Lv hm 6..3 Nliolminn lvlmntti arkatllaan kvan nliolmita lvlmnttiä. q 6 q 8 η 3 q 5 ( 3, 3 q 7 (, q (, v P q ξ (, q q 3 Pitn P koordinaatit voidaan laa mokoordinaattin ξ ja η avlla, jotka ovat normratt välill [ ], η [ ] ξ ( ξ, η = ( ξ, η + ( ξ, η + ( ξ, η + ( ξ, η N N N N 3 3 ( ξ, η = ( ξ, η + ( ξ, η + ( ξ, η + ( ξ, η N N N N 3 3 ( miä fnktiot N, N, N 3 ja N ovat lvlmntin bi-linaarit motofnktiot N( ξ, η = N = ( ξ ( η N( ξ, η = N = ( + ξ ( η N3( ξ, η = N3 = ( + ξ ( + η N( ξ, η = N = ( ξ ( + η ( Hlpoti homaat, ttä dllä olvilla fnktioilla on taakin ominai, ttä niidn arvo omalla olmlla on ja milla olmilla. Liäki kaikkin motofnktioidn mma lmntin allla on.
Lv hm 6..3 N = ( ξ ( η N = ( + ξ ( η.75.5.5 - -.5.5 - -.5.75.5.5.5 - -.5.5 - -.5.5 N3 = ( + ξ ( + η N = ( ξ ( + η.75.5.5 - -.5.5 - -.5.75.5.5.5 - -.5.5 - -.5.5 Vataavati lmntin allla iirtmäknttä lataan olmiirtmin avlla ( ξ, η = ( ξ, η + ( ξ, η + ( ξ, η + ( ξ, η N q N q N q N q 3 3 5 7 ( ξ, η = ( ξ, η + ( ξ, η + ( ξ, η + ( ξ, η v N q N q N q N q 3 6 8 (3 Lähdtään ittn timään vnmän laktta lmntin allla. ätä vartn drivoidaan iirtmän lak mokoordinaattin htn, ξ = + ξ ξ, η = + η η ( joka voidaan laa matriiimodoa, ξ, ξ, ξ,, =, η, η, η = J,, (5
Lv hm 6..3 miä matriii J on kvakn Jacobin matriii. Nliolmin lvlmntin tapaka = ( ( ( ( ( ( 3 ( ( ξ η + + ξ η + + ξ + η + ξ + η, ξ = ( ( ( ( 3 ( ( 3 η + + η = η + + η, η = ( ( ( ( 3 ( ( 3 ξ + + ξ = ξ + + ξ = ( ξ ( η ( ξ ( η ( ξ ( η 3 ( ξ ( η + + + + + + +, ξ = ( η ( + ( + η ( 3 ( ( = 3 η + + η, η = ( ξ ( + ( + ξ ( 3 = ( ξ + ( + ξ 3 jotn Jacobin matriii nliolmill lvlmntill on (6 ( η + ( + η ( η + ( + η ( ξ + ( + ξ ( ξ + ( + ξ 3 3 J = (7 3 3 Matriiita homataan, ttä i ol nää vakio lmntin allla. Vataavati iirtmill ja v aadaan ( ξ, η = ( ( ( ( 3 ( ( 5 ( ( 7 ξ η q + + ξ η q + + ξ + η q + ξ + η q, ξ = ( ( 3 ( ( 5 7 η q q + + η q q, η = ( ( 7 ( ( 5 3 ξ q q + + ξ q q v( ξ, η = ( ( q ( ( q ( ( q6 ( ( q8 ξ η + + ξ η + + ξ + η + ξ + η v, ξ = ( η( q q ( η( q6 q8 + + v, η = ( ξ ( q8 q + ( + ξ ( q6 q jotn iirtmin drivaatat mokoordinaattin htn voidaan kirjoittaa (8 ( η ( η ( η ( η ( ξ ( ξ ( ξ ( ξ ( η ( η ( η ( η ( ξ ( + ξ ( + ξ ( ξ, ξ + +, η + + = q (9 v, ξ + + v, η koka iirtmän drivaatta koordinaattin ja htn on 3
Lv hm 6..3, ξ,, J J ξ J J, η =, J J J =, η J J J ( v, ξ v, η miä J on Jacobin matriiin dtrminantti. Yhtälön jälkimmäinn moto on tarkoittt lvntämään, mitn htälö ( on modottt. Vataavati iirtmän v drivaatta koordinaattin ja htn, ξ v, v, J J ξ J J, η v =, J J v J =, η J J v J, ξ v, η ( jotn vnmäkomponntit lmntin allla aadaan dllä ittn prtlla motoon ε, J J ε v, J J = = J G q = AG q = Bq ( γ, v +, J J J J miä matriii G näk htälöä (9. Matriiia B kttaan lmntin kinmaattiki matriiiki, jonka avlla aadaan pitn P vnmäkomponntit kn lmntin olmiirtmät tnntaan. Jäkkmatriii Linaariti kimmoin kappaln, joa on linn jännittila, kimmonrgia aadaan lakkta σ ε U = U dv = dv V V jo pitn P jännitkomponntit voidaan laa σ υ E = σ = = = υ σ Dε DB q B q υ τ υ niin aadaan lmntin kimmonrgia latta modoa (3 ( U = q B DBqdV = q t da = t J dξdη B DB q q B DB q (5 V jotn lmntin jäkkmatriii on A
Lv hm 6..3 k t B DB J dξdη (6 = miä t on lmntin vakioki olttt pak. Jäkkmatriii laktaan nmriti kättän lnä Gain intgrointia ja pitn nättnottoa. Ekvivalnttit olmkormitkt ilavkormitkn aihttama kvivalnttinn olmkormit Laktaan nin tilavkormitkn f aihttama kvivalnttinn olmkormit. ätä vartn lataan tilavkormitkn potntiaali WP = f dv = t f da V A (7 miä t on lmntin vakiopak. Siirtmä lmntin allla voidaan laa q q q 3 ( ξ, η N N N3 N q = = v( ξ, η N N N3 N = Nq (8 q5 q6 q jotn tilavkormitkn potntiaali N N 7 q8 N f N f V ξ η N3 f A A N 3 f N N WP = q t N f da = q t da = q t J d d = q f (9 N3 N N f N f N f N3 f N f N f Ekvivalnttinn olmkormit laktaan nmriti kättän Gain intgrointia ja pitn nättnottoa. 5
Lv hm 6..3 aain rnapainn aihttama kvivalnttinn olmkormit arkatllaan lmntin rnaa olmlta olmll. Mt rnat mnvät vataavalla tavalla. q 6 q 8 q 7 η 3 q 5 ( 3, 3 p (, q ξ (, q q 3 q (, p = p p. Elmntill kohdit rnapain, jonka komponntit globaalia koordinaatitoa ovat ( Pain voidaan mttaa viivakormitkki krtomalla lmntin pakdlla t. Kormitkn potntiaali on ( ( ( WP = p t d = r d = q N r d ( miä intgrointi lottaan rnaviivan - li. Koka riittää kn intrpolointi kok vain rnaviivaa, niin ovittaan viivall kilottinn intrpolointi. 7 N N q 8 v N N q q ( ξ q = = = N q ( miä N N = = + ( ξ ( ξ Rnaviivan pit on l = +, jotn l d = dξ ja potntiaali ( 6
Lv hm 6..3 WP ( ξ r ( r r l ξ l ξ ( ξ r + r ( + ξ r = q d = q (3 jotn taain rnapainn aihttama kvivalnttinn olmkormitvktori aadaan r r p l f = r r ( Kormitkn voimakomponntit ijoittlmmataan lmntin vapaatita ( q q q q vataavill globaalivapaatill. 7 8 Lämpötilan mtokn vaikt Mikäli lmntin lämpötila mtt niin anottn rfrnilämpötilaan vrrattna määrän, niin iitä = aiht taojännittilan lmnttiin vnmä ( lmnttiin i aihd lämpötilan mtokta jännitkiä, niin jännitkn lak on ε α α. Koka kiinnittämättömään σ σ = σ = D( ε ε (5 τ Elmntin kimmonrgian lak on nt ( ( ε ε D( ε ε U = σ ε ε dv = dv V V = dv t da d ε Dε ε Dε + ε Dε V A V = q k q q t B DεJ dξdη + U θ (6 Homataan, ttä viiminn trmi on vakio, jolloin häviää drivoitaa. Kkimmäinn trmi voidaan laa modoa t J dξdη = q B Dε q Θ (7 miä vktoria 7
Lv hm 6..3 = t J dξdη = θ θ θ3 θ θ5 θ6 θ7 θ8 ( Θ B Dε (8 kttaan lämpötilan mtokn aihttamaki kvivalnttiki olmkormitvktoriki, joka taa aadaan nmrilla intgroinnilla. Kaavaa α on pitdn lämpölaajnmikrroin [/K] tai [/ C] ja [K] tai [ C] on lämpötilan mto rfrnilämpötilaan vrrattna. Lakntamallin globaali olmkormitvktori F ijoittlmmataan vataavati kin aimmin on ittt ( F = P + f + Θ + f " " V p (9 Anntt olmkormit Kakilottiilla lmntillä anntta olmkormitta P tlii lnä välttää, koka lmnttijakoa tihnnttää kormitaln jännitkt novat riki. Kormit tlii korvata äärllill matkall attlla painkormitklla. 8