4. Selitä sanoin ja kuvin miten n- ja p-tyypin puolijohteiden välinen liitos toimii tasasuuntaajana?

Transkriptio

1 Tentti a) Selitä Braggin laki röntgensäteiden heijastukselle kiteistä. b) Tutki onko tasoissa (00), (0) ja () sammuneita heijastuksia tilakeskeisessä kuutiollisessa rakenteessa. Toista sama pintakeskeisessä kuutiollisessa rakenteessa. 2. Tarkastellaan yksiulotteista hyvin syvää potentiaalikuoppaa, jonka leveys on. a) Ratkaise Schrödingerin yhtälöstä kaksi alinta energiatilaa. b) Potentiaalikuopassa on kaksi elektronia, joiden välistä vuorovaikutusta ei oteta huomioon. Perustele että näiden perustila ei ole magneettinen, ts. magneettinen momentti alimman energian tilassa häviää. Kuinka paljon korkeammalla energiassa on alin magnetoitunut tila?. a) Hahmottele Fermi-jakauma eri lämpötiloissa. b) aske metallin Fermi-energia kun johtavuuselektronien tiheys on n e = 0 28 m. c) Selitä yksinkertaisesti miksi johtavuuselektroneista aiheutuva ominaislämpö (tilavuutta kohti) on matalissa lämpötiloissa pieni arvoon k B n e verrattuna. Mitä tässä yhteydessä tarkoitetaan matalalla lämpötilalla? 4. Selitä sanoin ja kuvin miten n- ja p-tyypin puolijohteiden välinen liitos toimii tasasuuntaajana? 5. Tutkitaan natriumatomeja eristävässä materiaalissa. Natriumin uloimman kuoren elektronilla on spin S z = ± 2 johon liittyy magneettikentässä B energia ±µ B B, missä µ B = e h/2m = J/T. Millä todennäköisyydellä elektronien S z = + 2, kun materia on tasapainotilassa lämpötilassa T? aske magneettisen energian odotusarvo E. Miten voit lausua E :n likimääräisessä mutta yksinkertaisemmassa muodossa kun B:n ja T :n suuruusluokat ovat 0 mt ja 29 K? Apukaavoja f(e) = e (E µ)/k BT +, () g(e) = dn 2m de = π 2 h E. (2)

2 Structure of matter I 76A Examination a) A substance is studied by electron diffraction. What is the minimum value of the electron energy so that a diffraction peak is obtained from the crystal, whose lattice constant is 0.2 nm? b) In order to the electrons to penetrate properly to the sample, the energy of 00 kev is used. What is the angle of the lowest order reflection? 2. The following equation was derived for lattice vibrations M d2 ξ n dt 2 = β(ξ n+ 2ξ n + ξ n ), () Explain the quantities appearing in this formula. Solve the equation with the ansatz ξ n (t) =Ae i(kna ωt) (2) and describe the resulting dispersion relation.. et us consider one-dimensional very deep potential well whose width is. a) Solve the Schrödinger equation to find the two lowest energy levels. b) There are two electrons in the potential well, whose interaction with each other is not taken into account. Justify that their ground state is nonmagnetic, i.e. the magnetic moment in the state of lowest energy vanishes. How much more energy is needed to achieve the lowest magnetic state? 4. Describe how the energy band structure of materials can explain the electronic conduction in insulators, metals and semiconductors. 5. a) Sketch the Fermi-distribution at different temperatures. b) Calculate the Fermi energy when the conduction electron density is n e =0 28 m. c) Explain why the specific heat (per volume) at low temperatures coming from conduction electrons is small compared to the value k B n e. What does low temperature mean here? Some help equations 2a sin θ = nλ, n =, 2,,... () f(e) = e (E µ)/(k BT ) +, (4) g(e) = dn 2m de = π 2 h E. (5)

3 Tentti Natriumkloridi muodostaa kuutiollisen kiteen, jonka sidosenergialle käytettiin lauseketta E p = Ne2 α 4πɛ 0 R + Ne2 β 4πɛ 0 R 9, () missä β on vakio ja α = (2) Perustele mistä nämä lausekkeet tulevat, ja mikä on sarjan (2) seuraava termi? Miten päättelet R:n arvon? 2. F-keskus on ionikiteessä oleva puuttuva negatiivinen ioni, jonka tilalla on elektroni. KCl-kiteessä havaitaan tästä johtuen absorptiopiikki energialla 2.2 ev. Mallitetaan tämä siirtymäksi kahden alimman energiatilan välillä äärettömän syvässä -ulotteisessa kuoppapotentiaalissa. Mikä on tällöin kuopan leveys?. Elektronien tilatiheydelle johdettiin lauseke g(e) = dn 2m de = π 2 h E. () Johda tästä lauseke Fermi-energia ɛ F riippuvuudelle johtavuuselektronien tiheydestä n e. 4. Selitä sanoin ja kuvin miten kiteessä oleva jaksollinen potentiaali vaikuttaa elektronien energian riippuvuuteen aaltoluvusta k. Perustele millä k:n arvolla poikkeama vapaan elektronin relaatiosta E = h 2 k 2 /2m on merkittävin. 5. Tutkitaan natriumatomeja eristävässä materiaalissa. Natriumin uloimman kuoren elektronilla on spin S z = ± 2 johon liittyy magneettikentässä B energia ±µ B B, missä µ B = e h/2m = J/T. Millä todennäköisyydellä elektronien S z = + 2, kun materia on tasapainotilassa lämpötilassa T? aske magneettisen energian odotusarvo E. Miten voit lausua E :n likimääräisessä mutta yksinkertaisemmassa muodossa kun B:n ja T :n suuruusluokat ovat 0 mt ja 29 K?

4 Tentti Selitä seuraavat (a) Bravais-hila (b) Molekyylisuihkuepitaksia (molecular beam epitaxy, MBE) (c) Josephsonin ilmiö 2. Natriumkloridi muodostaa kuutiollisen kiteen, jonka sidosenergialle käytettiin lauseketta E p = Ne2 α 4πɛ 0 R + Ne2 β 4πɛ 0 R 9, () missä β on vakio ja α = (2) Perustele mistä nämä lausekkeet tulevat, ja mikä on sarjan (2) seuraava termi? Miten päättelet R:n arvon?. Hilavärähtelyille johdettiin yhtälö M d2 ξ n dt 2 = β(ξ n+ 2ξ n + ξ n ), () Selitä yhtälössä esiintyvät suureet. Ratkaise yhtälö yritteellä ja kuvaile saatava dispersiorelaatio. 4. Osoita että aaltofunktio ξ n (t) = Ae i(kna ωt) (4) ψ(x, y, z) = A sin n πx sin n 2πy sin n πz toteuttaa Schödingerin yhtälön ja häviää laatikon 0 < x <, 0 < y < ja 0 < z < pinnoilla. Mikä on tilan energia? 5. (a) Mitä tarkoitetaan elektronin efektiivisellä massalla? Missä tapauksessa se voi olla negatiivinen? (b) Miksi täydet energiakaistat eivät johda sähköä? (c) Hahmottele elektronien jakauma sähköä johtavassa tilassa ja perustele se. Apuna voit käyttää kaavaa ( h2 2 ) ψ 2m x ψ y ψ z 2 + V (x, y, z)ψ = Eψ. (6) (5)

5 Tentti Explain the following (a) Bravais lattice (b) molecular beam epitaxy (MBE, Molekyylisuihkuepitaksia) (c) Josephson effect 2. Sodium chloride forms a cubic lattice, and we used the following expression for its binding energy where β is a constant and E p = Ne2 α 4πɛ 0 R + Ne2 β 4πɛ 0 R 9, () α = (2) Justify these expressions, and what is the next term in the series (2)? How do you deduce the value of R?. For lattice vibrations we derived the equation M d2 ξ n dt 2 = β(ξ n+ 2ξ n + ξ n ), () Explain the quantities appearing in this equation. Solve the equation with the ansatz ξ n (t) = Ae i(kna ωt) (4) and describe the resulting dispersion relation. 4. Show that the wave function ψ(x, y, z) = A sin n πx sin n 2πy sin n πz (5) satisfies the Schrödinger equation and vanishes at the surfaces of the box 0 < x <, 0 < y < and 0 < z <. What is the energy of that state. 5. (a) What one means by the effective mass of an electron? Under what cases it can be negative? (b) Why do not full electron bands conduct electric current? (c) Sketch the distribution of electrons in a conducting state and justify it. You may use the following formula ( h2 2 ) ψ 2m x ψ y ψ z 2 + V (x, y, z)ψ = Eψ. (6) Fill in the course response form!

6 Tentti (a) uennoilla esitettiin taulukko Z ɛ F (ev) T F (0 4 K) Na Fe 2..0 Al.7.6 Pb Kerro mitä taulukossa esiintyvät suureet kuvaavat, ja miten ne saadaan lasekettua (b) Toinen luennoilla esitetty taulukko E g (ev) C (timantti) 5.4 Si.7 Ge Kerro mitkä taulukossa esiintyvä suure kuvaa. Miksi tässä taulukossa ei esiinny alumiinia? (c) Kolmas luennoilla esitetty taulukko materiaali T c (K) µ 0 H c (T = 0) (mt) Al Hg In Pb Nb 9.25 Nb Ge 2 MgB 2 9 YBa 2 Cu 0 6+x 98 Tl 2 Ca 2 Ba 2 Cu Kerro mitkä taulukossa esiintyvät suureet kuvaavat. 2. a) Selitä Braggin laki röntgensäteiden heijastukselle kiteistä. b) Tutki onko tasoissa (00), (0) ja () sammuneita heijastuksia pintakeskeisessä kuutiollisessa rakenteessa.. Yksinkertaisin kuvaus hilavärähtelyille on ns. Einsteinin malli, jossa esiintyy vain yksi värähtelytaajuus ω. Kvanttimekaanisella laskulla saadaan tällöin kiteen energiaksi (β = k B T, N on atomien lukumäärä) E = N( hω 2 + hω e β hω ). () aske ominaislämpö. Kuvaile graafisesti sen riippuvuus lämpötilasta. Missä lämpötila-alueessa ominaislämpö poikkeaa olennaisesti klassisen mekaniikan mukaisesta tuloksesta? 4. Selitä sanoin ja kuvin miten kiteessä oleva jaksollinen potentiaali vaikuttaa elektronien energian riippuvuuteen aaltoluvusta k. Perustele millä k:n arvolla poikkeama vapaan elektronin relaatiosta E = h 2 k 2 /2m on merkittävin.

7 5. F-keskus on ionikiteessä oleva puuttuva negatiivinen ioni, jonka tilalla on elektroni. KCl-kiteessä havaitaan tästä johtuen absorptiopiikki energialla 2.2 ev. Mallitetaan tämä siirtymäksi kahden alimman energiatilan välillä äärettömän syvässä -ulotteisessa kuoppapotentiaalissa. Mikä on tällöin kuopan leveys? Mahdollisesti hyödyllisiä kaavoja ɛ F = h2 ( π 2 ) 2/ n e. (2) 2m 2

8 Tentti (a) Selitä kaksi eri tiiveimmän pakkauksen hilarakennetta, ja miten ne eroavat toisistaan. (b) Miten voidaan ymmärtää sellaisten rakenteiden kuten timanttirakenteen ja natriumkloridirakenteen esiintyminen, jotka eivät ole edellä kuvattuja tiiveimpiä pakkauksia? 2. (a) Kerro sanallisesti Fermi-energiasta: mistä syystä se on ja mitä se kuvaa. Miksi määritellään myös Fermi-lämpötila? (b) aske Fermi-energia alumiinille (kiderakenne pkk, hilavakio nm, Z = ).. (a) Blochin teoreeman lopputulos voidaan ilmaista matemaattisesti ψ(x) = e ikx u(x), u(x + a) = u(x). () Kerro sanallisesti mitä Blochin teoreema väittää. (b) Osoita että tiukan sidoksen approksimaatio ψ(x) = n e ikna φ(x na). (2) toteuttaa Blochin teoreeman. 4. Selitä sanoin ja kuvin miten kiteessä oleva jaksollinen potentiaali vaikuttaa elektronien energian riippuvuuteen aaltoluvusta k. Perustele millä k:n arvolla poikkeama vapaan elektronin relaatiosta E = h 2 k 2 /2m on merkittävin. 5. Tarkastellaan yksiulotteista hyvin syvää potentiaalikuoppaa, jonka leveys on. a) Ratkaise Schrödingerin yhtälöstä kaksi alinta energiatilaa. b) Potentiaalikuopassa on kaksi elektronia, joiden välistä vuorovaikutusta ei oteta huomioon. Perustele että näiden perustila ei ole magneettinen, ts. magneettinen momentti alimman energian tilassa häviää. Kuinka paljon korkeammalla energiassa on alin magnetoitunut tila? Apuna voit käyttää kaavoja ɛ F = p2 F 2m, p F = hk F, v F = p F m, k F = (π 2 n e ) /, T F = ɛ F k B () h2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + V (x)ψ(x) = Eψ(x).