuruus on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen, kuin silmukan läpi kulkevan magneettivuon muutosnopeus. Indusoituneen sähkömotorisen voiman suunnan saa selville seuraavasti: 1. Valitse pinta alavektorille S positiivinen suunta. 2. Laske S:n ja B:n suuntien avulla magneettivuon Φ B suunta.

51 FYSI1120 Petri Välisuo 51 / Selvitä sähkömotorisen voiman etumerkki: Jos magneettivuo kasvaa, smv on negatiivinen, jos magneettivuo pienenee, niin smv on positiivinen. 4. Selvitä smv:n suunta (tai virran suunta) oikean käden säännöllä: Osoita nyrkkiin puristetun oikean käden peukalolla S vektorin suuntaan. Jos smv:n etumerkki on positiivinen, muut sormet osoittavat smv:n (virran) suuntaa. Jos smv:n etumerkki oli negatiivinen, vaikuttaa smv (virta kulkee) päinvastaiseen suuntaan. 9.2 Lenzin laki Lenzin laki on toinen tapa selvittää indusoituneen smv:n suunta. Kaikkien magneettikentän induktiovaikutusten suunta on sellainen, että se pyrkii vastustamaan vaikutuksen aiheuttajaa. Eli koska muuttuva magneettivuo indusoi smv:n, niin sähkömotorisen voiman aiheuttama virta muodostaa magneettikentän, joka pyrkii hidastamaan magneettikentän muutosta. Jos magneettivuo kasvaa, pyrkii silmukkaan indusoitunut jännite kuljettamaan silmukassa virtaa niin, että kokonaismagneetivuo heikkenee. Jos taas magneettivuo pienenee, indusoituu virtasilmukkaan smv, jonka kuljettama virta pyrkii kasvattamaan kokonaismagneettikenttää. 9.3 Liikkeestä aiheutuva sähkömotorinen voima Kun johdin liikkuu magneettikentässä magneettikentän kenttäviivoja leikaten, indusoituu siihen sähkömotorinen voima. Olkoon magneettikenttää vasten kohtisuorassa liikkuvan johdon pituus L ja liikenopeus v. Tällöin jokaiseen johtimessa olevaan varuukseen kohdistuu magneettikentän voimavaikutus F = q v B. Tällöin varauksenkuljettajat liikkuvat johtimessa ja kasautuvat johtimen päihin, kunnes niiden aiheuttama sähkökenttä kohdistaa jäljelle jääneihin varauksiin yhtä suuren voiman kun magneettikenttä. Voimien ollessa tasapainossa, johdelangan päiden välissä on jännite V ab, eli johtimessa vaikuttaa sähkökenttä E = V ab /L. Tällöin sähkökentän varauksiin aiheuttama voima on F = qe = qv ab /L. Koska sähkökentän ja magneettikentän voimat olivat tasapainossa, niin: qvb = q V ab L (9.3) Johdelangan päiden välille indusoituvaa sähkömotorista voimaa sanotaan liikkeen indusoimaksi sähkömotoriseksi voimaksi. Sijoitetaan yllä olevaan yhtälöön E =

52 FYSI1120 Petri Välisuo 52 / 72 V ab ja ratkaistaan E: E = vbl (9.4) Koska silmukassa vaikutti sähkömotorinen voima: E, niin sähkökentän integraali silmukan ympäri on: E d l = E (9.5) L Ja Faradayn lain mukaan sähkömotorinen voima on yhtä suuri kuin silmukan läpi kulkevan magneettivuon muutoksen vastaluku. Yhdistämällä nämä lait, voidaan Faradayn laki kirjoittaa muodossa: E d l = dφ B (9.6) dt L 9.4 Pyörrevirrat Kun magneettikenttä johdetaan johdelevyn läpi, ja kentän voimakkuutta muutetaan, indusoi muutos johdelevyyn magneettikentän ympärille Faradayn lain mukaan sähkömotorisen voiman. Ja koska johteessa on sähkömotorinen voima, niin siinä alkaa kulkea myös virta. Virta kulkee rengasmaisesti magneettikentän ympärillä. Tallaista virtaa sanotaan pyörrevirraksi (Eddy current). Pyörrevirrat ovat usein haitallisia, koska osa magneettikentän energiasta muuttuu lämmöksi pyörrevirtojen ja johteen resistanssin vaikutuksesta. Toisaalta jos on tarkoituksenakin muodostaa lämpöä, niin silloin kyseistä lämpövaikutusta voidaan käyttää myös hyväksi. Esimerkiksi induktiiviset hellat kuumentavat suoraan kattilanpohjaa, aiheuttamalla siihen induktiivisesti pyörrevirtoja. 9.5 Maxwellin yhtälöt Maxwell yhdisti Gaussin lain sähkökentälle ja magneettikentälle, sekä Amperen lain ja Faradayn lait neljän yhtälön joukoksi, joista käytetään nimeä Maxwellin yhtälöt. Gaussin laki sähkökentälle Sähkökentän lähde on varaus: D d S = Q encl S Gaussin laki magneettikentälle Magneettikenttä on lähteetön: B d S = 0 S (9.7a) (9.7b)

53 FYSI1120 Petri Välisuo 53 / 72 Amperen laki Muuttuva sähkövuo ja siirtymävirta indusoivat magneettikentän. L H d l = I + Ψ t Faradayn laki Muuttuva magneettivuo indusoi sähkökentän: E d l = dφ B dt L (9.7c) (9.7d) Yhtälöt voidaan esittää myös derivaattamuodossa: Gaussin laki sähkökentälle varaustiheys on sähkökentän lähde. D = ρ Gaussin laki magneettikentälle magneettikenttä on lähteetön. B = 0 Faradayn laki E = B t Amperen laki H = J + D t (9.8a) (9.8b) (9.8c) (9.8d) Tähän astisen perusteella voimme sanoa sähkökentän voivan muodostua joko paikallaan pysyvien varausten vaikutuksesta, tai muuttuvan magneettivuon aiheuttamana. Sähkökentän aiheuttama sähkökenttä on aina konservatiivinen, joten sitä ei tarvitse sisällyttää Faradayn lain integraaliin, koska tulokseksi tulisi aina nolla. Sen sijaan magneettikentän indusoima sähkökenttä ei ole konservatiivinen, joten suljetun silmukan läpi integroitaessa tulos voi olla nollasta eroava. Kun tarkastelemme tyhjää tilaa (ilma tai tyhjiö), missä ei ole varauksia eikä virtaa, voimme kirjoittaa amperen lain (9.7c) toiseen muotoon, sijoittamalla sähkövuon paikalle sähkökentän integraali: d l = S H D d S (9.9) t S Samalla tavoin saadaan Faradayn laki (9.7d) muotoon: d l = L E B d S (9.10) t S Tästä näkyy hyvin sähkökentän ja magneettikentän välinen symmetria.

54 FYSI1120 Petri Välisuo 54 / Induktanssi 10.1 Keskinäisinduktanssi Kun kahdessa lähekkäisessä johtimessa kulkee tasainen virta, aiheuttavat johtimet toisiinsa voimavaikutuksen. Jos virran voimakkuus vaihtelee, voi johtimien välille syntyä lisäksi toisenlaisia vaikutuksia. Sijoitetaan kaksi käämiä lähekkäin, ja johdetaan niistä toiseen (käämi 1) virta, ja virran voimakkuutta muutetaan. Käämin magneettikenttä kulkee osittain toisen käämin (käämi 2) läpi. Kun ykköskäämin virta muuttuu, muuttuu kakkoskäämin läpi kulkevan magneettikentän voimakkuus, joten kakkoskäämiin indusoituu Faradayn lain mukaan sähkömotorinen voima (E). Ilmiötä kutsutaan keskinäisinduktioksi (mutual induction). Ykköskäämin virran aiheuttaman magneettikentän voimakkuus on: B = µ 0N 1 i 1 l (10.1),jolloin magneettivuo on Φ B1 = BA = µ 0AN 1 i 1 (10.2) l, missä A on käämin poikkipinta ala, l on käämin pituus ja i on käämin hetkellinen virta. Osa ykköskäämin magneettivuosta kulkee kakkoskäämin läpi, joten kakkoskäämin vuo on: Φ B2 = kφ B1 = k µ 0AN 1 i 1 l, k [0,1]. (10.3) Eli siis ensimmäisessä käämissä kulkeva virta aiheuttaa toiseen käämiin sisään magneettivuon. Tämän kytkennän voimakkuus riippuu käämien geometrisista ominaisuuksista, ja sijainnista toisiinsa nähden. Käämien kytkennän voimakkuutta kutsutaan keskinäisinduktanssiksi (mutual inductance). Keskinäisinduktanssi kertoo, kuinka suuren magneettivuon ykköskäämin virta aiheuttaa kakkoskäämin kaikkien silmukoiden läpi, eli: M = N 2Φ B2 i 1 (10.4) Ylläolevassa tapauksessa: M = N 2Φ B2 = k µ 0AN 1 N 2 i 1 l (10.5)

55 FYSI1120 Petri Välisuo 55 / 72 Kakkoskäämiin indusoituvan sähkömotorisen voiman suuruus on Faradayn lain mukaisesti: E 2 = N 2 dφ B2 dt Kerrotaan keskinäisinduktanssin kaava puolet ajan suhteen: (10.6) (10.4) i 1 :llä ja derivoidaan molemmat N 2 dφ B2 dt = M di 1 dt (10.7) Sijoittamalla tämä sähkömotorisen voiman lausekkeeseen, saadaan: E 2 = M di 1 dt (10.8) Käämien välinen kytkentä, eli keskinäisinduktio on yhtä voimakas molempiin suuntin, joten jos virta syötetäänkin kakkoskäämiin, niin silloin ykköskäämin virta saadaan samalla tavalla lausekkeesta: E 1 = M di 2 dt (10.9) Myöskin keskinäisinduktanssi voidaan määritellä kummin päin hyvänsä: M = N 2Φ B2 i 1 = N 1Φ B1 i 2 (10.10) Keskinäisinduktanssin yksikkö on Henry 1 H = 1 Wb/A = 1 V s/a = 1 Ωs = 1 J/A 2 (10.11) 10.2 Itseinduktanssi Kun kaksi käämiä on toisiaan lähinnä, niiden magneettikentät vaikuttavat toisiinsa. Mutta samalla tavoin käämin magneettikenttä vaikuttaa myös käämiin itseensä. Eli käämissä muuttuva virta aiheuttaa käämiin itseensä sähkömotorisen voiman, jonka suunta on Lenzin lain mukaan sellainen, että se pyrkii vastustamaan virran muutosta. Kun korvaamme keskinäisinduktanssin kaavasta kakkoskäämin suureet ykköskäämin suureilla, saame suuruudeen ykköskäämiin itseinduktiolle, eli itseinduktanssin: L = NΦ B i (10.12)

56 FYSI1120 Petri Välisuo 56 / 72 Itseinduktanssin kaavassa on samat tekijät kuin keskinäisinduktanssinkin kaavassa, joten niiden yksiköt ovat samoja. Kun ei ole sekaantumisen vaaraa, itseinduktanssista puhutaan yleensä vain induktanssina. Järjestämällä induktanssin kaavan (10.12) termit uudelleen, saadaan yhtälö, jonka toisella puolella on magneettivuo ja toisella virta: Li = NΦ B. Derivoimalla yhtälön molemmat puolet ajan suhteen saadaan: L di dt = N dφ B dt (10.13) Joten Faradayn lain mukaan käämiin itseensä indusoituvan sähkömotorisen voiman suuruus on: E = L di (10.14) dt Käämiin indusoituvan jännitteen suunta on sellainen, että se pyrkii vastustamaan virran muutosta käämissä. Kun kela (=käämi) kytketään sähköpiiriin, niin sen yli vaikuttaa siis virran muutosnopeuteen verrannollinen jännite V = Ldi/dt. Kela pyrkii vastustamaan virran muutosta, mutta ei virtaa sinänsä. Sähköpiireissä käytettävät kelat ovat yleensä ilmasydämmisiä, koska ne käyttäytyvät lineaarisesti. Ferromagneettisydänkäämit ovat tehokkaampia, mutta niiden magneettikenttä kasvaa epälineaarisesti suhteessa virran muutosnopeuteen, joten ne eivät sovi kaikkiin tilanteisiin Magneettikentän energia Kelaan sitoutuu energiaa, kun siihen kulkeva virta muuttuu nollasta tiettyyn arvoon I. Kelaan sitoutuu energiaa teholla: P = Vi = Li di dt (10.15) Huomaa, että teho on nolla silloin kun virta on nolla, tai virran derivaatta on nolla. Virran tekemän työn differentiaali: dw = Li di dt (10.16) Virran tekemä työ ladattaessa kelaa virrasta I = 0 arvoon I: W = I 0 idi = 1 2 LI2 (10.17)

57 FYSI1120 Petri Välisuo 57 / 72 Kun virta muutuu, kelaan sitoutuneen energian määrä muuttuu. Kun virta on vakio, kelan energiamäärä pysyy vakiona R L piirit Kytketään virtaähde, Esarjaan vastuksen R ja kelan L kanssa. Tietyllä ajan hetkellä, kun kytkennästä on kulunut aika t, piirissä kulkee virta i. Tällöin resistanssin R yli on jännite v R = Ri, ja kelan yli on jännite v L = Ldi/dt. Soveltamalla Kirchoffin kiertosääntöä, saamme: E ir L di dt = 0 (10.18) Yritetään selvittää piirissä kulkeva virta ajan funktiona. Kytkentähetkellä i = I 0 = 0, koska kela pyrkii vastustamaan virran muutoksi. Site myöskin vastuksen yli oleva jännite on nolla. Sijoitetaan i = 0 yhtälöön (10.18), jolloin saamme helposti ratkaistua virran muutosnopeuden kytkentähetkellä: di dt = E L (10.19) Kun taas kytkennästä on kulunut hyvin kauan, virta on päässyt kasvamaan maksimiarvoonsa, ja koska se nyt pysyy vakiona, niin kelan yli ei enää ole jännitettä, koska virran derivaatta on nolla. Sijoitetaan di/dt = 0 lauskekkeeseen (10.18) virran suuruus on: I inf = E R (10.20) Sitten yritetään ratkaista virta näiden pisteiden välillä. Siirretään aluksi kaikki virtaa sisältävät termit toiselle puolelle ja aikaa sisältävät termit yhtälön toiselle puolelle: Edt irdt = Ldi dt(e Ri) = Ldi dt = L di E Ri Ldi = dt R(i E/R) di i E/R = R dt (10.21) L

58 FYSI1120 Petri Välisuo 58 / 72 Tästä differentiaaliyhtälöstä saadaan virran lauseke selvitettyä integroimalla. Vaihdetaan integroinnin ajaksi muuttujat: t = t, i = i : i di t R 0 i = (E/R) 0 L dt ( ) i (E/R) ln = R E/R L t Ri (E) = e E (R/L)t i = E ( 1 e (R/L)t ) R ( = I inf 1 e (R/L)t ) (10.22) Lasketaan vielä virran muutosnopeus (di/dt), jotta saamme selville kelan yli vaikuttavan jännitteen: di dt = E L e (R/L)t (10.23) Tällöin siis kelan yli vaikuttava jännite: v L = L di dt = Ee (R/L)t (10.24) Kelan yli vaikuttavan jännitteen, virran ja virran muutosnopeuden lausekkeet eri ajan hetkillä, on seuraavassa taulukossa: t i di/dt v L 0 0 E/L E t I in f (1 e (R/L)t ) E L e (R/L)t Ee (R/L)t inf E/R 0 0 RL piirin aikavakio on: τ = L R (10.25) 10.5 LC piirit Kun samaan piiriin kytketään sekä kela että kondensaattori, törmätään uuteen ilmiöön: Varaus ja virta alkavat värähdellä. Kun täyteen varattu kondensaattori alkaa purkautua kelan läpi, virta voi kasvaa vain vähitellen, koska kela hidastaa

59 FYSI1120 Petri Välisuo 59 / 72 virran kasvua. Pikku hiljaa virta kasvaa isommaksi, ja sitten se alkaa taas vähetä, koska kondensaattori alkaa tyhjentyä. Tämän jälkeen kela purkaa energiansa piriin, ylläpitämällä virtaa vielä silloin kun kondensaattori on jo kokonaan purkautunut. Tämä taas taas kondensaattorin varautumaan päinvastaiseen suuntaan, ja prosessi alkaa taas alusta, nyt päinvastaiseen suuntaan. Koska sähköenergia ei muutu lämmöksi ideaalisessa kelassa eikä ideaalisessa kondensaattorissa, niin piiri jäisi värähtelemään ikuisiksi ajoiksi. Energia vaihtaa muotoa sähkökentän energiasta magneettikentän energiaksi ja päinvastoin, kokonaisenergiamäärän pysyessä samana. Käytännössä piirissä on aina myös resistanssia, joten värähtely vaimenee vähitellen osan energiasta muuttuessa lämpöenergiaksi. Piiri värähtelee aivan samalla tavoin kuin mekaaninenkin järjestelmä, jossa energia esintyy vuorotellen kineettisenä energiana ja potentiaalienergiana. Virran hetkellisarvon jännite saadaan kulkemalla aluksi silmukan ympäri ja käyttämällä Kirchoffin kiertosääntöä: L di dt q C = 0 (10.26) Huomaa että virta kannattaa valita niinpäin, että se on positiivinen silloin kun kondensaattorin varaus kasvaa. Tällöin virralla ja varauksella on sama etumerkki, ja virta saadaan varauksen positiivisena derivaattana: i = dq/dt. Nyt siis virran ollessa positiiviseksi valitun suunnan mukainen, varaus kasvaa. Jos virta on negatiivinen, niin varaus pienenee. Virran derivaatta saadaan derivoimalla virran lauseke vielä toiseen kertaan ajan suhteen: di dt = d2 q dt 2 (10.27) Sijoittamalla tämä Kirchoffin säännön avulla saatuun yhtälöön, saadaan toisen asteen differentiaaliyhtälö, joka kuvaa piirin käyttäytymistä: L d2 q dt 2 q C = 0 (10.28) Josta saadaan termejä ryhmittelemällä: d 2 q dt LC q = 0 (10.29) Saatu kaava muistuttaa täsmälleen jouseen ripustetun massan värähtelyä kuvaavaa differentiaaliyhtälöä. Jouseen ripustetun massan värähtelyn todettiin olevan

60 FYSI1120 Petri Välisuo 60 / 72 yksinkertaista harmonista liikettä (shm), joten ilmeisesti tämä sähköinen värähtely käyttäytyy aivan samalla tavalla. Jos näin on asia, niin silloin varauksen hetkellisarvonkin vaihtelee sinimuotoisesti. Siispä, oletetaan että: q(t) = Q max cos(ωt + φ) (10.30) Jos varaus tosiaankin on tätä muotoa, niin sen pitäisi toteuttaa yhtälö (10.29). Sijoitetaan se siihen, ja katsotaan mitä seuraa: d 2 dt 2 Q max cos(ωt + φ) + 1 LC Q max cos(ωt + φ) = 0 ω 2 Q max cos(ωt + φ) + 1 LC Q max cos(ωt + φ) = 0 Q max cos(ωt + φ)( ω LC ) = 0 (10.31) Tämä yhtälö pitää paikkansa kaikilla ajanhetkillä t, vain jos ω = 1 LC (10.32) Varauksen vaiheen (φ) saa vapaasti valita. Koska varaus tiedetään, voidaan piirissä kulkeva virta ratkaista derivoimalla varauksen lauseke: i = d dt q(t) = ωq max sin(ωt + φ) (10.33) 10.6 LRC sarjaankytkentä Seuraavaksi tarkastellaan piiriä, jossa on kelan ja kondensaattorin lisäksi sarjaan kytkettynä myöskin resistanssi. Kaikissa käytännön piireissä on myös resistanssia, vaikkei siihen olisi edes kytketty erikseen vastusta. Myöskin LRC piiiri pyrkii värähtelemään, mutta energiaa muuttuu resistanssissa lämmöksi, ja värähtely vaimenee. Jos resistanssi on suhteellisen pieni verrattuna muiden komponenttien arvoihin, piiri värähtelee, mutta värähtely vaimenee pikkuhiljaa. Sanotaan että piirissä on vaimeneva värähtely (damped oscillation). Jos resistanssi on iso, piiri ei värähtele ollenkaan, vaan virta vain lähestyy nollaa.

61 FYSI1120 Petri Välisuo 61 / 72 Kytketään ensin LRC sarjaankytkennän päiden väliin jännitelähde, jolloin kondensaattori varautuu lähdejännitteeseen E. Kun kondensaattori on kokonaan varautunut, irroitetaan jännitelähde, ja kytketään sen sijasta piiriin suora johto, jolloin kondensaattori alkaa purkautua kelan ja resistanssin kautta. Tällöin voidaan taas muodostaa virran lauseke Kirchoffin kiertosäännön avulla: ir L di dt q C = 0 (10.34) Virran suunta on valittu taas niin, että kun virta kulkee positiiviseen suuntaan, niin kondensaattori varautuu. Sijoitetaan taas virran paikalle i = dq/dt: dq dt R q Ld2 dt 2 q C = 0 d 2 q dt 2 + R dq L dt + 1 LC q = 0 (10.35) Tämän ratkaiseminen ei ole enää helppoa ilman kehittyneitä differentiaaliyhtälön ratkaisumenetelmiä. Siksi tässä esitetäänkin vain ratkaisu: ( ) 1 q = Ae (R/2L)t cos LC R2 4L 2t + φ (10.36) Yhtälö kuvaa exponentiaalisesti vaimenevan värähdysliikkeen, jonka kulmataajuus on: 1 ω = LC R2 4L 2 (10.37) Jos resistanssin suuruus R 2 = 4L/C, niin silloin kulmataajuudeksi tulee nolla, jolloin piiri ei enää värähtele, vaan virta vain lähestyy nollaa exponentiaalisesti. Jos R on sitäkin suurempi, niin silloin neliöjuurilausekkeesta tulee imaginäärinen, ja virta lähestyy nollaa hitaasti, edelleen ilman värähtelyä. 11 Vaihtovirta 11.1 Vaihtovirran osoitinesitys Vaihtovirta on sinimuotoisesti (kosinimuotoisesti) vaihtelevaa virtaa. Termillä vaihtojännite tarkoitetaan vastaavaa sinimuotoisesti vaihtelevaa jännitettä. Vaihtojännitettä voidaan esittää esimerkiksi muodossa: v = V cos(ωt) (11.1)

62 FYSI1120 Petri Välisuo 62 / 72 v on vaihtojännitteen hetkellisarvo ja V on jännitteen maksimiarvo eli amplitudi. ω = 2π f on vaihtojännitteen kulmataajuus. Vastaavasti vaihtovirta voidaan esittää muodossa: i = I cos(ωt) (11.2) Vaihtovirran ja vaihtojännitteen lausekkeiden voidaan ajatella muodostuvan projisoimalla kompleksitasossa pyörivä osoitin (phasor) reaaliakselille. Sinimuotoisten suureiden suuruudesta puhuttaessa käytetään usein suureen amplitudia, vastaavaan tasasuunnatun suureen keskiarvoa tai RMS keskiarvoa. Täysaaltotasanuuntaajalla tasasuunnatun sinimuotoisen virran keskiarvoa (rectified average): I rav = 2 I 0.637I (11.3) π Virran RMS keskiarvo saadaan ottamalla neliöjuuri virran neliön keskiarvosta. Lasketaan ensiksi virran neliön keskiarvo: i 2 = I 2 cos 2 (ωt) (11.4) Kaksinkertaisen kulman kaavalla: cos 2 (ωt) = 1 ( ) 1 + cos(2ωt) 2 (11.5),joten i 2 = I I2 cos(2ωt) (11.6) 2 Kosinitermin keskiarvo on nolla, joten virran neliön keskiarvo on I 2 /2. RMS keskiarvo saadaan ottamalla virran neliön keskiarvosta neliöjuuri: I rms = I 2 (11.7) Kun vaihtovirta kulkee resistanssin läpi, saadaan lämmöksi muuttuvan energian teho selville kertomalla jännitteen RMS keskiarvo virran RMS keskiarvolla. Esimerkiksi normaalin verkkojännitteen RMS keskiarvo on 230 V, joten sen huippujännite (amplitudi) on V 325 V.

63 FYSI1120 Petri Välisuo 63 / Resistanssi ja reaktanssi Resistanssi vaihtovirtapiirissä Kun resistanssi kytketään vaihtovirtapiiriin, sen yli vaikutta ohmin lain mukainen jännite, jonka tehollisarvo on: V R = IR (11.8) Ja sen hetkellisarvo: v R = V R cos(ωt) = RI cos(ωt) (11.9) Resistanssin läpi kulkeva virta aiheuttaa siis resistanssissa jännitehäviön, joka on samassa vaiheessa virran kanssa. Kela vaihtovirtapiirissä Johdetaan kelan, jonka induktanssi on L läpi vaihtovirtaa, jonka lauseke on: i = I cos(ωt). Tällöin kelan yli vaikuttava jännite on: v L = L di dt = IωLsin(ωt) = IωLcos(ωt + 90 ) (11.10) Kelan yli vaikuttava jännite on eri vaiheessa virran kanssa. Yleensä jännitteen vaihetta verrataan juuri virran vaiheeseen, kuten yllä olevassa kaavassa on tehty. Sanotaan että kelan yli oleva jännite on +90 vaihesiirrossa virtaan nähden. Vaihesiirtoa merkitään usein φ:llä. Se ilmoittaa jännitteen vaihe eroa virtaan nähden. Kelan yli olevan jännitteen amplitudi on V L = IωL. Määritetään kelan induktiivinen reaktanssi X L = ωl (11.11) Tällöin kelan yli olevan jännitteen amplitudi on V L = X L I. Kondensaattori vaihtovirtapiirissä Kytketään sitten kondensaattori vaihtovirtapiiriin, ja johdetaan sen läpi vaihtovirtaa. Kondensaattorin yli vaikuttava jännite on suoraan verrannollinen varaukseen

64 FYSI1120 Petri Välisuo 64 / 72 (U = Q/C) ja virta on varauksen derivaatta. Johdetaan jännitteen lauseke näiden tietojen perusteella: i = dq dt = I cos(ωt) (11.12) Siirretään taas varausta sisältävät termit toiselle puolelle ja ajan sisältävät termit toiselle puolelle, kertomalla dt:llä. Sitten integroidaan yhtälö, ja saadaan: q = I sin(ωt) (11.13) ω Tästä saamme kondensaattorin yli vaikuttavan jännitteen hetkellisarvon lausekkeen: u C = I ωc sin(ωt) = I ωc cos(ωt 90 ) (11.14) Samoin kuin äsken, määritellään kapasitiivinen reaktanssi niin että se on jännitteen ja virran amplitudien suhde: X C = 1 ωc (11.15) Tällöin kondensaattorin yli vaikuttava jännite voidaan lausua virran avulla: V C = X C I (11.16) Yhteenveto Resistanssissa siis virta ja jännite ovat samassa vaiheessa. Jännitteen ja virran amplitudit määrää resistanssi: U = RI. Induktanssissa jännite on 90 virtaa edellä. Jännitteen ja virran suhteen määrää induktiivinen reaktanssi: U = X L I. Kapasitanssissa jännite on 90 virtaa jäljessä. Jännitteen ja virran suhteen määrää kapasitiivinen reaktanssi: U = X C I LRC sarjaankytkentä Kun piirissä on sekä induktiivista että kapasitiivista reaktanssia, pitää koko ajan huomioida sekä jännitteen amplitudi että vaihe. Yleensä hyvänä apuna on käyttää osoitindiagrammeja.

65 FYSI1120 Petri Välisuo 65 / 72 Vaihtovirtapiireissäkin toimii edelleen Kirchoffin silmukkasääntö. Eli jännitteen hetkellisarvojen summa silmukassa on aina nolla. Lisäksi, kuvattaessa jännitteitä osoittimilla, kaikkien suljetun silmukan jänniteosoittimien vektorisumma on nolla. Tarkastellaan piiriä, jossa on kytketty sarjaan vaihtovirtalähde, resistanssi, induktanssi ja kapasitanssi. Koska induktanssin jännite on 90 virran edellä ja kapasitanssin jännite on samanverran virtaa jäljessä, niin kapasitanssin ja induktanssin jännitteiden välinen vaihesiirto on 180. V C ja V L ovat siis samalla suoralla, mutta osoittavat vastakkaisiin suuntiin. Molemmat niistä ovat kohtisuorassa resistanssin yli vaikuttavaa jännitettä V R vastaan. Siksi näiden kolmen jänniteosoittimen vektorisumma voidaan laskea pythagoraan lauseella: V = VR 2 + (V L V C ) 2 = (IR) 2 + (IX L IX C ) 2 = I R 2 + (X L X C ) 2 (11.17) I:n kerrointa nimitetään piirin impedanssiksi: Z = R 2 + (X L X C ) 2 = R 2 + (ωl 1 ωc )2 (11.18) Impedanssin avulla jännitteen lauseke voidaa esittää ohmin lakia muistuttavalla tavalla: V = IZ (11.19) Impedanssin aiheuttaman vaihesiirron tangentti on reaktanssin ja resistanssin suhde, eli: tan(φ) = ωl 1/(ωC) R (11.20) Nämä kaavat johdettiin suureiden amplitudeille. Koska sekä virrat, että jännitteet olivat sinimuotoisia, niin niiden RMS keskiarvo saadaan jakamalla huippuarvo (=ampltitudi) neliöjuuri kahdella. Tällainen vakiolla skaalaus ei vaikuta yhtälöihin, joten ne pätevät yhtä hyvin myös tehollisarvoille, joten myös pätee: V rms = I rms Z (11.21)

66 FYSI1120 Petri Välisuo 66 / Teho vaihtovirtapiirissä Vaihtovirtapiirin komponenttiin tuoma hetkellisteho on p = vi (11.22) Jos komponentti on puhtaasti resistiivinen, niin: p = Rcos 2 (ωt), jolloin sen keskiarvo: P av = 1 2 V I = 1 2 RI2 = V rms I rms (11.23) Jos komponentti taas on puhtaasti induktiivinen, niin silloin virta ja jännite ovat 90 vaihesiirrossa. Tästä on seurauksena se, että virran ja jännitteen tulo on välillä positiivinen ja välillä negatiivinen, eli komponentti välillä varastoi energiaa, ja välillä vapauttaa sitä. Siksi komponenttiin siirtyvän energian keskiarvo on nolla. Jos komponentti on puhtaasti kapasitiivinen, niin silloin virran ja jännitteen välinen vaihesiirto on 90, ja taas komponentti vuoroin varastoi ja vuoroin vapauttaa energiaa, ja keskimääräinen teho on nolla. Kun komponentti koostuu sekä resistiivisistä että reaktiivisista osista, niin silloin hetkellistehon lauseke on: p = vi = ( V cos(ωt + φ) )( I cos(ωt) ) = ( V (cos(ωt)cos(φ) sin(ωt)sin(φ)) )( I cos(ωt) ) = V I cos(φ)cos 2 (ωt) V I sin(φ)cos(ωt)sin(ωt) (11.24) Koska cos 2 (ωt):n keskiarvon on 1/2 ja cos(ωt)sin(ωt):n keskiarvo on nolla, niin tehon keskiarvo on: P = 1 2 V I cosφ = V rmsi rms cosφ (11.25) Tekijää cos φ nimitetään vaihtovirtapiirin tehokertoimeksi. Piirin teho on suurimmillaan silloin kun kuorma on puhtaasti resistiivinen, eli cos(φ) = 1. Jos kuorma on puhtaasti reaktiivinen, eli cos(φ) = 0, niin silloin keskimääräinen tehokin on nolla Resonanssi vaihtovirtapiirissä LRC piirien käytännön merkitys vaihtovirtapiireissä perustuu siihen, että piiri vaikuttaa eri tavalla eri taajuiseen vaihtovirtaan. Yksi käyttötarkoitus on virittää

67 FYSI1120 Petri Välisuo 67 / 72 vastaanotinpiiri siten, että haluttu taajuus alkaa värähdellä piirissä, jolloin se vahvistuu. Tällä tavalla esimerkiksi radio voi vastaanottaa juuri tietyn taajuisen kantoaallon, ja jolla reagoimatta merkittävästi muihin taajuuksiin. Tämänkaltaisen käyttötarkoituksen tarkastelemiseksi, tehdään koekytkentä, jossa vaihtojännitelähde kytketään LRC piiriin. Tällöin piirin virta on I = V /Z, jossa piirin impedanssi: Z = R 2 + (X L X C ) (11.26) Reaktanssit X L ja X C muuttuvat taajuuden funktioina. Piirissä kulkee suurin virta silloin, kun piirin resonansi on minimissään. Impedanssin minimiarvo piirillä on silloin kun: X L = X C (11.27) ωl = 1 ωc (11.28) ω = 1 LC (11.29) Tämä taajuus on sama kuin piirin oma värähtelytaajuus, eli resonanssitaajuus Muuntajat Muuntajassa on kaksi käämiä: ensiö ja toisiokäämi (primary and secondary winding), joilla on yhteinen ferromagneettisesta materiaalista tehty sydän. Sydän johtaa erittäin hyvin magneettivuota, joten käytännössä koko magneettivuo Φ B kulkee sydämmessä, ja siten molempien käämien läpi. Muuntajan ensiökäämiin tuodaan vaihtovirta I. Tällöin käämeihin indusoitunet sähkömotoriset voimat ovat siten: ja E 1 = N 1 dφ B dt (11.30) E 2 = N 2 dφ B dt (11.31) Käämeihin indusoituneiden sähkömotoristen voimien suhde on: E 2 = N 2 (11.32) E 1 N 1

68 FYSI1120 Petri Välisuo 68 / 72, jossa N 1 on ensiökäämin ja N 2 toisiokäämin kierrosluku. Jos oletamme että käämin resistanssi on merkityksettömän pieni, niin silloin käämin napajännitteet ovat yhtä suuria kuin sähkömotorinen voima, joten: V 2 V 1 = N 2 N 1 (11.33) Eli käämien jännitteiden suhde on sama kuin niiden kierroslukujen suhde. Tämä muuntajan muuntosuhde voidaan helposti valita käyttämällä sopivia kierroslukujen suhdetta. Kun nyt toisiokäämiä kuormitetaan resistanssilla R, niin muuntajan toisiokäämi syöttää siihen tehon P = V 2 I 2. Jos muuntaja oletetaan häviöttömäksi, niin tämä sama teho pitää syöttää ensiökäämiin, joten P = V 1 I 1 = V 2 I 2 (11.34) Sijoitetaan tähän yhtälöön ensin toisiovirran lauseke I 2 = V 2 /R, ja sitten toisiojännitteen lauseke V 2 = V 1 (N 2 /N 1 ): ( ) V 2 V 1 I 1 = V 2 R = N V 1 N 1 R = V 1 2N2 2 N1 2R I 1 = V 1 N2 2 R N1 2 (11.35) Ensiöpuolta näyttäisi kuormittavan resistanssi, jonka suuruus on: R = V 1 I 1 = R N 2 1 /N2 2 (11.36) Eli muuntajan takana oleva resistanssi näyttääkin resistanssilta, jonka suuruus on skaalattu käämien kierrosmäärien suhteen neliöllä: (N 1 /N 2 ) 2. Muuntajan sydämmessä kulkeva muuttuva magneettivuo indusoi ympärilleen pyörrevirtoja. Pyörrevirrat kuumentavat sydäntä ja aiheuttavat tehohäviöitä. Näitä haittoja pyritään vähentämään koostamalla sydän umpinaisen raudan sijasta ohuista, toisistaan eristetyistä levyistä, jolloin pyörrevirtojen kulku vaikeutuu.

69 FYSI1120 Petri Välisuo 69 / Sähkömagneettiset aallot 12.1 Maxwellin yhtälöt ja sähkömagneettiset aallot Maxwellin yhtälöt (9.8) osoittavat, että muuttuva magneettikenttä voi indusoida sähkökentän ja päinvastoin. Magneettikenttä ja sähkökenttä voivat ylläpitää toisiaan tällä tavalla jopa tyhjiössä, kuljettaen mukanaan energiaa. Valo on yksi sähkömagneettisen kentän mukanaan kuljettama energiamuoto. Sähkökentän muutos aiheuttaa Amperen lain mukaan magneettikentän ja magneettikentän muutos aiheuttaa Faradayn lain mukaan sähkökentän. Jos siis voidaan keinotekoisesti muuttaa esimerkiksi magneettikenttää jossain kohdassa, aiheuttaa tämä muutos myös muutoksen magneettikentässä poikkeamakohdan ympäristössä, ja kentiin aiheutettu häiriö lähtee etenemään, kuten ääniaalto ilmassa. Syntyy sähkömagneettinen aalto. Esimerkiksi radio ja televisilähetykset sekä kännykät toimivat siten, että ne lähettävät ja vastaanottavat sähkömagneettisia aaltoja. Poikkeama sähkömagneettiseen kenttään saadaan aikaiseksi antennilla, jota pitkin kuljetetaan virtaa, joka aiheuttaa ympärilleen magneettikentän. Maxwellin yhtälöt integraalimuodossa ovat: Gaussin laki sähkökentälle: D d S = Q encl S Gaussin laki magneettikentälle: B d S = 0 S Faradayn laki: L Amperen laki: L E d l = Φ B t H d l = I + Ψ t (12.1a) (12.1b) (12.1c) (12.1d) Yhtälöiden mukaan, paikallaan oleva varaus muodostaa sähkökentän, mutta ei magneettikenttää. Kun taas liikkeellä oleva varaus aiheuttaa sekä magneettikentän

70 FYSI1120 Petri Välisuo 70 / 72 että sähkökentän. Yhtälöistä nähdään myös, että vain kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus voi aiheuttaa sähkömagneettisen aallon. Itse asiassa kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus säteilee aina sähkömagneettista säteilyä. Kun esimerkiksi johtimessa kulkee vaihtovirtaa, ovat varauksen kuljettajat melkein koko ajan kiihtyvässä liikkeessä Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Oletetaan, että positiivsen x akselin suuntaan etenee nopeudella c sähkömagneettinen tasoaalto, jonka sähkökenttä on y akselin suuntainen ja magneettikenttä z akselin suuntainen. Selvitetään, onko tällainen tasoaalto Maxwellin yhtälöiden mukainen, ja millä nopeudella se mahtaa edetä. Lähdetään liikkeelle Gaussin laista sähkökentälle. Valitaan gaussin pinnaksi suorakaide, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaisia. Oletetaan että sähkömagneettinen aalto etenee tyhjiössä tai ilmassa, jolloin se ei sisällä varauksia eikä virtoja. Tällöin sekä kokonais sähkövuon että magneettivuon gaussin pinnan läpi tulee lsolla nolla. Sähkö ja magneettikentät tulevat toiselta puolelta laatikkoon sisään, ja menevät toiselta puolelta ulos, joten selvästi kokonaisvuot ovat nollia. Mutta jos kentällä olisi pitkittäinen komponentti, tämä ei pitäisi paikkaansa, joten kentän on oltava pelkästään poikittainen (traverse) etenemissuuntaan nähden. Seuraavaksi tarkastellaan Faradayn lakia suorakaiteeseen, joka on yhdensuuntainen xy tason kanssa. Valitaan suorakaidetta vastaavan tason tasovektorin suunnakksi positiivisen z akselin suunta. Olkoon suorakaiteen korkeus a, ja sen leveys x ( A = xa ˆk). Sijoitetaan suorakaide siten, että sen toinen pääty on aaltorintaman sisällä, ja toinen pääty sen edellä. Sitten integroimme sähkökentän suorakaiteen ympäri, vastapäivään. Suorakaiteen sivuja pitkin kuljettessa, sähkökenttä on oletuksen mukaan kohtisuorassa kulkureittiä vasten, joten integraaliin ei kerry mitään. Aaltorintaman edellä kenttä ei vielä vaikuta, joten integraalia ei kerry sielläkään. Ainoa reitin osuus, jossa E d l on nollasta eroava, on suorakaiteen aaltorintaman puoleinen pääty, joten E d l = Ea (12.2) Ajassa dt, aaltorintama ehtii liikkua matkan c dt. Tällöin aaltorintaman sisäpuolelle olevan suorakaiteen osan pinta ala kasvaa määrän ac dt, jolloin magneettivuon muutosnopeus on: dφ B dt = Bac (12.3) Faradayn lain mukaan magneettivuon muutosnopeuden vastaluvun tulee olla yhtä

71 FYSI1120 Petri Välisuo 71 / 72 suuri kuin yllä olevan integraalin, joten: Ea = Bac E = cb (12.4) Eli, jotta aaltorintama toteuttaisi Faradayn lain, sen sähkökentän amplitudin pitää olla aallon etenemisnopeus kertaa magneettikentän amplitudi. Sitten teemme vielä saman tarkistuksen Amperen laille. Määritellään nyt suorakaide, joka sijaitseekin xz tasossa. Olkoon tämänkin suorakaiteen leveys a, ja pituus x. Suorakaiteen sisään jäävän tason suunnaksi valitaan positiivisen y akselin suunta. Kun nyt integroidaan suorakaiteen muodostaman reitin ympäri magneettikentän ja reitinpätkän pistetuloa, niin saamme samoin kuin Faradyn laillekkin: H d l = Ha = B µ 0 a (12.5) Ajassa dt suorakaiteen läpi kulkevan sähkövuon määrä muuttuu taas määrän: Ψ t = Dac = ε 0 Eac (12.6), jonka pitää Amperen lain mukaan olla yhtä suuri kuin yllä olevan integraalin: B µ 0 a = ε 0 Eac B = ε 0 µ 0 ce (12.7) Tasoaalto voi siis olla Amperen lain mukainen vain, jos magneettikentän amplitudi on yllä olevan yhtälön mukainen. Koska sekä Faradyn että Amperen lain tulee olla molempien voimassa yhtä aikaa, niin, se voi toteutua vain jos c = 1 ε0 µ m/s (12.8) Lähdimme siis liikkeelle yksinkertaisesta tasomaisesta aaltorintamasta, ja selvitimme mitä ehtoja Maxwellin yhtälöt aaltorintaman sähkö ja magneettikentille muodostavat. Saimme selville, että: Aaltoliike on poikittaista. Sekä sähkökenttä että magneettikenttä ovat kohtisuorassa etenemissuuntaa vasten.

72 FYSI1120 Petri Välisuo 72 / 72 Sähkökentän ja magneettikentän voimakkuuksien välinen suhde on tarkkaan määrätty. Aalto kulkee tyhjiössä vakionopeudella, c. Vaikka tässä käsiteltiinkin vain teräväreunaista aaltorintamaa, niin tulokset ovat yleisempiä. Esimerkiksi sinimuotoinen poikittainen aaltoliike voidaan koostaa erisuuruisten aaltorintamien summana, joten sen tulee noudattaa samoja periaatteita Sinimuotoiset sähkömagneettiset allot Sinimuotoinen sähkömagneettinen aalto voidaan kuvata samalla tavoin kuin mekaaninenkin aaltoliike. Poikittainen sinimuotoinen sähkömagneettinen aaltoliike, joka etenee positiivisen x akselin suuntaan, voidaankin siis kuvata sähkö ja magneettikenttien aaltofunktioiden avulla: E(x,t) = E max ĵsin(ωt kx) B(x,t) = B max ˆksin(ωt kx) E max = cb max (12.9a) (12.9b) (12.9c) Jos aaltoliike eteneekin negatiivisen x akselin suuntaan, niin silloin sitä kuvaavat aaltofunktiot ovat: E(x,t) = E max ĵsin(ωt + kx) B(x,t) = B max ˆksin(ωt + kx) E max = cb max (12.10a) (12.10b) (12.10c) Sähkökenttä on nyt erisuuntainen kuin positiiviseen suuntaan kulkevalla aallolla. Poikittaisen aallon etenemissuunta on sama kuin sähkökentän ja magneettikentän ristitulon suunta Sähkömagneettisen aallon energia 12.5 Seisovat sähkömagneettiset aallot 12.6 Sähkömagneettinen spektri 12.7 Antennit

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =

Lisätiedot

Fysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto

Fysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot

Luku 23. Esitiedot Työ, konservatiivinen voima ja mekaaninen potentiaalienergia Sähkökenttä

Luku 23. Esitiedot Työ, konservatiivinen voima ja mekaaninen potentiaalienergia Sähkökenttä Luku 23 Tavoitteet: Määritellä potentiaalienergia potentiaali ja potentiaaliero ja selvittää, miten ne liittyvät toisiinsa Määrittää pistevarauksen potentiaali ja sen avulla mielivaltaisen varausjakauman

Lisätiedot

SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV

SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas [email protected] Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

SÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä:

SÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä: FY6 SÄHKÖ Tavoitteet Kurssin tavoitteena on, että opiskelija ymmärtää sähköön liittyviä peruskäsitteitä, tutustuu mittaustekniikkaan osaa tehdä sähköopin perusmittauksia sekä rakentaa ja tutkia yksinkertaisia

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

RATKAISUT: 18. Sähkökenttä

RATKAISUT: 18. Sähkökenttä Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että

Lisätiedot

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän 3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali

Lisätiedot

kipinäpurkauksena, josta salama on esimerkki.

kipinäpurkauksena, josta salama on esimerkki. Sähkö 25 Esineet saavat sähkövarauksen hankauksessa kipinäpurkauksena, josta salama on esimerkki. Hankauksessa esineet voivat varautua sähköisesti. Varaukset syntyvät, koska hankauksessa kappaleesta siirtyy

Lisätiedot

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

Elektroniikka. Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist

Elektroniikka. Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist Elektroniikka Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist Kurssin sisältö Sähköopin perusteet Elektroniikan perusteet Sähköturvallisuus ja lainsäädäntö Elektroniikka musiikkiteknologiassa Suoritustapa

Lisätiedot

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

Kuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/

Kuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/ 8 SÄHKÖMAGNETISMI 8.1 Yleistä Magneettisuus on eräs luonnon ilmiö, joka on tunnettu jo kauan, ja varmasti jokaisella on omia kokemuksia magneeteista ja magneettisuudesta. Uudempi havainto (1820, Christian

Lisätiedot

Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C

Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,

Lisätiedot

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0 Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten

Lisätiedot

Luku Ohmin laki

Luku Ohmin laki Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja

Lisätiedot

SÄHKÖTEKNIIKKA. NTUTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015

SÄHKÖTEKNIIKKA. NTUTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015 SÄHKÖTEKNIIKKA NTTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015 1. PERSKÄSITTEITÄ 1.1. VIRTAPIIRI Virtapiiri on johtimista ja komponenteista tehty reitti, jossa sähkövirta kulkee. 2 Virtapiirissä on vähintään

Lisätiedot

FY6 - Soveltavat tehtävät

FY6 - Soveltavat tehtävät FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.

Lisätiedot

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN 766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

SÄHKÖTEKNIIKKA. NBIELS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2015

SÄHKÖTEKNIIKKA. NBIELS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2015 SÄHKÖTEKNIIKKA NBIELS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2015 1. PERSKÄSITTEITÄ 1.1. VIRTAPIIRI Virtapiiri on johtimista ja komponenteista tehty reitti, jossa sähkövirta kulkee. 2 Virtapiirissä on vähintään

Lisätiedot

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän

Lisätiedot

a P en.pdf KOKEET;

a P  en.pdf KOKEET; Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten

Lisätiedot

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi Physica 9. painos (0) RATKAST. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi RATKAST:. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi. a) Vaihtovirran tehollinen arvo on yhtä suuri kuin sellaisen tasavirran arvo, joka tuottaa vastuksessa

Lisätiedot

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.

Lisätiedot

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 1. RESISTANSSI Resistanssi kuvaa komponentin tms. kykyä vastustaa sähkövirran kulkua Johtimen tai komponentin jännite on verrannollinen

Lisätiedot

1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla

1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Fy3: Sähkö 1. Tasavirta Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Sähkövirta I Sähkövirran suunta on valittu jännitelähteen plusnavasta miinusnapaan (elektronit

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän

Lisätiedot

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! 6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Passiiviset piirikomponentit Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet vastus käämi kondensaattori puolijohdekomponentit Tarkoitus on esitellä piiriteorian

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELECA4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 2 Gaussin laki (YF 22) Oppimistavoitteet Varaus

Lisätiedot

Coulombin laki ja sähkökenttä

Coulombin laki ja sähkökenttä Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista;

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä

Lisätiedot

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon 30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten

Lisätiedot

14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1. I 1 I 3 liitos + - R 2. silmukka. Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä.

14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1. I 1 I 3 liitos + - R 2. silmukka. Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä. Luku 14 Lineaaripiirit Lineaaripiireillä ymmärretään verkkoja, joiden jokaisessa haarassa jännite on verrannollinen virtaan, ts. Ohmin laki on voimassa. Lineaariset piirit voivat siis sisältää jännitelähteitä,

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN [email protected] +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

Luku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan

Luku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

&()'#*#+)##'% +'##$,),#%'

&()'#*#+)##'% +'##$,),#%' "$ %"&'$ &()'*+)'% +'$,),%' )-.*0&1.& " $$ % &$' ((" ")"$ (( "$" *(+)) &$'$ & -.010212 +""$" 3 $,$ +"4$ + +( ")"" (( ()""$05"$$"" ")"" ) 0 5$ ( ($ ")" $67($"""*67+$++67""* ") """ 0 5"$ + $* ($0 + " " +""

Lisätiedot

Luku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan

Luku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään

Lisätiedot

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla

Lisätiedot

Sähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä

Sähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta.

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas [email protected] Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin

Lisätiedot

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys

Lisätiedot

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä

Lisätiedot

Passiiviset piirikomponentit. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Passiiviset piirikomponentit. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Passiiviset piirikomponentit 1 DEE-11000 Piirianalyysi Risto Mikkonen Passiiviset piirikomponentit - vastus Resistanssi on sähkövastuksen ominaisuus. Vastuksen yli vaikuttava jännite

Lisätiedot

Fysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus)

Fysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus) Fysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus) 1) MEKANIIKKA Vuorovaikutus vuorovaikutuksessa kaksi kappaletta vaikuttaa toisiinsa ja vaikutukset havaitaan molemmissa kappaleissa samanaikaisesti lajit: kosketus-/etä-

Lisätiedot

Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0

Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: tasaisesti varautut levyt Tiedämme edeltä: sähkökenttä E on vakio A B Huomaa yksiköt: Potentiaalin muutos pituusyksikköä

Lisätiedot

1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8

1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 4 Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Kondensaattorit

Lisätiedot

Potentiaali ja potentiaalienergia

Potentiaali ja potentiaalienergia Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään vastaavalla tavalla kuin sähkövuo Ψ Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alan A pistetulo Φ= B A= BAcosθ

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta

Lisätiedot

Aiheena tänään. Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio. Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio

Aiheena tänään. Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio. Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio Sähkömagnetismi 2 Aiheena tänään Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio Käämiin vaikuttava momentti Magneettikentässä olevaan

Lisätiedot

SATE2180 Kenttäteorian perusteet Induktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV

SATE2180 Kenttäteorian perusteet Induktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV SATE2180 Kenttäteorian perusteet nduktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV nduktanssin määrittäminen Virta kulkee johtimessa, jonka poikkipinta on S a J S a d S A H F S b Virta aiheuttaa magneettikentän

Lisätiedot

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista?

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018

Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen

Lisätiedot

Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista

Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)

Lisätiedot

Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen

Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen EMC - Kaapelointi ja kytkeytyminen Kaapelointi merkittävä EMC-ominaisuuksien kannalta yleensä pituudeltaan suurin elektroniikan osa > toimii helposti antennina

Lisätiedot

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista?

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten

Lisätiedot

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Virta alkaa kulkea, kondensaattori varautua, vastustaa yhä enemmän virran kulkua I Kirchhoffin lait ovat hyvä idea 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu: 2.

Lisätiedot

KURSSIN TÄRKEIMPIÄ AIHEITA

KURSSIN TÄRKEIMPIÄ AIHEITA KURSSIN TÄRKEIMPIÄ AIHEITA varausjakauman sähköken/ä, Coulombin laki virtajakauman ken/ä, Biot n ja Savar8n laki erilaisten (piste ja jatkuvien) varaus ja virtajakautumien poten8aalienergia, poten8aali,

Lisätiedot

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen

Lisätiedot

Fy06 Koe ratkaisut 29.5.2012 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/13

Fy06 Koe ratkaisut 29.5.2012 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/13 Fy06 Koe ratkaisut 9.5.0 Kuopion Lyseon lukio (KK) 5/3 Koe. Yksilöosio. 6p/tehtävä.. Kun 4,5 V:n paristo kytketään laitteeseen, virtapiirissä kulkee,0 A:n suuruinen sähkövirta ja pariston napojen välinen

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

Muuntajan toiminnasta löytyy tietoja tämän työohjeen teoriaselostuksen lisäksi esimerkiksi viitteistä [1] - [4].

Muuntajan toiminnasta löytyy tietoja tämän työohjeen teoriaselostuksen lisäksi esimerkiksi viitteistä [1] - [4]. FYS 102 / K6. MUUNTAJA 1. Johdanto Muuntajassa on kaksi eristetystä sähköjohdosta kierrettyä kelaa yhdistetty rautasydämellä ensiöpiiriksi ja toisiopiiriksi. Muuntajan toiminta perustuu sähkömagneettiseen

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................

Lisätiedot

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

Magneettikenttä ja sähkökenttä

Magneettikenttä ja sähkökenttä Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin lait,

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä kaikessa fysiikassa. Sähköja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Keskinäisinduktanssi induktiivisesti kytkeytyneet komponentit muuntajan toimintaperiaate T-sijaiskytkentä kytketyn piirin energia KESKINÄISINDUKTANSSI M Faraday: magneettikentän

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan

Lisätiedot

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT 1/32 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Kenttäilmiöt Sähkö- ja magneettikentät Vaikeasti havaittavissa ihmisen aistein!

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE-0: SÄHKÖTEKNIIKAN PEUSTEET Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan

Lisätiedot

Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/

Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/ 4.1 Kirchhoffin lait Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/ Katso Kimmo Koivunoron video: Kirchhoffin 2. laki http://www.youtube.com/watch?v=2ik5os2enos

Lisätiedot