2. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT

Transkriptio

1 763S Sähkömagneettinen säteily. SÄKÖMAGNS AALLO Seuaavaksi osoitetaan, että Mawellin yhtälöt ennustavat sähkömagneettisten aaltojen olemassaolon ja takastellaan niiden ominaisuuksia. Aaltojen olemassaolo tulee mahdolliseksi vasta kun siitymävitatemi lisätään Ampèen lakiin. Sähkömagneettisissa aalloissa vaihtelut sähkö- ja magneettikentät uokkivat toinen toistaan yhtälöiden (.3-.4) mukaisesti.. Sähkömagneettiset aallot vapaassa tilassa akastellaan ensin sähkö- ja megneettikenttiä tyhjössä ( ), missä ρ f, j f, jolloin D ja / B. Keataan tähän vielä Mawellin yhtälöt tyhjössä: (.) B (.) B (.3) B (.4) Ottamalla yhtälöstä (.4) puolittain oottoi saadaan ( B ) ( ) joka voidaan yhtälön (.3) avulla kijoittaa muotoon ( B ) B Koska ( B) ( B) - B ja (.3):n mukaan B, on ( B) - B ja saadaan B B (.5) Vastaavasti, ottamalla (.3):stä puolittain oottoi ja eliminoimalla B yhtälön (.4) avulla saadaan sähkökentälle (.6)

2 763S Sähkömagneettinen säteily 3 Siis kaikkialla avauudessa, missä ρ f ja j f, magneetti- ja sähkökenttä toteuttavat muotoa (.5) ja (.6) olevan yhtälön, jota sanotaan aaltoyhtälöksi. Aaltoyhtälöllä on suui joukko ei tyyppisiä aaltomuotoisia atkaisuja. akastellaan seuaavassa yksinketaista esimekkiä. Yhtälön (.6) -komponentti on (.7) Oletetaan, että ei muutu - ja y-suunnissa, eli (z,t). ällöin / z aaltoyhtälö -komponentille on muotoa ja z (.8) ällä yhtälöllä on atkaisu f(z-vt). (.9) missä f on mielivaltainen funktio ja v / (.) ämä voidaan osoittaa suoalla sijoituksella: z f ' vf ' ; ; z f v '' f '' Siis z f '' v f '' mikäli v eli v /. Osoitetaan, että (.9) esittää positiivisen z-akselin suuntaan etenevää aaltoa. f(z-vt ) f(z-vt ) z z v(t -t )

3 763S Sähkömagneettinen säteily 4 etkellä t f(z-vt ) on z:n funktio ja jokin käyän tietty kohta (kuvassa maksimi) on kohdassa z. ässä kohdassa f:n agumentti on z -vt. Jollakin myöhäisemmällä ajanhetkellä t f on eäs toinen z:n funktio f(z-v t ) ja sama funktion kohta on siitynyt sellaiseen paikkaan z, että z -vt z -vt, eli paikkaan z z v (t t ). (.) Siis f:n määittelemä käyä on vaeltanut ajassa t -t matkan v(t -t ) positiivisen z-akselin suuntaan ja (.7) esittää etenevää aaltoa, jonka nopeus on v. Samalla tavalla voidaan osoittaa, että f (zvt) (.) on aaltoyhtälön atkaisu, joka kuvaa samalla nopeudella v / negatiivisen z-akselin suuntaan etenevää aaltoa. Yhtälöiden (.5) ja (.6) aaltomuotoisten atkaisujen nopeus on v m/s 3 8 m/s (.3) ja tämä on siis sähkömagneettisen aallon nopeus tyhjössä (nykyään kiinnitetty vakio!). uom..yhtälön (.8) yleinen atkaisu on siis atkaisujen (.9) ja (.) supepositio: (z, t) f (z-t) g(zt) (.4) missä f ja g ovat mielivaltaisia funktioita. uom..mawellin yhtälöiden mukaan sähkömagneettisella aallolla on aina sekä sähköettä magneettikomponentti. Sähkökenttää (.4) vastaava magneettikenttä saadaan Faadayn yhtälöstä (.3) B y z f '( z t) g' ( z t) (vain y-komponentti on olemassa), josta integoimalla B y ( z, t) f ( z t) g ( z t) (.5)

4 763S Sähkömagneettinen säteily 5. asoaallot ja polaisaatio Aaltointama on pinta, jossa aallot ovat samassa vaiheessa; esim. aallonhajat (maksimit) muodostavat aaltointamia. yvin kaukana lähettimestä aaltointamat ovat pienellä alueella lähes tasopintoja, jotka ovat kohtisuoassa aallon etenemissuuntaa vastaan. Monokomaattista tasoaaltoa, joka etenee z-akselin suuntaan ja jonka sähkökenttä väähtelee -akselin suunnassa, kuvaa aaltoyhtälön atkaisu e ep[i(ωt kz)] e [os(ωt kz) i sin(ωt kz)] (.6) (ässä on siis valittu f(z t) ep [i(ωt kz)]. Agumentin muoto ωt kz on tavanomaisempi kuin z t. o on vain sopimuksessa.) Lisäksi havaitaan, että koska aaltoyhtälö on lineaainen, tämän kompleksisen atkaisun eaali- ja imaginaaiosat ovat myös eikseen atkaisuja. odellinen aalto on tietenkin eaalinen, mutta voimme siitä huolimatta matemaattisesti käsitellä kompleksisia aaltoja ja tulkita aallon eaaliosan todelliseksi fysikaaliseksi aalloksi. Näin on tapana menetellä sen vuoksi, että eksponenttifunktion käsitteleminen (mm. deivointi ja integointi) on yksinketaisempaa kuin osinifunktion. sim. Jos ep[i(ωt kz)] on e( ) os(ωt kz) ällöin iω ep[ i( ωt kz ) ] iω ja ω sin( ωt kz ) Siis e. uomaa, että voidaan ilmaista yksinketaisessa muodossa iω. Kompleksisen aallon deivoinnissa voidaan siis eaalisen aallon deivoinnissa tapahtuva osinin vaihtuminen siniksi (ja päinvastoin) kovata ketoimella i. atkaisu (.6) esittää tasoaaltoa, sillä jokaisella z-akselia vastaan kohtisuoalla tasolla on aallon vaihe ωt kz vakio. Siis aaltointamat ovat z-akselia vastaan kohtisuoia tasoja. Aallon (.6) etenemissuunta on positiivisen z-akselin suunta, sillä agumentti ωt kz voidaan saattaa muotoon ωt kz k(z ω /k t) k(z t), missä ω /k (.7) on aallon vaihenopeus ja k aaltoluku.

5 763S Sähkömagneettinen säteily 6 asolla z väähtelee aallon sähkökenttä ajan funktiona kuten os ωt ja väähtelyn peiodi on π/ω. etkellä t on aallon kuvaaja z:n funktiona muotoa os kz. Aallonpituus λ saadaan yhtälöstä kλ π, eli π λ (.8) k Ajan δt kuluttua agumentti on ωδt - kδ z, joten agumentin avo nolla on vaeltanut z-akselilla paikkaan δz, jolle on voimassa ωδt kδz. Siis aalto vaeltaa nopeudella δ z ω δt k Kaavojen (.7) ja (.8) avulla saadaan ω λ. aajuus ν ω/π, joten π λν (.9) Muotoa (.6) olevan aallon sähkökenttä väähtelee -akselin suuntaisesti. Sanotaan, että aalto on lineaaisesti polaisoitunut -akselin suunnassa. Samalla tavalla kuin edellä voidaan osoittaa, että e y oy ep [i(ωt-kz)], jossa sähkökenttä väähtelee y-akselin suuntaisesti (lin. polaisaatio y-akselin suunnassa), on aaltoyhtälön atkaisu. Aaltoyhtälön lineaaisuudesta johtuu, että näiden kahden atkaisun summa (e o e y oy ) ep[i(ωt-kz)] (.) on myös aaltoyhtälön atkaisu. ämän kentän amplitudivektoi e o e y oy (.) muodostaa -akselin kanssa kulman θ (ks. oheinen kuva) ja y tan θ (.)

6 763S Sähkömagneettinen säteily 7 Yhtälö (.) esittää siis :n suuntaisesti lineaaisesti polaisoitua aaltoa. Myös tasoaalto e o ep[i(ωt-kzφ)] (.3) missä φ on mielivaltainen vakiovaihe, on aaltoyhtälön atkaisu ja esittää z-akselin suuntaan etenevää tasoaaltoa. Laskemalla yhteen (.3):n tyyppisiä - ja y-akselien suuntaan lineaaisesti polaisoituja aaltoja, joiden välillä on nollasta poikkeava vaihe-eo, saadaan syntymään monimutkaisempia polaisaatioita. sim. aalto e o ep[i(ωt-kzφ)] e y oy ep[i(ωt-kzφπ/)] (.4) esittää elliptisesti polaisoitua aaltoa, sillä z:n vakioavolla sähkökenttä koostuu kahdesta toisiaan vastaan kohtisuoassa suunnassa väähtelevästä kentästä, joiden välinen vaihe-eo on π/. Jokaisessa pisteessä sähkökenttävektoi pyöii kulmanopeudella ω ja vektoin käki piitää oheisen kuvan mukaisen ellipsin. simekiksi pisteessä z eaalinen osa kentästä (.4) on e() e o os (ωtφ) e y oy os(ωtφπ/) e o os(ωtφ) e y oy sin(ωtφ) ämä kuvaa tilannetta missä sähkövektoin käki pyöii oheisen kuvan mukaisessa tilanteessa, eli katsottaessa aallon etenemis- (eli z-akselin) suuntaan, positiiviseen pyöimissuuntaan eli kellon pyöimissuuntaa vastaan. Kyseessä sanotaan olevan vasenkätisesti polaisoitu aalto, sillä kun vasemman käden peukalo asetetaan aallon menosuuntaan niin somet näyttävät sähkövektoin kietosuunnan. Jos o oy o, ovat ellipsin pääakselit yhtäsuuet, ja tuloksena on vasenkätisesti ympyäpolaisoitu aalto. y y y Jollakin tietyllä hetkellä aallon kenttä-vektoien käkipisteet muodostavat z-akselin suuntaisen uuviviivan. Yhtälöstä (.4) saadaan ajanhetkellä t eaalisen kentän z-vaihteluksi e() e os (kz φ) e y sin (kz-φ)

7 763S Sähkömagneettinen säteily 8 ämä vaihtelu on esitetty oheisessa kuvassa. uomaa, että z-akselin suunnassa vasenkätisen aallon sähkövek-toin hetkelliset asemat muodostavatkin oikeakätisesti vaihtuvan kuvion. Näin täytyy olla, sillä esimekiksi pisteessä δz > oleva vektoi kääntyy vasenkätisesti e -suuntaan vasta ajan δt δz/ kuluttua. uom.. Yleisin vakiopolaisaatio saadaan kun - ja y-suuntaisten sähkövektoeiden vaihe on yleinen, eli e o ep[i(ωt-kzφ )] e y oy ep[i(ωt-kzφ y)] (.5) ämä kuvaa myös sellaista elliptistä polaisaatiota missä ellipsin pääakselit eivät yhdy - ja y-akseleihin. Kaikki edellä kuvatut tapaukset saadaan tästä eikoistapauksina. uom.. Ns. polaisoimattomassa aallossa aallon vaihe ja mahdollisesti amplitudi vaihtelevat ajan suhteen satunnaisesti, eli e o (t) ep[i(ωt-kzφ (t))] e y oy (t) ep[i(ωt-kzφ y (t))] (.6) Jos polaisaation mittaus kestää kauemmin kuin aika jona aallon vaihe muuttuu oleellisesti, saadaan polaisaatioksi nolla. ällöin sanotaan myös aallon olevan satunnaisesti polaisoitunut..3 asoaallot yleisessä suunnassa akastellaan aaltoyhtälön (.6) yleistä atkaisua ep[i(ωt-kzφ )] (.7) missä ω/k ja on mielivaltainen vakiovektoi. ämänkin atkaisun on tietysti toteutettava kaikki Mawellin yhtälöt tyhjössä, joten on oltava voimassa, eli y y z z (.8) y Koska (.7):n mukaiselle kentälle, saadaan (.8) muotoon y z z

8 763S Sähkömagneettinen säteily 9 ämän tuloksen mukaan z ei iipu z-koodinaatista. oisaalta (.7):n mukaan z z ep[i(ωt-kz)φ ], joka on iippumaton z-komponentista ainoastaan, jos z. Siis (.7) on Mawellin yhtälöiden atkaisu vain, mikäli on kohtisuoassa aallon etenemissuuntaa (z-akselia) vastaan. Osoittautuu, että myös monimutkaisemman polaisaation omaavien aaltojen sähkökenttä on kohtisuoassa aallon etenemissuuntaa vastaan, eli kyseessä on poikittainen aalto. Aallon magneettikenttä ei ole iippumaton sähkökentästä, vaan aina on oltava voimassa Faadayn laki B (.3) Koska (.7):ssa ei ole :n ja y:n funktio, jää -opeaattoiin vaikuttamaan vain temi e z / z. Jos vielä valitaan -akselin suuntainen polaisaatio, eli e, on e z e e z y ik z ep e [ i( ωt kz φ) ] ep z B [ i( ωt kz φ) ] ntegoimalla tämä t:n suhteen saadaan B e y k/ω ep[i(ωt-kzφ )] e y / ep[i(ωt-kzφ)]. (.9) missä integoimisvakio on valittu nollaksi. ämä kenttä on kohtisuoassa sekä aallon etenemissuuntaa että sähkökenttää vastaan. Jos olisi lähdetty liikkeelle sähkökentästä e ep[i(ωtkzφ)], (.3) olisi saatu tulos B -e y / ep[i(ωtkzφ)]. (.3) Sähkömagneettisen aallon sähkö- ja magneettikenttä väähtelevät siis samassa vaiheessa ja niiden amplitudien suhde on. Lisäksi sähkökenttä, magneettikenttä ja aallon etenemissuunta viittävät oikeakätisen koodinaatiston. Koska tason yhtälö on k vakio, kuvaa ep[i(ωt-k φ )] (.3)

9 763S Sähkömagneettinen säteily suuntaan k etenevää aaltoa, jonka aaltoluku k π/λ. Laskemalla tämän kentän divegenssi, saadaan yhtälön (.) mukaan i k (.33) eli k, joten sähkökentän tulee olla tällöinkin kohtisuoassa etenemissuuntaa vastaan. Yhteys sähkökentän (.3) ja magneettikentän välillä saadaan jälleen Faadayn yhtälön avulla muotoon B kˆ, (.34) k missä k ˆ on k:n suuntainen yksikkövektoi. Yhtälöstä (.34) nähdään, että B on aina k kohtisuoassa sekä k:ta että :tä vastaan ja että ja B ovat aina samassa vaiheessa. Lisäksi on voimassa suhde / B. sim: Aallon magneettikentän avo on vasin pieni. Jos, V/m on B:n amplitudi B / 3, asoaallot isotooppisessa eisteessä isteessä, jossa suhteellinen pemittiivisyys on ja suhteellinen pemeabiliteetti sekä ρ f ja j f, voidaan B:lle ja :lle johtaa aaltoyhtälöt samalla tavalla kuin kohdassa. ja tulos on B B (.35) (.36) Näiden yhtälöiden atkaisut esittävät nopeudella v (.37) kulkevia aaaltoja. Monokomaattiset positiiviset z-akselin suuntaan etenevät tasoaaltoatkaisut ovat muotoa B B ep[i(ωt-kzφ )] ep[i(ωt-kzφ)],

10 763S Sähkömagneettinen säteily eli samaa muotoa kuin tyhjössä etenevät aallot. ona on, että vaihenopeus v poikkeaa tyhjön vaihenopeudesta ja siis myös kulmanopeuden ω omaavan aallon aaltoluku k ω/v (.38) on ei suuuinen kuin tyhjiöavo ω /. Koska k π/λ ja ω πν saadaan (.38):sta π/λ πν/v, eli λν v. (.39) Samalla tavalla kuin yllä esitettiin, voidaan osoittaa, että aallon sähkö- ja magneettikenttä ovat kohtisuoassa toisiaan ja aallon etenemissuuntaa vastaan, ja että magneettikentän ja sähkökentän välillä on iippuvuus B kˆ, (.4) v missä kˆ on etenemissuunnan osoittava yksikkövektoi. Koska ja iippuvat aallon taajuudesta (käsittelemme tätä myöhemmin takemmin) on myös yhtälön (.37) mukainen vaihenopeus taajuuden funktio ja yhtälöllä n (.4) v määitelty taitekeoin n iippuu aallon taajudesta. ätä taajuusiippuvuutta nimitetään dispesioksi, ja sen ansiosta esim. pisma hajoittaa valon spektiksi. akastellaan tasoaallon taittumista eisteen ajapinnassa (ks. oheinen kuva). asoaalto kohtaa ajapinnan kulmassa θ. Aaltointama AA on kohtisuoassa aallon kulkusuuntaa (sädettä) vastaan. Siinä ajassa, jossa aaltointaman piste A kohtaa ajapinnan pisteessa B, etenee piste A eisteessä pisteeseen B. Koska v, on AB A B. Myös eisteessä aaltointama on kohtisuoassa aallon etenemissuuntaa vastaan, joten aalto taittuu suuntaan φ. Koska intaman etenemisajat väleillä AB ja A B ovat samat, on voimassa: A' B' AB v A' B' AB v eli

11 763S Sähkömagneettinen säteily sin θ sin φ n v (.4) ämä on tuttu Snelliuksen laki. Näin ollen yhtälön (.4) mukainen suue todella Snelliuksen lain avulla määitelty taitekeoin. on Koska eoaa huomattavasti ykkösestä vain feomagneettisilla aineilla, jotka eivät ole eisteitä, voidaan taiteketoimelle yleensä käyttää appoksimaatiota n (.43) asoaallon absoptio eisteessä isteessä voi tapahtua sähkömagneettisen aallon absoptiota esimekiksi sen vuoksi, että molekyylit viittyvät aallon vaikutuksesta kokeammille enegiatasoille. ätä absoptiota voidaan kuvata kompleksisen suhteellisen pemittiivisyyden i (.44) avulla. Nomin ja vaihekulman avulla ilmoitettuna iϕ e, missä ϕ atan (- / ). Kun absoptio on vähäistä, on lähes eaalinen, eli >>. ällöin ja ϕ / sekä n ( i / / / i / e ) e / / os i sin i / (.45) asoaalto ep[i(ωt-kz)] voidaan kijoittaa vaihenopeuden v ω/k / avulla muotoon (oletettu, että ) ep[iω (t z)] (.46) Kun - i, on missä / i ) ( n i ) (.47) ( η / n η (.48)

12 763S Sähkömagneettinen säteily 3 Sijoittamalla tämä :n lausekkeeseen yllä saadaan eli missä ep{iω [t-(n-iη) z/]} ep{iω [t-nz/]} ep[-ωη z/], ωη z ep z ep iω t (.49) v v (.5) n Vaimenevaa aaltoa voidaan siis kuvata käyttäen kompleksista pemittiivisyyttä. Suue δ. (.5) ωη ω ketoo, minkä matkan sisällä aallon amplitudi vaimenee e:nteen osaansa, ja siitä käytetään nimitystä skin- eli etenemissyvyys..5 Sähkömagneettisten aaltojen enegia Monokomaattinen päättymätön aalto on matemaattinen idealisaatio, jolla ei ole fysikaalista vastinetta. odellinen aalto alkaa ja päättyy, ts. se muodostaa aaltopaketin. ämä aaltopaketti kuljettaa mukanaan enegiaa, ja aaltopaketin nopeus (yhmänopeus) saadaan kaavasta dω v g (.5) dk Aaltointamat aaltopaketin sisällä taas etenevät vaihenopeudella v ω /k. Joissakin väliaineissa voi v >, mutta aina on voimassa v g ; ts. signaalinopeus ei voi olla valon nopeutta suuempi. yhjössä vaihenopeus ω / k / ei iipu taajuudesta, joten myös yhmänopeus on valon nopeuden suuuinen: dω d v g ( k) dk dk (.53) akastellaan seuaavaa (lin. polaisoitunutta), tyhjössä suuntaan e z etenevää sähkömagneettista aaltoa

13 763S Sähkömagneettinen säteily 4 ) os( ) os( kz t kz t y ω ω e e Sähkömagneettisen kentän enegiatiheys on ½(D B ) (.54) ällöin oheisen kuvan mukaisen tilavuuden sisältämä sähkömagneettisen kentän enegia on V d U τ ) ( B D (.55) Koska enegia vaeltaa tyhjössä yhmänopeudella, kulkee ajassa t koko pituuden t alueella oleva enegia pinnan S läpi. Koska D ja B, saadaan (.55) muotoon [ ] dz kz t ab dz dy d kz t kz t U t a b t ) ( os ) ( ) ( os ) ( os ω ω ω Kun aallon peiodi on, on V:n sisältämän enegian aikakeskiavo t dzdt kz t ab U ) ( os ( ω dz dt kz t ab t / ) ( os ( ω t ab dz ab t 4 ) ( 4 ) ( mikä siis on pinnan S läpi ajassa t viannut enegia. Koska B o / on B

14 763S Sähkömagneettinen säteily 5 Siis U ab 4 t ab t (.56) Koska Sab, on keskimäääinen enegiavuon tiheys pinnalla S (eli keskimäääinen enegia pinta-alayksikköä kohden aikayksikössä): U e z ab t (.57) N e z Sama tulos saataisiin, jos määiteltäisiin hetkellinen enegiavuon tiheysvektoi N kaavalla N e z eli kaavalla N (.58) sillä ω e z (.59) e e y os ( t kz) Määitelmän (.58) mukaisesta vektoista N käytetään nimitystä Poyntingin vektoi, ja kaikki koetulokset osoittavat, että se todella esittää enegiavuon tiheyttä. Väliaineessa, jossa B v /, on yhtälön (.4) nojalla kˆ, ja Poyntingin v vektoi saadaan muotoon N [ kˆ kˆ ( ) ] kˆ ( kˆ ) v ämän aikakeskiavo on N kˆ (.6) sim: Jos, V/m, on N,4-5 W/m tyhjössä N, -4 W/m vedessä ( 8 adiotaajuuksilla)

15 763S Sähkömagneettinen säteily 6.6 asoaaltojen absoptio johteessa Kun aalto etenee johtavassa väliaineessa, väähtelevä sähkökenttä synnyttää vian, jonka vaikutuksesta osa aallon enegiasta muuttuu Joulen lämmöksi. ästä seuaa, että aallon amplitudi vaimenee. akastellaan väliainetta, jossa on voimassa Ohmin laki j f σ, (.6) missä johtavuus σ on taajuudesta iippumaton vakio. Faadayn ja Ampèen lait ovat siis B (.6) B σ (.63) Johtavan väliaineen sisällä ρ, joten. Otetaan yhtälöstä (.6) puolittain oottoi, jolloin B ( ) ( ) ( B) Sijoittamalla tähän (.63):stä atkaistu B saadaan σ (.64) mikä on aaltoyhtälö johtavassa väliaineessa. aetaan tälle yhtälölle atkaisua, joka esittää z-akselin suuntaan etenevää vaimenevaa aaltoa. Jos (z, t), on / z ja jos aallon kulmataajuus on ω ( e iωt ), on / iω ja / iω /. Sijoittamalla nämä aaltoyhtälöön (.64) saadaan iω σ z (.65) Lähes kaikissa johtavissa väliaineissa ω << σ. (Vt. kohdan. esimekit.) Näin ollen yhtälön oikealla puolella oleva ensimmäinen temi (siitymävitatemi) voidaan yleensä jättää huomiotta, joten z σ (.66)

16 763S Sähkömagneettinen säteily 7 Lauseke e -αz ep[i(ωt-kz)] (.67) esittää z-akselin suuntaan etenevää monokomaattista tasoaaltoa, jonka amplitudi vaimenee eksponentiaalisesti z:n funktiona. utkitaan, millä α:n ja k:n avoilla tämä yite on yhtälön (.66) atkaisu. :n deivaatat ovat iω; α ik ( α ik) z ( α ik) ( α ik) z z Sijoittamalla nämä yhtälöön (.66) saadaan: (αik) iω σ. (.68) Siis (αik) iω σ α -k iαk iω σ α k α k iαk iω σ k ω σ k σω / Yite (.67) on siis (.66):n atkaisu, jos σω α k (.69) Suue δ (.7) α σω on aallon skinsyvyys johteessa. Jos, on δ. σω Oheinen kuva esittää vaimenevaa aaltoa (.67) (sen eaaliosaa) ajanhetkellä t ja havainnollistaa skinsyvyyttä δ. sim. Cu: σ 5,9 7 jos Ωm ω ν 5 z, δ m. π uom! Mitä suuempi taajuus, sitä pienempi δ. Jos kupaissa ν 5 Mz δ, mm.

17 763S Sähkömagneettinen säteily 8 akastellaan sylinteinmuotoista johdinta, jonka on kytketty vaihtojännitteeseen (ks. oheinen kuva). lmeisesti johtimeen syntyy väähtelevä sähkökenttä ja samassa vaiheessa väähtelevä vitatiheys j σ. Sähkökenttä on kaikkialla sylintein akselin suuntainen ja siihen liittyy samassa vaiheessa väähtelevä magneettikenttä (Ampèen laki). Poyntingin vektoi N osoittaa kohti sylintein akselia. Johtimessa näyttää siis etenevän sylinteiaalto pinnalta kohti akselia. Johtavuuden ansiosta tämä aalto vaimenee, ja jos taajuus on iittävän suui, on δ << sylintein säde, ja pienellä alueella lähellä sylintein pintaa :tä voidaan appoksimoida funktiolla (.67). Koska tässä tapauksessa poikkeaa huomattavasti nollasta vain lähellä sylintein pintaa, kulkee vitakin suuilla taajuuksilla johtimen pinnalla. ästä ilmiöstä käytetään nimitystä skinefekti. Skinefektin vuoksi johtimen vaihtovita- ja tasavitavastukset poikkeavat toisistaan. Jos nimittäin kakeasti avioidaan vaihtovian kulkevan δ:n paksuisessa keoksessa sylinteijohteessa jonka pituus on l ja säde, on vaihtovitavastuksen suuuus l l ω (.7) σ πδ π σ asavitaesistanssi on l/(σπ ), joten (.7) δ sim. Cu;,5 mm, /l 8-4 Ω/m. Jos ν 5 Mz /l, Ω/m.

18 763S Sähkömagneettinen säteily 9.7 Sähkömagneettisen aallon heijastuminen ja läpäisy ajapinnassa Kahden aineen ajapinnassa aaltoliikkeen nopeus, suunta ja aallonpituus voivat muuttua. Osa aallosta voi heijastua takaisin ja osa läpäistä ajapinnan. ajapinnassa aallon sähköja magneettikomponenttien amplitudit, vaiheet ja suunnat voivat muuttua. akastellaan nyt aallon sähkö- ja magneettikentän komponenttien käyttäytymistä ajapinnassa. Oletamme ajapinnan teäväksi ja tasomaiseksi (kaaevuussäde >>λ). a) angentiaalikomponentti akastellaan suoakaiteen (sivut t ja l) muotoista pinta-alaa S (ABCD; ks. oheinen kuva). Sähkövektoit ja ovat suoakaiteen ABCD kanssa samassa tasossa. Faadayn laista B (.3) saadaan integoimalla alueen S yli Stokesin lauseen avulla ds dl B S d ds (.73) dt l akastellaan ajaa t, jolloin oikea puoli häviää, koska B-kenttä on aina ääellinen. ällöin eli l l S eli on jatkuva (.74) b) angentiaalikomponentti Jos kovataan edellä kentällä saadaan Ampèen yhtälöstä integoimalla alueen S ylitse vastaavasti D j f (.4) D ds (.75) dl j f l S ajalla t oikean puolen jälkimmäinen temi häviää, koska kenttä D on aina ääellinen. nsimmäinen temi antaa pinnan S läpi kulkevan vian. Siitä tulee lim t j f ds js l (.76) S

19 763S Sähkömagneettinen säteily 3 missä j S on pintavian tiheys pituusyksikköä kohti. Koska j S :n tulee kulkea ääettömän ohuessa ajapinnassa, yo. oletus vastaa ääettömän hyvin johtavaa johtimen tapausta. ämä on tietysti idealisaatio, mutta joskus hyvien johteiden tapauksessa osuva appoksimaatio. Yhtälöistä (.75) ja (.76) saadaan siis tulos - j S (.77) eli täydellisen johteen ajapinnalla magneettikentän voimakkuuden tangentiaalikomponentti on epäjatkuva ja muuttuu pintavaauksen vean. (uomaa että eisteaineiden ja huonojen johteiden tapauksessa on jatkuva.) ) Nomaalikomponentti B Koska B, ovat B:n kenttäviivat jatkuvia ja kokonaisvuo suljetun pinnan läpi. Katsotaan magneettivuota pienen sylintein läpi (pohjat A ja A, kokeus h), joka on ajapinnan molemmin puolin (ks. oheinen kuva). Kun h, voidaan vuo sylintein vaipan läpi unohtaa ja saadaan Gaussin divegenssilauseen avulla A BdV B ds S A' B ds ds B (.78) Koska B ds B ds ja B ds B ds, missä B ja B ovat pohjan nomaalin suuntaiset B :n ja B :n komponentit, saadaan B ds B A d A' S ämä on voimassa kaikille pinnoille A (A yhtyy A:han kun h ), joten B B eli B on jatkuva ajapinnalla. (.79) d) Nomaalikomponentti D Gaussin yhtälöstä D ρ f (.) saadaan samalla tavoin kuin kohdassa dv D ds D ds ρ f dv D σ da (.8) A A' A f

20 763S Sähkömagneettinen säteily 3 missä σ f on vapaa pintavaaustiheys. äten D - D σ f (.8) eli D-kentän nomaalikomponentti on johdepinnan ajalle epäjatkuva vapaan pintavaaustiheyden vean. Jos σ f, on D siis jatkuva..7. eijastuminen kohtisuoasta eistepinnasta Osukoon z-suuntaan etenevä aalto ilmasta ( ) kohtisuoalle eistepinnalle (, ). ulevaa aaltoa kuvaavat kentät missä e ep( i( ωt kz)) (.8) B e y B ep( i( ωt kz)) (.83) k (.84) ω (uomaa, että tässä tapauksessa kaikki polaisaatiotilat ovat samanavoisia. Nyt on valittu -akselin suuntainen tasopolaisaatio.) Osa aaltoa läpäisee pinnan ja etenee eisteessä aaltona missä e ep( i( ωt k z)) (.85) B e y B ep( i( ωt k z)) (.86) k (.87) ω Osa aallosta heijastuu takaisin -z-suuntaan aaltona (uom. B :n suunta.) e ep( i( ωt kz)) (.88) B e y B ep( i( ωt kz)) (.89) Asetetaan nyt aja pisteeseen z. Yhtälöstä (.74) saadaan eli (.9) Koska eistepinnalla ei ole vitoja saadaan yhtälöstä (.77) eli B B B (.9)

21 763S Sähkömagneettinen säteily 3 Yhtälöiden (.4) ja (.4) mukaan / B (.9) B (.93) v / B (.94) joten yhtälö (.9) voidaan kijoittaa muotoon (.95) eli (.96) Koska useimmille eisteille hyvin suuella takkuudella, saadaan tämä muotoon n (.97) sillä n (.43) Yhdistämällä yhtälöt (.9) ja (.97) saadaan n n (.98) n (.99) uomaa että kun n >, on negatiivinen. ämä vastaa 8 o :n vaihesiitoa heijastuksessa optisesti tiheämmästä aineesta. eijastuskeoin on heijastuneen enegian määä tulevaan enegiaan veattuna: n n (.) Vastaavasti läpäisy- eli tansmissiokeoin on (.) Kun otetaan saadaan

22 763S Sähkömagneettinen säteily 33 4n (.) ( n) Näin täytyy ollakin, sillä enegian säilyminen vaatii, että (.3).5 sim. Lasin n,5. ällöin 4% ja 96 %..5 8 sim. Veden taitekeoin adioaalloille n 9. 64% ja 36 %. Nähdään, että mitä suuempi suhteellinen pemittiivisyys (eli taitekeoin) sitä suuempi osa aalloista heijastuu. Suui pemittiivisyys vastaa molekyylien suuta dipolimomenttia. Oskilloidessaan molekyylit lähettävät aaltoja, jotka intefeoivat destuktiivisesti (kumoutuvat) alkupeäisen aallon kanssa, mikä johtaa pienempään läpäisyketoimeen..7. eijastuminen vinosta eistepinnasta Osukoon aalto nyt vinosti ilmasta eisteen (, ) pinnalle kulmassa θ (ks. oheinen kuva). Snelliuksen lain mukaan aalto etenee eisteessä kulmassa φ, jolla sin θ sin φ n (.4) Olkoon tuleva aalto polaisoitunut heijastustasossa z (ks. kuva): missä ( e ep( i( ωt k osθ e z )) sinθ ) ep( i( ωt k )) (.5) k k(sinθ e osθ e z ) (.6) on tulevan aallon aaltovektoi. (uom: hto k täytyy olla voimassa.) eijastunut aalto ( e ep( i( ωt k osθ e z )) sinθ ) ep( i( ωt k )) (.7) etenee suunnassa k k(sinθ e osθ e z ) (.8) (uom. k ja k k.)

23 763S Sähkömagneettinen säteily 34 isteessä etenee aalto ( e osφ e z sinφ) ep( i( ωt k )) (.9) missä k nk(sin φ e osφ e z ) (.) Valitaan eisteen pinnan heijastuskohta oigoksi ( ) ja käytetään ehtoa (.74) ( jatkuva): osθ osθ osφ (.) ja ehtoa (.8) (D jatkuva kun σ f ): dellinen saadaan muotoon ja jälkimmäinen muotoon yhtälöiden (.4) ja (.43) avulla. sinθ sinθ sinφ (.) osφ (.3) osθ sin φ (.4) sin θ n Vähentämällä yhtälöt (.3) ja (.4) puolittain saadaan osθ n osθ osφ (.5) ja tämän avulla n osθ osφ n osθ osφ (.6) eijastustasossa polaisoituneen aallon heijastuskeoin on siis n osθ osφ os os n θ φ (.7) Nähdään, että heijastunutta aaltoa ei ole lainkaan kulmassa θ*, jolla n os θ* os φ* (.8) Yhdessä Snelliuksen lain sin θ* n sin φ* (.9) kanssa saadaan yhtälöt ketomalla puolittain

24 763S Sähkömagneettinen säteily 35 n sin θ* os θ* n sin φ* os φ* eli sin θ* sin φ* (.) Fysikaalisesti mielekäs atkaisu on θ* π/ φ* (.) eli heijastunut ja taittunut aalto ovat kohtisuoassa toisiaan vastaan. ämä kulma θ* on ns. Bewstein kulma. Se saadaan yhtälöiden (.) ja (.) mukaan myös ehdosta tan θ* n. (.) Jos tuleva aalto on polaisoitunut kohtisuoaan heijastustasoa vastaan (y-suunnassa edellä olleessa kuvassa), niin voidaan helposti johtaa yhtälöitä (.5) ja (.6) vastaavat suhteet: osθ n osφ osθ n osφ osθ n osφ osθ (.3) (.4) Jälkimmäisestä saadaan po. polaisaatiotilan aallon heijastusketoimeksi n osφ osθ os os (.5) n φ θ Koska n > ja os φ > os θ on > aina, eli osa aallosta heijastuu aina. Jos aalto on alun pein polaisoimaton ja se ohjataan eistepinnalle Bewstein kulmassa, niin heijastunut valo on täysin lineaaisesti polaisoitunutta heijastustasoa vastaan kohtisuoassa suunnassa. sim.. Lasille, jonka n.5, Bewstein kulma on n. 56 o. ätä tapausta vastaavat / suhde ja heijastusketoimet on esitetty oheisessa kuvassa.

25 763S Sähkömagneettinen säteily 36 sim.. Auingon valo, joka on heijastunut esim. vedestä, on osittain polaisoitunutta hoisontaalitasossa. Sen aiheuttamaa häikäisyä voidaan vähentää auinkolaseilla, jotka on polaisoitu vetikaalisesti. Bewstein kulman syntyyn on yksinketainen fysikaalinen selitys. Aallon sähkökenttä saa aineen elektonit väähtelemään. Väähtelevät elektonit tuottavat heijastuneen ja taittuneen aallon. lektonit väähtelevät aineessa :n suunnassa. Jos heijastunut aalto etenee täsmälleen :n suunnassa, ei elektonien liike näy heijastuneen aallon suunnassa, vaan elektonit näyttävät olevan levossa. lektonit eivät siis säteile aaltoa liikkeensä suunnassa. Jos aalto on polaisoitunut heijastustasoa vastaan kohtisuoassa suunnassa, näkyy elektonien liike (poikittain aallon etenemissuuntaa vastaan) missä tahansa heijastuskulmassa, joten ei voi hävitä milloinkaan. Yllä olevat tulokset voidaan helposti yleistää kahden eisteen ajapinnalle, jossa molemmilla eisteillä on ei-tiviaali eistevakio. Oletetaan nyt, että valo tulee eisteestä (, n ) eisteeseen (, n ). Jos aalto on polaisoitunut heijastustasossa (z), pätee: n osθ n osφ (.6) n osθ n osφ n osθ (.7) n osθ n osφ Jos aalto on polaisoitunut heijastustasoa vastaan kohtisuoassa suunnassa (y), pätee: n osφ n osθ (.8) n osφ n osθ n osθ (.9) n osφ n osθ Nämä neljä yhtälöä ovat ns. yleiset Fesnelin kaavat. Ne ovat voimassa sekä tapauksessa n > n (jota käsitelty yllä) että tapauksessa n < n yhtä poikkeusta lukuunottamatta. Jos nimittäin valo tulee optisesti tiheämmästä aineesta havempaan voi taittumiskulma kasvaa 9 o :een, jolloin tapahtuu ns. kokonaisheijastus. ätä vastaava ns. kitttinen tulokulma θ saadaan yleisen Snelliuksen lain mukaan ehdosta n sin θ n sin φ (.3) sin θ n /n (.3) Kokonaisheijastusta käytetään mm. optisissa kaapeleissa ja valonkääntöpismoissa. uom. Kokonaisheijastuksessakin aalto tunkeutuu pienen matkan (~λ) havempaan aineeseen, mutta siellä Poyntingin vektoin aikakeskiavo, ja kaikki enegia heijastuu.

26 763S Sähkömagneettinen säteily eijastuminen johdepinnasta Sähkömagneettinen aalto pääsee johteessa etenemään oleellisesti vain skinsyvyyden δ (.7) σω ilmoittamalle etäisyydelle, joten suuin osa aallosta heijastuu. Kuten yhtälöstä (.7) nähdään, skinsyvyys lähestyy nollaa, kun johteen johtavuus σ kasvaa. Näin ollen ideaalisen johteen (σ ) ajapinnalta aalto heijastuu täydellisesti. akastellaan nyt aallon kohtisuoaa heijastumista ääellisen johtavuuden omaavan johteen ajapinnalta. Kuten aiemmin näimme (yht. (.67)), metallissa etenevä aalto ei ole puhdas (vaan vaimeneva) tasoaalto. ämä aiheuttaa sen, että tulevan, heijastuneen ja taittuneen aallon välillä voi olla vaihe-eoja, joten niiden amplitudeja täytyy käsitellä kompleksisina. Yhtälöiden (.67) ja (.69) mukaan taittunut aalto metallissa on missä e O ep (i(ω t α z)) ep ( α z) (.3) σω α (.69) uleva ja heijastunut aalto on otettu -akselin suuntaisesti tasopolaisoituneeksi yhtälöiden (.8 83) ja (.88 89) mukaisesti. Vastaava magneettikomponentti on B e y B O ep (i(ω t α z)) ep ( α z) (.33) Kuten aiemminkin, ajapinnalla z saadaan ehdot ja O O O (.9) B B B (.9) O O O (Olemme jälkimmäisessä yhtälössä olettaneet pintavian j S häviävän.) Yhtälöt (.9 93) sitovat sähkö- ja magneettikomponentteja ilmassa, mutta johteessa vastaava yhtälö (.94) ei ole voimassa. (hto /B v on aina voimassa vaimentumattomalle tasoaallolle.) tsitään O :n ja B O :n välinen yhtälö lähtien Faadayn laista B (.34) Vasen puoli saadaan yhtälön (.3) avulla muotoon α(i) e y O ep (i(ω t α z)) ep ( α z) (.35) ntegoimalla tämä ajan suhteen saadaan (vakio ): α i B e y O ep ( i ( ω t α z)) ep( α z) (.36) ω i Vetaamalla tätä yhtälöön (.33) löydetään ehto

27 763S Sähkömagneettinen säteily 38 B O O α ω ( i) (.37) eli B O O ω σ ( i) (.38) (uomaa suhteen B O / O kompleksisuus.) Yhtälöt (.9) ja (.9) voidaan nyt esittää pelkästään sähkökomponenttien avulla: O O O (.9) O O O σ ω ( i) (.39) liminoimalla O saadaan O O σ ω σ ω ( i) ( i) (.4) ja tästä heijastuskeoin O O K K K K (.4) missä σ K (.4) ω Koska hyville johteille K >>, on ω (.43) K σ sim. Kupaille σ 6 7 /Ωm ja K 5 infapuna-alueella, jossa siis n. 96 % aallosta heijastuu. Loput 4 % läpäisevät johdepinnan ja absoboituvat metalliin Joulen lämmöksi. Alemmilla taajuuksilla heijastus on vielä suuempaa. Näkyvän valon ja kokeammilla taajuuksilla kvantti-ilmiöt tulevat mekittäviksi ja yo. klassinen käsittely ei enää päde. uom. Kun σ, saadaan yhtälöstä (.4) tulos O O (.44) eli heijastustuksessa täydellisestä johteesta tapahtuu 8 o :n vaihesiito.

28 763S Sähkömagneettinen säteily 39.8 Sähkömagneettisen säteilyn kvanttiluonne Sähkömagneettisella säteilyllä on klassisen aalto-ominaisuuden ohella myös ns. kvanttiluonne, joka paljastuu mm. silloin, kun säteilyn aallonpituus lähestyy atomien ja molekyylien välistä etäisyyttä. Sähkömagneettisen säteilyn sisältämä enegia koostuu eillisistä yksiköistä, valokvanteista eli fotoneista, joiden enegia on hv (.45) missä h Js, ns. Plankin vakio, on yksi täkeimpiä luonnonvakioita. Fotonien lepomassa m on nolla, joten elativistisen enegian kaavasta m 4 p m 4 (.46) saadaan fotonin liikemäää hv h p (.47) λ isteessä λ λ va /n, mutta yhtälö p h/λ pätee sielläkin. Koska Poynting-vektoin aikakeskiavo <N> antaa enegian pinta-alayksikköä ja aikayksikköä kohti, liittyy säteilyyn N k (.48) hv kappaletta fotoneja pinta-ala- ja aikayksikköä kohti. Säteilyn kuljettama kokonaisliikemäää (samoin pinta-ala- ja aikayksikössä) on siis N h n N P kp hv λ (.49) Yhtälöstä (.6) saadaan joten <N> ½ v (.5) P ½ (.5) ämä säteilyn kuljettama liikemäää aiheuttaa painetta (ns. säteilypainetta) säteilyn kohtaamalle ajapinnalle. Jos säteily heijastuu ajapinnasta kokonaan, on sen kokema liikemäään muutos P P (.5)

29 763S Sähkömagneettinen säteily 4 Koska liikemäään muutos aikayksikköä kohti antaa voiman, on P voima pintaalayksikköä kohti eli paine. Jos säteily absoboituu pinnalle kokonaan, on P P ½ (.53) sim.. Auingosta tulee maahan säteilyä teholla <N> 3 W/m. Jos oletetaan sen absoboituvan kokonaan maahan, saadaan säteilypaineeksi P N 3 W/m 4,3 6 N/m ja sähkökentän amplitudiksi P 99 V/m sim.. Säteilypaineella on suui mekitys esimekiksi tähtien sisäiselle tasapainolle, jossa ulospäin suuntautunut säteilypaine kompensoi gavitaation aiheuttaman sisäänpäin suuntautuneen paineen. sim. 3. Auingon säteilypainetta on ehdotettu avauusalusten työntövoimaksi ns. auinkopujeiden avulla. ekniset vaikeudet iittävän suuen pinnan saamiseksi ovat toistaiseksi estäneet hankkeen toteutumisen. Fotoneilla on myös ns. sisäinen impulssimomentti eli spin J, jonka avo on h J h (.54) π (Fotonit ovat siis ns. kokonaisspinillisiä bosoneja.) Spinillä voi olla kaksi suuntaa. Oikeakätisesti ympyäpolaoituneen (CP) aallon fotonien spin on etenemissuunnassa. Näin ollen CP-aallon mukanaan kuljettama kokonaisspin pinta-ala- ja aikayksikköä kohti on N N J h k k (.55) hv ω Vastaavasti vasenkätisesti ympyäpolaoituneen (LCP) aallon spin on aallon tulosuunnassa ( k:n suuntainen).