Rakenteiden mekaniikka TF00BO01, 5op Sisältö: Nivelpalkit Kehät Virtuaalisen työn periaate sauvarakenteelle Muodonmuutosten laskeminen Hyperstaattiset rakenteet Voimamenetelmä Crossin momentintasausmenetelmä 1
Suoritus Oppitunnit, esimerkit, laskuharjoitukset Henkilökohtaiset harjoitustehtävät Koe Kirjallisuus Salmi Tapio, Statiikka, 2005, Pressus Oy Salmi Tapio, Kuula Kai, Rakenteiden mekaniikka, 2012, Pressus Oy Loikkanen Pentti, Rakenteiden statiikka, Nivelpalkit Nivelpalkki (Gerber kannatin) muodostuu yksinkertaisista palkeista ja ulokepalkeista, joita yhdistetään toisiinsa nivelellisesti. Nivelpalkin niveliä pidetään kitkattomina. Kuvassa 1 on esitetty 2 erilaista nivelpalkkia, joissa on nivel kohdassa D. Nivelpiste vastaa kiinteää niveltukea, jonka välityksellä palkin osat tukeutuvat toisiinsa. Kitkattomuuden vuoksi nivel ei välitä taivutusmomenttia, mutta normaali ja leikkausvoimaa kylläkin. 2
Nivelpalkin rasitukset voidaan määrittää kahdella eri tavalla. Joko irrotetaan palkin osat toisistaan nivelen kohdalta ja lasketaan osien vk kuvien perusteella tukireaktiot sekä nivelessä vaikuttavat voimat (kuva a). Tämän jälkeen voidaan määrittää osien rasituspinnat kuten aiemmin. Toinen mahdollisuus on määrittää palkin tukireaktiot koko palkin vkkuvan (kuva 2b) perusteella. Kuvasta voidaan havaita, että tukireaktiokomponentteja on 4 kpl, joiden ratkaisemiseksi jäykän kappaleen tasapainoehdot tasossa eivät riitä. Jokaista niveltä kohti saadaan kuitenkin lisäehto siitä, että nivelessä taivutusmomentti häviää. Kuvan b tapauksessa voidaan jäykän kappaleen tasapainoehtojen lisäksi siis kirjoittaa taivutusmomentille leikkauksessa (nivelessä) D M td 0 Koska jokaista niveltä kohti tulee lisäehto taivutusmomentin häviämisestä, voidaan tukireaktiokomponentteja laskea enintään nivelten lukumäärä lisättynä kolmella. Tästä voidaan kääntäen päätellä, että välttämätön, mutta ei riittävä ehto, että tasossa oleva nivelpalkki on isostaattinen, on, että tukireaktiokomponenttien lukumäärä on nivelten lukumäärä lisättynä kolmella. (Useissa palkkitehtävissä vaakavoimia ei ole, jolloin vaakasuuntainen tukireaktio jätetään tarpeettomana pois seuraavissa esityksissä.) 3
ESIMERKKI Määritä kuvan nivelpalkin leikkausvoimaja taivutusmomenttikuvio. Kohdassa C on kitkaton nivel. RATKAISU Piirretään koko palkin vk kuva ja ratkaistaan siitä tukireaktiot. Tukireaktio B y on helpointa ratkaista laskemalla taivutusmomentti oikealta niveleen C Pystysuuntainen tsp ehto: Momentti tsp pisteessä A Lasketaan leikkausvoimat 4
Lasketaan taivutusmomentit ESIMERKKI Määritä kuvan nivelpalkin leikkausvoima ja taivutusmomenttikuvio. Kohdassa C on kitkaton nivel. Palkin vkk RATKAISU Piirretään palkin vk kuva ja ratkais taan siitä tukireaktiot. Tukireaktio B y on helpointa ratkaista laskemalla taivutusmomentti oikealta niveleen C 5
Pystysuuntainen tsp ehto: Momentti tsp pisteessä A Lasketaan leikkausvoimat Lasketaan taivutusmomentit Leikkausvoiman 0 kohta: Qx 12, 63 23 x 0 x 0, 5491 Taivutusmomentti kohdassa x: 2 M tx 12, 63 0, 5491 23 0, 5491 / 2 3, 47kNm 6
Kuva: Nivelpalkin rasituspinnat ESIMERKKI Määritä kuvan momenttikuormituksen M suuruus siten, että tuella B on yhtä suuri taivutusmomentti kuin tuen A kohdalla. Piirrä rasituskuviot. Kohdassa D on kitkaton nivel. RATKAISU Lasketaan tukireaktio A y taivutusmomenttiehdosta nivelessä D 7
Koko palkin momentti tsp pisteessä C Pystysuuntaisesta tsp yhtälöstä saadaan Tuella A taivutusmomentti Taivutusmomentti tuen B kohdalla olevassa leikkauksessa on Annetusta ehdosta seuraa yhtälö Palkin leikkausvoima ja taivutusmomenttikuviot on esitetty kuvassa. 8
ESIMERKKI Määritä kuvan nivelpalkin rasituskuviot. Kohdissa D ja E on kitkattomat nivelet. 30 7 C 3 0 70 Edelleen nivelestä D y Cy kn y RATKAISU Määritetään tukireaktio taivutusmomenttiehdosta nivelessä E 2 30 14 70 10 60 7 B 4 12 4 / 2 0 B 59kN y C y Pystysuuntaisesta tsp ehdosta saadaan A 12 9 59 60 70 30 0 A 69 y y kn Koko palkin momentti tsp ehto pisteessä A 2 MA 129 / 2 599 6012 7015 3019 0 M A 195kNm Kuva: Nivelpalkin vkk 9
Kuva: Nivelpalkin rasituspinnat TEHTÄVÄ Määritä ja piirrä kuvan nivelpalkin rasituspinnat. Kuinka suuri on itseisarvoltaan suurin taivutusmomentti ja missä kohtaa se sijaitsee? Kohdassa C on kitkaton nivel. V: M t 240kNm max 10
TEHTÄVÄ Määritä ja piirrä kuvan nivelpalkin rasituspinnat. Kuinka suuri on itseisarvoltaan suurin taivutusmomentti ja missä kohtaa se sijaitsee? Kohdassa C on kitkaton nivel. V: M t 830kNm max TEHTÄVÄ Määritä ja piirrä kuvan nivelpalkin rasituspinnat. Kuinka suuri on itseisarvoltaan suurin taivutusmomentti ja missä kohtaa se sijaitsee? Kohdassa C on kitkaton nivel. V: M t 225kNm max 11
TEHTÄVÄ Määritä ja piirrä kuvan nivelpalkin rasituspinnat. Kuinka suuri on itseisarvoltaan suurin taivutusmomentti ja missä kohtaa se sijaitsee? Kohdassa C on kitkaton nivel. V: M t 581kNm max TEHTÄVÄ Määritä ja piirrä kuvan nivelpalkin rasituspinnat. Kuinka suuri on itseisarvoltaan suurin taivutusmomentti ja missä kohtaa se sijaitsee? Kohdassa C ja D on kitkattomat nivelet. V: M t 344kNm max 12