9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää: steet, rdiit j uusisteet. Ku lsket yo.tehtävä, ii tee se esimerkiksi seurvsti: 4 + 7 : (t 60.0 + ) Siis käytä sulkeit jkomerki jälkee. Toie mhdollisuus o käyttää lskime muistipikkoj. Huom: Lskimie oppist löytyy ohjeit. Jos ohjekirj ei ole, ii Iteretistä löytyy ohjeit eri lskimille. Esimerkiksi TI-srj lskimille löytyy ohjeit osoitteest http://www.lsketvlie.fi/.. Lske lskimell Rtkisu: 4,67,, 48,85 4,67, =,95...,9, 48,85 Huom: Kirjoit lskimee seurvsti: (4.67.) : (.48.85). Ku lskimell lsket, ii välituloksi ei s pyöristää. Pitkissä lskuiss ktt käyttää lskime muistipikkoj. Merkitä trkoitt pyöristämättömiä rvoj. Jos luku,95 trvittisii myöhemmi toisee tehtävää, ii se ktt sijoitt lskime muistipikk. Edellä tulos o ettu kolme umero trkkuudell. Void myös so, että tulos o ilmistu khde desimli trkkuudell. Jos likirvotehtävässä esiityy sekä yhtee-, väheys-, kerto- j jkolskuj, ii yleesä vstus et heikoimm lähtörvo umeroide muk. Edellä luku,48 o ilmistu kolme umero trkkuudell.
9..008 (9). Lusekkeide sievetämie.. Sieveä lusekkeet: ) x y [ x x y ] b) Rtkisu: 4 b c 6b c { ( ) } ) x { y [ x (x y) ]} = x { y [ x x + y] } = x { y [ x + y] } = x { y + x y} = x x = x b) 4 b c = 6b c c Huom: Lskujärjestys: Suoritettess yhtee-, väheys-, kerto- j jkolskuj edetää vsemmlt oikelle. Esiksi suoritet kerto- j jkolskut j sitte yhtee- j väheyslskut ellei sulkeet toisi määrää. Erityisesti o huomttv, että sulkeit poistettess etumerkit vihtuu: ( b) = + b = b Huom: Luseke o i yhtäsuuri kui joki toie luseke. Se sij esimerkiksi yhtälöitä rtkistess pyritää yhtälö muuttm loogisesti yhtäpitävää muotoo. Lusekett ei s kerto millää luvull! 00 00 Huom: Klle Väisälä vhss keskikouluu trkoitetuss oppikirjss o pljo si mm. lusekkeide sievetämisestä, yhtälöistä je. Nämä sit läpikäydää ykyää peruskouluss, mmtti-istituuteiss j lukioss. http://solmu.mth.helsiki.fi/007/visl/ O huomttv, että em. oppikirjss puhut mrkoist j mm. jkokulm o vh.
9..008 (9).. Sieveä lusekkeet ) 4 b) ( ) + ( ) Rtkisu: ) 4 ( + )( ) = = + Huom: Kvoj: b b b = ( + )( ) ( ± b) = ± b + b Huom: Vi tulomuodoist void supist. Esimerkiksi lusekkeest supist mitää. Vert esimerkiksi + 5 + 5 = 6 + b ei void b) ( ) + ( ) = 8 ( 6 ) + ( ) 8 = 8 + 6 + 8 = 6 Huom: Potessikvoj o trkllee 5: ) (b) = b ) = b b ) m = m 4) m m + = 5) ( m) = m Näissä o mikä ths kokoisluku eli Z = 0, ±, ±,... }. Negtiivie potessi määritellää seurvsti =, 0. { Potessi 0 0 ei voi määritellä. Kvt ) 5) pätevät myös kikille reliluvuille, mikäli kvoje molemmt puolet ovt määritellyt j lisäksi ktluvut ovt positiivisi. Jos kvoiss ekspoetit ovt murtolukuj, ii sd juurille vstvt kvt. Neliöjuuri määritellää potessi, mikäli > 0.
9..008 4(9) Murtopotessi määritellää vi, jos ktluku o positiivie. Se sij juuret määritellää seurvsti: x =,x 0, jos o prillie = x x =, jos o prito Juuri void muutt murtopotessiksi: = Esimerkiksi kv s muodo b = b.. Sieveä luseke 4 xy x y (x, y > 0) x ( y ) Rtkisu: xy 4 y x y = = xy x x x y x y x Huom: Neliöjuure sisältä void poist termejä, mikäli sd tulotekijäksi potessi. Esimerkiksi o seurv: 8 = =. Termejä ei voi poist mite sttuu. Mm. ik yleie virhe + b = + b Joki kv voi osoitt vääräksi yhdellä vstesimerkillä: + + =, sillä vsepuoli o + = 5, 4 j oikepuoli o.
9..008 5(9). Yhtälöt j yhtälöryhmät.. Rtkise yhtälö 5( x ) 5 = x +. Rtkisu: 5(x - ) - 5 = x + 5 x -0-5 = x + 5 x -5 = x + 5x - x = + 5 4 x = 8 x = 8/4 = 4 Huom: Merkki trkoitt, että esim. edellie yhtälö o loogisesti yhtäpitävä jälkimmäise yhtälö kss. Luet silloi j vi silloi ku ti jos j vi jos... Rtkise yhtälöt ) Rtkisu: ) x = 0x b) t + = x = 0x x 0x = 0 x(x 0) = 0 x = 0 (x 0) = 0 x c) 0 = 000 x = 0 x = 0 b) c) ( ) t t t + = t + = + = = = 0 x = 000 0 x = 0 x = x = Huom: Tulo b = 0 = 0 b = 0. Merkki o ti, mikä mtemtiikss o s. molemmt vihtoehdot hyväksyvä ti. S j mtemtiikss usei korvt merkillä. Huom: )- kohd yhtälöä ei kt rtkist toise stee yhtälö rtkisukvll: b b ± 4c x + bx + c = 0 x =
9..008 6(9) Tässä tieteki oletet, että 0. O kuiteki huomttv, että jos esimerkiksi x(x + ) =, ii ei pidä pikks, että x = ti x + =. Tällie yhtälö o rtkistv em. kvll: ± 4 4 ( ) ± 6 ± 4 x(x + ) = x + x = 0 x = = = eli yhtälöllä o rtkisu x = ti x = -. O muistettv myös, että esimerkiksi 4 =, mutt yhtälöllä x = 4 o kksi rtkisu x = ± 4 = ±. Huom: Yhtälö korottmie toisee potessi o luvllist( eli loogisesti yhtäpitävää) vi j iost silloi, ku molemmt puolet ovt ei egtiivisi. Huom4: Jos yhtälö o verrtomuotoie, ii sitä o helppo käsitellä. Oletet, että,b,c,d > 0. c = d = bc b d Verrolle void tehdä moelisi opertioit. Edellä o iistä keties tärkei eli ristiikertomie... Rtkise seurvist kvoist sulkeiss miittu kirji. Oletet, että kikki kirjimet ovt positiivisi. ) U R = ( I =?) b) I + b A = h (h =?) c) L T = π (g =?) g h d) V = ( A + 4Q + B) (A =?) e) s gt 6 = (t =?) f) E R + = r (r =?). e r Kohdss f oletet, että E e Rtkisu: ) U R = RI = U I = I U R b) + b A A = h A = ( + b)h ( + b)h = A h = + b
9..008 7(9) c) L L 4 π L T = π ( ) T = 4π gt = 4π L g = g g T h 6V 6V V = A + 4Q + B 6V = h A + 4Q + B A + 4Q + B A = 4Q B 6 h h d) ( ) ( ) e) s s s s = gt s = gt t = t = ±, t > 0 t = g g g E R + r Re = Er = e R + r = er + er Er er = Re E e r = Re r = e r E e f) ( ) ( ).4. Rtkise yhtälöpri 5x y = 8 x + 4 y = 4 Rtkisu: 5x y = 8 + x + 4y = 4 x = x = 5x y = 8 + x + 4y = 4 ( 5) 8 4 y = 8 y = = Vstus: x = 4 y = Huom: Edellä o käytetty molemmille tutemttomille yhteelskukeio. Toie tp o sijoituskeio: Rtkist esimerkiksi jälkimmäisestä yhtälöstä x j sijoitet se esimmäisee yhtälöö: 8 4 x = 4 4y 5( 4 4y) y = 8 0 0y y = 8 y = 8 y = =, 4 56 4 + 56 jolloi x = 4 4y = 4 4 = 4 + = =.5. Pullo j korkki mksvt yhteesä 5. Pullo mks 0 eemmä kui korkki.pljoko mks korkki? Rtkisu: Olkoo korki hit x, jolloi pullo hit o 0 + x. Siis x + 0 + x = 5, jote x = 5 eli x =,5. Siis korki hit o,5.
9..008 8(9) Huom: Tämä tehtävä o peräisi kuuluisst Klle Väisälä Algebr oppi-j esimerkkikirjst I. Aiost mrkt o muutettu euroiksi..6. Atti o 7 vuott vhempi kui Alis. Kuik vh o Alis, ku khde vuode kuluttu Atti o kksi kert, ii vh kui Alis? Rtkisu: Olkoo Alis ikä x, jolloi Ati ikä o x + 7. Khde vuode kuluttu Alis ikä o x + j Ati x + 9, jolloi sd yhtälö x + 9 =(x + ) eli x + 9 = x + 4. Rtkisemll yhtälö sd x = 5. Siis Alis o 5 vuotis..7. Klevi si meä isäsä kuorm-utoss sillä ehdoll, että olisi koto,5 tui kuluttu. Hä otti polkupyörä muks uto lvlle. Mite pitkä mtk hä si oll kuorm-utoss, jos uto keskiopeus oli 60 km/h j polkupyörä km/h? s Rtkisu: Merkitää Klevi kuorm-utoss kulkem mtk kirjimell s. Kosk v =, t s s s ii t =. Kuorm-utoll j polkupyörällä kuljettu ik o + =,5, missä s: ltu o v 60 km. Nimittäjie piei yhteie jettv eli pyj o 60. Kerrot yhtälö luvull 60, jolloi 60,5 sd s + 5s = 60,5 6s = 60,5 s = = 5. Siis vstus o 5 km. 6.8. Letokoee opeus oli vsttuulee 00 km/h j myötätuulee 400 km/h. Kuik suuri oli tuule opeus? Rtkisu: Olkoo letokoee opeus x j tuule y. Silloi sd yhtälöpri x + y = 400 x y = 00 Vähetämällä ylemmästä yhtälöstä lempi sd y = 00, jolloi y = 50. Siis tuule opeus o 50 km/h..9. Millä p: j q: rvoill yhtälö t + pt + q = 0 juuret ovt 0 j -40? Rtkisu: Sijoitet luvut 0 j 40 t: piklle, jolloi sd yhtälöpri 0 + 0p + q = 0 900 + 0p + q = 0 ( 40) 40p + q = 0 600 40p + q = 0 Vähetämällä ylemmästä yhtälöstä lempi sd
9..008 9(9) 700 + 70p = 0 p = 0 Sijoittmll p esimmäisee yhtälöö sd 900 + 0 0 + q = 0 q = 900 00 = 00 4. Prosetti Prosetti o sdsos j promille o tuhesos. 4.. Lske ) Tuottee hit o 480. Jos ostj s 5 % leukse, ii mikä o hit? 5 Rtkisu: 480 = 0,85 480 = 408 00 p Huom.. Yleisesti p % luvust o p sdsos luvust eli. Yleesä ktt 00 käyttää prosettikerroit. Esimerkiksi 5% = 5 = 0,5. 00 b) Motko luku 0 o suurempi kui luku 0? Motko % prosetti luku 0 o pieempi kui luku 0? Rtkisu: 0 0 00 % = 00%. Siis 0 o 00 % suurempi kui 0. 0 0 0 00 % = 50%. Siis 0 o 50 % pieempi kui 0. 0 b Huom: Yleisesti, jos > b, ii 00 ilmoitt kuik mot prosetti o suurempi b b kui b j 00 ilmoitt kuik mot prosetti b o pieempi kui. c) Mikä luku o 0 % suurempi kui luku 5? 0 Rtkisu: Olkoo kysytty luku x. Tällöi x = 5 + 5 = 6. Prosettikerroit käyttäe 00 sd vstus helpommi: x =, 5 = 6.
9..008 0(9) 4.. Auto mtkmittri äyttää 6 prosetti liik. Mikä o mittri lukem 85 km vstv todellie mtk? Rtkisu: Olkoo x todellie mtk. Silloi 85, 06x = 85 x = = 768,8 769,06 Siis todellie mtk o oi 769 km. 4.. Erää tuottee hit ousee khte peräkkäiseä vuote 5 % j 0 %. Pljoko hit ousee äide khde vuode ik? Rtkisu: Olkoo tuottee lkuperäie hit x. Khde vuode ik hit ousee,05,0 x =,65x,7x. Hit ousee oi 7 %. Huom: Helposti jtell, että hit ousee 5 %. Mikä o vääri! 4.4. Oletet, että huoee lämpötil pieetämie yhdellä steell lskee lämmityskustuksi 5 %. Kuik pljo kuude stee lskemie let äitä kustuksi? Rtkisu: Olkoo lämmityskustukset ee lämpötil letmist H. Yhde stee lämpötil lsku jälkee kustukset ovt 0,95H j kuude stee letmise jälkee Kustukset leevt (00 74) % =6 %. 5. Geometri j trigoometri 0, 95 6 H = 0, 75...H 0,74H 5.. Kuik mot kuutiometriä lut o poistettv, ku hlut tehdä ympyrärek muotoie luistelulue järve jäälle? Ympyrärek sisählkisij d o 750 metriä j leveys s o 5 metriä. Oletet, että mere jää o tsie j sitä peittää koko lueell 0,50 metri korkuie lumikerros. s d
9..008 (9) Rtkisu: Ympyrärek pit-l o π (d + s) πd A = =,605 0 4 m, 4 4 jolloi lume määrä V = Ah, missä h = 0,50 m. Siis V =,80 0 4 m,8 0 4 m πd Huom: Ympyrä pit-l sd kvoill A = = π r, missä d o ympyrä hlkisij 4 j r o ympyrä säde. Suor ympyrälieriö ti syliteri tilvuus V = Ah, missä A o pohj pit-l j h o korkeus. 5.. Kuik suuri o kulm α oltv, jott ympyräsektori l olisi 9,5 cm? Säde r = 0,0 cm. Rtkisu: α A 60 9,5 60 A = πr α = = =,6,4. 60 πr π 0, 0 5.. Lske oheise suorkulmise kolmio l, jos kteettie AC j AB suhde = :. Hypoteuus BC = 5,0 m. Rtkisu: Olkoo x o kteeti AC pituus, jolloi kteeti AB pituus o x. Pythgor lusee ojll o x + ( x) = 5 x + 4x = 65 5x = 65 x = 5.
9..008 (9) Siis x = 5 =,80.... Tällöi kteeti AB pituus x = 5 =,06..., jolloi pitl o A = x x = x = ( 5) = 5. Siis vstukseksi sd 5m. Huom: Yleesä ktt meetellä, ii että yksikköjä eli edellise esimerki tpuksess metriä m ei litet lskuu. Toislt yksikköje käyttö lskuiss o siiä mielessä järkevää, että vstuksest ähdää oike yksikkö. Huom: Suorkulmisess kolmioss o voimss Pythgor luse: c = + b. Edellee trigoometriset fuktiot (teräville kulmille) määritellää seurvsti: b b si α =, cos α =, t α =, cot α = c c b Siis kulm olless välillä 0 α 90 huomt, että esimerkiksi 0 si α j 0 cosα. Trigoometrisi fuktioit käyttäe edellie esimerkki void lske toisi: t α = α = 6,565... Kosk α + β = 90, ii β = 90 α = 6,44... Jälkimmäise kulm rvo ei itse siss trvit: = si α = c si α c b = cos α b = c cos α c
9..008 (9) Kolmio pit-l o A = b = c si αcosα = 5 Sd sm vstus: Pit-l o 5m. Huom: Merkitä si α trkoitt si(α). Smoi tulo b trkoitt sitä, että lukuje j b kertolsku o suoritettu: b = b. Erityisesti esimerkiksi si α si α. Erityisesti lskime kss pitää oll trkk mm. kulmyksikköje suhtee. Ellei mitää yksikköä ole miittu, ii silloi trkoitet bsoluuttist kulmyksikköä eli rdii. Absoluuttie kulmyksikkö o lduto luku: Absoluuttisiss kulmyksiköissä kulm α määritellää site, että piirretää r säteie b ympyrä kri, jolloi α =. Käsite o hyvi määritelty, sillä kikki ympyrä sektorit, r joille kulm α o vkio ovt yhdemuotoiset. Jos α o täysi kulm eli steiss seksgesimlijärjestelmä muk 60 stett, ii rdieiss 60 stett o π r = π (rd). r 5.4. Tssivuise kolmio piiri pituus o 8 cm. Lske se korkeus. Rtkisu: Tssivuisess kolmioss kikki sivut ovt yhtäsuuri, jolloi myös kikki kulmt ovt yhtäsuuri eli 60 stett. Merkitää sivu pituutt kirjimell s, jolloi s = 8 eli s = 6. Kolmio huippupisteestä piirretty korkeusj puolitt ktsivu
9..008 4(9) Pythgor lusee perusteell Tämä perusteell Siis korkeus o 5, cm. s s 4s s s s h = s = s = = = 4 4 4 s 6 h = = = = 5,965... 5, Huom: Lisää tieto mm. kolmioist löytyy sivult: http://fi.wikipedi.org/wiki/kolmio 5.5. Erää järve pit-l o 500 eliökilometriä. Kuik suuri se o krtll, jok mittkv o :00 000? A vstus kolme umero trkkuudell eliösettimetreiä. Rtkisu: Yhdemuotoisiss kuvioiss vstijt ovt verrolliset. Jos mittkv o k, ii vstijoje suhde = k j vstipit loje suhde o mittkv eliö. Olkoo järvepit-l A luooss j K krtll. Merkitää mittkv kirjimell k. Tällöi A A = k K =, 75 0 8 km, 75cm K 00000 = = 5.6. Pyrmidi vipp muodostuu eljästä tssivuisest kolmiost. Lske pyrmidi tilvuus, ku kolmio sivut ovt 50,0 cm. Rtkisu: Olkoo särmä pituus. Tällöi pohj pit-l o A = j pohjeliö lävistäjä d =. Edellee pyrmidi korkeus h = (d / ) = / = Pyrmidi tilvuus o V = Ah = = = 946,7cm 9500cm = 9,500dm....
9..008 5(9) Vstus : Tilvuus o oi 9,5 kuutiodesimetriä. 6. Alyyttie tsogeometri 6.. Lske suorie x + y = j 4x y = 5 leikkuspistee koordittie trkt rvot. Piirrä myös molempie suorie kuvj xy-koorditistoo. Rtkisu: x = x + y = 7x = 7 + 4x y = 5 y = x 9 y = = 7 7 Kuvjt: Esimmäie yhtälö void stt muotoo y = -x j toie y = 4x 5: suor( x) suor( x) 0 6 0 6 0 x Huom: Edellisessä kuvss suor(x) = -x j suor(x) = 4x 5. Kuvj o piirretty ohjelmistoll MthCd, mutt suorie kuvjt pitää ost piirtää käsi. Ao.likissä o joitki esimerkkejä, jotk o tehty em. ohjelmistoll: http://www.cc.puv.fi/~h/mathcad/mcd.html Huom: Jos suor o ettu muodoss y = kx + b, ii k o suor kulmkerroi j suor leikk y kseli pisteessä (0,b). Huom: Jos suor kulkee xy-tsoss pisteide (x, y) j (x,y) kutt, ii suor yhtälö sd i muotoo
9..008 6(9) y y y y = (x x), mikäli x x. x x 6.. Määritä prbeli y = y(t) = t t + j suor t + y = 0 leikkuspisteide koordittie trkt rvot. Piirrä myös kuvjt. Rtkisu: Rtkist suor yhtälöstä y t: vull j sijoitet se prbeli yhtälöö. Kosk y = -t +, ii t + = t t + t t = 0 t t = 0 t = 0 t = ( ) Siis t = 0 j t =. Sijoittmll ämä suor yhtälöö sd y = j y =. Leikkuspisteet ovt (0,) j (,). Kuvjt: 0 8 prbeli( t) suor( t) 6 4 Huom: Prbeli 0 t y = y(t) = t t + huippu sd esim. eliöksi täydetämällä: y = y(t) = t t + = t + y = t ( ) ( ) Tästä ähdää, että huipu koorditit ovt (,). Lisäksi prbeli kseli o pystykseli suutie j prbeli uke ylöspäi. Yleisesti prbeli y = x + bx + c kseli o pystykseli suutie. Huippu sd eliöksi täydetämällä. Jos > 0, ii prbeli uke ylöspäi. Jos < 0, ii suut o lspäi. 6.. Määritellää fuktio ku 0 < x < f (x) = 0 muulloi
9..008 7(9) vull fuktio g(x) = f (x ) Lske g() j g(0,5 + 0 000 ). Piirrä lisäksi fuktio g(x) kuvj välillä 0 x 5. Rtkisu: Fuktio g(x) s rvo trkllee silloi ku o voimss: 0 < x < < x <. Muulloi rvo o 0. Siis g() = 0 j g(0,5 + 0 000 ) =. Kuvj: g( x) 0 0.5.5.5.5 4 4.5 5 x 7. Loogie päättely 7.. ) Määritä lukujoo puuttuvt luvut:,,, 5, 8,,?,? b) Mikä o lukujoo,, 4, 8, kymmees jäse? c) Oletet, että lukujooss khde perättäise jäsee erotus o d. Mikä o joo, +d, + d,.. sds jäse? Rtkisu: ) Jooss jäse o khde edellise jäsee summ. Siis? = 8 + = j? = + = 4. Huom: Kyseessä o Fibocci lukujoo. Aiheest lisää löytyy mm. o.likistä: http://fi.wikipedi.org/wiki/fibocci_lukujoo
9..008 8(9) b) Esimmäie jäse o 0, toie Huom:Ktt tutki o. likkiä: c) Sds jäse o +99d. 7.. Rtkise Sudoku je. Siis kymmees jäse o http://fi.wikipedi.org/wiki/lukujoo 9 = 5. 5 7 6 9 9 9 8 7 4 6 7 5 4 4 6 7 5 5 4 9 Huom: Sudoku: Trkoitukse o täyttää ruudut umeroill -9 ii että jokisell pysty- j vkrivillä esiityy kuki umero kerr. Lisäksi jokisess x-tulokoiss täytyy oll umerot -9 kerr. Huom: Sudoku-peleihi j muihi vstvii löytyy ohjeit Iteretistä: http://fi.wikipedi.org/wiki/sudoku#histori http://www.kukk.fi/tekemist/touhol/sudoku/
9..008 9(9) 7. Mikä ll olevist kuvioist ei kuulu joukkoo? Rtkisu: C ei kuulu joukkoo. Miksi? A B C D E Huom: Erilisi testejä löytyy mm. Mes sivuilt.