KETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho
|
|
- Toivo Lahtinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KETJUMURTOLUVUT Tapani Matala-aho 5. helmikuuta 0
2 Sisältö Johdanto 3 Jakoalgoritmi, kantaesitys 4. Jakoalgoritmi Kantakehitelmät Kokonaisluvun b-kantakehitelmä Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä Reaaliluvun b-kantakehitelmä Rationaaliluvun b-kantakehitelmä Irrationaaliluvuista 4 Ketjumurtoluvut 4 4. Yksinkertaiset ketjumurtoluvut Ketjumurtoalgoritmi Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Toisen asteen algebralliset luvut Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Paras approksimaatio 38 6 Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Yleiset ketjumurrot 4 8 Suppenemistarkasteluja 43
3 9 Suppenemisehtoja Rekursioitten ratkaisemista Irrationaalisuusehtoja 48 Transformaatioita 5 Kehitelmiä 5. Hypergeometriset sarjat Hypergeometrinen sarja 0 F Kehitelmiä Neperin luvulle Irrationaalisuustuloksia Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus Lisää kehitelmiä F F π e Korjauksia/Lisäyksiä 65
4 LUENNOT: Ti 4 M03, Ke 4 6 M03. ALKAA: Ti 0..0 klo 4 M03. LUENNOT OVAT LOPPUNEET. LASKARIT: To 4. Alkavat viikolla 3. KAHDET VIIMEISET LASKARIT VIIKOLLA 8 LUENTOAIKOINA. KATSO TEHTÄVÄLAPPU. Loppukoe Ma
5 Johdanto 80655S KETJUMURTOLUVUT (5OP SYVENTÄVÄ) Ketjumurtolukujen teoria on kiinteä osa matematiikan lukuteoriaa. Luennoilla tarkastelemme aluksi reaalilukujen b-kantaesityksiä ja yksinkertaisia ketjumurtoesityksiä sekä esityksien ominaisuuksia-päättyvä, päättymätön, irrationaalisuus, jaksollisuus, approksimaatio-ominaisuudet. Seuraavaksi tutkitaan yleisiin ketjumurtolukuihin liittyviä rekursiota ja transformaatioita sekä suppenemis- ja irrationaalisuusehtoja. Edelleen tarkastellaan hypergeometristen sarjojen ketjumurtokehitelmiä, joista saadaan tuttujen lukujen kuten Neperin luvun ja piin ketjumurtokehitelmiä. Tutkimus suunnataan myös yleisempiin irrationaalisuuskysymyksiin ja Diofantoksen yhtälöihin. Esitiedot: Perusmetodit, Analyysi I, Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I) Kirjallisuus: G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Lisa Lorentzen and Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (99). Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbruchen (93). 4
6 Jakoalgoritmi, kantaesitys. Jakoalgoritmi Algebra I: Lause.. Olkoot a, b Z ja b = 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r b. () Kun b Z +, niin q = a b. (). Kantakehitelmät.. Kokonaisluvun b-kantakehitelmä Kokonaisluvun b-kantakehitelmä. Lause.. (Algebra I) Olkoot b Z ja a N. Tällöin! esitys a = a n b n, 0 a n b, a n N. (3) n 0 Esitystä (3) sanotaan kokonaisluvun b-kantakehitelmäksi. Merkintä. a m...a 0 = (a m...a 0 ) b = a m b m a b + a 0. (4) Todistus... Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä Lause.3. Olkoot {b, b,...} Z ja a N. Tällöin! esitys a = n 0 n a n i= b i, 0 a n b n+, a n N. (5) 5
7 Seurauksena saadaan Cantorin kehitelmä Lause.4. Olkoon a N. Tällöin! Cantorin esitys a = n a n n!, 0 a n n, a n N. (6)..3 Reaaliluvun b-kantakehitelmä Reaaliluvun b-kantakehitelmä. Lause.5. Olkoot b Z ja x R, 0 x <. Tällöin esitys x = n= x n b n, 0 x n b, x n N, (7) joka on yksikäsitteinen mikäli vaaditaan, että jokaista N Z + kohti sellainen luku k Z N että x k = b. Merkintä. 0, x x... = (0, x x...) b = x b + x b +... (8) a m...a 0, x x... = (a m...a 0, x x...) b = (9) a m b m a b + a 0 b 0 + x b + x b +... Todistus. Kaikilla y R pätee (katso Lukuteoria I) Asetetaan y 0 = x ja palautuskaavat 0 y y <. (0) x k+ = by k ; () y k+ = by k x k+ k N. () Tällöin x = by 0 = bx (3) 6
8 ja Edelleen ja Vastaavasti ja siten Edelleen missä 0 x = bx bx < b 0 x b. (4) y = by 0 x = bx bx 0 y < (5) x = y 0 = x b + y b. (6) y = x b + y b (7) x = y 0 = x b + x b + y b. (8) x = x b + x b x n b + y n, (9) n bn 0 x i b, 0 y i < i =,..., n. (0) Olkoon missä on kasvava ja rajoitettu. Siten x = X n + y n, () bn X n = x b + x b x n b n () lim X n = n= x n b n (3) ja edelleen lim X n = x. (4) Lauseen.5 yleistyksenä saadaan. 7
9 Lause.6. Olkoot {b, b,...} Z ja x R, 0 x <. Tällöin esitys x = n= c n b b n, 0 c n b n, c n N. (5) Lauseen.6 erikoistapauksena saadaan Cantor tyyppinen esitys. Lause.7. Olkoon x R, 0 x <. Tällöin esitys x = n= Esimerkki. Määrätään luvuille esitykset (6). d n n!, 0 d n n, d n N. (6) e, /e (7)..4 Rationaaliluvun b-kantakehitelmä Määritelmä.. Esitys x = 0, x x... (8) on päättyvä, jos sellainen M Z +, että x k = 0, k Z M. (9) Esitys (8) on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että x n+l = x n, n Z N+, (30) missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä x = 0, x x... = 0, x...x N x N+...x N+L = 0, x...x N x N+...x N+L x N+...x N+L..., (3) missä N on alkutermin pituus. Jos N = 0 eli alkutermiä ei ole, niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. 8
10 Huomaa, että päättyvä esitys on jaksollinen. Esimerkki. a) b =. b) b = 0. 7 = (0, ) = (0, 00). 3 7 = 0, 4857, 7 = 0, 8574, 6 = 0, 8574, = 0, 5748, 5 7 = 0, 7485, = 0, Lause.8. Olkoot b Z ja x R, 0 x <. A). Jos ja niin esitys (7) on päättyvä. x = r s, r s, s = h i= p v i i, p i P, v i Z +, (3) h p i b, (33) i= B). Jos reaaliluvun x esitys (7) on päättyvä, niin x = r s, r s, s = h i= p v i i, p i P, v i Z +, (34) missä Ehto (33) lyhemmin h p i b. (35) i= p s p b, p P. (36) Määritelmä.. Olkoot n Z, b Z ja b n. Luvun b kertaluku ord n b, on pienin luku k Z +, jolle pätee b k (mod n). (37) 9
11 Olkoon b Z n ja b = {b k k N} (38) alkion b generoima syklinen aliryhmä. Tällöin ord n b = # b. (39) Koska aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, niin ord n b #Z n = φ(n). (40) Tarkemmin kurssilla Lukuteoria A. Esimerkki 3. n = 7, b = 0, 0 = 3 Z 7. ord = φ(7). (4) Lasketaan siis joten 3 0 =, 3 = 3, 3 =, 3 3 = 6, (4) ord ord 7 0 = 6. (43) Lause.9. Olkoot b Z ja x R, 0 x <. A). Jaksollinen esitys on rationaalinen eli x = 0, x...x N x N+...x N+L = r, r s. (44) s B). Rationaaliluvun x = r/s esitys on jaksollinen (tai päättyvä) eli r s = 0, x...x N x N+...x N+L. (45) C). Olkoot x = r, r s, s = T U, U b; (46) s p T p b, p P; (47) 0
12 ord U b = L; (48) ja luku N N on pienin, jolle pätee T b N. (49) Tällöin jakson pituus on L ja alkutermin pituus N. Huom: Jos T =, niin N = 0, jolloin alkutermiä ei ole ja kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Todistus. A. Esitetty luennolla. B+C. Tapaus x = 0 = 0/ suora. Olkoon sitten 0 < x <. Ehdon (49) nojalla b N = T V, jollakin V Z +. (50) Siten missä jakoalgoritmin nojalla b N x = T V r T U = rv U = cu + d U, (5) rv = cu + d, 0 d U, c, d N. (5) Oletuksista saadaan vielä d U ja 0 c < b N, joten b N x = c + d U, d U, 0 c < bn. (53) a) Tapaus U =. Nyt s = T, jolloin ehdon (47) nojalla p s = T p b, p P. (54) Lauseen.8 kohdan A. nojalla esitys on päättyvä. b) Tapaus U. Oletuksen (48) nojalla b L (mod U), (55)
13 joten on olemassa sellainen a N, että saadaan eräänlainen palautuskaava Olkoon b L d U = ( + au)d U = d U + ad. (56) d U = d n b, 0 d n n b, d n N, (57) n= luvun d/u Lauseen.5 mukainen yksikäsitteinen kantakehitelmä. Sijoitetaan kehitelmä (57) kaavaan (56), jolloin saadaan d b L d L b 0 + d L+ b + d L+ b + d L+3 b = (58) ad + d b + d b + d 3 b (59) Vertaamalla vastinpotenssien kertoimia (kantakehitelmien yksikäsitteisyyden nojalla) saadaan d = d L+, d = d L+, d 3 = d L+3,... (60) eli d L+j = d j j =,,..., (6) ja siten luvun d/u kantakehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Edelleen yhtälön (53) nojalla missä x = c b N + b N d U, (6) c = c K b K c 0, K < N. (63) Niinpä x = x b x N b N + d b (N+) + d b (N+) d L b (N+L) + d b (N+L+) + d b (N+L+) d L b (N+L) +... = 0, x...x N d...d L. (64)
14 3 Irrationaaliluvuista Määritelmä 3.. Luku α C Q on irrationaalinen. (Myös ei-rationaaliset p-adiset (p P) luvut ovat irrationaalisia eli luku α C p Q on irrationaalinen, missä C p on kompleksilukujen kuntaa C vastaava padisten lukujen kunta.) Monesti tyydytään suppeampaan määritelmään: Luku α R Q on irrationaalinen. Esimerkki 4. 5 / Q, i = / Q. (65) Tämä yleistyy tulokseksi Lause 3.. Olkoon D Z neliövapaa. Tällöin D / Q. (66) Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Lause 3.. Olkoot n Z 3 ja r Q +. Tällöin n + rn / Q. (67) Todistus, joka perustuu Wilesin tulokseen, kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Esimerkki 5. Todistus. Jos olisi log log 3 / Q. (68) log log 3 = a b, a, b Z+, (69) 3
15 niin b = 3 a 3 a 3 (70) mikä on mahdotonta. Esimerkki 6. log / Q. (7) Todistus huomattavasti vaikeampi kuin Esimerkissä 5. Todistetaan myöhemmin ketjumurtolukujen avulla. Tiedetään, että Neperin luvulle e pätee ( e = lim + n = n n) Lause 3.3. Neperin luku e on irrationaalinen. k=0 Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). k!. (7) Lauseeseen.9 nojautuen saadaan hyödyllinen irrationaalisuuskriteeri, jos luvulle τ tunnetaan jokin b-kantakehitelmä. Lause 3.4. Jos luvun τ kantakehitelmä on jaksoton eli τ = (a, τ...τ N τ N+...τ N+L ) b, (73) niin τ / Q. Esimerkki 7. a) τ = 0, / Q. (74) b) Olkoon b Z. Tällöin n=0 b (n+ ) / Q. (75) 4
16 4 Ketjumurtoluvut Äärellisellä ketjumurtoluvulla (finite continued fraction) tarkoitetaan rationaalilauseketta b + a a b an bn jolle käytetään seuraavia merkintöjä ( ) ak = a K n k= b k b + a, (76) a n b.... (77) + + b n Luvut a n ovat ketjumurtoluvun osaosoittajia ja luvut b n osanimittäjiä. Lause 4.. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+ = b n+ A n+ + a n+ A n, (78) B n+ = b n+ B n+ + a n+ B n (79) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + a ja B = b. Tällöin ( ) b 0 + K n ak k= = A n n N, (80) B n kunhan B n = 0. Todistus. Induktiolla. n = 0, jolloin n =, jolloin b k V.P. = b 0 = b 0 = A 0 B 0 = O.P.. (8) V.P. = b 0 + a b = b 0b + a b = A B = O.P.. (8) Induktio-oletus: Väite pätee, kun n = 0,,..., l, jolloin b 0 + a b + a a l b... = A l = b la l + a l A l. (83) + + b l B l b l B l + a l B l 5
17 Korvataan b l muuttujalla x ja merkitään jolle kohdan (83) nojalla pätee K(x) = b 0 + a b + a b a l x, (84) K(x) = xa l + a l A l xb l + a l B l, (85) kunhan x = 0 ja nimittäjä = 0. Siten kohdista (84) ja (85) seuraa K(b l + a ( ) l+ ) = b 0 + K l+ ak k= = b l+ b k ( ) b l + a l+ b l+ A l + a l A l ( ) = b l + a l+ b l+ B l + a l B l a l+ b l+ A l + b l A l + a l A l a l+ = b l+ B l + b l B l + a l B l a l+ A l + b l+ A l a l+ B l + b l+ B l = A l+ B l+, (86) missä on sovellettu rekursioita (34) ja (343) pariin otteeseen. Siten induktioaskel on osoitettu ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee. Määritelmä 4.. Luku A n /B n on äärettömän ketjumurtoluvun ( ) b 0 + K ak k= b k (87) n. konvergentti. Edelleen ketjumurtoluku (87) suppenee, mikäli raja-arvo lim (88) B n n on olemassa. Tällöin sanotaan, että äärettömän ketjumurtoluvun (87) arvo on raja-arvo (88). A n 6
18 Ääretöntä ketjumurtolukua (87) voidaan merkitä myös seuraavilla tavoilla b 0 + a Edelleen käytetään merkintöjä b + a b +... = b 0 + [b 0 ; b,..., b n ] = b 0 + K n k= [b 0 ; b,...] = b 0 + K k= a b + a b +... ( ( Usein tarkastellaan yksinkertaisia ketjumurtolukuja. Määritelmä 4.. Olkoot b k b k. (89) ) ; (90) ). (9) b 0 N, b k Z +, a k =, k Z +. (9) Tällöin ketjumurtoluku [b 0 ; b,..., b n ] = b 0 + K n k= ( ) b k (93) on äärellinen yksinkertainen (simple) ketjumurtoluku ja vastaavasti ( ) [b 0 ; b,...] = b 0 + K k= b k (94) on ääretön yksinkertainen ketjumurtoluku. 4. Yksinkertaiset ketjumurtoluvut 4.. Ketjumurtoalgoritmi Olkoon α R 0 annettu. Muodostetaan lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä [b 0 ; b,...] α (95) 7
19 seuraavalla Ketjumurtoalgoritmilla: α 0 = α; k = 0; (96) α k = α k + {α k }, 0 {α k } < ; (97) b k = α k ; (98) Jos {α k } = 0 STOP; (99) Jos α k+ = {α k } Siten algoritmi alkaa seuraavasti: {α k } > 0 ; (00) GO TO 97 with k = k + ; (0) α 0 = α 0 + {α 0 }, 0 {α 0 } < ; (0) b 0 = α 0 ; (03) Jos Jos {α 0 } = 0 STOP; (04) {α 0 } > 0 ; (05) α = {α 0 } = α + {α }, 0 {α } < ; (06) b = α ;... (07) Huom. Hyödyllisiä identiteettejä: [b 0 ; b,..., b m ] = b 0 + α k = b k + [b ; b,..., b m ] ; (08) {α k+ } ; (09) α = [b 0 ; b,..., b m, b m + {α m }] = [b 0 ; b,..., b m, α m+ ]. (0) 8
20 Esimerkki 8. Olkoon α = 3, 4. α 0 = α 0 + {α 0 } = 3 + 4/00; () b 0 = α 0 = 3; () {α 0 } = 4/00 > 0 ; (3) α = {α 0 } = α + {α } = 7 + /7; (4) b = α = 7; (5) {α } = /7 > 0 ; (6) α = {α } = α + {α } = 7 + 0; (7) b = α = 7; (8) {α } = 0 STOP; (9) ja siten [b 0 ; b,...] 3,4 = [3; 7, 7]. (0) Huom. Tärkeä. Numeriirisessa laskennassa desimaaliluvut katkaistaan, jolloin katkaistu esitys kannattaa heti kirjoittaa murtoluvuksi. Tällöin algoritmissa vältytään pyöristysvirheiltä. 4. Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 4.. Äärellisen yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo on rationaaliluku eli [b 0 ; b,..., b m ] Q b 0 N, b,..., b m Z +. () Todistus (Laskarit) induktiolla käyttäen kaavaa (08). 9
21 Lause 4.3. Positiivinen rationaaliluku r/s Q + voidaan esittää äärellisenä yksinkertaisena ketjumurtolukuna eli sellaiset kokonaisluvut b 0 N, b,..., b m Z +, että Lisäksi rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b,..., b m ]. () r s = [b 0; b,..., ] (3) oleva esitys. Edelleen rationaaliluvun kaikki esitykset ovat äärellisiä. Todistus. Eukleideen algoritmi (Lukuteoria I/Algebra I): r 0 = r, r = s r 0 = b 0 r + r 0 r < r. r k = b k r k+ + r k+. r m = b m r m + r m+ m N : r m+ = 0, r m+ = 0 0 r k+ < r k+ 0 r m+ < r m r m = b m r m+ r m+ = syt(r, s). Nyt r/s = α 0 ja α 0 = r 0 r = b 0 + r r = α 0 + {α 0 }, (4) 0 {α 0 } = r r < ; (5) α = {α 0 } = r r = b + r 3 r = α + {α }, (6) 0 {α } = r 3 r < ; (7) 0
22 ... α k = r k r k+ = b k + r k+ r k+, (8) α k+ = {α k } = r k+ r k+, (9)... Siten ja Jos b m, niin α m = r m r m α m = {α m } = = b m + r m+ r m, (30) r m r m+ = b m + 0. (3) {α m } = 0 (3) r s = [b 0; b,..., b m ]. (33) r s = [b 0; b,..., b m ] = [b 0 ; b,..., b m, ]. (34) Siten rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b,..., ] (35) oleva esitys. Edelleen, Eukleideen algoritmin pituus on äärellinen, joten esitykset ovat äärellisiä. Lauseen 4. erikoistapauksena saadaan n. konvergentti laskettua seuraavien rekursioiden (36) ja (37) avulla.
23 Lause 4.4. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+ = b n+ A n+ + A n, (36) B n+ = b n+ B n+ + B n (37) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + ja B = b. Tällöin [b 0 ; b,..., b n ] = A n B n n N. (38) Lause 4.5. Olkoon (F n ) on Fibonaccin lukujono. Tällöin B n F n+ Lause 4.6. Determinanttikaavat. ( ) n 5 + n Z +. (39) A n+ B n A n B n+ = ( ) n n N. (40) A n+ B n A n B n+ = b n+ ( ) n n N. (4) Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (36) ja (37). Seuraus 4.. Seuraus 4.. kaikilla k, h N. A n+ B n+ A n B n = ( )n B n B n+ n N. (4) A n+ B n+ A n B n = b n+( ) n B n B n+ n N. (43) A 0 B 0 < A B < A 4 B 4 <... < A k B k < (44) < A h+ B h+ <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A B. (45) Todistus. Tuloksen (43) nojalla A k+ B k+ A k B k = b k+ B k B k+ > 0 k N (46)
24 mikä todistaa epäyhtälöt (44). Samaten tuloksen (43) nojalla mikä todistaa epäyhtälöt (45). A h+3 B h+3 A h+ B h+ = b h+ B h+ B h+3 < 0 h N (47) Tutkitaan vielä epäyhtälöketjujen (44) ja (45) välistä epäyhtälöä. a) Tapaus h k. Tällöin b) Tapaus h < k. Tällöin Siten A h+ B h+ A k B k = A h+ B h+ A h B h + A h B h A k B k 4 = (48) A h+ B h+ A k B k B h B h+ + A h B h A k B k 45 > A k+ A k 4 = B k+ B k 44 > 0. (49) B k B k+ > 0. (50) Lause 4.7. A h+ B h+ A k B k > 0 h, k N. (5) A n A n+, B n B n+, (5) A n B n n N. (53) Huom 3. Tuloksen (53) nojalla konvergentit An B n olevia rationaalilukuja. ovat supistetussa muodossa 4.3 Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 4.8. Olkoon [b 0 ; b,..., b n ] = A n B n, b 0 N, b,..., b m Z +, (54) 3
25 äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b,...] konvergenttijono. Tällöin lim = τ, τ R +, (55) B n n A n ja 0 < τ A m < m N. (56) B m B m+ B m Todistus. Tuloksien (44) ja (45) nojalla jono ( A k B k ) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Vastaavasti jono ( A h+ B h+ ) on vähenevä ja alhaalta rajoitettu. Täten lim = α, (57) B k k A k lim = α. (58) B h+ h Yhtälöstä (39) ja (4)saadaan A h+ 0 < A k+ B k+ A k B k = F k+ F k+ Edelleen raja-arvona saadaan A k+ A k 0 lim lim lim k B k+ k B k k B k B k+ (59) ( ) 4k 5 k Z +. (60) ( ) 4k 5, (6) josta α = α. (6) Siten lim = α = α. (63) B n n A n Merkitään vielä τ = α = α. Tällöin (Laskarit) 0 < A k B k < τ < A k+ B k+, (64) 4
26 mistä saadaan τ > 0 ja edelleen Vastaavasti 0 < τ A k B k < 0 < A k+ B k+ τ < B k B k+ k N. (65) B k+ B k+ k N. (66) Siispä 0 < τ A m B m < m N. (67) B m B m+ Lause 4.9. Olkoon [b 0 ; b,..., b n ] = A n B n, n N, (68) äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b,...] = τ konvergenttijono. Tällöin ja Edelleen kaikilla m N. b m+ B m B m+ < τ = b 0 + n=0 ( ) n B n B n+ (69) τ A m < m N. (70) B m B m+ B m (b m+ + )B m < τ A m < Huom 4. Usein arvion (70) sijasta käytetään väljempää arviota (7). n=0 B m B m (7) Todistus. Summataan yhtälö (4) puolittain, jolloin m ( An+ A ) m n ( ) n = (7) B n+ B n B n B n+ ja siten m A m ( ) n = b 0 +. (73) B m B n=0 n B n+ Raja-arvona saadaan (69). Edelleen τ A m B m = n=m n=0 ( ) n B n B n+, (74) 5
27 missä alternoivan summan ominaisuuksilla saadaan < B m B m+ B m+ B m+ τ A m <. (75) B m B m+ B m Vielä B m B m+ B m+ B m+ = B m+ B m B m B m+ B m+ = b m+ B m B m+. (76) Lause 4.0. Äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo τ on irrationaalinen eli b 0 N, b, b,... Z + pätee τ = [b 0 ; b,...] / Q. (77) Todistus. Aluksi, Lauseen 4.8 nojalla τ R +. I tapa. Lauseen 4.3 nojalla rationaaliluvun esitys on päättyvä, joten päättymättömän arvo ei voi olla rationaalinen. II tapa. Vastaoletus [b 0 ; b,...] = τ = r/s Q +, r, s Z +. (78) Tuloksen (65) nojalla 0 < r s A k B k < B k B k+ k Z + (79) Täten Koska niin 0 < rb k sa k s B k+ k Z +. (80) rb k sa k Z +, (8) rb k sa k s B k+ k Z +. (8) 6
28 Tuloksen (39) nojalla on olemassa sellainen k Z +, että joka johtaa ristiriitaan. Lause 4.. Olkoon α R Q, α > 0 annettu ja olkoon s B k+ <, (83) [b 0 ; b,...] α (84) Ketjumurtoalgoritmilla muodostettu lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä. Tällöin α = [b 0 ; b,...] α. (85) Todistus. Olkoon ketjumurtolukuun [b 0 ; b,..., b k ] = A k B k (86) [b 0 ; b,...] α (87) liittyvä konvergenttijono. Toisaalta ketjumurtoalgoritmin nojalla α = [b 0 ; b,..., b m, α m ] = A m B m, (88) missä A m = α m A m + A m, Bm = α m B m + B m. (89) Lasketaan seuraavaksi B m Am A m Bm = B m (α m A m + A m ) A m (α m B m + B m ) = α m (A m B m A m B m ) + A m B m A m B m = ( ) m (α m b m ) = ( ) m {α m }. (90) 7
29 Siten α A m = A m A m B m = B m B m {α m } 0. (9) B m B m m Lause 4.. Olkoot b 0, c 0 N, b, c, b, c,... Z + ja [b 0 ; b,...] = [c 0 ; c,...], (9) tällöin b k = c k k N. (93) Siten irrationaaliluvun yksinkertainen ketjumurtokehitelmä on yksikäsitteinen. Huom 5. Tarkastellaan ääretöntä yksinkertaista ketjumurtolukua jonka konvergenttijonolle pätee sillä rekursiot [,,,...] = [b 0, b,...], (94) [b 0, b,..., b m ] = A m B m = F m+ F m+, (95) A k = A k + A k, B k = B k + B k k =, 3,..., (96) antavat Fibonaccin jonoja. Koska nämä rekursiot osataan ratkaista (Lukuteoria I) eli ( F k = ) k ( ) k 5, (97) niin raja-arvokin lim m saadaan kivuttomasti. Niinpä A m B m = lim m F m+ F m+ = 5 + (98) [,,,...] = 5 +. (99) 8
30 Yleensä, kuitenkin, rekursioitten ratkaiseminen on vaikeampaa, jolloin voidaan soveltaa esimerkiksi seuraavaa menettelyä. Lauseen 4.8 nojalla ketjumurtoluvun (94) arvo, olkoon se τ. Tällöin τ = [,,,...] = [, τ], τ R >, (00) joten τ = τ, τ =. (0) 4.4 Toisen asteen algebralliset luvut Määritelmä 4.3. Luku α C on toisen asteen algebrallinen luku, mikäli on olemassa sellaiset rationaaliluvut a, b Q, D Z, että α = a + b D, D / Q. (0) Luku α = a b D (03) on luvun α liittoluku. Toisen asteen algebralliset luvut (0) muodostavat. asteen neliökunnan Q( D) = {a + b D a, b Q}. (04) Huom 6. Konjugointi eli liittoluvun ottaminen h(α) = α = a b D, h : Q( D) Q( D), (05) on rengasmorfismi ( laskutoimitusta). Tällöin saadaan esimerkiksi α n = α n, nα = nα n Z; (06) α/β = α/β α, β Q( D). (07) 9
31 Lause 4.3. Olkoon α C toisen asteen algebrallinen luku, tällöin on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, että Aα + Bα + C = 0. (08) Määritelmä 4.4. Toisen asteen algebrallinen luku α C Q on toisen asteen irrationaaliluku eli α = a + b D, b = 0, D / Q. (09) Lause 4.4. Luku α C Q on toisen asteen irrationaaliluku, mikäli on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, A = 0, että Aα + Bα + C = 0. (0) 4.5 Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Määritelmä 4.5. Yksinkertainen ketjumurtoluku [b 0 ; b,...] () on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että b n+l = b n, n Z N, () missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä [b 0 ; b,...] = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L ] = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L, b N,..., b N+L,...] (3) Jos [b 0 ; b,...] = [b 0,..., b L ], (4) niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. 30
32 Esimerkki 9. Esimerkki 0. Esimerkki. Esimerkki. [] = + 5 (5) [] = +, [, ] =. (6) [3, 3, 6] =. (7) [0, 0] = 0. (8) Lause 4.5. Euler. Yksinkertainen päättymätön jaksollinen ketjumurtoluku on reaalinen toisen asteen irrationaaliluku. α = [b 0 ; b,..., b N, c 0,..., c L ] (9) Todistus. Merkitään jolloin β = [c 0,..., c L ], (0) α = [b 0 ; b,..., b N, β]. () Olkoon (C n /D n ) kehitelmän (0) konvergenttijono, tällöin Jaksollisuuden nojalla missä β = [c 0,..., c L, β] = C L D L, () C L = βc L + C L, DL = βd L + D L (3) ja C k = c k C k + C k, D k = c k D k + D k (4) kaikilla k =,..., L. Siten β = βc L + C L βd L + D L, (5) 3
33 josta D L β + (D L C L )β C L = 0. (6) Niinpä β on. asteen irrationaaliluku ja β Q( D), jollakin D Z (määrää D). Edelleen missä α = [b 0 ; b,..., b N, β] = A N B N, (7) A N = βa N + A N, BN = βb N + B N (8) ja A k = b k A k + A k, B k = b k B k + B k (9) kaikilla k =,..., N. Siispä Siten α on. asteen irrationaaliluku. α = βa N + A N βb N + B N Q( D). (30) Esimerkki 3. Sovelletaan äskeisen todistuksen menetelmää ketjumurtolukuun α = [, 3, 8,,,, 4]. (3) Nyt ja siten missä C 0 D 0 =, β = [,,, 4] (3) β = [,,, 4, β] = C 4 D 4, (33) C D =, C 0 = D 0 = D =, C =, (34) C = c C + C 0 = 3, C 3 = c 3 C + C = 4, (35) D = c D + D 0 =, D 3 = c 3 D + D = 9, (36) C 4 = βc 3 + C = 4β + 3, D4 = βd 3 + D = 9β +. (37) 3
34 Niinpä ja siten Edelleen β = 4β + 3 9β +, 3β 4β + = 0, (38) β = + 7. (39) 3 α = [, 3, 8, β] = A 3 B 3, (40) A 0 =, B 0 =, A = 7, B = 3, A = 58, B = 5, (4) A 3 = βa + A = 58β + 7, B3 = βb + B = 5β + 3, (4) Sievennä vielä α:n lauseke. α = 58β + 7 5β + 3 Q( 7). (43) Lemma 4.. Kun α = [b 0, b,..., b n, α n ], niin α = α na n + A n α n B n + B n (44) α n = αb n A n αb n A n. (45) Lemma 4.. Olkoot a, b Q, D Z. Tällöin luku α = a + b D Q( D) voidaan esittää muodossa α = P + d Q, Q P d, P, Q, d Z. (46) Lause 4.6. Lagrange. Reaalisen neliökunnan positiivisen irrationaaliluvun α ketjumurtoesitys on jaksollinen. Todistus. Aluksi Lemman 4. nojalla saadaan esitys α 0 = α = P 0 + d Q 0, Q 0 P 0 d, P 0, Q 0, d Z. (47) Käytetään seuraavaksi ketjumurtoalgoritmia (96) (0). Ensin α 0 = α 0 + {α 0 } = b 0 + {α 0 }, (48) 33
35 missä Siten missä Tässä joten Edelleen pätee 0 < {α 0 } = P 0 b 0 Q 0 + d Q 0 <. (49) α = {α 0 } = P + d, (50) Q P = b 0 Q 0 P 0, Q = d P Q 0. (5) Q 0 P d, (5) P, Q Z. (53) Q P d. (54) Seuraavaksi jatketaan algoritmin mukaisesti α = α + {α } = b + {α }... (55) ja yleisemmin missä < α n = P n + d Q n, P n, Q n Z, (56) Q n P n d. (57) Algoritmin mukaisesti α n = α n + {α n } = b n + {α n } (58) 0 < {α n } = P n b n Q n + d Q n <. (59) 34
36 missä Tässä joten Edelleen pätee α n+ = {α n } = P n+ + d, (60) Q n+ P n+ = b n Q n P n, Q n+ = d P n+ Q n. (6) Q n P n+ d, (6) P n+, Q n+ Z. (63) Q n+ P n+ d. (64) Seuraavaksi osoitetaan, että jonot (P k ) ja (Q k ) ovat rajoitettuja. Tarkastellaan lauseketta missä Harjoitustehtävän 8d nojalla ja α n α n = P n d Q n = (65) αb n A n αb n A n αb n A n αb n A n = G n G n, (66) G n = αb n A n αb n A n < 0 n Z + (67) G n = α A n B n B n (68) α A n B B n n Koska α = α, niin on olemassa sellainen n, että α A k B k < < d = α α (69) Bk kaikilla k K = n. Tällöin, joko α A k B k < 0 tai α A k B k > 0 (70) 35
37 kaikilla k K. Siten G k > 0 α k α k = P k d Q k = G k G k < 0, (7) josta P k < d d < P k < d k K. (7) Edelleen yhtälöstä (56) ja (7) nähdään, että Q k Q k Q k Q k+ = d P k+ d (73) Q k d k K. (74) Olkoon B = {(S, T ) Z S d, T d}, (75) jonka mahtavuudelle pätee #B = M <. Välittömästi saadaan, että A = {(P k, Q k ) Z k = K, K +,...} B. (76) Siten joillakin 0 l < h M, pätee (P K+l, Q K+l ) = (P K+h, Q K+h ). (77) Merkitään L = h l, jolloin α K+l = α K+L+l α K+l+ = α K+L+l+,... (78) Merkitään vielä N = K + l, jolloin b N+j = b N+L+j j = 0,,... (79) ja siten α = P + d Q = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L ]. (80) 36
38 Esimerkki 4. Olkoon d Z +. Tällöin d + = [d, d]. (8) Määritelmä 4.6. Toisen asteen irrationaaliluku α Q( D) on redusoitu, jos α = a + b D >, ja < α = a b D < 0. (8) Lause 4.7. Toisen asteen positiivinen irrationaaliluku α Q( D) on redusoitu täsmälleen silloin, kun sen ketjumurtoesitys on puhtaasti jaksollinen. Tarkemmin: α >, ja < α < 0 (83) α = [b 0,..., b L ] (84) α = [b L,..., b 0 ]. (85) Lause 4.8. Olkoot D Z, D / Q ja A = D. Tällöin D = [A, b, b,..., b, b, A]. (86) Todistus. Aluksi Joten A = b 0 = D, A + D = A. (87) D = [b0 ; b, b,...] = [A; b, b,...] (88) ja Edelleen α = A + D = [A; b, b,...]. (89) α = A D = ( D D ), < α < 0 (90) eli α on redusoitu. Siten tuloksen (84) nojalla α = A + D = [A, b,..., b L ] (9) 37
39 D = [A, b,..., b L, A, b,..., b L, A,...] (9) eli D = [A, b,..., b L, A], (93) mistä saadaan D A = [0, b,..., b L, A]. (94) Tuloksen (85) nojalla josta Harjoitustehtävä 7a:n nojalla α = D A = [b L,..., b, A]. (95) D A = [0, bl,..., b, A]. (96) Verrataan vielä esityksiä (94) ja (96), joista saadaan b L = b, b L = b,... (97) ja siten D = [A, b, b,..., b, b, A]. (98) Esimerkki 5. 3 = [3,,,,, 6]. (99) 3 = [5,,, 3, 5, 3,,, 0]. (300) Huom 7. Jaksollinen jono on rajoitettu ja erityisesti ylöspäin rajoitettu. Lause 4.9. Neperin luku e ei ole neliöllinen irrationaaliluku eli e / Q( D) D Z. (30) Todistus. Myöhemmin, Seuraus.4 todistetaan, että e = [,,,,, 4,,, 6,,...] = [,, k, ] k=. (30) 38
40 5 Paras approksimaatio Määritelmä 5.. Olkoon α R Q. Rationaaliluku r/s Q on α:n paras approksimaatio, jos missä u s. sα r < uα t t/u Q {r/s}, (303) Parhaalle approksimaatiolle pätee α r < s α t u. (304) Siispä, jos α t α u r, (305) s niin u > s. Siten luvun α paras approksimaatio on sellainen rationaaliluku r/s, että kaikilla lukua α lähempänä olevilla rationaaliluvuilla on suurempi nimittäjä. Lause 5.. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos niin u B k+. uα t < B k α A k, (306) Todistus. Induktiolla. Olkoon lauseen väite voimassa kaikilla k l. Niinpä voidaan olettaa, että u B l+. Olkoon k = l + ja Vastaoletus: u < B l+. Siten B l+ u < B l+ ja Lauseen 4.7 mukaan uα t < B l+ α A l+. (307) B l+ B l+ s, t Z (308) joille pätee = sb l+ + tb l+, st < 0, a, b Z (309) 39
41 ja Asetetaan lisäksi u = ab l+ + bb l+, ab < 0. (30) t = aa l+ + ba l+, ab < 0. (3) Tällöin uα t = a(b l+ α A l+ ) + b(b l+ α A l+ ) = ax + by, (3) missä (laskarit) XY = (B l+ α A l+ )(B l+ α A l+ ) < 0. (33) Katsomalla merkkikombinaatiot saadaan kaikissa tapauksissa. Täten Ristiriita. ax > 0 by > 0 ja ax < 0 by < 0 (34) uα t = a X + b Y X + Y = (35) B l+ α A l+ + B l+ α A l+ > B l+ α A l+. (36) Lause 5.. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos α r < s α A k (37) niin s > B k. Lause 5.3. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos α r < s s, (38) niin jollakin k. B k r s = A k B k, (39) 40
42 Todistus. Olkoon r s = A l B l l sa l rb l l. (30) Koska jono (B k ) on aidosti kasvava, niin on olemassa sellainen k, että Siten Lauseen 5. ja oletuksen (38) mukaan Toisaalta mistä saadaan s < B k. Ristiriita. B k s < B k+. (3) B k α A k sα r < (3) s α A k <. (33) sb k B k sa k rb k sb k sb k = r s A k B k (34) α r + s α A k < + sb k s, (35) Lause 5.4. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin α A k < tai Todistus laskareissa. B k B k B k α A k+ < B k+ B k+ (36). (37) 6 Sovelluksia 6. Diofantoksen yhtälöitä Yleensä, Diofantoksen yhtälöt ovat kokonaislukukertoimisia polynomi- ja/tai eksponenttiyhtälöitä, joihin haetaan kokonaislukuratkaisuja. 4
43 Määritelmä 6.. Olkoon d Z, d / Q. Yhtälö on Pellin yhtälö. x dy = (38) Lause 6.. Olkoon d Z, d / Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos x, y Z + on Pellin yhtälön (38) ratkaisu, niin jollakin k N. Todistus. Yhtälön (38) mukaan x y = A k B k, (39) (x y d)(x + y d) = x y > d; (330) x y d = x + y d. (33) Niinpä x y d = y (x/y + d) < y, (33) joten Lauseen 5.3 nojalla x y = A k, B k (333) jollakin k N. Esimerkki 6. Tutkitaan yhtälöä x y =. (334) Aluksi laskemalla konvergentteja nähdään, että (x, y) = (3, ) ja (x, y) = (7, ) ovat ratkaisuja. Muodostetaan lisäratkaisuja asettamalla β n = x n + y n = (3 + ) n. (335) Tällöin β n β n = x n y n = (3 ) n =. (336) 4
44 Täten jokainen (x n, y n ) on ratkaisu, joilla on seuraava esitysmuoto Määrää vielä rekursiot luvuille x n ja y n. x n = ((3 + ) n + (3 ) n ), (337) y n = ((3 + ) n (3 ) n ). (338) 7 Yleiset ketjumurrot Kerrataan, että Lauseen 4. nojalla ketjumurron konvergentit b 0 + a b + a b +... b 0 + K n k= saadaan laskettua rekursioilla b 0 + K k= ( ak b k = b 0 + a ) ( ak b k b + ) a b +... = (339) (340) = A n B n n N, (34) A n+ = b n+ A n+ + a n+ A n, (34) B n+ = b n+ B n+ + a n+ B n (343) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + a ja B = b. Lause 7.. A n+ B n A n B n+ = ( ) n a a n+ n N. (344) A n+ B n A n B n+ = ( ) n b n+ a a n+ n N. (345) Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (34) ja (343). 43
45 Seuraus 7.. A n+ B n+ A n B n = ( )n a a n+ B n B n+ n N. (346) Todistus laskareissa. A n+ B n+ A n B n = ( )n b n+ a a n+ B n B n+ n N. (347) Seuraus 7.. Olkoot a k, b k R +, tällöin A 0 B 0 < A B < A 4 B 4 <... < A k B k < (348) kaikilla k, h N. < A h+ B h+ <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A B. (349) Todistus laskareissa. 8 Suppenemistarkasteluja 9 Suppenemisehtoja Lause 9.. Olkoot a k, b k C. Ketjumurtoluku ) ( K ak k= b k (350) suppenee, jos b k a k + k Z +. (35) Lause 9.. Olkoot b k C, 0 < ε < π/ ja π + ε < arg b k < π ε k Z+. (35) Tällöin ketjumurtoluku ( ) K k= b k (353) 44
46 suppenee, jos b k =. (354) k= Lause 9.3. Olkoot a k, b k R +. Ketjumurto ) ( K ak k= b k (355) suppenee, jos a a n+ B n B n+ 0, (356) ja erityisesti, jos b n+ n i= b i n+ i= a i. (357) Todistus. Edetään kuten Lauseen 4.8 todistuksessa. Nyt yhtälön (346) mukaan pätee Täten suppenemiseen riittää tulos 0 < A k+ B k+ A k B k = a a k+ B k B k+. (358) Rekursion nojalla a a n+ B n B n+ 0. (359) B k+ = b k+ B k+ + a k+ B k > b k+ B k+, (360) joten Siispä B k > b k b. (36) Esimerkki 7. a a n+ B n B n+ < K k= a a n+ b b n b b n+ 0. (36) ( ) k R +. (363) k + 45
47 Myöhemmin todistetaan vielä, että Esimerkki 8. Ketjumurto suppenee. arctan = + K k= ( k ) (364) k+ π 4 =. (365) K k= ( ) + i (366) Esimerkki 9. Ketjumurto suppenee. K k= ( ) i (367) Esimerkki 0. Milloin ketjumurto b + a b + a b +... (368) suppenee? Esimerkki. τ = suppenee aikaisempien tulosten nojalla. Joten saadaan yhtälö (369) τ = 3 + τ τ = tai (370) mutta kumpi?? Toisaalta esimerkkien (8 ) suppenemista voidaan tutkia myös ratkaisemalla konvergenttien osoittajonot ja nimittäjäjonot rekursioista ja laskemalla konvergenttijonon raja-arvo. 46
48 9. Rekursioitten ratkaisemista Jono (w n ) on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio w n = 0. Määritelmä 9.. Olkoot r, s C, s = 0. Ei-triviaalia jonoa (w n ), joka toteuttaa palautuskaavan w n+ = rw n+ + sw n, n N (37) sanotaan Lucasin jonoksi. Ratkaistaan rekursio (37) yritteellä w n = x n, x C. (37) Rekursiosta (37) saadaan x rx s = 0, (373) jonka ratkaisut ovat Määritelmä 9.. Polynomi α = r + r + 4s, β = r r + 4s. (374) K(x) = K w (x) = x rx s = (x α)(x β) (375) on rekursion (37) karakteristinen polynomi. Lause 9.4. Olkoot a, b C. Tällöin on rekursion (37) ratkaisu. w n = aα n + bβ n (376) Olkoon r + 4s = 0, tällöin α = β. Siten rekursion (37) kaikki ratkaisut ovat muotoa (376), joillakin a, b C, jotka riippuvat jonon (w n ) alkuarvoista w 0, w. Esimerkki. Ketjumurron b + a b + a b +... (377) 47
49 konvergenteille pätee A k+ = ba k+ + aa k, B k+ = bb k+ + ab k, (378) joiden karakteristinen yhtälö on x bx a = (x α)(x β). (379) missä α = b + b + 4a Siten rekursioitten (378) yleiset ratkaisut ovat, β = b b + 4a. (380) A k = tα k + uβ k, B k = vα k + wβ k, (38) missä t, u, v, w saadaan alkuarvoyhtälöistä A 0 = tα 0 + uβ 0, A = tα + uβ, (38) B 0 = vα 0 + wβ 0, B = vα + wβ. (383) Tapaus a, b R, b + 4a > 0, α > β. Tällöin A k B k = t + u(β/α)k v + w(β/α) k t k v (384) ja siten b + a a b + b = t +... v. (385) Esimerkki 3. Ratkaisemalla rekursiot ja määräämällä raja-arvo saadaan vastaus aikaisemman Esimerkin kysymykseen. τ = = (386)
50 0 Irrationaalisuusehtoja Määritelmä 0.. Ketjumurron τ = K n= ( an b n ), (387) häntä on ketjumurto τ k = K n=k ( an b n ). (388) Hännille pätee palautuskaava τ k = a k b k + τ k+. (389) Huom 8. Mikäli ketjumurron (387) kaikki hännät suppenevat, niin tällöin pätee: A) B) Olkoot a k, b k Q, a k = 0 kaikilla k. Tällöin τ k = 0 a k = 0. (390) Lause 0.. Olkoot a k, b k Z +. Jos τ Q τ k Q k Z +. (39) a k b k k Z +, (39) niin Lause 0.. Olkoot a k, b k Z. Jos ( K an n= b n ) / Q. (393) a k < b k k Z +, (394) ja τ k = k Z +, (395) niin ( K an n= b n ) / Q. (396) 49
51 Ennen lauseiden 0. ja 0. todistusta esitellään ketjumurtojen häntiin liittyvä tulos. Lause 0.3. Olkoot a k, b k Z. Jos 0 < τ k < k Z +, (397) niin ( K an n= b n Todistus. Vastaoletus τ Q. Tällöin ) / Q. (398) Palautuskaavan (389) nojalla joten välttämättä τ k = r k s k, r k Z, s k Z +, r k s k, r k s k k Z +. (399) r k r k+ = s k+ (s k a k b k r k ), (400) s k+ r k s k+ r k k Z +. (40) Edelleen r k+ s k+ r k k Z +. (40) Täten saadaan ääretön aidosti vähenevä jono r > r >... positiivisia kokonaislukuja. Ristiriita. Lauseen 0. todistus. Aluksi todetaan, että kaikki hännät suppenevat, joten τ k < 0 < τ k k Z +. (403) Edelleen 0 < τ k = Sovelletaan vielä Lausetta 0.3. a k b k + τ k+ 403 < a k b k 39. (404) 50
52 Lemma 0.. Olkoot a k, b k Z. Jos a k < b k k Z +, (405) niin τ k k Z +. (406) Todistus. Olkoon n Z + annettu. Oletuksen nojalla 0 < a n <. (407) b n Kuten kohdassa (404) saadaan a n 0 < <,... (408) b n + an b n 0 < a a a n = A n <. (409) Niinpä ja samaten b + b b n B n τ = lim A n B n τ (40) τ k k Z +. (4) Lauseen 0. todistus. Lemman 0. nojalla τ k k Z +. (4) Edelleen kaikkien ehtojen nojalla 0 < τ k < k Z +, (43) joten Lausetta 0.3 käyttämällä saadaan väite. 5
53 Transformaatioita Lause.. Olkoot t k = 0 kaikilla k. Tällöin b 0 + a b + a b +... = (44) eli missä b 0 + t a t t a t t 3 a 3 t b + t b + t 3 b K k= ( ak b k ) = K k= ( ck d k (45) ), (46) d 0 = b 0, c = t a, d = t b, (47) c k = t k t k a k, d k = t k b k, k =, 3,... (48) Todistus. Olkoot (A n /B n ) ja (C n /D n ) ketjumurtojen konvergenttijonot. Näytetään, että C n = t t n A n, D n = t t n B n n =,,... (49) Induktiolla käyttäen rekursioita C n+ = d n+ C n+ + c n+ C n, (40) D n+ = d n+ D n+ + c n+ D n, n = 0,,... (4) Kehitelmiä Seuraavassa tutkitaan lukujen ja funktioiden sarjakehitelmiin liittyviä rekursioita, joiden avulla muodostetaan laajahko luokka ketjumurtokehitelmiä. 5
54 . Hypergeometriset sarjat Pochhammerin symboli määritellään asettamalla blue(a) 0 =, (a) n = a(a + ) (a + n ), (4) jolloin esimerkiksi () n = n! n Z +. (43) Formaalia sarjaa blue A F B ( a,..., a A b,..., b B ) t = n=0 kutsutaan yleistetyksi hypergeometriseksi sarjaksi. blue (a ) n (a A ) n n!(b ) n (b B ) n t n (44) Seuraavassa ei välttämättä tutkita sarjojen suppenemista. Erikoistapauksia: Gauss hypergeometric series F ( a, b c ) t = n=0 (a) n (b) n n!(c) n t n. (45) Geometric series Logarithm series Binomial series: F (, F (, F (, α ) ( t = F 0 ) log( t) t = t ) t = ( t) α = ) t = = n=0 n=0 t n (46) n=0 n + tn (47) ( ) α ( t) n (48) n 53
55 Arcustangent: F (, / 3/ ) t = arctan t t = n=0 ( ) n n + tn+ (49). Hypergeometrinen sarja 0 F Sarjalle pätee palautuskaava josta saadaan Niinpä f(c) = 0 F ( c f(c) = f(c + ) + f(c + k) = f(c + k + ) + Toistetaan yhtälöä (433), jolloin ) t = n=0 n!(c) n t n (430) t f(c + ), (43) c(c + ) t f(c + k + ). (43) (c + k)(c + k + ) t f(c + k) f(c + k + ) = + (c+k)(c+k+) f(c + k + )/f(c + k + ). (433) t f(c) f(c + ) = + (c)(c+) f(c + )/f(c + ) = (434) + + t (c)(c+) t (c+)(c+) f(c+)/f(c+3) Voidaan todistaa, että ketjumurtokehitelmä + + suppenee kaikilla t C kohti funktiota t (c)(c+) t (c+)(c+) +... siten käyttämällä vielä muunnosta (46)saadaan =... (435) (436) f(c) f(c + ), (437) 54
56 Lause.. Olkoon c, t C, c = 0,,,... Tällöin f(c) f(c + ) = + + t (c)(c+) t (c+)(c+) +... = (438) Lemma.. Lemma.. t/c + c + + sinh z = z 0 F ( 3/ t c++ t c ) z = 4 n=0. (439) (n + )! zn+ ; (440) ( ) cosh z = 0 F z = / 4 (n)! zn ; (44) n=0 ( ) tanh z = z 0 F 3/ z 4 ( ). (44) 0F / z 4 sin z = z 0 F ( 3/ cos z = 0 F ( / ) z = 4 z 4 tan z = z 0 F n=0 ( ) n (n + )! zn+ ; (443) ) ( ) n = (n)! zn ; (444) n=0 ) z 4 ). (445) z ( 3/ 0F ( / Lause.. Kaikilla z C, z = i(π/ + kπ), k Z pätee Todistus. Lauseen. mukaan 4 tanh z = ez e z e z + e = z z z z z (446) +... tanh z = ez e z e z + e z = z 0 F ( 3/ 0F ( / z 4 z 4 ) ) = (447) 55
57 z f(/)/f(3/) = + z t/c t c++ c++ t c (448) t=z /4,c=/ = + z z / z 3/+ /4 5/+ z /4 7/+... = (449) z. (450) z + 3+ z z Lause.3. Kaikilla z C, z = π/ + kπ, k Z pätee tan z = z + Todistus kuten Lauseessa.. z 3 + z 5 + z (45).3 Kehitelmiä Neperin luvulle Seuraus.. Kaikilla z C pätee Todistus. Yhtälön (446) nojalla missä e z = + e z = z z z z (45) +... tanh z = (453) z + z 3 + z = (454) z +τ + = + z + τ z + τ (455) z z + τ, (456) τ = z z (457)
58 Seuraus.. e = + [0,, 4k + ] k= = + + I. Todistus. Asetetaan z = / kehitelmään (45), jolloin (458) +... e = + /4 /4 46 = (459) / Lause (460) e = [,, k, ] k= = (46) e = [7, 3k,,, 3k, k + 6] k=. (46) Todistus. Todistetaan (46), kehitelmä (46) menee vastaavasti. Lähdetään kehitelmästä (458), missä merkitään Käytetään myös merkintöjä ja β k = α = β = (463) +... d k + β k+, d k = 4k, k =, 3,... (464) α 0 = β = Sovelletaan ketjumurtoalgoritmia lukuun α 0 = [b 0, b,...]. Sijoitetaan yhtälöön (465), jolloin β = =. (465) d + β + β = (466) d + β β 3 α 0 = + β β 3 = β β 3 = b 0 + {α 0 }; (467) 57
59 Sijoitetaan yhtälöön (470), jolloin α = {α 0 } = 7 + β β 3 = β 3 = b + {α }; (468) α = {α } = 5 + β 3 = + + β 3 = b + {α }; (469) α 3 = {α } = + β 3. (470) β 3 = d 3 + β 4 = 0 + β 4 (47) α 3 = d 3 + β 4 d β 4 = + d 3 + β 4 d β 4 = b 3 + {α 3 }; (47) α 4 = {α 3 } = d β 4 = + = b 4 + {α 4 }; (473) d 3 + β 4 d 3 + β 4 α 5 = {α 4 } = d 3 + β 4 = d β 4 = b 5 + {α 5 }; (474) α 6 = {α 5 } = + β 4. (475) Yleisemminkin johon sijoitetaan Tällöin α 3l 3 = β l+ = {α 3l 4 } =, (476) + β l+ d l+ + β l+. (477) α 3l 3 = d l+ + β l+ d l+ + + β l+ = (478) + d l+ + β l+ d l+ + + β l+ = b 3l 3 + {α 3l 3 }; (479) α 3l = + {α 3l 3 } = d l+ + + β l+ d l+ + β l+ = (480) d l+ + β l+ = b 3l + {α 3l }; (48) 58
60 siten jälleen Niinpä ja siten josta α 3l = d l+ {α 3l } = d l+ + β l+ α 3l = + + β l+ b 3l = d l+ = (48) = b 3l + {α 3l }; (483) {α 3l } =. (484) + β l+ = l, b 3l = b 3l+ = (485) α = β = [,,,,, 4,,...,, k,,...], (486) e = + β = [,,,,, 4,,...,, k,,...]. (487) II. Todistus. Tutkitaan konvergenttijonoa A n B n = [,,,,, 4,,...,, k,,..., b n ], (488) missä A 3n+ = A 3n + A 3n, B 3n+ = B 3n + B 3n ; (489) A 3n+ = (n + )A 3n+ + A 3n, B 3n+ = (n + )B 3n+ + B 3n ; (490) A 3n+3 = A 3n+ + A 3n+, B 3n+3 = B 3n+ + B 3n+. (49) Asetetaan α n = n! β n = n! γ n = n! x n (x ) n e x dx, (49) x n+ (x ) n e x dx, (493) x n (x ) n+ e x dx. (494) 59
61 Lemma.3. α n = β n γ n ; (495) β n = nα n + γ n ; (496) γ n = β n α n. (497) Huomataan, että integraaleista tulee lineaarikombinaatioita luvuista ja e, joten merkitään: Lemma.4. α n = v 3n e t 3n ; (498) β n = t 3n v 3n e; (499) γ n = t 3n v 3n e. (500) Lemma.5. Lemma.6. Todistus. v n = A n n N. (50) B 3n e A 3n = α n B 3n e A 3n = β n B 3n e A 3n = γ n 0; (50) n 0; (503) n 0; (504) n lim A n B n = e e = [,, k, ] k=. (505) 3 Irrationaalisuustuloksia Lause 3.. Olkoon r/s Q, tällöin e r/s / Q. (506) 60
62 Todistetaan tapaus z = r Z {0}. Yhtälön (446) nojalla Vastaoletus e r e r + = r r r Toisaalta, valitaan k niin isoksi, että jolloin Lauseen 0. nojalla Ristiriita e r Q er e r + r k + τ k+ = τ. (507) Q. (508) b k = k + > r = a k, (509) τ k+ / Q τ / Q. (50) Lause 3.. π / Q (5) I. Todistus. Valitaan z = π/4, jolloin tan z = ja yhtälön (45) nojalla z = + z z z (5) +... Vastaoletus π Q. Olkoon z = π/4 = r/s, r Z, s Z +, jolloin r s = + (r/s) (r/s) (r/s) 46 = (53) missä + r r r = τ, (54) 3s s +... b k = (k + )s k, b k = k + k, (55) a k = r, k Z +. (56) Nyt b k a k +, k k 0 = r + (57) 6
63 ja siten Lemman 0. mukaan Edelleen 0 < τ k = Siispä Lauseen 0.3 nojalla τ k k k 0. (58) a k b k + τ k+ a k b k r k < r + k a k b k τ k+ (59) k k 0. (50) τ k / Q τ / Q. (5) Ristiriita, sillä τ = r/s. Täten vastaoletus väärä eli π / Q. II. Todistus. Tutkitaan integraaleja I n (π) = n! π jotka toteuttavat seuraavat ehdot (laskarit): Vastaoletus π = r/s Q. Tällöin 0 x n (π x) n sin x dx, (5) I n (t) Z[t] deg t I n = n; (53) 0 < I n (π) πn+. (54) n!n+ s n I n (r/s) Z, (55) joten Ristiriita. s n I n (r/s) sn π n+ n! n+ 0. (56) n Tarkemmin. Käytetään merkintää g(x) = x n (π x) n, jolloin osittaisintegroinnilla J m = π 0 g(x) sin x dx = g(0) + g(π) g () (0) g () (π) (57) 6
64 +g (4) (0) + g (4) (π) g (6) (0) g (6) (π) +... (58) Tässä g (k) (0) = g (k) (π) = 0, k n, k n + (59) ja Täten ( ) n g (k) (0) = ( ) k g (k) (π) = ( ) k k! π k n, n k n. (530) k n I n (π) = n l n ( ) n+l (l)! n ( ) π n l. (53) n! l n 3. Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus Kerrataan, että alkioiden (vektoreitten) α,..., α m lineaarinen vapaus (riippumattomuus) kunnan K yli (lin. vapaita/k) tarkoittaa sitä, että ehdosta s α s m α m = 0, (53) seraa s =... = s m = 0. Olkoon vielä Kα Kα m = {k α k m α m k,..., k m K}. (533) Tällöin dim K {Kα Kα m } = m (534) alkiot α,..., α m ovat lineaarisesti vapaita/k. Lause 3.3. α Q a, b Z, a = 0 : aα + b = 0. (535) α / Q a, b Z, a = 0 : aα + b = 0. (536) α / Q, α lin. vapaita/q (537) α / Q dim Q {Q + αq} =. (538) α Q dim Q {Q + αq} =. (539) 63
65 Esimerkki 4. e / Q, e lin. vapaita/q (540) π / Q dim Q {Q + πq} =. (54) Huom 9. Avoimia kysymyksiä-erittäin vaikeita. e ja π lin. vapaita/q? (54) eπ / Q? (543) e + π / Q? (544) ( ) n γ = lim log n / Q? (545) n k k= 4 Lisää kehitelmiä 4. F Lause 4.. missä F ( a c F ( a+ c+ a k = t a k+ = ) t ) = + K k= ( ak t ), (546) a + k (c + k )(c + k), (547) a (c + k)) (c + k)(c + k + ). (548) Esitetty luennolla. 64
66 4. F Lause 4.. missä Koska niin Lause 4.3. Todistus laskareissa. F ( a,b c F ( a,b+ c+ t ) t ) = + K k= ( ak t ), (549) (b + k)(c a + k) a k = (c + k )(c + k), (550) (a + k)(c b + k) a k+ = (c + k)(c + k + ). (55) arctan z = z F (, / 3/ arctan z = z + z 3 + z 5 + ) z, (55) 3 z (553) 4.3 π Lause 4.4. Todistus laskareissa. π 4 = K k= = (554) ( k ). (555) k+ 4.4 e Lause 4.5. e = Todistus. (Esitetty luennolla) (556)
67 5 Korjauksia/Lisäyksiä 9..0: Yhtälöön (6) indeksikorjaus. 9..0: Yhtälöön (6) indeksikorjaus. 9..0: Yhtälöön (30) indeksikorjaus. 7..0: Lisätty Esimerkki 7b (75). 5..0: Tarkennus tulokseen (55). 5..0: Lisätty arvio (7). 5..0: Lisätty huomio (3). 3..0: Lisätty tulos (67). 3..0: Tarkennus epäyhtälöön (305)...0: Tarkennuksia Lauseeseen (4.8) ja todistukseen. 3..0: Lisätty Esimerkit ja : Tarkennuksia Huomaukseen : Korjauksia yhtälöihin (54), (55), (57), (50). 4..0: Tarkennuksia yhtälöihin (54), (56). 4..0: Korjaus yhtälöön (53). 66
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys Jakoalgoritmi Kantakehitelmät
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-1 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys 0-3 2.1 Jakoalgoritmi.................. 0-3 2.2 Kantakehitelmät................ 0-3 2.2.1 Kokonaisluvun b-kantakehitelmä.....
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 207 Sisältö ABSTRACT 3 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 3 2. ESITYKSIÄ SEKÄ TYÖKALUJA................. 3 2.2
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotYleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus
Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Pro gradu -tutkielma Jonna Luokkanen 22452 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 24 Sisältö Johdanto 2 Johdatus ketjumurtolukuihin 2 Ketjumurtoluvun
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotKetjumurtoluvut ja Pellin yhtälö
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Viivi Seppälä Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SEPPÄLÄ,
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
LisätiedotKetjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 1
Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin. x y Yllä olevassa kuvassa siis pitää olla x + y x = x y = ϕ. Tästä saadaan josta edelleen + y x = x y = ϕ, + ϕ = ϕ ja eli ϕ + = ϕ 2 ϕ 2 ϕ = 0. Tämä on toisen
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotRationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen
LisätiedotLukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.
Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotJonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotRothin lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan pro gradu
Rothin lause Heikki Pitkänen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 0 Tiivistelmä: Heikki Pitkänen, Rothin lause. Matematiikan pro gradu -tutkielma, 47
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotSeuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat
3.3 Luokkaryhmä Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat muodostavat ryhmän. Määritelmä 3.39. Määritellään operaatio kahden samaa diksriminanttia olevan binäärisen
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotLuvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara
Luvun π irrationaalisuus Ilari Vallivaara 27. marraskuuta 24 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Todistuksen pääpiirteinen kulku 3 3 Todistus 4 Lähdeluettelo 9 1 1 Esipuhe Luvun π irrationaalisuus seuraa suoraan sen
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Lisätiedot1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1
KETJUMURTOLUVUT Harjoiuksia 209. Todisa/Prove Lause 2.2. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. Lause 2.4. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. 2. Määrää Canorin kehielmä luvuille 0,, 2, 3, 4, 5,
LisätiedotPrimitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
LisätiedotKokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!
Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotMS-C1540 Euklidiset avaruudet
MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedot