PUHDAS, SUORA TAIVUTUS Qx ( ) Nx ( ) 0 (puhdas taivutus) d t 0 eli taivutusmomentti on vakio dx dq eli palkilla oleva kuormitus on nolla 0 dx suora taivutus Taivutusta sanotaan suoraksi, jos kuormitustaso sisältää palkin kaikkien poikkileikkauksien toisen pääakselin. Tästä seuraa 1. Neutraaliakseli ja neutraalitaso ovat kohtisuorassa kuormitustasoa vastaan. 2. Kimmoviiva (=taipumaviiva) pysyy kuormitustasossa. Kuvan palkissa on puhdas taivutus pistevoimien välisellä osuudella. Jos kuormitustaso sisältää kaikkien poikkileikkauksien toisen pääakselin, on taivutus myös suora. 1
Teknisen taivutusteorian otaksumat: 1. Tasot, jotka ennen muodonmuutosta olivat kohtisuorassa palkin akselia vastaan, pysyvät tasoina muodonmuutoksen jälkeenkin. 2. Tasot, jotka ennen muodonmuutosta olivat kohtisuorassa palkin akselia vastaan, ovat kohtisuorassa palkin akselia vastaan. 3. Poikkileikkauksen poikittaismuodonmuutokset jätetään huomioonottamatta. Etäisyydellä y neutraaliakselista olevan viivaelementin venymä: x x ( dx) ( y) d-d dx d y Viivaelementin venymä on siis suoraan verrannollinen etäisyyteen neutraaliakselista. 2
NEUTRAALITASO JA NEUTRAALIAKSELI Puhtaassa taivutuksessa palkin pitkittäissäikeet venyvät palkin kuperalla puolella ja lyhenevät koveralla puolella, joten tietyllä kohtaa ne säilyttävät pituutensa ja ainoastaan taipuvat. Nämä säikeet muodostavat neuraalitason, joka taipuu palkin neutraalipinnaksi. Normaalijännityksen jakautuminen puhtaassa taivutuksessa: x y E x E Taivutusjännitystila 3
Poikkileikkauksen normaalijännitysresultantti häviää puhtaassa taivutuksessa: y E E N xda E da y A Sz d 0 S 0 z LAUSE: Jos materiaali on lineaarisesti kimmoista ja isotrooppista sekä poikkileikkauksen kimmomoduuli on vakio, kulkee puhtaassa suorassa taivutuksessa neutraaliakseli poikkileikkauksen pintakeskiön kautta. Laskemalla pintaelementtiin kohdistuvan voiman xda momentti z akselin suhteen (koko poikkileikkauksen alalta) saadaan Ey y d A y A d tz x Jos kimmomoduuli E on poikkileikkauksessa vakio, niin E E y A I 2 tz d missä siis I y 2 da z z 4
Ratkaistaan eo. yhtälöstä kaarevuus 1/ (kaarevuussäteen käänteisluku) 1 EI tz z Tuloa EI z sanotaan poikkileikkauksen taivutusjäykkyydeksi. y Koska x E niin tz x y I z Tämä on puhtaan taivutuksen aiheuttama palkin akselin suuntainen normaalijännitys, jolle usein käytetään myös nimitystä taivutusjännitys. Taivutusjännityksellä on ääriarvot poikkileikkauksen ala ja yläreunassa. Näitä sanotaan reunajännityksiksi r1 ja r2. Kun käytetään reunaetäisyyksiä a 1 ja a 2, saadaan reunajännityksille lausekkeet a ( a ) I W I W t t t t r1 1 r2 2 z 1 z 2 5
Näissä on käytetty ala ja yläreunan taivutusvastuksia W 1 I a z 1 W I a z 2 2 Joissakin yhteyksissä poikkileikkauksille annetaan vain yksi taivutusvastus (kummankin pääakselin suhteen). Tällöin tarkoitetaan pienempää taivutusvastuksista (z akselin suhteen) eli W min( W, W ) z z1 z2 t max W z t ESIERKKI Valitse kuvan kaksitukiselle tasapaksulle ja homogeeniselle palkille sopiva kuumamuovattu puolileveä I profiili, joka on terästä S275JRG2 (EN10025). Varmuusluvuksi myötöön nähden halutaan 1,5. Vain taivutusjännitys otetaan huomioon. F 10kN, L2m
Tarvittava taivutusvastus RATKAISU Palkin suurin taivutusmomentti FL 10kN2m tmax 5kNm 4 4 Sallittu jännitys R e n 275Pa, sall 183Pa 15 t t max sall Wz t 5kNm 510 Nmm Wztarv 2 sall 183Pa 183Nmm 27322mm 3 I profiilit taulukon mukaan pienin poikkileikkaus, jolla taivutusvastus on vähintään tämän suuruinen, on 3 3 IPE 100 ( Wz 34, 210 mm ) jos profiili on kuvan (a) mukaisessa asennossa. Jos profiili asetettaisiin kuvan (b) mukaisesti, tulisi valita poikkileikkaukseksi 3 3 IPE 200 ( Wy 28, 510 mm ) jonka massa on melkein kolminkertainen ensimmäiseen verrattuna. 7
ESIERKKI Valitse kuvan palkiksi sopivat poikkileikkausmitat, kun palkki on puuta T30, jonka tsall 11Pa. Palkin poikkileikkaus on suorakaide b h. RATKAISU: Suorakaiteen taivutusvastus: 3 2 Iz bh / 12 bh Wz h / 2 h / 2 Palkin suurin taivutusmomentti 15kNm t max Tarvittava taivutusvastus W 15kNm 1510 Nmm 13, 10 mm t ztarv 2 sall 11Pa 11N/mm 3 Haetaan sopivaa poikkileikkausta kokeilemalla leveyden arvoilla: b 50mm 3 2 Wztarv Wztarv 13, 10 mm Wztarv bh / h 404mm b b 50mm b 75mm 1, 310 h mm 330mm 75 b 100mm 1310, h mm 285mm Valitaan b100 ja h300 100 8
ESIERKKI Kuvan teräspalkki on tehty kuumamuovatusta T profiilista T100. Laske palkin varmuus myötöön nähden, kun L 1m, q kn/m, R 220Pa o RATKAISU: Profiilille T100: A2090mm, Iz 1, 7910 mm Pienempi taivutusvastuksista on e 2 4 Iz W a 4 179, 10 mm 24, mm 3 max 72, mm 3 Itseisarvoltaan suurin taivutusmomentin arvo saadaan palkin tuella A t A qoll/2 3kNm 310 Nmm Itseisarvoltaan suurin taivutusjännitys esiintyy palkin tuella A olevan poikkileikkauksen alareunassa. Sille saadaan ta 310 Nmm tmax 121, 7Pa 3 3 W 24, 10 mm Varmuudeksi myötöön nähden tulee näin Re 220Pa n 181, tmax 121, 7Pa Tarkistetaan vielä oman painon vaikutus. 9
Omasta painosta johtuva kuormitus on kg 2 m qg Ag 7850 209010 m 9, 81 11N/m 3 2 m s Koska taivutusjännitys on suoraan verrannollinen taivutusmomentin arvoon, joka edelleen on suoraan verrannollinen kuormituksen arvoon, voidaan omasta painosta johtuva taivutusjännityksen osuus laskea verrannolla q g g 011, t tmax 121, 7 Pa 3, 27 Pa qo Oman painon osuus jännitykseen on vain noin 2, %. TEHTÄVÄ ääritä kuvan palkin taivutusjännityksen ääriarvot. Palkin poikkileikkaus on kuvan mukainen. Vast: tmax 59, 4Pa 10
TEHTÄVÄ ääritä kuvan palkin taivutusjännityksen suurin arvo. Palkin poikkileikkaus on kuvan mukainen. Vast: tmax 127Pa TEHTÄVÄ Valitse taivutusjännityksen perusteella kuvan palkiksi sopiva IPE profiili, jonka materiaali on S275JRG2 (EN10025). Varmuusluvun myötöön nähden tulee olla vähintään 1,5. Vast: IPE300 11
TEHTÄVÄ ääritä kuvan palkin taivutusjännityksen ääriarvot. Palkin poikkileikkaus on kuvan mukainen. Vast: tmax tmin tmin 57kNm, 3kNm 148Pa, 148Pa tmax TEHTÄVÄ Palkin poikkileikkaus on hitsattu kahdesta laattateräksestä kuvan mukaisesti. Teräk sen materiaali on S355JRG2 (EN10025). ääritä kuvan palkin taivutusjännityksen ääriarvot. ikä on varmuus myötöön nähden? Vast: y 4 o 4, 55mm, z 2, 1810 mm tmax tmin I 39, 38kNm, 203, 7Pa tmax 97, 10Pa, n 1, 74 12
TEHTÄVÄ ääritä kuvan palkin taivutusjännityksen ääriarvot. Palkin poikkileikkaus on kuvan mukainen. 75Pa, 90Pa Vast: tmax tmin Yhdistetty veto (tai puristus) ja taivutus Yleensä palkin poikkileikkausta rasittaa taivutuksen lisäksi myös normaalivoima ja leikkausvoima. Tarkastellaan seuraavassa normaalivoiman ja taivutusmomentin yhteisvaikutusta palkin akselin suuntaisiin normaalijännityksiin. Näiden rasitusten erikseen aiheuttamat jännitykset ovat x F tz x y A Iz 13
Yhdistetyn vedon ja taivutuksen reunajännitykset ovat N N tz tz r1, r2 A W1 A W2 ESIERKKI Kuvan lyhyen pilarin poikkileikkaus on RHS putki 150x150x teräksestä S355J2H. Kuormittava voima F 150kN ja voiman etäisyys e 300mm (pilarin keskilinjasta). Laske varmuus myötöön 2 nähden, kun pilarin poikkipinta ala A 333mm 3 3 ja taivutusvastus W ( W ) 152, 810 mm RATKAISU Vkk kuvan perusteella 3 N F 15010 N Fe4510 Nm t z y 14
Lasketaan reunajännitykset N 15010 N 4510 Nmm 3 tz r1 2 3 3 A W1 333mm 152, 810 mm N 15010 N 4510 Nmm 3 tz r2 2 3 3 A W1 333mm 152, 810 mm 249, 9Pa 339, 1Pa Varmuus myötöön nähden Re 355 n 105, 339, 1 x max TEHTÄVÄ Kuvan mukaiseen puusauvaan on tehty 10mm syvä lovi. Laske, kuinka suuri on akselin suuntainen normaalijännitys loveamattomassa sauvassa ja kuinka paljon jännitys muuttuu lovetussa kohdassa. Voima F kn Vast: r 15Pa max 15
TEHTÄVÄ Kuvan lyhyttä pilaria kuormittaa kaksi voimaa. Kuinka paljon pilarin poikkileikkauksen suurin puristusjännitys muuttuu, kun toinen voimista poistetaan. F 450kN, a150mm, c100mm 1