802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
|
|
- Anna-Leena Lehtinen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 207
2 Sisältö ABSTRACT 3 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 3 2. ESITYKSIÄ SEKÄ TYÖKALUJA BASICS AND REFERENCES/POHJATIEDOT JA LÄHTEITÄ LÄHTEITÄ: Jakoalgoritmi 4 4 KOKONAISLUVUN KANTAKEHITELMÄT 5 4. Kokonaisluvun b-kantakehitelmä Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä Peräkkäisten lukujen digitit/digits of consecutive integers. 7 5 REAALILUVUN KANTAKEHITELMÄT 8 5. Reaaliluvun b-kantakehitelmä/base b-expansion of a real number Reaaliluvun Cantorkehitelmä Rationaaliluvun b-kantakehitelmä b-kantaesitys/algoritmi Terminating expansion Periodic expansion Irrationaaliluvuista An irrationality criterion Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärellinen ketjumurtoluku Rekursiot
3 7.2. Konvergentit/convergents Ääretön ketjumurtoluku/innite continued fraction Yksinkertainen ketjumurtoluku Yksinkertaiset ketjumurtoluvut Ketjumurtoalgoritmi Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut/finite simple continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Toisen asteen algebralliset luvut Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Eulerin lause Lagrangen lause Paras approksimaatio 55 0 Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Yleiset ketjumurrot 62 2 Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Irrationaalisuusehtoja 69 4 Transformaatioita 73 5 Kehitelmiä Hypergeometriset sarjat Hypergeometrinen sarja 0 F
4 5.3 Kehitelmiä Neperin luvulle Irrationaalisuustuloksia Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus Lisää kehitelmiä F F π e
5 ABSTRACT KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS, NEWERENDING FRAC- TIONS, KETTENBRÜCHEN Ketjumurtolukujen teoria on kiinteä osa matematiikan lukuteoriaa. 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 2. ESITYKSIÄ SEKÄ TYÖKALUJA Luennoilla tarkastelemme aluksi reaalilukujen b-kantaesityksiä ja yksinkertaisia ketjumurtoesityksiä sekä esityksien ominaisuuksia-päättyvä, päättymätön, irrationaalisuus, jaksollisuus, approksimaatio-ominaisuudet. Seuraavaksi tutkitaan yleisiin ketjumurtolukuihin liittyviä rekursiota ja transformaatioita sekä suppenemis- ja irrationaalisuusehtoja. Edelleen tarkastellaan hypergeometristen sarjojen ketjumurtokehitelmiä, joista saadaan tuttujen lukujen kuten Neperin luvun ja piin ketjumurtokehitelmiä. Tutkimus suunnataan myös yleisempiin irrationaalisuuskysymyksiin ja Diofantoksen yhtälöihin S KETJUMURTOLUVUT/NOPPA LINK S CONTINUED FRACTIONS/NOPPA LINK. 2.2 BASICS AND REFERENCES/POHJATIEDOT JA LÄHTEITÄ Esitiedot: 4
6 Pakolliset aineopinnot ja Lukuteorian perusteet. Kurssilla käytetään Lukuteorian perusteet kurssin merkintöjä. Notations and basics of Number Theory from the course: Basics of Number Theory. 2.3 LÄHTEITÄ: Lisa Lorentzen and Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (992. Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbruchen (93. G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web/LINK American Mathematical Monthly/LINK 3 Jakoalgoritmi Algebran perusteet: Lause. Olkoot a, b Z ja b 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r b. (3. Kun b Z +, niin q = a b. (3.2 5
7 4 KOKONAISLUVUN KANTAKEHITELMÄT 4. Kokonaisluvun b-kantakehitelmä b-base expansion of an integer: Lause 2. Olkoot b Z 2 ja a N. Tällöin! esitys a = n 0 a n b n, 0 a n b, a n N. (4. Esitystä/representation (4. sanotaan kokonaisluvun b-kantakehitelmäksi. Merkintä. a m...a 0 = (a m...a 0 b = a m b m a b + a 0. ( Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä Cantor expansion of an integer: Lause 3. Olkoot {b, b 2,...} Z 2 ja a N annettu. Tällöin! esitys a = n 0 n a n i= Seurauksena saadaan Cantorin kehitelmä Lause 4. Olkoon a N. Tällöin! Cantorin esitys b i, 0 a n b n+, a n N. (4.3 a = n a n n!, 0 a n n, a n N. (4.4 Lauseen 3 todistus. 6
8 Jakoalgoritmia toistamalla/by repeating the division algorithm a = q b + a 0, 0 a 0 b ; q = q 2 b 2 + a, 0 a b 2 ; q 2 = q 3 b 3 + a 2, 0 a 2 b 3 ;... ; q s = q s b s + a s, 0 a s b s ; q s = 0 b s+ + a s, 0 a s b s+. Osoitetaan myöhemmin, että tällainen s on olemassa. Siten a =(q 2 b 2 + a b + a 0 =q 2 b 2 b + a b + a 0 =(q 3 b 3 + a 2 b 2 b + a b + a 0 =q 3 b 3 b 2 b + a 2 b 2 b + a b + a 0 =... =a s b s b 2 b a 2 b 2 b + a b + a 0. Sopimuksen mukaan 0 i= b i = (tyhjä tulo=, joten saadaan esitys (4.3. Näytetään vielä, että on olemassa sellainen s N, että q s+ = 0. Meillä oli b k 2 kaikilla k. Siten a = q b + a 0 2q ; q = q 2 b 2 + a 2q 2 ; q 2 = q 3 b 3 + a 2 2q 3 ;... ; q k = q k b k + a k 2q k, 7
9 josta saadaan q k a 2 k. (4.5 Yksikäsitteisyyden todistus sivuutetaan. Esimerkki. Olkoot b = 3, b 2 = 2, b 3 = 3, b 4 = 2 ja a =. Laskemalla saadaan, että = ( = 0 ( ( (4.6 on luvun Cantorin kehitelmä kannassa {3, 2, 3, 2} 4.2. Peräkkäisten lukujen digitit/digits of consecutive integers Palataan vielä Cantorin lauseen 3 tarkasteluun. Olkoot {b, b 2,...} Z 2 annettu. Tutkitaan tilannetta a = a 0 + a b + a 2 b b a h b b h +..., a 0 = b,..., a h = b h, a h b h+ 2, (4.7 missä digitit a 0,..., a h ovat maksimissaan. Lasketaan a + = + (b + (b 2 b a h b b h +... = b + (b 2 b + (b 3 b b a h b b h +... = b 2 b + (b 3 b b (b h b b h + a h b b h +... = b 3 b b (b h b b h + a h b b h +... (4.8 = b h b b h + a h b b h +... = (a h + b b h +... (b h+ b b h +... Siten ylivuoto pysähtyy ensimmäiseen vajaaseen digittiboksiin./overow will stop to the rst non-full digit box. 8
10 Koska #{a 0, a,..., a h } = b b h+, (4.9 niin peräkkäiset kokonaisluvut/consecutive integers 0,,..., b b h+ ovat esitettävissä muodossa/ can be prepresented in the form a 0 + a b + a 2 b b a h b b h, 0 a i b i+. (4.0 Seurauksena saadaan + (b + (b 2 b (b h b b h + (b h+ b b h = b b h b h+ (4. eli (b + (b 2 b (b h+ b b h = b b h b h+, (4.2 mikä on voimassa myös arvolla/valid also with the value b =. Niinpä esimerkiksi! + 2 2! h h! = (h +!. (4.3 5 REAALILUVUN KANTAKEHITELMÄT 5. Reaaliluvun b-kantakehitelmä/base b-expansion of a real number Lause 5. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x <. Tällöin esitys/representation x = n= x n b n, 0 x n b, x n N, (5. joka on yksikäsitteinen mikäli vaaditaan, että jokaista N Z + kohti sellainen luku k Z N että x k b. It is unique, if we demand that for every N Z + there such a number k Z N that x k b. 9
11 Merkintä 2. 0, x x 2... = (0, x x 2... b = x b + x 2 b (5.2 a m...a 0, x x 2... = (a m...a 0, x x 2... b = (5.3 a m b m a b + a 0 b 0 + x b + x 2 b Todistus. Kaikilla y R pätee (katso Lukuteorian perusteet 0 y y <. (5.4 Asetetaan y 0 = x ja palautuskaavat/recurrences x k+ = by k ; (5.5 y k+ = by k x k+ k N. (5.6 Tällöin ja x = by 0 = bx (5.7 0 x = bx bx < b 0 x b. (5.8 Edelleen ja Vastaavasti y = by 0 x = bx bx 0 y < (5.9 x = y 0 = x b + y b. (5.0 y = x 2 b + y 2 b, 0 y 2 <, (5. 0
12 ja siten Edelleen missä Olkoon x = y 0 = x b + x 2 b 2 + y 2 b 2. (5.2 x = x b + x 2 b x n b n + y n b n, (5.3 0 x i b, 0 y i < i =,..., n. (5.4 x = X n + y n b n, (5.5 missä X n = x b + x 2 b x n b n (5.6 on kasvava/increasing ja rajoitettu/bounded. Näytetään, että X n on rajoitettu: X n b b = b b = b b + b b +... = b 2 b ( n + b + b /b =. (5.7 Siten Osoitetaan vielä, että lim X n = n= x n b n. (5.8 lim X n = x. (5.9 Tuloksen/By the result (5.3 nojalla x X n = x b + x 2 b x n b n + y n b n ( x b + x 2 b x n b n = y n b n b n 0. (5.20
13 5.. Reaaliluvun Cantorkehitelmä Lauseen 5 yleistyksenä saadaan. Lause 6. Olkoot {b, b 2,...} Z 2 ja x R, 0 x <. Tällöin esitys x = n= c n b b n, 0 c n b n, c n N. (5.2 Lauseen 6 erikoistapauksena saadaan Cantor tyyppinen esitys. Lause 7. Olkoon x R, 0 x <. Tällöin esitys x = n=2 Esimerkki 2. Määrätään luvuille d n n!, 0 d n n, d n N. (5.22 e 2, /e (5.23 esitykset (5.22. Käytetään eksponenttifunktion sarjakehitelmää/series expansion jolloin e z = n=0 z n n!, (5.24 e = n=0 ( n n! = 2! 3! + 4! 5! +... (5.25 = 2 3! + 4 5! + 6 7! Rationaaliluvun b-kantakehitelmä Määritelmä. 2
14 Esitys x = 0, x x 2... (5.26 on päättyvä/nite/terminating, jos sellainen M Z +, että x k = 0, k Z M. (5.27 Esitys (5.26 on jaksollinen/periodic, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että x n+l = x n, n Z N+, (5.28 missä L on jakso/period. Tällöin käytetään merkintöjä x = 0, x x 2... = 0, x...x N x N+...x N+L = 0, x...x N x N+...x N+L x N+...x N+L..., (5.29 missä N on alkutermin pituus/lenght of the initial term. Jos N = 0 eli alkutermiä ei ole/no initial term, niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen/purely periodic. Huomautus. Jos muuta ei sanota, niin jakso ja alkutermi valitaan mahdollisimman lyhyeksi. If nothing else is mentioned, then we choose period and initial terms as short as possible. Käytetään myös termiä minimijakso/minimal period. Huomautus 2. Reaaliluvun päättyvä esitys on jaksollinen eli x = a, x...x N = a, x...x N 0... = a, x...x N 0 (5.30 ja rationaalinen eli x = a, x...x N Q. (5.3 3
15 5.2 b-kantaesitys/algoritmi Palautuskaavat (5.5 ja (5.6 antavat algoritmin: y 0 = x; x k+ = by k ; (5.32 y k+ = by k x k+, k = 0,, 2,...; reaaliluvun b-kantaesityksen laskemiseen. Esimerkki 3. 7 = (0, = (0, (5.33 Nyt b = 2 ja y 0 = x = /7, jolloin x = by 0 = 2 7 = 0; y = by 0 x = = 2 7 ; x 2 = by = 4 7 = 0; y 2 = by x 2 = = 4 7 ; (5.34 x 3 = by 2 = 8 7 = ; y 3 = by 2 x 3 = 8 7 = 7 = y 0; x 4 = x ;... Esimerkki 4. b = = 0, 42857, 2 7 = 0, 28574, = 0, 57428, 5 7 = 0, 74285, 7 = 0, 85742, = 0, Huomautus 3. Huomaa, että rationaaliluku x Q voidaan esittää supistetussa muodossa x = r s, r s, r Z, s Z+. (5.35 4
16 5.3 Terminating expansion Lause 8. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x <. A. Jos rationaaliluvulle x Q, missä x = r s, r s, s = h pätee ehto/holds a condition niin esitys (5. on päättyvä. i= p v i i, p i P, v i Z +, (5.36 h p i b, (5.37 i= B. Jos reaaliluvun x esitys (5. on päättyvä, niin x Q ja sen supistetulle esitykselle pätee ehto x = r s, r s, s = h i= p v i i, p i P, v i Z +, (5.38 h p i b. (5.39 i= Ehto/condition (5.37 lyhemmin/shortly p s p b, p P. (5.40 Todistus. A. Ehdosta (5.37 seuraa, että s b K, K = max{v,..., v h }. (5.4 Siten b K x = b K r s Z+, joten b K x = c 0 + c b c m b m, 0 c i b, m < K. (5.42 5
17 Siispä x = c m b K m c 0 b K. (5.43 B. Olkoon esitys päättyvä eli Siten x = x b x N b N = x b N x N := r, r s. (5.44 b N s b N r = (x b N x N s, r s. (5.45 Olkoon p i s. Koska r s, niin p i b N, joten p i b kaikilla s:n alkutekijöillä p i. Esimerkki 5. Olkoon b = 5 ja x = 7/9. Nyt s = 3 2, joten ehto (5.40 ei ole voimassa. Siten 5-kantainen kehitelmä luvulle 7/9 on päättymätön/innite. Esimerkki 6. Olkoon b = 3 ja x = 7/9. Nyt s = 3 2, joten ehto (5.40 on voimassa. Siten 3-kantainen kehitelmä luvulle 7/9 on päättyvä/nite. Algoritmilla (5.32 saadaankin: Nyt y 0 = x = 7/9, jolloin 7 9 = (0, 2 3. (5.46 x = by 0 = 7 3 = 2; y = by 0 x = = 3 ; x 2 = by = = ; y 2 = by x 2 = = 0; (5.47 x 3 = by 2 = 0; y 3 = by 2 x 3 = 0; x 4 = x 5 =... = 0. Määritelmä 2. Olkoot n Z 2, b Z ja b n. Luvun b kertaluku ord n b, on pienin luku k Z +, jolle pätee b k (mod n. (5.48 6
18 Olkoon b Z n ja b = {b k k N} (5.49 alkion b generoima syklinen aliryhmä. Tällöin ord n b = # b. (5.50 Koska aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, niin ord n b #Z n = ϕ(n. (5.5 Tarkemmin kurssilla Lukuteoria A/LINK. Esimerkki 7. n = 7, b = 0, 0 = 3 Z 7. ord = ϕ(7. (5.52 Lasketaan siis joten 3 = 3, 3 2 = 2, 3 3 = 6, (5.53 ord ord 7 0 = 6. ( Periodic expansion Kerrataan vielä, että reaaliluvun päättyvä esitys on jaksollinen eli x = a, x...x N = a, x...x N 0... = a, x...x N 0 ja päättyvä esitys on rationaalinen eli x = a, x...x N Q. Erityisesti 0 = 0, = 0, 0 = 0. 7
19 Lause 9. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x <. A. Jaksollinen esitys on rationaalinen eli x = 0, x...x N x N+...x N+L = r, r s. (5.55 s B. Rationaaliluvun x = r/s esitys on jaksollinen eli r s = 0, x...x N x N+...x N+L. (5.56 C. Olkoot x = r, r s, s = T U, U b; (5.57 s p T p b, p P; (5.58 ord U b = L; (5.59 ja luku N N on pienin/smallest, jolle pätee/for which holds T b N. (5.60 Tällöin jakson pituus on L ja alkutermin pituus N. Huom: Jos T =, niin N = 0, jolloin alkutermiä ei ole ja kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Todistus. A. Tutkitaan ensin puhtaasti jaksollista kehitelmää/rst we study a purely pe- 8
20 riodic expansion z = 0, z...z L = z b z L b + L ( z b L b z L b + z L b z L L+ b L = d b L + b L z, (5.6 mistä saadaan z = d b L. (5.62 Siispä x = 0, x...x N x N+...x N+L = x b x N b + N B C. ( xn x N+L + x N+ b N b b L b x N+L L+ Olkoon sitten 0 < x <. Ehdon (5.60 nojalla Siten missä jakoalgoritmin nojalla = c b N + b N b L d b L := r s Q. (5.63 b N = T V, jollakin V Z +. (5.64 b N x = T V r T U = rv U = cu + d U, (5.65 rv = cu + d, 0 d U, c, d N. (5.66 Oletuksista saadaan vielä d U ja 0 c < b N, joten b N x = c + d U, d U, 0 c < bn. (5.67 9
21 a Tapaus U =. Nyt s = T, jolloin ehdon (5.58 nojalla p s = T p b, p P. (5.68 Lauseen 8 kohdan A. nojalla esitys on päättyvä. b Tapaus U 2. Oletuksen (5.59 nojalla b L (mod U, (5.69 joten on olemassa sellainen a N, että saadaan eräänlainen palautuskaava b L d U = ( + aud U = d U + ad. (5.70 Olkoon d U = d n b, 0 d n n b, d n N, (5.7 n= luvun d/u Lauseen 5 mukainen yksikäsitteinen kantakehitelmä. Sijoitetaan kehitelmä (5.7 kaavaan (5.70, jolloin saadaan d b L d L b 0 + d L+ b + d L+2 b 2 + d L+3 b = (5.72 ad + d b + d 2 b 2 + d 3 b (5.73 Vertaamalla vastinpotenssien kertoimia (kantakehitelmien yksikäsitteisyyden nojalla saadaan d = d L+, d 2 = d L+2, d 3 = d L+3,... (5.74 eli d L+j = d j j =, 2,..., (5.75 ja siten luvun d/u kantakehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Edelleen yhtälön (5.67 nojalla x = c b N + b N d U, (
22 missä Niinpä c = c K b K c 0, K < N. (5.77 x = x b x N b N + d b (N+ + d 2 b (N d L b (N+L + d b (N+L+ + d 2 b (N+L d L b (N+2L +... = 0, x...x N d...d L. (5.78 Esimerkki 8. Olkoon b = 0. Tutkitaan lukuja /7 ja /4. Aluksi x = 7, s = 7; U = 7 ord Ub = ord 7 0 = 6 = L; T = N = 0. (5.79 Siten jakson pituus = 6 ja alkutermin pituus = 0 (Katso: Esimerkit 4 ja 7. Kun taas x =, s = 2 7; U = 7 L = 6; 2 7 Siten jakson pituus = 6 ja alkutermin pituus =. T = 2 b N = 0, N =. ( Irrationaaliluvuista Määritelmä 3. Luku α C \ Q on irrationaalinen. (Myös ei-rationaaliset p-adiset (p P luvut ovat irrationaalisia eli luku α C p \ Q on irrationaalinen, missä C p on kompleksilukujen kuntaa C vastaava p- adisten lukujen kunta. 2
23 Monesti tyydytään suppeampaan määritelmään: Luku α R \ Q on irrationaalinen. Esimerkki 9. 5 / Q, i = / Q. (6. Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet. Määritelmä 4. Luku m Z on neliövapaa (square-free, jos ehdosta a 2 m, a Z, välttämättä seuraa a 2 =. Tulos (6. yleistyy tulokseksi: Lause 0. Olkoon D Z, D, neliövapaa. Tällöin D / Q. (6.2 Lause. Olkoot n Z 3 ja r Q +. Tällöin n + rn / Q. (6.3 Lauseen todistus palautuu Fermat'n suureen lauseeseen: Jos p P 3, niin x p + y p z p x, y, z Z +. (6.4 Andre Wiles todisti Fermat'n suuren lauseen työssään [Annals of Mathematics 4 (994]. Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin. Tälläkin kurssilla log = log e = ln eli log tarkoittaa e-kantaista logaritmia, jolloin log e =. (6.5 Esimerkki 0. log 2 log 3 / Q. (6.6 22
24 Todistus. Jos olisi niin log 2 log 3 = a b, a, b Z+, (6.7 2 b = 3 a 2 3 a 2 3 (6.8 mikä on mahdotonta. Seuraus. log 3 2 = log 2 log 3 / Q. (6.9 Mutta on huomattavasti vaikeampi todistaa, että Esimerkki. log 2 / Q. (6.0 Todistetaan myöhemmin ketjumurtolukujen avulla yleisempi tulos, josta seuraa esimerkiksi log m / Q, m Z 2. (6. 6. An irrationality criterion Lauseeseen 9 nojautuen saadaan hyödyllinen irrationaalisuuskriteeri, jos luvulle τ tunnetaan jokin b-kantakehitelmä. Lause 2. Jos luvun τ kantakehitelmä on jaksoton eli τ (a, τ...τ N τ N+...τ N+L b, (6.2 niin τ / Q. Esimerkki 2. Osoita, että τ = 0, / Q. (6.3 23
25 Ratkaisu. Aluksi haetaan bittijonon sääntö jakamalla jono paloihin , (6.4 jolloin havaitaan, että k. palan pituus on k ja siinä esiintyy k nollaa, jokaisella k =, 2,... (Nollat muodostavat aukon, jonka pituus kasvaa aina yhdellä. Siten, n = n k = k(k+ τ = 0, τ τ 2 τ 3..., τ n = 0, n n k = k(k+ 2 ; 2. (6.5 Tehdään nyt vastaoletus: τ Q. Tällöin τ:n kehitelmä on jaksollinen eli τ = 0, τ...τ N τ N+...τ N+L, N 0, L. (6.6 Valitaan sitten tarpeeksi suuri k, että n k > N ja k L, (6.7 jolloin ensimmäinen ehto varmistaa, että päästään pois alkutermiltä. Toisen ehdon nojalla saadaan aukko, jonka pituus on suurempi kuin jakson pituus - todistetaan tämä. Ykkösten välissä nollien muodostama aukko: τ nk... τ nk Toisaalta jaksollisuuden nojalla τ nk = τ nk +L =. (6.8 Mutta n k + L n k + k < n k+. Ristiriita. (6.9 Vastaavasti voidaan todistaa seuraavat tulokset: 24
26 Esimerkki 3. Olkoon b Z 2. Osoita, että tällöin τ b = / Q. (6.20 n= b (n+ 2 Esimerkki 4. Champernowne constant/link Esimerkki 5. C 0 = 0, / Q. (6.2 Muodostetaan sanoja seuraavasti käyttäen kuvausta Lähtemällä sanasta b saadaan σ(a = ab, σ(b = a, σ(xy = σ(xσ(y. (6.22 σ(b = a, σ 2 (b = σ(a = ab, σ 3 (b = σ(ab = σ(aσ(b = aba, σ 4 (b = σ(aba = σ(aσ(bσ(a = abaab, σ 5 (b = σ(abaab = σ(aσ(bσ(aσ(aσ(b = abaababa,... σ (b = abaababaabaab... Tulkitaan kirjaimet biteiksi: a =, b = 0, ja muodostetaan binääriluku Osoita, että κ / Q. κ = 0, (= 0, abaababa... (6.23 Tiedetään, että Neperin luvulle e pätee ( e = lim + n = n n k=0 k!. (
27 Lause 3. Neperin luku e on irrationaalinen. Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet. Lause 4. Neperin luku e on transkendenttinen eli ehdosta a m e m + a m e m a e + a 0 = 0, a 0,..., a m Z, (6.25 seuraa a 0 =... = a m = 0 aina, kun m Z +. Siten e ei toteuta kokonaislukukertoimista polynomiyhtälöä, jonka aste. Todistetaan lievempi tulos Lause 5. Neperin luku e ei ole toisen asteen algebrallinen luku eli ae 2 + be + c 0, a, b, c Z, ac 0. (6.26 Todistus: Tehdään vastaoletus eli on olemassa sellaiset a, b, c Z, että Ehto (6.27 on yhtäpitävää ehdon kanssa. Käyttämällä sarjaesityksiä, saadaan ( m ( m ( k a + b + c = k! k! k=0 k=0 ( a ae 2 + be + c = 0, ac 0. (6.27 ae + b + ce = 0, ac 0, (6.28 k=m+ k=m+ ( c k! k=m+ josta edelleen ( m ( m ( k A = A m := am! + bm! + cm! k! k! k=0 k=0 ( ( = am! cm! k! k=m+ ( k, (6.29 k! ( k. (6.30 k! 26
28 Aluksi huomataan, että A m Z ja A m a m! ( k=m+ ( + c m! k! a + c m + k=m+ k! ( + m (m + 2(m jos valitaan m 5 ja m + 3( a + c. Jos olisi 7 9, (6.3 A m = A m+ = A m+2 = 0, (6.32 niin a ( m k=0 a ( m+ k=0 a ( m+2 k=0 ( m k! + b + c k=0 ( m+ + b + c k! k! k=0 + b + c ( m+2 k=0 ( k k! ( k k! ( k k! = 0; = 0; = 0. Vähentämällä. yhtälö 2:sta ja vastaavasti 2. yhtälö 3:sta, saadaan a + c ( m+ = 0; (m+! (m+! a + c ( m+2 = 0. (m+2! (m+2! (6.33 (6.34 Siten saataisiin a = c = 0. Ristiriita hypoteesin (6.32 kanssa. Siispä A h 0, jollakin m h m + 2. Tällöin A h Z, 0 < A h <. (6.35 Ristiriita vastaoletuksen (6.27 kanssa. 27
29 7 Ketjumurtoluvut/Continued fractions 7. Äärellinen ketjumurtoluku Äärellisellä ketjumurtoluvulla/nite continued fraction tarkoitetaan rationaalilauseketta b + a a 2 b an bn, (7. jolle käytetään seuraavia merkintöjä/for which the following notations are used ( K n ak k= = a a 2 b + b... a n. ( b n b k Luvut a n ovat ketjumurtoluvun osaosoittajia/partial numerators ja luvut b n osanimittäjiä/partial numerators. 7.2 Rekursiot Lause 6. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+ + a n+2 A n, (7.3 B n+2 = b n+2 B n+ + a n+2 B n (7.4 lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + a ja B = b. Tällöin ( b 0 + K n ak k= = A n n N, (7.5 B n kunhan B n 0. b k Todistus. Induktiolla. n = 0, jolloin V.P. = b 0 = b 0 = A 0 B 0 = O.P.. (7.6 28
30 n =, jolloin V.P. = b 0 + a b = b 0b + a b = A B = O.P.. (7.7 Induktio-oletus: Väite pätee, kun n = 0,,..., l, jolloin b 0 + a b + Korvataan b l muuttujalla x ja merkitään a 2 jolle kohdan (7.8 nojalla pätee a l b... = A l = b la l + a l A l 2. ( b l B l b l B l + a l B l 2 K(x = b 0 + a b + a 2 b a l x, (7.9 K(x = xa l + a l A l 2 xb l + a l B l 2, (7.0 kunhan x 0 ja nimittäjä 0. Siten kohdista (7.9 ja (7.0 seuraa ( ak K(b l + a l+ = b 0 + K l+ k= b l+ ( b l + a l+ b l+ A l + a l A l 2 b k ( = b l + a l+ b l+ B l + a l B l 2 a l+ b l+ A l + b l A l + a l A l 2 a l+ = b l+ B l + b l B l + a l B l 2 = a l+ A l + b l+ A l a l+ B l + b l+ B l = A l+ B l+, (7. missä on sovellettu rekursioita (7.3 ja (7.4 pariin otteeseen. Siten induktioaskel on osoitettu ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee. 29
31 7.2. Konvergentit/convergents Määritelmä 5. Luku A n /B n on äärettömän ketjumurtoluvun ( b 0 + K ak k= b k (7.2 n. konvergentti. Edelleen ketjumurtoluku (7.2 suppenee, mikäli raja-arvo lim (7.3 B n n on olemassa. Tällöin sanotaan, että äärettömän ketjumurtoluvun (7.2 arvo on raja-arvo (7.3. A n 7.3 Ääretön ketjumurtoluku/innite continued fraction Ääretöntä ketjumurtolukua (7.2 voidaan merkitä myös seuraavilla tavoilla b 0 + a Edelleen käytetään merkintöjä b + a 2 b = b 0 + [b 0 ; b,..., b n ] = b 0 + K n k= [b 0 ; b,...] = b 0 + K k= a b + a 2 b ( ( b k b k. (7.4 ; (7.5. ( Yksinkertainen ketjumurtoluku Usein tarkastellaan yksinkertaisia ketjumurtolukuja. Määritelmä 6. Olkoot b 0 N, b k Z +, a k =, k Z +. (7.7 30
32 Tällöin ketjumurtoluku [b 0 ; b,..., b n ] = b 0 + K n k= ( b k (7.8 on äärellinen yksinkertainen (simple ketjumurtoluku ja vastaavasti ( [b 0 ; b,...] = b 0 + K k= b k (7.9 on ääretön yksinkertainen ketjumurtoluku. 8 Yksinkertaiset ketjumurtoluvut 8. Ketjumurtoalgoritmi Olkoon α R 0 annettu. Muodostetaan lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä [b 0 ; b,...] α (8. seuraavalla Ketjumurtoalgoritmilla: α 0 = α; k = 0; (8.2 α k = α k + {α k }, 0 {α k } < ; (8.3 b k = α k ; (8.4 Jos Jos {α k } = 0 STOP; (8.5 {α k } > 0 ; (8.6 3
33 α k+ = {α k } Siten algoritmi alkaa seuraavasti: GO TO 8.3 with k = k + ; (8.7 α 0 = α 0 + {α 0 }, 0 {α 0 } < ; (8.8 b 0 = α 0 ; (8.9 Jos Jos {α 0 } = 0 STOP; (8.0 {α 0 } > 0 ; (8. α = {α 0 } = α + {α }, 0 {α } < ; (8.2 Huomautus 4. Hyödyllisiä identiteettejä: [b 0 ; b,..., b m ] = b 0 + b = α ;... (8.3 [b ; b 2,..., b m ] ; (8.4 α k = b k + α k+ ; (8.5 Esimerkki 6. α = [b 0 ; b,..., b m, b m + {α m }] = [b 0 ; b,..., b m, α m+ ]. (8.6 32
34 Olkoon α = 3, 4. α 0 = α 0 + {α 0 } = 3 + 4/00; (8.7 b 0 = α 0 = 3; (8.8 {α 0 } = 4/00 > 0 (8.9 α = {α 0 } = α + {α } = 7 + /7; (8.20 b = α = 7; (8.2 {α } = /7 > 0 (8.22 α 2 = {α } = α 2 + {α 2 } = 7 + 0; (8.23 b 2 = α 2 = 7; (8.24 {α 2 } = 0 STOP; (8.25 ja siten [b 0 ; b,...] 3,4 = [3; 7, 7]. (8.26 Huomautus 5. Tärkeä. Numeerisessa laskennassa desimaaliluvut katkaistaan, jolloin katkaistu esitys kannattaa heti kirjoittaa murtoluvuksi. Tällöin algoritmissa vältytään pyöristysvirheiltä. Esimerkki 7. 33
35 Olkoon α = 5. α 0 = = α 0 + {α 0 }; (8.27 b 0 = α 0 = 2; (8.28 {α 0 } = 5 2 > 0 (8.29 α = {α 0 } = 5 2 = = = α + {α }; (8.30 b = α = 4; (8.3 {α } = 5 2 > 0 (8.32 α 2 = {α } = 5 2 = = = α 2 + {α 2 }; (8.33 b 2 = α 2 = 4; (8.34 {α 2 } = 5 2 = {α } > 0 b 3 = b 2 = b = 4 (8.35 ja edelleen b k = 4 kaikilla k. Niinpä [b 0 ; b,...] 5 = [2; 4, 4, 4,...]. = [2; 4] (8.36 kehitelmä on jaksollinen. 34
36 8.2 Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut/finite simple continued fractions Lause 7. Äärellisen yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo on rationaaliluku eli [b 0 ; b,..., b m ] Q b 0 N, b,..., b m Z +. (8.37 Todistus induktiolla käyttäen kaavaa (8.4. Lause 8. Positiivinen rationaaliluku r/s Q + voidaan esittää äärellisenä yksinkertaisena ketjumurtolukuna eli sellaiset kokonaisluvut b 0 N, b,..., b m Z +, että Lisäksi rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b,..., b m ]. (8.38 r s = [b 0; b,..., ] (8.39 oleva esitys. Edelleen rationaaliluvun kaikki esitykset ovat äärellisiä. Todistus. Eukleideen algoritmi Lukuteorian perusteet/link: r 0 = r, r = s r 0 = b 0 r + r 2 0 r 2 < r. r k = b k r k+ + r k+2 0 r k+2 < r k+. r m = b m r m + r m+ 0 r m+ < r m Nyt r/s = α 0 ja m N : r m+ 0, r m+2 = 0 r m = b m r m+ r m+ = syt(r, s. α 0 = r 0 r = b 0 + r 2 r = α 0 + {α 0 }, (
37 0 {α 0 } = r 2 r < ; (8.4 α = {α 0 } = r r 2 = b + r 3 r 2 = α + {α }, ( {α } = r 3 r 2 < ; ( α k = r k r k+ = b k + r k+2 r k+, (8.44 α k+ = {α k } = r k+ r k+2, ( α m = r m r m = b m + r m+ r m, (8.46 Siten α m = {α m } = r m r m+ = b m + 0. (8.47 {α m } = 0 (8.48 ja r s = [b 0; b,..., b m ]. (8.49 Koska b m 2 (totea!, niin r s = [b 0; b,..., b m, b m ] = [b 0 ; b,..., b m, b m, ]. (
38 Siten rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b,..., ] (8.5 oleva esitys. Edelleen, Eukleideen algoritmin pituus on äärellinen, joten esitykset ovat äärellisiä. Lauseen 6 erikoistapauksena saadaan n. konvergentti laskettua seuraavien rekursioiden (8.52 ja (8.53 avulla. Lause 9. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+ + A n, (8.52 B n+2 = b n+2 B n+ + B n (8.53 lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + ja B = b. Tällöin [b 0 ; b,..., b n ] = A n n N. (8.54 B n Lause 20. Olkoon (F n on Fibonaccin lukujono. Tällöin ( n 5 + B n F n+ n Z +. ( Lause 2. Determinanttikaavat. A n+ B n A n B n+ = ( n n N. (8.56 A n+2 B n A n B n+2 = b n+2 ( n n N. (8.57 Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (8.52 ja (8.53. Seuraus 2. A n+ B n+ A n B n = ( n B n B n+ n N. (8.58 A n+2 B n+2 A n B n = b n+2( n B n B n+2 n N. (
39 Seuraus 3. A 0 B 0 < A 2 B 2 < A 4 B 4 <... < A 2k B 2k < (8.60 kaikilla k, h N. < A 2h+ B 2h+ <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A B. (8.6 Todistus. Tuloksen (8.59 nojalla mikä todistaa epäyhtälöt (8.60. Samaten tuloksen (8.59 nojalla mikä todistaa epäyhtälöt (8.6. A 2k+2 B 2k+2 A 2k B 2k = b 2k+2 B 2k B 2k+2 > 0 k N (8.62 A 2h+3 B 2h+3 A 2h+ B 2h+ = b 2h+ B 2h+ B 2h+3 < 0 h N (8.63 Tutkitaan vielä epäyhtälöketjujen (8.60 ja (8.6 välistä epäyhtälöä. a Tapaus h k. Tällöin A 2h+ B 2h+ A 2k B 2k = A 2h+ B 2h+ A 2h B 2h + A 2h B 2h A 2k B 2k 8.58 = (8.64 b Tapaus h < k. Tällöin A 2h+ B 2h+ A 2k B 2k B 2h B 2h+ + A 2h B 2h A 2k B 2k 8.6 > A 2k+ A 2k 8.58 = B 2k+ B 2k 8.60 > 0. (8.65 B 2k B 2k+ > 0. (8.66 Siten A 2h+ B 2h+ A 2k B 2k > 0 h, k N. (
40 Lause 22. A n A n+, B n B n+, (8.68 A n B n n N. (8.69 Huomautus 6. Tuloksen (8.69 nojalla konvergentit An B n ovat supistetussa muodossa olevia rationaalilukuja. 8.3 Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 23. Olkoon [b 0 ; b,..., b n ] = A n B n, b 0 N, b,..., b m Z +, (8.70 äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b,...] konvergenttijono. Tällöin lim = τ, τ R +, (8.7 B n n A n ja 0 < τ A m < m N. (8.72 B m B m+ B m Todistus. Tuloksien (8.60 ja (8.6 nojalla jono ( A 2k B 2k on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Vastaavasti jono ( A 2h+ B 2h+ on vähenevä ja alhaalta rajoitettu. Täten lim = α 2, (8.73 B 2k k A 2k lim = α. (8.74 B 2h+ h Yhtälöstä (8.55 ja (8.58saadaan A 2h+ 0 < A 2k+ B 2k+ A 2k B 2k = B 2k B 2k+ (
41 F 2k+ F 2k+2 Edelleen raja-arvona saadaan A 2k+ A 2k 0 lim lim lim k B 2k+ k B 2k k ( 4k 5 k Z +. ( ( 4k 5, ( josta Siten α = α 2. (8.78 lim = α = α 2. (8.79 B n n A n Merkitään vielä τ = α = α 2. Tällöin (Laskarit mistä saadaan τ > 0 ja edelleen Vastaavasti (osoita! Siispä Lause 24. Olkoon 0 < A 2k B 2k < τ < A 2k+ B 2k+, ( < τ A 2k B 2k < A 2k+ B 2k+ A 2k B 2k = 0 < A 2k+ B 2k+ τ < B 2k B 2k+ k N. (8.8 B 2k+ B 2k+2 k N. ( < τ A m < m N. (8.83 B m B m+ B m [b 0 ; b,..., b n ] = A n B n, n N, (8.84 äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b,...] = τ konvergenttijono. Tällöin τ = b 0 + n=0 ( n B n B n+ (
42 ja Edelleen kaikilla m N. b m+2 B m B m+2 < (b m+ + 2B 2 m τ A m < m N. (8.86 B m B m+ B m < τ A m B m < b m+ Bm 2 B 2 m (8.87 Huomautus 7. Usein arvion (8.86 sijasta käytetään väljempää arviota (8.87. Todistus. Summataan yhtälö (8.58 puolittain, jolloin ja siten m n=0 Raja-arvona saadaan (8.85. Edelleen ( An+ A m n = B n+ B n n=0 ( n B n B n+ (8.88 m A m ( n = b 0 +. (8.89 B m B n=0 n B n+ τ A m B m = n=m ( n B n B n+, (8.90 missä alternoivan summan ominaisuuksilla saadaan < B m B m+ B m+ B m+2 τ A m <. (8.9 B m B m+ B m Vielä B m B m+ B m+ B m+2 = B m+2 B m B m B m+ B m+2 = b m+2 B m B m+2. (8.92 Lause 25. Äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo τ on irrationaalinen eli b 0 N, b, b 2,... Z + pätee τ = [b 0 ; b,...] / Q. (8.93 4
43 Todistus. Aluksi, Lauseen 23 nojalla τ R +. I tapa. Lauseen 8 nojalla rationaaliluvun esitys on päättyvä, joten päättymättömän arvo ei voi olla rationaalinen. II tapa. Vastaoletus [b 0 ; b,...] = τ = r/s Q +, r, s Z +. (8.94 Tuloksen (8.8 nojalla 0 < r s A 2k B 2k < B 2k B 2k+ k Z + (8.95 Täten Koska 0 < rb 2k sa 2k s B 2k+ k Z +. (8.96 rb 2k sa 2k Z +, (8.97 niin rb 2k sa 2k s B 2k+ k Z +. (8.98 Tuloksen (8.55 nojalla on olemassa sellainen k Z +, että joka johtaa ristiriitaan. Lause 26. Olkoon α R \ Q, α > 0 annettu ja olkoon s B 2k+ <, (8.99 [b 0 ; b,...] α (8.00 Ketjumurtoalgoritmilla muodostettu lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä. Tällöin α = [b 0 ; b,...] α. (8.0 42
44 Todistus. Olkoon ketjumurtolukuun [b 0 ; b,..., b k ] = A k B k (8.02 [b 0 ; b,...] α (8.03 liittyvä konvergenttijono. Toisaalta ketjumurtoalgoritmin identiteetin (8.6 nojalla missä α = [b 0 ; b,..., b m, α m ] = Ãm B m, (8.04 à m = α m A m + A m 2, Bm = α m B m + B m 2. (8.05 Lasketaan seuraavaksi B m à m A m Bm = B m (α m A m + A m 2 A m (α m B m + B m 2 = α m (A m B m A m B m + A m 2 B m A m B m 2 = ( m (α m b m = ( m {α m }. (8.06 Siten α A m = à m A m B m = B m B m {α m } 0. (8.07 B m B m m Lause 27. Olkoot b 0, c 0 N, b, c, b 2, c 2,... Z + ja [b 0 ; b,...] = [c 0 ; c,...], (8.08 tällöin b k = c k k N. (8.09 Siten irrationaaliluvun yksinkertainen ketjumurtokehitelmä on yksikäsitteinen. 43
45 Huomautus 8. Tarkastellaan ääretöntä yksinkertaista ketjumurtolukua jonka konvergenttijonolle pätee sillä rekursiot [,,,...] = [b 0, b,...], (8.0 [b 0, b,..., b m ] = A m B m = F m+2 F m+, (8. A k = A k + A k 2, B k = B k + B k 2 k = 2, 3,..., (8.2 antavat Fibonaccin jonoja. Koska nämä rekursiot osataan ratkaista Lukuteorian perusteet/link eli ( F k = k ( k 5, (8.3 2 niin raja-arvokin lim m saadaan kivuttomasti. Niinpä A m B m = lim m F m+2 F m+ = (8.4 [,,,...] = 5 +. (8.5 2 Yleensä, kuitenkin, rekursioitten ratkaiseminen on vaikeampaa, jolloin voidaan soveltaa esimerkiksi seuraavaa menettelyä. Lauseen 23 nojalla ketjumurtoluvun (8.0 arvo, olkoon se τ. Tällöin τ = [,,,...] = [, τ], τ R >, (8.6 joten τ = τ, τ =. (
46 8.4 Toisen asteen algebralliset luvut Määritelmä 7. Luku α C on toisen asteen algebrallinen luku, mikäli on olemassa sellaiset rationaaliluvut a, b Q, D Z, että α = a + b D, D / Q. (8.8 Luku α = a b D (8.9 on luvun α liittoluku. Toisen asteen algebralliset luvut (8.8 muodostavat 2. asteen neliökunnan Q( D = {a + b D a, b Q}. (8.20 Huomautus 9. Konjugointi eli liittoluvun ottaminen h(α = α = a b D, h : Q( D Q( D, (8.2 on rengasmorsmi (2 laskutoimitusta. Tällöin saadaan esimerkiksi α n = α n, nα = nα n Z; (8.22 α/β = α/β α, β Q( D. (8.23 Lause 28. Olkoon α C toisen asteen algebrallinen luku, tällöin on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, että Aα 2 + Bα + C = 0. (8.24 Määritelmä 8. Toisen asteen algebrallinen luku α C \ Q on toisen asteen irrationaaliluku eli α = a + b D, b 0, D / Q. (8.25 Lause 29. Irrationaaliluku α C \ Q on toisen asteen irrationaaliluku, mikäli on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, A 0, että Aα 2 + Bα + C = 0. (
47 8.5 Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Määritelmä 9. Yksinkertainen ketjumurtoluku [b 0 ; b,...] (8.27 on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että b n+l = b n, n Z N, (8.28 missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä [b 0 ; b,...] = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L ] = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L, b N,..., b N+L,...] (8.29 Jos [b 0 ; b,...] = [b 0,..., b L ], (8.30 niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Huomautus 0. Jos muuta ei sanota, niin jakso ja alkutermi valitaan mahdollisimman lyhyeksi. Käytetään myös termiä minimijakso. Esimerkki 8. Esimerkki 9. Esimerkki 20. Esimerkki 2. [] = (8.3 [2] = + 2, [, 2] = 2. (8.32 [3, 3, 6] =. (8.33 [0, 20] = 0. (
48 8.5. Eulerin lause Lause 30. Yksinkertainen päättymätön jaksollinen ketjumurtoluku α = [b 0 ; b,..., b N, c 0,..., c L ] (8.35 on reaalinen toisen asteen irrationaaliluku. Todistus. Merkitään jolloin β = [c 0,..., c L ], (8.36 α = [b 0 ; b,..., b N, β]. (8.37 Olkoon (C n /D n kehitelmän (8.36 konvergenttijono, tällöin Jaksollisuuden nojalla missä β = [c 0,..., c L, β] = C L D L, (8.38 C L = βc L + C L 2, DL = βd L + D L 2 (8.39 ja C k = c k C k + C k 2, D k = c k D k + D k 2 (8.40 kaikilla k = 2,..., L. Siten josta β = βc L + C L 2 βd L + D L 2, (8.4 D L β 2 + (D L 2 C L β C L 2 = 0. (8.42 Niinpä β on 2. asteen irrationaaliluku ja β Q( D, jollakin D Z (määrää D. Edelleen α = [b 0 ; b,..., b N, β] = ÃN B N, (
49 missä ja à N = βa N + A N 2, BN = βb N + B N 2 (8.44 A k = b k A k + A k 2, B k = b k B k + B k 2 (8.45 kaikilla k = 2,..., N. Siispä Siten α on 2. asteen irrationaaliluku. α = βa N + A N 2 βb N + B N 2 Q( D. (8.46 Esimerkki 22. Sovelletaan äskeisen todistuksen menetelmää ketjumurtolukuun α = [2, 3, 8,,,, 4]. (8.47 Nyt ja siten β = [,,, 4] (8.48 β = [,,, 4, β] = C 4 D 4, (8.49 missä C 0 D 0 =, C D = 2, C 0 = D 0 = D =, C = 2, (8.50 C 2 = c 2 C + C 0 = 3, C 3 = c 3 C 2 + C = 4, (8.5 D 2 = c 2 D + D 0 = 2, D 3 = c 3 D 2 + D = 9, (8.52 C 4 = βc 3 + C 2 = 4β + 3, D4 = βd 3 + D 2 = 9β + 2. (
50 Niinpä ja siten Edelleen β = 4β + 3 9β + 2, 3β2 4β + = 0, (8.54 β = ( α = [2, 3, 8, β] = Ã3 B 3, (8.56 A 0 = 2, B 0 =, A = 7, B = 3, A 2 = 58, B 2 = 25, (8.57 Ã 3 = βa 2 + A = 58β + 7, B3 = βb 2 + B = 25β + 3, (8.58 Sievennä vielä α:n lauseke. α = 58β β + 3 Q( 7. (8.59 Lemma. Kun α = [b 0, b,..., b n, α n ], niin α = α na n + A n 2 α n B n + B n 2 (8.60 α n = αb n 2 A n 2 αb n A n. (8.6 Lemma 2. Olkoot a, b Q, D Z. Tällöin luku α = a+b D Q( D voidaan esittää muodossa α = P + d Q, Q P 2 d, P, Q, d Z. (
51 8.5.2 Lagrangen lause Lause 3. Reaalisen neliökunnan positiivisen irrationaaliluvun α ketjumurtoesitys on jaksollinen. Todistus. Aluksi Lemman 2 nojalla saadaan esitys α 0 = α = P 0 + d Q 0, Q 0 P 2 0 d, P 0, Q 0, d Z. (8.63 Käytetään seuraavaksi ketjumurtoalgoritmia (8.2(8.7. Ensin α 0 = α 0 + {α 0 } = b 0 + {α 0 }, (8.64 missä Siten missä Tässä joten Edelleen pätee 0 < {α 0 } = P 0 b 0 Q 0 + d Q 0 <. (8.65 α = {α 0 } = P + d, (8.66 Q P = b 0 Q 0 P 0, Q = d P 2 Q 0. (8.67 Q 0 P 2 d, (8.68 P, Q Z. (8.69 Q P 2 d = Q Q. (8.70 Seuraavaksi jatketaan algoritmin mukaisesti α = α + {α } = b + {α }... (8.7 50
52 ja yleisemmin missä < α n = P n + d Q n, P n, Q n Z, (8.72 Q n P 2 n d. (8.73 Algoritmin mukaisesti α n = α n + {α n } = b n + {α n } ( < {α n } = P n b n Q n + d Q n <. (8.75 missä Tässä joten Edelleen pätee α n+ = {α n } = P n+ + d, (8.76 Q n+ P n+ = b n Q n P n, Q n+ = d P 2 n+ Q n. (8.77 Q n P 2 n+ d, (8.78 P n+, Q n+ Z. (8.79 Q n+ P 2 n+ d. (8.80 Seuraavaksi osoitetaan, että jonot (P k ja (Q k ovat rajoitettuja. Tarkastellaan lauseketta α n α n = P 2 n d Q 2 n = (8.8 αb n 2 A n 2 αb n A n αb n 2 A n 2 αb n A n = G n G n, (8.82 5
53 missä Harjoitustehtävän 7d nojalla G n = αb n 2 A n 2 αb n A n < 0 n Z + (8.83 ja G n = α A n 2 B n 2 B n 2 (8.84 α A n B B n n Koska α α, niin on olemassa sellainen n, että α A k B k < < 2 d = α α (8.85 Bk 2 Q 0 kaikilla k K = n 2. Tällöin, joko kaikilla k K. Siten α A k B k < 0 tai α A k B k > 0 (8.86 G k > 0 α k α k = P 2 k d Q 2 k = G k G k < 0, (8.87 josta P 2 k < d d < P k < d k K. (8.88 Edelleen yhtälöstä (8.72 ja (8.88 nähdään, että Q k Q k Q k Q k+ = d P 2 k+ d (8.89 Q k d k K. (8.90 Olkoon B = {(S, T Z 2 S d, T d}, (8.9 jonka mahtavuudelle pätee #B = M <. Välittömästi saadaan, että A = {(P k, Q k Z 2 k = K, K +,...} B. (
54 Siten joillakin 0 l < h M, pätee (P K+l, Q K+l = (P K+h, Q K+h. (8.93 Merkitään L = h l, jolloin α K+l = α K+L+l α K+l+ = α K+L+l+,... (8.94 Merkitään vielä N = K + l, jolloin b N+j = b N+L+j j = 0,,... (8.95 ja siten α = P + d Q Esimerkki 23. Olkoon d Z +. Tällöin = [b 0 ; b,..., b N, b N,..., b N+L ]. (8.96 d2 + 2 = [d, d, 2d]. (8.97 Todistus. Aluksi huomataan, että d 2 < d < (d + 2 d < d < d + d = d, { d 2 + 2} = d d. (8.98 Käytetään ketjumurtoalgoritmia d2 + 2 = d + d d = b 0 + {α 0 }, (8.99 α = {α 0 } = d2 + 2 d = d d 2 > 3 + joten (tästäkin näkee, että valitulle {α 0 }, pätee 0 < {α 0 } <. 2 >, (
55 Edelleen d2 + 2 d α =d + = b + {α }, 2 α 2 = {α } = 2 d2 + 2 d = d d = 2d + d d = b 2 + {α 2 }, (8.20 α 3 = {α 2 } = d2 + 2 d = α. Siten b 0 = d, b = d, b 2 = 2d, b 3 = b = d, b 4 = b 2 = 2d,... (8.202 Määritelmä 0. Toisen asteen irrationaaliluku α Q( D on redusoitu, jos α = a + b D >, ja < α = a b D < 0. (8.203 Lause 32. Toisen asteen positiivinen irrationaaliluku α Q( D on redusoitu täsmälleen silloin, kun sen ketjumurtoesitys on puhtaasti jaksollinen. Tarkemmin: α >, ja < α < 0 (8.204 α = [b 0,..., b L ] (8.205 α = [b L,..., b 0 ]. (8.206 Lause 33. Olkoot D Z 2, D / Q ja A = D. Tällöin D = [A, b, b 2,..., b 2, b, 2A]. (8.207 Todistus. Aluksi A = b 0 = D, A + D = 2A. (
56 Joten D = [b0 ; b, b 2,...] = [A; b, b 2,...] (8.209 ja Edelleen α := A + D = [2A; b, b 2,...]. (8.20 α = A D = ( D D, < α < 0 (8.2 eli α on redusoitu. Siten tuloksen (8.205 nojalla α = A + D = [2A, b,..., b L ] (8.22 D = [A, b,..., b L, 2A, b,..., b L, 2A,...] (8.23 eli D = [A, b,..., b L, 2A], (8.24 mistä saadaan D A = [0, b,..., b L, 2A]. (8.25 Tuloksen (8.206 nojalla josta Harjoitustehtävä 7a:n nojalla α = D A = [b L,..., b, 2A]. (8.26 D A = [0, bl,..., b, 2A]. (8.27 Verrataan vielä esityksiä (8.25 ja (8.27, joista saadaan b L = b, b L 2 = b 2,... (8.28 ja siten D = [A, b, b 2,..., b 2, b, 2A]. (
57 Esimerkki = [3,,,,, 6]. (8.220 Esimerkki = [5,,, 3, 5, 3,,, 0]. (8.22 Huomautus. Jaksollinen jono on rajoitettu ja erityisesti ylöspäin rajoitettu. Lause 34. Neperin luku e ei ole neliöllinen irrationaaliluku eli e / Q( D D Z. (8.222 Todistus. Myöhemmin, Seuraus 52 todistetaan, että e = [2,, 2,,, 4,,, 6,,...] = [2,, 2k, ] k=. ( Paras approksimaatio Kerrataan vielä, että rationaalilukujen nimittäjät oletetaan positiivisiksi (kuten yleensäkin tällä kurssilla. We assume that the denominators of rational numbers are positive. Määritelmä. Olkoon α R \ Q. Rationaaliluku r/s Q on α:n paras approksimaatio/best approximation, jos sα r < uα t t/u Q \ {r/s}, (9. missä u s. Parhaalle approksimaatiolle r/s pätee/for the best approximation holds α r < s α t u, jos u s. (9.2 56
58 ja t/u r/s. Siispä, jos t/u r/s ja α t α u r, (9.3 s niin u > s. Siten luvun α paras approksimaatio on sellainen rationaaliluku r/s, että kaikilla lukua α lähempänä olevilla rationaaliluvuilla on suurempi nimittäjä. The best approximation r/s is such a rational number, that every rational number which is closer to α has a bigger denominator. Lause 35. Olkoon α R \ Q ja (A k /B k sen konvergenttijono. Tällöin, jos uα t < B k α A k, u Z +, t Z, k Z +, (9.4 niin u B k+ > B k. Siten irrationaalisen luvun konvergentit ovat parhaita approksimaatioita/thus the convergents an irrational number are best approximations. Todistus. Vastaoletus: u < B k+. Osoitetaan ensin, että yhtälöryhmällä u = ab k + bb k+ ; t = aa k + ba k+ (9.5 on kokonaislukuratkaisu (a, b Z 2, ab < 0. Yhtälöryhmän determinantti B k B k+ A k A k+ = ( k 0, (9.6 joten saadaan ratkaisu a = ( k (ua k+ tb k+ ; b = ( k ( ua k + tb k. (9.7 57
59 Yhtälöistä (9.5 ja vastaoletuksesta saadaan, että u = ab k + bb k+ < B k+. (9.8 Näytetään seuraavaksi, että ab 0. Jos olisi a = 0, niin u = bb k+ < B k+, (9.9 johtaen ristiriitaan. Siten a 0. Jos b = 0, niin josta edelleen u = ab k, t = aa k, (9.0 uα t = a B k α A k > uα t, (9. johtaen ristiriitaan. Siten b 0. Tutkimalla epäyhtälöä (9.8 saadaan relaatiot a < 0 b > 0; a > 0 b < 0; (9.2 ab < 0. Edelleen uα t = a(b k α A k + b(b k+ α A k+ = ax + by, (9.3 missä (laskarit XY = (B k α A k (B k+ α A k+ < 0. (9.4 Katsomalla merkkikombinaatiot saadaan ax > 0 by > 0 ja ax < 0 by < 0 (9.5 kaikissa tapauksissa. Täten uα t = a X + b Y X + Y = (9.6 58
60 B k α A k + B k+ α A k+ > B k α A k. (9.7 Ristiriita. Lause 36. Olkoon α R \ Q ja (A k /B k sen konvergenttijono. Tällöin, jos α t u < α A k (9.8 niin u > B k. Todistus. Vastaoletus: u B k. Oletuksen (9.8 nojalla saadaan B k uα t < u B k B k α A k, (9.9 josta vastaoletuksen nojalla uα t < B k α A k. (9.20 Mutta tällöin Lauseen 35 mukaan u B k+ > B k. Ristiriita. Esimerkki 26. Tiedetään, että π = [3; 7, 5,, 292,,,, 2,...] / Q (9.2 ja A 0 = 3 B 0, A = 22 B 7, A 2 = 333 B 2 06, A 3 = 355,... (9.22 B 3 3 ovat π:n konvergentteja. Siten luku 22/7 on π:n paras approksimaatio Lauseen 35 nojalla. Edelleen Lauseen 36 mukaan ei ole olemassa sellaista rationaalilukua t/u, u 7, että se olisi lähempänä lukua π kuin 22/7. Esimerkiksi π 6 5 = > π 22 7 = (
61 Lause 37. Olkoon α R \ Q ja (A k /B k sen konvergenttijono. Tällöin, jos α r < s 2s, ( niin jollakin k. Todistus. Olkoon r s = A k B k, (9.25 r s A l B l l sa l rb l l. (9.26 Koska jono (B k on aidosti kasvava, niin on olemassa sellainen k, että Siten Lauseen 35 ja oletuksen (9.24 mukaan B k s < B k+. (9.27 B k α A k sα r < 2s (9.28 Toisaalta sb k mistä saadaan s < B k. Ristiriita. α A k <. (9.29 2sB k B k sa k rb k sb k = r s A k (9.30 α r + s α A k < + 2sB k 2s, (9.3 2 Lause 38. Olkoon α R \ Q ja (A k /B k sen konvergenttijono. Tällöin α A k < tai B k B k 2B 2 k α A k+ < B k+ 2B 2 k+ B k (9.32. (
62 0 Sovelluksia 0. Diofantoksen yhtälöitä Yleensä, Diofantoksen yhtälöt ovat kokonaislukukertoimisia polynomi- ja/tai eksponenttiyhtälöitä, joihin haetaan kokonaislukuratkaisuja. Määritelmä 2. Olkoon d Z, d / Q. Yhtälö x 2 dy 2 = (0. on Pellin yhtälö. Lause 39. Olkoon d Z 2, d / Q ja (A k /B k sen konvergenttijono. Tällöin, jos x, y Z + on Pellin yhtälön (0. ratkaisu, niin jollakin k N. Todistus. Yhtälön (0. mukaan x y = A k B k, (0.2 (x y d(x + y d = x y > d; (0.3 Niinpä joten Lauseen 37 nojalla jollakin k N. Esimerkki 27. x y d = x + y d. (0.4 x y d = y 2 (x/y + d < 2y, (0.5 2 x y = A k B k, (0.6 6
63 Tutkitaan yhtälöä x 2 2y 2 =. (0.7 Aluksi laskemalla konvergentteja nähdään, että (x, y = (3, 2 ja (x, y = (7, 2 ovat ratkaisuja. Muodostetaan lisäratkaisuja asettamalla β n = x n + y n 2 = ( n. (0.8 Tällöin β n β n = x 2 n 2y 2 n = ( n =. (0.9 Täten jokainen identiteetillä (0.8 määrätty pari (x n, y n Z 2 on ratkaisu. Edelleen, ratkaisemalla yhtälöt x n + y n 2 = ( n, x n y n 2 = (3 2 2 n (0.0 saadaan seuraavat esitysmuodot x n = 2 (( n + (3 2 2 n, (0. y n = 2 2 (( n (3 2 2 n. (0.2 Määrätään vielä rekursiot luvuille x n ja y n. Identiteetin (0.8 mukaan x n+ + y n+ 2 = ( (xn + y n 2 = 3xn + 4y n + (2x n + 3y n 2. (0.3 Koska ja 2 ovat lineaarisesti vapaita kunnan Q yli, niin x n+ = 3x n + 4y n ; y n+ = 2x n + 3y n. (0.4 62
64 Edelleen x n+2 = 6x n+ x n ; y n+2 = 6y n+ y n. (0.5 Huomaa vielä, että rekursioitten (0.5 karakteristinen polynomi on x 2 6x +, jonka nollakohdat ovat 3 ± 2 2. Katso Lukuteorian perusteet. Yleiset ketjumurrot Kerrataan, että Lauseen 6 nojalla ketjumurron konvergentit b 0 + a b + a 2 b b 0 + K n k= saadaan laskettua rekursioilla b 0 + K k= ( ak b k = b 0 + a ( ak b k b + a 2 b = (. (.2 = A n B n n N, (.3 A n+2 = b n+2 A n+ + a n+2 A n, (.4 B n+2 = b n+2 B n+ + a n+2 B n (.5 lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 =, A = b 0 b + a ja B = b. Lause 40. A n+ B n A n B n+ = ( n a a n+ n N. (.6 A n+2 B n A n B n+2 = ( n b n+2 a a n+ n N. (.7 63
65 Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (.4 ja (.5. Seuraus 4. A n+ B n+ A n B n = ( n a a n+ B n B n+ n N. (.8 A n+2 A n = ( n b n+2 a a n+ B n+2 B n B n B n+2 n N. (.9 Seuraus 5. Olkoot a k, b k R +, tällöin A 0 B 0 < A 2 B 2 < A 4 B 4 <... < A 2k B 2k < (.0 kaikilla k, h N. < A 2h+ B 2h+ <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A B. (. 2 Suppenemistarkasteluja Lause 4. Olkoot a k, b k C. Ketjumurtoluku ( K ak k= b k (2. suppenee, jos b k a k + k Z +. (2.2 Lause 42. Olkoot b k C, 0 < ɛ < π/2 ja π 2 + ɛ < arg b k < π 2 ɛ k Z+. (2.3 Tällöin ketjumurtoluku suppenee, jos ( K k= b k (2.4 b k =. (2.5 k= 64
66 Ei todisteta. Lause 43. Olkoot a k, b k R +. Ketjumurto ( K ak k= b k (2.6 suppenee, jos ja erityisesti, jos a a n+ B n B n+ 0, (2.7 b n+ n i= b2 i n+ i= a i Todistus. Edetään kuten Lauseen 23 todistuksessa. Nyt yhtälön (.8 mukaan pätee Täten suppenemiseen riittää tulos. (2.8 0 < A 2k+ B 2k+ A 2k B 2k = a a 2k+ B 2k B 2k+. (2.9 a a n+ B n B n+ 0. (2.0 Näytetään seuraavaksi, että tulos (2.0 seuraa ehdosta (2.8. Rekursion nojalla B k+2 = b k+2 B k+ + a k+2 B k > b k+2 B k+, (2. joten B k > b k b. (2.2 Siispä ehdon (2.8 nojalla Esimerkki 28. a a n+ B n B n+ < a a n+ b b n b b n+ 0. (2.3 65
67 K k= Osoitetaan, että ketjumurto (2.4 suppenee. Ratkaisu: ( k 2 R +. (2.4 2k + a a n+ = n 2 (n + 2 b b n b b n b n (2n + 2 (2n + 3 (n n n (2.5 Myöhemmin todistetaan vielä, että arctan = + K k= Esimerkki 29. Ketjumurto suppenee. ( k 2 2k+ K k= π 4 =. ( ( + i (2.7 Esimerkki 30. Ketjumurto suppenee. K k= ( i 2 (2.8 Esimerkki 3. Milloin ketjumurto b + a b + a b +... (2.9 suppenee? Esimerkki 32. τ = suppenee aikaisempien tulosten nojalla. Joten saadaan yhtälö (2.20 τ = τ τ = tai 2 (2.2 mutta kumpi?? 66
68 Toisaalta esimerkkien (2932 suppenemista voidaan tutkia myös ratkaisemalla konvergenttien osoittajonot ja nimittäjäjonot rekursioista ja laskemalla konvergenttijonon raja-arvo. 2. Rekursioitten ratkaisemista Jono (w n on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio w n 0. Määritelmä 3. Olkoot r, s C, s 0. Ei-triviaalia jonoa (w n, joka toteuttaa palautuskaavan w n+2 = rw n+ + sw n, n N (2.22 sanotaan Lucasin jonoksi. Ratkaistaan rekursio (2.22 yritteellä w n = x n, x C. (2.23 Rekursiosta (2.22 saadaan x 2 rx s = 0, (2.24 jonka ratkaisut ovat Määritelmä 4. Polynomi α = r + r 2 + 4s 2, β = r r 2 + 4s. ( K(x = K w (x = x 2 rx s = (x α(x β (2.26 on rekursion (2.22 karakteristinen polynomi. Lause 44. Olkoot a, b C. Tällöin on rekursion (2.22 ratkaisu. w n = aα n + bβ n (
69 Olkoon r 2 + 4s 0, tällöin α β. Siten rekursion (2.22 kaikki ratkaisut ovat muotoa (2.27, joillakin a, b C, jotka riippuvat jonon (w n alkuarvoista w 0, w. Esimerkki 33. Ketjumurron konvergenteille pätee b + a b + a b +... (2.28 A k+2 = ba k+ + aa k, B k+2 = bb k+ + ab k. (2.29 Rekursioiden karakteristinen polynomi on muotoa x 2 bx a = (x α(x β, (2.30 missä α = b + b 2 + 4a 2, β = b b 2 + 4a. (2.3 2 Siten rekursioitten (2.29 yleiset ratkaisut ovat A k = tα k + uβ k, B k = vα k + wβ k, (2.32 missä t, u, v, w saadaan alkuarvoyhtälöistä A 0 = tα 0 + uβ 0, A = tα + uβ, (2.33 B 0 = vα 0 + wβ 0, B = vα + wβ. (2.34 Tapaus a, b R, b 2 + 4a > 0, α > β. Tällöin A k B k = t + u(β/αk v + w(β/α k t k v (2.35 ja siten b + a a b + b = t +... v. (
70 Esimerkki 34. Ratkaisemalla rekursiot ja määräämällä raja-arvo saadaan vastaus τ = = 2 ( aikaisemman Esimerkin 32 kysymykseen. Nimittäin, nyt a = 2, b = 3, joten α = 2, β =. Siten rekursioitten (2.29 yleiset ratkaisut ovat muotoa A k = t2 k + u k, B k = v2 k + w k, (2.38 missä t = 4, u =, v = 2, w = saadaan alkuarvoyhtälöistä (2.33 A 0 = 3 = t + u, A = 7 = 2t + u, (2.39 B 0 = = v + w, B = 3 = 2v + w. (2.40 Siten A k = 4 2k B k 2 2 k = 4 (/2k 4 2 (/2 k k 2 = 2. (2.4 Jos osaosoittajat ja -nimittäjät eivät ole vakioita, niin rekursioiden ratkaiseminen eksplisiittisesti voi olla vaikeaa tai mahdotonta. Seuraavassa esimerkissä tarkastellaan tapausta, jossa ketjumurron arvo saadaan ilman, että rekusioita ratkaistaan. Esimerkki 35. Tutkitaan ketjumurron arvoa. Konvergenteille pätee: K n= ( n + n (2.42 A k+2 = (k + 2A k+ + (k + 3A k, B k+2 = (k + 2B k+ + (k + 3B k. (
71 Tutkimalla alkuarvoja A = 2, B = ; A 2 = 4, B 2 = 5; A 3 = 20, B 3 = 9; (2.44 A 4 = 00, B 4 = 0;... huomataan, että A n = B n + ( n+ (2.45 minkä voikin todistaa induktiolla. Lisäksi B n. Siten ( n + K n= = lim A n = lim B n + ( n+ =. (2.46 n B n B n 3 Irrationaalisuusehtoja Määritelmä 5. Ketjumurron häntä on ketjumurto Hännille pätee palautuskaava τ = K n= τ k = K n=k ( an b n ( an b n, (3.. (3.2 a k τ k =. (3.3 b k + τ k+ Huomautus 2. Mikäli ketjumurron (3. kaikki hännät suppenevat, niin tällöin pätee: A B Olkoot a k, b k Q, a k 0 kaikilla k. Tällöin τ k 0 a k 0. (3.4 τ Q τ k Q k Z +. (3.5 70
72 Lause 45. Olkoot a k, b k Z +. Jos a k b k k Z +, (3.6 niin Lause 46. Olkoot a k, b k Z. Jos ( K an n= b n / Q. (3.7 a k < b k k Z +, (3.8 ja τ k k Z +, (3.9 niin ( K an n= b n / Q. (3.0 Ennen lauseiden 45 ja 46 todistusta esitellään ketjumurtojen häntiin liittyvä tulos. Lause 47. Olkoot a k, b k Z. Jos 0 < τ k < k Z +, (3. niin ( K an n= b n / Q. (3.2 Todistus. Vastaoletus τ Q. Tällöin τ k = r k s k, r k Z, s k Z +, r k s k, r k s k k Z +. (3.3 Palautuskaavan (3.3 nojalla r k r k+ = s k+ (s k a k b k r k, (3.4 7
73 joten välttämättä s k+ r k s k+ r k k Z +. (3.5 Edelleen r k+ s k+ r k k Z +. (3.6 Täten saadaan ääretön aidosti vähenevä jono r > r 2 >... positiivisia kokonaislukuja. Ristiriita. Lauseen 45 todistus. Aluksi todetaan, että kaikki hännät suppenevat, joten τ k < 0 < τ k k Z +. (3.7 Edelleen 0 < τ k = Sovelletaan vielä Lausetta 47. a k b k + τ k+ 3.7 < a k b k 3.6. (3.8 Lemma 3. Olkoot a k, b k Z. Jos a k < b k k Z +, (3.9 niin τ k k Z +. (3.20 Todistus. Olkoon n Z + annettu. Asetetaan Oletuksen (3.9 nojalla κ n := a n b n, κ k := a k b k + κ k+, k = n,...,. (3.2 a k b k, k =,..., n, (3.22 ja 0 < κ n = a n b n <. (
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys Jakoalgoritmi Kantakehitelmät
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-1 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys 0-3 2.1 Jakoalgoritmi.................. 0-3 2.2 Kantakehitelmät................ 0-3 2.2.1 Kokonaisluvun b-kantakehitelmä.....
LisätiedotKETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho
KETJUMURTOLUVUT Tapani Matala-aho 5. helmikuuta 0 Sisältö Johdanto 3 Jakoalgoritmi, kantaesitys 4. Jakoalgoritmi............................. 4. Kantakehitelmät........................... 4.. Kokonaisluvun
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotYleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus
Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Pro gradu -tutkielma Jonna Luokkanen 22452 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 24 Sisältö Johdanto 2 Johdatus ketjumurtolukuihin 2 Ketjumurtoluvun
LisätiedotKetjumurtoluvut ja Pellin yhtälö
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Viivi Seppälä Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SEPPÄLÄ,
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotRationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotKetjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 1
Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin. x y Yllä olevassa kuvassa siis pitää olla x + y x = x y = ϕ. Tästä saadaan josta edelleen + y x = x y = ϕ, + ϕ = ϕ ja eli ϕ + = ϕ 2 ϕ 2 ϕ = 0. Tämä on toisen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotLuvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara
Luvun π irrationaalisuus Ilari Vallivaara 27. marraskuuta 24 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Todistuksen pääpiirteinen kulku 3 3 Todistus 4 Lähdeluettelo 9 1 1 Esipuhe Luvun π irrationaalisuus seuraa suoraan sen
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotSeuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat
3.3 Luokkaryhmä Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat muodostavat ryhmän. Määritelmä 3.39. Määritellään operaatio kahden samaa diksriminanttia olevan binäärisen
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotLukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.
Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Lisätiedot2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];
802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotRothin lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan pro gradu
Rothin lause Heikki Pitkänen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 0 Tiivistelmä: Heikki Pitkänen, Rothin lause. Matematiikan pro gradu -tutkielma, 47
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotKokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!
Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
Lisätiedot1 Tätä dokumenttia, Ketjumurtoluvuista.pdf, saa levittää vain yhdessä lähdekoodinsa
Sisältö Eukleideen algoritmi Jakoyhtälö positiivisille kokonaisluvuille 2 2 Eukleideen algoritmi 2 3 Laajennettu Eukleideen algoritmi 3 2 Ketjumurtoluvut 4 2 Irrationaalilukujen ketjumurtolukukehitelmä
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotJonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotPrimitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotJäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista
Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista LuK-tutkielma Antti Kaasila 11706 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 017 Sisältö Johdanto 1 Historiaa 11 Fibonaccin elämä 1 Fibonaccin lukujen
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
Lisätiedotja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotJohdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
Lisätiedot