Talousmatematiikan perusteet: Luento 19 Integraalin sovelluksia kassavirtaanalyysiin Differentiaaliyhtälöt
Motivointi Edellisillä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä Tällä luennolla tarkastelemme integroinnin sovelluksia 1. Kassavirta-analyysiin 2. Differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen 2
Sovelluksia kassavirta-analyysiin Luennolla 2 käsittelimme sarjoja Sarjojen teoriaa sovellettiin diskreettiaikaiseen kassavirtaanalyysiin Esim. korkojen ja lainasummien laskemiseen, kun lainaa otetaan tai maksetaan diskreetteinä ajanhetkinä Integrointia voidaan vastaavasti soveltaa jatkuva-aikaiseen kassavirta-analyysiin Esim. korkojen ja lainasummien laskemiseen, kun lainaa otetaan tai maksetaan jatkuvasti 3
Sovelluksia kassavirta-analyysiin Esim. Opiskelija lainaa kunkin opiskeluvuoden alussa 6000 4% vuosikorolla ja maksaa koko summan korkoineen takaisin seitsemän vuoden opintojen päätyttyä. Kuinka paljon maksettavaa kertyy kaiken kaikkiaan? Pylvään pinta-ala 6000 1.04 t 1 : kertynyt summa t vuotta ennen opintojen päättymistä otetulle 6000 lainasummalle Maksettava summa eli kassavirtojen tuleva arvo FV (future value) on geometrisen sarjan osasumma: s 7 = σ7 t=1 6000 1.04 t = σ7 t=1 6000 1.04 1.04 t1 = 6000 1.04 (1.047 1) 1.041 49 285.36. 4
Sovelluksia kassavirta-analyysiin Esim. Opiskelija lainaa rahaa jatkuvasti 6000 vuosivauhdilla. Nimellinen vuosikorko on 4% ja sitä kerrytetään jatkuvasti. Opiskelija maksaa koko summan korkoineen takaisin seitsemän vuoden opintojen päätyttyä. Kuinka paljon maksettavaa kertyy kaiken kaikkiaan? Äärettömän kapean pylvään pinta-ala 6000 e 0.04t dt : kertynyt summa t vuotta ennen opintojen päättymistä otetulle 6000dt :n lainasummalle Lainattava summa infitesimaalisen pienellä aikavälillä dt: 6000dt Korkokerroin hetkellä t lainattavalle summalle: e 0.04t Maksettava summa FV on määrätty integraali: 5
Presemo-kysymys Pirjo sijoittaa kiinteän koron etutilille rahaa jatkuvasti 4000 vuosivauhdilla. Tilin nimellinen vuosikorko on 2% ja sitä kerrytetään jatkuvasti. Kuinka paljon etutilillä on rahaa viiden vuoden kuluttua? 1. 20000.00 2. 20816.16 3. 21034.18 6
Sovelluksia kassavirta-analyysiin Terttu on ottanut 10 vuoden annuiteettilainan, jota hän maksaa takaisin 10 000 :n vuosierillä aina vuoden lopussa. Korkokanta on 5%, ja sitä kerrytetään vuosittain. Kuinka suuri on Tertun ottama laina (eli lainan nykyarvo)? Pylvään pinta-ala 10000 1 1.05 t 1: t vuoden kuluttua maksettavan 10 000 :n erän nykyarvo. Kassavirtojen nykyarvo PV (present value) on geometrisen sarjan osasumma: s 10 = σ 10 t=1 10000 = σ 10 t=1 10000 1 1.05 t 1 1 1.05 1.05 t1 = 1 10000 1.05 1 10 1 1.05 1 77 217.35. 1.05 1 7
Sovelluksia kassavirta-analyysiin Terttu päättääkin maksaa 10 vuoden annuiteettilainaansa takaisin jatkuvasti 10 000 :n vuosivauhtia. Korkokanta on 5%, ja sitä kerrytetään niin ikään jatkuvasti. Kuinka suuren lainan Terttu tällöin saa? Äärettömän kapean pylvään pinta-ala 10000 e 0.05t dt : t vuoden kuluttua maksettavan 10 000dt :n erän nykyarvo. Maksuerä infitesimaalisen pienellä välillä: 10000dt Diskonttotekijä hetkellä t (vuosissa) = e 0.05t Nykyarvo: 8
Presemo-kysymys Pirjo sitoutuu sijoittamaan kiinteän koron viisivuotiselle etutilille rahaa jatkuvasti 4000 vuosivauhdilla. Tilin nimellinen vuosikorko on 2 % ja sitä kerrytetään jatkuvasti. Välittömästi tilin avaamisen jälkeen Pirjo joutuu yllättävään rahapulaan, ja hän tarjoutuu myymään tilinsä Penalle. Mikä on tilin arvo myyntihetkellä? 1. 19032.52 2. 19223.48 3. 20000.00 9
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälö on yhtälö, jossa voi esiintyä muuttuja x, funktion arvo f(x) sekä funktion derivaattoja f (x), f (x), eri tavoin yhdisteltynä, esim. xf x = f x + 1 f x = f x x Jos mukana on korkeintaan 1. kertaluvun derivaatta f x, on kyseessä 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö 2. kertaluvun derivaatta f x, on kyseessä 2. kertaluvun differentiaaliyhtälö jne Luennon 16 suoramainontaesimerkissä ratkaisimme 2. kertaluvun differentiaaliyhtälön f x = a suoraan integroimalla Yleensä ratkaisu ei löydy näin helposti 10
1. kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö Esim. On havaittu, että savustetun toutaimen kysynnän 1. Taso on 1500 kg, kun hinta on 10 /kg ja 2. Hintajousto on likimain vakio -1.6 Mikä funktio f: R + R + määrittää kysynnän riippuvuuden kilohinnasta? Tiedosta 2. saadaan: Merkitään kuten sijoitusmenettelyssä: Ef x = f (x) f(x) x = 1.6 f (x) f(x) = 1.6 x f x = y, f x = dy dx 11
1. kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö Tällöin: Ef x = f (x) f(x) x = 1.6 dy dx dy x = 1.6 y dx 1 x = 1.6 y dy y = 1.6 x dx න 1 y dy = න 1.6 x dx ln y = 1.6 ln x + c y-termit tällä puolella x-termit tällä puolella ln y = ln x 1.6 + ln e c = ln(e c x 1.6 ) y = f x = e c x 1.6 = bx 1.6 (merkitään b = e c ) Tiedon 1 perusteella f 10 = b 10 1.6 = 1500 b 59716 Kysynnän (kg) riippuvuutta kilohinnasta x ( /kg) kuvaa siis funktio f: R + R +, f x = 59716x 1.6 12
1. kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö Differentiaaliyhtälöitä, joissa x- ja y-termit saadaan yhtälömerkin eri puolille, sanotaan separoituviksi: g y y = t(x) Differentiaaliyhtälön muokkaamista tällaiseen muotoon sanotaan separoinniksi Perusperiaate 1. kertaluvun separoituvien differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun: g y dy dx = t x g y dy = t x dx න g y dy = න t x dx y-termit tällä puolella x-termit tällä puolella 13
1. Kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö Esim. Markkinoilta tehtyjen havaintojen perusteella oletetaan, että seipisäilykkeen 1. Hintajousto Ef x on suoraan verrannollinen yksikköhintaan x ( /kg) ja 2. Hintatasolla x = 20 /kg kysyntä f 20 = 150 t ja jousto Ef 20 = 1.7 Tiedon 1 perusteella Ef x = ax, missä a on jokin vakio Ehdosta Ef 20 = 20a = 1.7 saadaan a = 0.085 Kysyntäfunktio f ratkaistaan differentiaaliyhtälöstä Ef x = f (x) x = 0.085x f(x) dy dx y = 0.085 dy y = 0.085dx න 1 y dy = න 0.085dx ln y = 0.085x + c y = e0.085x+c = b 0.9185 x (b = e c ) Alkuehdosta f 20 = 150 saadaan b 0.9185 20 = 150 b 821.3 Kysyntäfunktio on siis f: R + R +, f x = 821.3 0.9185 x 14
Presemo-kysymys Tuotteen kysynnän f x suhteellinen muutosnopeus kappalehinnan x suhteen on -0.2. Kappalehinnan ollessa 0 kysyntä on 100 kpl. Määritä kysyntäfunktio f x. 1. e 0.2x+100 2. 100e 0.2x 3. 100 + x 0.2 15
Yhteenveto Integrointia sovelletaan tilanteissa, joissa tarkastellaan jatkuvamuuttujaisten funktioiden kertyneitä arvoja, esim. Kertynyt tuotto, kun tuottonopeus muuttuu jatkuvasti Lainan tuleva arvo, kun lainaa otetaan (ja korkoa kerrytetään) jatkuvasti 1. kertaluvun differentiaaliyhtälössä voi esiintyä muuttuja x, funktion arvo f(x) sekä funktion derivaatta f (x) 1. kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö voidaan muokata muotoon, jossa kaikki ytermit ovat yhtäsuuruusmerkin vasemmalla puolella ja kaikki x-termit oikealla puolella: g y y = t(x) Yhtälö ratkaistaan: g y dy dx = t x g y dy = t x dx g y dy = t x dx 16
Välikoe & tentti Toinen välikoe ja kurssitentti järjestetään pe 6.4. klo 13-16 Välikoealue: luennot 11-19 + luennon 10 kalvot 28-38 (determinantti) ja harjoitustehtävät 6-11 Tentti: luennot 1-19 ja harjoitustehtävät 1-11 Ensimmäinen uusintatentti järjestetään 21.5. ja toinen elosyyskuussa (aika tarkentuu kesäkuussa) Harjoitustehtäväpisteet ovat voimassa kaikkien vuoden 2018 välikokeiden ja tenttien yhteydessä 17
Arvosteluperusteet Läpipääsyä varten tentin / välikokeiden yhteenlasketun pistemäärän tulee olla vähintään puolet maksimipistemäärästä (so. vähintään 18/36 pistettä tentistä ja vähintään 30/60 pistettä kahdesta välikokeesta yhteensä). Huom! Läpipääsykriteerin tulee täyttyä välikokeissa / tentissä saaduista pisteitä, eli tutkimukseen osallistumisesta saatuja lisäpisteitä ei tämän kriteerin kohdalla huomioida. Tenttipisteiden / välikokeiden yhteenlasketun pistemäärän painoarvo kokonaisarvioinnissa on joko 100% tai 70%; jälkimmäisessä tapauksessa kotitehtäväpisteiden painoarvo on 30%. Arvioinnissa sovelletaan opiskelijan kannalta edullisempaa painotusta. Kokonaispistemäärä ilmoitetaan prosentteina välillä [0,100]. Arvosanarajat: 0: < 50%, 1: 50-59%, 2: 60-69%, 3: 70-79%, 4: 80-89%, 5: 90-100%. 18
Lisää matematiikan / matemaattisen mallinnuksen kursseja? Information and service management kandidaattikursseja Business Mathematics II syventävä matematiikan kurssi erityisesti optimointiin keskittyen (lineaarinen, epälineaarinen, stokastinen) Business Decisions 1 matemaattisten mallien rakentaminen, simulointi ja ratkaiseminen liiketoiminnallisen päätöksenteon tukemisessa Lisäksi tilastotieteen ja stokastisen mallintamisen kursseja (mm. Tilastotieteen jatkokurssi, Econometrics) Information and service management maisterikursseja Business Decisions 2 syventävä kurssi matemaattisten päätöstukimallien rakentamisessa ja ratkaisemisessa Lisäksi rutkasti analytiikkaan ja tilastollisiin malleihin keskittyviä kursseja (mm. Data Science for Business I, Simulation, Time Series Analysis) Kurssi data-analytiikan ja optimointimallien yhdistämiseksi: Data Science for Business II 19
Matemaattisten päätösmallintajien koti = FORS Suomen operaatiotutkimusseura FORS: www.operaatiotutkimus.fi o o o o Ilmainen opiskelijajäsenyys! Opiskelijajäsenille maksuttomia seminaareja matemaattisen mallinnuksen hyödyntämisestä liike-elämän ja julkisen toiminnan eri osaalueilla 19.4.2018: Tekoäly: ennustaja, neuvonantaja vai päätöksentekijä? 2017: OR liikuttaa ihmistä (mm. VR, Kone, MaaS) + Analytiikka ja demokratia (Aalto, Turun yliopisto, MEP Sirpa Pietikäinen) 2016: Security in the digital age (mm. PV, Supo, DefSec) 2015: Data-analytiikka kasvun ja kannattavuuden moottorina (mm. Futurice, SAS Institute, SportIQ) Koulutusta, jäsenlehti, verkostoja matemaattisen mallinnuksen ammattilaisiin jne 20