¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

Transkriptio

1 Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn pituudet, jotka ovat ¾ ¾ ¾¼ ¾ ¾¼ Onko näiden tulosten valossa perusteita väittää, että hyppääjän keskimääräinen tulos on (a) muuttunut (b) huonotunut (c) parantunut merkitsevyystasolla ¼¼? (Voidaan olettaa, että hypyn pituus on normaalijakautunut.) Ratkaisu: Kaikissa tapauksissa nollahypoteesiksi asetetaan À ¼ µ ja kyseessä on kaksisuuntainen testi, mutta huomaa, että jos valmentaja epäilee, että tulostaso on huonontunut ennen kuin hän laskee havaintoarvoista keskiarvo, niin silloin voidaan (b)-kohdassa ottaa nollahypoteesiksi À ¼ µ. Jos, muodostavat satunnaisotoksen jakaumasta Æ ¾ µ niin noudattaa Ø µ-jakaumaa. Tässä tapauksessa ¼ ja saadaan Ü ¾¾ ja ¾ ¾ joten testisuureen arvoksi tulee Ø ¾¾ ¼ ¾ ¾ Koska Ø ¼¼¾ µ ¾¾¾ ja ¾ ¾¾¾ joten nollahypoteesi hylätään merkitsevyystasolla ¼¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. Koska Ø ¼¼¼ µ ¾¼ niin nollahypoteesiä ei hylätä merkitsevyystasolla ¼¼ mutta huomaa, että jos valmentaja olisi muiden kuin tämän otoksen tietojen perusteella epäillyt että tulokset olisivat huonontuneet niin nolla hypoteesikis olisi valittu À ¼ µ ja koska Ø ¼¼ µ ¾¾ niin olisi päätelty että nollahypoteesi hylätään myös merkitsevyystasolla ¼¼. Siis, jos havaintoarvojen perusteella tehdään hypoteesi, että tulokset ovat huonontuneet, niin tätä pitää testata toisella satunnaisotoksella koska muuten todellinen merkitsevyystaso ei ole lainkaan hallinnassa. 2. Oletetaan, että, ja ¾, ¾ muodostavat (riippumattomat) satunnaisotokset jakaumista Æ ¾ µ ja Æ ¾ ¾ µ (joilla siis on sama varianssi). Muodosta aritmeettisista keskiarvoista ja otosvariansseista Ø-jakautunut testisuure. Ratkaisu: Aikaisemmin on osoitettu, että µ ¾ ¾ noudattaa ¾ µ-jakaumaa. Riippumattomuudesta seuraa silloin, että Koska Æ ¾ µ niin µ ¾ ¾ ¾ Æ ¾ µ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ µ ¾ ¾ ¾

2 Kun lisäksi otetaan huomioon aikaisemmin osoitettuja riippumatomuustuloksia saadaan ¾ ¾ µ µ ¾ ¾ µ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ µ µ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ µ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ µ Î ¾ µ µ ¾ ¾ ¾ µ ¾ ¾ ¾ Ø ¾ ¾µ 3. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO ¾ -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K Ü ¾ Oletetaan mittaustulosten noudattavan kummassakin kohteessa normaalijakaumaa ja oletetaan myös, että varianssit ovat yhtä suuret. Testaa hypoteesi À ¼ à merkitsevyystasolla ¼¼. Ratkaisu: Oletus, että varianssit ovat yhtä suuret voidaan sisällyttää nollahypoteesiin mutta silloin sen hylkäämisestä ei periaatteessa tiedetä johtuuko odotusarvojen erisuuruudesta vai erisuuruisista variansseista. Varianssien testaamiseen paneudutaan myöhemmin. Aikaisemmin on osoitettu että kun oletetaan, että otokset on otettu normaalijakaumista joilla on sama odotusarvo ja varianssi niin à µ ¾ à µ ¾ à à ¾ Ã Ø Ã ¾µ ja tämä lauseke on nyt siis testisuureena. Tässä tapauksessa testisuureen arvoksi tulee Ø ¼ ¼ ¾ ¼ ¾ ¼ Koska vaihtoehtoinen hypoteesi on kaksisuuntainen ja käytetty testisuure noudattaa nollahypoteesin pätiessä t-jakaumaa vapausasteilla à ¾ ¼ ¾ ¾, saadaan kriittisiksi

3 arvoiksi Ø «¾ à ¾µ Ø ¼¼¾ ¾µ ¾. Hylkäysalue on näiden rajojen ulkopuolella ja nyt Ø ¼¼¼ ¾µ ¾ Ø, joten nollahypoteesi hylätään. Toisella tavalla esitettynä: Lasketaan niin sanottu -arvo È Ì µ ¼¼¼¼¼¼¼ ja koska se on pienempi kuin annettu ¼¼ niin nollahypoteesi hylätään. 4. Tehtaassa täytetään säkkejä ja täytetyn säkin painon pitäisi olla ¾¼ kg. Yleensä näin on asian laita mittatarkkuuden puitteissa mutta aina välillä säkin painoksi tulee ¾¾ kg. Jos otetaan ¼ kappaleen satunnaisotos ja testataan Ø-testillä onko odotusarvo jokin muu kuin ¾¼ niin montako väärin täytettyä säkkiä pitäisi otoksessa olla jotta se huomattaisiin jos odotusarvon testissä merkitsevyys- eli riskitasolla ¼¼? Ratkaisu: Otetaan hieman yleisempi tapaus jotta (ehkä) paremmin nähdään mistä on kysymys: Otoksessa on havaintoarvoa joista ovat ¼ Æ ja loput ovat ¼. Nollahypoteesiksi valitaan À ¼ ¼ ja testisuureeksi valitaan ¼ (Huomaa, että tässä tapauksessa jakauma ei taatusti ole normaalinen, mutta tällaista koneen virhetoiminnasta johtuvaa vääristymää ei välttämättä tunneta.) Tässä tapauksessa ¼ Æ ja ¾ Testisuuren arvoksi tulee silloin µ ¾ ¼ ¼ Ƶ ¾ Ø Æ µæ ¾ µ Jos nyt ¼ ja «¼¼ niin Ø ¼¼¾ ¾µ ¾¼ ja ¼ µ ¼ ¼ Æ µ ¾¼ ¾ µæ¾ µ eli pitää olla vähintään väärin täytettyä säkkiä jotta se huomattaisiin odotusarvon testauksella. 5. Menetellään seuraavalla ( väärällä ) tavalla. Valitaan satunnaisotos jakaumasta Æ ¼ ¾ µ lasketaan havaintoarvoista aritmeettinen keskiarvo Ü, jos Ü ¼ niin nollahypoteesiksi valitaan À ¼ ¼ ja muissa tapauksissa valitaan nollahypoteesiksi À ¼ ¼, (ja virhe tehdään siinä, että nollahypoteesi riippuu havaintoarvoista). Sitten testataan nollahypoteesin paikkansapitävyyttä normaaliin tapaan merkitsevyystasolla «laskemalla otsosvarianssia ¾ ja testisuuretta Ø Ü ¼. Mikä on todennäköisyys, että nollahypoteesi hylätään? Ratkaisu: Jos Ø Ø «µ niin Ü ¼ ja nollahypoteesi on À ¼ ¼ joten hylkäysalue on Ø Ø «µ eli nollahypoteesi hylätään. Vastaavasti jos Ø Ø «µ niin Ü ¼ ja nollahypoteesi on À ¼ ¼ joten hylkäysalue on Ø Ø «µ eli nollahypoteesi hylätään. Jos taas Ø Ø «µ niin nollahypoteesia ei hylätä. Näin ollen nollahypoteesi hylätään aina

4 kun Ì Ø «µ missä Ì ¼ testisuuren jakauman perusteella ¾«. ja tämän tapahtuman todennäköisyys on määritelmän ja 6. Opettaja väittää, että tentissä keskimäärin vähintään ¼% opiskelijoista saa arvosanan tai. Tenttiin osallistui ¼ opiskelijaa ja heistä ¾ saivat tällaisen arvosanan. Mitä tästä voidaan sanoa? Ratkaisu: Olkoon todennäköisyys, että opiskelija saa arvosanan tai. Nollahypoteesiksi valitaan À ¼ ¼. Jos nyt, on satunnaisotos jakaumasta ÓÙÐÐ µ niin Æ valitaan µ µ (ainakin kohtuullisella tarkkuudella kun µ ¼). Testisuureksi ¼ ¼ ¼ µ jolloin Æ ¼ µ. Tässä valitaan ¼ ¼ eli nollahypoteesin ääritapaus koska muuten ei voida laskea mitään. Tässä tapauksessa ¼ ja ¾ joten testisuure saa arvon ¼ Þ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾¾ Koska nollahypoteesi on muotoa ¼ kyseessä on yksisuuntaisesta testistä ja koska Þ ¼¼ ja siten Þ ¼¼ ¾¾ Þ niin nollahypoteesia ei hylätä merkitsevyystasolla ¼¼ erääseen vakavaan tautiin sairastunutta potilasta jaettiin satunnaisesti kahteen ryhmään (A ja B), joissa kummassakin oli 300 potilasta. Ryhmälle A annettiin tautiin kehitettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B yleisesti käytettyä vanhaa lääkettä. Suosittelisitko uuden lääkkeen ottamista käyttöön koetuloksen perusteella kun (a) ryhmässä A taudista parani 195 potilasta ja ryhmässä B 225 potilasta? (b) ryhmässä A taudista parani 225 potilasta ja ryhmässä B 195 potilasta? Ratkaisu: (a) Jos uusi lääke parantaa vähemmän potilaita kuin vanha lääke, ei tarvita testausta sen johtopäätöksen tekmiseksi, että uutta lääkettä ei kannata ottaa käyttöön. (b) Käytetään suhteellisten osuuksien vertailutestiä ja nollahypoteesina À ¼. µ Jos on havaintoarvoista laskettu suhteellinen osuus niin Æ µ (missä approksimaatio on kohtuulisen hyvä ainakin jos µ ¼). Tästä seuraa, että jos on saatu kaksi otosta (samasta jakaumasta), joista lasketaan suhteelliset osuudet ja niin Æ ¼ µ µ µ. Testisuureeksi otetaan siis µ Käytännössä :n paikalle on sijoitettava havaintoarvoista laskettu estimatti. Tarvittavat lukuarvot: ¾¾ ¼¼ ¼, ¼¼ ¼, ¼¼, «¼¼ (koska ei ole erikseen käsketty käyttää mitään tiettyä merkitsevyystasoa).

5 Lisäksi tarvitaan yhdistetyn suhteellisen osuuden estimaatti: Testisuureen arvoksi saadaan: Þ µ ¼¼ ¾ Testisuure on nollahypoteesin pätiessä approksimatiivisesti Æ ¼ µ-jakautunut. Kriittiseksi arvoksi saadaan Þ «Þ ¼¼ ja hylkäysalue on tämän rajan oikealla puolella. Koska Þ ¼¼ Þ ¾, nollahypoteesi hylätään. Uuden lääkkeen käyttöönotto on perusteltua. 8. Radioaktiivista taustasäteilyä mitataan laiteella, joka eräällä seudulla antaa tulokseksi keskimäärin 12 pulssia/min. Oletetaan, että pulssien lukumäärä noudattaa Poissonin jakaumaa. Kuinka monta minuuttia pitkä mittaus pitää ottaa, jotta käyttäen merkitsevyystasoa ¼¼ testi huomaa ¼%:n varmuudella 10%:n lisäyksen radioaktiivisuudessa? Ratkaisu: Pulssien lukumäärä mittausajan Å aikana noudattaa jakaumaa ÈÓÓ Å µ, missä Å mitataan minuuteissa. Oletuksen mukaan ¾. Nollahypoteesi on À ¼ ¾ (koska radioaktiivisuuden kasvu on huolen aiheena). Jos on pulssien lukumäärä Å:n minuutin mittausjakson aikana niin käyttämällä normaaliapproksimaatiota testisuureksi tulee ¾Å ¾Å ja nollahypoteesi hylätään, eli radioaktiivisuuden kasvu huomataan jos Þ Þ ¼¼. Jos nyt radioaktiivisuus on kasvanut ¼% niin ÈÓÓ ¾ Å µ Æ ¾ Å ¾ Å µ. Nyt È ¾Å ¾Å È È ¾Å ¾ Å ¾ Å ¾ Å ¾Å ¾ Å ¾ Å È ¾ Å ¾ Å ¼ Å Koska ¾ Å ¾ Å Æ ¼ µ niin Å on valittava niin isoksi, että ¼ Å Þ¼ ¾ eli Å ¾ ¾ ¼