Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Transkriptio

1 Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

2 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien luokittelu Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen Matlabin Optimization Toolbox Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 2

3 Mitä on optimointi? Optimoinnissa pyritään hakemaan ongelmalle paras (eli optimaalinen) ratkaisu. Optimointimallin osat Päätösmuuttujat Mahdolliset rajoitukset (koskien päätösvaihtoehtoja) Kohdefunktio (jota maksimoidaan tai minimoidaan) Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 3

4 Optimointimallin muodostaminen Esimerkki 1... Päätöksenteko-ongelma: Sinulla on viiden viikon työsopimus Jyväskylässä ja asut Helsingissä. Lennät Jyväskylään maanantaina ja palaat Helsinkiin keskiviikkona. Lentolippuvaihtoehtoja: Meno-paluu lippu 100e; jos meno- ja paluupäivän väliin jää viikonloppu 20 % :n alennus; pelkkä menolippu (paluulippu) 70e. Kuinka ostaa liput? Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 4

5 ... Esimerkki 1... Päätösvaihtoehtoja: a) 5 meno-paluu lippua Helsinki-Jyväskylä-Helsinki b) 1 Helsinki-Jyväskylä; 4 Jyväskylä-Helsinki-Jyväskylä yli viikonlopun 1 Jyväskylä-Helsinki c) 1 Helsinki-Jyväskylä-Helsinki (1. maanantai, 5. keskiviikko) 4 Jyväskylä-Helsinki-Jyväskylä yli viikonlopun Rajoitukset: joka viikko pitää lähteä Helsingistä maanantaina ja palata keskiviikkona. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 5

6 ... Esimerkki 1 Kohdefunktio: vaihtoehdon kustannus. - Paras vaihtoehto pienin kustannus vaihtoehto a: kustannus = 5 100e = 500e vaihtoehto b: kustannus = 70e + 4 0,8 100e + 70e = 460e vaihtoehto c: kustannus = 5 (0,8 100e) = 400e Vaihtoehto c on siis optimaalinen vaihtoehto ja 400e on tätä vastaava optimikustannus. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 6

7 Esimerkki 2... Optimaalinen suunnittelu (optimal design): L pituisesta rautalangasta on väännettävä suorakaide, jonka pinta-ala on suurin mahdollinen. - optimointimuuttujat: x := leveys [m] y := korkeus [m] - rajoitukset: 2(x + y) = L x, y 0 - kohdefunktio: f(x, y) := xy Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 7

8 ... Esimerkki 2 Optimointimalli: maksimoi xy ehdolla: 2(x + y) = L (yhtälörajoitus) Kirjoitetaan muotoon st. := subject to. x, y 0 (epäyhtälörajoitus) max x,y f(x,y) = xy st. 2(x + y) = L x, y 0 Tehtävän ratkaisu: x = y = L/4. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 8

9 Optimointitehtävien luokittelu Optimointitehtävät voidaan jakaa moneen eri tyyppiin. Lineaarinen optimointi (ks. Mat Lineaarinen ohjelmointi) Kohdefunktio ja rajoitukset lineaarisia min x c t x = n i=1 c ix i st. Ax = b x 0 Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 9

10 Lineaarinen optimointi Yo. optimointitehtävässä x i :t ovat optimointimuuttujia, x := c := x 1. x n c 1.. c n, ja x 0, x i 0 i;, b := b 1.. b m ja m n matriisi A ovat vakioita. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 10

11 Epälineaarinen optimointi (ks. Mat Optimointioppi) Kohdefunktio ja rajoitukset epälineaarisia min f(x) st. g i (x) 0, i = 1,...,m h i (x) = 0, i = 1,...,l a i x i b i missä f, g i ja h i sisältävät epälineaarisia funktioita. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 11

12 Muita optimointitehtäviä 1/2 Monitavoiteoptimointi - Yhden kohdefunktion sijasta monta kohdefunktiota. - Esim. Portfolion optimointi: Halutaan sekä maksimoida tuottoa että minimoida riskiä. Verkko-optimointi (ks. Mat Verkko-optimointi) - Esim. Määrättävä kahden kaupungin välinen lyhin tie olemassaolevaan tieverkostoon. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 12

13 Muita optimointitehtäviä 2/2 Kokonaislukuoptimointi (ks. Mat Kokonaislukuoptimointi) - Päätösmuuttujat kuuluvat kokonaislukuihin. - Esim. Halutaan määrittää optimaalinen tilauserien määrä, jolla yrityksen voitto maksimoituu. Dynaaminen optimointi (ks. Mat Dynaaminen optimointi) - Päätösmuuttujat ovat eivät ole vakioita, vaan ovat esim. ajan funktioita. - Esim. Etsi lentokoneelle ohjaus s.e. lentoaika paikasta a paikkaan b minimoituu. Stokastinen optimointi - Tehtävä sisältää satunnaismuuttujia. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 13

14 Optimointitehtävien ratkaiseminen 1/2 Optimointitehtävien numeerinen ratkaisu perustuu iterointiin. - Lähdetään tietystä alkupisteestä liikkeelle. - Lasketaan uusi piste tietyn algoritmin mukaisesti. - Jatketaan kunnes löydetään (lokaali) optimipiste. Esim. funktion g lokaali minimi löydetään Newtonin iteroinnilla. x k+1 = x k g (x k )/g (x k ) missä g ja g ovat funktion g ensimmäinen ja toinen derivaatta. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 14

15 Optimointitehtävien ratkaiseminen 2/2 Historiallisista syistä tiettyjä numeerisia ratkaisumenetelmiä kutsutaan ohjelmoinniksi. Esim. - Lineaarinen ohjelmointi: lineaarisen optimoinnin Simplex-menetelmä. - Dynaaminen ohjelmointi: Dynaamisen optimointitehtävän ratkaisemismenetelmä, joka perustuu rekursioon. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 15

16 Ohjelmistoja Yleiskäyttöisiä ohjelmistoja - Matlab - Optimization Toolbox - Excel - Solver (ks. harjoitus 8) Lisäksi on olemassa paljon eri optimointitehtävätyypeille räätälöityjä ohjelmia ja ohjelmakirjastoja. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 16

17 Matlab - Optimization Toolbox Matlabin laajennnus, jokta koostuu kokoelmasta funktioita. Toolboxin funktiot ovat Matlabin m-tiedostoja. - Koodin saa näkymiin komennolla type funktion_nimi Toolboxia voidaan myös käyttää yhdessä muiden Matlabin toolboxien tai Simulinkin kanssa. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 17

18 Joitakin funktioita Optimization Toolbox sisältää rutiineja erilaisia optimointitehtäviä varten, mm. - fminbnd: Find minimum of single-variable function on fixed interval - fmincon: Find a minimum of constrained nonlinear multivariable function - fminsearch: Find minimum of unconstrained multivariable function using derivative-free method - fminunc: Find minimum of unconstrained multivariable function - linprog: Solve linear programming problems - quadprog: Solve quadratic programming problems Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 18

19 Kysymyksiä 1. Mitkä ovat optimointimallin osat? (3 eri osaa) 2. Mainitse esimerkki numeerisesta optimointialgoritmista. 3. Millainen on lineaarinen optimointitehtävä? 4. Miten dynaamiset optimointitehtävät eroavat muista optimointitehtävistä? 5. Mihin Simplex-menetelmää käytetään? 6. Mihin kahteen eri optimointitehtävien luokkaan portfolion optimointi voidaan sijoittaa? Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 19