802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II
|
|
- Matti Seppälä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II1 / 121
2 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Toisen asteen algebralliset luvut Määritelmä 1 Luku α C on toisen asteen algebrallinen luku, mikäli on olemassa sellaiset rationaaliluvut a, b Q, D Z, että α = a + b D, D / Q. (1.1) Luku α = a b D (1.2) on luvun α liittoluku. Toisen asteen algebralliset luvut (1.1) muodostavat 2. asteen neliökunnan Q( D) = {a + b D a, b Q}. (1.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II2 / 121
3 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Toisen asteen algebralliset luvut Huomautus 1 Konjugointi eli liittoluvun ottaminen h(α) = α = a b D, h : Q( D) Q( D), (1.4) on rengasmorfismi (2 laskutoimitusta). Tällöin saadaan esimerkiksi α n = α n, nα = nα n Z; (1.5) α/β = α/β α, β Q( D). (1.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II3 / 121
4 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Toisen asteen algebralliset luvut Lause 1 Olkoon α C toisen asteen algebrallinen luku, tällöin on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, että Aα 2 + Bα + C = 0. (1.7) Määritelmä 2 Toisen asteen algebrallinen luku α C \ Q on toisen asteen irrationaaliluku eli α = a + b D, b 0, D / Q. (1.8) Lause 2 Irrationaaliluku α C \ Q on toisen asteen irrationaaliluku, mikäli on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, A 0, että Aα 2 + Bα + C = 0. (1.9) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II4 / 121
5 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Määritelmä 3 Yksinkertainen ketjumurtoluku [b 0 ; b 1,...] (1.10) on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että b n+l = b n, n Z N, (1.11) missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä [b 0 ; b 1,...] = [b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1 ] = [b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1, b N,..., b N+L 1,...] (1.12) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II5 / 121
6 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Jos niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. [b 0 ; b 1,...] = [b 0,..., b L 1 ], (1.13) Huomautus 2 Jos muuta ei sanota, niin jakso ja alkutermi valitaan mahdollisimman lyhyeksi. Käytetään myös termiä minimijakso. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II6 / 121
7 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Esimerkki 1 Esimerkki 2 [1] = (1.14) [2] = 1 + 2, [1, 2] = 2. (1.15) Esimerkki 3 [3, 3, 6] = 11. (1.16) Esimerkki 4 [10, 20] = 101. (1.17) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II7 / 121
8 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Eulerin lause Lause 3 Yksinkertainen päättymätön jaksollinen ketjumurtoluku α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, c 0,..., c L 1 ] (1.18) on reaalinen toisen asteen irrationaaliluku. Todistus. Merkitään jolloin β = [c 0,..., c L 1 ], (1.19) α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, β]. (1.20) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II8 / 121
9 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Olkoon (C n /D n ) kehitelmän (1.19) konvergenttijono, tällöin Jaksollisuuden nojalla missä ja kaikilla k = 2,..., L 1. β = [c 0,..., c L 1, β] = C L D L, (1.21) C L = βc L 1 + C L 2, DL = βd L 1 + D L 2 (1.22) C k = c k C k 1 + C k 2, D k = c k D k 1 + D k 2 (1.23) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II9 / 121
10 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Siten josta β = βc L 1 + C L 2 βd L 1 + D L 2, (1.24) D L 1 β 2 + (D L 2 C L 1 )β C L 2 = 0. (1.25) Niinpä β on 2. asteen irrationaaliluku ja β Q( D), jollakin D Z (määrää D). Edelleen α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, β] = ÃN B N, (1.26) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 10 / 121
11 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut missä ja à N = βa N 1 + A N 2, B N = βb N 1 + B N 2 (1.27) A k = b k A k 1 + A k 2, B k = b k B k 1 + B k 2 (1.28) kaikilla k = 2,..., N 1. Siispä Siten α on 2. asteen irrationaaliluku. α = βa N 1 + A N 2 βb N 1 + B N 2 Q( D). (1.29) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 11 / 121
12 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Esimerkki 5 Sovelletaan äskeisen todistuksen menetelmää ketjumurtolukuun α = [2, 3, 8, 1, 1, 1, 4]. (1.30) Nyt ja siten β = [1, 1, 1, 4] (1.31) β = [1, 1, 1, 4, β] = C 4 D 4, (1.32) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 12 / 121
13 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut missä C 0 D 0 = 1, C 1 D 1 = 2, C 0 = D 0 = D 1 = 1, C 1 = 2, (1.33) C 2 = c 2 C 1 + C 0 = 3, C 3 = c 3 C 2 + C 1 = 14, (1.34) D 2 = c 2 D 1 + D 0 = 2, D 3 = c 3 D 2 + D 1 = 9, (1.35) C 4 = βc 3 + C 2 = 14β + 3, D 4 = βd 3 + D 2 = 9β + 2. (1.36) Niinpä β = 14β + 3 9β + 2, 3β2 4β + 1 = 0, (1.37) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 13 / 121
14 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut ja siten Edelleen β = (1.38) 3 α = [2, 3, 8, β] = Ã3 B 3, (1.39) A 0 = 2, B 0 = 1, A 1 = 7, B 1 = 3, A 2 = 58, B 2 = 25, (1.40) Ã 3 = βa 2 + A 1 = 58β + 7, B3 = βb 2 + B 1 = 25β + 3, (1.41) Sievennä vielä α:n lauseke. α = 58β β + 3 Q( 7). (1.42) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 14 / 121
15 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lemma 1 Kun α = [b 0, b 1,..., b n 1, α n ], niin α = α na n 1 + A n 2 α n B n 1 + B n 2 (1.43) α n = αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1. (1.44) Lemma 2 Olkoot a, b Q, D Z. Tällöin luku α = a + b D Q( D) voidaan esittää muodossa α = P + d, Q P 2 d, P, Q, d Z. (1.45) Q Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 15 / 121
16 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lagrangen lause Lause 4 Reaalisen neliökunnan positiivisen irrationaaliluvun α ketjumurtoesitys on jaksollinen. Todistus. Aluksi Lemman 2 nojalla saadaan esitys α 0 = α = P 0 + d Q 0, Q 0 P 2 0 d, P 0, Q 0, d Z. (1.46) Käytetään seuraavaksi ketjumurtoalgoritmia (??) (??). Ensin α 0 = α 0 + {α 0 } = b 0 + {α 0 }, (1.47) missä 0 < {α 0 } = P 0 b 0 Q 0 + d Q 0 < 1. (1.48) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 16 / 121
17 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Siten missä Tässä joten Edelleen pätee α 1 = 1 {α 0 } = P 1 + d, (1.49) Q 1 P 1 = b 0 Q 0 P 0, Q 1 = d P2 1 Q 0. (1.50) Q 0 P 2 1 d, (1.51) P 1, Q 1 Z. (1.52) Q 1 P 2 1 d = Q 1 Q 1. (1.53) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 17 / 121
18 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Seuraavaksi jatketaan algoritmin mukaisesti ja yleisemmin missä Algoritmin mukaisesti α 1 = α 1 + {α 1 } = b 1 + {α 1 }... (1.54) 1 < α n = P n + d Q n, P n, Q n Z, (1.55) Q n P 2 n d. (1.56) α n = α n + {α n } = b n + {α n } (1.57) 0 < {α n } = P n b n Q n + d Q n < 1. (1.58) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 18 / 121
19 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut missä Tässä joten Edelleen pätee α n+1 = 1 {α n } = P n+1 + d, (1.59) Q n+1 P n+1 = b n Q n P n, Q n+1 = d P2 n+1 Q n. (1.60) Q n P 2 n+1 d, (1.61) P n+1, Q n+1 Z. (1.62) Q n+1 P 2 n+1 d. (1.63) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 19 / 121
20 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Seuraavaksi osoitetaan, että jonot (P k ) ja (Q k ) ovat rajoitettuja. Tarkastellaan lauseketta α n α n = P2 n d Q 2 n = (1.64) αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 = G n G n, (1.65) missä Harjoitustehtävän 17d nojalla G n = αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 < 0 n Z + (1.66) ja G n = α A n 2 B n 2 B n 2 α A (1.67) n 1 B n 1 B n 1 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 20 / 121
21 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Koska α α, niin on olemassa sellainen n, että α A k < 1 B k B 2 k < 2 d Q 0 = α α (1.68) kaikilla k K = n 2. Tällöin, joko α A k B k < 0 tai α A k B k > 0 (1.69) kaikilla k K. Siten G k > 0 α k α k = P2 k d Q 2 k = G k G k < 0, (1.70) josta P 2 k < d d < P k < d k K. (1.71) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 21 / 121
22 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Edelleen yhtälöstä (1.55) ja (1.71) nähdään, että Q k 1 Q k Q k Q k+1 = d Pk+1 2 d (1.72) 1 Q k d k K. (1.73) Olkoon B = {(S, T ) Z 2 S d 1, 1 T d}, (1.74) jonka mahtavuudelle pätee #B = M <. Välittömästi saadaan, että A = {(P k, Q k ) Z 2 k = K, K + 1,...} B. (1.75) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 22 / 121
23 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Siten joillakin 0 l < h M, pätee (P K+l, Q K+l ) = (P K+h, Q K+h ). (1.76) Merkitään L = h l, jolloin α K+l = α K+L+l α K+l+1 = α K+L+l+1,... (1.77) Merkitään vielä N = K + l, jolloin b N+j = b N+L+j j = 0, 1,... (1.78) ja siten α = P + d Q = [b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1 ]. (1.79) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 23 / 121
24 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Esimerkki 6 Olkoon d Z +. Tällöin d = [d, d, 2d]. (1.80) Todistus. Aluksi huomataan, että d 2 < d < (d + 1) 2 d < d < d + 1 d = d, { d 2 + 2} = d d. (1.81) Käytetään ketjumurtoalgoritmia d = d + d d = b 0 + {α 0 }, (1.82) α 1 = 1 {α 0 } = 1 d d d = d > > 1, (1.83) 2 joten (tästäkin näkee, että) valitulle {α 0 }, pätee 0 < {α 0 } < 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 24 / 121
25 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Edelleen d α 1 =d d = b 1 + {α 1 }, 2 α 2 = 1 {α 1 } = 2 d d = d d = 2d + d d = b 2 + {α 2 }, (1.84) α 3 = 1 {α 2 } = 1 d d = α 1. Siten b 0 = d, b 1 = d, b 2 = 2d, b 3 = b 1 = d, b 4 = b 2 = 2d,... (1.85) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 25 / 121
26 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Määritelmä 4 Toisen asteen irrationaaliluku α Q( D) on redusoitu, jos Lause 5 α = a + b D > 1, ja 1 < α = a b D < 0. (1.86) Toisen asteen positiivinen irrationaaliluku α Q( D) on redusoitu täsmälleen silloin, kun sen ketjumurtoesitys on puhtaasti jaksollinen. Tarkemmin: α > 1, ja 1 < α < 0 (1.87) α = [b 0,..., b L 1 ] (1.88) 1 α = [b L 1,..., b 0 ]. (1.89) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 26 / 121
27 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 6 Olkoot D Z 2, D / Q ja A = D. Tällöin D = [A, b1, b 2,..., b 2, b 1, 2A]. (1.90) Todistus. Aluksi A = b 0 = D, A + D = 2A. (1.91) Joten D = [b0 ; b 1, b 2,...] = [A; b 1, b 2,...] (1.92) ja α := A + D = [2A; b 1, b 2,...]. (1.93) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 27 / 121
28 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Edelleen α = A D = ( D D ), 1 < α < 0 (1.94) eli α on redusoitu. Siten tuloksen (1.88) nojalla α = A + D = [2A, b 1,..., b L 1 ] (1.95) D = [A, b1,..., b L 1, 2A, b 1,..., b L 1, 2A,...] (1.96) eli D = [A, b1,..., b L 1, 2A], (1.97) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 28 / 121
29 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut mistä saadaan D A = [0, b1,..., b L 1, 2A]. (1.98) Tuloksen (1.89) nojalla 1 α = 1 D A = [b L 1,..., b 1, 2A]. (1.99) josta Harjoitustehtävä 17a:n nojalla D A = [0, bl 1,..., b 1, 2A]. (1.100) Verrataan vielä esityksiä (1.98) ja (1.100), joista saadaan b L 1 = b 1, b L 2 = b 2,... (1.101) ja siten D = [A, b1, b 2,..., b 2, b 1, 2A]. (1.102) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 29 / 121
30 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Esimerkki 7 13 = [3, 1, 1, 1, 1, 6]. (1.103) Esimerkki 8 31 = [5, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10]. (1.104) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 30 / 121
31 Ketjumurtoluvut/Continued fractions Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Huomautus 3 Jaksollinen jono on rajoitettu ja erityisesti ylöspäin rajoitettu. Lause 7 Neperin luku e ei ole neliöllinen irrationaaliluku eli e / Q( D) D Z. (1.105) Todistus. Myöhemmin, Seuraus 25 todistetaan, että e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1,...] = [2, 1, 2k, 1] k=1. (1.106) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 31 / 121
32 Paras approksimaatio Kerrataan vielä, että rationaalilukujen nimittäjät oletetaan positiivisiksi (kuten yleensäkin tällä kurssilla). We assume that the denominators of rational numbers are positive. Määritelmä 5 Olkoon α R \ Q. Rationaaliluku r/s Q on α:n paras approksimaatio/best approximation, jos missä 1 u s. sα r < uα t t/u Q \ {r/s}, (2.1) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 32 / 121
33 Paras approksimaatio Parhaalle approksimaatiolle r/s pätee/for the best approximation holds α r < α t, jos 1 u s. (2.2) s u ja t/u r/s. Siispä, jos t/u r/s ja α t α r, (2.3) u s niin u > s. Siten luvun α paras approksimaatio on sellainen rationaaliluku r/s, että kaikilla lukua α lähempänä olevilla rationaaliluvuilla on suurempi nimittäjä. The best approximation r/s is such a rational number, that every rational number which is closer to α has a bigger denominator. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 33 / 121
34 Paras approksimaatio Lause 8 Olkoon α R \ Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos uα t < B k α A k, u Z +, t Z, k Z +, (2.4) niin u B k+1 > B k. Siten irrationaalisen luvun konvergentit ovat parhaita approksimaatioita/thus the convergents an irrational number are best approximations. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 34 / 121
35 Paras approksimaatio Todistus. Vastaoletus: u < B k+1. Osoitetaan ensin, että yhtälöryhmällä { u = ab k + bb k+1 ; t = aa k + ba k+1 (2.5) on kokonaislukuratkaisu (a, b) Z 2, ab < 0. Yhtälöryhmän determinantti B k B k+1 A k A k+1 = ( 1)k 0, (2.6) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 35 / 121
36 Paras approksimaatio joten saadaan ratkaisu { a = ( 1) k (ua k+1 tb k+1 ); b = ( 1) k ( ua k + tb k ). (2.7) Yhtälöistä (2.5) ja vastaoletuksesta saadaan, että 1 u = ab k + bb k+1 < B k+1. (2.8) Näytetään seuraavaksi, että ab 0. Jos olisi a = 0, niin 1 u = bb k+1 < B k+1, (2.9) johtaen ristiriitaan. Siten a 0. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 36 / 121
37 Paras approksimaatio Jos b = 0, niin josta edelleen u = ab k, t = aa k, (2.10) uα t = a B k α A k > uα t, (2.11) johtaen ristiriitaan. Siten b 0. Tutkimalla epäyhtälöä (2.8) saadaan relaatiot a < 0 b > 0; a > 0 b < 0; ab < 0. (2.12) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 37 / 121
38 Paras approksimaatio Edelleen uα t = a(b k α A k ) + b(b k+1 α A k+1 ) = ax + by, (2.13) missä (laskarit) XY = (B k α A k )(B k+1 α A k+1 ) < 0. (2.14) Katsomalla merkkikombinaatiot saadaan ax > 0 by > 0 ja ax < 0 by < 0 (2.15) kaikissa tapauksissa. Täten uα t = a X + b Y X + Y = (2.16) B k α A k + B k+1 α A k+1 > B k α A k. (2.17) Ristiriita. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 38 / 121
39 Paras approksimaatio Lause 9 Olkoon α R \ Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos α t < u α A k (2.18) niin u > B k. Todistus. Vastaoletus: u B k. Oletuksen (2.18) nojalla saadaan josta vastaoletuksen nojalla B k uα t < u B k B k α A k, (2.19) uα t < B k α A k. (2.20) Mutta tällöin Lauseen 8 mukaan u B k+1 > B k. Ristiriita. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 39 / 121
40 Paras approksimaatio Esimerkki 9 Tiedetään, että ja π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2,...] / Q (2.21) A 0 = 3 B 0 1, A 1 = 22 B 1 7, A 2 = 333 B 2 106, A 3 = 355,... (2.22) B ovat π:n konvergentteja. Siten luku 22/7 on π:n paras approksimaatio Lauseen 8 nojalla. Edelleen Lauseen 9 mukaan ei ole olemassa sellaista rationaalilukua t/u, 1 u 7, että se olisi lähempänä lukua π kuin 22/7. Esimerkiksi π 16 5 = > π 22 7 = (2.23) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 40 / 121
41 Paras approksimaatio Lause 10 Olkoon α R \ Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos niin jollakin k. α r s < 1 2s 2, (2.24) r s = A k B k, (2.25) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 41 / 121
42 Paras approksimaatio Todistus. Olkoon r s A l B l l sa l rb l 1 l. (2.26) Koska jono (B k ) on aidosti kasvava, niin on olemassa sellainen k, että Siten Lauseen 8 ja oletuksen (2.24) mukaan B k s < B k+1. (2.27) B k α A k sα r < 1 2s (2.28) α A k < 1. 2sB k (2.29) B k Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 42 / 121
43 Paras approksimaatio Toisaalta mistä saadaan s < B k. Ristiriita. 1 sa k rb k sb k sb k = r s A k B k (2.30) α r + s α A k < sB k 2s 2, (2.31) B k Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 43 / 121
44 Paras approksimaatio Lause 11 Olkoon α R \ Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin α A k < 1 B k 2B 2 k (2.32) tai α A k+1 < 1 B k+1 2B 2 k+1. (2.33) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 44 / 121
45 Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Yleensä, Diofantoksen yhtälöt ovat kokonaislukukertoimisia polynomija/tai eksponenttiyhtälöitä, joihin haetaan kokonaislukuratkaisuja. Määritelmä 6 Olkoon d Z, d / Q. Yhtälö x 2 dy 2 = 1 (3.1) on Pellin yhtälö. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 45 / 121
46 Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Lause 12 Olkoon d Z 2, d / Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos x, y Z + on Pellin yhtälön (3.1) ratkaisu, niin jollakin k N. Todistus. Yhtälön (3.1) mukaan x y = A k B k, (3.2) (x y d)(x + y d) = 1 x y > d; (3.3) x y d = 1 x + y d. (3.4) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 46 / 121
47 Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Niinpä joten Lauseen 10 nojalla jollakin k N. Esimerkki 10 Tutkitaan yhtälöä x y d = 1 y 2 (x/y + d) < 1 2y 2, (3.5) x y = A k B k, (3.6) x 2 2y 2 = 1. (3.7) Aluksi laskemalla konvergentteja nähdään, että (x, y) = (3, 2) ja (x, y) = (17, 12) ovat ratkaisuja. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 47 / 121
48 Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Muodostetaan lisäratkaisuja asettamalla Tällöin β n = x n + y n 2 = ( ) n. (3.8) β n β n = x 2 n 2y 2 n = ( ) n = 1. (3.9) Täten jokainen identiteetillä (3.8) määrätty pari (x n, y n ) Z 2 on ratkaisu. Edelleen, ratkaisemalla yhtälöt x n + y n 2 = ( ) n, saadaan seuraavat esitysmuodot x n y n 2 = (3 2 2) n (3.10) x n = 1 2 (( ) n + (3 2 2) n ), (3.11) y n = (( ) n (3 2 2) n ). (3.12) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 48 / 121
49 Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Määrätään vielä rekursiot luvuille x n ja y n. Identiteetin (3.8) mukaan x n+1 +y n+1 2 = (3+2 2)(xn +y n 2) = 3xn +4y n +(2x n +3y n ) 2. (3.13) Koska 1 ja 2 ovat lineaarisesti vapaita kunnan Q yli, niin { x n+1 = 3x n + 4y n ; y n+1 = 2x n + 3y n. Edelleen { x n+2 = 6x n+1 x n ; y n+2 = 6y n+1 y n. (3.14) (3.15) Huomaa vielä, että rekursioitten (3.15) karakteristinen polynomi on x 2 6x + 1, jonka nollakohdat ovat 3 ± 2 2. Katso Lukuteorian perusteet. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 49 / 121
50 Yleiset ketjumurrot Kerrataan, että Lauseen?? nojalla ketjumurron konvergentit b 0 + a 1 b 1 + a 2 b b 0 + K n k=1 saadaan laskettua rekursioilla b 0 + K k=1 ( ak b k = b 0 + a 1 ) ( ak b k b 1 + ) a 2 b = (4.1) (4.2) = A n B n n N, (4.3) A n+2 = b n+2 A n+1 + a n+2 A n, (4.4) B n+2 = b n+2 B n+1 + a n+2 B n (4.5) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 = 1, A 1 = b 0 b 1 + a 1 ja B 1 = b 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 50 / 121
51 Yleiset ketjumurrot Lause 13 A n+1 B n A n B n+1 = ( 1) n a 1 a n+1 n N. (4.6) A n+2 B n A n B n+2 = ( 1) n b n+2 a 1 a n+1 n N. (4.7) Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (4.4) ja (4.5). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 51 / 121
52 Yleiset ketjumurrot Seuraus 1 Seuraus 2 A n+1 B n+1 A n B n = ( 1)n a 1 a n+1 B n B n+1 n N. (4.8) A n+2 B n+2 A n B n = ( 1)n b n+2 a 1 a n+1 B n B n+2 n N. (4.9) Olkoot a k, b k R +, tällöin A 0 B 0 < A 2 B 2 < A 4 B 4 <... < A 2k B 2k < (4.10) kaikilla k, h N. < A 2h+1 B 2h+1 <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A 1 B 1. (4.11) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 52 / 121
53 Suppenemistarkasteluja Lause 14 Olkoot a k, b k C. Ketjumurtoluku K k=1 ( ak b k ) (5.1) suppenee, jos b k a k + 1 k Z +. (5.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 53 / 121
54 Suppenemistarkasteluja Lause 15 Olkoot b k C, 0 < ɛ < π/2 ja π 2 + ɛ < arg b k < π 2 ɛ k Z+. (5.3) Tällöin ketjumurtoluku suppenee, jos ( ) 1 K k=1 b k (5.4) b k =. (5.5) k=1 Ei todisteta. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 54 / 121
55 Suppenemistarkasteluja Lause 16 Olkoot a k, b k R +. Ketjumurto ( K ak k=1 b k ) (5.6) suppenee, jos ja erityisesti, jos a 1 a n+1 B n B n+1 0, (5.7) b n+1 n i=1 b2 i n+1 i=1 a i. (5.8) Todistus. Edetään kuten Lauseen?? todistuksessa. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 55 / 121
56 Suppenemistarkasteluja Nyt yhtälön (4.8) mukaan pätee Täten suppenemiseen riittää tulos 0 < A 2k+1 B 2k+1 A 2k B 2k = a 1 a 2k+1 B 2k B 2k+1. (5.9) a 1 a n+1 B n B n+1 0. (5.10) Näytetään seuraavaksi, että tulos (5.10) seuraa ehdosta (5.8). Rekursion nojalla B k+2 = b k+2 B k+1 + a k+2 B k > b k+2 B k+1, (5.11) joten Siispä ehdon (5.8) nojalla a 1 a n+1 B n B n+1 < B k > b k b 1. (5.12) a 1 a n+1 b 1 b n b 1 b n+1 0. (5.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 56 / 121
57 Suppenemistarkasteluja Esimerkki 11 K k=1 ( ) k 2 R +. (5.14) 2k + 1 Osoitetaan, että ketjumurto (5.14) suppenee. Ratkaisu: a 1 a n+1 = n 2 (n + 1) 2 b 1 b n b 1 b n b n (2n + 1) 2 (2n + 3) (n + 1) 2 2n n (5.15) Myöhemmin todistetaan vielä, että arctan 1 = 1 ( ) π 1 + K k 2 4 = 1. (5.16) k=1 2k Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 57 / 121
58 Suppenemistarkasteluja Esimerkki 12 Ketjumurto suppenee. Esimerkki 13 Ketjumurto suppenee. K k=1 K k=1 ( 1 ) 1 + i ( ) i 2 (5.17) (5.18) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 58 / 121
59 Suppenemistarkasteluja Esimerkki 14 Milloin ketjumurto suppenee? b + a b + a b +... (5.19) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 59 / 121
60 Suppenemistarkasteluja Esimerkki 15 τ = suppenee aikaisempien tulosten nojalla. Joten saadaan yhtälö (5.20) τ = τ τ = 1 tai 2 (5.21) mutta kumpi?? Toisaalta esimerkkien (12 15) suppenemista voidaan tutkia myös ratkaisemalla konvergenttien osoittajonot ja nimittäjäjonot rekursioista ja laskemalla konvergenttijonon raja-arvo. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 60 / 121
61 Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Jono (w n ) on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio w n 0. Määritelmä 7 Olkoot r, s C, s 0. Ei-triviaalia jonoa (w n ), joka toteuttaa palautuskaavan w n+2 = rw n+1 + sw n, n N (5.22) sanotaan Lucasin jonoksi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 61 / 121
62 Suppenemistarkasteluja Ratkaistaan rekursio (5.22) yritteellä Rekursioitten ratkaisemista w n = x n, x C. (5.23) Rekursiosta (5.22) saadaan x 2 rx s = 0, (5.24) jonka ratkaisut ovat Määritelmä 8 Polynomi α = r + r 2 + 4s 2, β = r r 2 + 4s. (5.25) 2 K(x) = K w (x) = x 2 rx s = (x α)(x β) (5.26) on rekursion (5.22) karakteristinen polynomi. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 62 / 121
63 Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Lause 17 Olkoot a, b C. Tällöin on rekursion (5.22) ratkaisu. w n = aα n + bβ n (5.27) Olkoon r 2 + 4s 0, tällöin α β. Siten rekursion (5.22) kaikki ratkaisut ovat muotoa (5.27), joillakin a, b C, jotka riippuvat jonon (w n ) alkuarvoista w 0, w 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 63 / 121
64 Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Esimerkki 16 Ketjumurron konvergenteille pätee b + a b + a b +... (5.28) A k+2 = ba k+1 + aa k, B k+2 = bb k+1 + ab k. (5.29) Rekursioiden karakteristinen polynomi on muotoa x 2 bx a = (x α)(x β), (5.30) missä α = b + b 2 + 4a 2, β = b b 2 + 4a. (5.31) 2 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 64 / 121
65 Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Siten rekursioitten (5.29) yleiset ratkaisut ovat A k = tα k + uβ k, B k = vα k + wβ k, (5.32) missä t, u, v, w saadaan alkuarvoyhtälöistä A 0 = tα 0 + uβ 0, A 1 = tα 1 + uβ 1, (5.33) B 0 = vα 0 + wβ 0, B 1 = vα 1 + wβ 1. (5.34) Tapaus a, b R, b 2 + 4a > 0, α > β. Tällöin A k B k = t + u(β/α)k v + w(β/α) k t k v (5.35) ja siten b + a a b + b = t +... v. (5.36) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 65 / 121
66 Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Esimerkki 17 Ratkaisemalla rekursiot ja määräämällä raja-arvo saadaan vastaus τ = = 2 (5.37) +... aikaisemman Esimerkin 15 kysymykseen. Nimittäin, nyt a = 2, b = 3, joten α = 2, β = 1. Siten rekursioitten (5.29) yleiset ratkaisut ovat muotoa A k = t2 k + u1 k, B k = v2 k + w1 k, (5.38) missä t = 4, u = 1, v = 2, w = 1 saadaan alkuarvoyhtälöistä (5.33) A 0 = 3 = t + u, A 1 = 7 = 2t + u, (5.39) Siten B 0 = 1 = v + w, B 1 = 3 = 2v + w. (5.40) A k = 4 2k 1 B k 2 2 k 1 = 4 (1/2)k 4 2 (1/2) k = 2. (5.41) k 2 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 66 / 121
67 Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Jos osaosoittajat ja -nimittäjät eivät ole vakioita, niin rekursioiden ratkaiseminen eksplisiittisesti voi olla vaikeaa tai mahdotonta. Seuraavassa esimerkissä tarkastellaan tapausta, jossa ketjumurron arvo saadaan ilman, että rekusioita ratkaistaan. Esimerkki 18 Tutkitaan ketjumurron arvoa. Konvergenteille pätee: K n=1 ( ) n + 1 n (5.42) A k+2 = (k+2)a k+1 +(k+3)a k, B k+2 = (k+2)b k+1 +(k+3)b k. (5.43) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 67 / 121
68 Suppenemistarkasteluja Rekursioitten ratkaisemista Tutkimalla alkuarvoja A 1 = 2, B 1 = 1; A 2 = 4, B 2 = 5; A 3 = 20, B 3 = 19; A 4 = 100, B 4 = 101;... (5.44) huomataan, että A n = B n + ( 1) n+1 (5.45) minkä voikin todistaa induktiolla. Lisäksi B n. Siten ( ) n + 1 K n=1 = lim A n = lim B n + ( 1) n+1 = 1. (5.46) n B n B n Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 68 / 121
69 Irrationaalisuusehtoja Määritelmä 9 Ketjumurron häntä on ketjumurto τ = K n=1 τ k = K n=k ( an b n ( an b n ), (6.1) ). (6.2) Hännille pätee palautuskaava τ k = a k b k + τ k+1. (6.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 69 / 121
70 Irrationaalisuusehtoja Huomautus 4 Mikäli ketjumurron (6.1) kaikki hännät suppenevat, niin tällöin pätee: A) τ k 0 a k 0. (6.4) B) Olkoot a k, b k Q, a k 0 kaikilla k. Tällöin τ Q τ k Q k Z +. (6.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 70 / 121
71 Irrationaalisuusehtoja Lause 18 Olkoot a k, b k Z +. Jos a k b k k Z +, (6.6) niin ( K an n=1 b n ) / Q. (6.7) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 71 / 121
72 Irrationaalisuusehtoja Lause 19 Olkoot a k, b k Z. Jos 1 a k < b k k Z +, (6.8) ja τ k 1 k Z +, (6.9) niin ( K an n=1 b n ) / Q. (6.10) Ennen lauseiden 18 ja 19 todistusta esitellään ketjumurtojen häntiin liittyvä tulos. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 72 / 121
73 Irrationaalisuusehtoja Lause 20 Olkoot a k, b k Z. Jos 0 < τ k < 1 k Z +, (6.11) niin ( K an n=1 b n ) / Q. (6.12) Todistus. Vastaoletus τ Q. Tällöin τ k = r k s k, r k Z, s k Z +, r k s k, 1 r k s k 1 k Z +. (6.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 73 / 121
74 Irrationaalisuusehtoja Palautuskaavan (6.3) nojalla joten välttämättä Edelleen r k r k+1 = s k+1 (s k a k b k r k ), (6.14) s k+1 r k s k+1 r k k Z +. (6.15) r k+1 s k+1 1 r k 1 k Z +. (6.16) Täten saadaan ääretön aidosti vähenevä jono r 1 > r 2 >... positiivisia kokonaislukuja. Ristiriita. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 74 / 121
75 Irrationaalisuusehtoja Lauseen 18 todistus. Aluksi todetaan, että kaikki hännät suppenevat, joten Edelleen τ k < 0 < τ k k Z +. (6.17) 0 < τ k = Sovelletaan vielä Lausetta 20. a k b k + τ k < a k b k (6.18) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 75 / 121
76 Irrationaalisuusehtoja Lemma 3 Olkoot a k, b k Z. Jos 1 a k < b k k Z +, (6.19) niin τ k 1 k Z +. (6.20) Todistus. Olkoon n Z + annettu. Asetetaan κ n := a n b n, κ k := a k b k + κ k+1, k = n 1,..., 1. (6.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 76 / 121
77 Irrationaalisuusehtoja Oletuksen (6.19) nojalla 1 a k b k 1, k = 1,..., n, (6.22) ja 0 < κ n = Edelleen kolmioepäyhtälön nojalla a n b n < 1. (6.23) b n 1 + κ n b n 1 κ n b n 1 κ n > b n 1 1 a n 1 (6.24) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 77 / 121
78 Irrationaalisuusehtoja Siispä eli ja lopulta Niinpä ja samaten 0 < κ n 1 = a n 1 b n 1 + κ n < 1 (6.25) 0 < a n 1 0 < < 1,..., (6.26) b n 1 + an b n a 1 a 2 a n b 1 + b b n = A n < 1. (6.27) B n τ = lim A n B n τ 1 (6.28) τ k 1 k Z +. (6.29) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 78 / 121
79 Irrationaalisuusehtoja Lauseen 19 todistus. Lauseen 19 todistus. Lemman 3 nojalla τ k 1 k Z +. (6.30) Edelleen kaikkien ehtojen nojalla 0 < τ k < 1 k Z +, (6.31) joten Lausetta 20 käyttämällä saadaan väite. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 79 / 121
80 Irrationaalisuusehtoja Huomautus 5 Esimerkin (17) nojalla joten vaikka Lauseen 19 ehto (6.8) τ = = 2, (6.32) τ 1 = 2 2 = 1 Q (6.33) a k < b k k Z +, (6.34) toteutuu. Mutta nyt τ 1 = 1. (6.35) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 80 / 121
81 Irrationaalisuusehtoja Huomautus 6 Olkoot a k, b k Z +. Tarkastellaan irrationaalisuusehdon (6.6): a k b k k Z +, (6.36) rajamaastoa. Tiedetään, että K n=1 ( n n ) / Q (6.37) ja Mutta K n=1 K n=1 ( ) n + 1 = 1 Q. (6.38) n ( ) n 2 / Q. (6.39) 2n + 1 Siten, jos ehto (6.36) ei toteudu eli a k b k + 1, niin ketjumurto voi olla joko rationaalinen tai irrationaalinen. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 81 / 121
82 Transformaatioita Lause 21 Olkoot t k 0 kaikilla k. Tällöin b 0 + a 1 b 1 + a 2 b = (7.1) eli missä b 0 + t 1a 1 t 1 t 2 a 2 t 2 t 3 a 3 t 1 b 1 + t 2 b 2 + t 3 b K k=1 ( ak b k ) = K k=1 ( ck d k (7.2) ), (7.3) d 0 = b 0, c 1 = t 1 a 1, d 1 = t 1 b 1, (7.4) c k = t k 1 t k a k, d k = t k b k, k = 2, 3,... (7.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 82 / 121
83 Transformaatioita Todistus. Olkoot (A n /B n ) ja (C n /D n ) ketjumurtojen konvergenttijonot. Näytetään, että C n = t 1 t n A n, D n = t 1 t n B n n = 1, 2,... (7.6) Induktiolla käyttäen rekursioita C n+2 = d n+2 C n+1 + c n+2 C n, (7.7) D n+2 = d n+2 D n+1 + c n+2 D n, n = 0, 1,... (7.8) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 83 / 121
84 Kehitelmiä Hypergeometriset sarjat Seuraavassa tutkitaan lukujen ja funktioiden sarjakehitelmiin liittyviä rekursioita, joiden avulla muodostetaan laajahko luokka ketjumurtokehitelmiä. Pochhammerin symboli määritellään asettamalla jolloin esimerkiksi Formaalia sarjaa (a) 0 = 1, (a) n = a(a + 1) (a + n 1), (8.1) ( a1,..., a ) A AF B t = b 1,..., b B (1) n = n! n Z +. (8.2) n=0 kutsutaan yleistetyksi hypergeometriseksi sarjaksi. Seuraavassa ei välttämättä tutkita sarjojen suppenemista. (a 1 ) n (a A ) n n!(b 1 ) n (b B ) n t n (8.3) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 84 / 121
85 Kehitelmiä Hypergeometriset sarjat Erikoistapauksia: Gauss hypergeometric series 2F 1 ( a, b c ) t = n=0 (a) n (b) n n!(c) n t n. (8.4) Geometric series 2F 1 ( 1, 1 1 ) ( 1 t = 1 F 0 ) t = t n (8.5) n=0 Jos A = 0 tai B = 0, niin käytetään merkintää. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 85 / 121
86 Kehitelmiä Hypergeometriset sarjat Logarithm series Binomial series: Arcustangent: 2F 1 ( 1, 1 2 2F 1 ( 1, α 1 2F 1 ( 1, 1/2 3/2 ) log(1 t) t = = t ) t = (1 t) α = ) t 2 = arctan t t = n=0 n=0 n=0 1 n + 1 tn (8.6) ( ) α ( t) n (8.7) n ( 1) n 2n + 1 t2n+1 (8.8) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 86 / 121
87 Eksponenttifunktio: 0F 0 ( Kehitelmiä ) t = exp(t) = Hypergeometriset sarjat n=0 jonka avulla saadaan sarjaesitykset seuraaville funktioille. Trigonometriset funktiot 1 n! tn (8.9) sin(t) = eit e it 2i Hyperboliset funktiot, cos(t) = eit + e it, 2 sinh(t) = et e t, cosh(t) = et + e t, 2 2 tan(t) = sin(t) cos(t). (8.10) tanh(t) = sinh(t) cosh(t). (8.11) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 87 / 121
88 Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Sarjalle pätee palautuskaava josta saadaan f (c) = 0 F 1 ( c f (c) = f (c + 1) + f (c + k) = f (c + k + 1) + ) t = n=0 1 n!(c) n t n (8.12) t f (c + 2), (8.13) c(c + 1) t f (c + k + 2). (8.14) (c + k)(c + k + 1) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 88 / 121
89 Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Niinpä t f (c + k) f (c + k + 1) = 1 + (c+k)(c+k+1) f (c + k + 1)/f (c + k + 2). (8.15) Toistetaan yhtälöä (8.15), jolloin t f (c) f (c + 1) = 1 + (c)(c+1) f (c + 1)/f (c + 2) = (8.16) t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) f (c+2)/f (c+3) Voidaan todistaa, että ketjumurtokehitelmä suppenee kaikilla t C kohti funktiota t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) =... (8.17) (8.18) f (c) f (c + 1), (8.19) Tapani siten Matala-aho käyttämällä MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN vielä muunnosta S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO (7.3)saadaan OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 89 / 121
90 Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Lause 22 Olkoon c, t C, c 0, 1, 2,... Tällöin f (c) f (c + 1) = t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) = (8.20) t/c 1 + c t c+2+ t c (8.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 90 / 121
91 Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Lemma 4 sinh z = z 0 F 1 ( 3/2 ) z2 = 4 cosh z = 0 F 1 ( 1/2 z2 4 tanh z = z 0 F 1 n=0 ) = ( 3/2 0F 1 ( 1/2 1 (2n + 1)! z2n+1 ; (8.22) 1 (2n)! z2n ; (8.23) ) n=0 z2 4 z2 4 ). (8.24) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 91 / 121
92 Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Lemma 5 sin z = z 0 F 1 ( 3/2 cos z = 0 F 1 ( 1/2 ) z2 = 4 z2 4 tan z = z 0 F 1 n=0 ( 1) n (2n + 1)! z2n+1 ; (8.25) ) ( 1) n = (2n)! z2n ; (8.26) n=0 ) z2 4 ). (8.27) z2 ( 3/2 0F 1 ( 1/2 4 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 92 / 121
93 Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Lause 23 Kaikilla z C, z i(π/2 + kπ), k Z pätee Todistus. Lauseen 22 mukaan tanh z = ez e z e z + e z = z z 2 z 2 z (8.28) +... tanh z = ez e z e z + e z = z 0 F 1 ( 3/2 0F 1 ( 1/2 z2 4 z2 4 ) ) = (8.29) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 93 / 121
94 Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 z f (1/2)/f (3/2) = t=z 2 /4,c=1/2 = = 1 + z z 2 3+ z2 5+ z z t/c t c+1+ c+2+ t c z z 2 /2 z 3/2+ 2 /4 5/2+ z2 /4 7/2+... (8.30) (8.31). (8.32) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 94 / 121
95 Kehitelmiä Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Lause 24 Kaikilla z C, z π/2 + kπ, k Z pätee tan z = z 1 + z 2 z 2 z (8.33) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 95 / 121
96 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Seuraus 3 Kaikilla z C pätee e 2z = 1 + Todistus. Yhtälön (8.28) nojalla e 2z = 1 + 2z z 2 z 2 1 z (8.34) tanh z = z = (8.35) 1 1+ z2 z missä z 1+τ = 1 + z + τ 1 z + τ = 1 + 2z 1 z + τ, (8.36) τ = z2 z (8.37) +... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 96 / 121
97 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Seuraus 4 e = 1 + 2[0, 1, 4k + 2] k=1 = I. Todistus. Asetetaan z = 1/2 kehitelmään (8.34), jolloin (8.38) +... e = /4 1/4 7.3 = (8.39) 1/ (8.40) +... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 97 / 121
98 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Lause 25 e = [2, 1, 2k, 1] k=1 = (8.41) +... e 2 = [7, 3k 1, 1, 1, 3k, 12k + 6] k=1. (8.42) Todistus. Todistetaan (8.41), kehitelmä (8.42) menee vastaavasti. Lähdetään kehitelmästä (8.38), missä merkitään α = β 1 = (8.43) +... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 98 / 121
99 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Käytetään myös merkintöjä ja β k = 1 d k + β k+1, d k = 4k 2, k = 2, 3,... (8.44) α 0 = β 1 = 2 d 1 + β 2 = β 2. (8.45) Sovelletaan ketjumurtoalgoritmia lukuun α 0 = [b 0, b 1,...]. Sijoitetaan 1 β 2 = = 1 (8.46) d 2 + β β 3 yhtälöön (8.45), Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART II 99 / 121
100 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle jolloin α 0 = β β 3 = β β 3 = b 0 + {α 0 }; (8.47) α 1 = 1 {α 0 } = 7 + β β 3 = β 3 = b 1 + {α 1 }; (8.48) α 2 = 1 {α 1 } = 5 + β 3 2 = β 3 2 = b 2 + {α 2 }; (8.49) α 3 = 1 {α 2 } = β 3. (8.50) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART100 II / 121
101 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Sijoitetaan yhtälöön (8.50), jolloin β 3 = 1 d 3 + β 4 = β 4 (8.51) α 3 = 2d 3 + 2β 4 d β 4 = 1 + d β 4 d β 4 = b 3 + {α 3 }; (8.52) α 4 = 1 {α 3 } = d β 4 2 = 1 + = b 4 + {α 4 }; (8.53) d β 4 d β 4 α 5 = 1 {α 4 } = d β 4 2 = d β 4 2 = b 5 + {α 5 }; (8.54) α 6 = 1 {α 5 } = β 4. (8.55) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART101 II / 121
102 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Yleisemminkin johon sijoitetaan Tällöin α 3l 3 = β l+1 = 1 {α 3l 4 } = 2, (8.56) 1 + β l+1 1 d l+1 + β l+2. (8.57) α 3l 3 = 2d l+1 + 2β l+2 d l β l+2 = (8.58) 1 + d l β l+2 d l β l+2 = b 3l 3 + {α 3l 3 }; (8.59) α 3l 2 = {α 3l 3 } = d l β l+2 d l β l+2 = (8.60) 2 d l β l+2 = b 3l 2 + {α 3l 2 }; (8.61) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART102 II / 121
103 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle siten jälleen Niinpä ja siten josta α 3l 1 = d l {α 3l 2 } = d l β l+2 2 α 3l = β l+2 2 b 3l 1 = d l = (8.62) = b 3l 1 + {α 3l 1 }; (8.63) 1 {α 3l 1 } = 2. (8.64) 1 + β l+2 = 2l, b 3l = b 3l+1 = 1 (8.65) α = β 1 = [1, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,...], (8.66) e = 1 + β 1 = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,...]. (8.67) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART103 II / 121
104 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle II. Todistus. Tutkitaan konvergenttijonoa missä A n B n = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,..., b n ], (8.68) A 3n+1 = A 3n + A 3n 1, B 3n+1 = B 3n + B 3n 1 ; (8.69) A 3n+2 = 2(n + 1)A 3n+1 + A 3n, B 3n+2 = 2(n + 1)B 3n+1 + B 3n ; (8.70) A 3n+3 = A 3n+2 + A 3n+1, B 3n+3 = B 3n+2 + B 3n+1. (8.71) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART104 II / 121
105 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Asetetaan Lemma 6 α n = 1 n! β n = 1 n! γ n = 1 n! x n (x 1) n e x dx, (8.72) x n+1 (x 1) n e x dx, (8.73) x n (x 1) n+1 e x dx. (8.74) α n = β n 1 γ n 1 ; (8.75) β n = 2nα n + γ n 1 ; (8.76) γ n = β n α n. (8.77) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART105 II / 121
106 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Huomataan, että integraaleista tulee lineaarikombinaatioita luvuista 1 ja e, joten merkitään: Lemma 7 α n = v 3n 2 e t 3n 2 ; (8.78) β n = t 3n 1 v 3n 1 e; (8.79) γ n = t 3n v 3n e. (8.80) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART106 II / 121
107 Kehitelmiä Kehitelmiä Neperin luvulle Lemma 8 v n = B n n N. (8.81) Lemma 9 B 3n 2 e A 3n 2 = α n B 3n 1 e A 3n 1 = β n B 3n e A 3n = γ n 0; (8.82) n 0; (8.83) n 0; (8.84) n Todistus. lim A n B n = e e = [2, 1, 2k, 1] k=1. (8.85) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART107 II / 121
108 Irrationaalisuustuloksia Lause 26 Olkoon r/s Q, tällöin e r/s / Q. (9.1) Todistetaan tapaus z = r Z \ {0}. Yhtälön (8.28) nojalla Vastaoletus e 2r 1 e 2r + 1 = r r 2 r r 2 2k 1 + τ k+1 = τ. (9.2) e r Q e2r 1 e 2r Q. (9.3) + 1 Toisaalta, valitaan k niin isoksi, että jolloin Lauseen 18 nojalla Ristiriita. Tapaus e r/s kotitehtävä. b k+1 = 2k + 1 > r 2 = a k+1, (9.4) τ k+1 / Q τ / Q. (9.5) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART108 II / 121
109 Irrationaalisuustuloksia Lause 27 π / Q (9.6) I. Todistus. Valitaan z = π/4, jolloin tan z = 1 ja yhtälön (8.33) nojalla z = 1 + z2 z 2 z (9.7) +... Vastaoletus π Q. Olkoon z = π/4 = r/s, r Z, s Z +, jolloin r s = 1 + (r/s)2 (r/s) 2 (r/s) = (9.8) r 2 r 2 r 2 3s s 2 = τ, (9.9) +... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART109 II / 121
110 Irrationaalisuustuloksia missä b k = (2k + 1)s 2 2 k, b k = 2k k, (9.10) a k = r 2, k Z +. (9.11) Nyt b k a k + 1, k k 0 = r (9.12) 2 ja siten Lemman 3 mukaan τ k 1 k k 0. (9.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART110 II / 121
111 Irrationaalisuustuloksia Edelleen 0 < τ k = Siispä Lauseen 20 nojalla a k b k + τ k+1 a k b k τ k+1 (9.14) a k b k 1 r 2 2k < r k k 0. (9.15) 2k τ k / Q τ / Q. (9.16) Ristiriita, sillä τ = r/s. Täten vastaoletus väärä eli π / Q. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART111 II / 121
112 Irrationaalisuustuloksia II. Todistus. Tutkitaan integraaleja I n (π) = 1 2n! π jotka toteuttavat seuraavat ehdot (laskarit): 0 x n (π x) n sin x dx, (9.17) I n (t) Z[t] deg t I n = n; (9.18) 0 < I n (π) π2n+1. (9.19) n!22n+1 Vastaoletus π = r/s Q. Tällöin joten Ristiriita. s n I n (r/s) Z, (9.20) 1 s n I n (r/s) sn π 2n+1 n!2 2n+1 n 0. (9.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART112 II / 121
113 Irrationaalisuustuloksia Tarkemmin. Käytetään merkintää g(x) = x n (π x) n, jolloin osittaisintegroinnilla J m = π 0 g(x) sin x dx = g(0) + g(π) g (2) (0) g (2) (π) (9.22) Tässä + g (4) (0) + g (4) (π) g (6) (0) g (6) (π) +... (9.23) g (k) (0) = g (k) (π) = 0, k n 1, k 2n + 1 (9.24) ja ( ) n g (k) (0) = ( 1) k g (k) (π) = ( 1) k k! π k n, n k 2n. k n (9.25) Täten I n (π) = ( ) n+l (2l)! n ( 1) π 2n 2l. (9.26) n! 2l n n 2l 2n Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART113 II / 121
114 Irrationaalisuustuloksia Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus Kerrataan, että alkioiden (vektoreitten) α 1,..., α m lineaarinen vapaus (riippumattomuus) kunnan K yli (lin. vapaita/k) tarkoittaa sitä, että ehdosta s 1 α s m α m = 0, (9.27) seraa s 1 =... = s m = 0. Olkoon vielä Kα Kα m = {k 1 α k m α m k 1,..., k m K}. (9.28) Tällöin dim K {Kα Kα m } = m (9.29) alkiot α 1,..., α m ovat lineaarisesti vapaita/k. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART114 II / 121
115 Irrationaalisuustuloksia Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus Lause 28 α Q a, b Z, a 0 : aα + b = 0. (9.30) α / Q a, b Z, a 0 : aα + b 0. (9.31) α / Q 1, α lin. vapaita/q (9.32) α / Q dim Q {Q + αq} = 2. (9.33) α Q dim Q {Q + αq} = 1. (9.34) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA II CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART115 II / 121
KETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho
KETJUMURTOLUVUT Tapani Matala-aho 5. helmikuuta 0 Sisältö Johdanto 3 Jakoalgoritmi, kantaesitys 4. Jakoalgoritmi............................. 4. Kantakehitelmät........................... 4.. Kokonaisluvun
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys Jakoalgoritmi Kantakehitelmät
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-1 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys 0-3 2.1 Jakoalgoritmi.................. 0-3 2.2 Kantakehitelmät................ 0-3 2.2.1 Kokonaisluvun b-kantakehitelmä.....
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 207 Sisältö ABSTRACT 3 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 3 2. ESITYKSIÄ SEKÄ TYÖKALUJA................. 3 2.2
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotYleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus
Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Pro gradu -tutkielma Jonna Luokkanen 22452 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 24 Sisältö Johdanto 2 Johdatus ketjumurtolukuihin 2 Ketjumurtoluvun
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotKetjumurtoluvut ja Pellin yhtälö
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Viivi Seppälä Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SEPPÄLÄ,
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotLuvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara
Luvun π irrationaalisuus Ilari Vallivaara 27. marraskuuta 24 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Todistuksen pääpiirteinen kulku 3 3 Todistus 4 Lähdeluettelo 9 1 1 Esipuhe Luvun π irrationaalisuus seuraa suoraan sen
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotKetjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 1
Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin. x y Yllä olevassa kuvassa siis pitää olla x + y x = x y = ϕ. Tästä saadaan josta edelleen + y x = x y = ϕ, + ϕ = ϕ ja eli ϕ + = ϕ 2 ϕ 2 ϕ = 0. Tämä on toisen
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotSeuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat
3.3 Luokkaryhmä Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat muodostavat ryhmän. Määritelmä 3.39. Määritellään operaatio kahden samaa diksriminanttia olevan binäärisen
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedot802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS PART II
802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA II ALGEBRAIC NUMBERS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Lisätiedot1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Lisätiedot2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];
802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1
KETJUMURTOLUVUT Harjoiuksia 209. Todisa/Prove Lause 2.2. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. Lause 2.4. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. 2. Määrää Canorin kehielmä luvuille 0,, 2, 3, 4, 5,
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotRothin lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan pro gradu
Rothin lause Heikki Pitkänen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 0 Tiivistelmä: Heikki Pitkänen, Rothin lause. Matematiikan pro gradu -tutkielma, 47
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Lisätiedot