ELEC-A4130 Sähkö j mgnetismi (5 op) Henrik Wllén Kevät 2018 Tämä luentomterili on suurelt osin Smi Kujln j Jri J. Hännisen tuottm
Luentoviikko 3 Sähköpotentili (YF 23) Oppimistvoitteet Sähköinen potentilienergi Sähköpotentili Sähköpotentilin määrittäminen Tspotentilipinnt Potentiligrdientti Yhteenveto 2 (26)
Oppimistvoitteet Tvoitteen on oppi miten lsketn vrusjoukon sähköinen potentilienergi mitä sähköpotentili trkoitt j mikä on sen merkitys miten vruskokoelmn johonkin vruuden pisteeseen tuottm potentili lsketn miten tspotentilipintoj käytetään potentilin hvinnollistmiseen miten sähköpotentili käytetään sähkökentän lskemiseen 3 (26)
Sähköinen potentilienergi Käsitteitä Sähkökenttä kohdist voimn vrttuun hiukkseen & hiukknen liikkuu sähkökentässä voim tekee työtä hiukkselle. Vruksen sähköinen potentilienergi riippuu vruksen pikst ulkoisess sähkökentässä (vrt. mss grvittiokentässä). Pisteen sähköpotentili (eli potentili) on (testivruksen) sähköinen potentilienergi vrusyksikköä kohden. Jännite on khden pisteen välinen sähköpotentiliero. 4 (26)
Sähköinen potentilienergi Mekniikk Jos voim siirtää kppleen pisteiden välillä b, voimn tekemä työ on viivintegrli voimst j siirtymästä: W b = b F d l Konservtiivisen voimn tekemän työn voi ilmist potentilienergin U vull: Huom: W b = U U b = (U b U ) = U Jott kpple siirtyisi hitsti trvitn ulkoinen vstvoim. Jos konservtiivinen voim tekee postitiivist työtä, potentilienergi pienenee. Jos ulkoinen voim tekee positiivist työtä konservtiivist voim vstn, potentilienergi ksv. Tällä luennoll trkstelln pääosin konservtiivisen voimn tekemää työtä (eli sähköisen voimn ti sähkökentän tekemää työtä). 5 (26)
Sähköinen potentilienergi Viivintegrli b F d l =? Differentilinen tielkio d l on vektori, jok osoitt integrointitien tngentin suuntn j F on vektorikenttä. Esim: Integrointitie x-kseli pitkin Yleinen tpus: x d l x b x F φ b b F d l = xb xb x F î dx = x F x dx (Entä jos x > x b ti y = vkio 0?) b dl F d l = b F cos φ dl 6 (26)
Sähköinen potentilienergi Sähköinen potentilienergi tsisess kentässä Positiivinen vrus q 0 vrttujen johdelevyjen välissä Sähkökenttä E on homogeeninen Sähkövoim F = q 0 E, voimll on vin y-komponentti: F = ĵq 0 E Sähkökentän vrukselle tekemä työ on E q 0 d (huom: d l = ĵ dy) b y W b = F d l = q 0 E(b ) = q 0 Ed x b Työ ei riipu polust sähkövoim on konservtiivinen potentilienergi U = q 0 Ey j työ W b = U = q 0 Ed U pienenee, kun vrus liikkuu voimn F = q 0 E suuntn 7 (26)
Sähköinen potentilienergi Khden pistevruksen sähköinen potentilienergi Coulombin lin mukn pistevruksen q iheuttm voim testivrukseen q 0 q 0 siirtyy b: F = 1 qq 0 4πε 0 r 2 r F q 0 b r b qq 0 W b = F r dr = 4πε 0 r r b r dr r 2 = qq [ 0 1 1 ] 4πε 0 r r b r Väite: Työ ei riipu reitistä q 8 (26)
Sähköinen potentilienergi Kksi pistevrust: yleinen tpus Yleisessä tpuksess W b = = rb r rb F cos φ dl r 1 4πε 0 qq 0 r 2 cos φ dl q F φ d l b cos φ dl = dr on siirtymä säteittäissuunnss reitistä riippumtt W b = qq [ 0 1 1 ] = U U b 4πε 0 r r b voim F on konservtiivinen (m.o.t.) Kosk voim on konservtiivinen, järjestelmän mekninen kokonisenergi (kineettisen j potentilienergin summ) säilyy (toistiseksi kineettinen energi on ollut noll = hitt siirrot) 9 (26)
Sähköinen potentilienergi Khden pistevruksen potentilienergi Kun testivrus q 0 on etäisyydellä r vruksest q, olkoon potentilienergi U = 1 qq 0 4πε 0 r ( 0, kun r ) U U 0 r 0 r q j q 0 smnmerkkiset q j q 0 vstkkismerkkiset 10 (26)
Sähköinen potentilienergi Usen pistevruksen potentilienergi Pistevrukset q 1, q 2, q 3,... etäisyyksillä r 1, r 2, r 3,... vruksest q 0 q 0 :n potentilienergi U = q ( 0 q1 q 2 q ) 3... = q 0 q i 4πε 0 r 1 r 2 r 3 4πε 0 r i i Jokisen stttisen vrusjkutumn synnyttämän sähkökentän iheuttm voim on konservtiivinen Vrusten potentilienergin voi kirjoitt myös U = 1 4πε 0 i<j q i q j r ij = summus yli kikkien vrusprien (etäisyydet r ij ) siten, ettei vruksen itseisvuorovikutust lsket (i j) j kunkin prin vuorovikutus lsketn vin kerrn (i < j) 11 (26)
Sähköinen potentilienergi Potentilienergin tulkitseminen Tähänstinen lähestymistp: Potentilienergiero on sähkökentän vrukselle tekemä työ, W b = U U b Jos U > U b W b > 0 Kenttä tekee positiivist työtä, kun hiukknen puto mtlmpn potentiliin Toinen lähestymistp: Trkstelln, pljonko työtä ulkoinen voim F ext tekee ( me teemme ) työtä vrukselle, kun ulkoinen voim siirtää vrust sähkökentässä E pisteestä b pisteeseen Jottei vrus s kineettistä energi, sitä siirretään hitsti, jolloin (tspinotilnteen tki) ulkoinen voim on yhtä suuri mutt vstkkissuuntinen sähkökentän iheuttmn voimn knss Tällöin erotus U U b on ulkoisen voimn vrukselle tekemä työ (huom: voimn suunt j siirtosuunt ovt iemmlle vstkkiset = kksi miinusmerkkiä = lopputulos smnmerkkinen) Molempi lähestymistpoj käytetään sähköpotentilin määrittelemisessä 12 (26)
Sähköpotentili Sähköpotentili Normlisoidn potentilienergi U testivruksell q 0 Sdn potentilienergi per testivrusyksikkö eli sähköpotentili eli potentili V = U q 0 Yksikkönä voltti, [V ] = J/C = V Sähkökentän tekemä työ W b = U = q 0 (V V b ) = q 0 V b, missä V on potentili pisteessä j V b potentili pisteessä b (vrus siirtyy b) V b on pisteen potentili pisteen b suhteen eli pisteiden välinen potentiliero eli pisteiden välinen jännite, tulkinnt: (I) V b on sähköisen voimn yksikkövrukselle tekemä työ, kun vrus siirtyy b (II) V b on ulkoisen voimn yksikkövrukselle tekemä työ, kun vrus siirretään sähköistä voim vstn b 13 (26)
Sähköpotentili Sähköpotentilin lskeminen Pistevruksen tuottm potentili (ei riipu testivruksest q 0 ) V = U = 1 q q 0 4πε 0 r Pistevrusjoukon tuottm potentili V = U q 0 = 1 4πε 0 i q i r i Jtkuvn vrusjkutumn tuottm potentili V = 1 dq 4πε 0 r (r i on vruksen q i etäisyys kenttäpisteestä) (r on vruslkion dq etäisyys kenttäpisteestä) Huom: Lusekkeiden ntm potentili häviää, kun etäisyys kikist vruksist ksv rjtt; näin ei ole, jos vrusjkutum itsessään ulottuu äärettömyyteen (potentili ei ehkä häviä) 14 (26)
Sähköpotentili Potentili j sähkökenttä Sähkökenttä nnettu potentili lskettviss sähkökentästä Sähkökentän tekemä työ b b W b = F dl = q 0 E dl Potentilin määritelmästä seur potentiliero b V b = V V b = E dl (kun sähköinen voim siirtää vrust) Tulos on integrointireitistä riippumton 15 (26)
Sähköpotentili Sähköpotentilin käytös Liikutn kohti lähdettä (r 0) q:t lähestyttäessä potentili ksv (on yhä positiivisempi) q:t lähestyttäessä potentili pienenee (on yhä negtiivisempi) Sähkökenttä osoitt pienenevän potentilin suuntn Sähkökentän yksikkö [E] = N/C = V/m muutos U U b = q(v V B ) = qv b Jos siirtyvä q = 1 e j siirtävä V b = 1 V, potentilienergin muutos U U b = qv b = 1 ev 1.6022 10 19 J (energimitt elektronivoltti) 16 (26)
Sähköpotentilin määrittäminen Sähköpotentilin määrittäminen Esimerkki: vrtun johdepllon tuottm potentili Tyypillisesti on [inkin] kksi mhdollisuutt määrittää sähköpotentili: 1. Jos tunnetn vrusjkum, V = 1 dq 4πε 0 r 2. Jos tunnetn sähkökenttä, V b = V V b = b E d l Johdepllolle (säde R) nnettu vrus (q) jkutuu tsisesti pllon pinnlle, pllon sisäsähkökenttä on noll j ulkokenttä on ulospäin säteittäinen: E = q 4πε 0 r 2 r, r > R Pllon ulkopuolell näkyy pistelähteen potentili V = q 4πε 0 r, r > R, j pllon sisällä potentili on vkio V (R) = q/(4πε 0 R) (miksi vkio 0?) 17 (26)
Sähköpotentilin määrittäminen Vrtun johdepllon tuottm potentili R V V (R) V (R)/2 V (R)/3 1R 2R 3R r 18 (26)
Sähköpotentilin määrittäminen Esim: Viivvruksen potentili Äärettömän viivrvuksen sähkökenttä on E = λ 2πε 0 r r = E r (r ) r Jos piste on etäisyydellä r j piste b etäisyydellä r b sdn potentilieroksi V b = V V b = b E d l = rb voidn vlit viivvruksen potentiliksi V (r ) = r E r dr = λ 2πε 0 λ ln r 0 2πε 0 r rb r dr r = λ 2πε 0 ln r b r missä r 0 on mielivltinen vkio. (Miksi äärettömyyteen ei void vlit nollpotentili?) 19 (26)
Tspotentilipinnt Tspotentilipinnt j kenttäviivt Sähkökenttää hvinnollistettiin kenttäviivoill (kuvn siniset viivt) Potentili voi hvinnollist tspotentilipinnoill = pint, joll potentili on vkio = khdess dimensioss krtn korkeuskäyrään verrttv viiv (kuvn ktkoviivt) Tspotentilipinnt eivät leikk ti kosket toisin (voivt leikt itsensä) ovt kohtisuorss kenttäviivoj vstn 20 (26)
Tspotentilipinnt Tspotentilit j johteet Kun johteen vrukset ovt levoss, johteen pint on tspotentilipint Sähkökenttä on kohtisuorss johteen pint vstn, tuore perustelu: Johteen sisällä kenttä on noll Jos kentässä olisi johdepinnn suuntinen komponentti, johteen pinnn molemmin puolin suljettu reittiä siirretylle vrukselle tehty työ ei olisi noll kyseessä ei olisi konservtiivinen voim Ristiriidss lähtötilnteen (sähkösttiikn) knss johteen pinnll sähkökentän tngentilikomponentti häviää Koko johdekpple on smss potentiliss ( E = 0 V b = 0) M (ti muu suuri johdekpple) on sähkötekniikn mielessä vrusvrsto, jok voi vstnott ti luovutt vrust rjttomsti kyseessä on sähköinen m, j kytkentä mhn on mdoitus; mn tspotentiliksi vlitn yleensä noll voltti (esim. sääilmiöt ovt niin suuri, että msskin voi oll potentilieroj) 21 (26)
Tspotentilipinnt Ontelo johteess Jos johteess on vruksi sisältämätön ontelo, ontelon seinämillä ei ole vruksi, tuore perustelu: Ontelon seinämä on tspotentilipint Jos piste P onteloss olisi eri potentiliss kuin seinämä j jos piste ympäröitäisiin onteloon mhtuvll Gussin pinnll, huomttisiin, että Gussin pinnll on sähkökenttä Gussin pinnn sisällä on vrust Onteloss ei kuitenkn ole vruksi, joten onteloss potentilin täytyy oll vkio j kenttä on noll pintvrustiheys (σ = ε 0 E ) on noll Mieti: tspotentilipinnn j Gussin pinnn ero? 22 (26)
Potentiligrdientti Potentiligrdientti Edellä V V b = b E d l (:n potentili b:n suhteen) Toislt jos summtn infinitesimliset potentilimuutokset dv jokisen d l:n kohdll mtkll b:stä :hn, V V b = Kikille, b pitäisi päteä b dv = b dv ( E = E x î E y ĵ E z k) b b dv = E dl dv = E dl = E x dx E y dy E z dz Kun sllitn yhden muuttujn kerrlln muuttu, sdn rtkistuksi E x = V x, E y = V y, E z = V z E = V Sähkökenttä on potentilin negtiivinen grdientti j osoitt pienenevän potentilin suuntn 23 (26)
Potentiligrdientti Potentiligrdientti (jtko) Nbl ( ) on lyhennysmerkintä vektoridifferentilioperttorille, joll potentiligrdientti voidn merkitä hyvin ytimekkäästi j koordintistoriippumttomsti E = V. Tvllisess krteesisess koordintistoss sdn ( V E(x, y, z) = V (x, y, z) = x î V y ĵ V ) z k Jos potentili V = V (r ) riippuu etäisyydestä pllon keskipisteestä ti sylinterin kselist 1 sdn E(r ) = V (r ) = V r r 1 Yleinen grdientti pllo- ti sylinterikoordintistoss on mutkikkmpi, mutt sitä ei tällä kurssill trvit. 24 (26)
Potentiligrdientti Eri geometrioit Pistevrus E r = V r = [ ] q q = r 4πε 0 r 4πε 0 r 2 Vrttu sylinteri (säde R) E r = [ λ ln R ] λ = r 2πε 0 r 2πε 0 r, r > R Rengsvruksen (säde ) kselill (x-kselill) E x = [ ] 1 Q = 1 Qx x 4πε 0 x 2 2 4πε 0 (x 2 2 ) 3/2 25 (26)
Yhteenveto Yhteenveto luvust 23 Keskeisiä käsitteitä Konservtiivinen kenttä (j voim) Tärkeitä kvoj Energi j potentili Sähköinen potentilienergi U (Sähkö)potentili V Tspotentilipint W b = U U b, V = U q 0 Potentili j kenttä V V b = b E d l, E = V Pistevruksen potentili ( superpositioperite) V = 1 q 4πε 0 r 26 (26)