Fysiikan perusteet 2

Transkriptio

1 Fysiikan perusteet 2 Petri Välisuo petri.valisuo@uva.fi 2. lokakuuta 2013 Sisältö 1 Sähkövaraus ja sähkökenttä Sähkövaraus ja aineen rakenne Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Coulombin laki Sähkökenttä ja sähköinen voima Sähkökentän voimaviivat Sähköinen dipoli Gaussin laki Varaus ja sähkökentän vuo Gaussin laki Gaussin lauseen sovelluksia Varaukset johteissa Sähköinen potentiaali Sähköinen potentiaalienergia Sähköinen potentiaali, eli jännite Tasapotentiaalipinnat

2 FYSI1120 Petri Välisuo 2 / Potentiaalin gradientti Kuvaputki Kenttien laskeminen tietokoneella Kapasitanssi ja eristeet Kondensaattorit ja kapasitanssi Sarjaan ja rinnan kytketyt kondensaattorit Kondensaattorin ja sähkökentän energia Eristeet Gaussin laki eristeessä Sähkövirta Resistanssi ja Sähkömotorinen voima Sähkövirta Resistiivisyys ja Resistanssi Sähkömotorinen voima ja sähköiset piirit Teho ja energia sähköisissä piireissä Tasavirtapiirit Resistanssit sarjassa ja rinnan Kirchoffin virtalaki Kirchoffin jännitelaki Theveninin teoreema Nortonin teoreema RC-Piirit Magneettikenttä ja magneettikentän voimat Magneettikenttä Magneettikentän voimaviivat ja vuo Varattujen kappaleiden liike ja magneettikenttä

3 FYSI1120 Petri Välisuo 3 / Sovelluksia Magneettikentän voima ja virrallinen johdin Virtasilmukan voima ja vääntömomentti Magneettikentän lähteet Liikkuvan varauksen magneettikenttä Sähkövirran aiheuttama magneettikenttä Samansuuntaisten virrallisten johtimien välinen voima Ympyränmuotoisen virtasilmukan magneettikenttä Amperen laki Siirtymävirta Sähkömagneettinen induktio Faradin laki Lenzin laki Liikkeestä aiheutuva sähkömotorinen voima Pyörrevirrat Maxwellin yhtälöt Induktanssi Keskinäisinduktanssi Itseinduktanssi Magneettikentän energia R L piirit LC piirit LRC sarjaankytkentä Vaihtovirta Vaihtovirran osoitinesitys

4 FYSI1120 Petri Välisuo 4 / Resistanssi ja reaktanssi LRC sarjaankytkentä Teho vaihtovirtapiirissä Resonanssi vaihtovirtapiirissä Muuntajat Sähkömagneettiset aallot Maxwellin yhtälöt ja sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettiset tasoaallot ja valon nopeus Sinimuotoiset sähkömagneettiset allot Sähkömagneettisen aallon energia Seisovat sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettinen spektri Antennit

5 FYSI1120 Petri Välisuo 5 / 72 1 Sähkövaraus ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja aineen rakenne Samanmerkkiset sähkövaraukset hylkivät toisiaan, vastakkaismerkkiset vetävät toisiaan puoleensa. Atomi koostuu elektroneista protoneista ja neutroneista, elektroneilla on negatiivinen varaus ja protoneilla samansuuruinen positiivinen varaus. Protonit ja neutronit sijaitsevat atomin keskustassa, niitä pitää toisissaan vahva voima. Vahav voima estää samanmerkkisesti varautuneita protoneja työntämästä toisiaan luotaan. Elektronit kiertävät positiivisesti latautunutta ydintä, niitä pitää radallaan oman negatiivisen varauksensa ja positiivisesti varautuneen ytimen välinen sähköinen vetovoima. Atomit ovat normaalisti sähköisesti neutraaleja, eli niissä on yhtä monta elektronia kuin protoniakin. Atomit voivat kuitenkin ionisoitua, eli siitä voi poistua elektroneja tai siihen voi tullaa lisää elektroneja, jolloin syntyy positiivisia tai negatiivisia ioneja. Tärkeä perusperiaate on nettovarauksen säilymisen laki: Kaikkien suljetussa järjestelmässä olevien varauksien yhteissumma on aina vakio. Toisin sanoen varaus ei voi hävitä, eikä sitä voi syntyä tyhjästä. Protonin tai elektronin varaus (ns. alkeisvaraus) on pienin varauksen yksikkö. Kaikki varaukset ovat alkeisvarauksen monikertoja. 1.2 Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Materiaalia, joka pystyy kuljettamaan varauksia (johtamaan sähköä) kutsutaan johteeksi. Materiaalia joka ei pysty kuljettamaan varauksia (ei johda sähköä) kutsutaan eristeeksi. Monet metallit ovat johteita ja epämetallit eristeitä. Metallisidoksessa elektronit pääsevät liikkumaan ja kuljettamaan mukanaan sähkövarausta.

6 FYSI1120 Petri Välisuo 6 / 72 Epämetallien sidosten elektronit ovat sidottuja, eivätkä pääse kuljettamaan varausta. Puolijohteet ovat eristeiden ja metallien välimaastossa, niiden sidoksissa on joko vähän ylimääräisiä elektroneja, jotka pääsevät liikkumaan (N tyypin puolijohde) tai vähän liian vähän elektroneja, jolloin elektronien vajauksen muodostamat aukot voivat kuljettaa varausta (P tyypin puolijohde) Johdekappale voidaan varata, koskettamalla sitä toisella varatulla johteella, jolloin elektronit virtaavat kappaleesta toiseen, saaden äsken neutraalinkin kappaleen varautumaan. Kun johteen lähelle tuodaan sähkövaraus, se indusoituu, eli johteen elektronit pyrkivät siirtymään positiivisen varauksen suuntaan tai poispäin negatiivisesta varauksesta. Indusoidun johteen kummallekkin puolelle tulee varaus, toiselle positiivinen ja toiselle negatiivinen. Jos varaus johdetaan pois johteen siltä puolelta, jossa ei ole indusoivaa varausta, johde varautuu. Jos eristeen lähelle tuodaan varaus, senkin alkeisvaraukset voivat siirtyä jonkin verran, joten sen reunat varautuvat. Sanotaan että eriste polarisoituu. Polarisaation ja induktion vaikutuksesta varattu kappale vetää puoleensa myös varaamattomia johteita ja eristeitä. 1.3 Coulombin laki Coulombin laki määrittelee pistevarausten välisen suuruuden. Pistevarauksella tarkoitetaan varattua kappaletta, jonka halkaisia on häviävän pieni verrattuna tarkasteluetäisyyteen r. Coulomb havaitsi, että kahden varauksen välinen voimavaikutus on kääntäen verrannollinen niiden välisen etäisyyden neliöön. Hän havaitsi myös että voimavaikutus on suoraan verrannollinen varausten tuloon. Varauksen yksikkö on Coulomb (1 C). Sen vastaa noin alkeisvarausta. Vastaavasti alkeisvaraus e = C (1.1) Merkitään varauksia symboleilla q 1 ja q 2, ja niiden välinen etäisyys olkoon r. Tällöin niiden välisen voiman suuruus saadaan Coulombin lain mukaan kaavasta: F = k q 1q 2 r 2 (1.2)

7 FYSI1120 Petri Välisuo 7 / 72, missä k on vakiokerroin, ns. Coulombin vakio. Mittauksilla sen suuruuden on havaittu olevan k = Nm 2 /C Nm 2 /C 2 (1.3) Coulombin vakio voidaan määrittää ja ilmaista myös valon nopeuden avulla, jolloin: k = (10 7 Ns 2 /C 2 )c 2 (1.4), missä c = m/s on valon nopeus tyhjössä. Monissa laskuissa k on kätevämpi esittää muodossa 1/(4πε 0 ), missä ε 0 on tyhjön permittiivisyys: ε 0 = C 2 /(Nm 2 ) (1.5) Tällöin Coulombin laki saa muodon F = 1 4πε 0 q 1 q 2 r 2 (1.6) Vaikka Coulombin laki käsitteleekin periaatteessa vain kahden varauksen vuorovaikutusta, sitä voidaan käyttää myös laskettaessa useampien pistevarausten keskinäisiä voimavaikutuksia. Tällöin tarkastellaan jokaista varausparia erikseen. Kokonaisvoima on varausparien välisten voimien vektorisumma. 1.4 Sähkökenttä ja sähköinen voima Pistevaraus synnyttää ympärilleen sähkökentän. Kentän voimakkuus voidaan selvittää sijoittamalla kenttään testivaraus q 0, johon kohdistuvan voiman avulla voidaan selvittää kentän voimakkuus. Sähkökentän voimakkuus määritellään olevan testivaraukseen kohdistuvan voiman suuruus jaettuna varauksen suuruudella, eri: E = F 0 q 0 (1.7) Sähkökenttän on vektorisuure, jonka suunta on sama kuin positiiviseen testivaraukseen kohdistuvan voiman suuruus.

8 FYSI1120 Petri Välisuo 8 / 72 Voima F 0 voidaan ilmoittaa Coulombin lain avulla. Sijoitetaan F:n lauseke kaavasta (1.6). Merkitään q 1 = q on varaus joka aiheuttaa sähkökentän, ja q 2 = q 0 on testivaraus. Tällöin saadaan pistevarauksen aihettamalle sähkökentälle lauseke: E = F q 0 = 1 4πε 0 q r 2 (1.8) Merkitään kentän synnyttävän varauksen q ja testivarauksen q 0 välistä vektoria symbolilla r. r:n suuntainen yksikkövektori saadaan jakamalla vektori omalla pituudellaan: ˆr = r r (1.9) Tällöin pistevarauksen sähkökenttä voidaan suuntineen kirjoittaa muodossa: E = 1 q ˆr (1.10) 4πε 0 r2 Usean pistevarauksen testivaraukseen aiheuttama resultanttivoima voidaan laskea pistevarausten aiheuttamien voimien vektorisummana: F 0 = F 1 + F 2 + F 3 + = q 0 E 1 + q 0 E 2 + q 0 E 3 + (1.11) Usean pistevarauksen yhdessä aiheuttama sähkökenttä saadaan siten: E = F 0 q 0 = E 1 + E 2 + E 3 + (1.12) Eli siis yhteussähkökenttäkin saadaan yksittäisten sähkökenttien vektorisummana. 1.5 Sähkökentän voimaviivat Sähkökentän voimaviiva (kenttäviiva) on kuviteltu viiva tai kaari, joka on piirretty siten että se on joka pisteessä siinä pisteessä olevan sähkökentän suuntainen. Positiivinen testivaraus, joka tiputetaan voimaviivalle, lähtisi liikkumaan voimaviivaa pitkin. Tämän vuoksi voimaviivat kulkevat siis aina poispäin positiivisesta varauksesta. Huomaa kuitenkin että jos levossa oleva varaus laitetaan sähkökenttään ja päästetään liikkeelle, se liikkuu vain aluksi voimaviivaa pitkin, mutta voi myöhemmin inertian vaikutuksesta poiketa voimaviivalta. Voimaviivojen välinen etäisyys viittaa kentänvoimakkuuteen. Siellä missä viivat ovat tiheässä, kenttä on voimakkaampi kuin siellä missä viivat ovat harvemmassa.

9 FYSI1120 Petri Välisuo 9 / 72 Kenttällä ei voi olla samassa pisteessä muuta kuin yksi suunta, joten voimaviivat eivät voi koskaan leikkata toisiaan. Tasaisessa (uniform) kentässä voimaviivat ovat yhdensuuntaisia ja ne ovat jakautuneet tasavälein. 1.6 Sähköinen dipoli Sähköinen dipoli koostuu kahdesta samansuuruisesta, mutta vastakkaismerkkisestä pistevarauksesta (q ja q), jotka on kiinnitetty toisiinsa etäisyydelle d. Dipoli käsitettä käytetään mm. antennien suunnittelussa, ja monet molekyylit muodostavat niinikään sähköisen dipolin. Koska dipolin varaukset ovat yhtäsuuret ja vastakkaismerkkiset, tasaisen sähkökentän siihen kohdistama nettovoima on aina nolla. Sen sijaan, varauksiin kohdistuvat voimat voivat aiheuttaa dipoliin vääntömomentin. Jos dipoli sijoitetaan sähkökenttään, niin että sähkökentän voimaviivojen ja dipolin välinen kulma on φ, niin silloin dipoliin kohdistuvat voimat ovat F + = F = q E (1.13) Näiden voimien aiheuttaman vääntömomentin suuruus on τ = τ + + τ = qe d 2 sin(φ) + qe d sin(φ) = (qe)(d sin(φ)) (1.14) 2 Tekijää p = qd (1.15) sanotaan dipolimomentiksi. Diplimomentti ei siis riipu sähkökentästä, eikä siitä mihin asentoon dipoli on sijoitettu, vaan ainoastaan dipolin fyysisestä rakenteesta. Kun dipolimomentin lauseke sijoitetaan dipolin vääntömomentin kaavaan (1.14), tulee vääntömomentin suuruuden lausekkeeksi: τ = pe sin(φ) (1.16) Dipolimomentille p on määritetty myös suunta. Vektori p osoittaa dipolin negatiivisesta varauksesta suoraan kohti dipolin positiivista varausta. Koska sähkökenttä

10 FYSI1120 Petri Välisuo 10 / 72 E on myös vektorisuure, niin sen dipoliin kohdistaman vääntömomentin suuruus ja suunta voidaan ilmoittaa myös dipolimomenttivektorin ja sähkökenttävektorin ristitulona: τ = p E (1.17) Ristitulon x y suuruushan on xysinφ, jossa φ on vektoreiden x ja y välinen kulma, ja x ja y kuvaavat vastaavien vektoreiden pituuksia. Ristitulon suunnan saa selville tutulla kolmen sormen säännöllä: Osoitetaan peukalolla ensimmäisen tulon tekijän ( x) suuntaan ja etusormella toisen tulon tekijän ( y) suuntaan. Silloin keskisormi osoittaa ristitulon suuntaan. Jos laittaa käden nyrkkiin ja nostaa peukalon pystyyn τ:n suuntaisesti, niin muut sormet osoittavat suunnan, johon dipoli pyrkii kääntymään vääntömomentin τ vaikutuksesta. Kun sähkökentön dipoliin kohdistama vääntömomentti kääntää dipolia, se tekee työtä, joka muuttaa dipolin potentiaalia. Häviävän pieni työmäärä dw saa dipolin kääntymään äärettömän pienen kulman dφ verran. Vääntömomentin tekemä työ on silloin dw = τdφ. Koska vääntömomentti vaikuttaa vastakkaiseen suuntaan kuin kulma φ muuttuu, niin τ = pe sinφ. Tällöin dw = pe sinφ dφ. Kokonaistyö joka tehdään, kun dipolia käännetään kulmasta φ 1 kulmaan φ 2 saadaan integroimalla: W = φ2 φ 1 ( pe sinφ)dφ = pe cosφ 2 pe cosφ 1 (1.18) Työ on potentiaalin muutoksen vastaluku, joten W = U 1 U 2. Valitaan potentiaalin nollatasoksi dipolin asento φ = φ 2 ja merkitään φ = φ 1. Tällöin dipolin potentiaalienergia tasaisessa sähkökentässä voidaan esittää muodossa: U(φ) = pe cosφ (1.19) Tämä lauseke taas voidaan esittää dipolimomentti ja sähkökenttävektoreiden skalaaritulona: U(φ) = p E (1.20) Skalaaritulon tulos on nimensä mukaisesti skalaari, eli sillä ei ole suuntaa. Potentiaali ei siis ole vektorisuure. Potentiaalin U minikohta on φ = 0, eli silloin kun dipoli on sähkökenttien voimaviivojen kanssa samansuuntainen. Maksimissaan potentiaali taas on silloin kun dipoli on kohtisuorassa voimaviivoja vastaan.

11 FYSI1120 Petri Välisuo 11 / 72 2 Gaussin laki 2.1 Varaus ja sähkökentän vuo Gaussin laki määrittelee suhteen suljetun pinnan läpi kulkevan sähkökentän vuon ja pinnan sisään jäävän varauksen välille. Sähkökentällä, E tarkoitetaan sähkökentän kokonaismäärää, eli kuvaannollisesti puhuen sähkökentän voimaviivojen määrää. Sähkövuon tiheydellä, D, tarkoitetaan taas sitä kuinka tiheässä voimaviivat ovat tietyllä alueella. Sähkövuon tiheys riippuu sähkökentän voimakkuudesta ja väliaineen ominaisuuksista seuraavasti: D = ε r ε 0 E [ D] = C/m 2 (2.1) Sähkökentän vuolla tarkoitetaan tietyn pinnan S läpi kulkevan sähkökentän E määrää. Pintavektorilla S tarkoitetaan vektoria, jonka suuruus on pinta ala S ja suunta on pinnan normaalin suunta. Pinnan normaali on suora, joka on kohtisuorassa pintaa vasten. Jos n on pinnan normaalin suuntainen yksikkövektori, niin silloin: S = S n [ S] = m 2 (2.2) Jos pinta S on kohtisuorassa tasaiseen sähkökenttään E nähden, niin silloin sähkökentän vuo kyseisen pinnan läpi: Ψ = DS = εes [Ψ] = C (2.3) Jos pinta on vinossa sähkökenttään E nähden, kulman φ verran, niin silloin sähkökentän vuo pinnan läpi saadaan selville projisoimalla pinta S sähkökenttää vasten kohtisuoralle tasolle, ja laskemalla sähkökentän vuo tämän projisoidun tason läpi, jolloin: Ψ = DScos(φ) (2.4) Toinen tapa kuvata ylläolevat kaavat on sähkökentän tiheysvektorin ja pintavektorin pistetulo: Ψ = D S (2.5) Huom! Monissa kirjoissa, kuten Youngin University Physics kirjassakin, sähkövuo esitetään muodossa: Φ E = E S = Ψ/ε [Φ E ] = CVm/As (2.6)

12 FYSI1120 Petri Välisuo 12 / 72 Tämä esitysmuoto ei ole ISO standardin mukainen ISO standarin mukaan sähkövuo määritellään yhtälön (2.5) mukaisesti, ja tämä esitysmuoto on siksi suositeltava, ja sitä käytetään tässä materiaalissa. Jos sähkökenttä ei ole tasainen, tai pinta S ei ole taso, vaan epämääräisempi, silloin vuon suuruus saadaan integroimalla. Jaetaan pinta S häviävän pieniin osiin ds. Koska nämä osat ovat äärettömän pieniä, niiden voidaan kuvitella olevan tasoja ja sähkökentän voidaan olettaa olevan vakio niin pienellä alueella. Tällöin niiden läpi kulkevan vuon suuruus on D d S tai E cosφ ds. Koko pinnan S kulkeva vuo saadaan siten summaamalla erillisten osasten läpi kulkeva vuo, eli: Ψ = Dcosφ ds = D d S (2.7) Jos alue ympäröidään kokonaan kuvitellulla suljetulla pinnalla, ja selvitetään pinnan läpi kulkeva vuo, saadaan selville pinnan rajoittamalta suljetulta alueelta lähtevän nettovuon suuruus. Jos alueelta lähtevän nettovuon suuruus on nolla, ei alueen sisällä voi olla varauksia. Eli varaukset ovat sähkövuon lähteitä. Sähkökentän voimaviivat lähtevät positiivesta varauksesta, ja päätyvät negatiiviseen varaukseen. Jos alueella ei ole positiivisia eikä negatiivisia varauksia, sinne ei tule eikä sieltä lähde voimaviivoja. Alueen ulkopuolella olevien varauksien voimaviivat voivat lävistää aluetta ympäröivän kuvitellun pinnan, mutta ne vain menevät toiselta puolelta sisään, ja toiselta ulos aiheuttamatta nettovuota. 2.2 Gaussin laki Gaussin laki ja Coulombin laki esittävät itse asiassa saman asian: Varausten ja sähkökentän välisen suhteen, mutta eri suunnalta ongelmaa lähestyen. Sijoitetaan koordinaatiston origoon pistevaraus q. Ympäröidään sitten pistevaraus kuvitteellisella origokeskisellä pallolla, jonka säde on R. Sähkökenttä missä tahansa kohdassa pallon pintaa on: E = 1 4πε 0 q R 2 (2.8) Vastaavasti sähkövuon tiheys: D = ε 0 E = 1 q 4π R 2 (2.9) Sähkökentän suunta on aina kohtisuoraan pallon pintaa vastaan. Kun nyt pallon pinta jaetaan äärettömän pieniin osiin ds, joiden voidaan ajatella olevan tasoja,

13 FYSI1120 Petri Välisuo 13 / 72 niin näiden tasojen läpi kulkevan magneettivuon suuruus on yksinkertaisesti E ds. Kokonaisvuo on siten: Ψ = D S = D ds = 1 q 4π R 2 (4πR2 ) = q (2.10) 1 Sähkökenttä voitiin siirtää integroinnin ulkopuolelle, sillä se oli sama pinnan jokaisessa kohdassa. Kun integroimalla summataan pelkkiä suljetun pinnan osia, on tuloksena tultava pinnan kokonaispinta ala. Tuloksesta nähdään, että sähkövuon suuruus ei riipu valitusta pallon säteestä, vaan ainoastaan pallon sisään jäävän varauksen määrästä. Toisin sanoen pinnan sisään jäävä varaus on pinnan lävistävän nettovuon lähde. Jos varausta ei ole, ei ole nettovuotakaan, ja jos varaus pysyy vakiona, pinnan lävistää aina sama vuo, riippumatta siitä minkä mallinen pinta on tai minkä kokoisen tilavuuden se sulkee sisäänsä. Näin ollen voimme sulkea alueen minkä tahansa mallisella kuvitellulla suljetulla pinnalla, laskea pinnan lävistävän nettovuon integroimalla, ja saada siten selville pinnan sisään jäävän sähkövarauksen suruus. Kaava pätee myös silloin, kun pinnan sisään jää useita pistevarauksia. Tulos voidaan yleistää Gaussin lauseeksi: Ψ = D d S = Q encl (2.11) S, jossa Q encl on pinnan sisäänsä sulkeman (enclosed) varauksen kokonaismäärä. 2.3 Gaussin lauseen sovelluksia Gaussin laki on voimassa kaikille varausjakaumille, ja kaikkille mahdollisille kuvitelluille suljetuille pinnoille. Sovelletaan sitä varattuun johdekappaleeseen. Johteessa varauksen kuljettajat pääsevät liikkumaan vapaasti. Kun johde varataan, sinne tulee joko positiivinen, tai negatiivinen varausylimäärä. Varatunkaan johteen sisällä ei kuitenkaan ole sähkökenttää, sillä jos siellä olisi, niin varauksenkuljettajat liikkuisivat niin kauan, että kenttä kumoutuisi. Ympärödään nyt kappaleen keskusta kuvitteellisella pinnalla, niin että pinta kulkee koko ajan johteen sisällä. Nettovuon tämän pinnan läpi on oltava nolla, koska johteessa ei ole sähkökenttää, joten termi D d S on koko ajan nolla. Tästä seuraa Gaussin lain 1 Rengas integraalimerkin ympärillä, ja alaindeksi S=surface muistuttavat siitä, että ollaan integroimassa suljetun pinnan yli.

14 FYSI1120 Petri Välisuo 14 / 72 mukaan, että myös pinnan sulkeman alueen sisään jäävän varauksen on pakko olla nolla. Tämä tulos pätee kaikilla johteen sisällä olevilla alueilla. Jos siis kaikkialla johteen sisällä nettovaraus on nolla, niin varausylimäärän on pakko sijaita kokonaisuudessan johteen pinnalla. 2.4 Varaukset johteissa Edellinen tulos pätee myös, vaikka johdekappale olisi keskeltä ontto. Oletetaan esimerkiksi, että onton johdepallon sisällä olevassa eristeessä on varaus q e. Johteessa itsessään on varaus q j. Sijoitamme nyt Gaussin pinnan pallon sisään, niin että se sijaitsee kokonaan johteessa. Taaskin johteessa sähkökenttä on nolla, joten pinnan läpi ei kulje sähkökenttää. Tämän vuoksi gaussin pinnan sulkemalla alueella ei voi olla nettovarausta. Koska pallon sisään jäävässä eristeessä oli varaus q e, on pinnan sisäänsä sulkeman johteen osan sisällettävä varaus q e, jotta nettovaraus olisi nolla. Ja koska johteessa varaus on aina johteen pinnalla, niin voimme päätellä että johdepallon sisäpinnalla on varaus q e ja ulkopinnalle olevan varauksen suuruudeksi jää siis q j q e. Jos pallon sisällä ei ole varausta, ja se asetetaan sähkökenttään, niin varauksen kuljettajat johteessa siirtyvät johteen reunoille niin, että ne kumoavat ulkoisen sähkökentän. Tämän vuoksi johdepallon ulkopuolella oleva sähkökenttä ei vaikuta onton johdepallon sisäpuolella. Tähän perustuu sähkömagneettiseen suojaukseen käytetty ns. Faradayn häkki: Suojattava kohde ympäröivään johdemateriaalista tehdyllä häkillä. Auton kori toimii Faradayn häkkinä salaman iskiessä, suojaten sisäpuolta sähkökentältä. Gausiin laista seuraavia muita mielenkiintoisia ilmiöitä Kun johtavan astian sisään lasketaan varattu johdekappale, ja sillä koskettaa astian pohjaa, menettää pohjaan laskettu kappale varauksensa kokonaan, koska se on tavallaan johteessa kulkevan gaussin pinnan sisällä, ei se voi jäädä varatuksi. Van de Graaff generaattori on johdepallo, josta tulee johdin pallon keskustaan. Kun tähän pallon keskustassa olevan johtimen päähän tuodaan varauksia, ne siirtyvät välittömästi pallon kehälle, vaikka pallo olisi jo ennestäänkin voimakkaasti varattu. Näin voidaan kehittää hyvin suuri jännite. Gaussin lauseen avulla voidaan laskea myös sähkökenttä välittömästi johteen pinnan ulkopuolella. Kuvitellaan matala sylinterimäinen Gaussin pinta (tabletti), jonka toinen pääty sijaitsee johteessa ja toinen pääty johteen ulkopuolella. Johteen pinnalla on pintavaraustiheys σ (C/m 2 ). Johteen pinnan tuntumassa sähkökenttä

15 FYSI1120 Petri Välisuo 15 / 72 on kohtisuora pintaa vasten, sillä jos sillä olisi myös pinnan suuntainen komponentti, pinnassa olevat varaukset siirtyisivät, niin että komponentti kumoutuisi. Koska sähkökenttä on kohtisuora pintaa vasten, ei se läpäise sylinterin sivuseinämiä lainkaan, vaan ainoastaan sen päädyt. Siten sähkövuon suuruus sylinterimäisen Gaussin pinnan läpi saadaan tässä tapauksessa laskemalla päiden läpi kulkevat sähkövuot yhteen. Sylinterin toinen pääty on johteessa, joten sen läpi ei kulje sähkövuota. Olkoon sähkökenttä pinnan tuntumasa E. Tällöin johteen ulkopuolella olevan päädyn läpi kulkeva sähkövuo: Ψ = DS = ε 0 ES, jonka pitää Gaussin lain mukaan vastata sylinterin sisäänsä sulkeman varauksen määrää, joten: DS = ε 0 ES = σs (2.12), josta saadaan ε 0 S:lla jakamalla: E = σ ε 0 (2.13), jossa siis E on pintaa vasten kohtisuoran sähkökentän suuruus, σ on pintavaraustiheys ja ε 0 on tyhjön permittiivisyys. 3 Sähköinen potentiaali 3.1 Sähköinen potentiaalienergia Työ, potentiaalienergia ja energian säilymisperiaate ovat hyödyllisiä käsitteistä niin mekaniikassa kuin sähkötekniikassakin. Sähkökentän potentiaali on hyvin samanlainen kuin gravitaatiokentänkin potentiaali. Kun varausta siirretään sähkökentässä (tai massaa gravitaatiokentässä), niin silloin varausta siirtävä voima F tekee kappaleelle työn W. Työ on tunnetusti voima kerrottuna matkalla, ja se saadaan laskettua viivaintegraalilla: W a b = b a F d l = b a F cosφ dl (3.1), jossa dl on äärettömän lyhyt pätkä kappaleen kulkemaa kaarta pitkin. φ on voiman ja kappaleen kulkuradan differentiaalin dl välinen kulma. Jos kappale kulkee suoraa pitkin matkan d ja voima F pysyy vakiona, niin silloin yllä oleva integraali yksinkertaistuu: b W a b = F cosφ dl = Fd cosφ (3.2) a

16 FYSI1120 Petri Välisuo 16 / 72 Sellaista voimakenttää, jonka kappaleelle tekemä työ riippuu vain kappaleen kulkureitin päätepisteistä, mutta ei ollenkaan siitä mitä reittiä sinne kuljettiin, kutsutaan konservatiiviseksi (conservative), eli pyörteettömäksi kentäksi. Tietyssä pisteessä a, konservatiivisessa kentässä olevalle kappaleelle voidaan määrittää potentiaalienergia U a. Jos vastaavasti kappale sijaitsisi kentän toisessa pisteessä b, sen potentiaalienergia olisi U b. Jos kappale halutaan siirtää pisteestä a pisteeseen b, sen potentiaalienergiataso muuttuu määrän U b U a. Siirtämiseen tarvittavan työn määrä on W a b = U b U a. Jos kappaleen energiataso on suurempi pisteessä b, niin silloin työ W on positiivinen, jos se taas on suurempi pistessä a, niin silloin työ on negatiivinen. Potentiaali tasaisessa sähkökentässä Tasaisessa sähkökentässä työ, joka pitää tehdä siirrettäessä varaus q matkan d a b voimaviivoja pitkin: W a b = Fd = q 0 Ed (3.3) Voimme määritellä lähtöpisteen potentiaalienergian nollatasoksi, jolloin siirroksen jälkeen varauksen sähköinen potentiaalienergia: U b = U a +W a b = W a b = q 0 Ed (3.4) Potentiaali kasvaa, jos varaus liikkuu sähkökentän siihen kohdistamaa voimaa vastaan, ja pienenee, jos varaus liikkuu sähkökentän voiman kanssa samaan suuntaan. Kahden pistevarauksen potentiaalienergia Sähköinen potentiaalienergia voidaan laajentaa myös pelkän tasaisen kentän sijasta mihin tahansa sähkökenttään. Mikä tahansa staattinen sähkökenttä voidaan esittää pistevarausten aiheuttaman kentän summana. Tarkastellaan ensin yksittäisen pistevarauksen aiheuttamaa kenttää, jossa toinen varaus liikkuu säteittäisesti, pisteestä a pisteeseen b. Tällöin tarvittava työ on (voima Coulombin laista): rb rb 1 qq 0 W a b = F r dr = r a r a 4πε 0 r 2 dr = qq ( ) (3.5) 4πε 0 r a r b

17 FYSI1120 Petri Välisuo 17 / 72 Jos varaus ei liiku säteittäisesti, vaan mielivaltaista reittiä l, niin silloin siirtymiseen tarvittava työmäärä saadaan kaavasta: W a b = b a F cosφ dl = rb 1 qq 0 cosφ dl (3.6) r a 4πε 0 r2 Työmäärä riippuu kuitenkin ainoastaan dl:n säteittäisestä komponentista dr. Siksi aikaisempi kaava (3.5) käy tässäkin tapauksessa. Koska työmäärä riippuu vain siitä, kuinka kauaksi pistevarauksesta testivaraus viedään, niin tämäkin sähkökenttä on konservatiivinen. Tällekkin kentälle voidaan siis määrittää potentiaalienergia, joka on: U = 1 qq 0 4πε 0 r (3.7),missä q 0 on testivaraus, q on kentän aiheuttavan pistevarauksen varaus ja r on varausten välinen etäisyys. Jos kentän aiheuttavia pistevarauksia on useampia, saadaan niiden yhteisvaikutus selville selville summaamalla niiden erikseen aiheuttamat potentiaalitasot aritmeettisesti yhteen: U = q 0 4πε 0 ( q1 r 1 + q 2 r 2 + q 3 r 3 + ) = q 0 q i 4πε 0 (3.8) i r i 3.2 Sähköinen potentiaali, eli jännite Potentiaali on potentiaalienergia yksikkövarausta kohti. Tällöin pistevarauksen aiheuttama potentiaali: V = U q = 1 q 4πε 0 r (3.9) Potentiaalienergia saadaan potentiaalista: U = qv (3.10) Potentiaalin, eli jännitteen yksikkö on voltti (1 V). Jos sähkökentän aiheuttaa useamman pistevarauksen jakauma, niin niiden kokonaisvaikutus saadaan laskemalla niiden erikseen aiheuttamien potentiaalien aritmeettinen summa: V = 1 q i 4πε 0 (3.11) i r i

18 FYSI1120 Petri Välisuo 18 / 72 Tai jos potentiaalin aiheuttaa varausjakauma, niin: V = 1 1 dq (3.12) 4πε 0 r Jos sähkökenttä tunnetaan jo, niin potentiaali saadaan siitä seuraavasti: U = U a U b = V a q V b q = V a V b = b a b a q E d l (3.13) E d l = b a E cosφ dl (3.14) Jos sähkökenttä E ja siirros l ovat samansuuntaisia, niin silloin V = El. Potentiaalin yksikkö on sähkökentän yksikkö kertaa pituusyksikkö. Sähkökentän yksikköhän on Newtonia per Coulombi (N/C), joten potentiaalin yksikkö on Newtonmetriä per Coulombi (Nm/C) tai voltti (V ). Tällöin tietysti sähkökenttä voidaan myös ilmaista yksikkönä volttia per metri (V /m). Sähkökentän potentiaalienergia ilmaistaan yleensä Jouleina (J = kg m/s 2 ), mutta kun puhutaan hyvin pienien varausten energiasta, on kätevämpi käyttää yksikkö elektronivoltti (ev ). Elektronivoltti on yhden alkeisvarauksen potentiaalienergia paikassa, jossa potentiaali on yksi voltti. 1 ev = J. Potentiaali vähenee, kun siirrytään positiivisen varauksen kohdistuvan voiman suuntaisesti, eli sähkökentän suuntaisesti. 3.3 Tasapotentiaalipinnat Tasapotentiaalipinta on taso, jolla potentiaali on vakio. Tasapotentiaalikäyrä vastaa maastokartan korkeuskäyriä. Kartan korkeuskäyrää pitkin kuljettaessa, ollaan koko ajan samalla korkeudella. Samalla tavalla tasapotentiaalipinnalla ollaan koko ajan samassa potentiaalissa. Maastokartan korkeuskäyrät ovat tiheimmässä siellä, missä maaston korkeus muuttuu jyrkimmin. Samoin tasapotentiaalipinnat ovat tiheimmässä siellä, missä potentiaali muuttuu jyrkimmin. Mikään piste ei voi olla yhtäaikaa kahdessa eri potentiaalissa, joten tasapotentiaalipinnat eivät koskaan leikkaa toisiaan. Kun liikutaan pitkin tasapotentiaalipintaa, jolloin potentiaali pysyy vakiona, niin varauksen energiataso ei muutu. Sähkökentän varaukseen kohdistama voima ei siis tee työtä. Koska W = qel cos φ, niin varauksen liikesuunnan ja sähkökentän

19 FYSI1120 Petri Välisuo 19 / 72 on oltava toisiaan vastaan kohtisuorassa, jolloin cos φ = 0. Tästä voimme päätellä, että tasapotentiaalipinnat ja sähkökenttä ovat aina toisiaan vastaan kohtisuorassa. Johteen pinnassa sähkökenttä on aina kohtisuorassa johdetta vastaan, joten Johteen pinta on aina tasapotentiaalipinta. 3.4 Potentiaalin gradientti Aikaisemmin laskimme potentiaalin kun tunsimme sähkökentän. Nyt muodostamme sähkökentän lausekkeen, kun tunnemme potentiaalin. Potentiaalin muutos pisteiden a ja b välillä, sähkökentän E vaikutuksessa on aikaisemman mukaan: V a V b = b a E d l (3.15) Kun jaetaan potentiaalin muutos äärettömiin pieniin osiin dv, voimme kirjoittaa: V a V b = a b b dv = dv = a b a E d l (3.16) Ja aina kun siirrymme äärettömän pienen matkan dl, potentiaali muuttuu määrän dv = E d l (3.17) Tästä lausekkeesta voisi nyt saada potentiaalin V ratkaistua, mutta sähkökentän ja siirtymävektorin pistetulo hankaloittavat ratkaisua. Puretaan pistetulo osiin, hajoittamalla vektorit komponentteihinsa. E = îe x + ĵe y + ˆkE z (3.18), samoin d l = îdx + ĵdy + ˆkdz (3.19) Laskemalla nyt pistetulo komponenteittain, saamme lausekkeen (3.17) muotoon: dv = E x dx + E y dy + E z dz (3.20) Jos olettaisimme, että d l muuttuisi vain x:n suhteen, niin silloin yhtälö (3.20) saa muodon dv = E x dx. Ja merkiksi siitä, että oletimme d l:n muuttuvan vain

20 FYSI1120 Petri Välisuo 20 / 72 x:n suhteen, vaikka se oikeasti on sekä x:n y:n että z:n suhteen, niin merkitään se käyttäen osittaisderivaattamerkintää V = E x x. Tästä lausekkeesta voimme nyt ratkaista E x :n: E x = V / x. Samalla tavoin voidaan ratkaista sähkökentän kaikki komponentit, jolloin saame yhtälön: ( E = î V x + ĵ V y + ˆk V ) (3.21) z Tulos voidaan esittää erityisen derivaattaoperaattorin ja potentiaalin pistetulona. Määritellään: = î x + ĵ y + ˆk z (3.22) Operaattoria sanotaan nabla:ksi. Tässä materiaalissa, nablasta on jätetty pois vektorimerkki, vaikka se oikeastaan onkin vektori, koska sekaantumiseen vaaraa ei ole. Sähkökentän lauseke voidaan nyt merkitä lyhyesti: E = V (3.23) Huomaa, että potentiaali V on skalaari, ja nabla on vektori. Kun skalaarifunktio kerrotaan nablalla, sanotaan että lasketaan skalaarifunktion gradientti. Ja nyt siis sähkökenttä on potentiaalin gradientin vastaluku. Gradientti tarkoittaa skalaarikentän muutosnopeutta. Eli potentiaali muuttuu nopeiten sähkökentän voimaviivojen suunnassa, jonne gradientti osoittaa. Koska sähkökenttä on gradientin vastaluku, niin sähkökenttä osoittaa siihen suuntaan jossa gradientti pienenee nopeiten. 3.5 Kuvaputki Kuvaputken katodilta irrotetaan elektroneja kuumentamalla. Sitten elektronit kiihdytetään sähkökentällä, ja ne ohjataan kuvaputken pinnalle, jossa ne vapauttavat energiansa ja saavat aikaan valoa. Elektroneja kiihdyttävä sähkökenttä aikaansadaan sijoittamalla sopivan etäisyyden päähän katodista ontto anodi, jonka läpi elektronien annetaan kulkea. Jännite ero anodin ja katodin välillä on tyypillisesti luokkaa V k = 20 kv. Lasketaan aluksi kuinka suureksi elektronien nopeus kiihtyy, jos ne lähtevät aluksi paikaltaan. Koska sähkökenttä on konservatiivinen, elektronin kineettisen ener-

21 FYSI1120 Petri Välisuo 21 / 72 gian ja potentiaalienergian summa säilyy: K a +U a = K b +U b (3.24a) 0 + ev a = 1 2 mv2 + ev b (3.24b) mv 2 x = 2e(V b V a ) (3.24c) 2eVk v x = (3.24d) m = 19 C V (3.24e) kg = m/s (3.24f) Ennenkuin elektronit törmäävät kuvaputkeen, ne poikkeutetaan sähkö tai magneettikentällä sopivasti sivuun, jotta elektronisuihkulla voidaan pyyhkäistä kuvaruutua. Oskilloskoopissa poikkeutus tehdään sähkökentällä. Sähkökenttä saadaan aikaiseksi sijoittamalla kuvaputkeen kaksi jondelevyä, joiden väliin saadaan tasainen sähkökenttä, joka kohdistaa elektroneihin poikkeuttavan voiman, jonka suuruus F = ee. Tällöin elektronin sivutaiskiihtyvyys on a y = ee/m. Jos poikkeutuslevyjen välinen jännite on V p, ja niiden välinen etäisyys on d, niin silloin sähkökentän suuruus E = V k /d, joten kiihtyvyyden lauseke saa muodon: a y = ev p md (3.25) Jos nyt poikkeutuslevyjen leveys on L, niin elektronien kulkuaika levyjen muodostaman kentän vaikutusalueella t = L/v x. Tällöin poikittaissuuntaiseksi nopeudeksi muodostuu: v y = a y t = ev p L (3.26) md v x Poikkeutuslevyt kääntävät elektronien kulkusuunnan, niin että elektronisuihku jatkaa kulkuaan vinosti alkuperäiseen kulkusuuntaansa nähden. Suihkun poikkeutuskulman θ suuruus saadaan kaavasta: tanθ = v y v x (3.27) Jos elektronisuihkun poikkeama kuvaruudun keskipisteestä on y, ja poikkeutuslevyjen etäisyys kuvaruudusta on D, niin silloin pätee myös: tanθ = y D (3.28)

22 FYSI1120 Petri Välisuo 22 / 72, jolloin on oltava v y v x = y D y = Dv y v x = D a yt v x = D ev pl mdv 2 x (3.29) Sijoittamalla tähän pitkittäisen nopeuden lauseke, saadaan: y = D ev pl m 2 = D ev plm = V p LD md 2eV k 2mdeV k V k 2d (3.30) Tästä nähdään, että elektronisuihkun osumispiste kuvaruudulla poikkeaa kuvaruudun keskipisteessä matkan, joka on suoraan verrannollinen poikkeuttavan sähkökentän voimakkuuteen. Tällä tavalla esimerkiksi oskilloskoopilla voidaan näyttää jännitteen vaihtelu kuvaputkella. 3.6 Kenttien laskeminen tietokoneella Monesti sähkökenttiä lasketaan monimutkaisissa tapauksissa tietokoneella. Laskettava alue jaetaan pieniin osiin, ja kentän voimakkuus lasketaan erikseen jokaisella pienellä alueella tai pienessä tilavuudessa. Laskennassa voi käyttää apuna taulukkolaskentaohjelmia, tai koodata itse jollain ohjelmointikielellä. Erilaiset matematiikkaohjelmat ovat kuitenkin ehkä vielä parempia tähän tarkoitukseen. Matlab 2 on eräs suosittu matematiikkaohjelma numeeriseen laskentaan. Siitä on lisenssejä myös yliopistolla. Kotona kannattaa käyttää vapaata Octavea 3, joka on toiminnaltaan Matlab:ia vastaava. 4 Kapasitanssi ja eristeet Kondensaattori on laite, joka talletaa energiaa sähkökentän muodossa. Kondensaattorin voi tehdä esimerkiksi sijoittamalla kaksi johdelevyä lähelle toisiaan, niin että ne eivät kuitenkaan koske toisiinsa. Kun niihin sitten johtaa jännitteen, niin niiden levyyn mudostuu sähkökenttä, johon sitoiutuu energiaa. Kondensaattorin varauskykyä sanotaan kapasitanssiksi

23 FYSI1120 Petri Välisuo 23 / Kondensaattorit ja kapasitanssi Mikä tahansa kahden lähekkäin olevan, toisistaan eristetyn johteen (esim lähekkäin olevat levyt) kokonaisuus muodostaa kondensaattorin. Kun johteisiin kytketään jännitelähde, siirtää se varauksia toisesta johteesta toiseen johteeseen, sanotaan että kondensaattori varautuu. Varatun kondensaattorin toiseen johteeseen tulee varaus +Q, jolloin toisessa johteessa on oltava varaus Q, mikäli kondensaattori oli aluksi sähköisesti neutraali. Kondensaattorin johteiden välillä on nyt jännite ero V. Kondensaattorin varauksen määrä kasvaa, jos jännitettä kasvatetaan, mutta varauksen ja jännitteen suhde on vakio. Tätä suhdetta kutsutaan kondensaattorin kapasitanssiksi. C = Q V [C] = C/V = F (4.1) Kapasitanssin yksikkö on Coulombia per voltti (C/V ) eli Faradi (F) Tyhjiössä olevan kahdesta johdelevystä muodostetun levykondensaattorin levyjen väliin muodostuu varattaessa sähkökenttä. Kentän suuruus on Gaussin lain mukaan E = σ ε 0 = Q ε 0 S Jolloin levyjen välinen jännite ero on: (4.2) V = Ed = 1 ε 0 Qd S (4.3) Jolloin tyhjiössä olevan levykondensaattorin kapasitanssii siis on C = Q V = ε S 0 d (4.4) 4.2 Sarjaan ja rinnan kytketyt kondensaattorit Jos useampia kondensaattoreja kytketään sarjaan (peräkkäin), niin niistä jokainen varutuu yhtä suurella varauksella Q. Kytketään esimerkiksi kondensaattorit C 1 ja C 2 sarjaan, ja niiden yli kytketään jännite V. Molemmat kondensaattorit varautuvat, jännitteen V vaikutuksesta. Oletetaan että jännitelähteen plus napa on kytketty

24 FYSI1120 Petri Välisuo 24 / 72 kondensaattorin C 1 toiseen napaan. C 1 :n positiivinen napa varautuu näin varauksella Q. Tällöin C 1:n toinen napa varautuu varaukseen Q. Koska C 1 :n negatiivisempi napa on kytketty ainoastaan C 2 :n napaan, pitää varauksen tulla sieltä. Eli C 2 :n C 1 :een kytketty napa varautuu varaukseen +Q ja vastaavasti sen negatiivinen napa varaukseen Q. Molempien kondensaattorien varaukset ovat siis samat, kun kondensaattorit on kytketty sarjaan. Sen sijaan niiden yli vaikuttavat jännitteet V 1 = Q/C 1 ja V 2 = Q/C 2 voivat olla erisuuria. Jännitteiden suuruudet saadaan kun merkitään kondensaattorien yli olevien jännitteiden summan tulee olla V : V = Q C tot = Q C 1 + Q C 2 (4.5) Josta saadaan kytkennän kokonaiskapasitanssin lauseke Q:lla jakamalla: 1 C tot = 1 C C 2 (4.6) Jos kondensaattoreita on enemmän kuin kaksi, niin täsmälleen samalla logiikalla saadaan: 1 1 = C tot (4.7) i C i Vastaavasti kaikien rinnankytkettyjen kondensaattorien yli vaikuttaa sama jännite, mutta niihin voi varautua erisuuruinen varaus. Tällöin kokonaiskapasitanssi saadaan varausten avulla: Q tot = C tot V = C 1 V +C 2 V (4.8) Josta saadaan V:llä jakamalla C tot = C 1 +C 2, joka on yleisessä tapauksessa: C tot = C i (4.9) i Kaikkien pelkästään kondensaattoreita sisältävät kytkennät voidaan laskusääntöjen (4.9) ja (4.7) avulla korvata yhdellä vastaavalla kapasitanssilla (equivalent capasitance). 4.3 Kondensaattorin ja sähkökentän energia Kondensaattorin tärkein ominaisuus on sen kyky tallettaa energiaa. Kondensaattoriin sitoutuneen potentiaalienergian määrä saadaan selville laskemalla kuinka paljon työtä varauksettoman kondensaattorin varaamiseksi tarvitaan.

25 FYSI1120 Petri Välisuo 25 / 72 Työn differentiaali voidaan määrittää helposti: dw = vdq = q dq (4.10) C Tällöin työ saadaan integroimalla W = W 0 dw = 1 C Q 0 q dq = Q2 2C (4.11) Tämä voidaan ilmoittaa myös muodoissa: W = Q2 2C = 1 2 CV 2 = 1 QV (4.12) 2,missä W on sähköinen potentiaalienergia. Tästä saadaan vastaavasti sähkökentän energiatiheys w levyjen välissä: w = E 1 p Ad = 2 CV 2 Ad (4.13), missä w on sähkökentän potentiaalienergia tilavuusyksikköä kohti, eli kentän energiatiheys. Ja koska kapasitanssi C = ε 0 A d, niin yllä oleva kaava saadaan muotoon: w = 4.4 Eristeet 1 2 ε 0AV 2 Ad 2 = 1 2 ε V 2 0 d 2 = 1 2 ε 0E 2 (4.14) Monissa kondensaattoreissa käytetään johdelevyjen välissä eristeettä. Eristeen tarkoitus on estää levyjä koskettamasta toisiaan. Sen lisäksi eriste parantaa kondensaattorin läpilyöntilujuutta ja kasvattaa kondensaattorin kapasitanssia. Kapasitanssin kasvaminen johtuu eristeen polarisoitumisesta. Olkoon ilma/tyhjiöeristeiden kondensaattorin kapasitanssi C 0. Kun ilma/tyhjiö korvataan eristeellä, sen kapasitanssi kasvaa, ja on suuruudeltaan C. Suhdetta C/C 0 kutsutaan eristemateriaalin suhteelliseksi permittiivisyydeksi ε r. Eristeiden suhtellinen permittiivisyys ε r on aina ykköstä suurempi. Tyhjiölle se on tasan 1, ja ilmalle hyvin lähellä ykköstä PVC muoville ε r = 3.18 ja lasille 5 10.

26 FYSI1120 Petri Välisuo 26 / 72 Suhteellinen permittiivisyys kertoo kuinka suuri on aineen permittiiviisyys tyhjiöön verrattuna. Aineen permittiivisyys saadaan siten kertomalla suhteellinen permittiivisyys tyhjön perimittiivisyydellä, eli: ε = ε r ε 0 (4.15) Jos kondensaattorin levyjen väliin laitetaan eriste, sen kapasitanssi C = ε r C 0 = ε r ε 0 A d (4.16) Jos varatun tyhjiöeristeisen kondensaattorin varaus pidetään vakiona Q, ja sen levyjen välinen tyhjiö korvataan eristeellä, jonka suhteellinen permittiivisyys on ε r, niin sen jännite muuttuu arvosta V 0 = Q/C 0 arvoon V = Q/(ε r C 0 ). Eli siis V = V 0 /ε r. Tällöin myös eristeessä oleva sähkökenttä muuttuu arvosta E 0 = V 0 /d arvoon E = E 0 /ε r. Koska sähkökenttä heikkenee, pitää kondensaattorin pintavarauksen olla nyt pienempi, tai oikeastaan se ei muutu, mutta eristeen pinta varautuu vastakkaismerkkisesti polarisaation seurauksena. Eristeen sisällehän ei syntynyt nettovarausalueita sen polarisoituessa, mutta sen pinnat varautuivat. Gaussin lain avulla johdimme aiemmin, että sähkökentän voimakkuus pintavaraustiheyden läheisyydessä on E 0 = σ/ε 0. Sitä heikentää nyt eristeen pintavaraustiheys σ i. Tällöin kokonaissähkökentän voimakkuus: E = σ σ i ε 0 (4.17) Koska E = E 0 /ε r, niin saamme ) σ i = σ (1 1εr (4.18) Tämä kaava osoittaa, että eristeen suhteellisen permittiivisyyden ollessa hyvin iso, sen polarisoitumisen aiheuttama sähkökenttä miltei kumoaa ulkoisen sähkökentän. Käyttäen yllolevia sähkökentän ja jännitteen kaavoja tyhjössä ja eristeessä, voimme helposti korjata kapaistanssin ja sähkökentän energian lausekkeet: C = ε r C 0 = ε r ε 0 A d = εa d (4.19) w = 1 2 ε rε 0 E 2 = 1 2 εe2 (4.20)

27 FYSI1120 Petri Välisuo 27 / Gaussin laki eristeessä Kun muodostamme gaussin pinnan, niin että se sulkee sisäänsä eristeen ja johteen rajapinnan, se voi sisältää rajapinnalla olevan johteen indusoitumisesta ja eristeen polarisaatiosta aiheutuvan nettovarauksen Q encl. Tämän varauksen suuruus Q e ncl = (σ σ i )S. Tällöin sähkövuon tiheyden eristeessä on Gaussin lain mukaan oltava D = σ σ i (4.21) Tällöin sähkökentän voimakkuus: E = D ε 0 = σ σ i ε 0 (4.22) Koska σ i = σ(1 1/ε r ), niin: jolloin ES = σs ε r ε 0 (4.23) DS = ε 0 ε r ES = σs (4.24) Tällöin D d S = Q encl,free (4.25) Huomaa että yhtälö on täysin sama, kuin aikaisemmin esitetty yhtälö (2.11). Ainoa ero on siinä, että sähkövuon tiheydellä, D, on eri arvo eristeessä kuin tyhjiössä. Kaavassa Q encl,free tarkoittaa gaussin pinnan sulkemaa vapaan varauksen määrää, eli siis sen varauksen määrää, joka sijaitsee johteessa (= Sσ). 5 Sähkövirta Resistanssi ja Sähkömotorinen voima Sähköpiireissä sähkövirta kuljettaa sähkökentän energiaa jännite tai virtalähteestä laitteelle, joka tallettaa energian, tai muuttaa sen toiseen muotoon.

28 FYSI1120 Petri Välisuo 28 / Sähkövirta Sähkövirralla tarkoitetaan varausten siirtymistä paikasta toiseen. Staattisessa tilanteessa, johteessa ei ole sähkökenttää, joten siellä ei ole myöskään nettosähkövirtaa. Kun johteen yli vaikuttaa vakiona pysyvä sähkökenttä E, se kohdistaa voiman johteessa oleviin varauksiin, ja ne alkavat liikkua. Syntyy sähkövirtaa. Yksittäisiin varauksiin kohdistuu sähkökentän voima F = q E, joten varaus on kiihtyvässä liikkeessä. Kun sen nopeus kasvaa, se alkaa kuitenkin törmäillä johteen atomeihin, joten sen vaihtaa suuntaansa ja poukkoilee sinne tänne. Sähkökenttä pitää kuitenkin huolen siitä, että varaukset kuitenkin pikkuhiljaa ajautuvat enemmän eteenpäin kuin taakseppäin johteessa. Tätä varauksen hidasta nettoetenemisnopeutta nimitetään ajautumisnopeudeksi (drift velocity), ja sitä merkitään symbolilla v d. Ajautumisnopeus on usein vain millimetrin osia sekunnissa. Virtaa voivat kuljettaa sekä positiiviset, että negatiiviset varaukset. Metallissa virtaa kuljettavat negatiiviset elektronit. Virran suunnaksi on sovittu sama kuin sähkökentän suunta, vaikka esimerkiksi metallissa, varauksen kuljettajat kulkevat päinvastaiseen suuntaan, koska ne ovat negatiivisesti varautuneita. Sähkövirran suruudeksi on sovittu nettovarauksen kulkumäärä aikayksikössä, eli: I = dq dt (5.1) Virran yksikkö on Coulombia sekunnissa (C/s) eli Ampeeri (A). Virran suuruus on riippuvainen varausten kuljettajien määrästä ja niiden ajautumisnopeudesta. Olkoon johteessa n varauksenkuljettajaa tilavuusyksikköä kohti. Kaikki varauksenkuljettajat liikkuvat nopeudella v d. Tällöin aikadifferentiaalin dt aikana varauksenkuljettajat liikkuvat matkan v d dt. Jos virta kulkee johdossa, jonka poikkipinta ala on A, niin ajassa dt johdon poikkileikkauksen läpi kulkee nv d dta varauksenkuljettajaa. Tällöin poikkileikkauksen läpi kulkeva varaus: dq = q(nv d dta), jossa q on varauksenkuljettajan varauksen suuruus. Virran suuruus on silloin: I = dq = nqv d A (5.2) dt Virran voimakkuutta poikkipinta alaa kohti kutsutaan virrantiheydeksi: J = I A = nqv d (5.3) Jos varaukset ovat negatiivisia, niin myös niiden ajautumisnopeus v d on negatiivinen. Joten virran suunta ei riipu varausten etumerkistä.

29 FYSI1120 Petri Välisuo 29 / 72 Virrantiheys voidaan määrittää myös vektorina: J = nq v d (5.4) Virrantiheys J on aina samansuuntainen kuin sähkökenttä, riippumatta varausten etumerkistä. 5.2 Resistiivisyys ja Resistanssi Johteissa virrantiheys on (lähes) suoraan verrannollinen sähkökenttään. Sähkökentän voimakkuuden suhde virrantiheyteen on siis materiaalikohtainen vakio, ja sitä kutsutaan resistiivisyydeksi eli ominaisvastukseksi: ρ = E J (5.5) Tätä sääntöä kutsutaan Ohmin laiksi. Resistiivisyyden yksikkö on V m/a. Resistiivisyyden käänteislukua kutsutaan johtavuudeksi. Kaikkilla materiaaleilla sähkökentän ja virrantiheyden suhde ei ole vakio. Tällaisia materiaaleja sanotaan ei ohmisiksi, koska ohmin laki ei ole niillä voimassa. Resistiivisyys riippuu myös materiaalin lämpötilasta. Metallien resistiivisyys kasvaa lähes aina lämpötilan kasvaessa, hiilellä taas resistiivisyys pienenee sen lämmetessä. Jos lämötilan muutokset eivät ole kovin isoja ( 100 ), voidaan resistiivisyyden riippuvuutta lämpötilasta mallintaa resistiivisyyden lämpötilariippuvuudella α. Tällöin: ρ(t ) = ρ 0 (1 + α(t T 0 )) (5.6) Resistiivisyyden kaavasta (5.5) voidaan ratkaista sähkökenttä, jolloin saamme: E = ρ J (5.7) Olkoon johdon pituus L ja poikkipinta ala A. Johdon päiden yli vaikuttaa jännite V, jolloin sähkökenttä E = V /L. Johdossa kulkee virrantiheys J. Jännitteen V ja virran I = JA välillä vallitsee yhtälö: V I = EL JA = E L J A = ρ L A (5.8)

30 FYSI1120 Petri Välisuo 30 / 72 Termiä ρl/a kutsutaan aineen resistanssiksi: R = ρ L A (5.9) Resistanssi on siis ohmisen materiaalin yli vaikuttavan jännitteen ja siinä kulkevan virran suhde: R = V I (5.10) Resistanssin yksikkö on Volttia per Ampeeri eli Ohmi (Ω). Resistanssin käänteislukua kutsutaan johtokyvyksi eli konduktanssiksi G = 1 R (5.11) 5.3 Sähkömotorinen voima ja sähköiset piirit Vakiovirta voi kulkea vain suljetussa virtapiirissä. Mutten varauksenkuljettajat kasutuisivat yhteen kohtaan. Suljetussa vitapiirissä pitää olla jännitelähde, joka nostaa varauksenkuljettajat korkeampaan potentiaaliin, jotta ne voivat virrata sähköisen piirin läpi. Vaikutusta joka nostaa varauksenkuljettajat matalasta potentiaalista korkeampaan kutsutaan sähkömotoriseksi voimaksi (smv). Ideaalinen jännitelähde aiheuttaa smv:n ylläpitämällä vakiojännite eroa napojensa välillä. Kun jännitelähteen, jonka smv on V, napoihin kytketään resistanssi R, alkaa resistanssissa kulkea virta I = V /R. Resistanssissa tapahtuu jännitehäviö, jonka suuruus on virta kertaa resistanssi IR. Tämä on yhtäsuuri, kuin jännitelähteen smv. Eli kun varauksenkuljettajat kulkevat tämän piirikytkennän läpi, niinden potentiaali ensin nousee jännitelähteessä V volttia ja sitten se laskee resistanssi takaisin alkuperäiselle tasolle, ja sitten varaus lähtee uudelle kierrokselle. Todelliset jännitelähteet eivät ole ideaalisia, vaan niissä on sisäistä resistanssia. Tätä voidaan mallintaa lisäämällä aikaisempaan kytkentään toisen resistanssin r, joka kuvastaa jännitelähteen sisäistä resistanssia. Tällöin jännitelähteen napajännite sitä kuormitettaessa virralla I saadaan kaavasta: V = E Ir (5.12) Todellinen jännitelähde ei siis pysty pitämään napajännitettään vakiona kuormituksesta riippumatta, vaan sen jännite laskee, kun kuormitus kasvaa.

31 FYSI1120 Petri Välisuo 31 / 72 Kun nyt tämän todellisen jännitelähteen napoihin kytketään resistanssi R, vaikuttaa sen yli nyt vain jännite V = E Ir, joten siinä kulkeva virta on: I = V R = E Ir R (5.13) Tästä saadaan ratkaistua virta, kertomalla molemmat puolet R:llä, siirtämällä I:n sisältämät termit samalle puolelle, ja jakamalla yhteisellä tekijällä, jolloin: I = E R + r (5.14) Sähköpiirien virtoja ja jännitteitä ratkaistaessa voidaan sovelta potentiaaliin liittyvää kätevää sääntöä. Kun kuljetaan suljetun piirin ympäri ja palataan takaisin lähtöpisteeseen, niin tullaan takaisin samaan potentiaaliin. Tämän vuoksi silmukkaa kuljettaessa kohdattujen smv:n ja vastuksissa aiheutuvien jännitehäviöiden summien oltava aina nolla. Eli edellisessä kytkennässä E Ir IR = 0, josta saadaan helposti ratkaistua virta. Ja kun virta tunnetaan, voidaan helposti laskea jännitelähteen sisäisessä resistanssissa aiheutuva jännitehäviö: Ir, ja siten jännitelähteen napajännite. 5.4 Teho ja energia sähköisissä piireissä Oletetaan että varaukset kulkevat resistanssin R läpi, kun sen yli vaikuttaa jännite V ab ja sen läpi kulkee virta I. Jännite eron tekemä työ: W = FL = EqL = V ab q, jossa L on matka, jonka varaus joutuu kulkemaan päästäkseen resistanssin läpi. Teho on aikayksikköä tehty työ, joten P = dw dt = V abdq dt = V ab I (5.15) Resistanssissa lämmöksi muuttuva teho on siten P = V ab I = I 2 R = V ab2 R (5.16) Vastaavasti, jännitelähteen luovuttama teho: P = V ab I = (E Ir)I = EI I 2 r (5.17) Suljetussa piirissä jännite ja virtalähteet luovuttavat yhtä paljon tehoa kuin resistansseissa kulutetaan.