LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!

Transkriptio

1 Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI UUTUUN! atkaise tehtävät 1 ja ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Muodosta yhdistetyn funktion u s lauseke u(s()). (p) i) u() = ja s() = + 7 ii) u() = + 7 ja s() = u(s()) = u( + 7) = ( + 7) = u(s()) = u( ) = + 7 b) Ilmoita lausekkeet u() ja s(). (p) i) u(s()) = ( + 5) 5 ii) u(s()) = 7 (jos löydät kaksi eri tapaa, niin +1 p) u() = ja s() = u() = ja s() = 7 5 u() = 7 ja s() = c) Yhdistä yhdistetyn funktion lauseke sen kuvaajaan, esim. (u s)() A. Perustele lyhyesti (1- virkettä), miksi teit kyseisen valinnan. Huom! Palauta mieleen aikaisempien kurssien 1-6 tiedot. (p) (u s)() = cos (k l)() = cos cos (f h)() = (cos ) (m p)() = cos(cos ) A

2 B C D VASTAUS: (u s)() B, (f h)() A, (k l)() C, (m p)() D PEUSTELUJA: Eka funktio (u s)() on ns. helpoin ja tutuin joten otetaan se ensiksi pois. Siis jakso on puolet peruskosinista, amplitudi on 1, eli kuvaaja B. Seuraava funktio (f h)() on ehkä vaikein. Tässä pitää nähdä muoto eli jotain potenssin jotain. Ja koska eksponentti saa reaalisia arvoja (väliltä [ 1, 1]), niin ko. funktio on määritelty vain kun kantaluku on positiivista (ykköskurssin asioita). Siksi kuvaajassa on ns. aukkoja. Sitten funktio (k l), joka heilahtelee sitä tiheämmin mitä isompi muuttuja on, asia selvä. Jäljelle siis jää funktion (m p)() kuvaaja. Sen voisi perustella myös esim. näin. Koska cos() = 0, kun = π + nπ niin cos(cos ) = 1, kun = π + nπ /6

3 . a) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). Ei tarvitse sieventää loppuun. (p) i) D( + 5) 4 = 4( + 5) = 1 ( + 5) ii) D cos ( 4) = cos ( 4) ( sin( 4)) ( 4) sin cos sin 1 cos sin iii) D = = iv) f ( π ), kun f() = tan. (Palauta mieleen muistikolmio tai katso MAOL/taulukot.com) Aluksi, koska f () = 1 =, joten cos cos f ( π ) = cos ( π ) = ( 1/) = 1/4 = 8 b) Millä muuttujan arvoilla funktion i) f g ja ii) g f arvot voidaan laskea, kun f() = 1, 0 ja g() = 4 (p) Nimittäjä ei saa olla nolla, siis (f g)() = 1 4 ± (g f)() = ( 1 ) 4 0 c) Kuvassa on funktion f: f() = + sin kuvaajalle pisteeseen P asetettu tangentti. Tangentin kulmakerroin on. (p) i) Määritä pisteen P koordinaatit. ii) Mikä on tangentin yhtälö? HUOM! Kuvasta ei saa lukea tietoja, eli P:n -koordinaatti ei ole 1. i) Koska derivaatan arvo pisteessä P on, niin pätee f () = 1 + cos = Tästä seuraa, että cos = 1, eli = π + n π. Siis = π + n π. Näistä valitaan (kuvaajaa hyödyntäen, eli nyt pitää hyödyntää kuvaajaa) se :n arvo, joka on lähinnä arvoa 1, eli π.

4 Pisteen P -koordinaatin arvo on π ja y-koordinaatin arvoksi tulee f ( π ) = π + sin π = π Näin ollen P = ( π, π ). ii) Tangentti, eli suora, joten sen yhtälö on y y 0 = k( 0 ), missä 0 = π ja y 0 = f( 0 ) = π ja k =. Näin ollen y π = ( π ) y = + π Huomaa, että suoran yhtälö vastaa kuvaajassa olevaa tangentin tietoja. /6 Tehtävästä alkaen tekniset apuvälineet ovat sallittuja!. a) Olkoot f: f() = 1 ja g: g() = cos ( π) sekä tarkastellaan tilannetta välillä [ 4, 4]. Mää- ritä i) f(), ii) g(f()), iii) f(g()), iv) g(f(4)), v) g (f(4)), vi) yhtälön g (f(4)) = g(f()) ratkaisut. Voit hyödyntää alla olevia kuvaajia. (p) i) f() = 1, esim. kuvaajalta luettu perustellen tai laskettu f() = 1 = 1

5 ii) g(f()) = g(1) = 0, esim. kuvaajalta luettu perustellen (ensin hyödynnetty i)-kohtaa) tai laskettu g(1) = cos ( 1 π) = cos (π ) =. iii) f(g()) = f (cos ( π)) = f(cos π) = f( 1) = 1, tai kuvaajilta luettu perustellen. iv) g(f(4)) = g ( 1 4) = g() = cos ( π) = 1, tai kuvaajilta luettu perustellen. v) g (f(4)) koska g () = sin ( π) π, niin g ( 1 4) = g () = sin ( π) =0 π = 0, tai funktion g kuvaajalta luettu: laaksonpohjassa hetkellinen muutosnopeus on nolla tangentti on akselin suuntainen, eli kulmakerroin on nolla. vi) g (f(4)) = g(f()), eli muodostuu yhtälö (hyödynnetään iv)-kohtaa) 1 0 = cos ( π) = cos ( 4 π). Kosini on nolla, kun kulmaosa on π + nπ. Saadaan yhtälö 4 π = π + nπ = + 4n, n Z Näistä tarkasteluvälille [ 4, 4] kuuluvat arvot = (n = 1) ja = (n = 0). Tai muuten perustellen, esim. kuvaajia käyttäen. b) Osoita, että funktio f: f() = + + sin saa arvon 1000 täsmälleen kerran. Ohje: muodosta funktio g: g() = f() 1000 ja tutki kuinka monta 0-kohtaa tällä on. (p) Funktio g: g() = + sin 998 on jatkuva ja derivoituva kaikilla. (MIKSI?) Näin ollen g () = + cos, [ 1,1] joten g () 0 aina. Siis g on aidosti kasvava kaikilla. Muista, että derivaatan nolla-arvo yksittäisissä kohdissa ei tuhoa aitoa monotonisuutta. Siis aito monotonisuus takaa korkeintaan yhden 0-kohdan funktiolle g. Koska lisäksi (kokeilua ) g(0) = 998 < 0 g(500) = + sin 1000 [ 1,1] > 0

6 niin funktiolla g on Bolzanon nojalla ainakin yksi 0-kohta välillä ]0, 500[. Yhteensä täsmälleen yksi 0-kohta ja näin ollen funktio f saa arvon 1000 täsmälleen kerran. /6 4. Miten suureksi tulee valita tasakylkisen kolmion kantakulma (katso kuva), jotta kolmion pinta-ala on mahdollisimman suuri? Mikä on tällöin huippukulman suuruus ja kolmion kannan pituus? (6p) Merkitään kolmion korkeutta h:lla ja kannan puolikasta a:lla, katso kuva. Saadaan kolmion pinta-alafunktio A: A(a, h) = a h, ( muuttujaa) Pyritään ilmaisemaan pinta-ala vain yhden muuttujan avulla ja siihen tehtävänannon mukaisesti käytetään kulmaa. Nimittäin havaitaan, että α h a = cos ja h = sin a Näin ollen A: A() = cos sin = sin cos, (1 muuttuja) joka on jatkuva ja derivoituva kaikilla. Eli A ma / A min löytyvät näin ollen niistä derivaatan 0-kohdista, jotka kuuluvat välille (mille välille???) tai välin päätekohdista. Tilanne huomioiden järkevä tarkasteluväli muuttujalla on [0, π ], vaikka funktio A on hyvin määr., jav&dva. Saadaan (tulofunktion derivointisääntöä käyttäen tai laskinta käyttäen) A () = (cos sin ) = cos ja A () = 0, kun cos = 0, eli kun = π + nπ. Siis = π + n π. Näistä mahdollisista :n ar- 4 voista välille[0, π ] kuuluu vain = π 4. Merkkikaaviota tai testiarvoja laskien saa- Testiarvot: A ( π ) = 6 cos π > 0 ja daan, että kohdassa = π 4 on pinta-alafunktion A ( π ) = cos π < 0 A maksimikohta.

7 Näin ollen A(0) = sin 0 cos 0 = 0 =0 A ( π 4 ) = sin π 4 cos π 4 = 1 1 = A ( π ) = sin π cos π =0 Tulkinta: Kun = 0, niin kolmion korkeus h on nolla. Pinta-ala on tietenkin nolla. Kun = π, = 0 niin pikkukolmion kanta a on nolla. Pinta-ala on jälleen tietenkin nolla. Lopuksi: Huippukulman arvoksi tulee α = π = π π 4 = π eli 90 ja kannan pituudeksi a = cos π 4 =. /6 /4