Integraali ja yleistetty Pythagoraan lause
|
|
- Teemu Katajakoski
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Ann-Riikk Pvol Integrli j yleistetty Pythgorn luse Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Mrrskuu 28
2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Pvol, Ann-Riikk: Integrli j yleistetty Pythgorn luse Pro grdu -tutkielm, 52 s. Mtemtiikk Mrrskuu 28 Tiivistelmä Käsittelen tutkielmssni integrlej, integrlin sovelluksi j yleistettyä Pythgorn lusett. Kppleess 2 käydään läpi integrliin liittyviä luseit j määritelmiä, sekä lsketn esimerkkejä pint-lst j tilvuuksist. Kppleess 3 todistetn Pythgorn luse, esitellään yleistyksiä Pythgorn luseest, lsketn esimerkkejä yleistetystä Pythgorn luseest j esitellään muutm yleistetystä Pythgorn luseest johdettu luse. Pääsillisin lähteinä ovt olleet integrlilskennss Slksen, Hillen j Etgenin Clculus, yleistetyssä Pythgorn luseess Fongin j Wngin Clculus sekä rtikkeleit yleistetystä Pythgorn luseest. 1
3 Sisältö 1 Johdnto 3 2 Integrli Pint-l Jtkuvn funktion määrätty integrli Määrätty integrli Riemnnin summ Esimerkkejä pint-ln lskemisest u-sijoitus Tilvuuden lskeminen integrlill Yleistetty Pythgorn luse Pythgorn luse Ensimmäinen yleistys Pythgorn luseest Muit Pythgorn luseen yleistyksiä
4 1 Johdnto Integrlilskennst on hyvin pljon sovelluksi. Se on kiinnostv siksi, että sen vull voidn lske konkreettisi sioit, kuten kppleiden tilvuuksi. Tässä tutkielmssni keskityn integrlin sovelluksist vin pieneen osn, pint-ln j tilvuuden lskemiseen, sekä yleistettyyn Pythgorn luseeseen eli kosiniluseeseen. Lukijn on hyvä oll perehtynyt mtemtiiseen esitystpn, merkintöihin j todistustekniikkn. Tutkielmn sisällön ymmärtäminen voi onnistu lukion pitkän mtemtiikn suorittneelt, mutt vrsinkin loppuos on helpompi luke vst mtemtiikn perus- ti ineopintojen jälkeen. Kppleess 2 käydään läpi integrliin liittyviä luseit j määritelmiä, sekä lsketn esimerkkejä pint-lst j tilvuuksist. Kppleess 3 todistetn Pythgorn luse, esitellään yleistyksiä Pythgorn luseest, lsketn esimerkkejä yleistetystä Pythgorn luseest j esitellään muutm yleistetystä Pythgorn luseest johdettu luse. Esimerkit ovt lähdekirjojen tehtäviä, kirjn esimerkeistä muunneltuj esimerkkejä ti tutkielmn kirjoittjn keksimiä tehtäviä. Pääsillisen lähteenä kppleen 2 integrlilskennss on ollut Slksen, Hillen j Etgenin Clculus j kppleess 3 Fongin j Wngin Clculus. Lisäksi tutkielmn loppuosss on käytetty lähteinä kht rtikkeli yleistetystä Pythgorn luseest. 3
5 2 Integrli Tässä koko integrli käsittelevässä kppleess on käytetty lähdettä [5, s ]. 2.1 Pint-l Pint-ln A lskeminen voi oll hnkl, jos jokin reunoist ei ole suor viiv vn os jonkin muunlist jtkuv funktiot f. Kuvitelln tilnne, joss l rjoittuu lhlt x-kseliin, sivuilt kohtiin j b j ylhäältä funktioon y = f(x). Ktso tilnnett kuvst 1. Kuv 1. Pint-ln määrittämistä vrten jetn väli [,b] äärelliseen määrään osvälejä [x, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n ], joss = x < x 1 <... < x n = b. Tällöin lue A jkutuu n:ään os-lueeseen, ktso myös kuv 2 A 1, A 2,..., A n. 4
6 Kuv 2. Nyt voidn rvioid koko lueen A pint-l rvioimll os-lueiden A 1,..., A n lt j lskemll ne yhteen. Mksimirvoll lsketust pintlst voi tull suurempi kuin pint-l oikesti on j minimirvoll lsketust pint-lst voi tull pienempi kuin oike pint-l. Alueen oiken pintln on oltv jossin minimi- j mksimirvoill lskettujen pint-lojen välissä. Merkitään kirjimell M i välin [x i 1, x i ] funktion mksimirvo j kirjimell m i minimirvo. Kuv 3. Minimirvoll lskettu pint-l r i on tummnhrmll kuvss 3. Mksimirvoll lskettu pint-l R i on kuvttu tummnhrmll kuvss 4. 5
7 Kuv 4. Kuv 5. Kuvss 5 näkyvä oike pint-l A i on mksimi- j minimirvoll lskettujen pint-lojen välissä, merkitään seurvsti r i A i R i. 6
8 Kosk pint-l r i lsketn kvll r i = m i (x i x i 1 ) j pint-l R i lsketn kvll R i = M i (x i x i 1 ), niin myös epäyhtälö m i (x i x i 1 ) A i M i (x i x i 1 ) on voimss. Merkitään x i = x i x i 1, joten m i x i A i M i x i. Tämä epäyhtälö pätee, kun i = 1, 2,..., n. Lskemll yhteen minimi- j mksimirvoill lsketut pint-lt i:n eri rvoill sdn m 1 x 1 + m 2 x m n x n A M 1 x 1 + M 2 x M n x n. Määritelmä 2.1. Os-lueiden summ kutsutn funktion f lsummksi. m 1 x 1 + m 2 x m n x n Alsummn kuuluv lue on merkitty vlenhrmll kuvn 6. Kuv 6. Määritelmä 2.2. Os-lueiden summ M 1 x 1 + M 2 x M n x n kutsutn funktion f yläsummksi. 7
9 Sitä on kuvttu vlenhrmll kuvss 7. Kuv 7. Jtkuvlle funktiolle f on olemss vin yksi oike pint-l, se on suurempi kuin määritelmässä 2.1 määritelty lsumm j pienempi kuin määritelmässä 2.2 määritelty yläsumm. 2.2 Jtkuvn funktion määrätty integrli Määrätty integrli Määritelmä 2.3. Välin [, b] osituksell trkoitmme välin [, b] äärellistä osjoukko, johon kuuluvt lkiot j b. Alkiot kirjoitetn niiden luonnollisess järjestyksessä, joten jos niin siitä voidn päätellä, että P = {x, x 1, x 2,..., x n } on välin [, b] ositus, = x < x 1 <... < x n = b. Jos P = {x, x 1, x 2,... x n } on välin [, b] ositus, niin P jk välin [, b] n:ään osväliin [x, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n ], 8
10 joiden pituuksi merkitään symboleill x 1, x 2,..., x n. Oletetn nyt, että f on jtkuv funktio välillä [, b]. Silloin jokisell osvälillä [x i 1, x i ] funktion f s mksimirvon M i j minimirvon m i. Määritelmä 2.4. Luku U f (P ) = M 1 x 1 +M 2 x M n x n kutsutn funktion f yläsummksi P, j luku L f (P ) = m 1 x 1 +m 2 x m n x n kutsutn funktion f lsummksi P. Esimerkki 1. [5, s.267 olevn esimerkin tpn]. Funktio f (x) = 3 x 2 on jtkuv välillä [ 1, 3]. Ositus P = { 1, 1, 3, 2, 3} jk välin [ 1, 3] neljään 2 2 osväliin [ [x, x 1 ] = 1, 1 ] [ 1, [x 1, x 2 ] = 2 2, 3 ] [ ] 3, [x 2, x 3 ] = 2 2, 2, [x 3, x 4 ] = [2, 3], joiden pituudet ovt x 1 = 1 2 ( 1) = 3 2, x 2 = 3 ( ) ( ) = 1, x 3 = 2 = , x 4 = 3 2 = 1 9
11 Kuv 8. Kuten kuvst 8 näkyy, mksimirvot ovt [ M 1 = f () = 3 välillä 1, 1 2 ], M 2 = f ( ) 1 = 11 [ välillä 2, 3 ], 2 1
12 M 3 = f ( ) 3 = 34 [ ] 32 2 välillä, 2 j M 4 = f (2) = 1 välillä [2, 3]. Minimirvot ovt [ m 1 = f ( 1) = 2 välillä 1, 1 ] ( ) 3, m 2 = f = 3 [ välillä 2, 3 ], 2 [ ] 3 m 3 = f(2) = 1 välillä 2, 2, j m 4 = f(3) = 6 välillä [2, 3]. Sijoitetn mksimi- j minimirvot l- j yläsummn kvn. Sdn yläsummksi j lsummksi U f (P ) = 3( 3 2 ) (1) (1 2 ) + ( 1)(1) = 65 8 L f (P ) = 2( 3 2 ) (1) + ( 1)(1 2 ) + ( 6)(1) = Määritelmä 2.5. Olkoon funktio f on määritelty välillä [, b]. Silloin f on integroituv välillä [, b], jos on olemss vin yksi luku I, jolle pätee epäyhtälö L f (P ) I U f (P ) kikill välin [, b] osituksill. Tätä yksikäsitteistä luku I kutsutn funktion f määrätyksi integrliksi :st b:hen j sitä merkitään I = Esimerkki 2. Tehtävä: Osoit ylä- j lsummi käyttäen, että.5 < 2 1 f(x)dx. dx x < 1. Vstus: Otetn ositus P = [ 1, 3 2, 2] j lsketn l- j yläsumm. Alsumm lsketn kvst L f (P ) = m 1 x 1 + m 2 x 2. Nyt x 1 sdn lskemll 3 1 = 1 j x sdn lskemll 2 3 = Minimikoht välillä [ 1, 2] 3 on luvun 3 kohdll, joten minimi välillä [ 1, 3 2 2] on ( ) 3 f = 1 2 3/2 =
13 Minimikoht välillä [ 3 2, 2] on luvun 2 kohdll, joten minimi välillä [ 3 2, 2] on Nyt lsummksi sdn L f (P ) = 2 ( ) Yläsumm lsketn kvst f (2) = 1 2. ( ) 1 = = = U f (P ) = M 1 x 1 + M 2 x 2. Mksimikoht välillä [ 1, 3 2] on kohdss 1, joten mksimi välillä [ 1, 3 2] on f(1) = 1 1 = 1. Mksimikoht välillä [ 3 2, 2] on kohdss 3 2, joten mksimi välillä [ 3 2, 2] on Yläsummn rvoksi tulee ( ) 1 U f (P ) = Nyt voidn kirjoitt Siis kosk j L f (P ) < I < U f (P ), niin f( 3 2 ) = < 7 12 < 2 = 2 3. ( ) 1 = = = 5 6. I =.5 < dx x < 5 6 < 1. dx x dx x < 1. Luse 1. Jos f (x) = k on vkio kikill x : n rvoill välillä [, b], niin f (x) dx = k (b ). 12
14 Todistus. Otetn välille [, b] ositus P = {x, x 1,..., x n }. Kosk f on vkio, se s jtkuvsti rvon k välillä [, b], täten se s rvon k myös jokisell osvälillä [x i 1, x i ]. Siten myös M i j m i ovt rvoltn k. Siitä seur, että j U f (P ) = k x 1 + k x k x n = k ( x 1 + x x n ) = k [(x 1 x ) + (x 2 x 1 ) + + (x n x n 1 )] = k (b ) L f (P ) = k x 1 +k x k x n = k ( x 1 + x x n ) = k (b ). Tällöin pätee kksoisepäyhtälö L f (P ) k (b ) U f (P ). Kosk epäyhtälö pätee kikille välin [, b] P osituksille, voimme päätellä, että f (x) dx = k (b ). Jos k >, niin lue jok on vkiofunktion f (x) = k kuvjn lpuolell j x-kselin yläpuolell on nelikulmio, jonk korkeus on k j pituus välin [, b] pituus. Tällöin integrli nt tämän ln pint-ln. Jos k < niin integrlin rvo on negtiivinen j tällöin pint-l on integrlin itseisrvo. Luse 2. Olkoon f (x) = x in, kun x [, b]. Tällöin xdx = 1 2 ( b 2 2). Todistus. Olkoon välin [, b] mielivltinen ositus P = x, x 1,..., x n. Jokisell osvälillä [x i 1, x i ] funktioll f(x) = x on mksimirvo M i j minimirvo m i. Kosk f(x) = x on ksvv funktio, niin mksimirvo sijitsee välin oikess päätepisteessä j minimirvo vsemmss päätepisteessä. Siispä jokisell osvälillä M i = x i j m i = x i 1. Siitä seur, että U f (P ) = x 1 x 1 + x 2 x x n x n j L f (P ) = x x 1 + x 1 x x n 1 x n. Jokiselle indeksille i x i (x i + x i 1 ) x i, kosk x i 1 x i. 13
15 Kerrotn epäyhtälö puolittin luvull x i = x i x i 1, jolloin x i 1 x i 1 2 (x i + x i 1 )(x i x i 1 ) x i x i, jok voidn kirjoitt x i 1 x i 1 2 (x2 i x 2 i 1) x i x i. Kun summtn kikki indeksit 1:stä n:ään, sdn x x x n 1 x n 1 2 (x2 1 x 2 )+ 1 2 (x2 2 x 2 1) (x2 n x 2 n 1) x 1 x x n x n L f (P ) 1 2 (x2 1 x 2 ) (x2 2 x 2 1) (x2 n x 2 n 1) U f (P ). Keskellä olev summ supistuu muotoon Siispä sdn 1 2 (x2 n x 2 ) = 1 2 (b2 2 ). L f (P ) 1 2 (b2 2 ) U f (P ). Kosk P vlittiin mielivltisesti, voimme päätellä, että epäyhtälö pätee kikille osituksille P välillä [, b]. Siitä seur, että xdx = 1 2 ( b 2 2) Riemnnin summ Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b]. Johdtuksessmme integrliin huomsimme, että integrli f(x)dx on yksikäsitteinen luku, jok toteutt epäyhtälön L f (P ) f(x)dx U f (P ) kikill välin [, b] osituksill. Tämä edellä esitetty metodi, joll määritetään määrätty integrli hrukoimll sitä kohti ylä- j lsummill on nimeltään Drboux n metodi. On olemss toinenkin usein käytetty tp määrittää integrli, se esitetään seurvksi. 14
16 Otetn ositus P = {x, x 1,..., x n } väliltä [, b]. Sitten jetn väli [, b] n:ään osväliin [x, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [ x ( n 1), x n ] joiden pituudet ovt x 1, x 2,..., x n. Vlitn piste x 1 väliltä [x, x 1 ] j muodostetn tulo f (x 1) x 1. Sitten vlitn piste x 2 väliltä [x 1, x 2 ] j muodostetn tulo f (x 2) x 2. Jtketn näin kunnes sdn kikille väleille määriteltyä tulot, jotk ovt Näiden tulojen summ f (x 1) x 1, f (x 2) x 2,..., f (x n) x n. S (P ) = f (x 1) x 1 + f (x 2) x f (x n) x n kutsutn Riemnnin summksi. Luse 3. [5, s.272]. Jos P on mikä thns välin [, b] ositus j S (P ) on mikä thns sitä vstv Riemnnin summ, niin L f (P ) S (P ) U f (P ). Todistus. Tutkielmn tekijä on itse ltinut tämän todistuksen. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b] j P tämän välin jko n:ään osväliin, jotk ovt [, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, b] j joiden pituudet ovt x 1, x 2,..., x n. Tällöin l- j yläsumm sdn kvoist L f (P ) = m 1 (x 1 ) m n (b x n 1 ) U f (P ) = M 1 (x 1 ) M n (b x n 1 ). Vlitn pisteet x 1, x 2,..., x n väleiltä [, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, b]. Tällöin on Nyt siis pitää pikkns S (P ) = f(x 1)(x 1 ) f(x n)(b x n 1 ). L f (P ) = m 1 x m n x n U f (P ) = M 1 x M n x n S (P ) = f(x 1) x f(x n) x n. Nyt on voimss m 1 f(x 1) M 1 j myös m n f (x n) M n. Nyt kosk x:t voidn kerto näihin kksoisepäyhtälöihin niin sdn L f (P ) S (P ) U f (P ). 15
17 Funktion f määrätty integrli voidn esittää Riemnnin summien rjrvon. Mille thns välin [, b] jolle P määritellään P, eli P :n normi settmll P = mx( x i ), 1 i n. Jokist luku ɛ > kohti on olemss δ > siten, että jos P < δ, niin S (P ) f (x) dx < ɛ, miten thns x i vlitnkin väliltä [x i 1, x i ]. Integrli f (x) dx voidn nyt kirjoitt trkoittmn, että f (x) dx = lim [f P (x 1) x 1 + f (x 2) x f (x n) x n ]. Luse 4. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b] j olkoot P j Q välin [, b] osituksi. Jos P Q, niin L f (P ) L f (Q) j U f (Q) U f (P ). Todistus. Tutkielmn tekijä on itse muotoillut todistuksen, [5, s.277] perusteell. Todistus on hvinnollinen, kuviin perustuv. Täsmällinen todistus sivuutetn. Kosk P Q, niin silloin jkoon P kuuluu vähemmän ti yhtä pljon pisteitä kuin jkoon Q. Tällöin jos lsumm lsketn jon P mukn, niin osvälejä on vähemmän ti yhtä pljon, kuin jon Q mukn tehtyjä lueit, kuten kuvist 9 j 1 näkyy. 16
18 Kuv 9. Jko kuvss 9 on tehty osituksen P mukn. Kuv 1. Jko kuvss 1 on tehty osituksen Q mukn. Kuvist 9 j 1 nähdään, että hrm pint-l on pienempi kuvss 9, kun jko on tehty osituksen P mukn, kuin jos se on tehty osituksen Q mukn, kuten kuvss 1. Pint-lt voivt oll yhtä suuret, jos ositukset P j Q ovt 17
19 smt. Tällöin siis lsumm jon P mukn lskettun on joko pienempi ti yhtä suuri kuin jon Q mukn lskettu lsumm, eli L f (P ) L f (Q). Myös jos yläsumm lsketn jon P mukn, niin osvälejä on vähemmän ti yhtä pljon, kuin jon Q mukn tehtyjä lueit, kuten kuvist 11 j 12 näkyy. Kuv 11. Jko kuvss 11 on tehty osituksen P mukn. 18
20 Kuv 12. Jko kuvss 12 on tehty osituksen Q mukn. Kuvist 11 j 12 nähdään, että pint-l on suurempi ti yhtä suuri kuvss 11 kuin kuvss 12, kun kuvss 11 pint-l on lskettu osituksen P mukn j kuvss 12 osituksen Q mukn. Tällöin yläsumm jon P mukn lskettun on suurempi ti yhtä suuri kuin jon Q mukn lskettu yläsumm, eli U f (Q) U f (P ). Luse 5. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b] j < c < b, niin f (t) dt + f (t) dt = c f (t) dt Todistus. Todistksemme tämän luseen meidän täytyy inostn näyttää, että jokiselle välin [, b] P-ositukselle pätee kksoisepäyhtälö L f (P ) f (t) dt + c f (t) dt U f (P ). Määrätyn integrlin määritelmän 2.5 mukn tällöin on voimss myös L f (P ) f (t) dt U f (P ). Me loitmme välin [, b] mielivltisell joll P = {x, x 1,..., x n }. 19
21 Kosk jko Q = P {c} sisältää joukon P, tiedämme luseen neljä perusteell, että L f (P ) L f (Q) j U f (P ) U f (P ). Joukot Q 1 = Q [, c] j Q 2 = Q [c, b] ovt välien [, c] j [c, b] osituksi. Lisäksi voidn päätellä, että (2.1) L f (Q 1 ) + L f (Q 2 ) = L f (Q) j U f (Q 1 ) + U f (Q 2 ) = U f (Q). Kosk L f (Q 1 ) f (t) dt U f (Q 1 ) j L f (Q 2 ) niin yhdistämällä kksoisepäyhtälöt sdn L f (Q 1 ) + L f (Q 2 ) Yhtälön (2.1) perusteell sdn L f (Q) Luseen 4 perusteell L f (P ) L f (Q) f (t) dt + f (t) dt + f (t) dt + Siis tästä päästään lopputulokseen L f (P ) f (t) dt + c c c c c f (t) dt U f (Q 2 ), f (t) dt U f (Q 1 ) + U f (Q 2 ). f (t) dt U f (Q). f (t) dt U f (Q) U f (P ). f (t) dt U f (P ). Määritelmä 2.6. b f(t)dt = f(t)dt Määritelmä 2.7. c f(t)dt = Määritelmä 2.8. Olkoon f : A R j x derivtt on f, jonk rvo kohdss x on ti yhtäpitävästi f (x ) = lim x x f (x) f (x ) x x f f (x + x) f (x ) (x ) = lim x x (, b) A. Funktion f 2
22 joss x = x + x. Yleisesti otten, derivtn määritelmä voidn kirjoitt myös seurvsti. Funktion f derivtt missä thns pisteessä x (, b) A on f f (x + h) f (x) (x) = lim. h h Jos derivtt f (x ) on olemss, niin snomme, että funktioll f on derivtt ti se on derivoituv pisteessä x. Jos funktioll f on derivtt jokisess määrittelyjoukkons pisteessä, sen snotn olevn derivoituv. Luse 6. Olkoon p >. Oletetn, että kikill x:llä, joill < x c < p on voimss h (x) f (x) g (x). Jos niin lim x c h (x) = L j lim g (x) = L, x c lim f (x) = L. x c Todistus. Olkoon ɛ >. Olkoon p > siten, että Vlitn δ 1 siten, että Vlitn δ 2 siten, että jos < x c < p, niin h(x) f(x) g(x). jos < x c < δ 1, niin L ɛ < h(x) < L + ɛ. jos < x c < δ 2, niin L ɛ < g(x) < L + ɛ. Olkoon δ = min {p, δ 1, δ 2 }. Kun x toteutt ehdon < x c < δ,niin L ɛ < h(x) f(x) g(x) < L + ɛ. Siis on myös oltv f (x) L < ɛ. Luse 7. Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Funktio F, jok on määritelty välillä [, b] kvll F (x) = x f(t)dt, on jtkuv välillä [, b], differentioituv voimell välillä (, b) j sillä on derivtt F (x) = f(x) kikill x (, b). 21
23 Todistus. Aloitmme niin, että x kuuluu puolivoimelle välille [, b) j osoitmme, että F (x + h) F (x) lim = f(x). h + h Jos x < x + h b, niin Siitä seur, että F (x + h) F (x) = x+h (2.2) F (x + h) F (x) = kosk f(t)dt x+h x x f(t)dt f(t)dt. Nyt setetn x+h f(t)dt x f(t)dt = F (x + h) F () (F (x) F ()) = F (x + h) F (x) = x+h x f(t)dt. M h = funktion fmksimirvo välillä [x, x + h] j m h = funktion fminimirvo välillä [x, x + h]. Kosk M h [(x + h) x] = M h h on funktion f yläsumm välillä [x, x + h] j m h [(x + h) x] = m h h on funktion f lsumm välillä [x, x + h], niin m h h Ktso tilnnett kuvst 13. x+h x f (t) dt M h h. 22
24 Kuv 13. Nyt, käyttämällä tämän todistuksen yhtälöä (2.2) j tieto h > seur, että F (x + h) F (x) m h M h. h Myös kosk f on jtkuv välillä [x, x + h] j niin lim m h = f (x) = lim M h, h + h + (2.3) lim h + F (x + h) F (x) h = f (x) luseen 6 perusteell. Smll tvll kuin todistimme puolivoimelle välille [, b), voimme todist myös toiselle puolivoimelle välille (, b], että kun x (, b], niin (2.4) lim h F (x + h) F (x) h = f (x). Kun x kuuluu voimelle välille (, b), yhtälöt (2.3) j (2.4) pitävät pikkns j F F (x + h) F (x) (x) = lim = f (x). h h Tämä todist, että F on differentioituv välillä (, b) j sillä on derivtt F (x) = f (x). Kiken tämän jälkeen trvitsee vielä todist, että F on jtkuv oikelt pisteessä j vsemmlt pisteessä b. Rj-rvo (2.3), kohdss x = on F ( + h) F () lim = f (). h + h 23
25 Kun h >, niin joten F ( + h) F () = lim [F ( + h) F ()] = lim h + h + Siksi F ( + h) F () h ( F ( + h) F () h lim F ( + h) = F () h + h, ) h = f () lim =. h + on voimss. Tämän perusteell F on jtkuv oikelt pisteessä. Jtkuvuus vsemmlt pisteessä b voidn näyttää sijoittmll yhtälöön (2.3) x=b. Määritelmä 2.9. Antiderivtn määritelmä Olkoon f jtkuv välillä [, b]. Funktiot G kutsutn ntiderivtksi funktiolle f välillä [, b] jos G on jtkuv välillä [, b] j G (x) = f (x) kikill x (, b). Aiemmin on todettu, että jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin F (x) = x f (t) dt on funktion f integrlifunktio välillä [, b]. Nyt siis tiedämme, että funktion f ntiderivtt sdn integroimll funktio f. Luse 8. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b]. Jos funktio G on funktion f ntiderivtt välillä [, b] niin f (t) dt = G (b) G (). Todistus. Määritelmän 2.9 perusteell tiedämme, että funktio F (x) = x f (t) dt on ntiderivtt funktiolle f välillä [, b]. Jos G on myös ntiderivtt funktiolle f välillä [, b], niin molemmt funktiot F j G ovt jtkuvi välillä [, b] j F (x) = G (x) kikill x (, b). On olemss sellinen vkio C, että F (x) = G (x) + C kikill x [, b]. Kosk F () =, G () + C = j C = G (). 24
26 Siitä seur, että F (x) = G (x) G () kikill x [, b]. Erityisesti f (t) dt = F (b) = G (b) G () 2.3 Esimerkkejä pint-ln lskemisest Esimerkki 3. Lsketn funktion f (x) = 5 3x 2 j x-kselin väliin jäävän lueen pint-l. Lsketn ensin x-kselin leikkuspisteet. Funktion f kuvj leikk x- kselin, kun y =, joten rtkistn 5 3x 2 =. Rtkistn toisen steen yhtälö Leikkuskohdt ovt 5 3 j 5 3x 2 = 5 3 3x 2 = 5 x 2 = x = ± 3.. Pint-l lsketn siis seurvsti 5/3 (5 3x 2 )dx 5/3 = [ 5x x 3] 5/3 5/3 [ 5 = ( ) ( ] ) 5 = = Jos toinen rjoittv suor ei olekn x-kseli, vn hlutn lske khden funktion väliin jäävän lueen pint-l, niin se voidn lske vähentämällä isommst pint-lst pienempi pint-l. Jos siis funktio f (x) = 4 j g (x) = 2, niin niiden väliin välillä [, b] jäävä pint-l lsketn A = [f (x) g (x)] dx 25
27 Esimerkki 4. Lsketn funktioiden f(x) = x+2 j g(x) = x 2 väliin jäävä pint-l. Lsketn ensin funktioiden leikkuskohdt, x 2 = x + 2 x 2 + x 2 =. Toisen steen yhtälön rtkisukvll x = 1 ± ( 2) 2 x = 1 ± 9 2 x = 1 ± 3 2 x = 1 ti x = 2. Pint-l sdn lskettu seurvsti 1 [ ] [ ( x + 2) x 2 x 2 x3 dx = + 2x [ 1 = ( ] 3 ) ] 1 2 = = 9 2. Esimerkki 5. Lsketn sellisen lueen pint-l, jot rjoitt lhlt funktio f(x) = sin x j ylhäältä funktio g(x) = cos x, x-kselin välillä [ 3π, π ]. Se lsketn seurvsti 4 4 π 4 3π 4 [cos x sin x] = [sin x + cos x] π 4 3π 4 = sin π 4 + cosπ 4 [sin( 3π 4 ) + cos( 3π 4 )] = sin π 4 + cosπ 4 sin5π 4 cos5π 4 = = 2 2. Esimerkki 6. Lsketn pint-l lueelle, jot esiintyy x-kselin molemmill puolill. X-kselill lue rjoittuu välille [ 1, 4] j funktio jok x-kselin 26
28 knss luett rjoitt on f(x) = 3x x 2. Kosk x-kselin lpuolelt pintl lskettess se tulee integrlist negtiivisen, sen eteen täytyy litt miinus-merkki, jott sdn oike pint-l. Funktio f leikk x-kselin kohdiss x = j x = 3, joten siis x-kselin lpuolell ovt välit [ 1, ] j [3, 4]. Pint-l sdn siis lskemll = 1 ( x 2 + 3x)dx + 3 [ 1 3 x x2 ] 1 + ( x 2 + 3x)dx [ 1 3 x x2 ] ( x 2 + 3x)dx [ 1 3 x x2 ] 4 3 = Esimerkki 7. Lsketn seurvksi pint-l luelle, joss välin päätepisteinä olevt rvot ovt y:n rvoj (iemmiss esimerkeissä päätepisteinä on ollut vn x-kselin rvoj) j joss funktiot ovt muoto x = F (y). Funktiot, jotk rjoittvt luett ovt f(y) = y 2 j g(y) = y +2. Funktiot leikkvt toisens pisteissä (1, 1) j (4, 2). Pint-l sdn lskettu seurvsti A = 1 2 [ ( y + 2) y 2 ] dy [ = 1 2 y2 + 2y 1 ] 1 3 y3 2 = ( ) 3 = = = u-sijoitus Jos integrli näyttää todell vikesti lskettvlt, sen lskemiseen voidn käyttää pukeinoj. Näistä yksi on u-sijoittminen. Silloin sijoitetn integroinnin jksi sisäfunktion tillle u j derivoidn yhtälö u =(sisäfunktio), lopuss sijoitetn ts u:n tillle lkuperäinen sisäfunktio. Esimerkki 8. Lske integrli (x 3 5) 5 (3x 2 )dx. Tehdään u-sijoitus u = x 3 5, joten du = 3x 2. 27
29 (x 3 5) 5 3x 2 dx = u 5 du = 1 6 u6 + C = 1 6 (x3 5) 6 + C. 2.5 Tilvuuden lskeminen integrlill Jos pint-l A(x) muuttuu, kun x muuttuu, niin tilvuus voidn lske seurvsti, integroimll A(x) :st b:hen. V = b A(x)dx. Jos kpplett rj funktio j kpple on x-kselin ympärillä sen tilvuus sdn kvst V = b π [f(x)] 2 dx. Vstvsti jos kpple on y-kselin ympärillä tilvuus sdn kvst V = d c π [g(y)] 2 dy. Esimerkki 9. [5, Tehtävä 27, s. 341]. Kppleen pohj on ympyrä x 2 +y 2 = r 2. Määritä kppleen tilvuus, kun kohtisuort läpileikkukset x-kselin knss ovt neliöitä. Rtkisu : Tilvuus lsketn kvll V = A(x)dx. Tästä A(x) = b (2y)2 = 4y 2 = 4(r 2 x 2 ) j kosk lue rjoittuu välille [ r, r] tilvuus sdn lskemll r = r r 4(r 2 x 2 )dx r 4r 2 4x 2 dx = [4r x3 ] r r = 4r r3 (4r 2 ( r) 43 ) ( r)3 =
30 Esimerkki 1. Olkoon lueen A rjoin suor y = 4 j funktio f(x) = 1 + x. Lsketn tilvuus kppleelle mikä syntyy, kun tämä lue A kierretään y-kselin ympäri seurvsti V = = π π[(y 1) 2 ] 2 dy (y 1) 4 dy (y 1)5 = π[ ( 5) 4 5 = π 5 = π. Esimerkki 11. [5, Tehtävä 45. s. 342]. Olkoon funktio f määritelty näin f(x) = x 2/3, kun x >. ) Osoit, että funktion j x-kselin rjmn lueen pint-l välillä x = 1 j x = b sdn lskettu yhtälöstä A(b) = 3(b 1/3 1). Rtkisu : ] 5 1 A(b) = 1 x 2/3 dx = [3x 1 3 ] b 1 = 3b = 3(b 1/3 1). b) Osoit, että kun -kohdss määritelty lue kierretään x-kselin ympäri sdn tilvuus lskettu yhtälöstä V (b) = 3π(1 b 1/3 ). Rtkisu : V (b) = = π 1 1 π [ x 2/3] 2 dx x 4/3 dx = π[ 3x 1/3 ] b 1 = π 3b 1/ /3 = 3Π(1 b 1/3 ). Jos pyörähdyskpplett x-kselin ympäri rj molemmilt puolilt funktiot, ulkopuolell y = f(x) j sisäpuolell y = g(x) voidn sen tilvuus ls- 29
31 ke Wsherin metodill V = π([f (x)] 2 [G(x)] 2 )dx. Jos ts pyörähdyskpplett y-kselin ympäri rj molemmilt puolilt funktiot, ulkopuolell x = f(y) j sisäpuolell x = g(y) voidn sen tilvuus lske Wsherin metodill V = d c π([f (y)] 2 [G(y)] 2 )dy. Esimerkki 12. [5, Tehtävä 48, s. 342] Olkoon funktio f(x) = x 3 j g(x) = x. Lsketn ) missä nämä funktiot leikkvt, b) niiden väliin jäävä pint-l, c) sekä tilvuus kun tämä lue pyöräytetään x-kselin ympäri. ) Rtkistn kolmnnen steen yhtälö b) Lsketn pint-l x 3 = x x 3 x = x(x 2 1) = x = ti x 2 = 1 x = ti x = ±1. (2.5) A = 1 x 3 xdx + 1 x x 3 dx = / x4 1 2 x2 + / x2 1 4 x4 = ( x2 ) = 1 2. c) Lsketn tilvuus (2.6) (2.7) (2.8) V = 1 π([x 3 ] 2 x 2 )dx + 1 = π/ x x3 3 + x 3 π/1 3 x7 7 = π π = 2 3 π. π(x 2 [x 3 ] 2 )dx 3
32 3 Yleistetty Pythgorn luse 3.1 Pythgorn luse Luse 9. Olkoon suorkulmisen kolmion hypotenuus c, lyhyempi kteetti j pidempi kteetti b, kuten kuvss 14. Tällöin yhtälö pitää pikkns. 2 + b 2 = c 2 Kuv 14. Todistus. Todistus Pythgorn luseelle Eukleideen ensimmäisen todistuksen tpn, lähteenä olen käyttänyt Jim Moreyn ltim todistust [3]. 31
33 Kuv 15. Todistus perustuu pint-loihin, isoimmn neliön pint-l on yhtä suuri kuin khden pienemmän neliön pint-lojen summ. Kuvst 15 nähdään miten neliöt rkentuvt suorkulmisen kolmion ympärille j miten kolmiot, joit todistuksess käytetään sijoittuvt. Ensinnäkin ABK = ACE, kosk AC = AK, AB = AE, BAK = BAC + CAK = BAC + EAB = EAC j CAK = 9 = EAB. Kolmioll ABK on knt AK j korkeus AC, kosk BCA on suor kulm j jos sivu AK jtkettisiin, niin pisteestä B jtkeelle piirretty kohtisuor jn, olkoon se BN olisi smn pituinen kuin sivu AC. Tämän tki kolmion ABK pint-l on puolet neliön CAHK A 1 = AC AK 2 A 2 = AK AC pint-lst. Toislt kolmioll ACE on knt AE j korkeus AM, kosk jos sivu EA jtkettisiin j siitä piirrettäisiin kohtisuor pisteestä O pisteen C 32
34 kutt, niin nämä jnt OC j AM olisivt smnsuuntiset j yhtä pitkät. M on CL:n j AB:n leikkuspiste, CL j AE ovt yhdensuuntisi. Nyt kolmion ACE pint-l AE AM A 3 = 2 on siis puolet neliön AMLE A 4 = AM AE pint-lst. Se trkoitt, että neliöiden, jotk lähtevät sivuilt AC j AM pint-lt ovt smt. Smoin myös sivult BC lähtevän neliön pint-l täsmää neliön BDLM pint-ln knss. Nyt siis neliöiden BDLM j AM LE pint-lt yhteensä vstvt hypotenuuslt AB lähtevän neliön pint-l, joten (AC) 2 + (BC) 2 = (AM) 2 + (BM) 2 = (AB) Ensimmäinen yleistys Pythgorn luseest Tästä loppuun sti olen käyttänyt lähteenäni [2, Fongin j Wngin tekemää Clculust]. Pythgorn luse on erittäin hyvin tunnettu luse. Melkein yhtä hyvin tunnetn kuvio, joss kteetit on nimetty :ksi j b:ksi, hypotenuus c:ksi j jonk ympärillä neliöt, jotk on piirretty kolmion sivuist, joiden sivujen pituudet ovt,b j c. Tätä kuviot käytetään Pythgorn luseen Eukleideen todistuksess, jok esitettiin kppleess 3.1. Sitä tieto, että nämä neliöt voidn korvt ympyröillä, puoliympyröillä, smnlisill kolmioill ti oikestn millä thns smnkltisell kksidimensioisell kuvioll, joll kuvio sdn "suljettu", ei kuitenkn tunnet yhtä hyvin. Nyt lmme trkstelemn yleistettyä Pythgorn lusett, yksi sellinen on nimeltään kosiniluse. Pythgorn luse (3.1) 2 + b 2 = c 2, liittää yhteen suorkulmisen kolmion kteettien pituudet hypotenuusn pituuteen. Kun kerrotn yhtälön (3.1) molemmt puolet π :llä sdn 4 π πb2 4 = πc2 4, mikä trkoitt sm kuin khden ympyrän, joiden hlkisijt ovt j b pint-lojen summ yhtä kuin ympyrän, jonk hlkisij on c pint-l. 33
35 Jos kerrotn Pythgorn luse (3.1) π :ll sdn 8 π πb2 8 = πc2 8, mikä nyt vst puoliympyröiden, joiden hlkisijt ovt, b j c, pint-loj. Ajtelln sitten kolmiot, joss on kulmt α, β j γ, j jonk kulmn α vstkkisen sivun pituus on x. Tällisen kolmion pint-l on K = x2 sinβsinγ 2sinα. Jos kerrotn Pythgorn luseen (3.1) molemmt puolet luvull sinβsinγ, 2sinα niin sdn 2 sinβsinγ + b2 sinβsinγ = c2 sinβsinγ 2sinα 2sinα 2sinα, mikä liittää yhteen kolme kolmiot, joiss on yhtä suuret kulmt j kulm α vstvt sivut ovt pituudeltn, b j c. Nämä kolme viimeistä esimerkkiä ovt erityistpuksi pljon yleisemmästä tuloksest. Nyt, että päästään siihen trvitn lisää huomioit j määritelmiä. Käytetään merkkiä > kuvuksess, esimerkiksi f, g, F, φ, silloin funktio merkitsee relist jtkuv funktiot suljetull välillä, määrittelyjoukkonn [, ], esimerkiksi f : [, ] R. Jos b, j f : [, ] R j f b : [, b] R, niin funktioist f, f b ei tule päätellä niiden olevn smnkltisi, esimerkiksi että f (x) = f b (x), kun x [, ] [, b]. Voi oll, että f (x) = e x, kun x [, ] j f b (x) = cosx, kun x [, b], j b. Siis f : [, ] R trkoitt vin, että funktioll f on määrittelyjoukkonn [, ]. Jos = b, niin f = f b. Funktio f on verrnnollinen (ti similrinen) funktion f b knss, merkitään f f b, jos j vin jos f b (x) = ( b ) f (( b ) x ), x [, b]. ( Huomioidn, että x b on yhtäpitävää sen knss, että ( b ) x ). Huomtn myös, että on ekvivlenssireltio. Mille thns >, olkoot f j g jtkuvi relifunktioit, joill on sm määrittelyjoukko [, ]. Olkoon R (f, g ) merkintä siitä lueest xytsoll, jot rjoittvt y = f (x) j y = g (x), sekä x = j x =. Kosk f j g ovt jtkuvi välillä [, ], niin voimme määritellä uuden jtkuvn funktion F : [, ] R, jok toteutt ehdon F (x) = (f g ) (x) = f (x) g (x) 34
36 kikill x [, ]. Siis lueen R (f, g ) pint-l, jot merkitään A (F ) sdn lskemll A (F ) = F (x) dx. Khdelle positiiviselle luvulle, b R, lue R (f, g ) on verrnnollinen lueen R (f b, g b ) knss, merkitään R (f, g ) R (f b, g b ) jos j vin jos f on verrnnollinen funktion f b knss j g funktion g b knss. Edellä kerrottuj väitteitä merkitään seurvsti R (f, g ) R (f b, g b ) f f b j g g b. Jos f f b j g g b, niin (f g ) (f b g b ), joten F F b. Siis iemmin tässä kppleess minittujen tietojen perusteell silloin pitää pikkns F b (x) = b ( ) F b x x [, b]. Luse 1. Pythgorn luseen ensimmäinen yleistys Olkoon,b j c suorkulmisen kolmion kteettien j hypotenuusn pituuksi. Oletetn, että lueet R (f, g ), R (f b, g b ) j R (f c, g c ) ovt similrisi. Silloin A (F c ) = A (F ) + A (F b ). Kuv 16. Kuvss 16 nähdään luseen 11 tilnne. 35
37 Todistus. Kosk R(f, g ) R(f b, g b ) R(f c, g c ), niin F F c j F b F c mikä trkoitt, että F (x) = ( c )F c( c x), x [, ] j F b (x) = ( b c )F c( c x), x [, b]. b Lskemll yhteen A(F ) j A(F b ) sdn Tehdään u,v-sijoitukset A(F ) + A(F b ) = = F (x)dx + c F c( c x)dx + F b (x)dx u = c x j v = c b x. b c F c( c b x)dx. Nyt siis, kun x = niin u = j kun x = niin u = c. Ottmll differentili puolittin yhtälöstä u = c x, sdn (3.2) du = c dx, joten kun kerrotn yhtälö (3.2) puolittin luvull c sdn dx = c du. Nyt sdn myös että, kun x = niin v = j kun x = b niin v = c. Ottmll differentili puolittin yhtälöstä v = c b x, sdn dv = c b dx, joten kun kerrotn puolittin luvull b c, sdn dx = b c dv. 36
38 Sijoittmll nyt sdn A(F ) + A(F b ) = = 2 c 2 = 2 c 2 c F c(u) c du + = 2 + b 2 = c 2 c = A(F c ). F c (u)du + b2 c 2 F c (x)dx + b2 c 2 F c (x)dx b c F c(v) b c dv F c (v)dv F c (x)dx (tekomuuttuj) F c (x)dx supistus Pythgorn luseen 2 + b 2 = c 2 mukn Huomutus: Jos g t (x) = kikill x [, t], missä t {, b, c} j f t (x) = t, x [, t], missä t {, b, c}, niin määritelmän 3.2 j iemmin tässä kppleess nnettujen tietojen mukn A(F c ) = A(F ) + A(F b ) F c (x) dx = (f c (x) g c (x)) dx = (c ) dx = c dx = dx + F (x) dx + F b (x) dx (f (x) g (x)) dx + (f (x) g (x)) dx + b dx. (f b (x) g b (x)) dx (f b (x) g b (x)) dx Nyt integrlit lskemll päästään Pythgorn luseeseen, kosk [cx] c = [x] + [bx] b c 2 = 2 + b 2. 37
39 Kuv 17. Kuvss 17 on voimss: F = f, F b = f b, F c = f c f f b f c A(f ) + A(f b ) = A(f c ). Esimerkki 13. Tutkielmn tekijä on itse keksinyt esimerkin. Olkoot,b j c suorkulmisen kolmion kteettien j hypotenuusn pituuksi, = 3, b = 4 j c = 5. Olkoot f (x) = 5 3 πx2, f b (x) = 5 4 πx2 j f c (x) = πx 2, jolloin f f b f c, kosk jolloin f c f b, j f c (x) = c b f ( b c x) = 5 4 (5 4 π(4 5 x)2 ) = πx 2, f b (x) = b f ( b x) = 4 3 (5 3 π(3 4 x)2 ) = πx2 5 3 = πx2 = 5 4 πx2, 38
40 joten f b f j f f b f c. Olkoot g =, g b = j g c =, jolloin g g b g c. Tällöin lueet R(f, g ) R(f b, g b ) R(f c, g b ) ovt verrnnollisi, kosk f f b f c j g g b g c. Tällöin luseen 11 mukn on voimss yhtälö A(f ) + A(f b ) = A(f c ). Kosk F (x) = (f g )(x) = f (x) g (x) = 5 3 πx2 = 5 3 πx2, j F b (x) = (f b g b )(x) = f b (x) g b (x) = 5 4 πx2 = 5 4 πx2 F c (x) = (f c g c )(x) = f c (x) g c (x) = πx 2 = πx 2, niin tällöin voidn kirjoitt A(f ) + A(f b ) = = πx2 dx + 4 = [ 5 9 πx3 ] 3 + [ 5 12 πx3 ] 4 = 5 9 π π43 = π = [πx 3 x3 ] 5 = = F c (x)dx = A(f c ). F (x)dx πx2 dx 5 πx 2 dx F b (x)dx 39
41 3.3 Muit Pythgorn luseen yleistyksiä Kuv 18. Otetn sitten trksteluun kosiniluse c 2 = 2 + b 2 2b cosα. Luse 11. Olkoon, b j c sellisen kolmion sivujen pituuksi, joll on kulm θ sivu c vstmss kuten kuvss 18. Jos lueet R (f, g ), R (f b, g b ) j R (f c, g c ) ovt verrnnollisi niin A (F c ) = A (F ) + A (F b ) 2bcosθ c 2 A (F c ). Todistus. Johdetn yhtälö, kuten edellisessä todistuksess. Kosk R(f, g ) R(f b, g b ) R(f c, g c ), niin F F c j F b F c mikä trkoitt, että F (x) = ( c )F c( c x), x [, ] j F b (x) = ( b c )F c( c x), x [, b]. b Lskemll yhteen A(F ) j A(F b ) sdn A(F )+A(F b ) = Tehdään u,v-sijoitukset F (x)dx+ F b (x)dx = u = ( c x) j v = (c b x). c F c( c x)dx+ b c F c( c b x)dx. Nyt kun x = niin u = j kun x = niin u = c. Ottmll puolittin differentili yhtälöstä u = ( c x), 4
42 sdn du = ( c )dx, joten kun kerrotn puolittin luvull sdn c dx = c du. Sdn myös että, kun x = niin v = j kun x = b niin v = c. Ottmll puolittin differentili yhtälöstä ( c ) v = b x, sdn dv = ( c b )dx, joten kun kerrotn puolittin luvull sdn b c, dx = b c dv. Sijoittmll sdn joten siis A(F ) + A(F b ) = = 2 c 2 = 2 c 2 c F c(u) c du + = 2 + b 2 c 2 F c (u) du + b2 F c (x)dx + b2 = 2 + b 2 c 2 A(F c ), c 2 c 2 F c (x)dx A (F ) + A (F b ) = 2 + b 2 Kosiniluseest sdn sijoitettu b c F c(v) b c dv c 2 A (F c ). 2 + b 2 = c 2 + 2b cosθ, F c (v)dv F c (x)dx 41
43 joten sdn A(F ) + A(F b ) = c2 + 2b cosθ 2b cosθ A(F c 2 c ) = A(F c ) + A(F c 2 c ), jost sdn A(F c ) = A(F ) + A(F b ) 2b cosθ c 2 A(F c ). Huomutuksi : (i) Jos θ = π, niin Pythgorn luseen ensimmäisen yleistys seur 2 välittömästi luseest 11. Kun cosθ = cos π =, niin on jälleen 2 A(F c ) = A(F ) + A(F b ). Joten ensimmäinen yleistys Pythgorn luseest on luseen 11 erikoistpus. (ii) Jos F t (x) = t, [, t], j t, b, c, j niin meillä on kosiniluse. Silloin A(F t ) = t F t(x)dx = t t dt = t[x ] t = t 2, eli 2b cosθ A(F c ) = A(F ) + A(F b ) A(F c 2 c ) 2b cosθ cdx = dx + bdx c 2 [cx] c = [x] + [bx] b 2b cosθ [cx] c c 2 c 2 = 2 + b 2 2b cosθ c 2 c 2 c 2 = 2 + b 2 2b cosθ Siis tunnettu kosiniluse on myös erikoistpus luseest 11. cdx 42
44 Kuv 19. Kuvss 19 pitää pikkns f f b f c A(f c ) = A(f ) + A(f b ) 2b cosθ c 2 A(f c ) (iii) Jos θ = π, F 2 t(x) = t kikill x [, t], j t, b, c, niin kosiniluseest tulee Pythgorn luse, kosk 2b cos π =, joten 2 c 2 = 2 + b 2. Esimerkki 14. Tutkielmn tekijä on itse keksinyt esimerkin. Esimerkissä käytetään likirvoj. Olkoot = 2.1, b = 4., c = 5.27 kolmion sivujen pituuksi j sivun c vstisen kulmn suuruus θ = 116. Olkoot f (x) = 2x, f b (x) = 2x j f c (x) = 2x, jolloin funktiot f, f b j f c ovt verrnnollisi keskenään, kosk f (x) = f b( x) = x = 2x 43
45 j Olkoot f c (x) = f b( x) = x = 2x. g (x) = 4x, g b (x) = 4x j g c (x) = 4x, jolloin nekin ovt verrnnolllisi keskenään. Aiemmin on todettu, että joten myös F (x) = f (x) g (x) = 2x ( 4x) = 2x, Nyt luseen 11 ehdot täyttyvät, joten F b (x) = 2x j F c (x) = 2x. Lsketn siis A(F c ) = A(F ) + A(F b ) 2b cosθ c 2 A(F c ). A(F c ) = Lsketn sitten yhtälön toinen puoli 5.27 = [x 2 ] 5.27 = xdx 2b cosθ A(F ) + A(F b ) A(F c 2 c ) cos116 = 2xdx + 2xdx (27.77) (5.27) 2 = [x 2 ] [x 2 ] (.438) (27.77) = = Molemmist puolist tuli yhtä suuret tulokset, joten esimerkki oli hvinnollistus luseest 11. Trkstelln nyt uudestn kosinilusett c 2 = 2 + b 2 2b cosθ. 44
46 j positiivisten relilukujen, b j c suhdett. Tästä näkökulmst ktsottun olkoon 1, 2, 3,..., n sellisi positiivisi lukuj, että ( 1, 2, 3,..., n ) on rtkisu nnettuun yhtälöön, jok on muoto (3.3) x 2 1 = x x x 2 n + f (x 1, x 2,..., x n ). Yhtälö (3.3) voisi oll esimerkiksi reltio, jok on määritelty seurvsti x 2 = y 2 + z 2 + 3xyz. Sillä on kksi rtkisu, jotk ovt ( ( 1, 2, 3 ) = 3 + ) 14, 1, 2 j ( 1, 2, 3 ) = ( 9 + ) 94, 2, 3. Tämä esimerkki tk sen, että yhtälö (3.3) on olemss. Siis smme seurvn luseen 12. Luse 12. Olkoon ( 1, 2,..., n ) rtkisu reltioon, jok on muoto (3.4) x 2 1 = x x x 2 n + f (x 1, x 2,..., x n ). missä jokinen i >, i {1, 2,..., n}. Oletetn, että R (f 1, g 1 ), R (f 2, g 2 ),..., R (f n, g n ) ovt kikki similrisi. Silloin A (F 1 ) = A (F 2 ) + A (F 3 ) A (F n ) + f ( 1,..., n ) A (F 2 1 ). 1 Todistus. Käyttämällä khden edellisen luseen todistuksi sdn A (F 2 ) + A (F 3 ) A (F n ) = = = F 2 (x)dx + 3 F 1 ( 1 x)dx F 1 (x)dx = n 2 1 F 3 (x)dx F 1 ( 1 n F n (x)dx 3 x)dx F 1 (x)dx n 2 1 F 1 (x)dx n 1 = 2 1 f( 1,..., n ) A(F 2 1 ) (yhtälön (3.4) perusteell) 1 = 1 f( 1,..., n ) A(F 2 1 ). 1 n 1 F 1 ( 1 n x)dx F 1 (x)dx 45
47 Huomutus : Jos n = 3, 1 = c, 2 =, 3 = b, j f( 1, 2, 3 ) = f(c,, b) = 2b cos θ = cos θ, niin nähdään, että luse khdeksn on erikoistpus luseest yhdeksän, jok on prs Pythgorn luseen yleistys, kun järkeillään verrnnollisi kuviot. Loppuosss olen käyttänyt lähdettä [1, Generliztions of Pythgors theorem-rtikkeli]. Trkstelln yhtälöä z 2 = x 2 + y 2 d 2, joss f(z, x, y) = d 2. Tämä yhtälö on meille tutumpi, kun se ilmistn muodoss (3.5) x 2 + y 2 z 2 = d 2. Yhtälö (3.5) kuv yksivippist hyperboloidi. Kertomll yhtälö (3.5) puolittin π:llä, sdn (3.6) πx 2 + πy 2 πz 2 = πd 2, ti jos r 2 = x 2 + y 2, (3.7) πr 2 + πz 2 = πd 2. Ajtelln yksivippist hyperpoloidi x 2 + y 2 z 2 = d 2. Tällisell hyperpoloidill on vyötärö (engl. wist) W, jok on ympyrä x 2 + y 2 = d 2 tsoll, joss z =. Tällä ympyrällä on pienin pint-l niistä hyperpoloidin leikkuksist, joill z = z. Olkoon (, b, c) mikä thns piste hyperpoloidist, trkstelln myös sylinteriä x 2 +y 2 = 2 +b 2. Tämä sylinteri leikk hyperpoloidin muodosten kksi ympyrää, toinen niistä on tsoll z = c j toinen tsoll z = c. Merkitään sitä ympyrää, jok on tsoll z = c kirjimell C. Hyperpoloidiss on myös ympyräperhe, joiden keskus on pisteessä (, b, ) j hlkisij segmentti pisteiden (, b, c) j (, b, c) välinen jn. Vlitn mikä thns näistä j merkitään sitä kirjimell T. Jos X on ympyrä, merkitään sen pint-l A(X). Yhtälö (3.7) voidn siis kirjoitt muotoon A(C) A(T ) = A(W ), kosk ympyrän pint-l lsketn kvll A = πr 2 j tämä on voimss kikill ympyräpreill C j T. Pisteestä (, b, c) svutetn myös muunlisi ympyröitä. Esimerkiksi tsolt y = b lähtee ympyrä, jonk säde on j keskipiste (, b, c). Kutsutn sitä A:ksi. Tsoll, joss x = on ympyrä, jonk säde on b j keskipiste (,, c). Kutsutn sitä B:ksi. Yhtälö (3.6) voidn kirjoitt muotoon A(A) + A(B) A(C) = A(W ), 46
48 j tämä pitää pikkns kikill tällisill ympyröillä A, B j C. Trkstelln sitten kksivippist hyperpoloidi, jok määritellään yhtälöllä (3.8) x 2 + y 2 z 2 = d 2. Kertomll yhtälö (3.8) π:llä sdn (3.9) πx 2 + πy 2 πz 2 = πd 2, jos r 2 = x 2 + y 2 niin yhtälö (3.9) on muoto (3.1) πr 2 πz 2 = πd 2. Olkoon W ympyrä, jonk keskipiste on (,, ) j hlkisij on segmentti pisteiden (,, d) j (,, d) välissä. Sylinteri x 2 + y 2 = 2 + b 2 leikk jälleen hyperpoloidin muodosten kksi ympyrää. Olkoon C toinen ympyröistä tsoll z = c. Ympyrän T keskipiste on (, b, ) j hlkisij segmentti välillä (, b, c) j (, b, c). Yhtälö (3.1) tulee muotoon A(C) A(T ) = A(W ) mikä on toisin snoen A(T ) A(C) = A(W ), mikä pitää pikkns ympyräprill C j T. Yhtälöstä (3.9) tulee iemmin kerrotuill perusteill ti vihtoehtoisesti A(A) + A(B) A(C) = A(W ) A(C) [A(A) + A(B)] = A(W ) ympyröille A, B, C, jotk on määritelty iemmin. Molemmiss tpuksiss, jos d =, niin x 2 + y 2 = z 2, mikä on ympyräkrtio (engl. circulr cone). Ympyrät A, B, C j T on määritelty vstvsti j niistä sdn (3.11) A(A) + A(B) = A(C) = A(T ). Näiden esimerkkien jälkeen ktsotn pllo (3.12) x 2 + y 2 + z 2 = d 2. Kertomll yhtälö (3.12) π:llä sdn (3.13) πx 2 + πy 2 + πz 2 = πd 2. 47
49 Mille thns pisteelle (, b, c), jok on tällä plloll, sylinteri on x 2 + y 2 = 2 + b 2 j ympyrä C leikk pllon, sylinterin j tson z = c. Jälleen on olemss ympyrä, jonk keskipiste on (, b, ) j hlkisij segmentti pisteiden (, b, c) j (, b, c) välillä. Vlitn yksi niistä j nimetään sitä kirjimell T, jolloin yhtälöstä (3.13) tulee A(C) + A(T ) = A(W ), missä W on pllon, tsoll z = iso ympyrä. Jälleen tämä pätee ympyräprill C j T. Näistä trksteluist siirrytään positiiviisiin lukuihin, joit merkitään i, j joist muodostuu rtkisu ( 1, 2,..., n ) yhtälöön, jok on muoto (3.14) x x x x 2 n = f(x 1, x 2,..., x n ). Yhtälöstä sdn 4 viimeistä lusett. Tietenkin f(x 1, x 2,..., x n ) voi oll mikä thns relirvoinen funktio, esimerkiksi f(x 1, x 2,..., x n ) = 1, jolloin rtkisut yhtälöön (3.14) ovt yksikköympyrän pisteet n-dimensioisess Euklidisess vruudess. Luse 13. [2, Tehtävä 1, s.265]. Olkoon ( 1, 2,... n ) rtkisu reltiolle, jok on muoto x x x 2 n = f(x 1, x 2,..., x n ), missä jokinen i >, 1 i n. Oletetn, että lueet R(f 1, g 1 ),..., R(f n, g n ) ovt kikki similrisi. Silloin (3.15) kun 1 i n. J jos niin n j=1 A(F j ) = f( 1,... n ) A(F 2 i ) i A(F i ), (3.16) f( 1, 2,..., n ) = 2 i A(F i ) n A(F j ). Todistus. Tutkielmn tekijä on itse keksinyt tämän todistuksen. Aiemmin kerrottujen tietojen perusteell pitää pikkns n A(F j ) = A(F 1 ) + A(F 2 ) A(F n ) j=1 = 1 j=1 F 1 (x)dx n F n (x)dx, kosk kikki lueet ovt similrisi. Siis muun muss F 1 j F n ovt similrisi keskenään,sekä F 1 j F i ovt similrisi. Kun 1 i n, niin on 1 F 1 (x)dx n = F 1 (x) = 1 i F i ( i 1 x)dx. F n (x)dx 48
50 Myös kun 1:n tillle vihdetn mikä thns luku väliltä [1,..., n], joten 1 F 1 (x)dx+...+ n F n (x)dx = 1 1 i F i ( i 1 x)dx+...+ Olkoon u 1 = ( i )x, u 2 = ( i )x,..., u n = ( i )x. 1 2 n Nyt, kun x =, niin u 1 = j kun x = 1 niin u 1 = i, sekä dx = 1 i du 1 Smoin myös muille u 2, u 3,...u n :lle. Nyt sdn n A(F j ) = A(F 1 ) + A(F 2 ) A(F n ) j=1 = i 1 = i = i i F i (u 1 ) 1 du i i i F i (u 1 )du n F i (x)dx n = n 2 i = f( 1,... n ) A(F 2 i ). i i 2 i i i 2 i i F i (x)dx n n i F i (u n ) n i du n F i (u n )du n F i (x)dx n i F i ( i n x)dx. Luse 14. Olkoon ( 1, 2,..., n ) rtkisu reltioon, jok on muoto (3.14), missä jokinen i > j 1 i n. Oletetn, että lueet R(f k, g k ) ovt kikki verrnnollisi j 1 k n. Silloin A(f k, g k ) =, missä 1 k n jos j vin jos n j=1 A(f j, g j ) =. Todistus. Todistetn ensin toiseen suuntn, eli jos A(f i, g i ) =, niin yhtälön (3.15) mukn n j=1 A(f j, g j ) =. Sitten toiseen suuntn vstoletuksell, eli jos n j=1 A(f j, g j ) = j A(f k, g k ), jollkin k:ll, jok kuuluu välille 1 k n, niin f( 1, 2,..., n =, yhtälön (3.16) perusteell. Tästä tulee ristiriit yhtälön (3.14) j tiedon, että i :t ovt positiivisi knss, joten väite on tosi. Luse 15. Olkoon ( 1, 2,..., n ) rtkisu reltioon, jok on muoto (3.14), missä jokinen i > j 1 i n. Oletetn, että lueet R(f j, g j ) ovt kikki verrnnollisi j 1 j n. Silloin on voimss jos A(f i, g i ). 2 i A(f i, g i ) = 2 k, kun 1 i, k n, A(f k, g k ) 49
51 Todistus. Yhtälön (3.16) perusteell, 2 i A(F i ) n A(F j ) = f( 1, 2,..., n ) = j=1 Tästä seur, että 2 i A(f i, g i ) = 2 k A(F k ) 2 k A(f k, g k ) pitää pikkns, kosk A(f i, g i ) luseen 13 mukn. n A(F j ), 1 i, k n. Luse 16. Olkoon ( 1, 2,..., n ) rtkisu reltioon, jok on muoto (3.14), missä jokinen i > j 1 i n. Oletetn, että lueet R(f j, g j ) ovt kikki verrnnollisi j 1 j n. Oletetn, että lueet R(F j, G j ) ovt kikki verrnnollisi j 1 j n. Silloin jos A(F i, F i ). j=1 A(f i, g i ) A(F i, G i ) = A(f k, g k ), kun1 i, k n, A(F k, G k ) Todistus. Luseen 14 perusteell on (3.17) 2 i A(f i, g i ) = 2 k A(f k, g k ). Yhtälö (3.17) voidn kirjoitt myös muotoon A(f i, g i ) 2 i = A(f k, g k ). 2 k Alueiden R(F j, G j ) olless verrnnollisi, luseess 14 on todistettu, että tällöin (3.18) 2 i A(F i, G i ) = 2 k A(F k, G k ). Jos yhtälön (3.17) molemmt puolet kerrotn ristiin sdn se muotoon jost päästään muotoon 2 i A(f k, g k ) = 2 k A(f i, g i ), 2 i 2 k = A(f i, g i ) A(f k, g k ) jkmll 2 k :llä j A(f k, g k ):llä. Jos ts yhtälön (3.18) molemmt puolet kerrotn ristiin sdn se muotoon 2 i A(F k, G k ) = 2 k A(F i, G i ), 5
52 jost päästään muotoon 2 i 2 k = A(F i, G i ) A(F k, G k ) jkmll 2 k :llä j A(F k, G k ):llä. Yhdistämällä näin sdut yhtälöt sdn A(f i, g i ) A(f k, g k ) = 2 i 2 k jost ristiin kertomll sdn = A(F i, G i ) A(F k, G k ), A(f i, g i ) A(F k, G k ) = A(f k, g k ) A(F i, G i ). Nyt jkmll A(F i, G i ):ll j A(F k, G k ):ll sdn todistetuksi luse. Siis A(f i, g i ) A(F i, G i ) = A(f k, g k ) A(F k, G k ) pitää pikkns. 51
53 Viitteet [1] Cly Jmes R.,Fong Yuen, Ojed-Peñ Edurdo, Shum Kr Ping. Generliztions of Pythgors theorem. SEA Bull. Mth. Vol.19, No.1, s [2] Fong Yuen, Wng Yun. Clculus. Springler-Verlg Singpore Pte. Ltd. 2. [3] Morey Jim. The proof of Pythgors theorem. [www]. (Viitttu ) Stviss : [4] Poly George. Generliztion, Speciliztion, Anlogy. The Americn Mthemticl Monthly, Vol.55, No.4, 1948, s [5] Sls Sturnino, Hille Einr, Etgen Grret. Clculus, Ninth Edition. John Wiley Sons, Inc., USA,
10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
LisätiedotMATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Hrjoitustehtävien rtkisut Ari Tuomenlehto - 0 - Hrjoitustehtävien rtkisut 1.
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
Lisätiedot601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.
LisätiedotLuku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa
Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
Lisätiedot3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A
3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotLYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
Lisätiedot8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella
H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
Lisätiedot2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
LisätiedotTasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi
LisätiedotSUORAKULMAINEN KOLMIO
Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
LisätiedotYläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa
Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
Lisätiedot5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
LisätiedotL 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )
76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
Lisätiedot1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
LisätiedotMATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
Lisätiedot