1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1

Samankaltaiset tiedostot
9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

KETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys Jakoalgoritmi Kantakehitelmät

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä

6 Integraali ja derivaatta

6 Eksponentti- ja logaritmifunktio

joka on separoituva yhtälö, jolla ei ole reaalisia triviaaliratkaisuja. Ratkaistaan: z z(x) dx =

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 168. h = 16,5 cm = 1,65 dm 1 = = :100. 2,5dm 1, dm. Vastaus 30 cm. = 2,

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Ratkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona:

802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

W dt dt t J.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!

S Ä H K Ö - J A T I E T O T E K N I I K A N O S A S T O

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I

Systeemimallit: sisältö

3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

2 Funktion derivaatta

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Fysiikan matematiikka P

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt

Täydellisyysaksiooman kertaus

2 Funktion derivaatta

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

Koodausteoria, Kesä 2014

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

2. Systeemi- ja signaalimallit

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Diskreetti derivaatta

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 1

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä

πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m,

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista

Älä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan!

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN ILMAISU DISKRIMINAATTORILLA

q =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

a) Ortogonaalinen, koska kantafunktioiden energia 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Luento 2. Jaksolliset signaalit

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

Matematiikan peruskurssi 2

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

OH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11.

Tehtävän 1 moottorin kuormana an työkone, jonka momentti on vakio T=30 Nm. Laske

S Signaalit ja järjestelmät Tentti

a) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p).

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus

Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matemaattinen Analyysi

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Transkriptio:

KETJUMURTOLUVUT Harjoiuksia 209. Todisa/Prove Lause 2.2. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. Lause 2.4. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. 2. Määrää Canorin kehielmä luvuille 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 7; (m + )!, m N. 3. Olkoon b Z 2. Määrää lukujen b-kanakehielmä. b ; b + ; b b + 4. Määrää lukujen 8/3; /22 binääri- ja 3-kanaise esiykse. 5. Esiä luvu (0, 23) 7 ; (0, 23) 7 ; (0; 03) 6 raionaalilukuina. 6. Määrää lukujen /7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 desimaaliesiykse (0-kanaise) käyäen Lauseen 2.5 algorimia eli palauuskaavoja (2.) ja (2.2). Huomaa, eä muiden lukujen esiykse saadaan luvun /7 algorimisa.

7. Määrää lukujen 2 7, 4 7, 8 7, 5 7 desimaaliesiyksien alkuermien ja jaksojen piuude käyäen Lausea 2.9. 8. Määrää ord 3 0. Määrää luvun /3 desimaaliesiyksen alkuermin ja jakson piuude käyäen Lausea 2.9. Määrää ord 7 0. (d) Määrää luvun 2 a 5 c 7, a, c N desimaaliesiyksen alkuermin ja jakson piuude käyäen Lausea 2.9. 9. Olkoon b Z 3. Osoia, eä ord (b ) 2 b = b. (b ) 2 = (0, 023...b 3 b ) b. 0. Olkoon p P, m Z, m p ja oleeaan, eä p = (0, c...c p ) b, missä p on minimijakson piuus. Osoia, eä jollakin k Z, 0 k p m p = (0, c k+...c p c...c k ) b,. Olkoon b Z 2. Osoia, eä n=0 b n2 / Q. 2. Osoia, eä 0, 23456789 0 2 3... / Q. 3. Määrää seuraavien kejumurolukujen n. konvergeni, kun n 6. [;,,...]; [b 0 ; b,...] π = [3; 7, 5,, 292,,,, 2,...].

Näyä b) kohaan nojauuen, eä π 22 7 < 5 7 ; 2 π 355 3 < 292 3. 2 4. Määrää seuraavien lukujen kejumuroesiykse. 6; 43. 5. Määrää seuraavien kejumurolukujen arvo. (d) (e) [2, 4]; [2, 2, 4]; [4, 3, 2,, 2, 4]; [5,,,, 0]; [2 2n, 2 2n + ]. 6. Olkoon α = [b 0, b,...] > yksinkerainen kejumuroluku ja A n /B n = [b 0, b,..., b n ] sen n.s konvergeni. Näyä, eä Johda idenieei α = [0, b 0, b,...]; A k+ A k = [b k+, b k,..., b 0 ] k N; Johda idenieei B k+ B k = [b k+, b k,..., b ] k N. 7. Osoia, eä ääreömän yksinkeraisen kejumuroluvun τ = [b 0 ; b,...] konvergeneille päee

(d) A n+2 B n A n B n+2 = b n+2 ( ) n n N. B n F n+ missä (F n ) on Fibonaccin lukujono. ( ) n 5 + n Z +, 2 0 < A 2k B 2k < τ < A 2k+ B 2k+, k Z +. (B n+ τ A n+ )(B n τ A n ) < 0, n N. 8. Näyä, eä 377/233 on luvun 5 + 2 konvergeni (esi sopiva ulos luennoisa). 9. Määrää Neperin luku 0 desimaalin arkkuudella käyäen kehielmää e = [2,, 2k, ] k=. e = + 2[0,, 4k + 2] k=. 20. Olkoon d Z +. Johda luvulle + 4d 2 + 2 yksinkerainen kejumurokehielmä. Määrää kehielmän arvo. [d,,, 2d ] Johda luvulle d2 + yksinkerainen kejumurokehielmä. (d) Määrää kehielmän [d, 2d] arvo. 2. Olkoon d Z +. Osoia (laskemalla kehielmän arvo), eä d2 + 2 = [d, d, 2d].

d2 + 4 = [d, (d )/2,,, (d )/2, 2d], 2 d 3. d2 = [d,, 2d 2], d 2. (d) d2 2 = [d,, d 2,, 2d 2], d 3. (e) d2 4 = [d,, (d 3)/2, 2, (d 3)/2,, 2d 2], 2 d 5. 22. Mikä ova kahden edellisen ehävän kejumuroesiyksien jaksojen piuude? 23. Osoia, eä Diofanoksen yhälön x 2 7y 2 = 2 posiiivisille rakaisuille x, y Z + päee, eä x y = A k B k, jollakin luvun 7 = [2,,,, 4] konvergenilla A k /B k. Hae ainakin kaksi rakaisua. 24. Olkoon d Z +, d = [b 0, b,...] irraionaalinen ja A n /B n = [b 0, b,..., b n ] sen n.s konvergeni. Käyeään Lauseen 4.6 merkinöjä. Osoia, eä A 2 k db 2 k = ( ) k+ Q k+. Pääele a) kohaa apuna käyäen, eä Q k d, P k d. Rakaise Diofanoksen yhälö x 2 6y 2 = 2. (d) Rakaise Diofanoksen yhälö x 2 7y 2 = 2. 25. Näyä, eä 26. Määrää kejumurojen b 0 + a a 2 b + b = b 0 a a 2 a 3 2 +... b + b 2 + b 3 +.... K k= ( ) ; + i

K k= ( ) i ; 2 arvo rakaisemalla rekursio ja laskemalla konvergenijonon raja-arvo. 27. Määrää kejumurron arvo, kun a =, b = 3. b + a b + b + a c + arvo, kun a = 3, b =, c = 5, d = 2. a b +... d a d b + c + b +... 28. Rakaise rekursio Olkoo f n = n! ja e n = n! rakaisukana. Määrää rekursion rakaisukana. (d) Rakaise rekursio (e) Olkoon g n = n! ( ) k k!. Osoia, eä {(f n ), (g n )} on (d)-kohdan rakaisukana. 29. Todisa Lause 5.2. 30. Todisa Lause 5.4. 3. Olkoon n k=0 a n+2 (n + 3)a n+ + (n + )a n = 0. n k=0. Osoia, eä {(e k! n), (f n )} on -kohdan (n + 2)b n+2 (n + 3)b n+ + b n = 0 a n+2 (n + )a n+ (n + )a n = 0. x n + y n 2 = (3 + 2 2) n n Z +. Määrää palauuskaava luvuille x n ja y n (Kaso: Esimerkki 5). 32. Näyä, eä sin z = z 0 F ( 3/2 ) z2 ; 4

33. Osoia, eä sarjalle päee palauuskaava 34. Käyäen ulosa näyä, eä cosh z = 0 F ( /2 arcan f = 0 F ( c f = f(c + ) + = 2 F (, /2 3/2 ) = n=0 ) z2 ; 4 ) 2. n! n n f(c + 2). c(c + ) e z e z e z + e = z z 2 z 2 z 2 z + 3 + 5 + 7 +... log a b e r s / Q r/s Q. / Q a/b Q + \ {}. log 2 / Q. 35. Määrää luvun e 2 yksinkerainen kejumurokehielmä 36. Näyä, eä e 2 = [7, 3k,,, 3k, 2k + 6] k=. I n (π) = π x n (π x) n sin x dx = 2n! 0 n 2l 2n ( ) n+l (2l)! n ( ) π 2n 2l. n! 2l n 37. Osoia, eä 38. Osoia, eä + + + (c+) (c+)(c+2) +... z z 2 /2 z 3/2+ 2 /4 5/2+ z2 /4 7/2+... /c = + c + + = z c+2+ c+3+... + z 2 3+ z2 5+ z2 7+.....

39. Todisa (d) (e) α Q a, b Z, a 0 : aα + b = 0. α / Q a, b Z, a 0 : aα + b 0. α / Q, α lin. vapaia/q α / Q dim Q {Q + αq} = 2. α Q dim Q {Q + αq} =. 40. Todisa e / Q, e lin. vapaia/q π / Q dim Q {Q + πq} = 2.