Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
|
|
- Ville-Veikko Jokinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x) dg(x) dx dx f(x) g(x) = f'(x)g(x)dx + f(x)g'(x)dx Järjestellään yhtälöä hieman: f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - f(x)g'(x)dx
2 Osi$aisintegroin, perustuu siihen e$ä derivoin, on helpompaa kuin integroin,. Osi$aisisintegroinnin idea on määritellä funk,ot f(x) ja g(x) siten e$ä saadaan: f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - f(x)g'(x)dx Integraali joka halu$aisiin laskea (mu$a ei osata) Integraali joka osataan laskea Oleellista osi$aisintegroinnin onnistumiselle on funk,oiden valinta siten e$ä f(x)g'(x)dx osataan laskea!
3 Osi$aisintegroin,tapauksia 1. Polynomi (esim x, x 2 jne) kertaa trigonometrinen funk,o tai eksponengfunk,o. Osi$aisintegroin,a voidaan käy$ää polynomin asteen,pu$amiseen kunnes integraali osataan laskea. Saatetaan joutua osi$aisintegroimaan useammin kuin kerran Osi$aisintegroin, (kerran tai useammin) tuo$a alkuperäisen integraalin plus muita (laske$avissa tai integroitavissa olevia) termejä, alkuperäinen integraali voidaan näinollen ratkaista yhtälöstä.
4 Osi$aisintegroin,: esimerkkejä f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - f(x)g'(x)dx Esim. 1. asetetaan: f'(x) = sin x, jolloin f(x) = cos x g(x) = x, jolloin g'(x)=1 Tarkistus: x sin(x)dx x sin(x) = x cos(x) 1 cos(x)dx = x cos(x) + sin(x) + C d ( x cos(x) + sin(x) + C) = -1 cos(x) + x sin(x) + cos(x) + 0 dx = x sin(x)
5 f'(t)g(t)dt = f(t)g(t) - f(t)g'(t)dt Esim te t dt asetetaan: f'(t) = e t, jolloin f(t) = e t g(t) = t, jolloin g'(t)=1 Huom: vaikka tätä lauseke$a ei integroida, te t dt = te t e -t pitää määrätyssä dt osi$aisintegroinnissa sil, = te t e t = lim sijoi$aa integroin,rajat! 0 0 a ( a te t a e t ) 0 0 = lim a ( ae a 0e 0 e a e 0 ) = lim a ( ae a e a +1) = = 1
6 Määrä$yä integraalia ei voi tarkistaa derivoimalla (tulos on numero eikä yhtälö), mu$a tarkistetaan e$ä itse integroin,vaihe meni oikein. Äsken saa,in: te t dt = te t e t + C Tarkistetaan derivoimalla: d dx ( te t e t + C) = -1 e t te t e t + 0 = e t + te t + e t = te t Oikein meni. Kanna$aa aina tarkistaa integroin.tulos derivoimalla!
7 f'(t)g(t)dt = f(t)g(t) - f(t)g'(t)dt Esim. 3. t 2 e t dt asetetaan: f'(t) = e t, jolloin f(t) = e t g(t) = t 2, jolloin g'(t)=2t t 2 e t dt = t 2 e t -2te t dt = t 2 e t + 2 te t dt Lasketaan te t dt osi$aisintegroimalla uudestaan. asetetaan: f'(t) = e t, jolloin f(t) = e t g(t) = t, jolloin g'(t) = 1 te t dt = te t -e t dt = te t e t + C
8 Sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön, saadaan: t 2 e t dt = t 2 e t + 2 te t dt = t 2 e t 2te -t 2e t + C Tarkistetaan derivoimalla: d dx ( t2 e t 2te -t 2e t + C) = 2te t t 2 e t 2e -t 2te -t 2e t + 0 = 2te t + t 2 e t 2e -t + 2te -t + 2e t = t 2 e t Yleises, o$aen: funk,ot muotoa x n e x, x n sin(x), x n cos(x) jne voidaan integroida osi$aisintegroimalla n kertaa. (Käytännössä nämä integraalit löytyvät myös taulukkokirjoista.)
9 f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - f(x)g'(x)dx Esim. 4. sin(x)cos(x)dx asetetaan: f'(x) = sin x, jolloin f(x) = cos x g(x) = cos x, jolloin g'(x) = sin x sin(x)cos(x)dx = cos(x) cos(x) (-cos(x))(-sin(x)dx sin(x)cos(x)dx = cos 2 (x) cos(x)sin(x)dx 2 sin(x)cos(x)dx sin(x)cos(x)dx = cos 2 (x) + C = 1 2 cos2 (x) + C Älä unohda lisätä integroin,vakiota vaikka tässä ei eksplisiigses, lasketukaan auki yhtään Tarkistus: d dx ( 1 2 cos2 (x) + C) = - 1 integraalia 2cos(x) sin(x) = sin(x)cos(x) 2
10 Trigonometristen funk,oiden integraalit Äskeinen tehtävä olisi voitu ratkaista myös toisella tavalla, esim käy$ämällä muunnoskaavaa: sin(x)cos(x)dx = 1 2 2sin(x)cos(x)dx = 1 2 sin(2x)dx = 1 4 2sin(2x)dx = 1 4 cos(2x) + C'= 1 4 (2cos2 (x) -1) + C'= 1 2 cos2 (x) C' = 1 2 cos2 (x) + C Huom: kaikki vakiotermit voidaan aina "imaista" integroin3vakioon C
11 Trigonometristen funk,oiden integraalit Jos integroitavana on trigonometristen funk,oiden kaksin tai kolminkertaisia kulmia, puolikkaita kulmia tai trigonometristen funk,oiden potensseja, muunnoskaavoista voi olla apua taulukkokirja. Esim: cos 2 (x)dx = 1 (1+ cos(2x))dx 2 = 1 2 dx cos(2x)dx = 1 2 x sin(2x) + C Muunnoskaavojen käy$ö voi hieman hankaloi$aa derivoimalla tarkistamista...
12
13
14
15
16 Trigonometristen funk,oiden integraalit Huom: kaikki integraalit eivät ratkea (ainakaan helpoiten) muunnoskaavoilla, älä unohda myöskään helpompia kikkoja! Esim: cos(x)sin 3 (x)dx f'(x)f(x) 3 dx = 1 4 sin4 (x) + C
17 Sijoitusmene$ely eli mu$ujan vaihto Esim: 2 0 x(x 2 4)dx Tehdään muu$ujanvaihto: u = (x 2 4) jolloin saadaan du dx = d dx (x2 4) = 2x du = 2xdx dx = du 2x huom: tämä muoto pitää tapauskohtaisesi keksiä, ei ole mitään yleistä sääntöä miten muu$ujanvaihto kanna$aa tehdä myös integroimisrajat pitää laskea u:n suhteen: x = 0 u = 4; x = 2 u = 0
18 Seuraavaksi sijoitetaan alkuperäiseen integraaliin: (x 2 4) korvataa u:lla dx korvataan du/2x:llä x:n integroin,rajat korvataan u:n integroin,rajoilla 2 x(x 2 0 4)dx = x u du = 1 0 2x 2 udu 0 = Tässä huomagin valitun muu$ujavaihdon "kikka": alkuperäisen muu$ujan x sisältävät termit hävisivät kun u ja siten du valigin sopivas, Ylläolevan integraalin olisi toki voinut laskea muutenkin, mu$a kohta nähdään vähän vaa,vampia esimerkkejä u2 = ( ( 4)2 ) = 4
19 Muu$ujanvaihdossa 3 askelta 1. Valitaan u = u(x) 2. lasketaan du/dx, tästä saadaan lauseke jolla dx voidaan korvata du:lla 3. Lasketaan x:n integroimisrajat u:n suhteen (mikäli kyseessä on määrä$y integraali; muutoin tämä vaihe,etys, ohitetaan) Näiden jälkeen sijoitetaan alkuperäiseen integraaliin, ja lasketaan.
20 Muu$ujanvaihtoesimerkki 1. Sijoitetaan: dx e x + e x e x = u du dx = d dx ex = e x du = e x dx e x = u 1 dx = e -x du = u -1 du dx e x + e x = u 1 du u + u 1 = = arctan(u) + C du u 2 +1 Taulukkointegraali, löytyy esim. MAOL:ista = arctan(e x ) + C Huom! Lopullinen vastaus annetaan alkuperäisen muu$ujan avulla.
21 Muu$ujanvaihtoesimerkki 2. Sijoitetaan: 1 dx a 2 x 2 x = a sin(u) sin(u) = x a u = arcsin(x a ) dx du = = a cos(u) dx = a cos(u) du dx a 2 x 2 = a cos(u) a 2 a 2 sin 2 (u) du = a cos(u) a cos 2 (u) du = cos(u) cos(u) = arcsin( x a ) + C du = 1 du a cos(u) a 2 (1 sin 2 (u)) du = u + C
22 Ra,onaalifunk,on integroin, Ra,onaalifunk,o: kahden polynomin P(x) ja Q(x) osamäärä. Jos ra,onaalifunk,ossa P(x)/Q(x) osoi$ajan P(x) asteluku on suurempi tai yhtäsuuri kuin nimi$äjän Q(x), suoritetaan jakolasku. Jos osoi$ajan asteluku on pienempi kuin nimi$äjän asteluku, murtolauseke jaetaan osamurtolukuihin. Polynomien algebra on syytä olla hyvin "selkäy,messä" kun ra,onaalifunk,oita aletaan käsitellä!
23 Yksinkertaisia esimerkkejä Joskus jakolasku on hyvin helppo suori$aa. Esim. 1 x +1 dx = (1+ 1 x x ) dx = x + ln x + C Esim. 2 x 2-4 dx = x + 2 (x + 2)(x - 2) dx = (x - 2) dx x + 2 = 1 2 x2 2x + C
24 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - 3x - 3 3
25 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - 3x - 3 3
26 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - 3x - 3 3
27 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - 3x - 3 3
28 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - 3x - 3 3
29 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - 3x - 3 3
30 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - 3x - 3 3
31 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - 3x - 3 3
32 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - 3x - 3 3
33 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - 3x - 3 3
34 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - (-3x - 3) 3
35 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - (-3x - 3) 3 x2-2x x +1 = (x 3) + 3 x +1
36 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx x +1 x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - (-3x - 3) 3 x2-2x x +1 = (x 3) + 3 x +1
37 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx = ((x 3) + 3 x +1 x +1 )dx = 1 2 x2 3x + 3ln x +1 + C x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - (-3x - 3) 3
38 Jakokulman käy$ö Joskus jakolasku täytyy suori$aa jakokulmassa x 2-2x dx = ((x 3) + 3 x +1 x +1 )dx = 1 2 x2 3x + 3ln x +1 + C x - 3 x +1) x 2-2x - (x 2 + x) 0-3x - (-3x - 3) 3
39 Esim. 4: 1 x 2 dx 3x + 2 Osoi$ajan asteluku on pienempi kuin nimi$äjän asteluku: jaetaan murtolauseke osamurtolukuihin. Aloitetaan etsimällä nimi$äjän nollakohdat, joiden avulla voidaan jakaa nimi$äjä osiin. x 2 3x + 2 = 0 x = 3± x = 2 tai 1 x 2 3x + 2 = (x -1)(x - 2) Osamurtokehitelmä: Nyt pitää ratkaista A ja B. 1 x 2 3x + 2 = A (x 2) + B (x 1)
40 Aloitetaan sieventämällä. Iden,teeG voi pitää paikkansa ainoastaan jos A + B = 0 ja A 2B = 1 1 x 2 3x + 2 = A (x 2) + B (x 1) = A(x -1) (x 2)(x -1) + B(x - 2) (x 1)(x - 2) = (A + B)x + ( A 2B) x 2 3x x 2 3x + 2 A (x 2) + B (x 1) = Ax A + Bx 2B (x 1)(x - 2) Ratkaisemalla yhtälöryhmä (esim. yhteenlaskulla ensin B = 1 => B = 1, si$en sijoitus) saadaan: B = 1, A = x 2 dx = 3x + 2 (x 2) dx + 1 dx (x 1) = ln x 2 ln x -1 + C
41 Osamurtokehitelmä: yleinen tapaus Jokaista nimi$äjän nollakohtaa x = x 0 vastaa osamurtokehitelmässä termi A x x 0 Jokaista nimi$äjän n kertaista nollakohtaa x = x 0 vastavat osamurtokehitelmässä termit A n (x x 0 ) n, A n-1 (x x 0 ) n 1,..., A 1 x x 0
42 Kemiallinen esimerkki Kemiallisen reak,on 2A + B C nopeuslaki on d[ C] dt Tehtävä: C:n alkukonsentraa,o on 0, ja A:n ja B:n alkukonsentraa,ot ovat a ja b. Esitä [C] ajan funk,ona. Ratkaisu: = k[ A] 2 [ B] Merkitään: [C(t)] = x [A(t)] = a 2x [B(t)] = b x [ ] dt Saadaan: d C = dx dt = k(a - 2x)2 (b x)
43 Ryhmitellään muu$ujan x sisältävät termit samalle puolelle kuin dx, ja integroidaan: dx dt = k(a - 2x)2 (b x) dx (a - 2x) 2 (b x) = kdt dx (a - 2x) 2 = kdt = kt + C (b x) Vasemman puolen integraalin laskeminen edelly$ää osamurtoluku kehitelmää. Nimi$äjä on valmiiksi jae$una juuriinsa, eli saadaan: 1 (a - 2x) 2 (b x) = A 2 (a - 2x) 2 + A 1 (a - 2x) + B (b - x)
44 Sievennetään, ryhmitellään ja muodostetaan yhtälöryhmä: A 2 (a - 2x) 2 + A 1 (a - 2x) + B (b - x) = A 2 (b - x) (a - 2x) 2 (b x) + A 1 (a - 2x)(b - x) (a - 2x) 2 (b x) + B(a - 2x)(a - 2x) (a - 2x) 2 (b x) = ba 2 - xa 2 + 2x2 A 1 - axa 1-2bxA 1 + aba 1 + 4x 2 B 4axB+ a 2 B (a - 2x) 2 (b x) = x 2 (2A 1 + 4B) x(a 2 + aa 1 + 2bA 1 + 4aB) + (ba 2 + aba 1 + a 2 B) (a - 2x) 2 (b x) Koska alkuperäisen lausekkeen osoi$ajassa oli vain "1", täytyy sekä x 2 e$ä x termin kadota. Saadaan kolme yhtälöä:
45 = x 2 (2A 1 + 4B) x(a 2 + aa 1 + 2bA 1 + 4aB) + (ba 2 + aba 1 + a 2 B) (a - 2x) 2 (b x) 1 (a - 2x) 2 (b x) 2A 1 + 4B = 0 (1) A 2 + aa 1 + 2bA 1 + 4aB = 0 (2) ba 2 + aba 1 + a 2 B =1 (3) Ratkaistaan esim. sijoi$amalla. Yhtälöstä (1) saadaan A 1 = 2B Sijoitetaan tämä yhtälöön 2, saadaan A 2 + ( 2a - 4b + 4a)B = 0 A 2 = (4b 2a)B
46 Sijoitetaan molemmat nämä tulokset yhtälöön 3, saadaan: b(4b - 2a)B + ab(-2b) + a 2 B =1 (4b 2-2ab - 2ab + a 2 )B =1 (a 2-4ab - 4b 2 )B =1 B = 1 (a 2-4ab - 4b 2 ) = 1 (a 2b) 2 Käy$äen aiempaa tulosta A 1 = 2B saadaan edelleen 2 A 1 = (a 2b) 2 Ja käy$äen tulosta A 2 = (4b 2a)B saadaan (4b - 2a) 2(a 2b) A 2 = = 2 (a 2b) (a 2b) 2 = -2 (a 2b)
47 Nyt voidaan ratkaista alkuperäinen integraali: = = = dx (a - 2x) 2 (b x) A 2 (a - 2x) 2 dx + A 1 (a - 2x) dx + A 2 2(a 2x) A (a 2x)(a - 2b) B (b - x) dx ln(a 2x) Bln(b x) Integroimisvakion arvo saadaan esimerkiksi ase$amalla x=0 kun t=0 (oltaisiin myös voitu integroida x arvosta 0 arvoon x, ja t arvosta 0 arvoon t), jolloin saadaan: 1 C = (a 2-2ab) + ln(a) (a - 2b) 2 ln(b) (a - 2b) 2 ln(a 2x) ln(b x) + 2 (a - 2b) (a - 2b) 2 = kt + C Itseisarvomerkkejä ei tarvita koska stoikiometriasta johtuen pätee aina x < 0.5a ja x < b
48 Muu$ujan x = [C(t)] ratkaiseminen t:n funk,ona edellä annetusta yhtälöstä olisi hyvin hankalaa, mu$a jos,edetään a, b ja k niin voidaan helpos, laskea x(t), t pareja ja piirtää kuvaaja,etokoneella. Tässä esimerkiksi [C] vs kt kuvaaja arvoilla a=3, b=1
49 [C] vs kt kuvaaja arvoilla a=1, b=1 [C] vs kt kuvaaja arvoilla a=10, b=1 Huomaa e$ä lausekkeen arvoa ei voida laskea jos a on tarkalleen yhtä suuri 2b. Käytännössä voidaan kyllä valita arvoja jotka ovat mielivaltaisen lähellä tätä suhde$a, ja saadan sil, järkeviä tuloksia, esim a= ja b= tuo$aa tämän kuvaajan:
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
LisätiedotOsi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)
/9/ Osi*aisintegroin Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x) g(x)
LisätiedotOsi+aisintegroin3. Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö:
9//3 Osi+aisintegroin3 Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) = df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x)
LisätiedotLisä,etopake3 2: ra,onaalifunk,on integroin,
9/20/ Lisä,etopake 2: ra,onaalifunk,on integroin, Ra,onaalifunk,o: kahden polynomin P(x) ja Q(x) osamäärä. Esim. x 2 x + 2 tai x5 +6x x- Ra,onaalifunk,o voidaan aina integroida, ja tähän löytyy kajava
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotMuuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali
Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Lisätiedot4. Integraalilaskenta
4. Integraalilaskenta Johda3eleva esimerkki: kun hiukkasen paikka s(t) derivoidaan ajan suhteen, saadaan hiukkasen nopeus: v(t) = s'(t) Kun nopeus derivoidaan ajan suhteen saadaan kiihtyvyys a(t) = v'(t)
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot4. Integraalilaskenta
4. Integraalilaskenta Johda3eleva esimerkki: kun hiukkasen paikka s(t) derivoidaan ajan suhteen, saadaan hiukkasen nopeus: v(t) = s'(t) Kun nopeus derivoidaan ajan suhteen saadaan kiihtyvyys a(t) = v'(t)
Lisätiedot3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A > B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotMapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
Lisätiedot3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
Lisätiedot3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali
50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
LisätiedotF {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:
BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
Lisätiedot3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotMAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotMatematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMuista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:
Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotRautaisannos. Simo K. Kivelä 30.8.2011
Yhteenlasku Rautaisannos 30.8.011 Yhteenlasku sin x + cos x Yhteenlasku sin x + cos x = 1 sin x + cos x = 1 x R Yhteenlasku sin x + cos x = 1 x C Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty
Lisätiedot6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI
MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotFunktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMatematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen
Matematiikan pohjatietokurssi Eija Jurvanen 03 Sisältö Polynomit................................... 4 Jakokulman käyttö luvuilla ja polynomeilla................. 5. Kokonaislukujen jakolasku......................
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedotdy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).
Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
Lisätiedotintegraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali
integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
Lisätiedot4 Integrointimenetelmiä
4 Integrointimenetelmiä 4. Määräämätön integraali Määritelmä 4.. Olkoon funktio f jatkuva välillä I. Tällöin funktion f integraalifunktioiden (välillä I) joukkoa sanotaan funktion f määräämättömäksi integraaliksi
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
LisätiedotLuvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara
Luvun π irrationaalisuus Ilari Vallivaara 27. marraskuuta 24 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Todistuksen pääpiirteinen kulku 3 3 Todistus 4 Lähdeluettelo 9 1 1 Esipuhe Luvun π irrationaalisuus seuraa suoraan sen
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotViivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta
Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta Otetaan funk6o f(x,y), joka riippuu muu@ujista x ja y. Jokaiselle x,y tason pisteellä funk6olla on siis joku arvo. Tyypillisiä fysikaalis- kemiallisia esimerkkejä
LisätiedotAlgebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Lisätiedot2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotVI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedot