TKK (c Ila Mell (005 Yssuutae varassaals Johdatus tlastoteteesee Yssuutae varassaals Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 Yssuutae varassaals: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa smstä: Mte tavaomae ahde rppumattoma otose t-test lestetää tlateesee, rhmä o useampa u as? Yssuutasessa varassaalsssa perusjouo o jaettu rhm hde tejä suhtee ja tavotteea o testata rhmstä pomttuh tosstaa rppumattom sertas satuasotos perustue hpoteesa, joa muaa tarasteltava muuttuja rhmäohtaset odotusarvot ovat htä suura. Kas- ta useampsuutasessa varassaalsssa perusjouo o jaettu rhm ahde ta useamma tejä suhtee ja tavotteea o testata rhmstä pomttuh tosstaa rppumattom sertas satuasotos perustue hpoteesa, joa muaa tarasteltava muuttuja rhmäohtaset odotusarvot ovat htä suura. Yssuutae varassaals >> Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 3 TKK (c Ila Mell (005 4 Varassaals: Johdato Varassaals: Johdato Kahde otose t-test Avasaat Kahde rppumattoma otose t-test m-suutae varassaals Odotusarvo Rhmä Test Varass Yssuutae varassaals Suhdeasteollslle muuttujlle tarotettuja testejä ästelleessä appaleessa tarastelt ahde rppumattoma otose t-testä. Test testausasetelma o seuraava: ( Perusjouo oostuu ahdesta rhmästä. ( Havaot oudattavat ummassa rhmässä ormaaljaaumaa. ( Kummasta rhmästä o pomttu tosstaa rppumattomat sertaset satuasotoset. (v Tehtävää o testata rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruutta. TKK (c Ila Mell (005 5 TKK (c Ila Mell (005 6
TKK (c Ila Mell (005 7 Varassaals: Johdato Varassaals perusogelma Varassaals: Johdato Rhm jao varassaalsssa Varassaals vodaa mmärtää ahde rppumattoma otose t-test lestses tlates, perusjouo oostuu useammasta u ahdesta rhmästä: ( Perusjouo oostuu ahdesta ta useammasta rhmästä. ( Havaot oudattavat joasessa rhmässä ormaaljaaumaa. ( Joasesta rhmästä pomtaa tosstaa rppumattomat sertaset satuasotoset. (v Tehtävää o testata rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruutta. Perusjouo jao rhm vodaa tehdä hde ta useamma tejä perusteella. Jos perusjouo jao rhm perustuu htee tejää, puhutaa ssuutasesta varassaalssta. Jos perusjouo jao rhm perustuu m tejää, puhutaa m-suutasesta varassaalssta. Huomautus: Tässä luvussa ästellää ssuutasta varassaalsa. TKK (c Ila Mell (005 8 Varassaals: Johdato Varassaals m Yssuutae varassaals Varassaals m o harhaajohtava. Varassaalsssa testataa rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruutta tlateessa, perusjouo o jaettu ahtee ta useampaa rhmää. Varassaals m johtuu stä, että rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruude testaame perustuu er tavolla määrättje varasse htäsuuruude testaamsee F-testellä. Varassaals: Johdato >> Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 9 TKK (c Ila Mell (005 0 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals perusasetelma /5 Avasaat Bartlett test Boferro meetelmä F-test Jääöselösumma χ -test Kooasesarvo Kooaselösumma Kooasvahtelu Luottamusväl Nelösumma Odotusarvo Odotusarvoje parvertalu Odotusarvoje smultaae vertalu Rhme ssäe vahtelu Rhme väle vahtelu Rhmä Rhmäesarvo Rhmäelösumma Taso Test Vapausaste Varass Varassaalshajotelma Varassaalstauluo Yssuutae varassaals Ylee leaare mall Oletetaa, että tutmuse ohteea oleva perusjouo vodaa jaaa ahtee ta useampaa rhmää jo tejä (ta muuttuja A suhtee. Oletetaa, että tejällä A o tasoa, jollo jaossa st rhmä appaletta. Oletetaa, että joasesta rhmästä =,,, o pomttu tosstaa rppumattomat sertaset satuasotoset, jode oot ovat,,,. Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, TKK (c Ila Mell (005 TKK (c Ila Mell (005
TKK (c Ila Mell (005 3 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals perusasetelma /5 Kätetstä otatameetelmästä seuraa, että havaot j, j =,,,, =,,, vodaa olettaa rppumattoms (ja ste mös orrelomattoms satuasmuuttujs. Oletetaa, että havaot j ovat ormaaljaautueta: j N(µ, σ, j =,,,, =,,, Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals perusasetelma 3/5 Havaosta j tehdstä oletusesta seuraa: ( Kalla samaa rhmää uuluvlla havaolla o sama odotusarvo: E( j = µ, j =,,,, =,,, ( Kalla havaolla o rhmästä rppumatta sama varass: D ( j = σ, j =,,,, =,,, TKK (c Ila Mell (005 4 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals perusasetelma 4/5 Haluamme testata ollahpoteesa stä, että rhmäohtaset odotusarvot E( j = µ, j =,,,, =,,, ovat htä suura. Asetetaa ss ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals perusasetelma 5/5 Jos ollahpotees H 0 rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruudesta pätee, rhmät vodaa hdstää assa havatoje esmääräsä arvoja osevssa tarastelussa. Jos ollahpotees H 0 hlätää testattaessa, tedetää, että muuttuja rhmäohtaset odotusarvot eroavat tosstaa aa ahdessa rhmässä. Jos ollahpotees H 0 o hlätt, rhmäohtasa odotusarvoja vodaa verrata paretta ta smultaasest tossa; s. appaletta Odotusarvoje vertaame. TKK (c Ila Mell (005 5 TKK (c Ila Mell (005 6 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutae varassaals: Määrtelmä Yssuutae varassaals tarottaa ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ testaamsta. Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutae varassaals ja oesuuttelu / Yssuutasta varassaalsä vodaa ättää oetuloste aals seuraavassa oeasetelmassa: ( Oletetaa, että oee tavotteea o verrata, mte ästtelt A, A,, A vauttavat ostuse ohteea oleva muuttuja esmääräs arvoh. TKK (c Ila Mell (005 7 TKK (c Ila Mell (005 8
TKK (c Ila Mell (005 9 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutae varassaals ja oesuuttelu / ( Valtaa ästtel A ohtees ae oee ohtes valttuje slöde jouosta satuasest slöä, =,,, ja + + + = N. ( Mtataa vasteet el ostuse ohteea oleva muuttuja arvot j, j =,,,, =,,,. Huomaa, että oeasetelma o tädellsest satuastettu: Sattuma määrää tädellsest mllase ästtel ohtees oee ohtes valtut slöt joutuvat. Yssuutae varassaals ja se suorttame Havaot Havaot j, j =,,,, =,,, vodaa rhmtellä seuraavalla tavalla: Rhmä :,,, Rhmä :,,, Rhmä :,,, TKK (c Ila Mell (005 0 Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhmäesarvot Määrtellää havatoarvoje j rhmäesarvot el rhmäohtaset artmeettset esarvot: Rhmä : = j Rhmä : = j Rhmä : = j Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhmäesarvot ja varassaals ollahpotees Jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee, o odotettavssa, että rhmäesarvot =, =,,, j j = evät poea ov paljo tosstaa. TKK (c Ila Mell (005 TKK (c Ila Mell (005 Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooasesarvo Yssuutae varassaals ja se suorttame Poeamat esarvosta Jos rhmäohtaset otoset hdstetää hdes otoses, hdstet otose havatoarvoje les- el ooasesarvo o = j = N = N = N = + + + o havatoje ooasluumäärä ja =, =,,, j j = o rhmä havatoarvoje artmeette esarvo. Krjotetaa detteett j = ( + ( j j = havatoarvo j poeama ooasesarvosta = rhmäesarvo poeama ooasesarvosta j = havatoarvo j poeama rhmäesarvosta TKK (c Ila Mell (005 3 TKK (c Ila Mell (005 4
TKK (c Ila Mell (005 5 Yssuutae varassaals ja se suorttame Poeamat esarvosta ja ssuutase varassaals test Yssuutasessa varassaalsssa test ollahpoteeslle H 0 : µ = µ = = µ = µ perustuu poeame (,( j elösummlle. Jos ollahpotees H 0 pätee, o odotettavssa, että rhmäesarvot evät poea ov paljo ooasesarvosta, jollo poeamat evät ole tsesarvoltaa ov suura. Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooaselösumma Määrtellää havatoarvoje ooasavahtelua uvaava ooaselösumma: SST = ( = j Jos rhmäohtaset otoset hdstetää hdes otoses, saadu hdstet otose varass o s = SST N = ( j N = TKK (c Ila Mell (005 6 Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma ja rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma Määrtellää rhme välstä (sstemaattsta vahtelua uvaava (rhmä- elösumma: SSG = ( = = = ( Määrtellää rhme ssästä vahtelua uvaava (jääös- elösumma: SSE = ( = j Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma tulta Havatoarvoje j rhmävarasst el rhmäohtaset varasst saadaa lauseesta s = ( j, =,,, Ste rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE lausee vodaa esttää mös muodossa SSE = ( s = TKK (c Ila Mell (005 7 TKK (c Ila Mell (005 8 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassaalshajotelma Korottamalla detteett j = ( + ( j potess as ja lasemalla htee saadaa varassaalshajotelma ( = ( + ( j j = = = joa vodaa edellä estettje mertöje avulla rjottaa lhest muotoo SST = SSG + SSE TKK (c Ila Mell (005 9 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassaalshajotelma: Todstus / Korottamalla detteett = ( + ( j j potess as ja lasemalla htee saadaa Varassaalshajotelma ( = ( + ( j j j j j = = = = = = tulee ss todstetus, jos ätämme, että = ( ( = 0 j TKK (c Ila Mell (005 30
TKK (c Ila Mell (005 3 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassaalshajotelma: Todstus / Suoraa lasemalla saadaa ( ( = ( ( j j j j = = = = = ( j = = ( j j = = ( 0 = mä o haluttu tulos. = 0 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassaalshajotelma tulta Varassaalshajotelmassa SST = SSG + SSE ooaselösumma SST = ( = o hajotettu ahde osatejä summas, SSG = ( = ( uvaa rhme välstä (sstemaattsta vahtelua ja SSE = ( uvaa rhme ssästä vahtelua. j = = = j TKK (c Ila Mell (005 3 Yssuutae varassaals ja se suorttame Test odotusarvoje htäsuuruudelle Yssuutae varassaals ja se suorttame Testsuure Jos rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSG = ( = o suur verrattua rhme ssästä vahtelua uvaavaa elösummaa SSE = ( = ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ o stä asettaa seealases. j Määrtellää F-testsuure N SSG F = SSE N = = = ( ( j TKK (c Ila Mell (005 33 TKK (c Ila Mell (005 34 Yssuutae varassaals ja se suorttame Testsuuree jaauma Jos havaot ovat ormaaljaautueta ja ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee, testsuure F o jaautuut Fsher F-jaauma muaa vapausaste ( ja (N : F F (, N Testsuuree F ormaalarvo o N E( F = H 0 N Ste suuret testsuuree F arvot johtavat ollahpotees H 0 hläämsee. Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooaselösumma jaauma ja vapausasteet Oletetaa, että ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Tällö SST = ( j χ ( N σ σ = j = vapausastede luumäärä o N ja N = + + + TKK (c Ila Mell (005 35 TKK (c Ila Mell (005 36
TKK (c Ila Mell (005 37 Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooaselösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /3 Oletetaa, että havaot j ovat rppumattoma ja j N(µ, σ, j =,,,, =,,, Tällö satuasmuuttujat j µ N(0,, j =,,,, =,,, σ ovat rppumattoma ja suoraa χ -jaauma määrtelmä muaa j µ χ ( N = σ vapausastede luumäärä o N = + + + Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooaselösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /3 Korvataa lauseeessa j µ χ ( N = σ tutemato parametr µ estmaattorllaa N = j = = Vodaa osottaa, että tällö j SST = χ ( N = σ σ j TKK (c Ila Mell (005 38 Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooaselösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu 3/3 Meetämme ss hde vapausastee orvatessamme parametr µ estmaattorllaa. Tämä seltt seuraavalla tavalla: ( Havatoarvot j (N pl vovat varoda vapaast, jote llä o N vapausastetta. ( Erotuset j µ (N pl vovat varoda vapaast, jote llä o N vapausastetta. ( Erotuset j (N pl evät vo varoda täs vapaast, osa tä stoo s leaare sde-ehto: (v = ( = 0 j Kohda ( s leaare sde-ehto saa χ -jaauma vapausastede luumäärä väheemää hdellä. Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme välse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet Oletetaa, että ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Tällö SSG = ( χ ( σ σ = vapausastede luumäärä o TKK (c Ila Mell (005 39 TKK (c Ila Mell (005 40 Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme välse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /3 Oletetaa, että havaot j ovat rppumattoma ja j N(µ, σ, j =,,,, =,,, Tällö satuasmuuttujat σ = j N,,,,, µ = j = ovat rppumattoma, josta seuraa, että mös satuasmuuttujat µ N(0,, =,,, σ / ovat rppumattoma ja suoraa χ -jaauma määrtelmä muaa µ χ ( = σ / vapausastede luumäärä o. Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme välse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /3 Korvataa lauseeessa µ χ ( = σ / tutemato parametr µ estmaattorllaa N = j = = j ss N = + + + Vodaa osottaa, että tällö SSG = ( ( = χ = σ / σ = σ TKK (c Ila Mell (005 4 TKK (c Ila Mell (005 4
TKK (c Ila Mell (005 43 Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme välse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu 3/3 Meetämme ss hde vapausastee orvatessamme parametr µ estmaattorllaa. Tämä seltt seuraavalla tavalla: ( Kesarvot ( pl vovat varoda vapaast, jote llä o vapausastetta. ( Erotuset ( µ ( pl vovat varoda vapaast, jote llä o vapausastetta. ( Erotuset ( ( pl evät vo varoda täs vapaast, osa tä stoo s leaare sde-ehto: (v = ( = 0 Kohda ( s leaare sde-ehto saa χ -jaauma vapausastede luumäärä väheemää hdellä. Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssäse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet Vodaa osottaa, että rppumatta stä päteeö ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ va e, SSE = ( j χ ( N σ σ = j = vapausastede luumäärä o N ja N = + + + TKK (c Ila Mell (005 44 Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssäse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /4 Oletetaa, että havaot j ovat rppumattoma ja j N(µ, σ, j =,,,, =,,, Tällö satuasmuuttujat j µ N(0,, j =,,,, =,,, σ ovat rppumattoma ja suoraa χ -jaauma määrtelmä muaa j µ χ (,,,, j σ = = vapausastede luumäärät ovat, =,,, Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssäse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /4 Korvataa lauseessa j µ χ (,,,, σ = tutemattomat parametrt µ estmaattorellaa =, =,,, j = j Vodaa osottaa, että tällö j χ (, =,,, σ TKK (c Ila Mell (005 45 TKK (c Ila Mell (005 46 Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssäse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu 3/4 Meetämme ss hde vapausastee orvatessamme parametr µ estmaattorllaa. Tämä seltt seuraavalla tavalla: ( Havatoarvot j ( pl vovat varoda vapaast, jote llä o vapausastetta. ( Erotuset j µ ( pl vovat varoda vapaast, jote llä o vapausastetta. ( Erotuset j ( pl evät vo varoda täs vapaast, osa tä stoo s leaare sde-ehto: (v ( = 0, =,,, j Kohda ( s leaare sde-ehto saa χ -jaauma vapausastede luumäärä väheemää hdellä. Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssäse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu 4/4 Kosa satuasmuuttujat j χ (,,,, σ = ovat rppumattoma, j SSE = χ ( N = σ σ N = ( = = = ja ss N = + + + TKK (c Ila Mell (005 47 TKK (c Ila Mell (005 48
TKK (c Ila Mell (005 49 Yssuutae varassaals ja se suorttame Cochra lause /3 Yssuutae varassaals ja se suorttame Cochra lause /3 Cochra lause o täreä matemaattse tlastotetee teoreema, joa avulla vodaa todstaa moet lese leaarse mall ja varassaals testsuureta osevat jaaumatuloset. Oletetaa, että satuasmuuttujat z, =,,, ν ovat rppumattoma ja oudattavat stadardotua ormaaljaaumaa N(0, : z, z,, zν z N(0,, =,,, ν χ -jaauma määrtelmä muaa ν Q= z χ ( ν = Oletetaa, että ν = Q= z = Q + Q + + Q s ν ja Q o elömuoto, joa aste o r(q = ν, =,,, s s TKK (c Ila Mell (005 50 Yssuutae varassaals ja se suorttame Cochra lause 3/3 Tällö elömuodot Q, Q,, Q s ovat rppumattoma χ -jaautueta satuasmuuttuja, jode vapaustede luumäärä ovat ν, ν,, ν s, jos ja va jos ν = ν + ν + + ν s Yssuutae varassaals ja se suorttame Cochra lause: Seuraus Cochra lauseesta seuraa ertsest: Oletetaa, että Q= Q+ Q + + Q χ ( ν Q χ ( ν, =,,, s Tällö ν = ν + ν + + ν s o välttämätö ja rttävä ehto slle, että satuasmuuttujat Q, Q,, Q s ovat rppumattoma. TKK (c Ila Mell (005 5 TKK (c Ila Mell (005 5 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals F-testsuuree jaauma: Perustelu /3 Tarastellaa ssuutase varassaals F- testsuuretta N SSG F = SSE SSG = rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSE = rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma Varassaalshajotelma muaa SST = SSG + SSE SST = rhme ooasvahtelua uvaava elösumma TKK (c Ila Mell (005 53 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals F-testsuuree jaauma: Perustelu /3 Edellä o todettu, että ollahpotees H 0 pätessä SST χ ( N σ SSG χ ( σ SSE χ ( N σ Cochra lausee muaa elösummat SSG ja SSE ovat rppumattoma, osa varassaalshajotelma elösumma vastaavat vapausasteet toteuttavat htälö N = ( + (N TKK (c Ila Mell (005 54
TKK (c Ila Mell (005 55 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals F-testsuuree jaauma: Perustelu 3/3 Ste suoraa F-jaauma määrtelmä muaa SSG N SSG ( σ F = = F (, N SSE SSE ( N σ jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Yssuutae varassaals ja se suorttame Testsuuree tulta / Testsuure N SSG F = SSE vodaa tulta varasse vertalutestsuurees, havatoje j varass σ estmaattora MSG = SSG = ( = verrataa estmaattor MSE = SSE = ( j N N = j = TKK (c Ila Mell (005 56 Yssuutae varassaals ja se suorttame Testsuuree tulta / Estmaattor MSE = SSE = ( j N N = j = o aa harhato havatoje j varasslle σ, mutta estmaattor MSG = SSG = ( = o harhato havatoje j varasslle σ va, jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. TKK (c Ila Mell (005 57 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSE harhattomuus: Todstus /5 Oletetaa todstuse sertastamses, että = = = = jollo N = Estmaattor MSE = SSE = ( j N N o harhato varasslle σ = j =, jos E( MSE = E( SSE N = σ Todstamme ss, että E(SSE = (N σ Huomautus: Emme oleta, että ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. TKK (c Ila Mell (005 58 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSE harhattomuus: Todstus /5 Yssuutase varassaals tlastolle mall vodaa esttää seuraavassa muodossa (s. taremm seuraavaa appaletta: = µ j, j =,,,, =,,, j satuasmuuttujat ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: j ε j N(0, σ, =,,,, =,,, Todetaa es, että = j = µ, =,,, ε = ε j, =,,, Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSE harhattomuus: Todstus 3/5 Satuasmuuttujat ε = ε j, =,,, ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: σ ε N 0,, =,,, Lsäs = ε ε, j =,,,, =,,, j j TKK (c Ila Mell (005 59 TKK (c Ila Mell (005 60
TKK (c Ila Mell (005 6 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSE harhattomuus: Todstus 4/5 Edellä estet muaa SSE = ( = ( ε ε j j j j = = = = ( ε j ε jε ε j = = ε j ε ε j = = = = ε j ε = = ε j ε j = = = + = + = = Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSE harhattomuus: Todstus 5/5 Ste E( SSE = E ( j = E ε j ε = = = E( ε j E( ε = σ = σ = = ( σ σ = = ( σ = ( σ = ( N σ mä o haluttu tulos. TKK (c Ila Mell (005 6 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus /7 Oletetaa tarastelu sertastamses, että = = = = jollo N = Estmaattor MSG = SSG = ( o harhato varasslle σ =, jos E( MSG = E( SSG =σ Todstamme, että estmaattor MSG o harhato varasslle σ, jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. TKK (c Ila Mell (005 63 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus /7 Yssuutase varassaals tlastolle mall vodaa esttää seuraavassa muodossa (s. taremm seuraavaa appaletta: j = µ + τ j, j =,,,, =,,, τ = 0 = ja satuasmuuttujat ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε j N(0, σ, j =,,,, =,,, TKK (c Ila Mell (005 64 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus 3/7 Todetaa es, että = j = µ + τ, =,,, ε = ε j, =,,, ja = j = ( µ + τ = µ + τ = α N = N = N = ε = j N ε = N ε j = = = Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus 4/7 Satuasmuuttujat ε = ε j, =,,, ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: σ ε N 0,,,,, = Mös satuasmuuttuja ε = ε j N = o ormaaljaautuut: σ ε N 0,, =,,, N Lsäs = ε ε + τ, =,,, TKK (c Ila Mell (005 65 TKK (c Ila Mell (005 66
TKK (c Ila Mell (005 67 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus 5/7 Edellä oleva muaa SSG = ( = ( ε ε + τ = = [ ( ε ε τ] = + = ( ε ε ( ε ε τ τ = = = ( ε εε ε ( ε ε τ τ = = = ε ε ε ( ε ε τ τ = = = ε Nε ( ε ε τ + τ = = = = + + = + + + = + + + = + Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus 6/7 Ste E( SSG = E ( = = Eε Nε + ( ε ε τ + τ = = = = E( ε NE( ε + τ E( ε ε + τ = = = σ σ τ 0 τ N = = σ τ = = N + + = ( + TKK (c Ila Mell (005 68 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus 7/7 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassaalstauluo / Ste olemme todstaeet, että SSG E( MSG = E τ = = σ + Kosa ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ o evvalett ollahpotees H 0 : τ = τ = = τ = 0 assa (s. taremm seuraavaa appaletta, ollahpotees H 0 pätessä MSG o varass σ harhato estmaattor: E(MSG = σ Vahtelu lähde Rhme väle vahtelu Rhme ssäe vahtelu Kooasvahtelu SS SSG SSE SST df N N MS MSG = SSG MSE = SSE N F N SSG F = SSE TKK (c Ila Mell (005 69 TKK (c Ila Mell (005 70 Yssuutae varassaalsja se suorttame Varassaalstauluo / Yssuutae varassaals Varassaalstauluo elösummat toteuttavat htälö SST = SSG + SSE Yhtälö o varassaalshajotelma. Varassaalstauluo elösumme vapausasteet toteuttavat htälö N = ( + (N Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame >> Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 7 TKK (c Ila Mell (005 7
TKK (c Ila Mell (005 73 Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals tlastolle mall: Parametrot I / Yssuutase varassaals tlastolle mall vodaa parametroda seuraavalla tavalla: ( j = µ j, j =,,,, =,,, jääöstermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε j N(0, σ, j =,,,, =,,, Mallssa ( j = -muuttuja j. havatoarvo rhmässä µ = -muuttuja odotusarvo rhmässä Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals tlastolle mall: Parametrot I / E-satuaset vaot µ, =,,, ja jääösvarass σ ovat ssuutase varassaals tlastollse mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, parametreja. Malla ( osevsta oletussta seuraa, että E( j = µ, j =,,,, =,,, ja D ( = σ, j =,,,, =,,, j TKK (c Ila Mell (005 74 Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals tlastolle mall: Parametrot II / Yssuutase varassaals tlastolle mall vodaa parametroda mös seuraavalla tavalla: ( j = µ + τ j, j =,,,, =,,, τ = 0 = ja jääöstermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε N(0, σ, j =,,,, =,,, j Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals tlastolle mall: Parametrot II / E-satuaset vaot µ, τ, =,,, ja jääösvarass σ ovat ssuutase varassaals tlastollse mall ( j = µ + τ j, j =,,,, =,,, parametreja. Malla ( osevsta oletussta seuraa, että E( j = µ + τ, j =,,,, =,,, ja D ( = σ, j =,,,, =,,, j TKK (c Ila Mell (005 75 TKK (c Ila Mell (005 76 Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Parametrote I ja II vertalu Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Parametrote I ja II evvaless / Mallssa ( j = µ j, j =,,,, =,,, -havaot estetää rhmäohtaste odotusarvoje µ, =,,, Mallssa ( j = µ + τ j, j =,,,, =,,, -havaot estetää seuraave tejöde summaa: Ylesodotusarvo µ Rhmttelevä tejä A taso vautus (efet τ =,,, Mallt ( ja ( ovat evvaletteja mallt o va parametrotu er tavolla. Määrtellää µ = µ, N = + + + N = Krjotetaa detteett j = µ + ( µ µ + ( j µ, j =,,,, =,,, ja mertää ja τ = µ µ, =,,, µ = ε, j =,,,, =,,, j j TKK (c Ila Mell (005 77 TKK (c Ila Mell (005 78
TKK (c Ila Mell (005 79 Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Parametrote I ja II evvaless / Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Nollahpoteese evvaless Ste = µ = µ + ( µ µ + ( µ = µ + τ j j j j j j µ = µ, N = + + + = N =, =,,,, 0 = = τ µ µ τ ovat ssuutase varassaals tlastollse mall evvaletteja estsmuotoja. Mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, ollahpoteesa H 0 : µ = µ = = µ = µ vastaa mallssa ( j = µ + τ j, j =,,,, =,,, ollahpotees H 0 : τ = τ = = τ = 0 TKK (c Ila Mell (005 80 Yssuutae varassaals Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot >> Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt Yssuutase varassaals mall vodaa parametroda seuraavalla tavalla: ( j = µ j, j =,,,, =,,, j = -muuttuja j. havatoarvo rhmässä µ = -muuttuja odotusarvo rhmässä ε j = jääösterm Oletetaa, että jääöstermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε N(0, σ, j =,,,, =,,, j TKK (c Ila Mell (005 8 TKK (c Ila Mell (005 8 Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall leseä leaarsea malla Yssuutase varassaals mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, o evvalett regressomall ( j = µ I j+ µ I j + + µ I j j j =,,,, =,,, assa. Mall ( selttäjät I, =,,, ovat daattormuuttuja, jota lmasevat uuluuo havato j rhmää va e:, jos havato j uuluu rhmää I j = 0, jos havato j e uulu rhmää Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall parametre PNS-estmaattort Mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, parametre µ, =,,, pemmä elösumma estmaattores ˆ µ, =,,, saadaa rhmäohtaset artmeettset esarvot ˆ µ = j = TKK (c Ila Mell (005 83 TKK (c Ila Mell (005 84
TKK (c Ila Mell (005 85 Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall parametre PNS-estmaattort: Johto / Estmodaa mall ( = µ j, j =,,,, =,,, j parametrt µ, =,,, PNS-meetelmällä. Etstää elösumma = j = j = = SS( µ, µ,, µ ε ( µ mm parametre suhtee tavaomasee tapaa: ( Dervodaa elösumma SS ( µ, µ,, µ parametre µ, =,,, suhtee. ( Mertää dervaatat olls. ( Ratastaa saadut ormaalhtälöt parametre µ, =,,, suhtee. Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall parametre PNS-estmaattort: Johto / Normaalhtälös saadaa: SS( µ, µ,, µ = ( j µ µ µ = = ( j µ = j µ Normaalhtälöde ratasus saadaa rhmäesarvot ˆ µ = j = = 0, =,,, TKK (c Ila Mell (005 86 Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall sovtteet ja resduaalt Estmodu mall sovtteet saadaa htälöstä ˆ ˆ j = µ =, j =,,,, =,,, ˆ µ =, =,,, o parametr µ pemmä elösumma estmaattor. Estmodu mall resduaalt saadaa htälöstä e = ˆ =, j =,,,, =,,, j j j j Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall ja ollahpotees odotusarvoje htäsuuruudesta Ottamalla ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ huomoo, muutuu mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, malls (3 j = µ j, j =,,,, =,,, Mall (3 o saatu mallsta ( asettamalla mall ( parametrelle µ, µ,, µ ( leaarsta sde-ehtoa: µ µ = 0, =, 3,, TKK (c Ila Mell (005 87 TKK (c Ila Mell (005 88 Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Sdotu mall (3 parametr PNS-estmaattor Mall (3 j = µ j, j =,,,, =,,, parametr µ pemmä elösuma estmaattors saadaa lesesarvo j N = j = = Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Sdotu mall (3 parametr PNS-estmaattor: Johto / Estmodaa mall (3 = µ j, j =,,,, =,,, j parametr µ PNS-meetelmällä. Etstää elösumma SS( µ = ε = ( µ j j j = = = = mm tavaomasee tapaa: ( Dervodaa elösumma S(µ parametr µ suhtee. ( Mertää dervaatta ollas. ( Ratastaa saatu ormaalhtälö parametr µ suhtee. j TKK (c Ila Mell (005 89 TKK (c Ila Mell (005 90
TKK (c Ila Mell (005 9 Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Sdotu mall (3 parametr PNS-estmaattor: Johto / Normaalhtälös saadaa: SS( µ = ( j µ µ µ Normaalhtälö ratasus saadaa lesesarvo ˆ µ = j = N = = = ( µ = j = j Nµ = = 0, =,,,, N = + + + Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Parametreja oseve sde-ehtoje testaame /3 Mallsta ( j = µ j, j =,,,, =,,, saadaa jääöselösummas rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE = ( = j Mallsta (3 j = µ j, j =,,,, =,,, jääöselösummas saadaa ooaselösumma SST = ( j = TKK (c Ila Mell (005 9 Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Parametreja oseve sde-ehtoje testaame /3 Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Parametreja oseve sde-ehtoje testaame 3/3 Luvu Ertssmsä lese leaarse mall soveltamsessa appaleessa Rajotettu pemmä elösumma meetelmä estet teora muaa leaarste sde-ehtoje µ µ = 0, =, 3,, testaame vodaa perustaa F-testsuureesee N SST SSE F = SSE joa ottamalla huomoo varassaalshajotelma SST = SSG + SSE vodaa rjottaa muotoo N SST SSE N SSG F = = SSE SSE Jos sde-ehdot µ µ = 0, =, 3,, pätevät, N SSG F = F (, N SSE Tässä estett F-test ja edellä ssuutase varassaals ollahpoteeslle H 0 : µ = µ = = µ = µ estett F-test ovat täs samat. TKK (c Ila Mell (005 93 TKK (c Ila Mell (005 94 Yssuutae varassaals Yssuutase varassaals mall matrsests Yssuutase varassaals mall Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot >> Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt Yssuutase varassaals mall vodaa parametroda seuraavalla tavalla: ( j = µ j, j =,,,, =,,, j = -muuttuja j. havatoarvo rhmässä µ = -muuttuja odotusarvo rhmässä ε j = jääösterm Oletetaa, että jääöstermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε N(0, σ, j =,,,, =,,, j TKK (c Ila Mell (005 95 TKK (c Ila Mell (005 96
TKK (c Ila Mell (005 97 Yssuutase varassaals mall matrsests Yssuutase varassaals mall leseä leaarsea malla Yssuutase varassaals mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, o evvalett regressomall ( j = µ I j+ µ I j + + µ I j j j =,,,, =,,, assa. Mall ( selttäjät I, =,,, ovat daattormuuttuja, jota lmasevat uuluuo havato j rhmää va e:, jos havato j uuluu rhmää I j = 0, jos havato j e uulu rhmää Yssuutase varassaals mall matrsests Regressomall ( matrsests / Regressomall ( vodaa rjottaa matrse muotoo 00 0 00 0 00 0 µ 00 0 000 000 ε ε ε ε ε ε µ = µ 3 + µ TKK (c Ila Mell (005 98 Yssuutase varassaals mall matrsests Regressomall ( matrsests / Yssuutase varassaals mall matrsests Mall ( regressoertome PNS-estmot /3 Edellse alvo matrshtälö vodaa rjottaa lhest muotoo = Xµ = havatoje j muodostama N-vetor; N = + + + X = o olle ja öste muodostama täsastee N -matrs, joa joasella rvllä o täsmällee s öe µ = rhmäodotusarvoje µ muodostama -vetor ε = jääösterme ε j muodostama N-vetor Mall = Xµ regressoertome vetor µ pemmä elösumma estmaattor o µ = ( XX X TKK (c Ila Mell (005 99 TKK (c Ila Mell (005 00 Yssuutase varassaals mall matrsests Mall ( regressoertome PNS-estmot /3 Yssuutase varassaals mall matrsests Mall ( regressoertome PNS-estmot 3/3 Nt 0 0 0 0 0 0 = dag(,,, = 0 0 3 0 XX Σ j Σ j X = Σ j3 Σ j 0 0 0 Ste regressoertome vetor µ pemmä elösumma estmaattors ˆµ saadaa rhmäesarvoje, =,,, muodostama vetor: Σ j Σ j Σ 3 j3 3 µ ˆ = ( XX X = = Σ j TKK (c Ila Mell (005 0 TKK (c Ila Mell (005 0
TKK (c Ila Mell (005 03 Yssuutase varassaals mall matrsests Yssuutause varassaals ollahpotees Yssuutase varassaals mall matrsests Regressomall (3 matrsests / Ottamalla ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ huomoo, saadaa mallsta ( j = µ j, j =,,,, =,,, mall (3 j = µ j, j =,,,, =,,, Mall (3 o saatu mallsta ( asettamalla mall ( parametrelle µ, µ,, µ ( leaarsta sde-ehtoa: µ µ = 0, =, 3,, Mall (3 vodaa rjottaa matrse muotoo δ δ δ µ = + δ δ δ TKK (c Ila Mell (005 04 Yssuutase varassaals mall matrsests Regressomall (3 matrsests / Yssuutase varassaals mall matrsests Mall (3 regressoertome PNS-estmot / Edellse alvo matrshtälö vodaa rjottaa lhest muotoo = µ = havatoje j muodostama N-vetor; N = + + + = o öste muodostama N-vetor µ = regressoerro δ = jääösterme δ j muodostama N-vetor Mall = µ regressoertome µ pemmä elösumma estmaattor o ˆ µ = ( TKK (c Ila Mell (005 05 TKK (c Ila Mell (005 06 Yssuutase varassaals mall matrsests Mall (3 regressoertome PNS-estmot / Yssuutae varassaals Nt = N =ΣΣ j Ste regressoertome µ pemmä elösumma estmaattors ˆµ saadaa havatoarvoje lesesarvo : ˆ µ = ( = ΣΣ j = N Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests >> Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 07 TKK (c Ila Mell (005 08
TKK (c Ila Mell (005 09 Lasutomtuste suorttame Rhmäsummat ja ooassumma Lasutomtuste suorttame Havatoarvoje elöde summat Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Määrtellää rhmä =,,, havatoarvoje j summa aavalla T =, =,,, j ja ae havatoarvoje j ooassumma aavalla T = = T j = = Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Määrtellää rhmä =,,, havatoarvoje j elöde summa aavalla, =,,, j ja ae havatoarvoje j elöde ooassumma aavalla j = TKK (c Ila Mell (005 0 Lasutomtuste suorttame Rhmäesarvoje ja ooasesarvo laseme Havatoarvoje rhmäesarvot saadaa aavolla = T, =,,, ja ooasesarvo saadaa aavalla = T N N = + + + o havatoje ooasluumäärä. Lasutomtuste suorttame Rhmävarasse ja ooasvarass laseme Havatoarvoje rhmävarasst saadaa aavolla s = j T, =,,, ja ooasvarass saadaa aavalla s T = j N = N N = + + + o havatoje ooasluumäärä. TKK (c Ila Mell (005 TKK (c Ila Mell (005 Lasutomtuste suorttame Kooaselösumma seä rhme ssäse ja välse vahtelu elösumme laseme Kooaselösumma SST vodaa lasea aavalla SST = ( j = j T = = N Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSG vodaa lasea aavalla SSG = ( = ( = T T = = = N Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE saadaa varassaalshajotelma ojalla aavalla SSE = SST SSG Lasutomtuste suorttame Varassaals testsuuree laseme F-testsuure ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ testaamses saadaa rhme välstä vahtelua uvaavasta elösummasta SSG ja rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE aavalla N SSG F = SSE TKK (c Ila Mell (005 3 TKK (c Ila Mell (005 4
TKK (c Ila Mell (005 5 Lasutomtuste suorttame Lasutomtuste järjestäme tauluos Yssuutae varassaals Lasutomtuset vodaa järjestää esmers seuraava tauluo muotoo: Rhmä Rhmä Rhmä Summa N = = T = j j T = j j T j j T T = = = = = = T T T j j = = = j j j j Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame >> Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 6 Bartlett test Test ollahpotees Bartlett test Testsuure / Yssuutasessa varassaalsssa oletetaa, että havatoje j rhmäohtaset varasst ovat htä suura. Oloot havaot j ormaalsa: j N( µ, σ, j =,,,, =,,, Oletetaa lsäs, että havaot j ovat rppumattoma ja ste mös orrelomattoma. Määrtellää ollahpotees H : σ = σ = = σ = σ 0 TKK (c Ila Mell (005 7 Määrtellää havatoje j rhmäohtaset varasst s aavolla s = ( j, =,,, =, =,,, j j = o havatoje j rhmäohtae esarvo. Muodostetaa otosvarassesta s hdstett varass sp = ( s N = TKK (c Ila Mell (005 8 Bartlett test Testsuure / Bartlett test Testsuuree jaauma Määrtellää Bartlett testsuure Q B = h (logartmt luoollsa ( log( P ( log( = Q= N s s ja h = + 3( = N Jos ollahpotees H 0: σ = σ = = σ = σ pätee, Bartlett testsuure B o jaautuut suurssa otosssa approsmatvsest (el asmptoottsest χ - jaauma muaa vapausaste ( : B a χ ( Testsuuree B ormaalarvo o approsmatvsest ( : E( B = a Suuret testsuuree B arvot johtavat ollahpotees H 0 hläämsee. TKK (c Ila Mell (005 9 TKK (c Ila Mell (005 0
TKK (c Ila Mell (005 Bartlett test Testsuuree laseme Yssuutae varassaals Rhmävarasst s vodaa lasea aavolla s = ( j = j T, =,,, Otosvarassesta lasettu hdstett varass s P o sama u rhme ssäsee vahteluu lttvä varassestmaattor: s = P ( s SSE MSE N = N = = Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test >> Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 Odotusarvopare vertalu Odotusarvoje vertaluogelma Jos ssuutase varassaals ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ hlätää tedetää, että aa as odotusarvosta µ, =,,, eroaa tlastollsest mertseväst tosstaa. Jos ollahpotees H 0 hlätää, varassaalsa vodaa jataa rhmttelllä, selvtetää mssä rhmssä odotusarvoje erot ovat tlastollsest mertsevä. Vertalu vodaa tehdä ättämällä luottamusvälejä ta testejä. Odotusarvopare vertalu Luottamusväle ättö odotusarvoje parvertalussa /4 Oletetaa, että haluamme verrata odotusarvoja µ ja µ l. Odotusarvoje vertalu vodaa tehdä ste, että ostruodaa odotusarvoje µ ja µ l erotuselle µ µ l luottamusväl luottamustasolla ( α ja tuttaa uuluuo olla ostruotuu väl va e. TKK (c Ila Mell (005 3 TKK (c Ila Mell (005 4 Odotusarvopare vertalu Luottamusväle ättö odotusarvoje parvertalussa /4 Valtaa luottamustasoa ( α vastaavat luottamusertomet t α/ ja +t α/ ste, että Pr( tα / t + tα / = α t t( N Odotusarvopare vertalu Luottamusväle ättö odotusarvoje parvertalussa 3/4 Kätetää odotusarvoje µ ja µ l erotuse luottamusvälä luottamustasolla ( α välä ( l ± tα sp + Kaavassa s = P ( s SSE MSE N = = N = o s. hdstett varass, s = ( j o rhmä havatoarvoje varass. l TKK (c Ila Mell (005 5 TKK (c Ila Mell (005 6
TKK (c Ila Mell (005 7 Odotusarvopare vertalu Luottamusväle ättö odotusarvoje parvertalussa 4/4 Huomautusa: ( Tässä ätettävä luottamusväl aava eroaa tavaomasesta aavasta ste, että hdstet varass s p aavassa o hdstett otosvarasst asta rhmstä eä va rhmstä ja l. ( Kostruodut luottamusvält evät ole smultaasa, vaa osevat va rhme ja l odotusarvoja. (Tehtäve parvertaluje luumäärä o ( = Odotusarvopare vertalu Testause ättö odotusarvoje parvertalussa /4 Oletetaa, että haluamme verrata odotusarvoja µ ja µ l. Odotusarvoje vertalu vodaa tehdä ste, että testataa ollahpoteesa H 0 : µ = µ l vahtoehtosta hpoteesa H : µ µ l vastaa ättäe mertsevstasoa luua α. TKK (c Ila Mell (005 8 Odotusarvopare vertalu Testause ättö odotusarvoje parvertalussa /4 Kätetää testsuureea t-testsuuretta l t = sp + l Kaavassa s = P ( s SSE MSE N = = N = o s. hdstett varass, s = ( j o rhmä havatoarvoje varass. Odotusarvopare vertalu Testause ättö odotusarvoje parvertalussa 3/4 Jos ollahpotees H 0 : µ µ l = 0 pätee, t t( N Itsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot johtavat ollahpotees hläämsee. TKK (c Ila Mell (005 9 TKK (c Ila Mell (005 30 Odotusarvopare vertalu Testause ättö odotusarvoje parvertalussa 4/4 Huomautusa: ( Tässä ätettävä testsuuree aava eroaa tavaomasesta aavasta ste, että hdstet varass s p aavassa o hdstett otosvarasst asta rhmstä eä va rhmstä ja l. ( Kostruodut testt evät ole smultaasa, vaa osevat va rhme ja l odotusarvoja. (Tehtäve parvertaluje luumäärä o ( = Odotusarvopare vertalu Luottamusvältea ja testause evvaless Edellä estett luottamusvälejä ättävä meettel, luottamustasos o valttu luu α ja edellä estett testausmeettel, mertsevstasos o valttu luu α ovat evvaletteja. TKK (c Ila Mell (005 3 TKK (c Ila Mell (005 3
TKK (c Ila Mell (005 33 Odotusarvopare vertalu Smultaaset luottamusvält ja testt Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö Smultaaste luottamusväle ta teste ostruomsee o useta erlasa meetelmä. Smultaaset luottamusvält ta testt ovat aa approsmatvsa. Boferro meetelmässä ätetää parvertaluje luottamusvälejä ta testejä, mutta luu α orvataa luvulla α/m m o tehtäve parvertaluje luumäärä: ( m = = Oloot A, A,, A m tapahtuma. Tällö pätee Boferro epähtälö Pr( A A Am c c c Pr( A + Pr( A + + Pr( Am TKK (c Ila Mell (005 34 Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö: Todstus / Todstetaa Boferro epähtälö Pr( A A A Pr( c Pr( c Pr( c m A + A + + Am tapausessa m = Ylee tapaus vodaa todstaa samalla tavalla u tapaus m = ättäe dutota. Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö: Todstus / Oloot ss A ja A as otosavaruude S tapahtumaa. Tällö lesestä hteelasusääöstä seuraa, että ( Pr( A c A c = Pr( A c + Pr( A c Pr( A c A c Pr( A c + Pr( A c De Morga la muaa c c c A A = ( A A Ste omplemetttapahtuma todeäösde sääöstä ja aavasta ( seuraa, että c c c Pr( A A = Pr(( A A c c = Pr( A A c c Pr( A + Pr( A TKK (c Ila Mell (005 35 TKK (c Ila Mell (005 36 Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt /6 Boferro meetelmä odotusarvoje vertalussa perustuu Boferro epähtälöö. Oletetaa, että tehtävää o suorttaa m tlastollsta testä. Tarastellaa todeäösttä α, että vähtää s teste ollahpoteesesta hlätää vrheellsest. Määrtellää tapahtuma A = Nollahpoteesa e hlätä vrheellsest testssä =,,, m Tällö c A = Nollahpotees hlätää vrheellsest testssä =,,, m Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt /6 Jos assa odotusarvoje vertalutestessä ätetää samaa mertsevstasoa α, Pr( A = α, =,,, m ja c Pr( A = α, =,,, m ss A = Nollahpoteesa e hlätä vrheellsest testssä =,,, m TKK (c Ila Mell (005 37 TKK (c Ila Mell (005 38
TKK (c Ila Mell (005 39 Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt 3/6 Jos testt =,,, m ovat rppumattoma, todeäöss, että ollahpoteesa e hlätä vrheellsest hdessäää testssä o Pr( A A Am = Pr( APr( A Pr( Am Jos joasessa testssä ätetää mertsevstasoa samaa luua α, tällö Pr( A A A ( m m = α ja ste α = Pr( Vähtää s vrheelle hläs = ( α m Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt 4/6 Jos testt =,,, m rppuvat tosstaa, htälö α = Pr( Vähtää s vrheelle hläs = ( α m pätee va approsmatvsest. TKK (c Ila Mell (005 40 Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt 5/6 Boferro epähtälö muaa Pr( E htää vrheellstä hlästä = Pr( A A Am c c c Pr( A + Pr( A + + Pr( Am Jos joasessa testssä ätetää mertsevstasoa samaa luua α, saamme epähtälö Pr( E htää vrheellstä hlästä mα Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt 6/6 Ste vähtää hde vrheellse hläse todeäösdelle α o saatu arvo α = Pr( Vähtää s vrheelle hläs = Pr( E htää vrheellstä hlästä mα Ste valta α = β/m taaa se, että α β TKK (c Ila Mell (005 4 TKK (c Ila Mell (005 4 Yssuutae varassaals Kotrastt Kotraste määrtelmä Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu >> Kotrastt Oloo ( j = µ j, j =,,,, =,,, ssuutase varassaals mall, jääöstermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε j N(0, σ, j =,,,, =,,, Parametre µ, µ,, µ leaarombaato Γ=c µ = o otrast, jos c = 0 = TKK (c Ila Mell (005 43 TKK (c Ila Mell (005 44
TKK (c Ila Mell (005 45 Kotrastt Kotrasteja osevat hpoteest Kotrastt Kotraste estmot Asetetaa otrastlle Γ ollahpotees H : Γ= c µ = 0 0 ja vahtoehtoe hpotees = H: Γ= c µ 0 = Tarastellaa seuraavassa ollahpoteesa H 0 testaamsta. Oloo otrast Γ=c µ C = c = = estmaattor, =, =,,, j j = o rhmä havatoarvoje artmeette esarvo. TKK (c Ila Mell (005 46 Kotrastt Estmaattorede omasuudet Kotrastt F-test otrastelle /4 Kotrast Γ estmaattor C = c o ormaaljaautuut: C N( µ C, σ C ja = µ = E( C = cµ =Γ C = C = D( C = σ = σ c Oloo C Q = D( C C = c = ja c D( C = σ = Jos ollahpotees H 0 : Γ = 0 pätee, Q χ ( TKK (c Ila Mell (005 47 TKK (c Ila Mell (005 48 Kotrastt F-test otrastelle /4 Kotrastt F-test otrastelle 3/4 Oloo SSE Q = σ SSE = ( = ( s j = = Vodaa osottaa, että (s. appaletta Yssuutae varassaals Q χ ( N N = + + + Määrtellää F-testsuure Q/ Q F = = ( N Q/( N Q Kosa elösummat Q ja Q ovat rppumattoma, testsuure F F(, N jos ollahpotees H 0 : Γ = 0 pätee. Suuret F-testsuuree arvot vttaavat she, että ollahpotees H 0 o stä asettaa seealases. TKK (c Ila Mell (005 49 TKK (c Ila Mell (005 50
TKK (c Ila Mell (005 5 Kotrastt F-test otrastelle 4/4 Kotrastt t-test otrastelle Testsuure F vodaa rjottaa muotoo c = F = c MSE = SSE MSE = N = ( j = ( s N N = = Edellä estett F-test ja test, ätetää t-testsuuretta c = t = c MSE = ovat evvaletteja. Jos ollahpotees H 0 : Γ = 0 pätee, t t(n Itsesarvoltaa suuret t-testsuuree arvot vttaavat she, että olla-hpotees H 0 o stä asettaa seealases. TKK (c Ila Mell (005 5 Kotrastt Kotraste luottamusvält Kotrastt Ortogoaalset otrastt Kotrast Γ=c µ = luottamusväl luottamustasolla ( α o muotoa c c ± tα / MSE = = luottamuserro t α/ o määrätt, että Pr( t α/ t +t α/ = α ja t t(n Kotrastt Γ=c µ ja = =d µ = ovat ortogoaalsa, jos cd = 0 = TKK (c Ila Mell (005 53 TKK (c Ila Mell (005 54 Kotrastt Ortogoaalset otrastt ja rhme välstä vahtelua uvaava elösumma /4 Tosstaa rppumattome ortogoaalsa otraste luumäärä o = Rhme luumäärä Ortogoaalset otrastt deompoovat rhme välstä vahtelua uvaava elösumma ( ompoett, josta joase aste =. Ste ortogoaals otrasteh lttvät testt ovat rppumattoma. Kotrastt Ortogoaalset otrastt ja rhme välstä vahtelua uvaava elösumma /4 Oloot Γ = c µ, l =,,, l l = ( ortogoaalsta otrasta odotusarvolle µ, µ,, µ Oloo l = cl = c SS =, l =,,, l TKK (c Ila Mell (005 55 TKK (c Ila Mell (005 56
TKK (c Ila Mell (005 57 Kotrastt Ortogoaalset otrastt ja rhme välstä vahtelua uvaava elösumma 3/4 Tällö pätee ( = SSG = = SS + SS + + SS Kappaleessa Yssuutae varassaals todett, että SSG χ ( σ Edellä estet muaa satuasmuuttujat SS SS SS,,, σ σ σ oudattavat χ -jaaumaa hdellä vapausasteella: SS χ (, l =,,, l Kotrastt Ortogoaalset otrastt ja rhme välstä vahtelua uvaava elösumma 4/4 Cochra lauseesta seuraa, että satuasmuuttujat SS SS SS,,, σ σ σ ovat rppumattoma. Kosa F-testsuureet otrastelle Γ, Γ,, Γ vodaa esttää muodossa SSl Fl =, l =,,. MSE äemme, että testt ortogoaalslle otrastelle ovat rppumattoma. TKK (c Ila Mell (005 58