Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.
|
|
|
- Sinikka Ahola
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi. Vastinkulmat ovat keskenään yhtä suuret, ja vastinosien pituuksien suhteet ovat samat. Yhdenmuotoisuutta merkitään symbolilla. Yhdenmuotoiset kuviot ovat yleensä erikokoisia, mutta ne voivat olla myös samankokoisia eli yhteneviä. Yhtenevien kuvioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivut yhtä pitkät. SIMRKKI 1 Kolmiot ja ovat keskenään yhdenmuotoisia eli. Ratkaise a) kulman a suuruus b) sivun pituus. a 2,0 cm ,0 cm Ratkaisu a) Kulman a vastinkulma on kulma, jonka suuruus on 29. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. b) Koska vastinsivujen pituuksien suhde on sama, saadaan sivun pituus ratkaistua esimerkiksi verrannosta : 4,0 3,0 Verranto voidaan ratkaista 6,0 kertomalla ristiin: 4,0 3,0 3,0 4,0 6,0 6,0. 3,0 24,0 :3,0 24,0 3,0 8,0 Vastaus: a) Kulman a suuruus on 29. b) Sivun pituus on 8,0 cm. 116
2 SIMRKKI 2 Puun korkeus voidaan mitata asettamalla kynä mittaajan ja puun väliin sellaiselle etäisyydelle, että kynä ja puu näyttävät samanpituisilta. Laske näin mitatun puun korkeus. 8,5 cm 56 cm 110 m Ratkaisu Piirretään tilanteesta mallikuva. 8,5 cm 56 cm 110 m Muodostetaan vastinsivujen suhteista verranto 8, , : , Vastaus: Puun korkeus on noin 17 metriä. : Muunnetaan pituudet samaan yksikköön: 110 m cm cm 17 m HRJOITUSTHTÄVÄT 1. Ovatko kuviot ja keskenään yhdenmuotoisia? 2. Ovatko kuviot ja keskenään yhdenmuotoisia? 117
3 3. Ovatko kolmiot keskenään yhdenmuotoisia? Perustele vastauksesi. 7. Pellot ovat yhdenmuotoisia. Laske sivun pituus a) Mikä on kulman vastinkulma? b) Mikä on sivun vastinsivu? c) Mikä on sivun vastinsivu? 5. Mitkä kuvioista ovat keskenään yhdenmuotoisia? 30 m 60 m 80 m 8. Kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Laske sivun pituus. 3,4 cm 2,7 cm 2,3 cm G J H K I 9. a) Laske sivujen ja pituudet. b) Määritä kulmien a, β ja γ suuruudet ,0 cm 8,0 cm a γ 6,0 cm β 6. Laske vastinsivujen a) ja b) ja pituuksien suhde. 10. Lyhtypylvään varjon pituus on 12 m. Kuinka korkea pylväs on, kun sen vieressä olevan 2,4 m korkean liikennemerkin varjon pituus on 4,0 m? 11. Kolmio on jaettu sivun suuntaisella janalla kahdeksi yhdenmuotoiseksi kolmioksi. Laske janan pituus. 2,3 cm 2,5 cm 118
4 12. Ratkaise sivun pituus, kun janat ja ovat yhdensuuntaiset. 2,8 cm 13. Kun projektorin etäisyys valkokankaasta on 1,8 m, kuvan koko valkokankaalla on suurimmillaan 1,6 m 1,2 m. Mitkä ovat kuvan mitat, jos projektori viedään 4,5 metrin etäisyydelle kankaasta? 4,2 cm 3,3 cm KOTITHTÄVÄT 14. Ovatko kolmiot PQR ja KLM keskenään yhdenmuotoisia? Perustele vastauksesi. R P L ,3 cm 6,0 cm 12,6 cm 12,0 cm 15. Mitkä kuvioista ovat keskenään yhdenmuotoisia? K M 2,0 cm Q 16. Tasaisella pihalla kasvavan puun varjon pituus oli 18 m ja vieressä olevan lipputangon 30 m. Laske puun korkeus, kun lipputangon korkeus oli 15 m. 17. a) Laske sivujen JK ja NL pituudet. b) Määritä kulmien J, N ja L suuruudet. HJK LMN K 5,0 cm H J L 8,0 cm M N 8,3 cm G H I 18. Kolmio on jaettu sivun suuntaisella janalla kahdeksi yhdenmuotoiseksi kolmioksi. Laske janan pituus. 6,8 cm 4,3 cm 3,6 cm P U L M 19. Kolmiot, ja ovat yhdenmuotoisia. Laske sivujen ja y pituudet. Juoma ja pullopantti maksavat yhteensä 4,40 euroa. Juoma maksaa 4 euroa enemmän kuin pullopantti. Mikä on pullopantin hinta? y 5,0 cm 119
5 2 Suurennokset ja pienennökset Kun kuviota suurennetaan tai pienennetään, sen muoto säilyy, mutta koko muuttuu. Suurennos Suurennoksessa kohde esitetään alkuperäistä kokoa suurempana. Kohteen muoto säilyy, mutta pituudet kasvavat suurennoksen osoittamassa suhteessa. SIMRKKI 1 Hyttynen on suurennettu kuvassa nelinkertaiseksi. Mikä on hyttysen todellinen korkeus? 2,0 cm Ratkaisu Suurennos on nelinkertainen, joten hyttysen todellinen korkeus saadaan jakamalla kuvan korkeus neljällä. 2,0 cm 0,5 cm 4 Vastaus: Hyttysen todellinen korkeus on 0,5 cm. Pienennös Pienennöksessä kohde esitetään alkuperäistä kokoa pienempänä. Kohteen muoto säilyy, mutta pituudet lyhenevät pienennöksen osoittamassa suhteessa. SIMRKKI 2 Kuvan lehmän mitat ovat 1 50 todellinen korkeus? alkuperäisistä mitoista. Mikä on lehmän 2,7 cm Ratkaisu Lehmä on todellisuudessa 50 kertaa niin korkea kuin kuvan lehmä. Korkeus saadaan kertomalla kuvan korkeus luvulla ,7 cm 135 cm 140 cm Vastaus: Lehmän todellinen korkeus on noin 140 cm. 120
6 HRJOITUSTHTÄVÄT 1. Piirrä kuvio kaksinkertaisena. a) b) 2. Janan pituus on 2,2 cm. Laske uusi pituus, kun jana suurennetaan a) kaksinkertaiseksi b) nelinkertaiseksi c) kymmenkertaiseksi. 3. Janan UV pituus on 16 cm. Laske uusi pituus, kun jana pienennetään a) puoleen b) neljäsosaan c) kymmenesosaan. 6. Kuvan lintujen mitat ovat 1 70 alkuperäisistä mitoista. a) Luettele linnut siipivälin pituuden mukaan pienimmästä suurimpaan. b) Mittaa lintujen siipivälien pituudet ja laske todelliset mitat. merilokki kuningasalbatrossi merikotka 4. Pienennä kolmio puoleen alkuperäisestä. 7. Miten alkuperäisen kolmion kulmien suuruudet muuttuvat, kun kolmio a) suurennetaan kaksinkertaiseksi b) pienennetään puoleen? 5. Kuvan hyönteiset on suurennettu kolminkertaisiksi. a) Luettele hyönteiset pituuden mukaan pienimmästä suurimpaan. b) Mittaa hyönteisen pituus kuvasta ja laske todellinen pituus. 8. Kolmiosta on tehty pienennös. a) Päättele kolmion kulmien suuruudet. b) Kuinka monenteen osaan kolmio on pienennetty? c) Laske sivujen ja pituudet. leppäkerttu 20 cm cm muurahainen 32 cm sokeritoukka cm 121
7 9. Valkokankaalle, jonka pidempi sivu on 180 cm, heijastetaan 24 mm 36 mm:n kokoinen kuva, joka täyttää koko kankaan. a) Kuinka moninkertainen suurennos on? b) Mikä on kankaalle syntyvän kuvan pinta ala? 10. Kuinka moninkertaiseksi kasvaa kuution tilavuus, kun särmän pituus kaksinkertaistuu? KOTITHTÄVÄT 11. a) Suurenna suorakulmio kaksinkertaiseksi. b) Kuinka pitkiä ovat suurennetun suorakulmion sivut? 12. a) Pienennä mallin mukainen kolmio puoleen alkuperäisestä. b) Kuinka pitkiä ovat pienennetyn kolmion sivut? 8,0 cm 13. Hyönteinen on suurennettu mikro s koopilla 20 kertaiseksi. Sen pituus on kuvassa 2,1 cm. Mikä on hyönteisen todellinen pituus? 14. Valokuva on suurennettu nelin kertaiseksi. Mikä on valokuvan korkeus todellisuudessa, kun sen korkeus on suurennoksessa 48 cm? 15. Kuinka moninkertainen todellinen esine on pienoismalliin verrattuna, kun 4,8 cm:n mitta mallissa on 1,2 m todellisuudessa? 6,0 cm 10,0 cm 16. Piirrä hahmo pienennettynä puoleen alkuperäisestä. P U L M Lentokone lähtee Helsingistä paikkaan Y klo 9.00 ja viipyy perillä 3 tuntia. Paluumatkalle kone lähtee klo paikallista aikaa ja on perillä Helsingissä klo Menoja paluumatkat kestävät yhtä kauan. Mikä on paikan Y aikaero Suomen aikaan verrattuna? 122
8 KSTR Kultainen leikkaus Kultaisessa leikkauksessa jana jaetaan kahteen osaan siten, että janan lyhyemmän osan suhde pidempään osaan on sama kuin pidemmän osan suhde koko janaan. Kultaista leikkausta käytetään esimerkiksi kuvataiteessa ja arkkitehtuurissa, koska sen ehdot täyttävät kuviot miellyttävät silmää. SIMRKKI 3 Jos metrin mittainen jana jaetaan kultaisen leikkauksen suhteessa, leikkauskohta on noin 61,8 senttimetrin kohdalla. 100 cm 61,8 cm 38,2 cm 38,2 cm 61,8 cm 61,8 cm 100 cm SIMRKKI 4 Nelikulmio on kultainen suorakulmio, jos se voidaan jakaa janalla neliöksi ja suorakulmioksi, joka on yhdenmuotoinen koko suorakulmion kanssa. a b a ba a a a b b Lyhyemmän osan suhde pidempään osaan on yhtä suuri kuin pidemmän osan suhde koko janaan. 17. Jaa 3,00 metrin mittainen jana kultaisen leikkauksen suhteessa. Kuinka pitkiä osat ovat? 18. Suorakulmion muotoinen maalaus on tehty kultaisen leikkauksen suhteessa. Pidemmän sivun pituus on 80 cm. Kuinka pitkä on lyhyempi sivu? 19. ibonaccin lukujonon 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, seuraava jäsen saadaan, kun kaksi edellistä jäsentä lasketaan yhteen. a) Kirjoita lukujonon 5 seuraavaa jäsentä. b) Jaa aina jonon edellinen jäsen seuraavalla jäsenellä. Mitä huomaat? Laske lausekkeen 1+ 5 a) kolmidesimaalinen likiarvo laskimella ja vertaa sitä kultaisen leikkauksen jakosuhteeseen b) arvon käänteisluku. Mitä huomaat? Myös luonto suosii kultaista leikkausta. simerkiksi viiden terälehden muodostamassa tähtikuviossa leikkauksia on useita. 123
9 3 Mittakaava Vastinsivujen pituuksien suhdetta sanotaan yhdenmuotoisuussuhteeksi eli mittakaavaksi. Mittakaavaa tarvitaan, kun kohde kuvataan luonnollista kokoa suurempana tai pienempänä. mittakaava pituus kuvassa alkuperäisen kohteen pituus Mittakaavan kuvaama suhde esitetään usein kaksoispisteen avulla. SIMRKKI 1 Mittakaava 2 eli 2:1 tarkoittaa, että alkuperäinen kohde on 1 suurennettu kaksinkertaiseksi. Vastaavasti mittakaava 1 eli 1:3 3 tarkoittaa, että alkuperäinen kohde on pienennetty kolmasosaan. SIMRKKI 2 Mikä on suurennoksen mittakaava? 1,0 cm alkuperäinen Ratkaisu suurennos Mittakaava on suurennoksen pituuden suhde alkuperäiseen pituuteen. 3 3:1 1,0 cm 1 Suurennoksessa suhteen ensimmäinen jäsen on suurempi kuin toinen. Vastaus: Mittakaava on 3:1. P U L M 124 Lyydian äiti oli Lyydian syntyessä 24-vuotias. Nyt hän on neljä kertaa niin vanha kuin Lyydia. Kuinka vanha Lyydian äiti on nyt?
10 HRJOITUSTHTÄVÄT 1. Mikä on mittakaava, kun alkuperäinen kohde on a) suurennettu viisinkertaiseksi b) pienennetty neljäsosaan? 2. Mikä on kuvan mittakaava? alkuperäinen kuva 6. lkuperäisen suorakulmion kanta on 16 ja korkeus 12 ruudunsivua. Mitkä ovat uuden suorakulmion mitat, kun mittakaava on a) 1:2 b) 2:1 c) 1:4? 7. Varaston pohjapiirroksen mittakaava on 1:50. Laske varaston pituus, kun se on piirroksessa 15 cm. 3. Onko kyseessä pienennös vai suurennos, kun mittakaava on a) 50:1 b) 1:300 c) 1: d) 2:1? 8. uton pienoismallin mittakaava on 1:24. Laske alkuperäisen auton pituus. 19,6 cm 4. Piirrä kuvan kolmio mittakaavassa a) 1:2 b) 2:1 c) 1:1. 5. Kolmiot KLM ja GH ovat yhtenevät. Mikä on kolmioiden mittakaava? 9. Nukkekodin pohjapiirroksessa olohuoneen pituus on 2,8 cm ja leveys 2,2 cm. Laske nukkekodin olohuoneen todellinen pinta ala, kun mittakaava on 1: Kuinka moninkertaiseksi tulva alueen pinta ala muuttuu, kun sen pituus ja leveys a) kaksinkertaistuvat b) kolminkertaistuvat c) puolittuvat? KOTITHTÄVÄT 11. Mikä on mittakaava, kun alkuperäinen kohde on a) suurennettu kuusinkertaiseksi b) pienennetty kahdeksasosaan? 12. Piirrä kuvan kolmio mittakaavassa a) 1:3 b) 2:1 c) 1: Suorakulmion kanta on 20 ja korkeus 16 ruudunsivua. Kuinka pitkiä kanta ja korkeus ovat, kun piirroksen mitta kaava on a) 1:2 b) 2:1 c) 1:4? 14. Tietokonemallinnuksessa tenniskentän pituus on 13,2 cm ja leveys 6,0 cm. Laske kentän todelliset mitat ja pinta ala, kun mittakaava on 1:
11 13 Kertaus 1 Yhdenmuotoisuus 1. Kolmiot ja GHI ovat keskenään yhdenmuotoisia. Mikä on a) kulman vastinkulma b) sivun vastinsivu c) sivun vastinsivu? I 4 Mittakaavan sovelluksia 6. Jussin koulumatka on kartalla 5,5 cm. Kuinka pitkä matka on todellisuudessa, kun kartan mittakaava on a) 1: b) 1: c) 1:50 000? G H 2. Kolmiot ja ovat keskenään yhdenmuotoisia. Laske sivun pituus. 9,0 cm 6,0 cm 2 Suurennokset ja pienennökset 3. Maalaus on kirjassa olevaan kuvaan verrattuna oikeasti kymmenkertainen. Kuinka leveä maalaus on, kun kirjassa sen leveys on 3,4 cm? 4. Tietokoneen näytöllä hyönteisen kuva on kymmenkertainen oikeaan hyönteiseen verrattuna. Kuinka pitkä hyönteinen on oikeasti, kun sen pituus näytöllä on 5 cm? 5 Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-ala 7. Suunnikkaat ja ovat yhdenmuotoisia mittakaavassa 1:3. a) Kuinka moninkertainen suunnikkaan pinta ala on suunnikkaaseen verrattuna? b) Laske suunnikkaan pinta ala, kun suunnikkaan pinta ala on 40 cm Mikä on kuvioiden pinta alojen suhde, kun mittakaava on a) 1:4 b) 3:1 c) 1:10 d) 3:2? 6 Pythagoraan lause 9. Nimeä suorakulmaisesta kolmiosta kateetit ja hypotenuusa ja kirjoita kolmion sivuista Pythagoraan lauseen mukainen yhtälö. a) b) t r ä ä k p 3 Mittakaava 5. Suorakulmion kanta on 25 ja korkeus 15 ruudunsivua. Kuinka pitkiä kanta ja korkeus ovat, kun mittakaava on a) 1:1 b) 2:1 c) 1:5? 7 Hypotenuusan ratkaiseminen 10. Laske hypotenuusan pituus. a) b) ,5 cm 12,5 cm 162
12 8 Kateettien ratkaiseminen 11. Laske kateetin pituus. a) b) 8,7 cm Kokoavia tehtäviä 18. Peruskartta on piirretty mittakaavassa 1: Kuinka pitkä Rottajärvi on? 4,2 cm 9 Suorakulmaisen kolmion piiri ja pinta-ala 12. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 5,5 cm ja 8,1 cm. Laske kolmion piiri ja pinta ala. 10 Onko kolmio suorakulmainen? 13. Kolmion kaksi kulmaa ovat 65 ja 15. Onko kolmio suorakulmainen? Perustele. 14. Onko kolmio suorakulmainen, kun sen sivujen pituudet ovat 12, 16 ja 20? Perustele. 11 Pythagoraan lauseen sovelluksia 15. Kuinka paljon polku oikaisee? Kellokuja polku 900 m 600 m Kuusitie 16. Puiden korkeudet ovat 12 m ja 29 m. Niiden välinen etäisyys on 11 m. Laske puiden latvojen välinen etäisyys. 19. Katjan pituus on 165 cm. Kun hän seisoo 4,0 m:n päässä lyhtypylväästä, hänen varjonsa pituus on 3,2 m. Piirrä mallikuva ja laske lyhtypylvään korkeus. 20. Laske sivun a) b) y pituus. 7,2 cm 2,0 cm 21. Levy on 120 cm leveä ja 240 cm pitkä. a) Mikä on levyn lävistäjän pituus? b) Mahtuuko levy sisään ikkuna aukosta, jonka mitat ovat 110 cm 50 cm? 22. Laske kolmion pinta ala. y 12 Suorakulmainen kolmio ja ympyrä 17. Laske a) ympyrän pinta ala b) kolmion sivun pituus c) kolmion pinta ala. 7,8 cm 8,4 cm 3,2 cm 7,6 cm 1,0 cm 23. Laske tasakylkisen kolmion pinta ala, kun sen kanta on 96,0 m ja kylki 50,0 m. 163
13 Tiivistelmä Käsitteitä Keskenään samanmuotoisia kuvioita kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinkulmat ovat yhtä suuria ja vastinosien pituuksien suhteet ovat samat. Vastinsivujen pituuksien suhdetta sanotaan mittakaavaksi. Suorakulmaisen kolmion lyhyemmät sivut ovat kateetteja ja pisin sivu on hypotenuusa. Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisen kolmion kateettien pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden neliö: a 2 + b 2 c 2. c hypotenuusa a kateetti b kateetti hypotenuusa a kulman a viereinen kateetti kulman a vastainen kateetti sin a cos a tan a kulman a vastainen kateetti hypotenuusa kulman a viereinen kateetti hypotenuusa kulman a vastainen kateetti kulman a viereinen kateetti simerkkejä 1. Lasketaan kateetin pituus ± Negatiivinen ratkaisu -16 ei kelpaa, sillä ( ) kateetin pituus on positiivinen Laske a) kolmion korkeus h b) terävän kulman a suuruus. Ratkaisu a) sin30 h 6,0 6,0 6,0 sin 30 h h 6,0 sin 30 h 3,0 6,0 cm 30 h a b) tanα tanα 1 α 45 Vastaus: a) Korkeus on. b) Kulman a suuruus on
Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m
MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista
M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset
Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy
Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!
MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.
[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]
![[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]](/thumbs/30/14370320.jpg "[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]")
2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli
Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.
Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,
15. Suorakulmaisen kolmion geometria
15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen
Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
Suorakulmainen kolmio
Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2
Pythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA
Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia
Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia
Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen
5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1
Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Mittakaava Avainsanat: yhdenmuotoisuus, suurennos, pienennös, mittakaava, mittaaminen, pinta-ala, tilavuus, suhde Luokkataso: 3-9 Välineet: kynä,
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan
HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI
1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen
3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )
Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h
Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1
Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit
Koontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön
MAA03.3 Geometria Annu
1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.
1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä
Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.
Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)
Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92
MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
Summa 9 Opettajan materiaali Ratkaisut
Sisällysluettelo Laskutoimituksia Laskutoimitukset luvuilla Lausekkeiden sieventäminen 8 Yhtälöitä ja prosenttilaskentaa Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälö Prosenttilaskenta Tasogeometriaa Tasogeometrian
Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015
MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015 Tehtäviin sisältyy Merikiikarin avulla suoritettavia mittauksia ja trigonometrian avulla suoritettavia laskutehtäviä. Tarvikkeet: Merikiikarit,
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.
KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm.
1 14 Monikulmiot Nimeä monikulmio. a) b) c) kolmio nelikulmio 12-kulmio Laske monikulmion piiri. a) 4,2 cm b) 3,6 cm 11,2 cm 4,8 cm 3,6 cm 4,3 cm 30,8 cm 18,2 cm Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.
5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015
PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske
2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 RATKAISUT 1. a) 3,50 b) 56 c) 43300 km d) 15 e) 21.08 f) 23.9. kukin oikea vastaus a-kohdassa pelkkä 3,50 ilman yksikköä kelpuutetaan, samoin c-kohdassa pelkkä
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)
Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma
OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste
OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI
OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa
Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi
Pituus- ja pinta-alayksiköt 1 Pituusyksiköt Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä m-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10,
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
GEOMETRIAN PERUSTEITA
GEOMETRIAN PERUSTEITA POHDITTAVAA. 2. Suurennoksen reunat ovat epäteräviä bittikarttakuvassa mutta teräviä vektorigrafiikkakuvassa.. Peruskäsitteitä ALOITA PERUSTEISTA 0. Kulma α on yli 80. Kulma β on
a b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)
Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.
MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan
matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.
Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600
Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin
MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden
PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)
7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen
7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja
Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten
1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,
a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 01 Arkkitehtimatematiikan koe, 1..01, Ratkaisut (Sarja A) 1. Anna kohdissa a), b) ja c) vastaukset tarkkoina arvoina. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 3: Tasogeometriaa
Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 3: Tasogeometriaa Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 Osio 3: Tasogeometriaa 1. Yhtenevät ja yhdenmuotoiset kuviot...
AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA
AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä
Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.
5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41
KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut
sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
2 Kuvioita ja kappaleita
Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (
Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.
Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on
1 Kertausta geometriasta
1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat
a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot
Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti
Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on
Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä