2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];

Transkriptio

1 802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/ /2 ; 2 1/ /2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia lukuja. 2. Olkoon K kokonaisalue ja P (x), Q(x) K[x]. (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi deg 0(x) Z, niin a) kohdan astekaava ei toimisi. 3. Näytä, että renkaat (a) (b) eivät ole kokonaisalueita. Z 10 ; Z 10 [x]; 4. Olkoon R kommutatiivinen ykkösellinen rengas. (a) Näytä, että yksikköjen joukko R = {u R u 1 R : uu 1 = 1} on ryhmä kertolaskun suhteen.

2 (b) Osoita, että relaatio a b u R : b = ua on ekvivalenssirelaatio. (c) Määrää [1] = {b 1 b R}. 5. Määrää (a) (b) (c) (d) (e) (f) Z 10; Z 10 [x] ; Z m, m Z m 2 ; Z m [x], m Z m 2 ; Z[i] ; Z 5 [ 2] ; 6. Olkoon D kokonaisalue. Näytä, että (a) (b) (c) 0 0; a a a D. 1 a a D. 7. Olkoon R = Z[ 5]. (a) Onko R kokonaisalue? V: On. (b) Määrää R:n yksikköryhmä R. V: {1, 1}. (c) Määrää lukujen 3 ja liitännäisalkiot. (d) Ovatko 3 ja jaottomia? V: Ovat. (e) Ovatko 3 ja 2+ 5 alkualkioita? (Tutki yhtälöä 3 3 = (2+ 5)(2 5).) Eivät. (f) Onko R UFD? V: Ei. (g) Onko R Eukleideen alue? V: Ei.

3 8. Tutki polynomien x 4 + x + 1, x jaottomuutta polynomirenkaassa K[x], kun (a) K = Q; V: Jaottomia. (b) K = R; Jakaantuvat 2. asteen tekijöihin/luennot osa I. (Edelleen x = (x 2 2x + 1)(x 2 + 2x + 1).) (c) K = C; Jakaantuvat 1. asteen tekijöihin/katso luennot. (d) K = Z 2 ; x 4 + x + 1 jaoton, x = (x + 1) 4 (e) K = Z 3. x 4 + x + 1 jaoton, x = (x 2 + x + 2)(x 2 + 2x + 2) 9. Määrää SY T (a(x), b(x)) polynomirenkaassa Q[x], kun (a) a(x) = x 4 + x + 1, b(x) = x 4 + 1; V: 1. (b) a(x) = x 4 2x 3 + 3x 2 2x + 1, b(x) = 4x 3 6x 2 + 6x 2. V: x 2 x + 1. Saadaan lisäksi tulos a(x) = (x 2 x + 1) 2 ja b(x) = (4x 2)(x 2 x + 1). 10. Tutki polynomin x 4 2x 3 + 3x 2 2x + 1 = (x 2 x + 1) 2 nollakohtien kertalukuja polynomirenkaassa K[x], kun (a) K = Q; V: m(α) = 0, kaikilla α Q. (b) K = R; V: m(α) = 0, kaikilla α R. (c) K = C; V: m( ) = m( ) = 2 (d) K = Z 2 ; V: m(α) = 0, kaikilla α Z 2. (e) K = Z 3. V: m(0) = m(1) = 0, m(2) = Jaa polynomit (a) x x + 125; V: Jaoton. (b) 6x 2 + 7x 5 = (2x 1)(3x + 5) (c) 6x 4 + 7x 3 + 5x 2 + 7x 5; Jaoton. (d) x 4 + 7; Jaoton/Eisenstein. (e) x = (x 2 2x + 2)(x 2 + 2x + 2) (f) x 5 + x + 1 = (x 2 + x + 1)(x 3 x 2 + 1) (g) x 5 x + 1; V: Jaoton. jaottomiin primitiivisiin tekijöihin polynomirenkaassa Z[x]. 12. Määrää polynomin a(x) ja sen derivaatan Da(x) syt(a(x), Da(x)) polynomirenkaassa Q[x], kun (a) a(x) = x 5 x 4 + 2x 3 2x 2 1;

4 (b) a(x) = x 4 2x 3 + 3x 2 2x + 1. V: syt(a(x), Da(x)) = x 2 x + 1, joten polynomilla a(x) on neliötekijä. Mitä huomaat? 13. Olkoon D kokonaisalue. Osoita, että D[x] = D. 14. Olkoon K kunta, p(x) K[x] ja deg p(x) 1. Osoita, että n K (p(x)) deg p(x). 15. Näytä, että (a) 1 + x + x x 10 J Q[x] ; (b) 7 + 7x 14x 3 + 2x 5 J Q[x] ; (c) 2 14x 2 + 7x 4 + 7x 5 J Q[x] ; (d) 2 14(x 1) 2 + 7(x 1) 4 + 7(x 1) 5 J Q[x]. 16. Olkoon Näytä, että x 2 + bx + c = (x α)(x β) Q[x]. (a) α 2 + β 2 Q; (b) α 3 + 2αβ + β 3 Q. 17. Määrää luvun (a) 2 + 3; (b) 2 1/ /3 ; minimipolynomi. 18. Onko α = kokonainen algebrallinen luku? V: EI, koska M α (x) = x Tutki lukujen (a) e; (b) π; (c) iπ; (d) e + i; (e) i2 1/3 ; algebrallisuutta kuntien Q, R ja C suhteen. (tiedetään, että e ja π ovat transkendenttisia Q:n yli.) 20. Tutki lukujen

5 (a) π; (b) π; (c) π 2 ; algebrallisuutta kuntien Q, Q( π) ja Q( π) suhteen. 21. Olkoon K lukukunta ja σ : K C monomorfia. Osoita, että (a) σ(a) = a a Q. (b) σ(aα + bβ) = aσ(α) + bσ(β), a, b Q, α, β K. (c) σ(p(β)) = p(σ(β)) β K, p(x) Q[x]. 22. Määrää algebrallisten lukujen (a) α = 2 + 3; V: Write α 1 = 2 + 3, α 2 = 2 3, α 3 = 2 3, α 4 = 2 + 3, then M αi (x) = (x α 1 )(x α 2 )(x α 3 )(x α 4 ) = x 4 10x is irreducible giving deg Q α = 4 and on the other hand M α (x) = x 4 s 1 = x 3 + s 2 x 2 s 3 x + s 4 = x 4 10x implying s 1 = α 1 + α 2 + α 3 + α 4 = 0, s 2 = α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 1 α 4 + α 2 α 3 + α 2 α 4 + α 3 α 4 = 10, s 3 = α 1 α 2 α 3 + α 1 α 2 α 4 + α 2 α 3 α 4 = 0, s 4 = α 1 α 2 α 3 α 4 = 1. (b) α = 2 1/ /3 ; V: M α (x) = x 9 15x 6 87x 3 125, deg Q α = 9. Optional/EI vaadita. (c) α = 2 + 3; V: M α (x) = x 4 4x 2 + 1, deg Q α = 4. asteet ja liittoluvut kunnan Q suhteen sekä määrää vastaavien peruspolynomien arvot. s k (σ 1 (α), σ 2 (α),...), k = 1, 2,..., 23. Määrää algebrallisten kuntalaajennusten Q, α, β dimensiot ja kannat kunnan Q suhteen, kun (a) α = 2, β = 3; V: It is proved in Example 33 (lecture notes: small font version) that 3 / Q( 2). Next Q, 2, 3 = Q( 2), 3 = Q( 2)( 3) meaning that first we extend Q by 2 to Q( 2). Then we extend Q( 2) by 3 resulting Q( 2)( 3). By Theorem 42: Q( 2) = Q[ 2] = Q 1 + Q 2 := M. Q( 2)( 3) = M 1 + M 3 = Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 6 = 1, 2, 3, 6 Q the linear hull/verho over Q generated by the base {1, 2, 3, 6}.

6 Thus dim Q Q, 2, 3 = 4 = [Q( 2, 3) : Q] rank of the extension/laajennuksen aste. (b) α = 2 1/5, β = 0; (c) α = 2 + 3, β = 0; 24. Määrää algebrallisten kuntalaajennusten K, α, β, γ dimensiot ja kannat kunnan K suhteen, kun (a) α = 3, β = 5, γ = 15, K = Q; V: K, α, β, γ = Q, 3, 5, 15 = Q, 3, 5 (= Q, 3, 15 ), because 15 Q, 3, 5 (and 5 Q, 3, 15 ). dim Q Q, 3, 5 = 4. Q, 3, 5 = Q( 3)( 5) Q( 3) = Q 1 + Q 3 := M. Q( 3)( 5) = M 1 + M 5 = Q 1 + Q 3 + Q 5 + Q 15 = 1, 3, 5, 15 Q the linear hull over Q generated by the base {1, 3, 5, 15}. (b) α = 3, β = 5, γ = 0, K = Q( 15); (c) α = 3, β = 5, γ = 7, K = Q; (d) α = 3, β = 5, γ = 0, K = Q( 7); 25. Esitä kunnat K, α, β, γ (a) α = 3, β = 5, γ = 15, K = Q; (b) α = 3, β = 5, γ = 0, K = Q( 15); (c) α = 3, β = 5, γ = 7, K = Q; (d) α = 3, β = 5, γ = 0, K = Q( 7); muodossa Q(τ). 26. Olkoon deg Q α = n. Määrää lukukunta K = Q(α) muodossa kun Q + Qα Qα n 1, (a) α = 0; V: Because deg Q α = 2, therefore Q(α) = Q[α] = Q + Qα. (b) α 2 3 = 0; (c) α 2 + α + 1 = 0; (d) α 2 + 2α + 1 = 0; V: Because deg Q α = 1, therefore Q(α) = Q[α] = Q. (e) α 4 10α = 0. V: Because deg Q α = 4, therefore Q(α) = Q[α] = Q + Qα + Qα 2 + Qα 3.

7 Näytä vielä, että α 3 7 Q + Qα α 5 Qαn 1 + α + 2 mikäli lauseke on määritelty. a) α 2 = 1, α 3 = α,..., joten α3 7 = α 7 = 1 α+7 α 5 +α+2 2α+2 2 α2 +6α 7 = 3α = 1 α Olkoon K = Q(τ) lukukunta ja [K : Q] = m. Osoita, että (a) N(αβ) = N(α)N(β); (b) T (rα + sβ) = rt (α) + st (β); (c) N(r) = r m, T (r) = mr; kaikilla α, β K, r, s Q. 28. Osoita, että α / K = Q(τ), kun (a) α = 3 1/2 ja τ = 2 1/2 ; V: Example 33 (small font version). (α+7)(α 1) α 2 1 = (b) α = 3 1/2 ja τ = 2 1/3 ; V: deg Q α = 2 and [Q(τ) : Q] = 3. Use then Theorem 42 C(small font version). (c) α = 3 1/2 ja τ = 2 1/4 ; (d) α = 3 1/3 ja τ = 2 1/3 ; (e) α = 3 1/3 ja τ = 2 1/4 ; (f) α = 3 1/4 ja τ = 2 1/6 ; Vihje: Käytä jälkifunktiota ja tai dimensiotuloksia. 29. Olkoon n Z 2. Osoita, että 2 1/n + 3 1/n / Q. V: Numerically 3 < 2 1/ /2 < 4 and 2 < 2 1/n + 3 1/n < 3 for all n 3. Then proceed as in Example 37 (small font version). 30. Olkoon K = Q( d). Määrää renkaiden Z[ d] ja Z K kannat Z:n suhteen tapauksissa (a) d = 1; (b) d = 2; (c) d = 3; V: Z[ 3] = Z 1 + Z 3, thus base is {1, 3}. From the lectures Z Q( 3) = Z 1 + Z , thus base is {1, }. (d) d = 4; (e) d = 5.

8 Käytä luentojen Lausetta Olkoon K = Q( d). Määrää yksikköryhmät Z K tapauksissa (a) d = 1; (b) d = 2; (c) d = 3; (d) d = Olkoon K = Q( d). Osoita, että Z K on Eukleideen alue, kun (a) d = 1; (b) d = 2; (c) d = Olkoon K = Q( d). Osoita, että Z K ei ole Eukleideen alue=ed, kun (a) d = 5, esimerkiksi tutkimalla identiteettiä 3 3 = (2 + 5)(2 5). V: From the lectures we know that Z Q( 5) = Z + Z 5. Show then that the elements 3, 2 + 5, 2 5 Z K are irreducible: If e.g = βγ, β, γ Z K, then 9 = N(2 + 5) = N(β)N(γ). Consider the cases N(β) = 1, 3, 9. If N(β) = 1, then β Z K (is a unit) implying is irreducible; If N(β) = 3, β = a + b 5, then a 2 + 5b 2 = 3, a contradiction. If N(β) = 9, then γ Z K. Hence Z Q( 5) is not a UFD and can not therefore be an ED. 34. Määrää kaikki Gaussin kokonaislukujen renkaan Z[i] alkualkiot eli Gaussin alkuluvut π = a + ib Z[i], joille pätee (a) N(π) 13, 0 b a. V: 3, 1 + i, 2 + i and 3 + 2i because N(1 + i) = 2 P, then 1 + i P Z[i]. Similarly 2 + i, 3 + 2i P Z[i]. (b) N(π) 13. Piirrä kuva Gaussin tasoon. 35. Ratkaise Diofantoksen yhtälö y = x (a) Näytä, että 1 + i 1 i; V: 1 i = ( i)(1 + i). (b) Näytä, että 2 + i 1 + 2i; V: Determine all the conjugates of 2 + i. (c) Muodosta alkioiden 6 ja 10 alkutekijäkehitelmät; V: 6 = (1 + i)(1 i)3, 10 = (1 + i)(1 i)(2 + i)(2 i). Gaussin kokonaislukujen renkaassa Z[i].