MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009"

Pasi Kivelä
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa olla ohjelmoitava eikä graafinen laskin ERITYISTÄ HUOMATTAVAA: Vastaa kaikkiin neljään pakolliseen kysymykseen. Valitse kolmesta valinnaisesta kysymyksestä vastattavaksi kaksi ja merkitse ne rastilla lomakkeen ruutuihin. Laske jokainen koetehtävä eri paperille. Sivu 1/8

Funktiolaskin, joka ei saa olla ohjelmoitava eikä graafinen laskin ERITYISTÄ HUOMATTAVAA: Vastaa kaikkiin neljään

2 PAKOLLINEN KYSYMYS 1 ANALYYSI Tarkastellaan funktiota f, joka määritellään: x f( x) xe, x 0. Alla oleva kuva esittää funktion f kuvaajaa sekä pisteiden O ja A kautta kulkevaa suoraa, missä piste A on funktion f kuvaajan maksimipiste. a) i. Laske pisteen A koordinaatit. ii. Osoita, että pisteiden O ja A kautta kulkevan suoran yhtälö on x y. e b) Laske kuvion varjostetun alueen pinta-ala. 6 pistettä Sivu 2/8

A on funktion f kuvaajan maksimipiste. a) i. Laske pisteen A koordinaatit. ii.

3 PAKOLLINEN KYSYMYS 2 ANALYYSI Opiskelija tutkii kokeellisesti bakteeripopulaation kasvua. Hänen laatimansa mallin mukaan kasvu noudattaa differentiaaliyhtälöä dn 0,25 N t, dt missä t on kokeen alusta kulunut aika minuutteina ja N on bakteerien lukumäärä ajanhetkellä t. Suoritetaan nyt koe, jonka alussa bakteerien lukumäärä on a) Määritä tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu, joka antaa lukumäärän N ajan t funktiona. b) i. Laske bakteerien lukumäärä 4 minuutin kuluttua kokeen alusta. ii. Laske aika, jonka kuluessa bakteerien lukumäärä kasvaa bakteeriin. 6 pistettä Sivu 3/8

bakteerien lukumäärä ajanhetkellä t. Suoritetaan nyt koe, jonka alussa bakteerien lukumäärä on 5 000.

4 PAKOLLINEN KYSYMYS 3 GEOMETRIA Kolmiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa annetaan taso : 4x3y 12. a) i. Määritä tason ja koordinaattiakselien leikkauspisteiden koordinaatit. ii. Määritä parametrimuotoinen yhtälö tason ja xy-tason leikkaussuoralle. b) i. Piste P on origon O kuvapiste peilauksessa tason suhteen. Määritä pisteen P koordinaatit. ii. Määritä niiden tasojen koordinaattimuotoiset yhtälöt, jotka ovat yhdensuuntaisia tason kanssa ja etäisyydellä 4 tasosta. Sivu 4/8

Määritä parametrimuotoinen yhtälö tason ja xy-tason leikkaussuoralle. b) i.

5 PAKOLLINEN KYSYMYS 4 TODENNÄKÖISYYS Tehtaaseen on asennettu hälytysjärjestelmä, joka aktivoituu välittömästi, kun tuotantolinjalla esiintyy häiriö. Jos hälytys aktivoituu, tuotantolinja suljetaan lopuksi päivää. Hälytysjärjestelmä ei kuitenkaan toimi aina oikein. Tiedetään, että minkä tahansa päivän aikana hälytys aktivoituu todennäköisyydellä 0,02, vaikka häiriötä ei esiinny, hälytys ei aktivoidu todennäköisyydellä 0,2, vaikka häiriö esiintyy. Tiedetään lisäksi, että häiriö esiintyy minkä tahansa päivän aikana todennäköisyydellä 0,01. a) i. Laske todennäköisyys, että tietyn päivän aikana tuotantolinjalla esiintyy häiriö ja se aktivoi hälytyksen. ii. Laske todennäköisyys, että tietyn päivän aikana hälytys aktivoituu. b) i. Hälytys on aktivoitunut. Laske todennäköisyys, että tuotantolinjalla on todella esiintynyt häiriö. ii. Laske todennäköisyys, että seitsemän päivän aikana hälytys aktivoituu täsmälleen kahtena päivänä. Sivu 5/8

Tiedetään, että minkä tahansa päivän aikana hälytys aktivoituu todennäköisyydellä 0,02, vaikka häiriötä ei esiinny, hälytys ei aktivoidu todennäköisyydellä 0,2, vaikka häiriö esiintyy.

6 VALINNAINEN KYSYMYS I ANALYYSI Tarkastellaan funktiota f, joka määritellään: f 3x ln x, kun x) 3x ln x, kun ( 1 0 x 1 x 1. Olkoon F funktion f kuvaaja suorakulmaisessa koordinaatistossa. a) Osoita, että funktio f on jatkuva ja derivoituva kohdassa x 1. b) Tutki funktiota f määrittämällä sen nollakohta, ääriarvopisteiden koordinaatit ja ääriarvojen luonne sekä funktion f (x) raja-arvot, kun x ja kun x 0. 6 pistettä c) Hahmottele kuvaaja F. d) Kuvaajalle F piirretään tangentti pisteeseen, jossa F leikkaa x-akselin. Määritä tangentin yhtälö. e) i. Määritä sen alueen pinta-ala A (k), jonka kuvaaja F rajoittaa yhdessä x-akselin sekä suorien x k ( 0 k 1) ja x 1 kanssa. ii. Määritä A lim A( k). k 0 f) i. Määritä sen alueen pinta-ala B ( p), jonka kuvaaja F rajoittaa yhdessä x-akselin sekä suorien x 1 ja x p ( p 1) kanssa. ii. Määritä luku p siten, että B( p) A. Sivu 6/8

b) Tutki funktiota f määrittämällä sen nollakohta, ääriarvopisteiden koordinaatit ja ääriarvojen luonne sekä funktion f (x) raja-arvot, kun x ja kun x 0. 6 pistettä c) Hahmottele kuvaaja F.

7 VALINNAINEN KYSYMYS II TODENNÄKÖISYYS Erään yhtiön valmistamissa leluissa on vain kaksi mahdollista virhettä: värivirhe ja muotovirhe. Nämä kaksi virhettä esiintyvät toisistaan riippumatta. Umpimähkään valitulle lelulle määrittelemme tapahtumat: A: lelussa on värivirhe, B: lelussa on muotovirhe, C: lelussa on ainakin yksi kahdesta virheestä. Tiedetään, että P( A ) 0, 052 ja P( B ) 0, 041. a) Laske P( A B). b) Laske P( C ). Seuraavissa kysymyksissä c) ja d) oletetaan, että tuotannosta umpimähkään valitussa lelussa on ainakin yksi kahdesta virheestä todennäköisyydellä 0,09. Lelut valitaan umpimähkään ja pakataan laatikoihin. c) Liike ostaa leluja, jotka on pakattu 60 lelun laatikoihin. Olkoon X satunnaismuuttuja, joka ilmoittaa niiden laatikossa olevien lelujen lukumäärän, joissa on ainakin yksi kahdesta virheestä. i. Ilmoita, millainen on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma ja mitkä ovat sen parametrit. 1 piste ii. Laske P( X 5). iii. Jakaumaa X approksimoidaan Poisson-jakaumalla. Laske tämän jakauman parametri. iv. Laske tätä Poisson-approksimaatiota käyttäen todennäköisyys, että umpimähkään valitussa laatikossa on vähemmän kuin 3 sellaista lelua, jossa on ainakin yksi kahdesta virheestä. 1 piste d) Toinen liike ostaa leluja, jotka on pakattu 500 lelun laatikoihin. Olkoon Y satunnaismuuttuja, joka ilmoittaa niiden laatikossa olevien lelujen lukumäärän, joissa on ainakin yksi kahdesta virheestä. i. Perustele, miksi satunnaismuuttujan Y jakaumalle voidaan käyttää normaalijakauma-approksimaatiota, ja laske sen parametrit. ii. Laske P( Y 50). iii. Laske P(20 Y 30). Sivu 7/8

Tiedetään, että P( A ) 0, 052 ja P( B ) 0, 041. a) Laske P( A B). b) Laske P( C ).

8 VALINNAINEN KYSYMYS III GEOMETRIA Sivu 1 / 1 Kolmiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa annetaan pisteet P ( 0, 1, 1) ja Q ( 3, 0, 3), suora d : x 2t y t z 2 2t, t IR, pallo S : x y z 2x 2y 2z 6 0 ja taso : 2x y 4 0. a) Taso sisältää pisteen P ja suoran d. Osoita, että x2y2z4 0 on tason yhtälö. b) Määritä pallon S keskipisteen C koordinaatit ja säde R. c) Määritä yhtälöt niille kahdelle pallolle, joiden säde r 3 ja jotka sivuavat tasoa pisteessä P. 6 pistettä Osoita, että toinen näistä palloista on S. d) Osoita, että tasot ja ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. e) Taso ja pallo S leikkaavat toisensa pitkin ympyrää K. Määritä ympyrän K keskipiste ja säde. f) i. Osoita, että Q on pallon S piste. ii. Suora m sivuaa palloa S pisteessä Q ja leikkaa suoran d. Määritä parametrimuotoinen yhtälö suoralle m. 5 pistettä 1 piste 5 pistettä Sivu 8/8

c) Määritä yhtälöt niille kahdelle pallolle, joiden säde r 3 ja jotka sivuavat tasoa pisteessä P. 6 pistettä Osoita, että toinen näistä palloista on S.

Samankaltaiset tiedostot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,