2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.

Transkriptio

1 Mitta- ja integraaliteoria Harjoitus, Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. ) : Joukon X äärettömän monesta alkiosta voidaan valita jono (x,x 2,...) eri pisteitä. Olkoon = X \{x } ja f :! X, ( x k, jos x = x k jollain k =2, 3,... f(x) := x muuten. Tällöin X, 6= X ja f :! X on bijektio, eli ja X ovat yhtä mahtavat. ( : Jos X olisi äärellinen joukko ja sen aito osajoukko, niin mikään kuvaus f : X! ei voisi olla injektio kyyhkyslakkaperiaatteen nojalla. Siten tällaisen yhtämahtavan aidon osajoukon olemassaolosta seuraa, että joukossax on äärettömän monta alkiota. 2. Todista Lause.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i =. Olkoon I 0 := {i 2 I : a i > } ja kaikilla j =, 2,... I j := {i 2 I :2 j <a i apple 2 j+ }. Tällöin I = I 0 [ I [ I 2 [, ja jonkin näistä joukoistai j on oltava ylinumeroituva, sillä muuteni olisi niiden numeroituvana yhdisteenä itsekinnumeroituva.sitenon k 2 N jolle I k on ylinumeroituva, erityisesti ääretön, eli on äärettömän monta lukua a i > 2 k.tästä seuraaettä X i2i a i X i2i k a i = sup J I k,j äärellinen X a i =. 3. Olkoon f :[0, ]! [0, ] vähenevä. Näytä, että joukko on numeroituva. = x 2 [0, ] : f ei ole jatkuva pisteessä x Vähenevällä funktiollaonjokapisteessä toispuoleiset raja-arvot, ja epäjatkuvuuspisteissä x 2 on oltava a x = lim y!x f(y) lim f(y) > 0. y!x+ Tehdään antiteesi: on ylinumeroituva. Tällöin lauseen.2. nojalla P a x =, erityisesti on äärellinen pistejoukko x < <x n 2 joille P a xj 3. Toispuoleisten Vihje: Lause.2. J

2 raja-arvojen määritelmästä saadaanpisteety <x <z <y 2 <x 2 <z 2 < < y n <x n <z n joille nx f(y j ) f(z j ) 2. Tämän nähdään kuitenkin johtavan ristiriitaan arvioimalla f(0) f() nx = f(0) + f(y j )+f(y j ) f(z j )+f(z j ) f() nx f(y j ) f(z j ) Olkoon x 2 R n.näytä, että m ({x}) =0. Merkitään x =(x,...,x n )javalitaantestiväleiksi I j =(x,x j + ) (x j n ). Ulkomitan määritelmässä voidaanpisteenx numeroituvasti äärettömänä j,x n + j peitteenä käyttää tällaisen välin lisäksi numeroituvan montaa tyhjää joukkoa,ja saadaan m ({x}) apple v(i j )+ X N kaikilla j 2 N, siism ({x}) =0sillä 2n! 0kunj!. j n v(;) = 2n j n 5. Olkoon = Q \ [0, ]. Näytä, että voidaan peittää avoimillaväleillä, joiden pituuksien summa on enintään /0. Rationaalilukujen numeroituvuuden perusteella voidaan joukko esittää jonona = {q,q 2,...}. Tälle jonolle saadaan helposti vaadittu peite asettamalla I j = (q j,q 2 j 20 j + ), ja käyttämällä geometrista summaa 2 j 20 X v(i j )= 0 X 2 = j 0. Yläraja on konstruktion kannalta korvattavissa millä tahansa">0, eli erityisesti 0 m () =0.Samapätee edelleen kaikille numeroituville avaruuden R n osajoukoille. Seuraavista tehtävistä selviää, miksi Lebesguen ulkomitan määritelmässä käytetään äärettömän montaa peittävää väliä. Joukon R Jordanin ulkomitta on n kx J () =inf v(i i ):I i on avoin väli kaikilla i =...k, k[ I i o,

3 missä v(i) =(b a) onvälin I =]a, b[ pituus. 6. Olkoot, B R. Osoita,että J ( [ B) apple J ()+J (B). ja Olkoon ">0. Valitaan avoimet välit I,I 2,...,I k ja I,I 0 2,...,I 0 l 0 joille k[ l[ I j, B kx v(i j ) apple J ()+", I 0 j lx v(ij) 0 apple J (B)+". Tällöin [ B I [ [I k [ I 0 [ [I 0 l ja J ( [ B) apple v(i )+ + v(i k )+v(i 0 )+ + v(i 0 l) apple J ()+J (B)+2", mistä väite seuraa kun " valittiin mielivaltaisesti. 7. Osoita, että J () =J () kaikilla R. Olkoon R. Selvästi J () apple J (), sillä ja isomman joukon peite on aina myös sen jokaisen osajoukon peite. Jos J () =, onepäyhtälö toiseen suuntaan triviaali. Oletetaan siis J () <. Olkoot">0jaI =(a,b ),...,I k = (a k,b k ) avoimia välejä, joille S I j ja P k v(i j)= P k b j a j apple J () + ". Vastaavien suljettujen välien äärellinen yhdiste S [a j,b j ]onsuljettujasisältää joukon, jotenjoukonsulkeumanmääritelmän nojalla sisältää myös sen sulkeuman. Sitenmuodostamallavälit I 0 j =(a j " 2k,b j + " 2k )saadaan ja siten J () apple [ I j [ I 0 j, kx v(ij)=" 0 + kx v(i j ) apple J ()+2". Koska mielivaltaisella ">0pätee J () apple J ()+2",niinyhdessätoisenepäyhtälön kanssa saadaan J () =J (). 8. Näytä joukonq \ [0, ] avulla, että subadditiivisuuseipäde ulkomitalle J : 2 Edellisen tehtävän nojalla J (Q \ [0, ]) = J (Q \ [0, ]) = J ([0, ]) =, missä viimeinenyhtäsuuruus voidaan perustella seuraavasti: 2 Vihje: Tehtävä 7. Näytä, että J (Q \ [0, ]) = mutta J ({q}) = 0 kaikilla q 2 Q \ [0, ].

4 Mielivaltaiselle välin [0, ] äärelliselle peitteelle avoimilla väleillä I =(a,b ),...,I k = (a k,b k ) Jordanin ulkomitan määritelmässä onolemassaj siten, että a j < 0. Samoin löytyy j 2 jolle a j2 apple b j,janäin edeten viimeistään k. vaiheessa on lisäksi oltava <b jl jollain l =, 2,...,k.Sitensaadaan kx lx v(i j ) b ji a ji. Tämä pätee mielivaltaiselle määritelmän peitteelle, joten luku on alaraja myös infimumille ja siis J ([0, ]). Koska kaikilla ">0väli [ ", +"] onsellaisenaan peite, on J ([0, ]) =. Toisaalta jokaisella x 2 R pätee J ({x}) =0,mikävoidaanosoittaasamoinkuin Lebesguen ulkomitalle tehtävässä 4. Edellisten nojalla J ei ole subadditiivinen, sillä kunq\[0, ] = {q,q 2,...}, niin X [ J ({q j })=0< =J (Q \ [0, ]) = J ( {q j }).

5 Mitta- ja integraaliteoria Harjoitus 2, Olkoon H = (x, 2,...,x n ) 2 R n : x n =0 hypertaso. Näytä määritelmän avulla, että m (H) =0. Olkoon ">0javalitaanpeitteeksivälit (j 2 N) Tällöin H [ I j ja siis m (H) =0. I j = {x 2 R n : x k <j8k, x n < m (H) apple " (2j) n 2 j }. X X v(i j )=" apple ", j2j 2. Olkoon I R n rajoittamaton mutta ei surkastunut väli. Näytä, että m (I) =. Jos I on rajoittumaton ja ei surkastunut, voidaan olettaa että sesisältää esimerkiksi välin I 0 =(a, ) (a 2,b 2 ) (a n,b n ), missä välit < a, a j,b j < ja a j <b j kaikilla j =2, 3,...,n.Tällöin se sisältää myös I j =(a, a + m) (a 2,b 2 ) (a n,b n ) kaikilla m 2 N, jakunc =(b 2 a 2 ) (b n a n ) > 0, niin m (I) kaikilla m 2 N, elim (I) =. 3. Olkoon Määritä perustellenm (). m (I j )=v(i j )=cm = {(x, y) 2 R 2 :0apple x<jay = x 2 }. Osoitetaan, että m () =0:Olkoonn 2 N ja valitaan avoimet välit I j =( j n, j + n ) ( j2 2 n 2 n, j2 n n ) kaikilla j =0,,...,n.Tällöin [ n j=0i j,mikävoidaanperustellaesimerkiksi sillä, että funktionx 7! x 2 derivaatta on itseisarvoltaan korkeintaan 2 välillä [0, ].

6 Tässä siis yksikköväli on ositettu -pituisiin osiin, ja kuvaaja y = x2 peitetään n jakopisteisiin asetetuilla 2-väleillä. Nyt nx m () apple v(i j )=(n +) 2 n 4 00 apple n n j=0 mielivaltaisella n 2 N, jotenm () =0. 4. Olkoon U R n avoin ja epätyhjä jaolkoonk R n rajoitettu. Näytä, että m (U) > 0jam (K) <. Koska U on avoin ja epätyhjä, se sisältää jonkinpallonb(x, r), r>0. Tällöin se sisältää myös n-välin r I x =(x 00n,x + r 00n ) (x r n 00n,x n + r 00n ), jonka Lebesgue n ulkomitta yhtä kuinsengeometrinenmitta.tämä onpositiivista, joten myös m (U) > 0. Rajoitettu joukko K sisältyy johonkin palloon B(0,M), ja erityisesti n väliin ( M,M) ( M,M). Siten m (K) apple m (( M,M) n )=v(( M,M) n )=(2M) n <. 5. Olkoon R n, t>0jaolkoont = {ta : a 2 }. Näytä, että m (t) =t n m (). Kun t>0, niin yhdiste [I j avoimia välejä I j on joukon peite täsmälleen silloin, kun [ti j on joukon t peite. Siten ottamalla näiden välien geometristen mittojen summasta infimum saadaan suoraan m (t) =t n m (), sillä selvästi v(ti) =t n v(i) kaikillaväleillä I R n (huomaa dimensio n). 6. Onko totta, että (a) jos m () > 0, niin sisältää (epätyhjän) avoimen joukon, (b) jos m () <, niin on rajoitettu, (c) jos m () =0,niinm () =0? Jos ei, niin anna vastaesimerkki. (a) Vastaesimerkki: Joukko R \ Q ei sisällä yhtään epätyhjää avointajoukkoa, mutta m (R \ Q) = > 0. (b) Vastaesimerkki: Joukko Q ei ole rajoitettu, mutta m (Q) =0<. (c) Vastaesimerkki: Joukolle Q pätee m (Q) =0,muttam (Q) =m (R) 6= Jos B R n ja m () =m (B), niin onko m (B \ ) =0?Perustele.

7 Voi olla m (B \ ) > 0: Valitaan B = R n ja = {x 2 R n : x n m (B) =m () =, muttamyös m (B \ ) =m ({x n < 0}) = > 0. 0} B, jolloin 8. Olkoon = nx 2 R : x j apple o j jollain j 2 N. 2 Näytä, että m () <. Piirräkuva! Selvästi =[0, 2] [ [2 4, 2+ 4 ] [ [3 9, 3+ 9 ] [ = [ [j j 2,j+ j 2 ], kun tarkastellaan ehdon täyttäviä pisteitä x kaikilla j 2 N. Näiden välien pituus on 2j 2,joten X m 2 () apple j <, 2 sillä yliharmoninensarja P j 2 suppenee (esim. integraali R x 2 dx).

8 Mitta- ja integraaliteoria Harjoitus 3, Huomaa, että tehtäviä on8!. Olkoot, B R n ja olkoon m (B) =0.Näytä, että on mitallinen jos ja vain jos [ B on mitallinen. 00 ) 00 : Jos on mitallinen, niin myös [ B on mitallinen sillä erityisestinollamittainen joukko B on mitallinen. 00 ( 00 : Jos [ B on mitallinen, niin myös joukko =( [ B) \ (B \ ) on mitallinen, sillä m (B \ ) apple m (B) =0,elierityisestiB \ on mitallinen. 2. Olkoot, B R n.näytä, että jos on mitallinen, niin m ()+m (B) =m ( [ B)+m ( \ B). Käytetään joukon mitallisuutta hyväksi testijoukoille B ja [ B: m (B)+m () =m ( \ B)+m (B \ )+m () = m ( \ B)+m (( [ B) \ )+m (( [ B) \ ) = m ( \ B)+m ( [ B). 3. Olkoon f : R n! R m jatkuva, n, m 2 N. Näytä, että kuvajoukkof(r n ) R m on mitallinen. Koska R n = S [ j, j]n ja jokainen suljettu n-väli [ j, j] n on kompakti, niin [ [ f(r n )=f( [ j.j] n )= f([ j, j] n ) on mitallinen numeroituvana yhdisteenäjoukoistaf([ kun f on jatkuva, siis mitallisia. j, j] n ), jotka ovat kompakteja 4. Olkoon L: R n! R n lineaarinen bijektio ja R n mitallinen. Näytä, että L() on mitallinen. 2 Esitä R n kompaktien joukkojen yhdisteenä. (Huomaa, että f() eivälttämättä ole mitallinen kaikille mitallisille R n,tähän palataan 4. harjoituksissa.) 2 Muista, että m n(l(e)) = detl m n(e) kaikilla E R n. Kertaa leikkauksen ja komplementtien (merkintään alla c :llä) kuvautuminen: () f(\ i i ) \ i f( i ) aina, = jos f on injektio. (2) f( c ) (f()) c, jos f on injektio (3) (f()) c f( c ), jos f on surjektio.

9 Olkoon E R n.tällöin saadaan käyttämällä joukon mitallisuutta testijoukolle L (E) m (E) =m (L(L (E))) = detl m (L (E)) = detl (m (L (E) \ )+m (L (E) \ c )) = m (L(L (E) \ )) + m (L(L (E) \ c )) = m (E \ L()) + m (E \ L( c )) = m (E \ L()) + m (E \ L()). 5. Olkoon R mitallinen ja m () <. Olkoonf : R! [0, ), (a) Näytä, että f(x) =m ( \ (,x]). f(x) f(y) apple x y kaikilla x, y 2 R. (f on siis Lipschitz-jatkuva vakiolla ). (b) Näytä, että onmitallinenjoukkob, jollem(b) = 2 m(). (a) Olkoot x, y 2 R n ja x apple y. Tällöin f(x) f(y) = m ( \ (,y]) m ( \ (,x]) = m ( \ (,x]) + m ( \ (x, y]) m ( \ (,x]) = m ( \ (x, y]) apple m ((x, y]) = y x = x y, sillä kaikkiyllä(ulko-)mitattavatjoukotovatmitallisia. (b) Koska lim x! f(x) =m (;) =0jalim x! f(x) =m (), niin on olemassa x,x 2 2 R joille f(x ) apple 4 m 3 ()jaf(x 2 ) 4 m ()(voidaanselvästi olettaa x apple x 2 ). Nyt koska f on -Lipschitz eli erityisesti jatkuva, on olemassa y 2 [x,x 2 ]jollef(y) = 2 m (). Tällöin joukoksi B kelpaa \ (,y]. 6. Näytä, m(b(x, r)) = m(b(0, ))r n kaikilla avoimilla palloilla B(x, r) R n. 3 Koska kaikilla x 2 R n yhdiste [I j avoimia välejä I j on joukon R n peite täsmälleen kun [(I j + x) onjoukon + x = {x + a: a 2 } peite, on Lebesgue n ulkomitta selvästi siirtoinvariantti. Siten harjoitusten 2 tehtävän 5 nojalla saadaan (pallot ovat avoimina mitallisia) m(b(x, r)) = m(b(0,r)) = r n m(b(0, )) 3 Teht. 4, siirto ei muuta mittaa ja Harj. 2/Teht.4 2

10 jokaisella avoimella pallolla B(x, r) R n,missäsiisr>0. 7. Määritä yksikköpallon kuoren mitta. 4 S n = x 2 R n : kxk = Osoitetaan, että m(s n )=0:Selvästi kaikilla ">0pätee S n B(0, +") \ B(0, "). Koska tässäkaikkijoukotovatrajoitettuinaäärellismittaisia, saadaan edellistätehtävää ja lausetta 2.20 käyttämällä m(s n ) apple m(b(0, +")) m(b(0, ")) = m(b(0, ))(( + ") n ( ") n )! 0 kun "! 0, sillä tällöin ( ± ") n!. 8. Keksi esimerkki mitallisista joukoista R n 2...,joille \ m i < lim m( i ). i! Valitaan i =(j, ) n,jolloinnäille sisäkkäisille ja mitallisille joukoille selvästi m( T i)=m(;) =0.Kuitenkinkaikillai pätee m( i )=, eli \ m ( i )=0< =limm( i ). i! 4 Tehtävä 6, Lause

11 Mitta- ja integraaliteoria Harjoitus 4, Olkoon >0ja K = I R n : I on avoin n-väli tai ; ja diam I<. Näytä, että kaikilla R n on 2 nx [ m () = inf v(i i ):I i 2 K kaikilla i ja I i o. Olkoon >0. Merkitään nx [ m () = inf v(i i ):I i 2 K kaikilla i ja I i o. Selvästi m () apple m () kaikilla R n,sillälebesgue n ulkomitassa infimum otetaan kaikkien peitteiden yli, joka on suurempi joukko kuin pelkät halkaisijaltaan enintään olevat peittävät n-välit. Osoitetaan että myös m () m (): Olkoon ">0mielivaltainenja{I j } välejä joille P v(i j) <m ()+". Nyt puolittamalla jokaisen välin I j jokainen sivu saadaan 2 n (puoliavointa) väliä, joiden yhdiste on I j.selvästi välien halkaisijat puolittuvat, ja näiden välien sisukset ovat myös pistevieraita. Puolittamalla jokainen I j riittävän monta kertaa saadaan välit I j,i 2 j,...,i m j j,joille I j = m j [ k= int Ij k \ int Ij l = ; kun k 6= l ja diam Ij k < kaikilla j, k. Nämä välit myös peittävät alkuperäisen joukon ja kelpaavat siten testiväleiksi luvun m määrittelmässä. Tällöin pätee m X X X j m ()+"> v(i j )= v(ij k ) m (), I k j, k= siis m () m (). (Tässä joukkoonk on otettu mukaan myös n-välit, jotka sisältävät osia reunastaan. Kuitenkin välin reuna on aina selvästi nollamittainen, ja määritelmä eitästä muutu) 2. Olkoot E,F R n joukkoja, joiden etäisyys on positiivinen eli dist(e,f) = inf x y : x 2 E,y 2 F > 0. Näytä, että m (E [ F )=m (E)+m (F ). diam E on joukon E halkaisija, diam E =sup{ x y : x, y 2 E}. 2 Muista, että jos I,I,...,I k ovat välejä, joille I = [ k I j ja joukot int I j ovat erillisiä, niin v(i) = P k v(i j).

12 Olkoon r =dist(e,f) > 0ja">0. Tehtävän nojalla on olemassa avoimet välit I,I 2,... joille E [F [I j,diami j < r kaikilla j ja P v(i 0 j ) <m (E [F )+". Nyt yksittäinen väli I j ei voi leikata sekä joukkoae että F,silläkaikillee 2 E,f 2 F pätee e f r>diam I j.sitenvoidaanarvioida X X m (E [ F )+"> v(i j ) v(i j )+ X v(i k ) m (E)+m (F ), I j \E6=; I k \F 6=; sillä kyseisetvälit I j,i k muodostavat myös joukkojen E ja F peitteet. Tämä arvio pätee mielivaltaisella ">0, joten m (E [ F ) m (E) +m (F ) ja toinen suunta seuraa subadditiivisuudesta. 3. Täydennä Lauseen2.23.todistustanäyttämällä, että ) =) 4): Jos R n on mitallinen, niin kaikilla ">0onsuljettujoukkoF, jollem( \ F ) <". 3 Kun on mitallinen, myös c on mitallinen. Valitaan sille avoin joukko U siten, että c U ja m(u \ c ) <"kuten lauseen 2.23 kohdassa 2). Tällöin voidaan valita F = U c,jokaonsuljettu,f ja lisäksi m( \ F )=m( \ U) =m(u \ c ) <". 4. Olkoon R n.näytä, että on mitallinen jos ja vain jos on kompaktit joukot K i, i 2 N, joille 4 m ( \ S K i)=0. Huomaa, että todistuksesta saadaan Lauseen ) =) 5). 00 ( 00 :Koska =(\ S K i )[( S K i ), silläjokaisellaik i,niinon mitallinen ensimmäisen joukon ollessa nollamittainen ja toisen numeroituva yhdiste suljettuja joukkoja. ) : Jos on rajoitettu, niin valitaan tehtävää 3käyttäen suljettu K i jolle m( \ K i ) < kaikilla i 2 N. Tällöin K i i on itsekin rajoitettu ja siis kompakti. Nyt saadaan lauseen 2.20 kohdan (3) nojalla (äärellismittaisuus!) [ \ m( \ K i )=m( ( \ Ki c )) = lim m( \ K i )=0, i! sillä voidaanlisäksi olettaa K K 2 valitsemalla esim. ˆKi+ = K i+ [ K i, jolloin siis \ K \ K 2. Jos ei ole rajoitettu eivät yllä suljetutjoukotk i ole välttämättä kompakteja. Merkitään tätä varten k = \ B(0,k), jolloin joukot k ovat rajoitettuja, mitallisia ja muodostavat numeroituvana yhdisteenä joukon. Valitaanjokaisellenäille 3 Lause 2.23 ) =) 2) auttaa. 4 Suunnassa =) käsittele rajoitettu ja rajoittamaton tapaus erikseen. Käytä tehtävää 3 ja Lausetta 2.20(3) rajoitetulle. Rajoittamattomassa tapauksessa huomaa, että aina [ k= E k \ [ k= F k [ k= (E k \ F k ).

13 k,jolloinkaikkienniiden(numeroitu- väitteen mukaiset kompaktit joukot Ki k valle) yhdisteelle pätee m(\[ i,k K k i )=m(([ k k )\[ k ([ i K k i )) apple m([ k ( k \[ i K k i ) apple X k m( k \[ i K k i )=0. Sanotaan, että jatkuvafunktiof : R n! R n toteuttaa ehdon (N) jos m (f(e)) = 0 kaikilla E R n,joillam (E) =0. (M) jos f() 2 M aina kun 2 M. 5. Näytä, että (N) =) (M). 5 Olkoon f jatkuva funktio joka toteuttaa ehdon (N). Kuten edellisessä tehtävässä, voidaan mille tahansa mitalliselle joukolle 2 M kirjoittaa [ [ [ [ f() =f(( \ K i ) [ ( K i )) = f( \ K i ) [ f(k i ), missä joukotk i ovat kompakteja ja m( \[ K i ) = 0. Nyt f() onsiis numeroituva yhdiste nollamittaisen joukon ja kompaktien joukkojen kuvista, jotka ovat kaikki mitallisia funktion f jatkuvuuden ja ehdon (N) nojalla. Tällöin f() on mitallinen, ja f toteuttaa myös ehdon (M) sillä 2 M oli mielivaltainen. 6. Näytä, että (M) =) (N). 6 Jos ehto (N) ei päde funktiolle f, onolemassae R n jolle m (E) =0mutta m (f(e)) > 0. Valitaan tämän positiivimittaisen joukon sisältä epämitallinen joukko B f(e). Kun = E \ f (B), niin on selvästi nollamittaisena mitallinen, mutta f() =B ei ole silti mitallinen ja funktio f ei siten toteuta myöskään ehtoa (M). Siis ehdosta (M) on seurattava aina (N). 7. Näytä, että funktiof : R! [0, ), f =3 [0,2] +2 [,3] + Q, on yksinkertainen, määrää sennormaaliesitysjalaskeintegraalii(f,r). Selvästi funktion f arvojoukko on äärellinen, tarkemmin f(r) ={0,, 2, 3, 4, 5, 6}. Merkitään näille arvoille i 2 f(r) alkukuvia i = f ({i}). Jokainen näistä alkukuvista on mitallinen, sillä ne muodostuvat mitallisten joukkojen [0, 2], [, 3] ja Q 5 Käytä tehtävää 4 6 Saa käyttää tietoa: jokainen positiivimitallinen joukko sisältää epämitallisen osajoukon.

14 sekä näiden komplementtien leikkauksista. Funktio f on siten yksinkertainen, ja sen normaaliesitys on 6X f = i i, sillä alkukuvatovatainapistevieraita.nämä joukotovat 0 = R \ (Q [ [0, 3]) = Q \ [0, 3] 2 =(2, 3] \ Q 3 =([0, ) \ Q) [ ((2, 3] \ Q) 4 =[0, ) \ Q 5 =[, 2] \ Q 6 =[, 2] \ Q. Integraali on näin ollen 6X I(f,R) = i m( i \ R) = =0. i=0 i=0

15 Mitta- ja integraaliteoria Harjoitus 5, Todista Lemman 3.9 kohta (2): Olkoon f 2 Y + ja olkoot E i R n, i 2 N, mitallisia ja erillisiä. Tällöin on [ X I f, E i = I(f,E i ). Olkoon funktion f normaaliesitys f = mx a j j, missä nyta j 0jajoukot j ovat mitallisia ja pistevieraita kaikilla j. Tällöin integraali yli yhdisteen S E i on [ mx [ I(f, E i )= a j m( j \ E i ) = = mx [ a j m( ( j \ E i )) = X mx a j m( j \ E i )= mx a j X X I(f,E i ), m( j \ E i ) sillä joukot j \ E i ovat mitallisia ja pistevieraita, ja kaikki summattavat ovat einegatiivisia lukuja. 2. Olkoon f : R n! R yksinkertainen funktio. Näytä, (joko määritelmän tai Luvun 4tulostenavulla),että f on mitallinen. Olkoon funktion f normaaliesitys missä nyta j a 2 R, niin f = mx a j j, 0jajoukot j ovat mitallisia ja pistevieraita kaikilla j. Tällöin kun {x 2 R n : f(x) >a} = [ j : a j >a joka on mitallisten joukkojen äärellisenä yhdisteenämitallinen.sitenfunktiof on mitallinen. 3. Todista Lemman 4.7 kohta (2): Olkoot B R n mitallisia ja olkoon f :! R mitallinen. Tällöin f B (funktion f rajoittuma joukkoon B) onmitallinen. Rajoittuma joukkoon B on siis funktio f B : B! R, f B (x) =f(x) kaikilla x 2 B. j,

16 Olkoon a 2 R. Tällöin alkukuva f B ((a, ]) on täsmälleen joukko {x 2 B : f B (x) >a} = B \{x 2 : f(x) >a}, joka on mitallinen sillä molemmatleikattavatjoukotovatnytmitallisia.sitenmyös funktio f B on mitallinen 4. Todista Lause 4.3: Jos 2 M, f :! R on mitallinen ja g : R! R on jatkuva, niin funktio g f :! R on mitallinen. Kaikilla a 2 R pätee (g f) ((a, )) = f (g ((a, ))), joka on mitallinen joukko, sillä kuvaukseng jatkuvuuden nojalla g ((a, )) on avoimen joukon alkukuvana avoin, eli erityisesti Borel-joukko. 5. Olkoon 2 M, f :! R mitallinen ja p>0. Näytä, että funktio f p :! [0, ] on mitallinen. (Huomaa, että funktion f maalijoukko on R.) Koska f on mitallinen, myös f on mitallinen (Seuraus 4.2). Tällöin kaikilla a 0saadaan {x 2 : f(x) p >a} = {x 2 : f(x) > pp a}, joka on kuvauksen f mitallisuuden nojalla mitallinen joukko. Jos a < 0, on joukon (a, ] alkukuvaselvästi koko mitallinen joukko. Sitenfunktio f p on mitallinen. 6. Seuraus 4.2 sanoo, että jos f on mitallinen, niin f on mitallinen. Keksi esimerkki funktiosta f : R! R, jolle f on mitallinen, mutta f ei ole mitallinen. Olkoon 2 R epämitallinen joukko ja f = c.tällöin f on selvästi epämitallinen, sillä esimerkiksi{f > 0} = /2 M mutta kuitenkin f =on vakiofunktiona mitallinen. 7. Olkoon 2 M, f :! R mitallinen ja olkoon g :! R sellainen, että m ({x 2 : f(x) 6= g(x)}) =0. Näytä, että g on mitallinen. Jos f on yksinkertainen, niin onko g yksinkertainen? Funktio g on mitallinen, sillä kaikillaa 2 R pätee missä {x 2 : g(x) >a} =({x 2 : f(x) >a)}\n ) [ N 2, N = {x 2 : f(x) >a g(x)}

17 ja N 2 = {x 2 : g(x) >a f(x)}. Nyt funktion f mitallisuuden nojalla {f >a} on mitallinen, ja joukot N ja N 2 ovat nollamittaisia joukon {f 6= g} osajoukkoina. Siten {g >a} on mitallinen joukko kaikilla a 2 R. Funktion g ei tarvitse olla yksinkertainen vaikka f olisikin: Olkoon esim. f =0 joka on yksinkertainen, ja g(x) =x Q(x). Tällöin m ({f(x) 6= g(x)}) =m (Q \{0}) =0, mutta g ei ole yksinkertainen sillä g(r) =Q joka ei ole äärellinen joukko. Lisätehtävä: 8. Olkoon f :[0, ]! R vähenevä funktio.näytä, että f on mitallinen. Olkoon a 2 R. Tällöin joukko f ((a, )) on mitallinen, sillä seonväli: Jos x 2 [0, ] siten, että f(x) >a,niinvähenevyyden nojalla f(y) >akaikilla y 2 [0,x]. Siis f ((a, )) = ; tai f ((a, )) = [0, ] tai f ((a, )) = [0,z) tai f ((a, )) = [0,z] jollain z 2 [0, ], missä kaikkiylläolevat ovat mitallisia joukkoja. Siten f on mitallinen.

18 Mitta- ja integraaliteoria Harjoitus 6, Todista Huomatus 4 (3): Olkoot, B R n mitallisia ja f :! [0, ] mitallinen. Tällöin nollajatkon f integraalille pätee f dm= fdm. B \B apple : Jos R f dm=, niin kaikilla M 0onolemassau2Y + siten, että u apple f B ja I(u, B) M. Nyt koska f =0joukossa c,myös u häviää joukon ulkopuolella, joten I(u, B) =I(u, \ B). Joukossa \ B pätee u apple f = f, joten M apple I(u, B) =I(u, \ B) apple fdm on voimassa kaikilla M 0, siis myös R fdm =. \B Jos R f dm<, voidaankaikilla">0valitau 2 Y + jolle u apple f ja B I(u, B) f dm ". Samoin kuin edellä I(u, B) =I(u, \ B) jau apple f tässä leikkauksessa,mistäsaadaan f dmapple I(u, B)+" = I(u, \ B)+" apple fdm+ ". B \B B \B : Jos nyt R fdm=, onkaikillam 0olemassau2Y + jolle u \B \B apple f ja I(u, \ B) M. Nyt ũ = u on yksinkertainen, ũ apple f ja f dm I(ũ, B) =I(ũ, \ B) =I(u, \ B) M, B siis myös R fdm =. Lopuksijos R fdm<, valitaantaasmielivaltaiselle">0 B \B R yksinkertainen funktio u 2 Y + jolle u \B apple f ja I(u, \B) fdm ". Samoin \B kuin edellä ũ = u on yksinkertainen, ũ apple f ja siten f dm I(ũ, B) =I(ũ, \ B) =I(u, \ B) fdm ". B \B 2. Olkoon R n mitallinen ja olkoot f,g:! [0, ] mitallisia funktioita, joille fdm= gdm< E kaikilla mitallisilla joukoilla E. Näytä, että f(x) =g(x) melkeinkaikillax 2. 2 Käytä integraalin määritelmää jasupremumin"-karakterisaatiota. Tarkastele erikseen tilanteet, joissa R f dm= ja R fdm=. 2 B \B Tutki joukkoa C = {x 2 : f(x) >g(x)}. Lemma 4.9, Lause 5.2 ja integraalin lineaarisuus auttavat. E

19 ntiteesi: m ({x 2 : f(x) 6= g(x)}) > 0. Tällöin voidaan olettaa, että mitallinen joukko {f(x) >g(x)} on positiivimittainen. Koska [ {f(x) g(x) > 0} = {f(x) g(x) > j }, niin jokin oikean puolen yhdisteen joukoista on positiivimittainen, eli on k 2 N jolle m({f(x) g(x) > }) > 0. Nyt k f gdm f gdm dm > 0, {f g>0} {f g> k } {f g> k } k mikä onristiriitakäyttämällä integraalinlineaarisuuttajaoletusta fdm= gdm. {f g>0} {f g>0} 3. Todista Seuraus 5.5: Olkoon R n mitallinen ja olkoot f i :! [0, ], i 2 N, mitallisia. Tällöin X X f i dm = f i dm. Olkoon g n = P n f i.tällöin (g n ) n )onnousevajonomitallisiafunktioita,joten MK-lauseen ja integraalin lineaarisuuden nojalla X f i dm = lim g n dm n! 4. Määritä perustellen raja-arvo lim i! = lim g n = lim n! n! nx = lim f i dm = n! B(0,2)\B(0,) Käytetään laskevaa MK-lausetta: log + kxk dm. apple kxk kun i B(0,2)\B(0,) j ja log + kxk applelog kxk i nx f i dm X log + kxk dm. kxk i B(0,2)\B(0,) + kxk kxk j log + kxk!log()kxk =0 kxk i f i dm. log 2 2 dm. <,

20 kun i!.sitenvoidaanrajankäynti viedä integraalinsisään, ja saadaan lim log + kxk dm = 0 dm =0. i! kxk i B(0,2)\B(0,) B(0,2)\B(0,) 5. Olkoon g : R 2! [0, ], g(x) =e kxk.näytä, että 3 R 2 gdm<. Olkoon = B(0, ) ja j = B(0,j)\B(0,j ) kaikilla j 2. Tällöin R 2 = [ j, ja Harj. 3 nojalla m( j )=m(b(0,j)) m(b(0,j )) = m(b(0, ))(j 2 (j ) 2 ). Tällöin voidaan arvioida X gdmapple R 2 e kxk dm j apple X j e j+ = e = e m(b(0, )) X e j m( j ) X e j (j 2 (j ) 2 ) = e m(b(0, )) X 2j e j <, sillä sarja P 2j e j kun j!. suppenee osamäärätestin nojalla: e (j+) (2(j +) ) e j (2j ) = 2j + (2j )e! e <, 6. Todista Lemman 5.6 kohta (3): Olkoot i R n, i 2 N, mitallisia, i i+ kaikilla i 2 N ja olkoon f : S i! [0, ] mitallinen.tällöin 4 fdm=lim fdm. i! i S i Mitallisten funktioiden jono (f k ) k on nouseva ja f k! f sillä 2. Tällöin MK-lauseen nojalla fdm= lim f S S i dm =lim f i i! i! S i dm =lim fdm i i! i i 3 R 2 = B [[ (B i+ \ B i ), B i = B(0,i), Harj.3 pallojen mitoille ja suhdetesti 4 Tutki funktioita f k = f k, MK-lause

21 7. Olkoon f : R n! [0, ] mitallinenfunktio,jolle R fdm<. Näytä, että kaikilla R n ">0onR>0, jolle 5 fdm<". R n \B(0,R) Olkoon ">0. Olkoot joukot j kuten tehtävässä 5.Koskaneovatmitallisiajamyös erillisiä, on X fdm= fdm<. R n j Tämän sarjan suppeneminen tarkoittaa, että onolemassar 2 N siten, että X fdm= fdm<". j R n \B(0,R) j=r+ 5 R n = B [[ (B i+ \ B i ), B i = B(0,i)

22 Mitta- ja integraaliteoria Harjoitus 7, Nämä ovatkurssin.osanviimeisetharjoitukset. Tehtävä 7.jalisätehtävä toisellasivulla. Olkoot f,g 2 L (). Näytä, että funktioh:! R, h(x) = max{f(x),g(x)}, on integroituva. Onko R hdm=max{r fdm,r gdm}? Kaikilla x 2 pätee h(x) = max{f(x),g(x)} apple f(x) + g(x), silläjoko h(x) =f(x) taih(x) =g(x). Tällöin h(x) dm apple f(x) + g(x) dm = f(x) dm + g(x) dm <, sillä f,g 2 L () Siismyös funktio h on integroituva. Selvästi aina R hdm max{r fdm,r gdm}, sillä h f ja h g. Toinen suunta ja siten yhtäsuuruus ei kuitenkaan ole aina totta: Valitaan =[0, 2], f = [0,] ja g = [,2].Tällöin fdm= gdm=, mutta h ja 2. Olkoon 0 <s<. Laske raja-arvo lim j! Kaikilla j funktio x 7! jxs +jx kaikilla j. Kun0<xapple, niin jx s +jx = hdm=2>. [0,] jx s +jx dm. on jatkuvana mitallinen. Kun x = 0, niin jxs =0 +jx jx +jx xs! x s kun j!.integraalienraja-arvonlaskemiseenvoidaankäyttää dominoidunkonvergenssin lausetta, silläkaikillaj ja 0 < xapple pätee jx s +jx applejxs jx = xs, joka on integroituva joukossa (0, ] sillä s 2 (, 0). Nyt saadaan jx s lim j! +jx dm = jx s lim j! +jx dm = x s dm = s. [0,] [0,] (0,]

23 3. Laske raja-arvo e j x lim j! [0,) +x dm. 2 Kaikilla j funktio x 7! e j x on jatkuvana mitallinen. Kun j!,niin! 0 +x 2 j ja siten e j x +x! 2 +x. 2 Käytetään integraalien raja-arvon laskemiseen dominoidun konvergenssin lausetta, sillä kaikillaj pätee e j x +x apple 2 +x, 2 joka on integroituva funktio: dm =lim +x arctan(t) arctan(0) = 2 t! 2 <. [0,) Tällöin siis e j x lim j! [0,) +x dm = dm 2 [0,) +x = 2 2. (Väite seuraa myös pelkästä monotosisestakonvergenssista.) 4. Olkoon f 2 L (). Näytä, että min i, f(x) dm = lim i! fdm. Koska nyt min(i, f(x)) apple f(x) kaikilla i 0, x 2 ja f 2L (), niin dominoidun konvergenssin nojalla (min(i, f(x)) on mitallinen 8i) min(i, f(x)) dm = fdm lim i! sillä lisäksi min(i, f(x))! f(x) kaikillax Olkoon R n mitallinen ja olkoot f i :! R mitallisia. Näytä, että josfunktio f = P f i on integroituva, niin f i dm =0. lim i! Funktiot f i ovat mitallisia ja ei-negatiivisia, joten edellisten harjotusten nojalla X X f i dm = f i dm = fdm<. Koska lasketaan raja-arvoa i!, niin voi olettaa, että i 0.

24 Tällöin siis vasemman puoleinen sarja suppenee, joten sen termit suppenevat nollaan. Siten f i dm apple f i dm! 0 ja joten lim i! R f i dm =0. f i dm f i dm! 0, 6. Olkoon R n mitallinen joukko, jolle m() <. Olkoon<p< ja olkoon f :! [0, ] mitallinen funktio, jolle f p dm <. Näytä, että 2 Kuinka käy, jos m() =? fdm<. Kun = {x 2 : f(x) apple } ja 2 = {x 2 : f(x) > }, niinmolemmatjoukot ovat mitallisia, \ 2 = ; ja [ 2 =. Tällöin fdm= fdm+ fdmapple m( )+ f p dm apple m()+ f p dm <. 2 2 Väite ei välttämättä päde ilman oletusta m() < : Valitaanesimerkiksi = [, ) jaf(x) =. Nyt m() = ja x fdm= dm =, x vaikka kaikilla <p<. f p dm = 7. Olkoon f : R 2! R, f(x, y) =xy 3 ja x p dm < = (x, y) 2 R 2 : x 2 + y 2 apple, x 0, y 0. Laske R fdmfubinin lauseen avulla. 2 Tutki erikseen joukot {f apple } ja {f >}.

25 Koska f on jatkuvana mitallinen ja f 0joukossa = {(x, y) 2 R 2 :0apple x apple, 0 apple y apple p x 2 },niinvoidaankäyttää Fubiniajalaskea fdm= xy 3 dm 2 (x, y) = xy 3 (x, y) dm 2 (x, y) R 2 = xy 3 (x, y) dm (y)dm (x) = = = R R p x = 4 ( 2 0 xy 3 dm (y)dm (x) 4 x(p x 2 ) 4 4 x04 dm (x) 4 (x 2x3 + x 5 ) dm (x) )= (Lisätehtävä) Laskeraja-arvo 3 lim + x j sin 2 x + j cos 2 x e (x+ x j ) dm. j! j j [0, ] 3 e x =lim j!...