Elementtimenetelmän peusteet. KEHÄRAKENTEET. leistä ehäaenteista Kehäaenteen osina oleat palit oiat ottaa astaan aiia annattimen asitusia, jota oat nomaali- ja leiausoima seä taiutus- ja ääntömomentti. Kehäaenteessa taiutusella ja/tai äännöllä on oleellinen meits ainain aenteen jossain osassa. Kehäaenteen lasentamallissa on siis momenttien ja leiausoimien uomittamia paleja, mutta muana oi mös olla ain nomaalioimaa astaanottaia sauoja. leensä ehäaenteen palien oletetaan iinnittän toisiinsa jäästi ehän nuissa. Tällöin palien päät eiät ie toisiinsa nähden aan oeat saman nuaan liittän otaation. Kehäaennemallissa oi josus esiintä sisäisiä nieliä tai luisteja. Niillä oidaan mallintaa palin pään iinnitsiä, jota eiät ota meittäästi astaan taiutusmomenttia tai leiausoimaa tietssä suunnassa. Kehäaenteen palien geometia mallinnetaan niiden pintaesiöiioilla, jota liittät toisiinsa ehän nuissa joo suoaan tai tietllä epäeseisdellä. Palit oat leensä tasapasuja, jolloin niille taitaan annattimen teoian muaiset poiileiausen pintasuueet. Muuttuan poiileiausen omaaan annattimen äsittel ei onnistu oin leisesti peuslujuusopilla, mutta elementtimenetelmässä se oidaan mallintaa halutulla tauudella jaamalla pali iittään moneen tasapasuun osaan. Kehäaenteen ineettinen uomitus oostuu paleihin tai nuiin ohdistuista pistemäisistä oima- ja momenttiuomitusista seä paleihin ohdistuista iiauomitusista ja lämpötilauomitusista. Kinemaattinen uomitus sisältää tuipisteiden tunnetut tanslaatio- ja otaatiosiitmät. asennan tulosena saadaan palien asitusuat ja astaaat jännitset seä nuien tanslaatio- ja otaatiosiitmät ja palien immoiiojen lauseeet. Kolmiulotteista ehäaennetta sanotaan aauusehäsi. Jos ehäaenteen aiien palien pintaesiöiiat ja niiden poiileiausten toinen pääneliöaseli oat samassa tasossa seä uomitus ja tuenta oat sellaiset, että palien immoiiat muodonmuutosten jäleenin psät tässä tasossa, sanotaan seistä ehäaennetta tasoehäsi. Jos edellä uattua tasoaennetta uomitetaan ja tuetaan ain sen nomaalin suunnasta, sanotaan sitä ainasi. Ainaa oidaan elementtimenetelmässä äsitellä aauusehän elementillä, mutta sitä aten on ehitett mös omia ainan eitispiiteet huomioon ottaia elementtejä. Taallisesti ehäaenteen nuiin snt uomitusen aiutusesta seä tanslaatiosiitmiä että otaatiosiitmiä. Joissain tapausissa nuiin tulee tanslaatiosiitmiä ain nomaalioimista johtuien pituudenmuutosten taia. Kosa ehässä palien pituudenmuutoset oat leensä niiden taipumiin eattuna pieniä, ei tehdä suuta ihettä, aia ne oletetaan nollisi. Tällä oletusella seessä olea ehä on nuistaan siitmätön ja sen nuiin oi sntä ain otaatioita. Nuistaan siitmätön ehä on hainainen eitistapaus ja leensä ehät oat siitänuaisia. Tässä Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet. taastellaan uitenin nuistaan siitmätöntä ehäaennetta, osa astaaalla palielementillä taitaan ain asi otaatioapausastetta, joten siitä on sinetaisinta aloittaa palielementtien teoian ehittel. Ristioaenteiden htedessä esitett suoan elementtimenetelmän fomulointi soeltuu sellaisenaan ehäaenteisiin. Uutena piiteenä on otaatioapausasteiden ättö solmumittausessa. asennassa taitaan leisen tasoehän ja aauusehän äsitteln sopiat elementit ja on tunnettaa niiden jäsmatiisien ja eialenttisten solmuuomitusetoeiden lauseeet. Palielementit hmitellään sen muaan, miten ne ottaat huomioon leiausoiman aiutusen taipumaan. Hoian palin elementti ei ota leiausoimaa huomioon lainaan ja oean palin elementti ottaa sen huomioon liimäääisesti poiileiausen leiausetoimen aulla. eiausoiman aiutus on leensä pieni. Tässä äsitellään sitisohtaisesti ain hoian palin elementtejä ja oean palin elementin tuloset esitetään ilman johtoa.. Tasoehä.. Kahden apausasteen palielementti Taastellaan nuista siitmättömän tasoehän palielementtiä. Tätä elementtiä ätettäessä solmut oiat sijaita ain ehän nuissa ja niillä on si otaatioapausaste. Kseessä on uan. asisolmuinen ahden apausasteen palielementti, joa on tuettu päistään nieltuennoilla siitmättömäsi. Elementti on suoa ja tasapasu pali, jona pientä pituudenmuutosta ei oteta huomioon. oaalin -oodinaatiston oigo on alusolmussa ja ja oat poiileiausen pääneliöaselit. Kuomitusesta sntä taiutusmomentti aiuttaa Kua. Palielementti. loaalin -aselin mpäi ja pääneliömomentti tämän aselin suhteen on I. Kuassa. on elementin solmumittaus, jossa solmusuueet oat otaatio ja momentti -aselin mpäi elementin päissä oleissa solmuissa. f oat oaalioodinaatiston solmusiitmäetoi { u } ja solmuoimaetoi {} {} f { m m } { u} = { ϕ ϕ } = (.) Meinnöistä on jätett mittausen suuntaan iittaaa alaindesi pois, osa seaannusen aaaa ei ole. Solmusuueiden positiiinen suunta on astapäiään. Paliteoiassa taiutusmomentti on positiiinen, un se enttää positiiista -aoa astaaaa eunaa palista ja -aselin suunta on alaspäin. Elementtimenetelmässä ei annata ättää tällaista oodinaatistoa, aan -aselin suunta on uan. muaisesti löspäin. Tällöin taiutusmomentti on positiiinen, un se enttää palin lä- Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet. m on palin alupään taiu- eunaa. Solmuoimaetoin omponenteista momentti tusmomentti, mutta momentti Elementin peushtälö [ ]{ u} { f} m on sen loppupään taiutusmomentin astasuue. = on aui ijoitettuna muotoa m m = ϕ ϕ (.) Jäsmatiisin [ ] saaeiden aliot saadaan össiitmämenetelmällä. Kun elementti paotetaan siitmätilaan { u } = { }, siihen taittaat momentit oat uan. tauluon tapausen 5 muaan = EI/ ja = EI/. Siitmätilaa { u } = { } astaaat momentit oat puolestaan tapausen 7 muaan = EI/ ja = EI/. Elementin jäsmatiisi on näin ollen (.) EI [ ] = Jotta uan. elementtiä oitaisiin ättää, taitaan jäsmatiisin (.) lisäsi eialenttisten solmuuomitusten aaat elementtiuomitusten äsittelemisesi. Tiettn uomituseen liittät eialenttiset solmuuomituset oat astaaan apausasteistaan iinnitetn palin tuieatioiden astasuueet. Taitaan siis jään iinnitsen tuimomentteja, jota tunnetaan aiille taallisille uomitusille. Kuassa. on tauluo, jossa on muutamia palin uomitustapausia ja niihin liittät tuimomentit. Tauluossa on mös pstsuuntaiset tuioimat, osa niitä taitaan jatossa palielementeille, joissa -aselin suuntaiset siitmät oat muana solmumittausessa. Muita uomitustapausia on helposti lödettäissä ijallisuudesta... Neljän apausasteen palielementti Kua. Palielementti. Kun uan. elementin solmuihin lisätään -aselin suuntaiset siitmämittauset, saadaan neljän apausasteen palielementti uan. muaisesti. Vastaaat loaalioodinaatiston solmusiitmä- ja solmuoimaetoi oat { u} = { u ϕ u ϕ } {} f = { f m f m } (.) Kaaan (.) etoeita astaaa elementin jäsmatiisi [ ] oidaan johtaa - Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet. össiitmäpeiaatteella. Elementin peushtälö [ ] { u} { f} = on aui ijoitettuna u ϕ u ϕ f m = f m (.5) Kun elementti paotetaan siitmätilaan { u } = { }, siihen taittaat solmuoimat oat uan. tauluon tapausen muaan / EI/ =, / =, = EI/ ja =. Muita össiitmätilanteita astaaat solmuoimat, E, I a F b b (a+ b) F ab F a (a+ b) F a bf a M b 6ab M b(ab) M 6ab M a(ba) M q q q q q δ EI δ δ EI δ δ 5 β β EI β β EI β 6 δ EI δ δ EI δ δ 7 β β EI β β EI β Kua. Palin tuieatioita. Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet.5 saadaan uan. tauluon tapausista 5, 6 ja 7. Jäsmatiisi [ ] on siis 6 6 EI 6 6 = (.6) 6 6 6 6 [ ] Kosa uan. elementissä on solmujen poiittaissuuntainen oima- ja siitmämittaus, taitaan elementtiuomitusten äsittelssä tuimomenttien lisäsi mös poiittaisia tuioimia. Kuassa. oat muutaman taallisen peustapausen tuioimat... Kuuden apausasteen palielementti leisen tasoehän äsitteln taitaan elementti, joa oi olla mielialtaisessa asennossa -globaalioodinaatistossa ja jona solmuilla on tanslaatioapausasteet - ja -aseleiden suunnissa ja otaatioapausaste -aselin mpäi. Taittaa elementti on siis globaalimittausella austettu uuden apausasteen palielementti. Taastellaan tilannetta ensin elementin Kua. Palielementti. -loaalioodinaatistossa. Kun uan. palielementin solmuihin lisätään palin suuntainen mittaus ja numeointi aihdetaan solmuittain eteneäsi, saadaan uan. uuden apausasteen palielementti. Sen loaalioodinaatiston solmusiitmä- ja solmuoimaetoi oat { u } = { u u u u ϕ } { f} = { f f m f f m } ϕ (.7) Kosa palin lineaaisessa teoiassa eto/puistus ei ole tett taiutuseen ja leiauseen, saadaan uan. elementin jäsmatiisi sijoittelusummaamalla asiaalisen elementin jäsmatiisi (.6) ja neljän apausasteen palielementin jäsmatiisi (.6) uan. numeoinnin muaisesti. Tulosena on seuaaa uuden apausasteen palielementin loaalioodinaatiston jäsmatiisi [ ] = κ / 6 κ / κ / 6 κ / 6 κ / κ 6 κ / κ κ / 6 κ / κ / 6 κ / 6 κ / κ 6 κ / κ (.8) Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet.6 jossa on meitt = EA / ja κ = EI/. Kosa uuden apausasteen palielementissä on muana palin suuntainen solmumittaus, oidaan sen aulla ottaa huomioon mös palin pituuden muutosen aiutuset. Elementtiuomitusten äsittel sujuu eialenttisten solmuuomitusten aulla aiaisemmin esitetllä taalla, nt taitaan ain aiiin olmeen solmuapausasteeseen liittiä iinnitseatioita. Näitä saadaan muutamalle peustapausille uien. ja. tauluoista. leisen tasoehän taasteluun taitaan uan.5 (b) globaalioodinaatistossa mielialtaisessa asennossa olean uuden apausasteen palielementin globaalimittauseen liittä jäsmatiisi. Etsitt jäsmatiisi saadaan oodinaatiston ieon aulla, jolloin lähdetään liieelle uan.5 (a) muaisista elementin loaali-. oodinaatiston solmusuueetoeista { u } ja { f} seä jäsmatiisista [ ] α α { u } {} f [ ] { u} { f} [ ] Kuan.5 (b) solmumittausesta { u } = { u u u u ϕ } { f} = { f f m f f m } ϕ (.9) päästään uan.5 (a) solmumittauseen ietämällä ensisi mainittua ulma α astapäiään. Tällöin elementin solmumittausien älillä oat htedet { u } [ B]{ u} {} f = [ B]{ f} = (.) missä inemaattinen matiisi [ B ] on nt [ B] cosα sinα = sinα cosα cosα sinα sinα cosα (.) Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet.7 Kinemaattinen matiisi [ B ] muodostetaan soeltamalla solmujen tanslaatioiden mittausiin oodinaatiston ietoa ja jättämällä otaation mittauset ennalleen. [ B ] on otogonaalinen matiisi eli [ B ] = [ B] T, jolloin oimamittausien htes oidaan ijoittaa mös muotoon { f} = [ B] { f}. Kaaa (.) on siis mös tulittaissa onta- T gedienttilaisi, josta seuaa, että globaalioodinaatiston jäsmatiisi [ ] saadaan onguenssimuunnosella aaojen (.8) ja (.) matiiseista T [ ] [ B] [ ][ B] = (.) Kaaan (.) jäsmatiisi [ ] oitaisiin ijoittaa aui suoittamalla matiisien etomiset. Tulos on uitenin epähaainnollinen ja elementtien jäsmatiisit oidaan lasea htä hin aaasta (.). Elementtiuomitusille oidaan muodostaa loaalioodinaatiston eialenttinen solmuuomitusetoi {} esimeisi uien. ja. tauluoista. Se on muunnettaa globaalioodinaatistoon ennen sijoittelusummausta, johon oidaan ättää muunnosta (.) eli T {} [ B]{} {} = [ B] { } = (.).. eiausoiman aiutus Edellä johdetut palielementtien jäsmatiisit peustuiat teniseen taiutusteoiaan, jolloin on otettu huomioon ain taiutusmomentin aiutus palin taipumaan. Palin leiausoima aiheuttaa mös taipumista, joa asinin oeilla paleilla aiuttaa hieman tulosiin. eiausoiman aiutusen määits leiselle poiileiauselle ei onnistu taasti annattimen teoialla, mutta iittään taa liiataisu saadaan ättämällä leiauseointa φ, joa iippuu palin mateiaalista ja geometiasta. Monille poiileiausille oidaan johtaa leiausetoimen liiao esimeisi tenisen taiutusteoian tai enegiapeiaatteen aulla. Voidaan osoittaa, että leiauseointa ätettäessä uuden apausasteen palielementin loaali jäsmatiisi (.8) muuttuu muotoon [ ] = κ (+ φ) 6 κ (+ φ) κ (+ φ) 6 κ (+ φ) 6 κ (+ φ) ( + φ) κ (+ φ) 6 κ (+ φ) ( φ) κ (+ φ) κ (+ φ) 6 κ (+ φ) κ (+ φ) 6 κ (+ φ) 6 κ (+ φ) ( φ) κ (+ φ) 6 κ (+ φ) ( + φ) κ (+ φ) (.) Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet.8 eiausetoimen φ lausee oidaan esittää muodossa s s EI A i φ = = (+ ν) (.5) GA A jossa E, G ja ν oat mateiaaliaiot, A s tehollinen leiauspinta-ala (leiausoiman astaanottaa pinta-ala) ja i poiileiausen neliösäde. eiauspinta-aloja löt lujuusopin ijallisuudesta, esimeisi suoaulmiolle A s = 5A / 6, mpälle A s = 9A / ja I-pofiilille uuman pinta-ala. Kaaasta (.5) nä, että leiausmuodonmuutosen aiutus on pieni, jos palin hoiuusluu λ = / i ei ole oin pieni. Kun ν =, ja aioidaan aeasti A s = A, saadaan seuaaia aoja λ φ,,78,95, joista nä selästi, että taanomaisen hoiuuden omaaalla palilla leiausoiman aiutus taipuman aoon on ähäinen.. Aauusehä.. Aauusehän elementtieo Vain tasapasuja ja suoia osia sisältään aauusehän taa ataisu saadaan elementtieolla, jossa solmut sijoittuat nuiin, tuipisteisiin, uloepäihin ja poiileiausen muutosohtiin. Aauusehän elementit oat suoia asisolmuisia palielementtejä. Kuassa.6 on esimei aauusehän elementtieosta, jossa on solmua ja elementtiä. Aauusehälle soitaan globaali -oodinaatisto, jona aseleiden suhteen solmumittaus suoitetaan. Solmumittaus sisältää tanslaatiot ja solmuoimat globaalisuunnissa ja otaatiot ja momentit globaalisuuntien mpäi. Solmulla on 6 ja elementillä apausastetta. Elementin solmuoimaetoeiden dimensio on ja jäsmatiisi on matiisi. Kuassa.6 on esitett nuolismboleilla solmun apausasteet. Kullain elementillä on oma loaali oodinaatisto, jona -aseli on elementin suuntainen ja -oodinaatisto on sen poiileiausen pääoodinaatisto. Kuassa.6 on elementin 9 loaalioodinaatisto ja globaali solmumittaus. Aauusehän elementtejä asittaa taiutusmomentti ja leiausoima sen poiileiausen päätasoissa ja lisäsi nomaalioima ja ääntömomentti. Näiden äsittelemiseen taitaan poiileiausen pintasuueet eli ala A, pääneliömomentit I ja I seä ääntöneliömomentti I, miäli leiausmuodonmuutosta ei oteta huomioon ja ajoitutaan apaan äännön teoiaan olettaen lisäsi pintaesiön ja ääntöesiön Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet.9 htän. eiausmuodonmuutos oidaan taittaessa ottaa liimäääisesti huomioon umpaanin päätasoon liittien leiausetoimen φ ja φ aulla. Kua.6 Aauusehän elementtieo ja sen elementti... Elementin loaali jäsmatiisi Aauusehän äsitteln elementtimenetelmällä taitaan uan.7 (b) globaalioodinaatistossa mielialtaisessa asennossa olean apausasteen palielementin jäsmatiisi, jona solmumittaus liitt globaalioodinaatiston aseleiden suuntiin. Se oidaan johtaa oodinaatiston ietoa ättäen, jolloin lähdetään liieelle uan.7 (a) loaalioodinaatiston solmumittausesta { u} = { u u u ϕ ϕ ϕ u u u ϕ ϕ ϕ } {} f = { f f f m m m f f f m m m } (.6) ineaaisen lujuusopin teoian muaan eto/puistus, ääntö seä poiileiausen ummanin päätason taiutus ja leiaus oat toisistaan iippumattomia. Tästä seuaa, että loaalioodinaatiston jäsmatiisi [ ] oidaan muodostaa sijoittelusummaamalla uassa.8 esitett eto/puistusen, äännön seä poiileiausen ummanin päätason taiutusen ja leiausen jäsmatiisit. Tulosesi sijoittelusummausesta tulee aaan (.7) elementin jäsmatiisi. Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet. Kuassa.8 esitett ääntöuomitusen jäsmatiisi seuaa apaan äännön teoiasta, jolloin loaali -aseli on ääntöesiön ohdalla. Kosa uan.8 muissa uomitustapausissa loaali -aseli on pintaesiön ohdalla, on jäsmatiisi (.7) taasti oimassa ain, un ääntöesiö ht pintaesiöön, uten esimeisi asoissmmetisillä poiileiausilla. eiausoimien aiutus taipumaan oidaan ottaa liimäääisesti huomioon leiausetoimilla φ ja φ muuttamalla jäsmatiisissa (.7) ummanin päätason taiutusta ja leiausta astaaat aliot aaan (.) muaisisi. { u} { f} [ ] { u} { f} [ ] Kua.7 Aauusehän elementin loaali- ja globaalimittaus. Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet. Veto/puistus [ ] = EA 7 7 Vääntö G, I, [ ] GI = -tason taiutus ja leiaus 8 6, I, [ ] E EI = / 6 / / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / / 6 / 8 6 / 6 / 6 8 -tason taiutus ja leiaus EI [ ] = E, I, / 6 / / 6 / 6 / 6 / 5 / 6 / / 6 / 9 6 / 5 6 / 9 Kua.8 Sijoittelusummattaat jäsmatiisit. Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet. Kehäaenteet Matti ähteenmäi [ ] = EI EI EI EI GI GI EI EI EI EI E A E A EI EI EI EI GI GI EI EI EI EI E A E A (.7)
Elementtimenetelmän peusteet... Elementin globaali jäsmatiisi Palielementin loaalioodinaatiston jäsmatiisi [ ] on muunnettaa globaalioodinaatistoon. Tällöin saadaan jäsmatiisi [ ], joa antaa globaalioodinaatiston solmusuueetoeiden { u} = { u u u ϕ ϕ ϕ u u u ϕ ϕ ϕ } {} f = { f f f m m m f f f m m m } =. Muuntamiseen oidaan ättää onguenssimuunnos- älisen hteden [ ] { u} { f} ta (.), jolloin on tunnettaa tätä tapausta astaaa inemaattinen matiisi [ B ]. (.8) j i K J I Kua.9 Suuntasolmun ättö. Taastellaan uan.9 elementtiä, jona alu- ja loppusolmujen globaalinumeoisi on alittu ja. Elementillä on olmasin solmu eli suuntasolmu, jona solmunumeo on. Suuntasolmun aulla määitellään elementin asento sijoittamalla se elementin -päätasoon. Solmujen oodinaatit oat (,, ), (,, ) ja (,, ). Solmuoodinaateista oidaan määittää loaalioodinaatiston aseleiden suuntaiset siöetoit i, j ja globaalioodinaatiston siöetoeiden I,J ja K aulla. Muodostetaan ensin solmusta solmuihin ja uleat apuetoit a ja b a = ( b = ( )I + ( )I + ( )J + ( )J + ( )K )K (.9) Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet. siöetoi i oidaan lasea aaasta i = a / a (.) Poistetaan etoista b etoin a suuntainen omponentti a b (a b)a b (a b)a / a = = c (.) a Vetoi c on siöetoin j suuntainen ja etoeiden j ja lauseeet oat siis j = c / c = i j (.) siöetoeiden i, j ja globaaliomponentit oat loaaliaseleiden suuntaosinit globaaliaseleiden suhteen. Näistä saadaan oodinaatiston ietomatiisi cos(, ) cos(,) cos(,) c c c Q = = cos(, ) cos(,) cos(,) c c c (.) cos(, ) cos(,) cos(,) c c c [ ] V loaalioodinaatis- Kietomatiisi [ Q ] muuntaa globaalioodinaatiston etoin { } ton etoisi { V } eli { } [ Q]{ V} V = (.) Kun etoisi { V } otetaan solmun tanslaatiot, saadaan { u u } [ Q]{ u u u } u = (.5) Kun otaatiot oletetaan pienisi, oidaan ne esittää etoina ja muuntaa matiisilla [ Q ]. Solmun otaatioille on oimassa { ϕ ϕ } [ Q]{ ϕ ϕ ϕ } ϕ = (.6) Vastaaat muunnoshtälöt oidaan ijoittaa mös solmun tanslaatio- ja otaatioomponenteille. Kun nämä neljä htälöä hdistetään osemaan elementin aiia apausasteita, saadaan htedet { u } [ B]{ u} {} f = [ B]{ f} = (.7) Matiisi [ B ] on globaali- ja loaalioodinaatiston älinen inemaattinen matiisi Kehäaenteet Matti ähteenmäi
Elementtimenetelmän peusteet.5 c c c c c c c c c c c c c c c c c c B = (.8) c c c c c c c c c c c c c c c c c c [ ] Koodinaatiston ietomatiisi [ Q ] on otogonaalinen matiisi eli [ Q ] = [ Q] T seuaa, että mös [ B ] = [ B] T. htes (.7) oidaan näin ollen antaa mös ontagedienttilain muodossa T { u} [ B]{ u} { f} = [ B] { f}, josta = (.9) Kuan.7 (b) globaalimittausen jäsmatiisi saadaan matiiseista [ ] ja [ B ] onguenssimuunnosella T [ ] [ B] [ ][ B] = (.) Kaaan (.) jäsmatiisin [ ] aliot oitaisiin ijoittaa näiin suoittamalla matiisien etomiset. Tulos on uitenin epähaainnollinen ja jäsmatiisit oidaan lasea htä hin aaasta (.). Eialenttiset solmuuomituset saadaan palitauluoista loaalioodinaatistossa. Ne on uitenin muunnettaa globaalioodinaatistoon ennen sijoittelusummausta. Tähän oidaan ättää aaaa (.9) eli T {} [ B] {} = (.) Kehäaenteet Matti ähteenmäi