Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 1"

Transkriptio

1 Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin. x y Yllä olevassa kuvassa siis pitää olla x + y x = x y = ϕ. Tästä saadaan josta edelleen + y x = x y = ϕ, + ϕ = ϕ ja eli ϕ + = ϕ 2 ϕ 2 ϕ = 0. Tämä on toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisut ovat ϕ = ± = ± 5. 2 Koska haetun luvun ϕ tulee olla positiivinen, tähän käy vain +-merkki, josta väite ϕ = seuraa. 2. Todistetaan väite f n+ f n f 2 n = ( ) n+ induktiolla n:n suhteen. Kun n = väite tulee muotoon 2 =, joka pitää paikkansa. Tässä induktiossa on syytä vielä todeta väitteen paikkansapitävyys kun n = 2. Silloinhan väite tulee muotoon =, joka sekin on tosi. Yleisessä induktioaskeleessa oletetaan, että n 3 ja että väite pätee kaikille luvuille, 2,..., n. Erityisesti väite pätee luvulle n 2 tätä varten täytyy olettaa, että n 3; muutenhan olisi n 2 0. Induktioväite tulee muotoon f n+2 f n f 2 n+ = ( ) n+2. ()

2 Käyttäen Fibonaccin lukujen määritelmää lähdetään laskemaan väitteen () vasenta puolta: f n+2 f n f 2 n+ = (f n+ + f n )(f n + f n 2 ) (f n + f n ) 2 = f n+ f n + f n+ f n 2 + f n f n + f n f n 2 f 2 n 2f n f n f 2 n = f n+ (f n + f n 2 ) f n f n f 2 n + (f n f n 2 f 2 n ) = f n+ f n f n f n f 2 n + (f n f n 2 f 2 n ) i) = f n+ f n f n f n f 2 n + ( ) n 2+ = f n (f n+ f n f n ) + ( ) n+ = f n 0 + ( ) n+ = ( ) n+, joten väite () pätee. Yhtälössä i) on käytetty induktio-oletusta nimenomaan luvulle n 2, ei siis luvulle n. 3. Tehdään induktio n:n suhteen. Koska g = 2, niin väite arvolla n = tulee muotoon 2 = + ( )2, joka on tosi. Oletetaan sitten induktiivisesti, että n 2 ja että väite pätee n:lle. Induktioväite on n+ g n+ = + k= Lähdetään laskemaan väitteen () oikeaa puolta: n+ + + k= n k= ( ) k+ f k f k = ( ) k+ f k f k. () ( ) k+ f k f k + ( )n+2 f n f n+ i) = g n + ( )n+2 f n f n+ = f n+ f n + ( )n+2 f n f n+ = fn+ 2 + ( )n+2 = f n f n+ f n f n+ fn+ 2 + ( ) n+2 ii) = f n f n+ f n f n+2 = f n+2 = g n+, f n f n+ f n+ 2

3 joten väite () pätee. Tässä yhtälö i) seuraa induktio-oletuksesta ja yhtälö ii) tehtävästä Kaikille n väite saadaan suoraan laskemalla: + g n = + f n = + f n = f n + f n = f n+ = g n. f f n f n f n n 5. Kun n = 0, väite g 2n < g 2n+2 tulee muotoon < 3/2, joka pätee. Kun n, saadaan tehtävää 3. soveltaen g 2n+2 g 2n = 2n+2 + k= ( ) 2n++ ( ) k+ f k f k ( + 2n k= + ( )2n+2+ = f 2n f 2n+ f 2n+ f 2n+2 = f 2n f 2n+ f 2n+ f 2n+2 ) i) > 0, f 2n+ ( f 2n f 2n+2 ) ( ) k+ = f k f k joten väite g 2n < g 2n+2 pätee. Tässä epäyhtälö i) seuraa siitä, että Fibonaccin lukujono on selvästi aidosti kasvava, jolloin f 2n f 2n+2 > Kuten tehtävässä 5. saadaan kaikille n tehtävää 3. soveltaen g 2n+ g 2n = 2n+ + k= ( ) k+ f k f k ( + ( ) 2n+ + ( )2n++ = f 2n f 2n f 2n f 2n+ + = f 2n f 2n f 2n f 2n+ ( ) i) < 0, f 2n f 2n+ f 2n 2n k= ) ( ) k+ = f k f k joten väite g 2n+ < g 2n pätee. Tässäkin epäyhtälö i) seuraa siitä, että Fibonaccin lukujono on aidosti kasvava, jolloin f 2n+ f 2n < Kaikille n 0 pätee g 2n+ g 2n = f 2n+2 f 2n+ = f 2n+2f 2n f2n+ 2 i) = f 2n+ f 2n f 2n+ f 2n ( ) 2n++ = > 0, f 2n+ f 2n f 2n+ f 2n 3

4 joten väite g 2n < g 2n+ seuraa. Tässä yhtälö i) seuraa tehtävästä Vähän täsmennettynä tässä tehtävässä väitetään, että ) parillisindeksiset g n :t muodostavat aidosti kasvavan jonon, 2) paritonindeksiset g n :t muodostavat aidosti vähenevän jonon ja 3) jokainen parillisindeksinen g n on aidosti pienempi kuin mikä tahansa paritonindeksinen g m. Väite ) seuraa välittömästi tehtävästä 5. ja väite 2) tehtävästä 6. Väite 3) vaatii pienen lisäperustelun: Olkoon siis n parillinen ja m pariton. Väitetään, että g n < g m. () Tämän todistamiseksi valitaan parillinen k siten, että k > n ja k > m. Väitteen ) nojalla pätee g n < g k. (2) Tehtävän 7. nojalla pätee g k < g k+. (3) Koska k on parillinen, niin k + on pariton. Koska lisäksi k + > m, niin väitteen 2) nojalla g k+ < g m. (4) Väite () seuraa nyt ehdoista (2), (3) ja (4). 9. Tehtävän 8. nojalla osajono (g 2n ) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu, joten se suppenee. Olkoon α = lim n g 2n. Vastaavasti tehtävän 8. nojalla osajono (g 2n+ ) on vähenevä ja alhaalta rajoitettu, joten sekin suppenee. Olkoon β = lim n g 2n+. Ilmeisesti väite koko jonon (g n ) suppenemisesta seuraa, jos osoitetaan, että Tehtävän 8. nojalla saadaan kaikille n α = β. () g 2n < α β < g 2n+. (2) 4

5 Tehtävän 7. ratkaisussa nähtiin, että g 2n+ g 2n = f 2n+ f 2n. (3) On helppo nähdä, että Fibonaccin lukujonolle (f n ) pätee f n n kaikille n, jolloin ehdon (3) avulla saadaan kaikille n arvio g 2n+ g 2n < Yhdistämällä ehdot (2) ja (4) saadaan arvio (2n + ) 2n < n. (4) α β < n. Tämä pätee kaikille n, jolloin väite () seuraa. 0. Tehtävän 9. nojalla siis jono (g n ) suppenee. Merkitään Väitetään siis, että α = lim n g n. () α = Ilmeisesti myös α = lim n g n ja tehtävän 8. nojalla on selvää, että α 0, jolloin ( lim + ) = + n g n α. (2) Tehtävän 4. nojalla g n = + g n, jolloin ehtojen () ja (2) nojalla saadaan josta α = + α, α 2 α = 0. Tämä on toisen asteen yhtälö, ja ratkaisukaavasta saadaan α = ± 5. 2 Koska g n :t ovat positiivisia, niin myös α on positiivinen ja silloin ratkaisussa tulee kyseeseen vain +-merkki, josta väite seuraa. α =

6 6

7 Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 2. Jos esimerkiksi p/q ei olisi supistetussa muodossa, olisi p = kp ja q = kq jollekin k N, k 2. Tällöin ehdosta ps qr = saataisiin k(p s q r) =, mikä on mahdotonta, koska k 2 ja p s q r Z. Siten p/q:n on oltava supistetussa muodossa. Vastaavasti nähdään, että myös r/s on supistetussa muodossa. Merkitään m = max{q,s} ja osoitetaan, että p/q ja r/s ovat Farey-jonon F m peräkkäisiä termejä. Tehdään tässäkin antiteesi: On olemassa Farey-jonon F m alkio a/b siten, että p q < a b < r s. () Koska a/b F m, niin Oletuksen ps qr =, ehdon () ja lauseen 2.3 nojalla Koska λ,µ, niin ehdon (3) mukaan Ehtojen (2) ja (4) nojalla saadaan b m. (2) b = λq + µs joillekin λ,µ. (3) b q + s. (4) q + s m = max{q,s}. Tämä on kuitenkin mahdotonta, koska q, s N ja siten q, s, jolloin q + s q + > q ja q + s + s > s. Syntynyt ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten väite on todistettu. 2. Osoitetaan ensin, että med(p/q,r/s) = p + r q + s on supistetussa muodossa. Tehdään tätä varten antiteesi: Mediantti ei olekaan supistetussa muodossa, vaan p + r = ka ja q + s = kb jollekin k 2. Oletuksen ps qr = nojalla saadaan tällöin = ps qr = ps + pq pq qr = p(s + q) q(p + r) = pkb qka = k(pb qa). () 7

8 Koska pb qa Z, niin ehto () merkitsee sitä, että k jakaa luvun, jolloin k = ±, mikä on vastoin ehtoa k 2. Syntynyt ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten mediantti on välttämättä supistetussa muodossa. Osoitetaan sitten, että p/q, med(p/q,r/s) ja r/s ovat Farey-jonon F q+s peräkkäisiä termejä. Osoitetaan, että p/q ja med(p/q, r/s) ovat tämän jonon peräkkäisiä termejä aivan analogisesti nähdään, että myös med(p/q,r/s) ja r/s ovat F q+s :n peräkkäisiä termejä. Koska q + s = max{q,q + s}, niin väite seuraa tehtävästä, jos osoitetaan, että p(q + s) q(p + r) =. (2) Väitteen (2) näkee oikeaksi suoraan laskemalla: p(q + s) q(p + r) = pq + ps qp qr = ps qr i) =, missä yhtälö i) seuraa oletuksesta. 3. Olkoon r/s haettu jonon F 30 termiä 5/8 seuraava termi. Silloin pätee ja lauseen 2.5 nojalla s 30 () 5s 8r =. (2) Tehtävänä on siis etsiä pienin luku r/s, joka toteuttaa ehdot () ja (2). Yksi yhtälön (2) ratkaisu (r, s) löytyy Eukleideen algoritmin avulla. Lasketaan ensin tällä algoritmilla lukujen 5 ja 8 suurin yhteinen tekijä (joka on selvästi ): Sitten tästä systeemistä takaperin: =3 2 = 8 = = = (5 3) = = (8 5) = Silloin =, (3) 8

9 ja eräs ehdon (2) toteuttava luku on ainakin 2/3. Tämä toteuttaa myös ehdon (), mutta onko kyseessä pienin ehdot () ja (2) toteuttava luku? Tutkitaan asiaa. Oletetaan, että r/s toteuttaa ehdot () ja (2). Ehtojen (2) ja (3) nojalla saadaan josta 5s 8r = , 5(s 3) = 8(r 2). (5) Koska syt(5, 8) = (kuten yllä Eukleideen algoritmilla nähtiin), yhtälö (5) merkitsee sitä, että r 2 on viidellä jaollinen ja s 3 kahdeksalla jaollinen eli r 2 = 5k ja s 3 = 8l joillekin k,l Z. (6) Sijoittamalla ehdot (6) yhtälöön (5) saadaan Silloin ehtojen (6) mukaan 40l = 40k eli l = k. r = 2 + 5k ja s = 3 + 8k jollekin k Z. (7) Näin on nähty, että ehdon (2) toteuttavat vain ehdon (7) antamat luvut r/s. Helposti nähdään, että nämä todella toteuttavat ehdon (2). Lisäehtona tässä on vielä, että r,s N ja että s toteuttaa ehdon (). On ilmeistä, että näin käy täsmälleen silloin kun k = 0,,2,3, jolloin saadaan ratkaisuehdokkaat 2 3, 7, 2 9 ja (8) Näistä pitää siis valita pienin. (Huomaa, että ehto (2) takaa automaattisesti, että 5/8 < r/s.) Derivoimalla nähdään heti, että kuvaus x 2 + 5k 3 + 8k on vähenevä, joten pienin luvuista (8) saadaan suurimmalla k:n arvolla eli kun k = 3, jolloin haettu luku on Entäpä sitten lukua 5/8 edeltävä jonon F 30 luku? Tässä yhtälö (2) tulee muotoon r8 s5 =. (2 ) Tämänkin erään ratkaisun saa Eukleideen algoritmilla (tai kokeilemalla) ja erääksi ratkaisuksi käy r/s = 3/5. Muut ratkaisut löytyvät kuten yllä: Jos r/s toteuttaa yhtälön (2 ), niin kuten yhtälössä (5) saadaan 5(s 5) = 8(r 3), (5 ) 9

10 josta (kuten yhtälössä (7)) r = 3 + 5k ja s = 5 + 8k jollekin k Z. (7 ) Ehdot r, s N ja () toteutuvat kun n = 0,, 2, 3, eli ratkaisuehdokkaat ovat 3 5, 8 3, 3 2 ja (8 ) Luvuista (8 ) pitää nyt valita suurin (Huomaa, että ehto (2 ) takaa automaattisesti, että r/s < 5/8.) Derivoimalla nähdään, että kuvaus x 3 + 5k 5 + 8k onkin nyt kasvava, joten suurin luvuista (8 ) saadaan suurimmalla k:n arvolla eli kun k = 3, jolloin haettu luku on Tässä voidaan menetellä kuten tehtävässä 3. Ainoa ero tulee oikeastaan siitä, että ehto () korvataan nyt ehdolla s 300. ( ) Ehto (7) saadaan kuten tehtävässä 3, mutta ehto ( ) antaa k:lle laajemman vaihteluvälin, eli nyt k voi saada arvot k = 0,,2,...,37 eli ratkaisuehdokkaat ovat 2 3, 7 87,..., 299. Kuten tehtävässä 3. pienin näistä saavutetaan suurimmalla k:n arvolla eli vastaus eli Farey-jonon F 300 termiä 5/8 seuraava termi on Ehto (7 ) saadaan myös kuten tehtävässä 3., mutta k:n vaihteluväli on nyt k = 0,,2,...,36 ja ratkaisuehdokkaat ovat 3 5, 8 83,..., Kuten tehtävässä 3. suurin näistä saavutetaan suurimmalla k:n arvolla eli vastaus eli Farey-jonon F 300 termiä 5/8 edeltävä termi on 5. Koska tehtävän.. mukaan ϕ = + 5, 2 0

11 niin Näistä esityksistä saadaan ψ = ϕ = ϕ ψ = Silloin Koska määritelmien mukaan niin väite = ( 5 + ) ( 5 ) 4 = ( = 5 4 =. ψ = ϕ. () h n = g n, lim h n = ψ n seuraa tehtävästä.0. ja ehdosta (). Jälkimmäinen väite h < h 3 < h 5 < < ψ < < h 4 < h 2 < h 0 puolestaan seuraa tehtävästä.8. ja ehdosta (). 6. Tehtävän 5. nojalla siis saadaan arvio h 5 < ψ < h 6 () eli 2 34 < ψ < (2) Koska =, niin tehtävän. nojalla 2/34 ja 34/55 ovat Fareyjonon F 55 peräkkäisiä termejä. Silloin arvion () perusteella paras approksimaatio luvulle ψ tasolla 55 on joko 2/34 tai 34/55. Kumpi se sitten on? Laskimesta näkyy, että 34/55 on selvästi parempi, mutta tämän näkee ilman laskinta myös näin: Tehtävän 5. nojalla saadaan myös arvio h 5 < h 7 < ψ < h 6, joten riittää osoittaa, että h 7 on lähempänä lukua h 6 kuin lukua h 5. Tämän taas näkee näin h 7 h 6 = = = ja toisaalta h 7 h 5 = = = 89 34,

12 joten h 7 h 6 < h 7 h 5, koska > Koska lisäksi h 7 < ψ < h 6, niin virhearvio h 6 :lle on h 7 h 6 = Tämä ei ole ihan sattumaa, vaan johtuu viime kädessä siitä, että h 7 on h 5 :n ja h 6 :n mediantti, jolloin noissa laskuissa osoittaja menee (viime kädessä tehtävän 2. nojalla) itseisarvoltaan ykköseen ja nimittäjä ratkaisee. Koska selvästi h n :ssä on sitä suurempi nimittäjä, mitä suurempi indeksi n on, tuo havainto yleistyy: Jos h n = p n /q n, niin tasolla q n paras approksimaatio on nimenomaan h n = p n /q n. Lisäksi h n :n antama approksimaatiovirhe on korkeintaan h n+ h n = q nq n+. 34/55 on siis paras approksimaatio tasolla 55. Se on sitä myös tasolla 88, sillä tehtävän 2. nojalla 2 34, 55 89, ovat Farey-jonon F 89 kolme peräkkäistä termiä, joten välillä ] 2 34, [ ei ole yhtään murtolukua, jonka taso olisi korkeintaan 88. Tasolla 89 paras approksimaatio on kuten yllä yleisesti todettiin 55/89. Se on sitä myös tasolle 43 asti. Tasolla 44 parhaimman approksimoijan tittelin ottaa sitten h 8 eli 55/89:n ja 34/55:n mediantti eli 89/44. Koska siis välillä ] 2 55 [ ei ole yhtään murtolukua, jonka taso olisi korkeintaan 88, niin 2/34 on paras ala-arvio paitsi tasolle 54 (jonne asti se on paras arvio ylipäätään) niin myös tasoille 55 ja 88. Tasolla 89 tämän kunnian ottaa 55/89. 34, 34 Matalatasoisin rationaaliluku, jolle virhe on korkeintaan /000 löytyy siis niin, että se on viimeistään ensimmäinen sellainen h n, jonka nimittäjän neliö ylittää luvun , joten jo h 5 = 2/34 kelpaa. Virhehän on tätä käyttäen ψ Edellistä h n :ää eli arviota 3/2 käyttäen virhe on ψ , eli niukasti yli tuhannesosan. Mikään aikaisempi h n ei anna tarkempaa arviota, sillä arviot paranevat koko ajan, kuten yllä todettiin. Vastaus siis tähän tuhannesosan kysymykseen on 2/34. Miljoonasosan virheeseen päästään ainakin sellaisella h n :llä, jonka nimittäjä ylittää luvun 000. Lukujen h n nimittäjät ovat Fibonaccin lukuja:,,2,3,5,8,3,2,34,55,89,44,233,377,60,987,597,... 2

13 Luvulla 60/987 virhe on korkeintaan , ja tämä on jo riittävän tarkka. Laskin antaa todelliseksi virheeksi Edellisellä arviolla 377/60 virhe on ψ ψ , joten tämä ei vielä ihan riitä. Vastaus miljoonasosan kysymykseen on siis 60/ Tässä oletetaan, että p/q < r/s ovat rationaalisia ja λ,µ N. Väitteenä on p λp + µr < q λq + µs < r s. () Oletuksen p/q < r/s (ja q, s N, jolloin q, s > 0) nojalla saadaan ehto ps < qr. Tällöin µps < µqr ja edelleen λpq+µps < λpq+µqr eli p(λq+µs) < q(λp+µr). Tästä jakamalla (huomaa, että myös λq + µs > 0) saadaan p λp + µr < q λq + µs. (2) Vastaavasti λps < λqr, jolloin λps+µrs < λqr+µrs eli s(λp+µr) < r(λq+µs) eli λp + µr λq + µs < r s. (3) Väite () seuraa ehdoista (2) ja (3). Ylimääräinen tehtävä Olkoot joukon A luvut a n, n =,...,203. Merkitään kokonaisluvun x jäännösluokkaa modulo 203 symbolilla [x]. Tämähän on siis se jakojäännös, joka syntyy, kun x jaetaan luvulla 203, jolloin [x] {0,,...,202} kaikille x. Riittää osoittaa, että joidenkin A:n alkioiden summan jäännösluokka on 0. Tähän riittää (tietysti) osoittaa, että Tehdään antiteesi: Osoitetaan, että luokat [a i a j ] = 0 joillekin i j 203. () [a i a j ] 0 kaikille i j 203. (AT) [a a j ], j =,...,203 ovat kaikki eri luokkia. (2) Väitteen (2) todistamiseksi tehdään toinen antiteesi: [a a i ] = [a a j ] joillekin i < j 203. (AT2) 3

14 Antiteesin (AT2) nojalla saadaan [a i a j ] = 0. Tämä on kuitenkin vastoin antiteesia (AT). Syntynyt ristiriita osoittaa, että antiteesi (AT2) on väärä ((AT):n vallitessa, siis), joten väite (2) on todistettu. Antiteesin (AT) nojalla luokat [a a j ], j =,...,203 voivat saada vain arvoja,2,...,202. Näitä mahdollisia arvoja on siis 202 kappaletta, kun taas luokkia [a a j ], j =,...,203 on ehdon (2) nojalla 203 kappaletta. Silloin kyyhkyslakkaperiaatteen nojalla kaksi eri luokkaa saa saman arvon. Tämä on kuitenkin ehdon (2) nojalla mahdotonta. Syntynyt ristiriita osoittaa, että antiteesi (AT) on väärä ja väite () on näin todistettu. 4

15 Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 3. Tässä siis oletetaan, että a/b ja c/d ovat peräkkäiset Farey-jonon F N termit ja että a + c b + d < α < c d. () Väitteenä on, että ainakin yksi ehdoista α a b < 5b 2, α a + c b + d < 5(b + d) 2 tai α c d < 5d 2 pätee. Tehdään antiteesi: Mikään ehdoista (2) ei päde. Tällöin, koska lemman 2.2 nojalla pätee a/b < (a + c)/(b + d), saadaan oletuksen () perusteella epäyhtälöt α a b 5b 2, α a + c b + d 5(b + d) 2 Laskemalla yhteen epäyhtälöitä (3) saadaan epäyhtälöpari c d a b ( ) 5 b + 2 ( d 2 ) c d a+c b+d 5 (b+d) + 2 d, 2 ja (2) c d α 5d 2. (3) josta saadaan edelleen cb da bd 5 ( b 2 + d 2 ) ( ) cb da d(b+d) 5 (b+d) + 2 d 2. (4) Koska a/b < c/d ovat peräkkäiset Farey-jonon termit, niin lauseen 2.5 nojalla cb da =. Silloin epäyhtälöparista (4) saadaan bd ( ) 5 b + 2 ( d 2 ) d(b+d) 5 (b+d) + (5) 2 d. 2 Epäyhtälöt (5) eivät kuitenkaan voi lemman 3.6 nojalla olla yhtaikaa voimassa, joten antiteesi johtaa ristiriitaan. Se on siis väärä ja väite on todistettu. 2. Väite a b ϕ a b ϕ = b 2 a2 ab b 2 (3.8) nähdään oikeaksi suoralla laskulla: a b ϕ a b ϕ a = b + 5 a 2 b 5 2 = ( a ) 2 a + ( 5 + ) b b = a ) 2 a ( b b + 5 ( a ) 2 4 = a b b = b 2 a2 ab b 2. 5

16 Väitteen a 2 ab b 2 0 (3.9) todistamiseksi riittää ehdon (3.8) nojalla nähdä, että a b ϕ a b ϕ 0. () Väite () seuraa, jos osoitetaan, että a b ϕ 0 ja a ϕ 0. (2) b Väitteet (2) pätevät, koska ϕ ja ϕ ovat irrationaalilukuja mikä fakta puolestaan seuraa siitä, että 5 on irrationaalinen. Väitteen a b ϕ a b ϕ b 2 (3.0) todistamiseksi riittää ehdon (3.8) nojalla osoittaa, että a 2 ab b 2. Tämä seuraa suoraan ehdosta (3.9), koska a ja b ovat kokonaislukuja ja siten myös a 2 ab b 2 on kokonaisluku. Väitteessä oletetaan siis, että a b ϕ < m b (3.) a b ϕ < m b 2. (3) Arvio saadaan näin: a b ϕ i) a b ϕ ii) + ϕ ϕ < m b 2 + 5, missä epäyhtälö i) saadaan kolmioepäyhtälöstä ja epäyhtälö ii) seuraa oletuksesta (3) sekä siitä, että ϕ ϕ = Suoraan määritelmästä laskemalla saadaan [2,ϕ] + [0,2,ϕ] = [2,ϕ] [2,ϕ] = 2 + ϕ ϕ (2 + 5) = 2 + 4(2 + 2( ) 2 + = 3. 5) = 2 + ϕ + ϕ 2ϕ + = = = 6

17 Vastaavasti [2,2,ϕ] + [0,ϕ] = ϕ ϕ = 2 + ϕ 2ϕ + + ϕ = 3, missä viimeisessä yhtälössä palaudutaan aikaisempiin laskuihin. Tässä voi tietysti huomata myös seuraavan yleisemmän säännön: [a 0,a,...,a n ] = a 0 + jolloin [a,...,a n ] = a [a,...,a n ] = a 0 + [0,a,...,a n ], [2,ϕ] + [0,2,ϕ] = 2 + [0,ϕ] + [0,2,ϕ] = [0,ϕ] [0,2,ϕ] = [0,ϕ] + [2,2,ϕ]. Säännön () nojalla jälkimmäisissä väitteissä pätee [2,,,α] + [0,2,α] = 2 + [0,,,α] + [0,2,α] = [0,,,α] [0,2,α] = [0,,,α] + [2,2,α], joten riittää todistaa toinen väitetyistä yhtälöistä. Todistetaan jälkimmäinen. Tämäkin on suora lasku: [2,2,α] + [0,,,α] = α α 2 + α 2α + + α + 2α + = 2 + 2α + 2α + = 2 + = 3. = 2 + α 2α α α+ 4. Tässä siis tarkastellaan rationaalilukua 3.46 = 346/0000. Lasketaan Eukleideen algoritmilla osoittajan ja nimittäjän suurin yhteinen tekijä: 346 = = = = 8. Tähän algoritmi päättyy ja suurin yhteinen tekijä on siis 8, mutta se ei nyt ole kiinnostavaa, vaan kiinnostavia ovat kertoimet 3, 7, 6 ja. Näiden pitäisi nyt antaa ketjumurtolukuesitys luvulle 346/0000 eli pitäisi olla Tarkistetaan: [3,7,6,] = = = , () 346 = [3,7,6,]. () 0000 = = = = 7

18 joten oikein on. Kun sovelletaan lemman 4. algoritmia lukujonoon x 0 = 3, x = 7, x 2 = 6, x 3 =, saadaan q 0 = q = x = 7 q 2 = x 2 q + q 0 = = 3 q 3 = x 3 q 2 + q = = 250. Vastaavasti saadaan luvut p 0,p,p 2 ja p 3 : p 0 = x 0 = 3 p = x 0 x + = = 22 p 2 = x 2 p + p 0 = = 355 p 3 = x 3 p 2 + p = = Luvun 346/0000 konvergentit ovat siten p n /q n, n = 0,...,3: p 0 q 0 = 3, p q = 22 7, p 2 q 2 = 355 3, p 0 q 0 = , joista viimeinen on tarkka arvo. Lemma 4. väittää, että Tarkistetaan tämä laskemalla: p n q n = [x 0,...,x n ] kaikille n = 0,...,3. [x 0 ] = x 0 = 3 = 3, [x 0,x ] = [3,7] = = 22 7, [x 0,x,x 2 ] = [3,7,6] = joten oikein on, sillä tapaus n = 3 tarkistettiin jo edellä. Lemman 4.3 mukaan Tarkistetaan tämäkin: ja = = 355 3, p n q n p n q n = ( ) n+ kaikille n =,2,3. p q 0 p 0 q = = + p 2 q p q 2 = = = p 3 q 2 p 2 q 3 = = = +, joten toimii. Lemman 4.4 mukaan p n q n = x 0 + n k= ( ) k+ q k q k kaikille n =,2,3. 8

19 Tarkistus: x 0 + x 0 + k= 2 k= ( ) k+ q k q k = x 0 + q 0 q = = 22 7 = p q ( ) k+ q k q k = x 0 + q 0 q q q 2 = = = = = p 2 q 2 3 ( ) k+ x 0 + = x = 3 + q k q k q 0 q q q 2 q 3 q = k= = = = = p 3 q 3, joten oikein on tämäkin. 5. Algoritmi 4.9 antaa luvulle α = 3.46 jonot (α n ) ja (a n ) näin: α 0 = α = 3.46 ja a 0 = α 0 = 3.46 = 3, α = = α 0 a = = ja a = α = 7, 46 α 2 = = α a 88 = = ja a 2 = α 2 = 6, α 3 = = α 2 a 8 = = ja a 2 = α 2 =, 88 ja tähän algoritmi sitten päättyykin, koska α 2 on kokonaisluku. Vastaus on siten lauseen 4. nojalla eli sama kuin tehtävässä 4. α = [a 0,a,a 2,a 3 ] = [3,7,6,], Itse π:lle ketjumurtolukuesityksen löytäminen on vaikeampaa, koska pyöristysongelmat tulevat vastaan. Koska π on irrationaaliluku, niin tämä ketjumurtolukuesitys on ääretön, mutta itse asiassa sitä ei tunneta kovin pitkälle eikä tiedetä miten se käyttäytyy: pysyvätkö esimerkiksi ketjumurtolukuesitykseen tulevat luvut rajoitettuina vaiko eivät. Jos käytetään likiarvoa π ja laskuissa yhdeksän desimaalin tark- 9

20 kuutta, niin algoritmi 4.9 antaa jonot (α n ) ja (a n ) näin: α 0 = , a 0 = 3, α = , a = 7, α 2 = , a 2 = 5, α 3 = , a 3 =, α 4 = , a 4 = 292, α 5 = , a 5 =, α 6 = , a 6 =. Näistä saadaan lemman 4. mukaisesti konvergentit p n /q n, n = 0,...,5: p 0 q 0 = [a 0 ] = 3, p q = [a 0,a ] = [3,7] = = 22 7, p 2 = [a 0,a,a 2 ] = [3,7,5] = 3 + q p 3 q 3 = [a 0,a,a 2,a 3 ] = [3,7,5,] = 3 + p 4 q 4 = [a 0,a,a 2,a 3,a 4 ] = [3,7,5,,292] = = = = , = = 355 3, = = , p 5 q 5 = [a 0,a,a 2,a 3,a 4,a 5 ] = [3,7,5,,292,] = = = p 6 q 6 = [a 0,a,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6 ] = [3,7,5,,292,,] = = = = 3 + = = = = , = Jos tätä listaa verrataan luentomonisteen johdannossa olevaan listaan, niin huomataan, että samoja ovat. Nämä ovat vielä oikeita konvergentteja π:lle, mutta vääjäämättä jossakin vaiheessa pyöristysongelmat tulevat aiheuttamaan virheen, jos käytetyillä tarkkuuksilla laskemista jatketaan. = = 20

21 6. Kun n = saadaan [ ] x0 0 [ ] x = 0 [ ] x0 x + x 0 = x [ p p 0 q q 0 joten väite pätee. Oletetaan sitten, että väite pätee n:lle. Silloin (n + ):lle saadaan [ ] [ ] [ ] [ ] x0 x xn xn+ = [ ] [ ] pn p n xn+ = q n q n 0 [ ] [ ] xn+ p n + p n p n pn+ p = n, x n+ q n + q n q n joten induktioaskel on otettu ja väite pätee. q n+ 7. Jonojen (q 2n ) ja (q 2n+ ) aidosti kasvavuus seuraa, jos osoitetaan, että Luvun q n+2 määritelmän mukaan q n ], q n < q n+2 kaikille n. () q n+2 = x n+2 q n+ + q n, joten väite () seuraa, jos osoitetaan, että x n+2 q n+ > 0 kaikille n. (2) Algoritmin 4. oletusten mukaan x n+2 > 0 ja lemman 4. mukaan q n+ > 0, joten väite (2) seuraa. Koko jonon (q n ) ei tarvitse olla kasvava. Jos esimerkiksi x n = /2 kaikille n niin saadaan q 0 = q = 2 q 2 = = 5 4 q 3 = = 9 8 q 4 = = 29 6 q 5 = =

22 ja niin edelleen. Tässä esimerkissä jonon kasvavuus ei toimi ainakaan alussa, sillä q < q 0 ja q 3 < q 2. Tosin q 3 < q 4 < q 5 mutta eihän se enää kasvavuutta pelasta. Tuotahan voi miettiä, miten jatkossa (eli kun n 6) käynee. Jos x n :t ovat kokonaislukuja, niin algoritmin oletuksen x n > 0 kun n nojalla pätee x n kaikille n. (3) Jonon (q n ) kasvavuutta varten pitää osoittaa, että q n q n+ kaikille n. (4) Ensin q 0 x seuraa ehdosta (3), sillä q 0 = ja q = x. Yleisesti kun n q n+ = x n+ q n + q n i) q n + q n+ ii) > q n, joten väite (4) pätee. Tässä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (3) ja epäyhtälö ii) siitä, että q k > 0 kaikille k, kuten yllä todettiin. Huomaa, että epäyhtälön ii) perusteella myös jonon (q n ) n= kasvavuus on aitoa. Jonon alussa voi toki olla q = q 0 (= ). 22

23 Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 4. Tässä siis oletetaan, että x n Z kaikille n 0 ja että x n kun n. Induktiolla nähdään välittömästi, että p n Z kaikille n: Ensin p 0 = x 0 Z ja p = x 0 x + Z ja jos oletetaan, että n 2 ja että p k Z kaikille k = 0,...,n, niin p n = x n p n + p n 2 Z. Vastaavasti jonolle q n : Ensin q 0 = Z ja q = x Z ja jos oletetaan, että n 2 ja että q k Z kaikille k = 0,...,n, niin q n = x n q n + q n 2 Z. Varsinainen väite tässä on kasvunopeusarvio q n 2 n kaikille n. () Väite () todistetaan sekin induktiolla. Väite pätee triviaalisti luvulle q 0 = ja luvulle q = x se seuraa oletuksesta x. Oletetaan sitten, että n 2 ja että väite () pätee kaikille k = 0,...,n. Arvio () luvulle q n saadaan näin: q n = x n q n + q n 2 i) q n + q n 2 ii) 2 n n 3 = 2 n n = 2 n 2 2 ( ) = 2 n 2 2 ( ) iii) = 2 n 2 2 = 2 n, missä epäyhtälö i) seuraa oletuksesta x n ja siitä, että lemman 4. mukaan q n > 0, epäyhtälö ii) seuraa induktio-oletuksesta ja epäyhtälö iii) siitä, että / 2 /2. 2. Huomautuksen 4.2 mukaan pätee [ ] [ ] [ ] x0 x xn = [ pn p n q n q n ]. () Olkoot q 0,...,q n ja p 0,...,p n algoritmin 4. mukaiset jonot, jotka on laskettu käyttäen syötejonoa x n,x n,...,x,x 0. Lemman 4. nojalla p n q n = [x n,...,x ] ja (2) p n q n Toisaalta huomautuksen 4.2 nojalla [ ] [ ] [ ] xn xn x0 = = [x n,...,x,x 0 ]. (3) [ p n p n q n q n ]. (4) 23

24 Transponoidaan nyt matriisitulo (). Koska tulossa olevat matriisit ovat symmetrisiä, ne eivät transponoitaessa muutu, mutta tulon järjestys vaihtuu ja saadaan [ ] xn 0 [ ] xn 0 [ ] x0 = 0 [ ] T [ pn p n pn q = n q n q n Ehtojen (4) ja (5) nojalla [ p n ] [ p n pn = q n q n q n p n q n ], p n q n ]. (5) joten Väitteet [x n,...,x ] = q n q n p n = p n p n = q n q n = p n q n = q n. seuraavat ehdoista (2) ja (3) sekä yhtälöistä (6). ja [x n,...,x 0 ] = p n p n (6) 3. Osoitetaan ensin, että [a n,a n+,...] = a n + eli [a n+,a n+2,...] lim [a n,a n+,...,a k ] a n = 0 kaikilla n. k lim m [a n+,a n+2,...,a m ] () Lauseen 4.8 nojalla väitteen () molemmat raja-arvot ovat olemassa, joten riittää osoittaa, että lim [a n,a n+,...,a k ] a n k [a n+,a n+2,...,a k ] = 0. Tämä on triviaali väite, sillä määritelmän mukaan [a n,a n+,...,a k ] = a n + [a n+,a n+2,...,a k ], joten [a n,a n+,...,a k ] a n = 0 kaikille k. [a n+,a n+2,...,a k ] Näin väite () on todistettu. Sen nojalla saadaan helposti induktiolla tehtävän toinen väite α n = [a n,a n+,...] kaikille n. (2) 24

25 Kun n = 0, väite (2) seuraa huomautuksesta 4.2, koska α on oletuksen mukaan irrationaalinen. Jos oletetaan induktiivisesti, että väite (2) pätee n:lle, niin saadaan α n+ i) = ii) = α n a n iii) = [a n,a n+,...] a n [a n+,a n+2,...] = [a n+,a n+2,...], joten väite (2) pätee (n + ):lle. Tässä yhtälö i) seuraa algoritmista 4.9, yhtälö ii) induktio-oletuksesta ja yhtälö iii) ehdosta (). 4. Tehdään antiteesi: kokonaisluvuilla p n ja q n on yhteinen tekijä k 2, jolloin p n = kp ja q n = kq joillekin p,q Z. Lemman 4.3 nojalla p n+ q n p n q n+ = ( ) n, joten k(p n+ q pq n+ ) = ( ) n. () Yhtälö () on kuitenkin mahdoton, koska siinä esiintyy vain kokonaislukuja ja k 2. Tämä ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi, joten p n /q n on supistetussa muodossa. 5. Sovelletaan algoritmia 4.9 lukuun α = Jonot (α n ) ja (a n ) määräytyvät näin: α 0 = α = + 2, a 0 = α 0 = 2, 2 + α = = = α 0 a = + 2 = α 0, ja pitemmälle ei tarvitse jatkaa, koska jono alkaa toistaa itseään eli α n = α 0 kaikille n. Silloin myös a n = a 0 = 2 kaikille n ja α:n ketjumurtolukuesitys on Tästä saadaan konvergentit p 0 q 0 = [2] = 2, p q = [2,2] = = 5 2, p = [2,2,2,...]. = [2,2,2] = 2 + q 2 [2,2] = = 2 5, p 3 = [2,2,2,2] = 2 + q 3 [2,2,2] = = 29 2, p 4 = [2,2,2,2,2] = 2 + q 4 [2,2,2,2] = = 70 29, p 5 = [2,2,2,2,2,2] = 2 + q 5 [2,2,2,2,2] = =

26 Luvulle α = algoritmi 4.9 antaa α 0 = 0, a 0 = 0 = 3, α = = = α 0 a = 0 + 3, a = = 6, α 2 = α a = = 0 3 = α. Laskemisen voi lopettaa tähän, sillä algoritmi alkaa toistaa itseään ja ja silloin myös α n = α = kaikille n, a n = α n = = 6 kaikille n. Koska a 0 = 3, niin luvun 0 ketjumurtolukuesitys on 0 = [3,6,6,6,...]. 6. Merkitään α = [,2,,2,,2,...] ja β = [2,,2,,2,...]. Tehtävän 3. nojalla saadaan α = + ja β = 2 + β α. () Yhtälöistä () saadaan edelleen josta edelleen josta ratkaisemalla α = α = + α 2α + = 3α + 2α +, 2α 2 2α = 0, α = 2 ± 2 = ± α:n ketjumurtolukuesityksen perusteella < α < 2, joten kyseeseen tulee vain +-merkki eli α = Tämän jälkeen β:n saa helpoimmin yhtälöistä (): 2 β = = 2 + 2( 3 ) = =

27 Tarkistetaan vastaus β:n osalta algoritmilla 4.9. Tässä saadaan α 0 = + 3, a 0 = + 3 = 2, α = = α 0 a a 0 = =, 2 α 2 = = α a 3 = =, 2 2 = 2( 3 + ) = + 3 = α 0, 3 3 joten algoritmi alkaa tässä toistaa itseään eli jono (α n ) on α 0,α,α 0,α,α 0,α,... ja vastaava jono (a n ) on a 0,a,a 0,a,a 0,a,... Koska a 0 = 2 a =, niin β = [2,,2,,2,,...], kuten piti ollakin. Merkitään sitten γ = [,2,3,,2,3,,2,3,...]. Tehtävän 3. nojalla josta edelleen γ = + josta ratkaisemalla [2,3,,2,3,,2,3,...] = [3,,2,3,,2,3,...] [,2,3,,2,3,...] + 3γ + 7γ + 2 = 0γ + 3 7γ + 2, = γ 7γ 2 8γ 3 = 0, = γ 3γ+ γ = 8 ± 48 = 4 ± γ:n ketjumurtolukuesityksen perusteella < γ < 2, joten kyseeseen tulee vain +-merkki eli γ = = = 27

28 Tarkistetaan vastaus algoritmilla 4.9. Tässä saadaan α 0 = , a 0 = =, 7 α = = = 7( ) =, a = = 2, 4 α 2 = 4 = = 4( ) =, a 2 = = 3, 3 α 3 = = 3 = 3( ) = = α 0, joten tässä kohdassa algoritmi alkaa toistaa itseään, ja (α n ) jono on α 0,α,α 2,α 0,α,α 2,α 0,α,α 2,... ja vastaavasti (a n ) jono on a 0,a,a 2,a 0,a,a 2,a 0,a,a 2,... Koska a 0 = a = 2 ja a 2 = 3, niin γ = [,2,3,,2,3,,2,3,...], kuten piti ollakin. 7. Koska luvun α = + 2 konvergenteille p n /q n pätee lauseen 4.8 nojalla α p n <, q n q n q n+ niin riittää valita n niin, että q n+ > 00. Näin käy tehtävän 5. mukaan kun n = 5, sillä ilmeisesti q 6 = 69. Siis haluttuun tarkkuuteen päästään konvergentilla Tämänhän voi laskimella tarkistaa: p 5 = 69 q < Tässä 70α = 70( + 2) , joten 70α = () Huomaa, että kokonaisluku, jonka lähelle luku 70α tulee on nimenomaan 69, niinkuin luentomonisteen tehtävän 66. mukaan tulee ollakin, koska käytettävä 28

29 konvergentti on p 5 /q 5 = 69/70. Lasketaan sitten vaikkapa 00α. Tässä 00α 24.42, joten 00α = 0.42, ja tämähän on oleellisesti huonompi kuin 70α arviosta (). Näin käy siis kaikille q < 69, joka on seuraavan konvergentin taso. Kun q saa arvon 69, niin tarkkuuden pitäisi parantua arvioon () verrattuna. Näinhän se onkin : 69α = =

30 30

31 Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 5. Tässähän riittää antaa yksi esimerkki, jossa mutta qα < q α, () m α,q < m α,q, (2) sillä molemmat väitteet seuraavat tästä jälkimmäisessä väitteessä q:n ja q :n roolit vaihtaen. Tämmöinen esimerkki löytyy vaikkapa luentomonisteen sivulta 40, jossa approksimoitiin lukua α = π. Jos valitaan esimerkiksi q = 3 ja q = 32989, niin ehto (2) seuraa sivun 40 laskelmista ja ehto () Lagrangen lauseesta 5.7, koska q = q 3 ja q < 3302 = q Koska määritelmän mukaan q n α = min{ q n α p p Z}, niin riittää osoittaa, että Väite () on yhtäpitävää väitteen kanssa. Lauseen 4.8 nojalla q n α p n < 2. () α p n q n < 2q n (2) α p n <, q n q n q n+ joten väite (2) seuraa, jos q n+ 2. Näin on lemman 4.7 nojalla, kun n, sillä q n :t ovat kokonaislukuja. Kun n = 0, voi olla q n+ =, joten lauseen 4.8 käyttö tässä todistuksessa ei toimi. Sitäpaitsi väite q 0 α = q 0 α p 0 ei päde kaikilla luvuilla α: Jos valitaan α siten, että /2 < α <, niin q 0 = ja p 0 = a 0 = α = 0, joten väite tulee muotoon α = α, mutta nythän on selvästi α = α. 3. Valitaan n x,n y Z siten, että Silloin x = x n x ja y = y n y. (x + y) (n x + n y ) = (x n x ) + (y n y ) x n x + y n y = x + y, joten väite x + y x + y seuraa, koska määritelmän mukaan x + y = min{ (x + y) k k Z} ja n x + n y Z. Vastaavasti n x n n x = n x n x = n x, 3

32 joten väite nx n x seuraa, koska n n x Z. Tämä epäyhtälö voi olla aito, koska aina x /2, ja jos x 0, niin suurille n N pätee n x > /2. 4. Koska tehtävän 2. nojalla q n α = q n α p n, kun n, niin väite q n α 0 seuraa, jos osoitetaan, että Väite () voidaan kirjoittaa muotoon Lauseen 4.8 nojalla joten väite (2) seuraa, jos lim q nα p n = 0. () n lim q n α p n = 0. (2) n q n α p n <, q n q n q n+ lim n q n+ = 0. Tämähän seuraa välittömästi siitä, että q n lemman 4.7 nojalla. Olkoon sitten α reaaliluku, jonka desimaalikehitelmä on α = Koska kyseessä on jaksoton desimaalikehitelmä, niin α on irrationaalinen. Määritellään sitten jono p n/q n asettamalla p q jolloin selvästi = 0, p 2 q 2 = 2 00, p 3 q 3 = 2 000, p 4 q 4 = ,..., lim n Kuitenkaan ei päde q nα 0, sillä p n q n q α = = q 2α = = α = 0. (3) q 3α = = q 4α = = ja niin edelleen. Ilmeisesti siis q nα 0. kaikille n joten ei voi olla q nα 0. Oletetaan sitten, että pätee q nα 0 ja että q nα = q nα p n. Väitteenä on, että ehto (3) pätee. 32

33 Nyt siis q nα p n 0, jolloin q n α p n q n 0 ja väite (3) seuraa, sillä q n:t ovat nollasta eroavia kokonaislukuja ja silloin q n kaikille n. 5. Valitaan ohjeen mukaisesti α = [2, 2, 2,...] ja p n q n = p n + p n q n + q n. Osoitetaan ensin, että nämä luvut p n q n eivät voi olla α:n konvergentteja. Tehdään antiteesi: p n q n Koska demotehtävien.2 ja 4.4 mukaan p n q n niin tällöin on q n = q k eli = p k q k jollekin k. (AT) ja p k q k ovat supistetussa muodossa, q n + q n = q k. () Lemman 2.2 nojalla mediantti p n q n on konvergenttien pn q n ja pn q n välissä. Lemman 4.6 mukaan on tällöin oltava k > n. (2) Lemman 4. mukaan tälle α = [2,2,2,...] saadaan q n+ = 2q n + q n, joten q n+ > q n + q n, jolloin ehdon () mukaan q n+ > q k. Koska jono (q n ) on kasvava, niin tällöin on oltava n + > k. (3) Ehdot (2) ja (3) ovat ristiriidassa keskenään, joten antiteesi (AT) on väärä. Näin on osoitettu, että luvut p n q eivät voi olla α:n konvergentteja. n Tehtävän väitteenä on siis α p n q n < (q n) 2 kaikille n eli α p n < (q n + q n ) 2 kaikille n. (4) q n Uskotaan jo tässä vaiheessa tehtävän 6. tulokseen α p n + p n q n + q n = α n+ (q n + q n )(α n+ q n + q n ). (5) 33

34 Koska tehtävän 4.3 nojalla α n+ = [a n+,a n+2,...] ja nyt a k = 2 kaikille k, niin α n+ = [2,2,2,...] = α. Silloin ehto (5) tulee muotoon α p n = α (q n + q n )(αq n + q n ). (6) q n Ehdon (6) nojalla väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että eli että α (q n + q n )(αq n + q n ) < (q n + q n ) 2 Väite (7) voidaan kirjoittaa yhtäpitävästi muotoon α <. (7) αq n + q n q n + q n (α )(q n + q n ) < αq n + q n αq n + αq n q n q n < αq n + q n (α 2)q n < q n. (8) Koska α = [2,2,2,...], niin α = 2, joten 2 < α < 3. Silloin 0 < α 2 <, joten väite (8) seuraa, jos q n q n. Tämähän pätee, koska jono (q n ) on kasvava. 6. Tässä väitetään, että α p n + p n q n + q n = α n+ (q n + q n )(α n+ q n + q n ). Tämä on suora lasku, kun käytetään ensin lemmaa 5.: α p n + p n i) q n + q n = α n+ p n + p n p n + p n α n+ q n + q n q n + q n = (α n+ p n + p n )(q n + q n ) (p n + p n )(α n+ q n + q n ) (q n + q n )(α n+ q n + q n ) = α n+ p n q n + p n q n α n+ p n q n p n q n (q n + q n )(α n+ q n + q n ) = (α n+ )(p n q n p n q n ) (q n + q n )(α n+ q n + q n ) = (α n+ ) p n q n p n q n ii) = (q n + q n )(α n+ q n + q n ) α n+ (q n + q n )(α n+ q n + q n ). Tässä yhtälö i) seuraa lemmasta 5. ja yhtälö ii) lemmasta

35 7. Jos valitaan α kuten tehtävässä 2. siten, että /2 < α <, jolloin q 0 = ja p 0 = a 0 = α = 0, niin α q 0 > p 0 2 = 2q0 2. Vähemmän triviaali esimerkki löytyy vaikkapa π:n konvergentista p 2 = 333 q Huomaa, että q 3 = 3 ja q 4 = 3302, joten tilanne on kutakuinkin tehtävän ohjeen mukainen. Tässä saadaan π , kun taas Siis tämä esimerkki on toimiva. Huomaa, että koska q 3 = 3, niin lauseen 4.8 nojalla saadaan arvio π < , mutta koska q 4 on huomattavan suuri eli q 4 = 3302, niin π p 3 < q , ja silloin käy juuri niinkuin tehtävän ohjeessa kuvaillaan. 8. Todistetaan ensin oikeaksi tehtävän ohje p n = q n = ϕn+ ( ϕ) n+ 5 kaikille n. () Koska ϕ = [,,,...], niin algoritmin 4. mukaan q 0 =, q =, q 3 = q 2 +q = 2 ja niin edelleen, eli Fibonaccin lukujonohan tähän muodostuu eli q n = f n kaikilla n. Vastaavasti p 0 =, p = 2 ja yleisesti p n = p n + p n 2, joten tämäkin on Fibonaccin lukujono, tosin pienellä indeksin siirrolla eli p n = f n+ kaikille n. Tällöin p n = f n = q n kun n, joten väite () seuraa, jos osoitetaan, että f n = ϕn+ ( ϕ) n+ 5 kaikille n 0. (2) Tämä tehdään induktiolla. Kun n = 0, väite (2) tulee muotoon = ϕ ( ϕ) 5, 35

36 joka pätee, koska ϕ ( ϕ) = 2ϕ = 5. Kun n =, väite (2) tulee muotoon = ϕ2 ( ϕ) 2 5, joka sekin pätee, koska ϕ 2 = ϕ+ ja siten ϕ 2 ( ϕ) 2 = ϕ+ +2ϕ (ϕ+) = 2ϕ = 5. Oletetaan sitten induktiivisesti, että n 2 ja että väite (2) pätee tätä pienemmille luvuille. Luvulle n saadaan f n = f n + f n 2 = ϕn ( ϕ) n 5 ϕ n (ϕ + ) ( ϕ) n ( ϕ + ) i) = 5 + ϕn ( ϕ) n 5 = ϕ n ϕ 2 ( ϕ) n ( ϕ) 2 5 = ϕn+ ( ϕ) n+ 5, joten väite (2) pätee. Tässä yhtälö i) perustuu siihen, että sekä ϕ että ϕ ovat yhtälön x 2 x = 0 ratkaisuja. Näin väite () on todistettu, ja sen avulla saadaan yhtäpitäviä ehtoja: ϕ p n q n < 2qn 2 ϕ ϕn+2 ( ϕ) n+2 ϕ n+ ( ϕ) n+ < ( ) 2 2 ϕ n+ ( ϕ) n+ 5 ϕ n+2 ϕ( ϕ) n+ ϕ n+2 + ( ϕ) n+2 5 < 2(ϕ n+ ( ϕ) n+ ) ( ϕ) n+ 5 ( ϕ + ϕ) < 2(ϕ n+ ( ϕ) n+ ) i) (2ϕ ) ϕ n+ < 5 ( n+) 2(ϕ n+ ϕ) 5ϕ n+ 2ϕ < 2(ϕ n+ ( )n+ ϕ ) n+ 5 < 5 2 ϕ 2n+2 ϕ 2n+2. (4) ( ) n+ Tässä ekvivalenssi i) seuraa siitä, että ϕ = /ϕ. Koska ϕ.62, niin sen ensimmäinen konvergentti p 0 /q 0 = / ei toteuta (3) 36

37 ehtoa (3). Sen sijaan kaikki muut konvergentit tämän toteuttavat. Kun n =, konvergentti p /q = 2/ toteuttaa selvästi ehdon (3). Koska ehto (4) on ekvivalentti ehdon (3) kanssa, riittää osoittaa, että ehto (4) pätee kaikille n 2. Koska ϕ 2n+2 ϕ 2n+2, kun n ( ) n+ ja 5 < 5/2, niin on selvää, että ehto (4) toteutuu suurille n. Se toteutuu myös pienille n 2. Todistetaan tätä varten vähän kovempi ehto: 5 5 < 2 ϕ 2n+2 ϕ 2n+2 + kaikille n 2. (5) Koska jono (ϕ 2n+2 ) on kasvava ja myös funktio x x+ on kasvava, niin riittää huomata, että ehto (5) toteutuu pienimmälle tarkasteltavalle n eli kun n = 2. Ehto (5) tulee tällöin muotoon x 5 5 < 2 ϕ 6 ϕ 6 +. (6) Käyttäen toistuvasti yhtälöä ϕ 2 = ϕ+ saadaan esitys ϕ 6 = 8ϕ+5, jolloin ehto (6) tulee muotoon 2 < 8ϕ ϕ + 6. (7) Sijoittamalla ϕ = 2 ( + 5) saadaan ehto (7) ekvivalentteihin muotoihin 2 5 < < < 5, ja tämähän sitten on jo selvää. Näin väite (5) on todistettu ja väite (4) seuraa. 37

38 38

39 Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 6. Todistetaan ensin aputulos A: a 0 [a 0,...,a n ] a 0 +. Tehdään induktio n suhteen. Kun n = 0, väite pätee, sillä [a 0 ] = a 0. Oletetaan sitten induktiivisesti, että väite pätee n:lle. Pitää osoittaa, että eli että a 0 [a 0,...,a n+ ] a 0 + i) ii) a 0 a 0 + a 0 +. [a,...,a n+ ] Induktio-oletuksen nojalla [a,...,a n+ ] a, jolloin 0 [a,...,a n+ ] ja molemmat väitteet eli epäyhtälöt i) ja ii) seuraavat. Näin aputulos A on todistettu. Todistetaan sitten aputulos B: a 0 [a 0,a,...] a 0 +. Tämä seuraa aputuloksesta A, sillä [a 0,a,...] = lim n [a 0,a,...,a n ]. Muotoillaan vielä aputulos C: Jos kokonaislukujonoille (c n ) ja (d n ) pätee c n,d n kun n ja β = [c 0,c,c 2,...] = [d 0,d,d 2,...] on irrationaalinen, niin c 0 = d 0. Aputuloksen C todistus. Oletuksen ja tehtävän 4.3 nojalla saadaan yhtälöt β = c 0 + [0,c,c 2,...] = d 0 + [0,d,d 2,...], () josta c 0 d 0 = [0,d,d 2,...] [0,c,c 2,...]. (2) Aputuloksen B nojalla 0 [0,d,d 2,...],[0,c,c 2,...]. (3) Koska β on irrationaalinen ja c 0,d 0 Z, niin yhtälöiden () nojalla myös luvut [0,d,d 2,...] ja [0,c,c 2,...] 39

40 ovat molemmat irrationaalisia. Silloin epäyhtälöt (3) ovat aitoja ja niiden avulla saadaan arvio < [0,d,d 2,...] [0,c,c 2,...] <. Tämän arvion ja yhtälön (2) nojalla saadaan < c 0 d 0 <. (4) Koska c 0,d 0 Z, niin myös c 0 d 0 Z, ja silloin epäyhtälöiden (4) nojalla on oltava c 0 d 0 = 0, ja aputuloksen C väite seuraa. Ryhdytään sitten varsinaisen väitteen todistukseen, eli olkoon α = [a 0,a,...] = [b 0,b,...] irrationaaliluku ja väitetään, että a n = b n kaikille n. Todistetaan tämä induktiolla. Kun n = 0 väite seuraa suoraan aputuloksesta C. Oletetaan sitten induktiivisesti, että kaikille irrationaalisille α ketjumurtoesityksen n + ensimmäistä lukua ovat yksikäsitteisiä, jolloin siis erityisesti a k = b k kaikille k = 0,...,n ja väitetään, että a n+ = b n+. Tehtävän 4.3 nojalla α = a 0 + ja koska induktio-oletuksen nojalla a 0 = b 0, niin [a,a 2,...] = b 0 + [b,b 2,...], (5) [a,a 2,...] = [b,b 2,...] =: β. (6) Koska α on oletuksen mukaan irrationaalinen ja a 0 Z, niin yhtälön (5) nojalla myös β on irrationaalinen. Sovelletaan nyt induktio-oletusta irrationaalilukuun β. Induktio-oletuksen mukaan sen ketjumurtolukuesityksen n + ensimmäistä lukua ovat yksikäsitteisiä. Tällöin esitysten (6) perusteella a k = b k kaikille k =,...,n + ; erityisesti siis a n+ = b n+, joten induktioväite on todistettu. 2. Todistetaan väite induktiolla esityksen minimaalisen pituuden n suhteen. p q = [a 0,...,a n ] Olkoon ensin n = 0. Tällöin p/q = [a 0 ] = a 0 Z, joten voidaan olettaa, että q =, ja pitäisi osoittaa, että p:llä on täsmälleen yksi muu ketjumurtolukuesitys. Yksi tällainen esitys löytyy heti: Valitaan b 0 = p ja b =, jolloin [b 0,b ] = b 0 + b = p + = p. 40

41 Koska näissä löydetyissä esityksissä on eri pariteetti (kuten väitetään), niin riittää osoittaa, että muita esityksiä ei ole. Olkoon sitä varten p = [c 0,...,c m ]; pitää osoittaa, että joko m = 0 ja c 0 = a 0 = p, tai sitten m = ja c 0 = b 0 sekä c = b. Jos m = 0, niin p = [c 0 ] = c 0 ja väite pätee. Voidaan siis olettaa, että m. Tällöin p = [c 0,...,c m ] = c 0 + [c,...,c m ]. () Tehtävän. aputuloksen A ja ehdon () nojalla c 0 p c 0 +. Koska kyse on kokonaisluvuista, pätee tällöin joko p = c 0 tai p = c 0 +. (2) Koska ehdossa () oleva osamäärä ei voi olla nolla, ei voi olla myöskään p = c 0, joten ehdon (2) perusteella p = c 0 +. (3) Silloin ehdon () nojalla joten [c,...,c m ] =, [c,...,c m ] =. (4) Jos nyt m =, niin ehdon (4) nojalla c = [c ] =. Silloin ehdon (3) ja lukujen b 0,b valinnan perusteella c 0 = b 0 ja c = b, joten väite pätee. Voidaan siis olettaa, että m 2, jolloin riittää saada aikaan ristiriita. Tehtävän. aputuloksen A nojalla c [c,...,c m ], joten ehdon (4) mukaan c, jolloin c =, koska c N. Silloin yhtälöstä (4) saadaan oletuksen m 2 nojalla jolloin + [c 2,...,c m ] = c + [c 2,...,c m ] = [c,c 2,...,c m ] =, [c 2,...,c m ] = 0, mikä on mahdotonta. Näin haluttu ristiriita löytyi, ja induktion alkuaskel on otettu. 4

42 Oletetaan sitten, että n ja että väite pätee niille rationaaliluvuille, joilla on n:ää lyhyempi ketjumurtolukuesitys. Lause 4. antaa siis yhden esityksen p q = [a 0,...,a n ]. (5) Voidaan olettaa, että esitys (5) on lyhin mahdollinen, sillä muuten väite seuraa heti induktio-oletuksesta. Koska n, niin p/q ei voi olla kokonaisluku, joilla on nollapituinen esitys. Esityksen (5) nojalla saadaan p q = a 0 + [a,...,a n ]. (6) Koska siis p/q ei ole kokonaisluku, niin esityksen (6) nojalla [a,...,a n ]. Silloin tehtävän. aputuloksen A perusteella < [a,...,a n ]. (7) Luku [a,...,a n ] on välttämättä rationaalinen, joten induktio-oletuksen nojalla tällä on myös toinen esitys [a,...,a n ] = [b,...,b m ], (8) missä n ja m ovat eri pariteettia. Tehtävän. aputuloksen A perusteella eli jolloin ehdon (7) nojalla [b,...,b m ] b [a,...,a n ] b, b > 0. (9) Koska esityksessä [b,...,b m ] muut b i :t ovat automaattisesti positiivisia, pätee ehdon (9) nojalla b i > 0 kaikille i, jolloin [a 0,b,...,b m ] = a 0 + [b,...,b m ] (0) on kelvollinen ketjumurtoluku, joka ehtojen (6) ja (8) nojalla esittää lukua p/q. Lisäksi se on eri esitys kuin alkuperäinen p/q = [a 0,...,a n ], koska m ja n ovat eri pariteettia. Lopuksi pitää vielä osoittaa, että muita ketjumurtolukuesityksiä ei ole. Olkoon siis p q = [c 0,...,c k ]; () pitää osoittaa, että esitys () on joko esitys (5) tai (0). 42

43 Koska p/q ei ole kokonaisluku, pätee tehtävän. aputuloksen A ja esitysten (5) ja () nojalla a 0 < p q < a 0 + ja c 0 < p q < c 0 +, ja tällöin on oltava a 0 = c 0. (2) Koska [a 0,...,a n ] on luvun p/q lyhin mahdollinen esitys, niin k n ja silloin saadaan esityksistä (5) ja (0) a 0 + josta edelleen ehdon (2) nojalla [a,...,a n ] = c 0 + [c,...,c k ], [a,...,a n ] = [c,...,c k ]. (3) Induktio-oletuksen nojalla rationaaliluvulla [a,...,a n ] on vain yksi erilainen esitys, mutta tämähän löydettiin jo ehdossa (8). (Se on eri esitys kuin [a,...,a n ], koska n ja m ovat eri pariteettia.) Tällöin ehdon (3) perusteella joko k = n ja c i = a i kaikille i =,...,n = k tai sitten k = m ja c i = b i kaikille i =,...,m = k. Ehdon (2) nojalla näissä vaihtoehdoissa päädytään joko esitykseen (5) tai (0), joten väite on todistettu. Luvulle 2/3 saadaan algoritmista 4.9 esitys 2/3 = [0,,2]. Toinen esitys on 2/3 = [0,,,]. Tässä voi tietysti miettiä sitä, tuottaako algoritmi 4.9 aina rationaaliluvulle nimenomaan sen lyhyemmän esityksen. Kyllähän se tuottaa, eikä todistuskaan kovin vaikea ole jätetään se mietittäväksi. 3. Olkoon lim n x n = x R. Valitaan a,b R siten, että a < x < b. Väitteen lim inf x n = x todistamiseksi riittää lauseen 6.3 nojalla osoittaa, että x n < b äärettömän monelle n ja () x n < a vain äärellisen monelle n. (2) Valitaan ǫ > 0 siten että ǫ < min{x a,b x}. Koska lim n x n = x, niin raja-arvon määritelmän mukaan on olemassa n 0 N siten, että kaikille n n 0 pätee x n x < ǫ. Tällöin luvun ǫ valinnan nojalla x n < b kaikille n n 0, joten väite () seuraa. Vastaavasti luvun ǫ valinnan nojalla joten myös väite (2) seuraa. a < x n kaikille n n 0, 43

44 Sitten pitää antaa esimerkki, jossa reaalista raja-arvoa ei ole, mutta reaalinen lim inf on olemassa. Määritellään jono (x n ) asettamalla x n = ( ) n kaikille n. Tämä jono ei selvästikään ole Cauchy-jono, joten ei ole olemassa raja-arvoa lim n x n. Toisaalta kuitenkin pätee lim inf x n =. (3) Väitteen (3) todistamiseksi valitaan a,b R siten, että a < < b. Lauseen 6.3 nojalla riittää osoittaa, että x n < b äärettömän monelle n ja (4) x n < a vain äärellisen monelle n. (5) Koska parittomille n pätee x n = < b, niin väite (4) seuraa. Toisaalta kaikille n pätee a < x n, joten myös väite (5) seuraa. Oletetaan seuraavaksi, että Väitteenä on, että myös Merkitään kuten lim inf:n määritelmässä kaikille n jolloin ja väite (7) tulee muotoon lim =. (6) n lim inf x n =. (7) A n = {x n,x n+,x n+2,...} ja m n = inf A n R, lim inf x n = lim n m n, lim m n =. (9) n Olkoon M R mielivaltainen. Väitteen (9) todistamiseksi riittää osoittaa, että on olemassa n 0 N siten, että Oletuksen (6) nojalla on olemassa n N siten, että m n M kun n n 0. (0) x n M kun n n. () Valitaan nyt n 0 := n, 44

45 ja osoitetaan, että tämä valinta toimii ehdossa (0). Kun n n 0 = n, niin ehdon () nojalla x M kaikille x A n. (2) Tällöin joten ehto (0) pätee. m n = inf A n M, On siis osoitettu, että ehto (6) implikoi ehdon (7). Oletetaan sitten kääntäen, että ehto (7) pätee; väitteenä on nyt ehto (6). Väitteen (6) todistamiseksi riittää osoittaa, että on olemassa n N siten, että ehto () pätee. Oletuksen (7) nojalla on olemassa n 0 N siten, että ehto (0) pätee. Nyt valitaan n := n 0, ja osoitetaan, että tämä valinta toimii ehdossa (). Kun n n = n 0, niin ehdon (0) nojalla ehto (2) pätee. Tällöin pätee myös ehto (), joten tämä käänteinenkin implikaatio on todistettu. 4. Tässä pitäisi siis antaa esimerkki irrationaaliluvusta α, jolla ei ole raja-arvoa lim q q αq. Valitaan α = [a 0,a,...] = [,2,,2,,2,...] = + 3, 2 ks. tehtävä 4.6. Olkoot p n /q n luvun α konvergentit. Koska suppenevan jonon jokainen osajono suppenee, riittää osoittaa, että ei ole olemassa raja-arvoa lim n q n αq n. Lemman 6.6 nojalla q n αq n = [a n+,a n+2,...] + [0,a n,...,a ], joten riittää osoittaa, että jonolla ( ) [a n+,a n+2,...] + [0,a n,...,a ] n N () ei ole raja-arvoa. Tähän taas riittää osoittaa, että jonon () parilliset ja parittomat termit konvergoivat eri pisteisiin. Koska tehtävän 4.6 mukaan β = [2,,2,,2,,...] = + 3, niin jonon () 45

46 parillisille termeille saadaan lim n [a 2n+,a 2n+2,...] + [0,a 2n,...,a ] = lim n β + lim n [,2...,2] }{{} 2n kpl = β + α Vastaavasti parittomille termeille saadaan lim n = [a 2n,a 2n+,...] + [0,a 2n,...,a ] = lim n α + lim n [2,...,2] }{{} 2n kpl = α + β = [2,,2,,...] + [0,,2...,2] = 3 6. = = [,2,,2,...] + [0,2,...,2] = 3 3. = 2( + 3) = Koska , niin parilliset ja parittomat termit konvergoivat eri pisteeseen, ja silloin koko jono () ei voi konvergoida. 5. Merkitään α = [3, 3, 3,...]. Tällöin tehtävän 4.3 nojalla joten josta ratkaisemalla α = 3 + [3,3,3,...] = 3 + α, α 2 3α = 0, α = 3 ± 3. 2 Koska α 3, niin kyseeseen tulee vain +-merkki, eli α = Tälle saadaan Markovin vakio suoraan raja-arvona (joka sattuu nyt olemaan olemassa): µ(α) = lim n [3,3,3,...] + [0,3,...,3] = α + }{{} = α 3+ α α 2 + = 2 (3+ = 3) n kpl = (3 + 3)(3 3 3) = = Tehtävässä 4.5 laskettiin luvun α = 0 ketjumurtolukuesitys, joka on α = [3,6,6,6,...]. 3 46

47 Silloin luvun β = ketjumurtolukuesitys on β = [6,6,6,...]. Luvut α ja β ovat siten ekvivalentteja, joten lauseen 6.3 nojalla niillä on sama Markovin vakio, ja riittää laskea µ(β). Tämä saadaan suoraan raja-arvona (joka sattuu nyt olemaan olemassa): µ(β) = lim n [6,6,6,...] + [0,6,...,6] = β + }{{} = β β n kpl = (3 + 0)(20 6 0) = 2 0 = β 2 + = Tehtävän 4.6 mukaan luvun β = + 3 ketjumurtolukuesitys on β = [2,,2,,2,,...]. Tällöin luvun 3 ketjumurtolukuesitys on 3 = [,,2,,2,,...]. (3 + 0) 2 + = Merkitään α = + 3, 2 jolloin α:n ketjumurtolukuesitys on tehtävän 4.6 mukaan α = [a 0,a,a 2,...] = [,2,,2,,2,...]. Silloin α ja 3 ovat ekvivalentteja, joten lauseen 6.3 nojalla niillä on sama Markovin vakio, ja riittää laskea µ(α) eli lim inf [a n+,a n+2,...] + [0,a n,...,a ]. Tehtävässä 4. todettiin, että jono ( ) (x n ) n N = [a n+,a n+2,...] + [0,a n,...,a ] n N käyttäytyy niin, että sen parilliset termit konvergoivat lukuun 3 6 termit 3 3. Tällöin () ja parittomat lim inf 3 [a n+,a n+2,...] + [0,a n,...,a ] = 6. Tämä seuraa lauseesta 6.3, sillä jos a < 3 6 < b, niin x n < b suurille parillisille indekseille siis äärettömän monelle n ja x n > a kaikille suurille indekseille, 47

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.

Lisätiedot

Ketjumurtodemot 1. ϕ = ( ). 2

Ketjumurtodemot 1. ϕ = ( ). 2 Ketjumurtodemot 1 1. Taiteessa (kuvataiteessa, arkkitehtuurissa, musiikissa jne.) tunnetaan klassinen sectio aurea eli kultainen leikkaus, joka matemaattisesti tarkoittaa janan jakamista kahteen osaan

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Rothin lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan pro gradu

Rothin lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan pro gradu Rothin lause Heikki Pitkänen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 0 Tiivistelmä: Heikki Pitkänen, Rothin lause. Matematiikan pro gradu -tutkielma, 47

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö

Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Viivi Seppälä Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SEPPÄLÄ,

Lisätiedot

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa

Lisätiedot

Kuinka määritellään 2 3?

Kuinka määritellään 2 3? Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...

Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,... Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

1 Rationaaliluvuista; alkeet 1. 2 Rationaaliluvuista; Farey-jonot 4. 3 Dirichlet n ja Hurwitzin lauseet Ketjumurtoluvut 20

1 Rationaaliluvuista; alkeet 1. 2 Rationaaliluvuista; Farey-jonot 4. 3 Dirichlet n ja Hurwitzin lauseet Ketjumurtoluvut 20 Ketjumurtoluvut Sisältö Rationaaliluvuista; alkeet 2 Rationaaliluvuista; Farey-jonot 4 3 Dirichlet n ja Hurwitzin lauseet 4 Ketjumurtoluvut 20 5 Irrationaaliluvun parhaat rationaaliset approksimaatiot

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

1 Tätä dokumenttia, Ketjumurtoluvuista.pdf, saa levittää vain yhdessä lähdekoodinsa

1 Tätä dokumenttia, Ketjumurtoluvuista.pdf, saa levittää vain yhdessä lähdekoodinsa Sisältö Eukleideen algoritmi Jakoyhtälö positiivisille kokonaisluvuille 2 2 Eukleideen algoritmi 2 3 Laajennettu Eukleideen algoritmi 3 2 Ketjumurtoluvut 4 2 Irrationaalilukujen ketjumurtolukukehitelmä

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

LUKUTEORIA johdantoa

LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

a ord 13 (a)

a ord 13 (a) JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus

Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Pro gradu -tutkielma Jonna Luokkanen 22452 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 24 Sisältö Johdanto 2 Johdatus ketjumurtolukuihin 2 Ketjumurtoluvun

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

Alkulukujen harmoninen sarja

Alkulukujen harmoninen sarja Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja

Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II 802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Määritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki

Määritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot