3. a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,1]. Millä todennäköisyydellä tämän luvun ensimmäinen desimaali on 2 tai toinen desimaali on 9?

Transkriptio

1 MAA6 Kurssikoe Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Muista että välivaiheet perustelevat ratkaisusi! Lue ohjeet tarkasti! A-osio. Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla käytössä. Tee kaikki tehtävät A1-A3. Maksimissaan tunti aikaa. Tee vastauksesi tälle paperille. Oma nimesi 1. Jäljellä on arpaa, joista kahdella saa 10 voiton ja yhdellä 25 voiton. Jussi ostaa yhden 4 hintaisen arvan. Määritä Jussin voiton a) Jakauma b) Odotusarvo 4p 2. Konvehtirasian konvehdit ovat kaikki käärepapereissa. Konvehdeista 5 on punaisessa, 3 vihreässä ja 2 keltaisessa paperissa. Punaiseen käärityistä konvehdeista 2 on tummaa suklaata, samoin vihreään ja keltaiseen käärityistä 2 on tummaa suklaata. Loput ovat maitosuklaata. Mikä on todennäköisyys, että kun otetaan konvehtirasiasta sokkona kaksi konvehtia a) saadaan kaksi vihreään käärepaperiin käärittyä tumman suklaan konvehtia? b) saadaan punaiseen käärittyjä konvehteja tai mihin tahansa väriin käärittyjä maitosuklaakonvehteja? 4p TÄHÄN TEHTÄVÄÄN RIITTÄÄ TARKKA MURTOLUKUVASTAUS! 3. a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,1]. Millä todennäköisyydellä tämän luvun ensimmäinen desimaali on 2 tai toinen desimaali on 9? b) Kiimingin päätepysäkille saapuu Koskilinjojen bussi noin 24 minuutin välein (utopiaa ) Bussi seisoo päätepysäkillä noin 6 minuuttia, kunnes lähtee kohti Oulua. Jussi, joka ei tiedä bussin aikatauluja, saapuu satunnaiseen aikaan päätepysäkille. Millä todennäköisyydellä hän pääsee heti bussiin sisälle lämpimään? 4p

2 B-osio. Saa käyttää laskinta. MAOL saa olla käytössä. Tee neljä tehtävistä B4-B8. 4. a) Kuinka monta erilaista suomalaista rekisterilaattaa on olemassa? Rekisterilaatan kirjainosassa on kolme peräkkäistä kirjainta ja siinä käytetään aakkosia (26 eri kappaletta). Rekisterilaatan numero-osassa on kolme numeroa väliltä 0,1,,9. Numero-osa ei voi olla 000, kaikki muut numeroyhdistelmät käyvät. (Numero-osaa kannattaa ajatella kolminumeroisena lukuna ) b) Tehdään yksi lottorivi (valitaan siis 7 numeroa 39:stä vaihtoehdosta väliltä 1,2,,39). Mikä on todennäköisyys, että saadaan tasan 4 oikein? 5. Lelutehdas yrittää myydä lasten leluja, joista 1 % sisältää vaarallisia lisäaineita. Ostaja tarkastaa 20 lelua laboratoriokokeilla. Millä todennäköisyydellä tarkastuserässä on alle 3 vaarallisia lisäaineita sisältävää lelua. 6. a) Timbuktun kielen kuullunymmärtämisen kokeessa on viisi kysymystä, joissa jokaisessa on kolme vaihtoehtoa, joista vain yksi on oikea. Oikeasta vastauksesta saa 4 pistettä ja väärästä vastauksesta saa -3 p. Kalle ei osaa yhtään tätä kieltä, joten hän arvaa kaikki kysymykset. Mikä on Kallen yhteispistemäärän odotusarvo? b) Aakkosissa on 29 kirjainta, joissa on 9 vokaalia ja loput konsonantteja. Valitaan satunnaisesti 7 kirjainta (voivat olla samoja). Millä todennäköisyydellä vokaaleja on enemmän kuin konsonantteja? 7. a) Kännykän akkuja valmistava yritys on testannut, että akkujen kesto vuosissa on keskimäärin 2,5 vuotta ja keskihajonta tälle on 0,9 vuotta. Eräs tehdas valmisti päivässä akkua. Moniko näistä akuista on todennäköisesti toiminnassa 4 vuoden kuluttua, jos oletetaan, että akkujen kesto noudattaa normaalijakaumaa? 8. b) Soveltuvuuskokeen keskiarvo oli 16,2 pistettä ja keskihajonta 4,0 pistettä. Määritä sellainen pisteraja, että saadaan selville parhaiden hakijoiden 7 % kärkiryhmä, kun tulosten oletetaan noudattavan normaalijakaumaa. Koneen valmistamista tuotteista 8 % on lievästi väriviallisia ja 7 % pintaviallisia. Viat esiintyvät toisistaan riippumatta. Virheettömät tuotteet myydään A-laatuna. Tuotteet, joissa on vain toinen vika, myydään B-laatuna. Tuotteet joissa on molemmat viat, särjetään. A-laatuinen tuote voidaan myydä 500 euron voitolla ja B-laatuinen tuote 100 euron voitolla. Särjetystä tuotteesta tulee euroa tappiota. Kuinka suuri on yhdestä tuotteesta saatavan voiton odotusarvo?

3 Ratkaisut: 1. Jäljellä on arpaa, joista kahdella saa 10 voiton ja yhdellä 25 voiton. Jussi ostaa yhden 4 hintaisen arvan. Määritä Jussin voiton a) Jakauma: Voitto P(Voitto) b) Odotusarvo: E(Voitto) = = = = 1 2. a) VT = Vihreä Tummasuklaa P(VT ja VT) = = b) P = Punainen, M = Maitosuklaa P(P ja P tai M ja M P M) = = = = Kirjoita kaava tähän. 3. asdfas a) Kaksidesimaalisia reaalilukuja on annetulla välillä 100 kpl P(0,2X tai 0, X9) = P(0,2X) + P(0, X9) P(0,29) = = b) Bussin aikataulu kiertää tavallaan täyden syklin 2 h aikana, joten tarkastellaan tilannetta geometrisesti 2 h jakson aikana: Huomataan, että suotuisia saapumishetkiä, jotta pääsee heti bussin sisälle, on yhteensä 5 x 6 min = 30 min. Kaikkiaan saapumishetkiä on 120 m. => P(pääsee heti bussin sisälle) = = 1 => 25% 4 4. a) Rekisterilaatan eka kirjain voidaan valita 26 eri tavalla. Seuraava 26 eri tavalla ja 3 seuraava 26 eri tavalla. Joten kirjainosa voi muodostua eri tavalla. Tämän jälkeen numero-osan voi olla mikä tahansa numeroista 001, 002, 003,, 998,999, eli sille on 999 eri vaihtoehtoa. Joten rekisterikilpiä on x 999 = kpl. b) Kuinka monella tapaa voidaan saada 4 numeroa oikein 7:stä numerosta:

4 Tämän jälkeen loput numerot voivat mennä väärin: Joten 4 oikein ja 3 väärin rivejä voi tulla yhteensä 35 x 4960 = kpl. Yhteensä 39 kaikenlaisia lottorivejä on: kpl. 7 Joten P(tasan neljä oikein)=173600/380937=0,0113 =>1% 5. Toistokoe: n= 20, p = 0,01 ja 1-p = 0,99 P(alle kolme vaarallista lelua)=p(2 vaarallista) tai P(1 vaarallinen) tai P(0 vaarallista) = ( 20 2 ) 0,012 0, ( 20 1 ) 0,011 0, ,99 20 = 0, ,999 99,9% todennäköisyydellä alle 3 vaarallista lelua 6. a) Jakauma: oikeat vastaukset/pistemäärä 0 => - 1 => -8 2 => -1 3 => +6 4 => => +20 P(oikeat vastaukset) ( 2 5 = 32 ( ) (1 (2 ( ) (1 ( 2 3 ( 5 3 (1 ( 2 2 ( ) (1 ( 2 1 ( 1 5 = 1 = 80 = 80 = 40 = 10 E(oikeat vastaukset = = 810 = 10 3 b) P(vokaaleja on 4 tai 5 tai 6 tai 7) = 0, , , , ,14 = 14% P(4) = ( 7 4 ) ( 9 29 ) 4 29 ) 3 = 0,1065 P(5) = ( 7 5 ) ( 9 29 ) 5 29 ) 2 = 0,0288 P(6) = ( 7 6 ) ( 9 29 ) 6 29 ) 1 = 0,0043 P(7) = ( 9 29 ) 7 = 0,00028

5 7. a) Normitus: z = 4 2,5 = 1,67, (1,67) = 0,9525 0,9 P(z > 1,67) = 1 0,9525 = 0,0475 Akuista 4,75% toiminnassa 4:n vuoden jälkeen ,0475 = 2375 b) Jos halutaan paras 7%, niin täytyy löytää normaalijakauman kertymäfunktion z-arvo, jonka alle jää 93% havaintoarvoista. Kertymäfunktion taulukosta nähdään, että 93% raja menee noin kohdassa z=1,475 Nyt siis 1,475 = x 16,2 x = 22,1 pistettä 4 8. Vaihtoehto 1 Kultaseppä ostaa yhden ison kiven: Jos kivi säilyy hionnan jälkeen ehjänä, on kultasepän varallisuus hionnan jälkeen x1 1, Tämän tapahtuman tod. näk. on p1 0,9 Jos kivi särkyy hionnassa, on kultasepän varallisuus hionnan jälkeen x Tämän tapahtuman tod. näk. on p2 0,1 Nyt varallisuuden odotusarvo on: E( X ) p x p x ,9 ( 1000 ) 0, Vaihtoehto 2 Kultaseppä ostaa kaksi pienempää kiveä: Jos kumpikin kivi säilyy ehjänä hionnan jälkeen, varallisuus hionnan jälkeen on x3 2 1, Tämän tapahtuman tod. näk. on 2 p3 0,92 0,8464 ( P(pieni säilyy ehjänä JA pieni säilyy ehjänä) ). Jos toinen kivistä säilyy ehjänä ja toinen rikkoutuu hionnassa, varallisuus hionnan jälkeen on x4 1, Tämän tapahtuman tod. näk. on p4 0,08 0,92 0,92 0,08 0,1472 ( P(1. säilyy ehjänä ja 2. särkyy tai 1. särkyy ja 2. säilyy ehjänä) ). Jos molemmat kivet rikkoutuvat hionnassa, varallisuus hionnan jälkeen on x Tämän tapahtuman tod. näk. on p5 0,08 0,08 0,0064 Nyt varallisuuden odotusarvo on: E( X ) p x p x p x ,1472 ( 1600 ) 0, Nyt vaihtoehdossa 1 varallisuuden odotusarvo on huomattavasti korkeampi kuin vaihtoehdossa 2, joten riskistä huolimatta yhden ison kiven hankkiminen on kannattavampaa. Vastaus: Kannattaa ostaa yksi iso kivi!