Finanssimaailman ongelmien ratkaiseminen epäsileän optimoinnin keinoin. Markus Harteela Turun yliopisto
|
|
- Sakari Aaltonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Finanssimaailman ongelmien ratkaiseminen epäsileän optimoinnin keinoin Markus Harteela Turun yliopisto huhtikuu 2016
2 1 Johdanto Tämä työ on kurssin Epäsileä Optimointi harjoitustyö ja se perustuu artikkeliin [1]. Finanssimaailmassa optimointi on kasvanut suureen arvoon, kun markkinoilla olevien erilaisten rahoitusmarkkinainstrumenttien, kuten bondien, osakkeiden ja optioiden määrä on kasvanut huomattavasti. Sijoittavat pyrkivät maksimoimaan omaa tuottoaan samalla minimoiden mahdolliset riskit. Tässä kohtaa tärkeään rooliin nousevat optimointimenetelmät. Usein ratkaistavat ongelmat eivät ole differentioituvia ja sileitä ja tästä syystä tarvitaan epäsileitä optimointimenetelmiä. Myös lähtökohtaisesti sileiden tehtävien ratkaiseminen onnistuu usein parhaiten epäsileillä menetelmillä, joten ne ovat suuressa arvossa finanssimaailman ongelmissa. Tässä työssä esitetään kaksi yleistä esimerkkiongelmaa finanssimaailmasta ratkaisuineen. Ne ovat hyödyn maksimointiongelma, kun on olemassa transaktiokustannuksia ja bondin duraation laskeminen. Nämä tehtävät ratkaistaan epäsileän optimoinnin keinoin. Aloitetaan kuitenkin hyödyllisillä epäsileään optimointiin liittyvillä määritelmillä ja lauseilla, joita tarvitaan myöhemmin tehtävien ratkaisemisessa. 2 Epäsileästä optimoinnista Tässä kappaleessa esitetään muutamia mainittujen tehtävien ratkaisemisen kannalta oleellisia määritelmiä ja niiden ominaisuuksia. Lisäksi esitetään lyhyesti optimisäätöongelma, jota voidaan hyödyntää finanssimaailman ongelmien mallintamisessa matemaattiseen muotoon. Kurssilla tarkasti läpi käydyt asiat esitetään lyhyemmin ja keskitytään asioihin, joihin ei ole kurssilla paneuduttu. 1
3 2.1 Määritelmiä Määritelmä 2.1 (Lipschitz-jatkuva funktio). funktio f : R n R on Lipschitz-jatkuva joukossa A R n, jos on olemassa K > 0, jolla f(y) f(z) K y z, y, z A. Määritellään seuraavaksi Clarken alidifferentiaali hieman eri tavalla kuin kurssilla. Määritelmä on kuitenkin yhtäpitävä kurssilla esitetyn kanssa, mikä ilmenee kurssikirjassa olevasta lauseesta. Määritelmä 2.2 (Clarken alidifferentiaali). Olkoon A R n avoin joukko ja piste x A. Lipschitz-jatkuvan funktion f : A R alidifferentiaali pisteessä x on f(x ) = conv{ξ R n jono x i x s.e. f on differentioituva jokaisessa pisteessä x i ja f(x i ) ξ}, missä conv{} on joukon konveksi peite. Ominaisuuksia 2.3. Olkoon funktiot f, g : A R, missä A R n ja piste x Int{A}. Tällöin seuraavat ominaisuudet ovat voimassa: (i) (ii) (iii) (iv) (v) Jos f on jatkuvasti differentioituva pisteen x ympäristössä, niin f(x) = { f(x)}. Välttämätön ehto sille, että piste x minimoi funktion f joukossa A on, että 0 f(x). Jos f on konveksi, niin ehto on myös riittävä. Funktioiden summalle pätee (f + g)(x) f(x) + g(x). Jos g on jatkuvasti differentioituva pisteen x ympäristössä, niin (f + g)(x) = f(x) + { g(x)}. Positiivinen homogeenisuus: (αf)(x) = α f(x). max{f, g}(x) {λη + (1 λ)ξ λ [0, 1], ξ f(x) ja η g(x)}. 2.2 Optimisäätöongelma Useita ongelmia pystyy matemaattisesti mallintamaan optimisäätöongelmien avulla. Seuraavassa on esiteltynä yksi muotoilu tällaisesta optimisäätöongel- 2
4 masta. Minimize g(x(t )) s.e. ẋ = f(x(t), u(t)), t [0, T ], u(t) U, t [0, T, ] x(0) = x 0 yli Lebesgue-mitallisen funktion u : [0, T ] R m ja absoluuttisesti jatkuvan funktion x : [0, T ] R n. Tehtävässä x 0 on n-ulotteinen alkuarvovektori, U R m ja funktiot g : R n R ja f : R n R m R n. Funktiosta u puhutaan kontrollimuuttujana ja funktiosta x tilamuuttujana. Muuttamalla kontrollimuuttujan arvoa pystytään siis vaikuttamaan tilamuuttujan arvoon. Seuraavaksi esitetään todistuksetta lause, joka perustuu Pontryaginin maksimiperiaatteeseen. Sen avulla saadaan ratkaistua optimisäätötehtävä, jossa päätepiste hetkellä t = T on vapaa. Lauseessa käytetään ns. Hamiltonin funktiota H(x, p, u) = p f(x, u), jonka Clarken alidifferentiaalia muuttujan x suhteen merkitään x H(x, p, u). Lauseessa käytetty merkintä B(x; ɛ) viittaa palloon, jonka keskipiste on x ja säde ɛ. Lause 2.4. Olkoon (u, x ) kontrolli-/tilamuuttujapari, joka toteuttaa edellä mainitun optimisäätötehtävän rajoitteet. Oletetaan, että on olemassa ɛ > 0, jolle on voimassa: (H1) (H2) (H3) funktio f on jatkuva ja K > 0 s.e. f(x, u) f(y, u) K x y, x, y B(x (t); ɛ), u U; funtio g on Lipschitz-jatkuva joukossa B(x (T ); ɛ); U on Borel-mitallinen joukko. Tällöin välttämätön ehto sille, että (u, x ) on optimi, on että on olemassa jatkuva funktio p : [0, T ] R n, joka toteuttaa seuraavat rajoitteet: (a) ṗ(t) = x H(x (t), p(t), u (t)), t [0, T ], (b) p(t ) = g(x (T )), (c) H(x (t), p(t), u (t)) H(x (t), p(t), u(t)) u U. Jos lisäksi f on affiini funktio, g on konveksi funktio ja U on konveksi joukko, niin tämä on myös riittävä ehto optimaalisuudelle. 3
5 3 Finanssimaailman tehtävät Tässä kappaleessa esitellään ja ratkaistaan kaksi yleistä esimerkkiä finanssimaailmasta. Aloitetaan hyödyn maksimoinnista, kun mukana on transaktiokustannuksia ja sen jälkeen keskitytään bondin duraation laskemiseen. 3.1 Hyödyn maksimointi transaktiokustannusten läsnä ollessa Tehtävän muodostaminen Hyödyn maksimointi tehtävässä pyritään ratkaisemaan, millaisessa muodossa omaisuutta kannattaisi ajan kuluessa pitää, jotta sen arvo olisi utiliteettimielessä lopussa mahdollisimman suuri. Tällaisia muotoja ovat esimerkiksi bondit, osakkeet ja optiot. Keskitytään tarkemmin tämän tehtävän erikoistapaukseen, jossa on mukana vain osakeindeksejä ja bondeja. Bondeista saatava tuotto on tiedossa jo etukäteen ja ne on helppo lunastaa käteiseksi. Jos taas osakindeksejä pyrkii muuttamaan nopeasti rahaksi, ei niistä välttämättä saa täyttä hintaa. Tämän vuoksi keskitytään tehtävään, jossa optimoidaan portfolion arvoa muuttettuna käteiseksi rahaksi. Tällaisen tehtävän ratkaisemiseen tarvitaan epäsileää optimisäätöteoriaa. Muodostaaksemme ongelmasta optimisäätötehtävän merkitään tehtävässä tarvittavia parametreja seuraavasti: T jakson kesto, r riskitön korkotaso, α välittäjän suhteellinen palkkio, 0 α 1, β välittäjän provisiopalkkio hetkellä t = T, 0 β 1, µ osakeindeksin kasvuvauhti x 0 rahamäärä sijoitettuna bondeihin hetkellä t = 0, y 0 osakeindeksien lukumäärä hetkellä t = 0 M osuus, jonka enintään voi myydä tai ostaa osakeindeksejä vuodessa S 0 osakeindeksin hinta hetkellä t = 0. 4
6 Oletetaan, että µ > r. Osakeindeksin hinta hetkellä t on S(t) = e µt S 0. Merkitään kontrollimuuttujilla 0 u(t) M ja 0 v(t) M osakeindeksien myyntitahtia hetkellä t. Tällöin bondin määrä x(t) ja osakeindeksien määrä y(t) kehittyvät seuraavien differentiaaliyhtälöiden mukaisesti: ẋ = rx (1 + α)s(t)u + (1 α)s(t)v, x(0) = x 0, ẏ = u v, y(0) = y 0. Mallissa hyväksytään myös lyhyeksi myyminen, joten y voi olla myös negatiivinen. Nyt maksimoitavana oleva käteisvarallisuus hetkellä T on w(t ) = x(t ) + y(t ) S(T ) β y(t ) S(T ), missä viimeinen termi β y(t ) S(T ) on välittäjän ottama palkkio hetkellä T Tehtävän ratkaiseminen Ratkaisuksi hyödyn maksimointi tehtävästä tulee ns. Bang Bang -kontrolli, jossa tiettyyn ajanhetkeen t B (η) saakka ostetaan osakeindeksejä niin paljon kuin mahdollista ja tietyn ajanhetken t S (η) jälkeen taas myydään niitä maksiminopeudella. Tähän ratkaisuun johtaa suoraan seuraava lause. Lause 3.1. Hyödyn maksimointitehtävällä on lähes kaikkialla yksikäsitteinen ratkaisu u (t), v (t), 0 t T, joka on muotoa (u (t), v (t)) = (M, 0), jos 0 t < t B (η ), (u (t), v (t)) = (0, 0), jos t B (η ) t < t S (η ), (u (t), v (t)) = (0, M), jos t S (η ) t < T, missä 0, jos t 1 (η) < 0, t B (η) = t 1 (η), jos 0 t 1 (η) T, T, jos T < t 1 (η) 5
7 ja 0, jos t 2 (η) < 0, t S (η) = t 2 (η), jos 0 t 2 (η) T, T, jos T < t 2 (η). Näissä kaavoissa arvot t 1 (η) ja t 2 (η) saadaan skalaarin η, 1 η 1 funktioina seuraavasti: t 1 (η) := T 1 ( ) 1 + α µ r ln, 1 βη t 2 (η) := T 1 ( ) 1 α µ r ln. 1 βη Todistus. Muotoillaan optimaalisen sijoittamisen ongelma seuraavasti: missä Minimize g(x(t ), y(t )) s.e. ẋ(t) = f 1 (t, x(t), y(t)), ẏ(t) = f 2 (t, x(t), y(t)), (x(0), y(0)) = (x 0, y 0 ), (u(t), v(t)) Ω, g(x, y) = x + y S(T ) β y S(T ), f 1 (t, x, y) = r x (1 + α) S(t) u + (1 α) S(t) v, f 2 (t, x, y) = u v, Ω = {(u, v) 0 u M, 0 v M}. Tässä tapauksessa löytyy sellaiset kontrollit u ja v, jotka minimoivat kohdefunktion arvon. Tämän on seurausta siitä, että joukko Ω on neliö ja siis selvästikin suljettu ja konveksi. Lisäksi ns. dynaamiset funktiot f 1 ja f 2 ovat muuttujien x, y, u ja v suhteen lineaarisia. Lisäksi tarvitaan, että alkupiste (x 0, y 0 on kiinnitetty ja kustannukset hetkellä t = T ovat konveksi funktio muuttujista x ja y. Myös nämä ehdot ovat selvästi voimassa. Todistus kuitenkin sivuutetaan. 6
8 Myös välttämättömien ja riittävien ehtojen selvittämiseen käytettävän maksimiperiaatteen(lauseen 2.4 yleistys) ehdot ovat voimassa, joten sitä voidaan hyödyntää. Periaatteesta seuraa, että on olemassa jatkuvat funktiot p(t) ja q(t), joilla seuraavat ehdot toteutuvat välillä 0 t T : missä (a) ṗ(t) = r p(t), (b) q(t) = 0, (c) (p(t ), q(t )) g(x (T ), y (T )), (d) H(t, x (T ), y (T ), u (T ), v (T )) = max H(t, u,v x (T ), y (T ), u, v)), H(t, x, y, u, v) = p (r x (1 + α) S(t) u + (1 α) S(t) v) + q (u v). Ehto (c) voidaan uudelleenkirjoittaa muodossa p(t ) = 1, q(t ) = S(T ) ( 1 + η β), missä +1, jos y (T ) > 0, η = 1, jos y (T ) < 0. Ehdosta (a) saadaan puolestaan helposti integroimalla, että p(t) = e r (T t). Ehdon (d) avulla puolestaan saadaan funktioille u ja v seuraavat muodot: M, jos ( 1 + α) + m(t) > 0, u = (1) 0, jos ( 1 + α) + m(t) < 0, missä M, jos ( 1 + α) m(t) > 0, v = 0, jos ( 1 + α) m(t) < 0, m(t) = q(t) p(t) S(t) = (1 η β) e(µ r) (T t). (2) 7
9 Integroimalla saadaan myös laskettua osakeindeksien määrä hetkellä T : y(t ) = y 0 + T 0 (u v )dt = y 0 + m (t B (η) (T t S (η))) = y 0 M h(η), missä h(η) := T t S (η) t B (η). Funktio h on kasvava funktio, joten tiedetään, että h( 1) < h(1). Tästä syystä jokin seuraavista kolmesta ehdosta on voimassa: (C1) (C2) (C3) y 0 > M h(1). Tällöin (u, v ) toteuttaa maksimiperiaatteen ehdot, jos ja vain, jos se toteuttaa yhtälöt (1) ja (2), kun η = 1. M h( 1) y 0 M h(1). Tällöin (u, v ) toteuttaa maksimiperiaatteen ehdot, jos ja vain, jos se toteuttaa yhtälöt (1) ja (2), jollain η [ 1, 1], jolla y 0 = h(η). y 0 < M h( 1). Tällöin (u, v ) toteuttaa maksimiperiaatteen ehdot, jos ja vain, jos se toteuttaa yhtälöt (1) ja (2), kun η = 1. Koska nyt yhtälöt (1) ja (2) toteuttava strategia u, v toteuttaa riittävät ja välttämättömät ehdot optimaalisuudelle jokaisessa tapauksessa ((C1) (C3)) ja optimaalinen strategia on myös varmasti olemassa, on strategia (u, v ) optimaalinen strategia. Koska funktio h on monotoninen, on olemassa vain yksi η [ 1, 1], joka toteuttaa jonkun seuraavista: y 0 < h( 1) ja η = 1 y 0 = h(η ) y 0 > h(1) ja η = 1. tai tai Lisäksi funktioiden u ja v arvot määrittyvät suoraan parametrin η arvosta, joten ratkaisu (u, v ) on myös yksikäsitteinen. 8
10 3.2 Bondin duraation laskeminen Yleistä duraatiosta Merkitään termiinikorkoa funktiolla f(t). Se kuvaa sitä, kuinka suuri korko on hetkellä t, jos sopimus tehdään tällä hetkellä (t = 0). Tässä tehtävässä tutkitaan bondia eli joukkovelkakirjalainaa, joka maksaa haltijalleen summan c(t i ) ajanhetkinä t i, i = 1, 2,..., N. Bondin maturiteetti t N on hetki, jolloin sopimus päättyy. Bondin arvo, eli hinta hetkellä 0, on maksujen yhteenlaskettu nykyarvo, eli maksut on diskontattu hetkeen t = 0: V (f( )) = N i=1 c(t i ) e t i 0 f(s)ds (3) Kun korkotasoon tulee vakion suuruinen muutos bondin maturiteetin ajaksi, kuvataan bondin hinnan suhteellista muutosta usein ns Macaulayn duraation avulla. Se saadaan kaavasta D M = [1/V (f( ))] ( ) d V (f( ) + r) r=0. dr Macaulayn duraation avulla saadaan approksimaatio bondin hinnan muutokselle korkotason muuttuessa: V (f( ) + r) V (f( )) (1 D M r). Kaavan (3) avulla Macaulayn duraatiolle saadaan laskukaava D M = N w i t i, (4) i=1 missä w i = N j=1 c(t i) exp{ t i 0 f(s)ds} c(t j ) exp{ t j 0 f(s)ds} (5) Macaulayn duraatiossa on se ongelma, että se olettaa pitkän ja lyhyen termiinikoron muutoksen olevan samansuuntaisia ja kokoisia. Tästä syystä siirrytään käyttämään ns. approksimoitua duraatiota. 9
11 3.2.2 Bondin duraation approksimointi Approksimoidun duraation menetelmässä bondin hintaa approksimoidaan ns. nollakuponkibondin bondin hinnalla V 0 (f( )). Nollakuponkibondi maksaa ainoastaan yhden maksun, ns. Face valuen, ja se tekee sen maturiteetin kohdalla hetkellä t = t N. Nollakuponkibondin hinta saadaan kaavasta V 0 (f( )) = c 0 e D 0 f(s)ds, (6) missä parametrit c 0, joka on face value ja D, joka on maturiteetti on valittu sopivasti. Lopulta alkuperäisen bondin duraatioksi tulee myös D. Jotta approksimaation kanssa vältyttäisiin samoilta ongelmilta kuin Macaulayn duraatiossa, pitää koron muutoksia kuvata funktioiden avulla. Otetaan mukaan kaikki sopivat funktiot, jotka pysyvät itseisarvoltaan pienempänä kuin 1: G = {g( ) : [0, ) R g( ) mitallinen ja g(t) 1 melkein kaikilla t}. Määritellään vielä annetulle funktiolle f( ) ja mielivaltaiselle funktiolle g( ) suuntaderivaatat ja DV 0 (f( ); g( )) vastaavasti. DV (f( ); g( )) := d dr V (f( ) + r g( )) r=0 On mahdotonta löytää sellaiset parametrit c 0 ja D, joilla saataisiin toteutumaan V (f( )) = V 0 (f( )) ja DV (f( ); g( )) = DV 0 (f( ); g( )) kaikilla g( ) G. Tästä syystä tyydytään etsimään parametrit, joilla minimoituu suurin ero verrattuna joukon G funktioihin. Määritelmä 3.2. D approx on bondin approksimoitu duraatio, jos jollekin parametrille c 0 pari (c 0, D approx ) minimoi lausekkeen max DV (f( ); g( )) DV 0(f( ); g( )) g( ) G yli kaikkien (c 0, D), jotka toteuttavat ehdon V (f( )) = V 0 (f( )) Seuraavana esitettävä lause kuvaa approksimoitua duraatiota käytännössä. 10
12 Lause 3.3. Olkoot w 1, w 2,..., w N määritelty kuten kaavassa (5). Oletetaan, että on olemassa kokonaisluku i 0 {1, 2,..., N}, joka toteuttaa ehdot w i < w i ja w i > w i. (7) i<i 0 i i 0 i i 0 i>i 0 Silloin approksimoitu duraatio on yksikäsitteinen ja D approx = t i0. Muulloin on olemassa kokonaisluku i 0 {1, 2,..., N 1}, joka toteuttaa ehdon w i = w i (8) i i 0 i>i 0 Tällöin approksimoitu duraatio ei ole yksikäsitteinen. Approksimoitujen duraatioiden joukon alkiot toteuttavat tällöin ehdon t i0 D approx t i0 +1. Todistus. Merkitään 1, jos s [a, b], χ [a,b] (s) = 0, muulloin, 1, jos s > 0, sign(s) = 1, jos s 0. Nyt mille tahansa ei-negatiivisille luvuille c 0 ja D, joille V (f) = V 0 (f), saadaan helposti muodostettua kaava ( N ) DV (f; g) DV 0 (f; g) = V (f) w i χ [0,ti ](s) χ [0,D] (s) g(s)ds, 0 i=1 kun g( ) G. Yhtälön oikea puoli selvästi maksimoituu joukossa g( ) G, kun ( N ) g( ) = sign w i χ [0,ti ](u) χ [0,D] (u), i=1 11
13 jolloin saadaan max DV (f( ); g( )) DV 0(f( ); g( )) = V (f) H(D), (9) g( ) G missä H(D) := 0 N w i χ [0,ti ](s) χ [0,D] (s) ds. i=1 Mille tahansa ei-negatiiviselle duraatiolle D on olemassa c 0 0, jolla V (f) = V 0 (f). Lisäksi kaavan (9) oikea puoli on riippumaton face valuesta c 0 ja V (F ) on riippumaton sekä face valuesta c 0 että duraatiosta D. Päädytään tulokseen, että D on approksimoitu duraatio, jos ja vain jos se maksimoi funktion H(D) välillä [1, ). Laskemalla saadaan, että H(D) = D 0 w i χ [0,ti ](s) 1 ds + D w i χ [0,ti ](s) ds i i = ( D 1 ) w 0 i χ [0,ti ](s) ds + w D i χ [0,ti ](s)ds i i = D D w i χ [0,ti ](s)ds + T w i χ [0,ti ](s)ds i 0 i D = D w i min(d, t i ) + w i max(t i D, 0) i i = i = i w i [D min(d, t i ) + max(t i D, 0)] w i D t i. Selvästikään D approx ei ole nolla, koska aikapisteet t i ovat positiivisia. Koska H on jatkuva, alhaalta rajoitettu ja sen raja-arvo äärettömyydessä on ääretön, se saavuttaa miniminsä joukossa [0, ). Koska H on myös konveksi eikä saavuta minimiään pisteessä D = 0, ominaisuuksien (2.3) kohdan (ii) perusteella D minimoi funktion H, jos ja vain jos 0 H(D ). (10) Nyt helposti nähdään, että H(D ) = w i w i ( 1) + w i0 [ 1, 1], jos D = i 0, jollekin i 0, i<i 0 i>i 0 H(D ) = w i w i, jos t i0 < D < t i0 +1. i<i 0 i>i 0 12
14 Jos on olemassa sellainen i 0, että ehto (7) on voimassa, seuraa optimaalisuusehdosta (10), että D = i 0. Jos taas on olemassa sellainen i 0, että ehto(8) on voimassa, pitää selvästi olla i 0 < N. Silloin optimaalisuusehto (10) on voimassa tarkalleen silloin, kun t i0 D t i0 +1, juuri niin kuin lauseessa väitetään. Kirjallisuutta [1] R. B. Vinter, H. Zheng Some Finance Problems Solved with Nonsmooth Optimization Techniques. Journal of optimization theory and applications; Vol 119, No. 1, pp 1-18, October
min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotKimppu-suodatus-menetelmä
Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotOsakesalkun optimointi
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Epäsileä optimointi Turun yliopisto Huhtikuu 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Taustatietoja 2 3 Laskumetodit 3 3.1 Optimointiongelmat........................ 4 4 Epäsileän
LisätiedotKKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Lisätiedot[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Lisätiedot1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Johdetaan lineaarisen aikavariantin systeemin ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0 yleinen ratkaisu. Tarkastellaan ensin homogeenistä yhtälöä. Lause
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
Lisätiedot= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja
44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotOptimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotLuento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja
Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.
LisätiedotJos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.
Mat-.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 1 1. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien profiilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys
LisätiedotLuento 6: Monitavoiteoptimointi
Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotGradient Sampling-Algoritmi
1/24 Gradient Sampling-Algoritmi Ville-Pekka Eronen April 20, 2016 2/24 Perusidea -"Stabiloitu nopeimman laskeutumisen menetelmä" - Laskevan suunnan haku: lasketaan gradientit nykyisessä pisteessä sekä
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle.
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 9 1. Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Tilayhtälö on x k+1 = f k (x k, u k ), k = 1,..., N 1 alkuehdolla
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotMat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotWiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia
Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedotk = 1,...,r. L(x 1 (t), x
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedot6 Variaatiolaskennan perusteet
6 Variaatiolaskennan perusteet Sivut ss. 22 26 pääosin lähteen [Kirk, Ch. 4, ss. 107 127] pohjalta Variaatiolaskenta keskittyy lokaaliin analyysiin eli funktion lokaalin minimin vastineisiin funktionaaleilla.
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
LisätiedotDiskreettiaikainen dynaaminen optimointi
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u
LisätiedotEste- ja sakkofunktiomenetelmät
Este- ja sakkofunktiomenetelmät Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Luennon kulku Este- ja sisäpistemenetelmät LP-ongelmat ja logaritminen estefunktio Polun seuranta Newtonin menetelmällä Sakkofunktiomenetelmistä
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 12 To 13.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To 13.10.2011 p. 1/38 p. 1/38 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Yhtälöissä tuntematon funktio Tavalliset
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Lisätiedot