ORMS00 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 008 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia 1. Penan Grilli ja Jaskan Grilli ovat kilpailijoita. Molempien täytyy päättää samanaikaisesti ja toisistaan tietämättä mainostaako ei ollenkaan, hieman, kohtalaisesti, vai paljon. Pena uskoo, että Jaska mainostaa ei ollenkaan, hieman, kohtalaisesti tai paljon yhtä suurin todennäköisyyksin. Penan Grillin tuotot (euroa/vuosi) eri tilanteissa ovat: Jaskan valinta Penan valinta Ei ollenkaan Hieman Kohtalaisesti Paljon Ei ollenkaan 90.000 10.000 10.000 10.000 Hieman 60.000 60.000 50.000 0.000 Kohtalaisesti 50.000 50.000 60.000 10.000 Paljon 90.000 90.000 50.600 0 Miten Penan tulisi mainostaa, jos hän on (a) optimisti, (b) pessimisti. Ratkaisuehdotus: Kohdassa (a) Pena mainostaa joko ei ollenkaan tai paljon, sillä nämä vaihtoedot mahdollistavat parhaan mahdollisen tuoton 90.000 euroa/vuosi. Kohdassa (b) Pena mainostaa hieman, sillä tällöin huonoin mahdollinen tuotto 0.000 euroa/vuosi maksimoituu.. Miten edellisen tehtävän Penan tulisi mainostaa, jos hän on (a) katumuksen kaihtaja, (b) riskineutraali odotusarvoon uskoja? Ratkaisuehdotus: (a) Penan katumusmatriisi, tai pikemminkin -taulukko, on 1
Jaskan valinta Penan valinta Ei ollenkaan Hieman Kohtalaisesti Paljon Ei ollenkaan 0 80.000 50.000 10.000 Hieman 30.000 30.000 10.000 0 Kohtalaisesti 0.000 0.000 0 10.000 Paljon 0 0 00 0.000 Suurin mahdollinen katumus minimoituu arvoon 0.000 euroa/vuosi valinnalla paljon. (b) Penan arvostukset ovat V (ei ollenkaan) = 1 (90.000 + 10.000 + 10.000 + 10.000) = 30.000, V (hieman) = 1 (60.000 + 60.000 + 50.000 + 0.000) = 7.500, V (kohtalaisesti) = 1 (50.000 + 50.000 + 60.000 + 10.000) =.500, V (paljon) = 1 (90.000 + 90.000 + 50.600 + 0) = 57.650. Penan valinta on mainostaa paljon. 3. Miten Penan ratkaisut edellisissä tehtävissä muuttuvat, jos hän uskoo, että Jaska mainostaa paljon todennäköisyydellä 90%, kohtalaisesti todennäköisyydella 5% ja hieman todennäköisyydellä 5%? Ratkaisuehdotus: Koska Jaska ei valitse vaihtoehtoa ei ollenkaan, muuttuu tilanne hieman. Meidän on tarkasteltava taulukkoa Jaskan valinta Penan valinta Hieman Kohtalaisesti Paljon Ei ollenkaan 10.000 10.000 10.000 Hieman 60.000 50.000 0.000 Kohtalaisesti 50.000 60.000 10.000 Paljon 90.000 50.600 0
Näemme että optimistinen Pena mainostaa paljon ja pessimistinen Pena mainostaa hieman. Penan katumustaulukko on Jaskan valinta Penan valinta Hieman Kohtalaisesti Paljon Ei ollenkaan 80.000 50.000 10.000 Hieman 30.000 10.000 0 Kohtalaisesti 0.000 60.000 10.000 Paljon 0 00 0.000 Katumusta kaihtavan Penan valinta on siis mainostaa paljon. Lopuksi riskineutraalin Penan arvostukset ovat V (ei ollenkaan) = 10.000 0,90 + 10.000 0,05 + 10.000 0,05 = 10.000, V (hieman) = 30.000 0,90 + 50.000 0,05 + 0.000 0,05 = 30.500, V (kohtalaisesti) = 50.000 0,90 + 60.000 0,05 + 10.000 0,05 = 8.500, V (paljon) = 90.000 0,90 + 50.600 0,05 + 0 0,05 = 83.530. Riskineutraalin penan valinta on mainostaa paljon.. Leipuri Pulla myy pullia pikkiriikkisen pienessä Kumputien Leipomossa. Leipuri Pulla paistaa pullat aamulla ja myy ne lounastauolla viereisen Ministeriön Erikoisosaston virkamiehille. Leipuri Pullan harmiksi pullat pilaantuvat nopeasti: eilisiä pullia ei voi tänään enää myydä (ei edes nuoremmalle virkamiehelle Richard Lammille). Pullan paistaminen maksaa leipuri Pullalle 0,0=C pullalta. Leipuri pulla myy pullia 1,00=C kappalehintaan. Leipuri Pulla on arvelee, että pullia myydään 0:sta 10:een kappaletta jokaista lounastaukoa kohti. Itse asiassa hän on arvioinut pullanmyynnilleen seuraavat todennäköisyydet: p 0 = 0,01, p 1 = 0,0, p = 0,03, p 3 = 0,0, p = 0,10, p 5 = 0,60, p 6 = 0,10, p 7 = 0,0, p 8 = 0,03, p 9 = 0,0, p 10 = 0,01, 3
missä p j, j = 0,..., 10, on todennäköisyys sille, että tasan j pullaa myydään lounastauolla. Kuinka monta pullaa tulee leipuri Pullan valmistaa lounastaukoa varten, jos hän on (a) realisti ( 1 Maximax + 1 Maximin), (b) katumuksen kaihtaja? Ratkaisuehdotus: Leipuri Pullan päätösmatriisi on 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,0 0,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 0,60 0,0 1,0,0,0,0,0,0,0,0,0 0,80 0,0 1,0,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 1,00 0,00 1,00,00 3,00,00,00,00,00,00,00. 1,0 0,0 0,80 1,80,80 3,80,80,80,80,80,80 1,0 0,0 0,60 1,60,60 3,60,60 5,60 5,60 5,60 5,60 1,60 0,60 0,0 1,0,0 3,0,0 5,0 6,0 6,0 6,0 1,80 0,80 0,0 1,0,0 3,0,0 5,0 6,0 7,0 7,0,00 1,00 0,00 1,00,00 3,00,00 5,00 6,00 7,00 8,00 (a) Realisti Pullan arvostukset ovat V (a 0 ) = 1 0,00 + 1 0,00 = 0,00, V (a 1 ) = 1 0,80 + 1 ( 0,0) = 0,30, V (a ) = 1 1,60 + 1 ( 0,0) = 0,60, V (a 3 ) = 1,0 + 1 ( 0,60) = 0,90, V (a ) = 1 3,0 + 1 ( 0,80) = 1,0, V (a 5 ) = 1,00 + 1 ( 1,00) = 1,50, V (a 6 ) = 1,80 + 1 ( 1,0) = 1,80, V (a 7 ) = 1 5,60 + 1 ( 1,0) =,10, V (a 8 ) = 1 6,0 + 1 ( 1,60) =,0, V (a 9 ) = 1 7,0 + 1 ( 1,80) =,70, V (a 10 ) = 1 8,00 + 1 (,00) = 3,00. Realistin valinta on paistaa kymmenen pullaa.
(b) Leipuri Pullan katumusmatriisi on 0,00 0,80 1,60,0 3,0,00,80 5,60 6,0 7,0 8,00 0,0 0,00 0,80 1,60,0 3,0,00,80 5,60 6,0 7,0 0,0 0,0 0,00 0,80 1,60,0 3,0,00,80 5,60 6,0 0,60 0,0 0,0 0,00 0,80 1,60,0 3,0,00,80 5,60 0,80 0,60 0,0 0,0 0,00 0,80 1,60,0 3,0,00,80 1,00 0,80 0,60 0,0 0,0 0,00 0,80 1,60,0 3,0,00. 1,0 1,00 0,80 0,60 0,0 0,0 0,00 0,80 1,60,0 3,0 1,0 1,0 1,00 0,80 0,60 0,0 0,0 0,00 0,80 1,60,0 1,60 0,0 1,0 1,00 0,80 0,60 0,0 0,0 0,00 0,80 1,60 1,80 0,60 1,0 1,0 1,00 0,80 0,60 0,0 0,0 0,00 0,80,00 1,80 1,60 1,0 1,0 1,00 0,80 0,60 0,0 0,30 0,00 Katumuksen kaihtaja paistaa 8 pullaa. 5. Kuinka monta pullaa tulee edellisen tehtävä leipuri Pullan valmistaa lounastaukoa varten, jos hän on (a) riskineutraali odotusarvoon uskoja, (b) riskineutraali odotusarvoon uskoja, jolla kuitenkin on seuraavat reunaehdot: pitää olla mahdollista saada voittoa vähintää 1,00 euroa ja missään tapauksessa ei saa tulla tappiota yli 1,00 euroa? Ratkaisuehdotus: (a) Riskineutraalin Pullan arvostukset ovat V (a 0 ) = 0,00 0,01 + 0,00 0,0 + 0,00 0,03 + 0,00 0,0 + = 0, 0,00 0,10 + 0,00 0,60 + 0,00 0,10 + 0,00 0,0 + 0,00 0,03 + 0,00 0,0 + 0,00 0,01 V (a 1 ) = 0,0 0,01 + 0,80 0,0 + 0,80 0,03 + 0,80 0,0 + 0,80 0,10 + 0,80 0,60 + 0,80 0,10 + 0,80 0,0 + 0,80 0,03 + 0,80 0,0 + 0,80 0,01 = 0,79, V (a ) = 0,0 0,01 + 0,60 0,0 + 1,60 0,03 + 1,60 0,0 + 1,60 0,10 + 1,60 0,60 + 1,60 0,10 + 1,60 0,0 + 1,60 0,03 + 1,60 0,0 + 1,60 0,01 = 1,56, V (a 3 ) = 0,60 0,01 + 0,0 0,0 + 1,0 0,03 +,0 0,0 +,0 0,10 +,0 0,60 +,0 0,10 +,0 0,0 +,0 0,03 +,0 0,0 +,0 0,01 =,30, 5
V (a ) = 0,80 0,01 + 0,0 0,0 + 1,0 0,03 +,0 0,0 + 3,0 0,10 + 3,0 0,60 + 3,0 0,10 + 3,0 0,0 + 3,0 0,03 + 3,0 0,0 + 3,0 0,01 = 3,09, V (a 5 ) = 1,00 0,01 + 0,00 0,0 + 1,00 0,03 +,00 0,0 + 3,00 0,10 +,00 0,60 +,00 0,10 +,00 0,0 +,00 0,03 +,00 0,0 +,00 0,01 = 3,60, V (a 6 ) = 1,0 0,01 0,0 0,0 + 0,80 0,03 + 1,80 0,0 +,80 0,10 + 3,80 0,60 +,80 0,10 +,80 0,0 +,80 0,03 +,80 0,0 +,80 0,01 =,08, V (a 7 ) = 1,0 0,01 0,0 0,0 + 0,60 0,03 + 1,60 0,0 +,60 0,10 + 3,60 0,60 +,60 0,10 + 5,60 0,0 + 5,60 0,03 + 5,60 0,0 + 5,60 0,01 =,06, V (a 8 ) = 1,60 0,01 0,60 0,0 + 0,0 0,03 + 1,0 0,0 +,0 0,10 + 3,0 0,60 +,0 0,10 + 5,0 0,0 + 6,0 0,03 + 6,0 0,0 + 6,0 0,01 =,00, V (a 9 ) = 1,80 0,01 0,80 0,0 + 0,0 0,03 + 1,0 0,0 +,0 0,10 + 3,0 0,60 +,0 0,10 + 5,0 0,0 + 6,0 0,03 + 7,0 0,0 + 7,0 0,01 = 3,19, V (a 10 ) =,00 0,01 1,00 0,0 + 0,00 0,03 + 1,00 0,0 +,00 0,10 + 3,00 0,60 +,00 0,10 + 5,00 0,0 + 6,00 0,03 + 7,00 0,0 + 8,00 0,01 = 3,0. Riskineutraali valinta on siis paistaa 6 pullaa. (b) Nyt paistetaan 5 pullaa, sillä a 5 :lle on paras odotusarvo niiden valintojen joukossa a, a 3, a, a 5, jotka toteuttavat reunaehdot. 6