34. Geometrista optiikkaa

34. Geometrista optiikkaa 34. Kuvan muodostuminen 2 Lähtökohta: Pistemäisestä esineestä valonsäteet lähtevät kaikkiin suuntiin. P P 3 s s Arkihavainto: Tasopeili muodostaa kuvan heijastamalla esineen pisteistä peiliin tulevaa valoa siten, että peilistä etäisyydellä s olevan pisteen P (vale)kuva P on (näyttää olevan) samalla peilin pintaa vastaan kohtisuoralla suoralla (katkoviiva kaaviossa) kuin piste P ja tarkastelusuunnasta (,2,3) riippumatta peilin takana (valonsäteiden jatkeiden leikkauspisteessä) etäisyydellä s = s. Todellinen kuva = valonsäteiden muodostama kuva. Valekuva = valonsäteiden jatkeiden muodostama kuva. 7 Yhtälöissä ja laskuissa noudatamme etumerkkisopimuksia:. Jos esine on samalla puolella heijastavaa/taittavaa rajapintaa kuin pintaan tuleva valo, esineen etäisyys s>0. Muutoin s<0. 2. Jos kuva on samalla puolella heijastavaa/taittavaa rajapintaa kuin pinnasta lähtevä valo, kuvan etäisyys s > 0. Muutoin s < 0. 3. Jos kaarevan heijastavan/taittavan rajapinnan (tai sen osan) kaarevuuskeskipiste on samalla puolella rajapintaa kuin pinnasta lähtevä valo, rajapinnan kaarevuussäde >0. Muutoin <0. Kuvissa ja sanallisissa tehtävänasetteluissa symboleja s, s ja ja niitä vastaavia käsitteitä käytetään (tavallisesti) ilman oletusta niiden etumerkeistä. Optisissa kojeissa esineistä/kuvista (todellisista tai vale-esineistä/kuvista) muodostetaan useampia rajapintoja käyttäen edelleen todellisia tai valekuvia. Tällöin laskujen eri vaiheissa etäisyyksien etumerkit on katsottava kullekin rajapinnalle erikseen. Vale-esineelle s<0 ja valekuvalle s < 0. 8

y y θ a θ r s s Tasopeilin etäisyydellä s olevasta esineestä (kuvan vasen paksu nuoli) muodostaman valekuvan etäisyys on s = s (52) ja kuvan koko y on y = y, (53) missä y on esineen koko. Yleisesti (ei ainoastaan tasopeileille) määritellään viivasuurennos m = y y. (54) Merkkisopimus: Jos kuva on käännetty (esimerkiksi ylösalaisin), ovat y ja y vastakkaismerkkiset ja m<0. Tasopeilille m =. Kuvan paikka soveltamalla heijastumislakia (46) kahteen valonsäteeseen. Kuvan ja esineen koot valittuun peilin pinnan tasossa olevaan suuntaan. 9 Huom: Yksi todellisen kuvan määritelmä on, että sen saa näkyviin asettamalla sen kohdalle valonsäteiden kulkureitille varjostimen (tai vaikkapa ccd-kennon). Valekuvastakin voi tuottaa todellisen kuvan, esimerkiksi ottamalla peilikuvastaan kameralla valokuvan, joka kuitenkin pohjimmiltaan on alkuperäisen todellisen esineen kuva, joka vain on tuotettu mutkikkaammalla laitteistolla. Huom: Yksinkertaistenkin peilikuvien analyysissä voi jonkin verran hämätä arkikokemuksemme: peilikuvan havainnoija on usein samalla esine. Peilin muodostama kuva siirtyy vain silloin kun esine siirtyy (jos peili pysyy paikallaan), ei silloin jos ainoastaan havainnoija siirtyy. Huom: Tasopeilissä eikäänny vasen oikeaksi kuten ei myöskään käänny ylös alas. Peiliä vastaan kohtisuorat suunnat kuitenkin kääntyvät ja olemme tottuneet määrittelemään oikean ja vasemman suhteessa siihen mihin suuntaan nenä näyttää. Tähän liittyvä harha on siis mentaalinen eikä optinen. 20

34.2 Pallopeilit Koveran peilin pisteestä P muodostaman kuvan paikka: Heijastuvat valonsäteet, joille kulma β on pieni, leikkaavat toisensa pisteessä P : φ = α + θ ja β = φ + θ, joista α + β =2φ (i) θ θ α φ P C P s β s Pienillä α, β, φ ja d sekä muistaen tan x x ja ( + x) q +qx α tan α = h/(s d) ( + d/s)h/s (ii) β tan β = h/(s d) ( + d/s )h/s (iii) φ tan φ = h/( d) ( + d/)h/ (iv) Yhdistämällä (i-iv) saamme kulmista riippumattoman tuloksen s + s 2. (55) d 2 h F Jos piste P on hyvin kaukana peilistä eli s, saamme (55):sta s = /2, jota kutsumme polttoväliksi = /2. (56) Vastaavaa pinnan symmetria-akselilla eli peilin pääakselilla olevaa pistettä F kutsumme peilin polttopisteeksi. Pallopeilin muodostaman kuvan paikan saamme kuvausyhtälöstä s + s =, (57) joka pätee sekä koverille että kuperille pallopeileille ja linsseillekin (kuten pian toteamme), kunhan muistamme s:n, s :n ja :n merkkisopimukset sivulta 8. Kuva on terävä vain pienille h/. Suureet s, s, ja ovat laskuissa etumerkillisiä. Tämä onkäytännöllistä: Sama yhtälö toimii sekä peileille että linsseille. Suureen etumerkki kertoo peilin tai linssin tyypin: >0 kokoava ja <0 hajottava. 22

Kuvan etäisyyden ja sen koon määrittämiseen on helpointa käyttää seuraavia valonsäteitä:. pääakselin suuntaisena tuleva polttopisteen kautta lähtevä, 2. polttopisteen kautta tuleva pääakselin suuntaisena lähtevä, 3. kaarevuussäteen suuntainen, 2 3 4 C s F s 4. pääakselin ja rajapinnan leikkauspisteen kautta kulkeva säde. Yhdenmuotoisista kolmioista (esineen ja tulevan säteen 4 sekä kuvan ja lähtevän säteen 4 rajaamat kolmiot) suurennus on m = y y = s s, (58) mikä (tämäkin) pätee koverille ja kuperille peileille sekä linsseille. 23 Kuperalle peilille samaan tapaan: Kaaviosta toteamme, että kuvan paikan ja koon saa yhtälöistä (57 58), nyt vain on <0. Kulmien (vrt. sivu 2) tarkastelu osoittaa, että 3 kuva voi olla terävä vain 2 pienillä kulmilla. F C Yleisesti (57):sta saadaan 4 s s =/(/ /s). s Koveralle peilille >0, joten s> s > 0 ja m<0 (todellinen kuva), 0 <s< s < 0 ja m>0 (valekuva). Kuperalle peilille <0, joten s>0 s < 0 ja m>0 (valekuva). Tasopeilille =, joten s>0 s = s ja m>0 (valekuva). 24

Huom: Esineen minkä tahansa pisteen muodostavat säteet kulkevan peilin pinnan kaikkien pisteiden kautta. Edellä valitsimme esineen kärkipisteen ja neljä helpoimmin piirrettävää sädettä. Huom: Jos koveralle peilille esine on C:n ja F:n välissä, kuvan paikan ja koon saa vaihtamalla esineen ja kuvan roolit sivun 23 kuvassa, koska valonsäteiden kulku on käännettävissä. Huom: Kuvan terävyysongelmia eli pallopoikkeamaa voidaan korjata muuttamalla peilipinnan muotoa. Pääakselin suuntaisille säteille (kaukana oleva esine) oikea muoto on paraboloidi. Huom: Peileihin ja linsseihin tutustuttaessa kannattaa kokeilla kurssikirjan kustantajan www-sivujen animaatioita, esim. esineen viemistä koveran peilin polttopisteen ohi. 25 34.3 Taittuminen pallopinnalla θ a n b >n a Haemme jälleen kuvan paikan pistemäistä esitettä käyttäen: θ a = α + φ φ = β + θ b h θ b P α d φ β P C n a n b α h β h s s φ h (kulmat radiaaneina) missä approksimaatiot pätevät pienillä d/h. Yhdistämällä nämä s α h = θ a φ θ a h h s β h = φ θ b θ b h h + Snellin laista (47) saamme pienillä kulmilla n a θ a n b θ b, joten s s n a s + n b s n aθ a h n a n bθ b h + n b n a + n b n a s + n b s = n b n a (59) 26

Kuvan suurennus, edelleen pienet kulmat olettaen: θ a y/s θ b y /s n a θ a n b θ b (Snell) joista saamme taittavalla pallopinnalle m = y y = n as n b s y θ a n a n b θ b s s C y (60) Yhtälöt (59 60) pätevät kuperille ja koverille pallopinnoille riippumatta n a /n b :stä, muistaen sivun 8 etumerkkisopimukset. Kuvista yllä saadaan koverankin (valon tulosuunnasta katsoen) taittavan pinnan tulokset vaihtamalla esineen ja kuvan roolit kääntämällä valonsäteiden kulku. Vastaavan analyysin voi tehdä myös tapaukselle, jossa optisesti harvempi (yllä tiheämpi) aine on pinnan koveralla puolella tuloksena edelleen (59 60). 27 34.4 Ohuet linssit Kokoava linssi = reunoilta ohuempi linssi Hajottava linssi = keskeltä ohuempi linssi y F F 2 s s Ohut linssi = linssi jonka paksuus ei ole laskuissa olellinen. Taittavien pallopintojen tarkastelun perusteella voimme uskoa, että linssitkin tuottavat kuvan ja että niillä on polttopisteet (symmetrisesti kummallakin puolella). Kuvassa >0ja y /y = s /s isot kolmiot linssin molemmin puolin y /y =( s )/ pienet kolmiot linssin oikealla puolella Näistä saamme ohuille linsseille pätevät tulokset y s + s = m = y y = s s. (6) 28

F F 2 s s Hajottavalla linssillä (vasemmalla) on valepolttopisteet, joiden kautta pääkselin suuntaisina tulevien ja lähtevien säteiden jatkeet kulkevat, ja yhtälöissä on <0. Linssin polttovälin määrävät linssin ja sen molemmilla puolilla olevien väliaineiden taitekertoimet sekä linssin kummankin puolen kaarevuussäteet. Käytetään seuraavaksi taittavalle pallopinnalle johtamaamme tulosta (59) kummallekin rajapinnalle erikseen: n, n 2, n = taitekertoimet (katso kuva), 2 = rajapintojen kaarevuussäteet s = esineen etäisyys linssistä s = lopullisen kuvan etäisyys linssistä s =. rajapinnan tuottaman kuvan etäisyys esine n n n 2 2 29 n s + n s = n n ja n s + n 2 s = n 2 n 2 n s + n 2 s = n n + n 2 n, (62) 2 mikä pätee kahden eri väliaineen välissä olevalle linssille ja missä linssin kumpikin puoli voi erikseen olla joko kovera tai kupera valon tulosuunnasta katsoen. Tavallisimmin linssin kummallakin puolella on ilmaa, jolloin asettaen n = n 2 = saamme (62):een sijoittamalla s ja s = tulokseksi linssintekijän yhtälön =(n )( ), (63) 2 josta saatava on sama riippumatta siitä kummin päin linssi on. Huom: Yhtälön (57,6) voimme käsittää optisen kompomentin tuottaman kuvan (tarkan tai ei) paikan operationaaliseksi määritelmäksi (jolloin yhtäsuuruusmerkkikin on paremmin perusteltu). 30

Graaisesti linssin muodostaman kuvan löytää helpoiten käyttäen seuraavia valonsäteitä:. pääakselin suuntaisena tuleva säde, joka taituttuaan (tai sen jatke) kulkee (vale)polttopisteen läpi, 2. linssin keskipisteen kautta suoraan (ohut linssi) kulkeva säde, 3. säde, joka (tai sen jatke) tulee linssiin polttopisteen kautta taittuen pääakselin suuntaiseksi säteeksi. Huom: Taittavilla pinnoilla ja linsseillä kuvan muodostumiseen vaikuttaa dispersio. Optisissa laitteissa dispersiosta johtuvia kuvan virheitä korjataan yhdistelemällä sopivasti eri materiaaleista (eri taitekerroin) tehtyjä kokoavia ja hajottavia linssejä. Huom: Linssisysteemeissä yhden linssin muodostama todellinen tai valekuva voi toimia todellisena tai vale-esineenä esineenä seuraavalle linssille. Linssisysteemin eektiivinen polttoväli tarkoittaa sellaisen yhden linssin polttoväliä, joka tuottaisi pääakselin suuntaisista valonsäteistä kuvan samaan pisteeseen kuin ko. systeemi. 3 Esim: Olkoon linssin polttoväli. Mikä on pienin mahdollinen esineen ja linssin siitä tuottaman todellisen kuvan välinen etäisyys? atkaisu: Olkoon kappale etäisyyden s = a päässä linssistä. Kuva on todellinen, joten >0. Kuvausyhtälöstä (58) saamme s = s = ( ), a joten kuvan ja esineen välinen etäisyys on s + s = a + s = /a /a 2 ( ). Haetaan tämän ääriarvo derivoimalla a:n suhteen vakiona: d da (s + s )=0 a 2 + 2 =0 a =2, a3 joten minimietäisyys ( ):sta on (s + s ) min =4. 32

34.5-8 Esimerkkejä optisista laitteista Kamera Yksinkertaisimmassa kamerassa ei ole linssiä ja sen ilmille muodostama kuva on terävä, kun aukko on hyvin pieni, mutta tällöin valoa saadaan ilmille niukasti. Lisäämällä kokoava linssi voidaan kuvattavasta kohteesta tulevaa valoa kerätä laajemmalta alalta ja samalla saada terävä kuva, kun ilmi on linssin esineestä (etäisyydellä s) muodostaman kuvan kohdalla (etäisyydellä s ). Kameralinssin valonkeräämiskykyä kuvataan -luvulla, joka on /D =... /4, /5.6, /8, /... missä D on linssin halkaisija ja sen polttoväli, jolloin ilmille tai nykyisin tavallisemmin valoherkälle kennolle saapuvan valon intensiteetti I (D/) 2. Kameran kuva rajataan siirtämällä kamera lähemmäksi/kauemmaksi kohdetta tai zoom-objektiivilla, jossa linssien etäisyyttä muuttamalla voidaan muuttaa kuvan kokoa ilmillä. Dispersiota voidaan vähentää yhdistämällä eri materiaaleista tehtyjä linssejä. Esimerkkejä harjoituksissa. 33 Pallopoikkeamaa ja muita kohteen etäisyydestä riippuvia kuvan vääristymiä (kuten tynnyrivääristymä) voidaan korjata sopivilla linssiyhdistelmillä. Digitaalisesti tallentuvia kuvia voi korjata myös takaisinlaskentamenetelmillä, tarvittaessa mallintamalla jokaisen valoa taittavan pinnan vaikutus erikseen. Silmä Silmän linssille n.44 ja lasiaisnesteelle n.34, tuloksena oleellisesti yksilinssinen valonsäteitä kokoava rakenne, joka muodostaa kaarevapintaiselle verkkokalvolle ylösalaisin olevan kuvan. Suurennuslasi Suurennuslasin ( >0) toimintaperiaatteen saa kuvausyhtälöstä (6) asettamalla s ja s. Kun suurennuslasin näin taittama valo tulee silmään, joka tarkentaa äärettömyyteen, mikä on silmälle mukavinta, havaitaan kulmasuurennus M = θ /θ (y /s )/(y/s) eli esineen näennäinen koko on M-kertainen. Käytännössä M:a rajoittaa pallopoikkeama (muodolla korjattavissa M 20 asti). 34

Mikroskooppi Tavallisessa mikroskoopissa on kaksi kokoavaa linssiä (, 2 > 0) etäisyydellä d> + 2 toisistaan. Linssit sijoitetaan siten, että (esineestä päin katsottuna). linssin tuottama kuva eli toisen linssin esine on paikassa 2 > s 2 2, jolloin (6):n mukaan 2. linssi muodostaa suurikokoisen valekuvan hyvin kauas ja kulmasuurennus M / 2. Siis 2. linssi toimii suurennuslasina, jolla tarkastellaan. linssin muodostamaa kuvaa. Teleskooppi Linssikaukoputkessa on kaksi kokoavaa linssiä etäisyydellä d = + 2 toisistaan, jolloin linsseillä on niiden välissä yhteinen polttopiste. Kun esine on kaukana, on havaittava kuva äärettömän kaukana oleva valekuva ja kulmasuurennus M = / 2. Huom: Sekä mikroskoopissa että teleskoopissa tärkeää on valon kerääminen. Sädeoptisten ilmiöiden lisäksi niiden tarkkuuteen vaikuttavat intererenssi-ilmiöt, joista luvuissa 35-36. 35 34.X Kurssikirjan esimerkki Example 34. Esine (korkeus 8 cm) on kokoavan linssin (polttoväli 8 cm) edessä 2 cm etäisyydellä. Linssin takana linssistä 36 cm etäisyydellä samalla pääakselilla on toinen kokoava linssi (polttoväli 6 cm). Määritä lopullisen kuvan paikka, tyyppi ja asento. atkaisu: Toisen linssin (2) esineenä on ensimmäisen linssin () tuottama kuva eli s 2 =36cm s, joten (6):sta 2 cm + s = 8cm 36 cm s + s = 2 6cm mistä s = 24 cm, s 2 =2cm ja s 2 =2cm> 0 todellinen kuva sekä m = m 2 m =( s 2 /s 2)( s /s )=2> 0 oikein päin. Vastaus: 2 cm toisen linssin takana todellinen kuva oikein päin. Huom: Kuvan paikan saa kirjan www-sivun animaatiolla 5.2, tosin kaikki välit/etäisyydet pitää puolittaa että mahtuu ruutuun. 36