Osi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)

Transkriptio

1 /9/ Osi*aisintegroin Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x) g(x) f'(x)g(x) + f(x)g'(x) Järjestellään yhtälöä hieman: f'(x)g(x)f(x)g(x) f(x)g'(x) Osi*aisintegroin perustuu siihen e*ä derivoin on helpompaa kuin integroin. Osi*aisintegroinnin idea on määritellä funkot f(x) ja g(x) siten e*ä saadaan: f'(x)g(x)f(x)g(x) Integraali, joka halu*aisiin laskea (mu*a ei osata) f(x)g'(x) Oleellista osi*aisintegroinnin onnistumiselle on funkoiden valinta siten, e*ä f(x)g'(x) osataan laskea! Integraali, joka osataan laskea Osi*aisintegrointapauksia. Polynomi (esim x, x jne.) kertaa trigonometrinen funko tai eksponenjfunko. Osi*aisintegroina voidaan käy*ää polynomin asteen pu*amiseen, kunnes integraali osataan laskea. Saatetaan joutua osi*aisintegroimaan useammin kuin kerran.... Osi*aisintegroin (kerran tai useammin) tuo*aa alkuperäisen integraalin plus muita (laske*avissa tai integroitavissa olevia) termejä, alkuperäinen integraali voidaan näin ollen ratkaista yhtälöstä. Osi*aisintegroin: esimerkkejä Esim.. x sin(x) asetetaan: f'(x) sin x, jolloin f(x) cos x g(x) x, jolloin g'(x) x sin(x) x cos(x) cos(x) x cos(x) + sin(x) + C Tarkistus: f'(x)g(x) f(x)g(x) - f(x)g'(x) d ( x cos(x) + sin(x) + C) - cos(x) + x sin(x) + cos(x) + x sin(x)

2 /9/ f'(t)g(t)dt f(t)g(t) - f(t)g'(t)dt Esim.. te t dt asetetaan: f'(t) e t, jolloin f(t) e t g(t) t, jolloin g'(t) Huom: vaikka tätä lauseke*a ei integroida, te t pitää määrätyssä dt te t e t dt osi*aisintegroinnissa sil sijoi*aa integroinrajat! te t e t lim a ( a te t a e t ) lim a ( ae a e e a e ) lim a ( ae a e a +)++ Määrä*yä integraalia ei voi tarkistaa derivoimalla (tulos on numero eikä yhtälö), mu*a tarkistetaan e*ä itse integroinvaihe meni oikein. Äsken saain: te t dt te t e t + C Tarkistetaan derivoimalla: d ( te t e t + C) - e t te t e t + e t + te t + e t te t Oikein meni. Kanna$aa aina tarkistaa integroin.tulos derivoimalla! f'(t)g(t)dtf(t)g(t) f(t)g'(t)dt Esim.. t e t dt asetetaan: f'(t) e t, jolloin f(t) e t g(t) t, jolloin g'(t)t t e t dt t e t -te t dt t e t + te t dt Lasketaan te t dt osi*aisintegroimalla uudestaan. asetetaan: f'(t) e t, jolloin f(t) e t g(t) t, jolloin g'(t) te t dt te t e t dt te t e t + C Sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön, saadaan: t e t dt t e t + te t dt t e t te t e t + C Tarkistetaan derivoimalla: d ( t e t te t e t + C) te t t e t e t te t e t + te t + t e t e t + te t + e t t e t Yleises o*aen: funkot muotoa x n e x, x n sin(x), x n cos(x) jne voidaan integroida osi$aisintegroimalla n kertaa. (Käytännössä nämä integraalit löytyvät myös taulukkokirjoista.)

3 /9/ f'(t)g(t)dtf(t)g(t) f(t)g'(t)dt Esim. 4. sin(x)cos(x) asetetaan: f'(x) sin x, jolloin f(x) cos x g(x) cos x, jolloin g'(x) sin x Trigonometristen funkoiden integraalit Äskeinen tehtävä olisi voitu ratkaista myös toisella tavalla, esim käy*ämällä muunnoskaavaa: sin(x)cos(x) sin(x)cos(x) sin(x)cos(x) cos(x) cos(x) (-cos(x))( sin(x) sin(x)cos(x) cos (x) cos(x)sin(x) sin(x)cos(x) cos (x)+c Ä l ä u n o h d a l i s ä t ä integroinvakiota, vaikka sin(x)cos(x) cos (x)+c tässä ei eksplisiijses laske*ukaan auki yhtään Tarkistus: integraalia d ( cos (x) + C) - cos(x) sin(x) sin(x)cos(x) sin(x) 4 sin(x) cos(x) + C (cos (x) )+C cos (x)+ +C cos (x)+c Huom: kaikki vakiotermit voidaan aina "imaista" integroinvakioon C Trigonometristen funkoiden integraalit Jos integroitavana on trigonometristen funkoiden kaksin- tai kolminkertaisia kulmia, puolikkaita kulmia tai trigonometristen funkoiden potensseja, muunnoskaavoista voi olla apua è taulukkokirja. Esim: cos (x) ( + cos(x)) + cos(x) 4 x + sin(x) + C 4 Muunnoskaavojen käy*ö voi hieman hankaloi*aa derivoimalla tarkistamista...

4 /9/ Trigonometristen funkoiden integraalit Huom: kaikki integraalit eivät ratkea (ainakaan helpoiten) muunnoskaavoilla, älä unohda myöskään helpompia kikkoja! Esim: cos(x)sin (x) sin 4 (x) + C 4 f' (x)f(x) 4

5 /9/ Sijoitusmene*ely eli mu*ujan vaihto Esim: x(x 4) Tehdään muu*ujanvaihto: u (x 4) jolloin saadaan du d (x 4) x huom: tämä muoto pitää tapauskohtaisesi keksiä, ei ole mitään yleistä sääntöä miten muu*ujanvaihto kanna*aa tehdä du x du x myös integroimisrajat pitää laskea u:n suhteen: x è u 4; x è u Seuraavaksi sijoitetaan alkuperäiseen integraaliin: (x 4) korvataa u:lla korvataan du/x:llä x:n integroinrajat korvataan u:n integroinrajoilla x(x du 4) x u 4 x udu u ( 4 4 ( 4) ) 4 Tässä huomajin valitun muu*ujavaihdon "kikka": alkuperäisen muu*ujan x sisältävät termit hävisivät, kun u ja siten du valijin sopivas Ylläolevan integraalin olisi toki voinut laskea muutenkin, mu*a kohta nähdään vähän vaavampia esimerkkejä Muu*ujanvaihdossa askelta Muu*ujanvaihtoesimerkki. Sijoitetaan: e x + e x. Valitaan u u(x). lasketaan du/, tästä saadaan lauseke, jolla voidaan korvata du:lla. Lasketaan x:n integroimisrajat u:n suhteen (mikäli kyseessä on määrä*y integraali; muutoin tämä vaihe etys ohitetaan) Näiden jälkeen sijoitetaan alkuperäiseen integraaliin, ja lasketaan. e x u du d ex e x du e x e x u e x duu du e x + e u du x u + u arctan(u)+ C arctan(e x )+ C du u + Taulukkointegraali, löytyy esim. MAOL:ista Huom! Lopullinen vastaus annetaan alkuperäisen muu*ujan avulla. 5

6 /9/ Muu*ujanvaihtoesimerkki. Sijoitetaan: a x Raonaalifunkon integroin x a sin(u) sin(u) x a u arcsin(x a ) a cos(u) a cos(u) du du a x a cos(u) a a sin (u) du a cos(u) a ( sin (u)) du a cos(u) a cos (u) du cos(u) du du cos(u) u + C Raonaalifunko: kahden polynomin P(x) ja Q(x) osamäärä. Jos raonaalifunkossa P(x)/Q(x) osoi*ajan P(x) asteluku on suurempi tai yhtäsuuri kuin nimi*äjän Q(x), suoritetaan jakolasku. Jos osoi*ajan asteluku on pienempi kuin nimi*äjän asteluku, murtolauseke jaetaan osamurtolukuihin. Polynomien algebra on syytä olla hyvin "selkäymessä" kun raonaalifunkoita aletaan käsitellä! arcsin( x a ) + C Yksinkertaisia esimerkkejä Joskus jakolasku on hyvin helppo suori*aa. Esim. Esim. x + (+ x x ) x + ln x + C x - 4 x + x x + C (x + )(x - ) (x - ) x + x x x+ x - x+ x -x -(x +x) - x -x - 6

7 /9/ x x x+ x x+ x x -(x +x) - x -x - x x x+ x x+ x x -(x +x) - x -x - x x x+ x x+ x x -(x +x) - x -x - x x x+ x x+ x x (x +x) x -x - 7

8 /9/ x x x+ x x+ x x (x +x) x -x - x x x+ x x+ x x (x +x) x -x - x x x+ x x+ x x (x +x) x x x x x+ x x+ x x (x +x) x x 8

9 /9/ x x x+ x x+ x x (x +x) x x x x x+ x x+ x x (x +x) x ( x ) x x x+ x x x+ x x+ x x x x+ x x (x +x) x ( x ) x x (x )+ x+ x + (x +x) x ( x ) x x (x )+ x+ x + 9

10 /9/ x -x ((x )+ x+ x + ) x x + ln x + + C x x+ x x (x +x) x ( x ) x -x ((x )+ x+ x + ) x x + ln x + + C x x+ x x (x +x) x ( x ) Esim. 4: x x + Osoi*ajan asteluku on pienempi kuin nimi*äjän asteluku: jaetaan murtolauseke osamurtolukuihin. Aloitetaan etsimällä nimi*äjän nollakohdat, joiden avulla voidaan jakaa nimi*äjä osiin. x x + x ± 4 x tai x x + (x )(x ) Osamurtokehitelmä: x x + A (x ) + B (x ) Nyt pitää ratkaista A ja B. Aloitetaan sieventämällä. x x + A (x ) + B (x ) A (x ) + B (x ) A(x ) (x )(x ) + B(x ) Ax A + Bx B (x )(x ) (x )(x ) (A+B)x+( A B) x x + x x + IdenteeJ voi pitää paikkansa ainoastaan jos A + B ja A B Ratkaisemalla yhtälöryhmä (esim. yhteenlaskulla ensin B B, si*en sijoitus) saadaan: B, A. x x + ln x ln x + C (x ) + (x )

11 /9/ Osamurtokehitelmä: yleinen tapaus Jokaista nimi*äjän nollakohtaa x x vastaa osamurtokehitelmässä termi A x x Jokaista nimi*äjän n- kertaista nollakohtaa x x vastavat osamurtokehitelmässä termit A n (x x ) n, A n- (x x ) n,..., A x x Kemiallinen esimerkki Kemiallisen reakon A + B C nopeuslaki on d[ C] k[ A] [ B] dt Tehtävä: C:n alkukonsentraao on, ja A:n ja B:n alkukonsentraaot ovat a ja b. Esitä [C] ajan funkona. Ratkaisu: Merkitään: [C(t)] x [A(t)] a x [B(t)] b x Saadaan: [ ] dt d C dt k(a x) (b x) Ryhmitellään muu*ujan x sisältävät termit samalle puolelle kuin, ja integroidaan: dt k(a x) (b x) (a x) (b x) kdt k dt kt + C (a x) (b x) Vasemman puolen integraalin laskeminen edelly*ää osamurtoluku- kehitelmää. Nimi*äjä on valmiiksi jae*una juuriinsa, eli saadaan: (a x) (b x) A (a x) + A (a x) + B (b x) Sievennetään, ryhmitellään ja muodostetaan yhtälöryhmä: A (a x) + A (a x) + B (b x) A (b x) (a x) (b x) + A (a x)(b x) B(a x)(a x) + (a x) (b x) (a x) (b x) ba xa +x A axa bxa +aba + 4x B 4axB+ a B (a x) (b x) x (A + 4B) x(a + aa + ba + 4aB)+(bA +aba +a B) (a x) (b x) Koska alkuperäisen lausekkeen osoi*ajassa oli vain "", täytyy sekä x - e*ä x- termin kadota. Saadaan kolme yhtälöä:

12 /9/ x (A + 4B) x(a + aa + ba + 4aB)+(bA +aba +a B) (a x) (b x) (a x) (b x) A + 4B () A + aa + ba + 4aB () ba +aba +a B () Ratkaistaan esim. sijoi*amalla. Yhtälöstä () saadaan A B Sijoitetaan tämä yhtälöön, saadaan A + ( a 4b+4a)B A (4b a)b Sijoitetaan molemmat nämä tulokset yhtälöön, saadaan: b(4b a)b+ab( B)+a B (4b ab ab+a )B (a 4ab+4b )B B (a 4ab+4b ) (a b) Käy*äen aiempaa tulosta A B saadaan edelleen A (a b) Ja käy*äen tulosta A (4b a)b saadaan (4b a) (a b) A (a b) (a b) (a b) Nyt voidaan ratkaista alkuperäinen integraali: (a x) (b x) A (a x) + A (a x) + Itseisarvomerkkejä ei tarvita koska B stoikiometriasta johtuen (b x) pätee aina x <.5a ja x < b Muu*ujan x [C(t)] ratkaiseminen t:n funkona edellä annetusta yhtälöstä olisi hyvin hankalaa, mu*a jos edetään a, b ja k niin voidaan helpos laskea x(t), t pareja ja piirtää kuvaaja etokoneella. Tässä esimerkiksi [C] vs kt kuvaaja arvoilla a, b A (a x) A ln(a x) Bln(b x) ln(a x) ln(b x) + (a x)(a b) (a b) (a b) kt + C Integroimisvakion arvo saadaan esimerkiksi ase*amalla x kun t (oltaisiin myös voitu integroida x arvosta arvoon x, ja t arvosta arvoon t), jolloin saadaan: C (a ab) + ln(a) (a b) ln(b) (a b)

13 /9/ [C] vs kt kuvaaja arvoilla a, b [C] vs kt kuvaaja arvoilla a, b Huomaa, e*ä lausekkeen arvoa ei voida laskea, jos a on tarkalleen yhtä suuri b. Käytännössä voidaan kyllä valita arvoja, jotka ovat mielivaltaisen lähellä tätä suhde*a, ja saadaan sil järkeviä tuloksia, esim a, ja b,99999 tuo*aa tämän kuvaajan: