ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa

Luentoviikko 6 Magneettikentän lähteet (YF 28) Liikkuvan varauksen magneettikenttä Virta-alkion magneettikenttä Suoran virtajohtimen magneettikenttä Virtajohtimien välinen voima Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Lävistyslaki Lävistyslain sovelluksia Magneettiset materiaalit Yhteenveto Magneettisesti leijutettu mansikka: http://www.ru.nl/hfml/research/levitation/diamagnetic/ 2 (27)

Tavoitteena on oppia yksittäisen liikkuvan varauksen tuottaman magneettikentän luonne miten miten kuvaillaan virta-alkion tuottama magneettikenttä miten lasketaan pitkän suoran virtajohtimen tuottama magneettikenttä miksi samansuuntaisia virtoja kuljettavat johtimet vetävät toisiaan puoleensa ja miksi vastakkaissuuntaisia virtoja kuljettavat johtimet hylkivät toisiaan miten pyöreän virtasilmukan magneettikenttä lasketaan mikä lävistyslaki (Ampèren laki) on ja mitä se magneettikentistä kertoo miten lävistyslakia käytetään symmetristen virtajakautumien magneettikentän laskemiseen millaiset materiaaliparametrit paramagneettisilla, diamagneettisilla ja ferromagneettisilla aineilla on 3 (27)

Liikkuvan varauksen magneettikenttä Liikkuva pistevaraus Tähän asti magneettikenttä on otettu annettuna mutta miten magneettikenttä luodaan? Kokeellisesti on havaittu, että etäisyydellä r vakionopeudella v etenevästä pistevarauksesta q on magneettikenttä B r B = µ 0 q v r r v r = v sin φ φ 4π r 2 q v Kenttäviivat ovat aikariippuvia ympyröitä, joiden akselina on kulkurata. (Kuvassa q > 0.) Vakio µ 0 = 4π 10 7 T m/a on tyhjiön permeabilisuus (tai permeabiliteetti). Lisäksi 1/ µ 0 ε 0 = c = 299 792 458 m/s on valonnopeus tyhjiössä. 4 (27)

Liikkuvan varauksen magneettikenttä Esimerkki Kaksi positiivista pistevarausta q liikkuvat vierekkäin samaan suuntaan nopeudella v kuvan mukaisesti. Millaiset sähköiset ja magneettiset voimat vaikuttavat näiden välillä? d q q v v Lopputulos: Varausten välillä on sähköinen hylkimisvoima ja magneettinen vetovoima. Voimien suhde F E /F B = c 2 /v 2, eli sähköinen voima on paljon isompi, kun v c. 5 (27)

Virta-alkion magneettikenttä Biot Savartin laki Lyhyessä virta-alkiossa dl on varaus dq = nqa dl (A = johtimen poikkipinta-ala) ja varaus liikkuu nopeudella v d dq v d = I dl d B Virta-alkio dl aiheuttaa magneettikentän d B = µ 0 I dl r 4π r 2 Todellisuudessa vain suljetut virtapiirit ovat mahdollisia! Suljetun virtapiirin kokonaiskenttä saadaan integroimalla: r d l r I B = µ 0 I dl r 4π r 2 Biot Savartin laki (Myös Biot n ja Savartin laki; Biot = [bi:ou], Savart = [s@"var]) 6 (27)

Suoran virtajohtimen magneettikenttä Suora virtajohdin Tärkeä Biot Savartin lain sovellus Johtimen pituus olkoon 2a (miten virtapiiri sulkeutuu?) y a dl I r r P x a d B = µ 0 I dl r 4π r 2 = µ a 0 I(ĵ dy) (xî yĵ) B = 4π (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 a d B = = k µ 0I 4π 2a x x 2 + a 2 7 (27)

Suoran virtajohtimen magneettikenttä Suora virtajohdin Jatkoa Jos virtajohdin on erittäin pitkä (a x), x 2 + a 2 a B = µ 0I 2πx Tuloksen voi yleistää (r on etäisyys johtimesta): B = µ 0I 2πr (pitkän suoran johtimen magneettikenttä) Kenttäviivat ovat johdinta kiertäviä ympyröitä, ja kentän suunnan (= sormet) saa oikean käden säännöllä virrasta (= peukalo) 8 (27)

Yhdensuuntaisten virtajohtimien välinen voima Kaksi johdinta vierekkäin Otetaan kaksi pitkää suoraa johdinta (pituus L), joiden virrat I ja I kulkevat samaan suuntaan Johdin (1) tuottaa etäisyydellä r olevan johtimen (2) kohdalle magneettikentän B = µ 0I 2πr Magneettikenttä kohdistaa toiseen johtimeen (2) voiman F = I L B = I LB = µ 0II L 2πr (F/L on voima pituusyksikköä kohti) F L = µ 0II Soveltamalla oikean käden sääntöä kahdesti (kentän suunta & voiman suunta) huomataan, että samansuuntaista virtaa kuljettavat johtimet vetävät toisiaan puoleensa ja vastakkaissuuntaista virtaa kuljettavat johtimet hylkivät toisiaan 2πr 10 (27)

Yhdensuuntaisten virtajohtimien välinen voima Ampeerin määritelmä Voimavaikuksesta saadaan toiminnallinen määritelmä ampeerille Yksi ampeeri on tasavirta, joka aiheuttaa kahden, metrin etäisyydellä toisistaan olevan yhdensuuntaisen johtimen välille pituusyksikköä kohden voiman 2 10 7 N/m Määritelmästä seuraa F L = µ 0(1 A) 2 2π(1 m) = 2 N 10 7 m µ 0 4π 10 7 T m A (µ 0 :n SI-yksikkö voidaan kirjoittaa monella tavalla) 11 (27)

Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Lasketaan magneettikenttä silmukan akselilla Biot Savartin lain avulla Suorien osien magneettikentät kumoavat toisensa Lisäksi d l r, joten d B = db = µ 0I dl 4π r 2 = µ 0I dl 4π x 2 + a 2 2a z I y θ d l r d B y d B x d B x Vektorin d B komponentit kuvan d l-alkion tapauksessa ovat db x = db cos θ = µ 0I 4π db y = db sin θ = µ 0I 4π dl x 2 + a 2 dl x 2 + a 2 a x 2 + a 2 x x 2 + a 2 12 (27)

Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Integroidaan... Kokonaismagneettikenttään ei jää yz-tason suuntaisia komponentteja symmetrian takia Kokonaismagneettikenttä on x-suuntainen µ 0 Ia µ 0 Ia 2 B = B x = db x = 4π (x 2 + a 2 ) 3/2 dl = }{{} 2 (x 2 + a 2 ) 3/2 =2πa µ 0 Ia 2 B x = 2 (x 2 + a 2 ) 3/2 (B-kenttä virtasilmukan akselilla) (kentän suunta akselilla [= peukalo]: oikean käden sääntö virran [= sormet] suhteen) µ 0 NIa 2 Jos samalla akselilla on N identtistä silmukkaa, B = 2 (x 2 + a 2 ) 3/2 13 (27)

Pyöreän virtasilmukan magneettikenttä Kela N-kierroksisen kelan maksimimagneettikenttä on kelan keskellä (x = 0): B max = µ 0NI 2a (kelan keskellä) Kelan magneettinen dipolimomentti µ = NIA = NIπa 2, joten toisaalta µ 0 µ B x = 2π (x 2 + a 2 ) 3/2 (kelan akselilla) (huomaa: µ 0 on tyhjiön permeabilisuus, µ kelan magneettinen momentti) Magneettidipoli (silmukka tai kela) on magneettikentän lähde Kelan akselilla kelavirran synnyttämä B on samansuuntainen µ:n kanssa Kenttäviivat kiertävät silmukan läpi mutteivät ole ympyröitä 14 (27)

Lävistyslaki (Ampèren laki) Magneettikentän viivaintegraali Symmetrisen varausjakautuman sähkökenttä oli mahdollista määrittää Gaussin lakia käyttämällä Magnetismin Gaussin laissa ei näy lähteitä (virtoja), joten se ei käy magneettikentän määrittämiseen Magnetostatiikassa tarjolla on lävistyslaki eli [integraalimuotoinen] Ampèren laki, joka perustuu magneettikentän viivaintegraaliin Integroidaan pitkän johtimen magneettikenttää suljettua r -säteistä ympyrää pitkin: B dl = B dl = B dl = µ 0I 2πr (2πr ) = µ 0I Virta I on integrointitien rajoittaman pinnan läpi kulkeva virta (kun oikean käden sormet osoittavat tien suuntaan, peukalo osoittaa virran positiivisen suunnan) I r B d l 15 (27)

Yleinen tapaus B φ r dθ d l B φ r dθ d l dθ r dθ r I I B d l = B dl cos φ, yllä dl cos φ = r dθ: B dl = µ0 I 2πr (r dθ) = µ 0I dθ = µ 0 I 2π Nyt integraali = 0, koska θ:n nettomuutos kierroksen aikana on nolla (θ:n nettomuutos on 2π)

Lävistyslaki (Ampèren laki) Lävistyslaki Tulos on riippumaton integrointitien rajaaman pinnan muodosta Jos virta I lävistää pinnan positiiviseen suuntaan, tulos on µ 0 I Jos virta ei lävistä pintaa, tulos on nolla Johtopäätös pysyy samana, vaikka virtojen määrää lisätään; voidaan korvata µ 0 I µ 0 I encl, missä I encl on integrointitien sisään jäävien virtojen summa etumerkkeineen (oikean käden sääntö tien suunnan ja virran positiivisen suunnan välillä) eli integrointitien rajaaman pinnan läpi kulkevien virtojen summa = Lävistyslaki eli [integraalimuotoinen] Ampèren laki B dl = µ 0 I encl Käyttökelpoinen työkalu magneettikenttien analysoimiseen Käyttökelpoisuus edellyttää symmetriaa, vrt. Gaussin laki Huomaa: Amperèn lakia voi käyttää tässä muodossa vain statiikassa! (Ampère = [ÃpEK]) 17 (27)

Pitkän sylinterijohtimen kenttä Sylinterijohdin, virta I, halkaisija 2R Symmetriasta voidaan päätellä, että magneettikenttä riippuu vain etäisyydestä johtimen akselista ja että kenttä kiertää johdinta oikean käden säännön mukaisesti (peukalo virran suuntaan sormet osoittavat kentän suuntaan) I B r > R d l r < R d l B Kaikkialla B dl ja B vakio integrointitiellä lävistyslakia kannattaa käyttää: B dl = B dl = B(2πr ) Sylinterin sisällä (r < R) I encl = Jπr 2 = I πr (πr 2 ) = I r 2 2 R 2 B dl = B(2πr ) = µ 0 I encl = µ 0 I r 2 Sylinterin ulkopuolella (r > R) I encl = I B = µ 0I 2πr Sama tulos kuin pitkällä johtimella R 2 B = µ 0I 2π r R 2

Lävistyslain sovelluksia Solenoidin kenttä Suora, [erittäin]monikierroksinen sylinterimäinen käämi Tiheän solenoidin keskellä on tasainen, akselin suuntainen kenttä: B = vakio Pitkän solenoidin ulkopuolella B 0 Oletetaan N johdinkierrosta, solenoidin pituus L ja virta I Valitaan integrointitie ja -suunta Lasketaan B dl erikseen osuuksilla 1... 4 a 1 I 2 4 3 20 (27)

Lävistyslain sovelluksia Solenoidin kenttä Jatkoa Osuus 1: B d l ja B = vakio B dl = B dl = Ba I 2 Osuudet 2... 4: sisällä B dl ja ulkopuolella B = 0 B dl = 0 a 1 4 3 Koska käämimistiheys n = N/L, I encl = nai Lävistyslaki: B dl = Ba = µ 0 I encl = µ 0 nai B = µ 0 ni (solenoidin sisäkenttä) 21 (27)

Lävistyslain sovelluksia Toroidikelan kenttä Symmetrian takia kenttäviivojen täytyy täytyy olla toroidin akselin kanssa samankeskisiä ympyröitä Solenoidin virta on I ja kierrosmäärä N Tutkitaan kolmea eri integrointitietä Tie 1: B dl = B(2πr ) = 0 B = 0 1 2 3 Tie 3: I encl = 0 B = 0 Tie 2: I encl = NI, joten 2πr B = µ 0 NI B = µ 0NI 2πr 22 (27)

Magneettiset materiaalit Magnetoituminen Atomiytimiä kiertävät elektronit muodostavat virtasilmukoita magneettinen momentti Monissa materiaaleissa virrat ovat satunnaisesti suuntautuneet eikä magneettista nettomomenttia synny Joissakin materiaaleissa ulkoinen magneettikenttä voi kääntää momentit enimmäkseen kentän suuntaisiksi, jolloin aine magnetoituu (vrt. eristeen polarisoituminen sähkökentässä) Elektroneilla lisäksi on sisäinen liikemäärämomentti eli spin (kvanttimekaanisessa mielessä) Tarkka (tarkahko) magnetoitumisen tarkastelu edellyttää kvanttimekaniikan työkaluja 23 (27)

Magneettiset materiaalit Magnetoitumisen lajit Paramagnetismi Joidenkin aineiden atomeilla on pieni pysyvä magneettinen dipolimomentti, joka syntyy atomien elektronien rata- ja spinliikemäärämomenteista: aine on paramagneettista Ulkoinen kenttä vääntää aineen dipolit itsensä suuntaisiksi, jolloin nettokenttä vahvistuu Tällaisessa aineessa magneettikenttä on kertoimella K m (suhteellinen permeabilisuus) suurempi kuin tyhjiössä (K m on yksikötön kuten K) Aineen permeabilisuus µ on suhteellisen permeabilisuuden K m ja tyhjiön permeabilisuuden µ 0 tulo: µ = K m µ 0 Esimerkiksi alumiinin K m = 1.000022, mikä selittää, miksi magneetit vetävä alumiinia puoleensa erittäin heikosti (permeabilisuus kuitenkin kasvaa lämpötilan laskiessa) (Suhteellisen permeabilisuuden poikkeama ykkösestä on magneettinen suskeptiivisuus χ m = K m 1.) (Huom: permeabilisuus = permeabiliteetti. Ensimmäinen on SFS-standardin mukainen, mutta toinen on yleisempi.) 24 (27)

Magneettiset materiaalit Magnetoitumisen lajit Diamagnetismi Joillakin aineilla ulkoinen magneettikenttä indusoi [Faradayn induktiolain mukaisesti] atomeihin magneettisen dipolimomentin, jonka muodostama kenttä vastustaa ulkoista kenttää (kuten käy eristeelle sähkökentässä); tällainen aine on diamagneettista Indusoitunut kenttä on tyypillisesti heikko, mutta joillakin materiaaleilla se voi kumota ulkoisen magneettikentän aineen sisällä suprajohtavuus (matalissa lämpötiloissa, vaikka diamagneettisuuden lämpötilariippuvuus on muuten vähäinen) K m 0.99990... 0.99999 (Elollinen aine on diamagneettista, joten sitä voi leijuttaa voimakkaassa magneettikentässä, vrt. sisällysluettelon kuva ja linkit) 25 (27)

Magneettiset materiaalit Magnetoitumisen lajit Ferromagnetismi Joissakin aineissa (esim. rauta, nikkeli) atomien magneettiset momentit vaikuttavat toisiinsa voimakkaasti ja magneettisten alkeisalueiden sisällä momentit samansuuntaistuvat Yleensä (ilman ulkoista kenttää) alkeisalueet ovat keskenään satunnaisesti suuntautuneita Ulkoisessa kentässä alkeisalueiden momentit kääntyvät kentän suuntaisiksi, kentän suuntaiset alueet kasvavat ja muunsuuntaiset alueet pienenevät voimakas nettomagnetoituma; tällaiset aineet ovat ferromagneettisia K m 1000... 100000 Ferromagneettisen aineen K m riippuu ulkoisen kentän voimakkuudesta (vaste on epälineaarinen) ja magnetoitumahistoriasta (hystereesi; aineella on muisti, jota voi käyttää kestomagneettien tekemiseen) 26 (27)

Yhteenveto luvusta 28 Keskeisiä käsitteitä Liikkuvan varauksen magneettikenttä Virran aiheuttama magneettikenttä Virtajohtimien välinen voima Paramagneettinen, diamagneettinen ja ferromagneettinen aine Permeabilisuus µ = K m µ 0 Käytä lävistyslakia, jos mahdollista, koska se on paljon helpompi kuin Biot Savartin laki. Tärkeitä kaavoja Biot Savartin laki I dl r B = r 2 Pitkän suoran virtalangan kenttä B = µ 0I 2πr Lävistyslaki eli Ampèren laki B d l = µ 0 I encl I r B sopivan symmetrisessä tapauksessa B = µ 0I encl 2πr