Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille niin f 2 L 1 A). 1 t p m {x 2 A : fx) >t} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla t>0, lim im {x 2 A : fx) >i} =0. i!1 3. Olkoon f 2 L 1 R) jar>0. Näytä, että funktiog : R! R, gx) = fdm Bx,r) on jatkuva. 3 Lisätehtävä: Todista väite funktiolle f 2 L 1 R n ). 4. Onko funktio fx) = p x absoluuttisesti jatkuva välillä [0, 1]? 5. Olkoon f :[0, 1]! R absoluuttisesti jatkuva funktio, jolle f 0 x) > 0melkein kaikilla x 2 [0, 1]. Näytä, että f on aidosti kasvava. 6. Olkoot f :[a, b]! R ja g :[c, d]! [a, b] absoluuttisesti jatkuvia funktioita. Näytä, ettäjosg on aidosti kasvava, niin f g on absoluuttisesti jatkuva. 7. Olkoon f :[a, b]! R funktio, joka on derivoituva välillä ]a, b[ ja jonka derivaatta on rajoitettu. Näytä, että f on absoluuttisesti jatkuva. 1 Jaa A joukkoihin A 0 = {x 2 A :0apple fx) apple 1} ja A j = {x 2 A :2 j 1 <fx) apple 2 j } 2 Lause 9.2. 3 Lause 9.2
Harjoitus 2, 6.11.2015 viimeinen tehtävä toisellapuolella 1. Olkoon f :[a, b]! R rajoitetusti heilahteleva ja c 2]a, b[. Näytä, että f on rajoitetusti heilahteleva väleillä [a, c] ja [c, b] ja että V f a, b) =V f a, c)+v f c, b). 2. Olkoon f :[0, 1]! R, fx) =x cos, kun x 2]0, 1], fx) = x 0, kun x =0. Näytä, että V f 0, 1) = 1. 3. Olkoon f :[0, 1]! R, fx) =x 2 cos, kun x 2]0, 1], fx) = x 0, kun x =0. Näytä, että f on rajoitetusti heilahteleva välillä [0, 1]. 4. Olkoon a 2 R ja f : R n! [0, 1[, kxk a, kun x 2 B0, 1) fx) = 0, kun x 2 R n \ B0, 1). Millä lukujena ja 1 apple p<1 arvoilla f 2 L p R n )? 1 5. Olkoon 1 apple p<q<1. Anna esimerkki funktiosta f 2 L q R n ), jolle f /2 L p R n ). 6. Olkoon f :[a, b]! R absoluuttisesti jatkuva ja 1 <p<1. Näytä, että jos f 0 2 L p [a, b]), niin on 0 apple M<1, jolle fx) fy) apple M x y p 1)/p kaikilla x, y 2 [a, b] ts. f on Hölder-jatkuva eksponentilla p 1)/p.) 1 Luentojen kaava 10.1): R A f p dm = p R 1 s p 0 1 m { f >s} ds tai Pallokoordinaatit R n :ssä: Funktiolle u 2 L 1 B0,r)) on udm= ut!)t n 1 dt d!), B0,r) S n 1 0,1) [0,r] missä on pintamitta joukossa S n 1 0, 1) = {x 2 R n : kxk =1}
7. Jos 0 <ma) < 1 ja f : A! [0, 1] on mitallinen, niin merkitään fdm= 1 fdm. A ma) A Todista Seuraus 10.5: Olkoon 1 apple p<q<1 ja f 2 L q A). Tällöin 1/p 1/q. f p dm apple f dm q A A
Harjoitus 3, 13.11.2015 1. Olkoon f 2 L 1 A). 1 Näytä, että m {x 2 A : fx) > kfk 1 } =0. 2. Tässä tehtävässä näytetään, että L p -avaruus kuuluu heikkoon L p -avaruuteen. Kohdan b) esimerkki näyttää, että heikkol p -avaruus on suurempi joukko kuin L p. a) Olkoon f 2 L p A), 1 apple p<1. Näytä, että onm<1, jolle m {x 2 A : fx) >t} apple M t p kaikilla t>0. b) Näytäfunktionf :]0, 1[! [0, 1[, fx) =1/x avulla, ettäkohdana)käänteinen tulos ei ole totta: on M<1 siten, että m {x 2 0, 1) : fx) >t} apple M t kaikilla t>0, mutta f /2 L 1 A). 3. Olkoon X joukko, x 0 2 X ja x0 Diracin mitta. Näytä, että jokainenjoukko A X on x0 -mitallinen. 4. Olkoon X ylinumeroituva joukko ja µ : PX)! [0, 1], µ 0, kun A X on numeroituva, A) = 1, muulloin. Näytä, että µ on ulkomitta. 5. Olkoot X ja µ kuten tehtävässä 4.Näytä, että joukkoa X on µ -mitallinen jos ja vain jos A on numeroituva tai X \ A on numeroituva. 6. Olkoon µ ulkomitta joukossa X ja Y X. Määritellään rajoittuma µ Y A) =µ Y \ A). Näytä, että µ Y on ulkomitta joukossa X ja että µ Y X \ Y )=0. 7. Keksi esimerkki ulkomitasta, joka ei ole metrinen. 2 1 On t i > 0, t i &kfk 1, m{x : fx) >t i })=0jat i < kfk 1 +1/i 2 Luvun 11 esimerkit auttavat.
Harjoitus 4, 20.11.2015 1. Olkoon f : R n! [0, 1], f 2 L 1 R n ). Tällöin µ : PR n )! [0, 1[, n o µ E) =inf fdm: B 2 M, E B, B on ulkomitta 1.Näytä, että josa 2 M, niina on µ -mitallinen. Näytä funktion f : R n! [0, 1], f =0m.k.R n :ssä, avulla, että käänteinen tulos ei ole totta. 2. Olkoon X = {1, 2, 3}. Olkoon µ ;) =0,µ X) =2jaµ A) =1kaikillamuilla joukoilla A X. Näytä, että µ on ulkomitta ja etsi µ -mitalliset joukot. 2 3. Olkoon X, d) metrinen avaruus, K joukon X hieno peite ja h: K! [0, 1] esimitta. Näytä, että Carathéodorynkonstruktionantamaµ on ulkomitta. 3 4. Olkoon 0 <tapple 1jaa i 0kaikillai 2 N. Näytä, että 4 X 1 t X 1 a i apple a t i. 5. Tarkastellaan Hausdor n 1 -sisältöä H1/2 2 1 joukossa R. 1) Näytä, että H1 1/2 I) =vi) 1/2 kaikille rajoitetuille väleille I R. 2) Näytä, että testijoukon[0, 2] avulla, että väli [0, 1] ei ole H1 1/2 -mitallinen. 6. Olkoon X metrinen avaruus, A X, 0<s<1 ja > 0. Näytä, että H s A) =0 jos ja vain jos H s A) =0. 7. Olkoon X = {a, b, c}. Luettele joukon X -algebrat. 1 Seuraa helposti integraalin ominaisuuksista. Voit todistaa jos haluat. 2 Huomaa, että tästä saadaan esimerkki ulkomitasta, joka ei ole säännöllinen. Muista, että ulkomitta on säännöllinen, jos kaikille A X on µ -mitallinen E, jolle µ A) =µ E). 3 Tämä on siis Lauseen 12.4 todistuksen luennolla harjoitukseksi jätetty osa. 4 Huomaa, että voidaan olettaa, että 0< P 1 a i < 1. Todista ensin tapaus P 1 a i = 1.
Mitta- ja integraaliteoria Harjoitus 5, 27.11.2015 1. Olkoon µ ulkomitta joukossa X, A 2 µ ja f : A! R. Näytä, että on -algebra. = E R : f 1 E) 2 µ 2. Olkoon X joukko ja F PX). Näytä, että F = \ : on -algebra ja F on -algebra joukon F virittämä -algebra). 1 3. Olkoon µ ulkomitta joukossa X. Oletetaan, että [ n nx µ A i = µ A i ) aina, kun A 1,A 2,...,A n X ovat erillisiä joukkojajan 2 N µ on äärellisesti additiivinen). Näytä, että µ on mitta -algebrassa PX). 4. Etsi joukon R peite K ja esimitta h: K! [0, 1], joille Luvun 12 alun konstruktion antama ulkomitta µ on # eli lukumäärämitta joukossa R). 5. Määritä liminf i!1 ja lim sup i!1 a) lukujonolle a i ), missä a i = 1) i 1 + 1 i ) b) funktiojonolle f i ), missä f i :[0, 2 ]! R, f i x) =sinx) i. 6. Olkoon X,,µ)=R, PR), 1) jaolkoonf : R! [0, 1[, fx) =2 [0,1]x)+3 [0,3]x). Näytä, että funktiof on yksinkertainen ja laske integraali If,R; 1). 7. Olkoon X,,µ)=N, PN), #) ja f : N! [0, 1]. Näytä, että fd#= X fn). N n2n Milloin funktio f : N! R on integroituva lukumäärämitan # suhteen? 1 Tehtävään 2 liittyen: jos 0 PX), niin 0 = F jos ja vain jos 1) 0 aina, kun on -algebra, jolle F ja 2) 0 on -algebra, jolle F.
Mitta- ja integraaliteoria Harjoitus 6, 4.12.2015 1. Laske raja-arvo 1 lim k!1 1X n=1 1 n. 2+ n2 n! k 2. Laske raja-arvo 2 lim k!1 1X n=1 1 1 n! n + k 3 n. 3. Tutki funktiojonoa f i ), f i! [0, 1]! [0, 1[, f i x) =i [0, 1 ], Fatoun lemman i avulla. 4. Olkoon X,,µ) mitta-avaruus. Todista MK-lause Fatoun lemman avulla. 5. Mitta-avaruudessa N, PN), ]) funktiof : N! R on integroituva jos ja vain jos sarja P 1 n=1 fn) suppeneeitseisestijar fd] = P 1 N n=1 fn). Näytä, että sarjan fn) suppenemisesta ei välttämättä seuraaintegroituvuus. P 1 n=1 6. Olkoon X,,µ)mitta-avaruus,A 2 ja f : A! [0, 1] integroituva mitan µ suhteen. Näytä, että fx) < 1 µ-m.k. x 2 A. 7. Näytä, että `p `q aina, kun 1 apple p apple q apple1. 3 1 Harj. 5. Teht. 7 & P 1 n=0 xn n! =... 2 Harj. 5. Teht. 7 & P 1 n=0 xn n! =... 3 Käsittele tapaus q = 1 erikseen.