Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia voi tutkia a) aikatasossa (time domain) miten signaalin arvo (jännite tms.) muuttuu ajan suhteen? mittaamalla (oskilloskooppi) yhtälönä lukuarvoina (näytteinä) kuvaajana b) taajuustasossa (frequency domain) mitä taajuuksia signaaliin sisältyy? esim. puhe n. 1 Hz - 5 khz musiikki Hz - khz videokuva Hz - 5 MHz mittaamalla (spektrianalysaattori) matemaattisesti lähtien aikatasosta käyttäen integraalimuunnosta (Fourier-analyysi, Fouriermuunnos)
Sinimuotoinen signaali v ( t) = cos( π f t + ϕ) = cos( ω t + ϕ) f = taajuus ω = πf = kulmataajuus f = 1/T T = jaksonpituus = amplitudi (huippuarvo) ϕ = vaihe (vaihekulma, vaihesiirto) Huom! mplitudille ei useinkaan ilmoiteta yksikköä. Huom! Kosinin käyttö (sinin sijaan) yksinkertaistaa tiettyjä yhtälöitä.
3 ikatason kuva ;vaihe = : v(t) T T t - Vaihe 45 : v(t) T T t - Vaihe -9 : v(t) T T t -
Vaihekulman merkitys 4 Yksinäisen sinisignaalin vaihe ei yleensä ole tärkeä. Kun sinisigaalit summautuvat, niin vaiheilla voi olla suurikin merkitys: f- ja f-taajuisten signaalien summa, kun kummankin vaihe on : v(t) T t T ja kun jälkimmäisen vaihe on -9 : w(t) T t T
Jaksollisen signaalin koostuminen harmonisista komponenteista 5 Taajuustason tarkastelun perusasia: Kaikki signaalit (niin jaksolliset kuin ei-jaksollisetkin) koostuvat eritaajuisista sinimuotoisista signaaleista. 'Koostuminen' = summautuminen Erityisesti: Jaksollinen signaali koostuu signaaleista, joiden taajuudet ovat:, f, f, 3 f, 4 f,... Tässä f = jaksollisen signaalin perustaajuus, f = 1/T ja T = signaalin jaksonpituus Taajuutta n f nimitetään signaalin v(t) n:nneksi harmoniseksi taajuudeksi. Siis: Jos v(t) on jaksollinen, niin voidaan kirjoittaa v( t) = + + cos(π f 1 cos(π f t t + ϕ ) 1 + ϕ ) + 3 cos(π 3 f t + ϕ ) +... 3 eli v( t) = n= n cos(π nf t + ϕn )
Tämä on jaksollisen signaalin v(t) Fourier-sarja. 6 Kulmataajuuksia käyttäen: v( t) = n= n cos( nω t + ϕn ) mplitudien n ja vaiheiden ϕ n arvot saadaan selville matemaattisesti, Fourier-analyysillä. Jos signaalin aaltomuoto ei ole jaksollinen, se voi sisältää mitä tahansa taajuuksia. Jos signaaliin sisältyvä pienin taajuus on f 1 ja suurin taajuus f, niin signaalin kaistanleveys B = f f 1. Esimerkki: Sakara-aalto v(t) - T T t Fourier-analyysillä voidaan saada selville, että sakara-aalto voidaan kirjoittaa aikatason yhtälönä seuraavasti: 4 sin(π 3 f t) v( t) = sin(π f t) + π sin(π 5 f + 5 t) 3 sin(π 7 f + 7 t) +... Tehtävä: Mikä on sakara-aallon n:nnen harmonisen taajuuden amplitudi ja vaihe?
7 Vastaus: n 4, kun n pariton = nπ, kun n parillinen ϕ n = 9 Vaihe tulee kaavasta sin( x) = cos( x 9 ) Koska parillisilla n:n arvoilla n =, sanotaan, että sakara-aalto sisältää vain parittomia harmonisia taajuuksia.
Spektri 8 Signaalin ominaisuudet taajuustasossa ilmoitetaan spektrin avulla. Spektriä tutkimalla löytyy vastaus näihin kolmeen kysymykseen: 1. Mitä taajuuksia signaaliin sisältyy?. Mikä on kunkin signaaliin sisältyvän taajuuden amplitudi? mplitudispektri 3. Mikä on kunkin signaaliin sisältyvän taajuuden vaihe? Vaihespektri Useimmiten amplitudispektri on tärkeämpi. Vaihespektri ei usein ole lainkaan kiinnostava.
9 Esimerkki Erään jaksollisen signaalin amplitudi- ja vaihespektri on: mplitudi 4 3 1 1 3 4 Vaihe/ast. f/khz 18 135 9 45 f/khz 1 3 4 (Tässä siis näkyy tapa, jolla spektri usein esitetään kuvana.) Kysymys: Mikä on tämän signaalin aikatason yhtälö?
1 Vastaus: Signaali sisältää seuraavat taajuuskomponentit: Taajuus mplitudi Vaihe 1 khz 4 khz 3 18 3 khz 9 4 khz 1 45 Joten signaalin yhtälö on v( t) = 4 cos(π 1kHz t) + 3 cos(π khz t + cos(π 3 khz t + 9 ) + 18 ) + cos(π 4 khz t Signaali näyttää aikatasossa seuraavalta: v(t) + 45 ) T T t Tässä T = 1/ f = 1/1 khz = 1ms
Edellisen signaalin taajuuskomponentit erillisinä. 11 1 khz (amplitudi 4, vaihe ): 8 6 4-5 1 15-4 -6-8 khz (amplitudi 3, vaihe 18 ): 8 6 4-5 1 15-4 -6-8 3 khz (amplitudi, vaihe 9 ): 8 6 4-5 1 15-4 -6-8 4 khz (amplitudi 1, vaihe 45 ): 8 6 4-5 1 15-4 -6-8 Koko signaali on siis näiden summa, kuvaaja edellisellä sivulla.
Usein amplitudispektri esitetään niin, että pystyakselilla on db-asteikko. 1 Tällöin käytetään suhteellisia amplitudeja niin, että suurin amplitudi on db. Edelläoleva amplitudispektri voidaan siis esittää myös näin: mplitudi/db -5-1 -15-1 3 4 f/khz Mitkä ovat amplitudien tarkat desibeliarvot? Tehtävä: Piirrä sakara-aallon (jaksonpituus µs) amplitudispektri desibeleinä. Ota mukaan spektriviivat - db:n tasoon asti. Millä taajuudella tämän sakara-aallon amplitudispektrin taso alittaa -4 db?
Kolmioaalto: v(t) - T t 13 puolestaan voidaan kirjoittaa aikatason yhtälönä 8 sin(π 3 f t) v( t) = sin(π f t) π 3 sin(π 5 f + 5 t) sin(π 7 f 7 t) +... Tehtävä: Piirrä samaan kuvaan sakara-aallon ja kolmioaallon (kummankin jaksonpituus µs) amplitudispektri db:nä. Mikä oleellinen ero on näiden kahden signaalin spektreillä? Millä taajuudella kolmioaallon amplitudispektrin taso alittaa -4 db?
Esimerkki aaltomuodon rakentumisesta. 14 Seuraavat kuvat esittävät, miten sakara-aalto syntyy. kun yhä korkeampia harmonisia taajuuksia (joiden amplitudit ja vaiheet ovat asianmukaiset) summataan: 1) Vain perustaajuus: ) Perustaajuus ja kolmas harmoninen: 3) Viidenteen harmoniseen asti:
15 4) Seitsemänteen harmoniseen asti: 5) Yhdeksänteen harmoniseen asti: 6) Yhdenteentoista harmoniseen asti:
7) Kolmanteentoista harmoniseen asti: 16 8) Viidenteentoista harmoniseen asti: Ks. myös http://users.metropolia.fi/~koiva/fourier/ Tehtävä: Puhelinverkko päästää läpi äänitaajuudet 3 Hz - 34 Hz. Miltä näyttää aikatasossa a) sakara-aalto, jonka jaksonpituus on.5 ms b) sakara-aalto, jonka jaksonpituus on 5 ms kun kyseinen sakara-aalto on välitetty puhelimitse paikasta toiseen ja se vastaanotetaan siellä toisessa paikassa?