Aalto-ja vektori-interferenssistä (2012)

Transkriptio

1 1 Aalto-ja vektori-interferenssistä (2012) Keskustelijat Kullervo Rainio Heikki Mäntylä Paul Talvio Kullervo Raino Hyvät veljet LFS:ssa, kun en näköjään voi olla mietiskelemättä mieleen juolahtavia asioita ja kun jostakin sitten saa muistion tiedostoon, syntyy häikäilemätön, vahva halu saada jotkut siihen tutustumaan. (Kuvittelen aina, että kaikki muut vain löhöilevät.) Niinpä tässä tulee uusin tuotteeni. Minua on vaivannut vuosikausia tieto, että vektori- interferenssi ja aaltomekaaninen interferenssi poikkeavat toisistaan, mutta millä tavalla, se on ollut epäselvää. Nytpä, kun luin McFaddenia ja löysin sieltä hyvin selväsanaisen reseptin interferenssin laskemiseksi, panin toimeksi. Minulla ei ollut tuon reseptin perusteella muuta tietoa kuin että aaltofunktion psi arvot ovat kompleksilukuja. (Aavistan, että ne saadaan Schrödingerin yhtälöstä.) Turvauduin vanhaan hyvään arvausmenetelmääni. Hämmästelin ensin hyvän aikaa standardimenettelyn (?) ja DPM:n vertailun antamia tuloksia. Löysin sitten kuitenkin selityksen. Mutta kuten tavallista tulkinnassa on vielä avoimia kohtia. Niistä niin kuin koko jutusta olisi mukava kuulla kommentteja. Tervehtien Kullervo Aaltomekaanisen ja vektori-interferenssin vertailu: (Muistio C , Kullervo Rainio) Tässä muistiossa lasketaan esimerkkinä kaksoisrakokokeesta saadulle interferenssikuviolle (Tonomuran yksittäisten elektronien osumajakautumaa käyttäen) estimaatit käyttäen kahta erilaista laskutapaa: McFaddenin reseptin mukaista standardimenetelmää ja DPM:n mukaista laskentaa. Tarkoitus on saada selville, miten tulokset mahdollisesti poikkeavat toisistaan, jos lähtökohtana ovat samat Ψ - funktio- arvot, kaksi arvausvektoria. Aaltomekaaninen interferenssi on seuraavassa laskettu MacFaddenin esityksen mukaan. (McFadden, J.; Quantum Evolution; The New Science of Life. Harper&Collins, 2000, pp Ks. alaviittaa *) Diskreetin prosessimallin (DPM) mukainen estimaatti on laskettu teoksessa Rainio: Diskreetti prosessimalli, (ss ) esitettyä ohjelmaa seuraten.

2 2 Empiiriset tulokset ovat Tonomuran tutkimuksista. Osumakuvioon (ks kuvaa) on arvioitu 8 kaistaa, joihin tulleet osumat on laskettu. Nämä summat on muunnettu sitten kaistojen suhteellisiksi frekvensseiksi.(rainio: Diskreetti prosessimalli, ss ) McFaddenin reseptin * mukainen laskujärjestys: 1) Arvataan kumpaakin aukkoa vastaava Ψ kompleksilukuina: Ψ L ja Ψ R. 2) Lasketaan Ψ - vektoreiden itseisarvojen neliöt (kaavan z 2 = (a 2 +b 2 ) mukaan, kun z= a+bi). 3) Summataan saatujen vektoreiden toisiaan vastaavat elementit vektoriksi S = Ψ L 2 + Ψ R 2 4) Lasketaan vektori S 2, jossa elementit ovat vektorin S elementtien neliöt. 5) Normalisoidaan vektori S 2 (niin, että elementtien summaksi tulee 1). Tämä on osuma- todennäköisyyksien estimaatti, pinterf. DPM:n mukaisen vektori-interferenssin laskeminen tapahtuu seuraavasti: 1) Otetaan lähtökohdaksi edellä lasketut vektorit Ψ L 2 ja Ψ R 2. 2) Normalisoidaan em. vektorit. Saadaan todennäköisyysvektorit pl ja pr. 3) Lasketaan elementtien paritulot. 4) Saatujen paritulojen vektori normalisoidaan estimaattivektoriksi pinterf. Kaksoisrakokoe-esimerkki: Kaksoisrakokokeen rakenne asettaa ehtoja arvausvektoreitten elementeille: a. Vektorin tulee olla symmetrinen sen elementin suhteen, joka asetetaan vastaamaan raon aikaansaamaa maksimia. (Esimerkissä raot eli nämä osumamaksimien kohdat ovat kahden luokkavälin etäisyydellä toisistaan.) b. Vektoreissa tulee symmetrisessä asemassa olevien elementtien olla identtiset, kuten seuraavassa kaaviossa havainnollistetaan: Luokka: Vektori 1 c a m a b a d d Vektori 2 d a b d m a c d Symmetrisessä asemassa olevia elementtipareja ovat 2-6, 3-5, 4-4, 5-3, 6-2 ja 7-1; 8 0n pariton.

3 3 Nämä ehdot asettavat huomattavia rajoituksia lukujen valinnalla, kun lisäksi on otettava huomioon, että interferenssikuvion valoisia raitoja (valoisuusmaksimeja) tulevat vastaamaan oikeassa suhteessa suuremmat luvut kuin tummia raitoja. McFadden-menetelmä: Arvausvektori, aaltofunktiot: Ψ L : (1+1.5i) (1+1.2i) (1+2.1i) (1+1.2i) (1+1.8i) (1+1.2i) (1+1.8i) (1+1.8i) Ψ R : (1+1.8i) (1+1.2i) (1+1.8i) (1+1.2i) (1+2.1i) (1+1.2i) (1+1.5i) (1+1.2i) Ψ L 2 :(3.25) (2.44) (5.41) (2.44) (4.24) (2.44) (4.24) (4.24) Ψ R 2 :(4.24) (2.44) (4.24) (2.44) (5.41) (2.44) (3.25) (2.44) S: (7.49) (4.88) (9.65) (4.88) (9.65) (4.88) (7.49) (6.68) S 2 : (56.1) (23.8) (93.1) (23.8) (93.1) (23.8) (56.1) (44.6) Σ = Norm, Σ =.999 N, 2 des Σ = 1.01 Empiiriset: Σ = 1 Saatu estimaatti osuu varsin hyvin yksiin empiiristen tulosten kanssa. DPM-menetelmä samoihin aaltomekaanisiin kompleksilukuihin sovellettuna: Ψ L 2 : (3.25) (2.44) (5.41) (2.44) (4.24) (2.44) (4.24) (4.24) Σ = 28.7 Ψ R 2 : (4.24) (2.44) (4.24) (2.44) (5.41) (2.44) (3.25) (2.44) Σ = Normalisoidut: NL: NR: Paritulot: Σ =.133 Normalis Σ = des.: Σ = 1.0 Tulos on sama kuin edellä McFadden- menetelmällä laskettu! Herää kysymys: Mistä johtuu se yllättävä tulos, että molemmat laskutavat antoivat samat tulokset? Onko kenties yleisesti näin? Kysymyksessä on kuitenkin kaksoisrakokokeen ehtojen määräämä erikoistilanne. Seuraavassa se osoitetaan algebrallisesti: Merkitään ko. vektoreita seuraavasti: Ψ L 2 : a1, a2,, aj,, an ΣL = Σaj Ψ R 2 : b1, b2,,bj,, bn ΣR = Σbj McFadden: S eli Ψ L 2 + Ψ L 2 : (a1+b1), (a2+b2),, (an+bn) S 2 : (a1+b1) 2, (a2+b2) 2,,(an+bn) 2 Σ S 2 = Σ (aj + bj) 2 Normalisoituna: pinterf = (a1+b1) 2 /Σ S 2, (a2+b2) 2 /ΣS 2,, (an+bn) 2 /Σ S 2 DPM: pl = ΨL 2 normalisoituna ja PR = Ψ R 2 normalisoituna: pl : a1/σ aj, a2/σ aj,, an/σ aj Σ = 1

4 4 pr : b1/σ bj, b2/σ bj,, bn/σ bj Σ = 1 Paritulot: pl x pr : a1b1/σl ΣR, a2b2/σl ΣR,, anbn/σl ΣR Σ(ajbj)/Σ L Σ R Normalisoituna: pinterf : a1b1/σ (ajbj), a2b2/σ (ajbj),, anbn/σ (ajbj) Eri menetelmillä lasketut pinterf tulokset (tilavektorit) näyttävät erilaisilta, mutta voimme tarkastella elementtien välisiä suhteita. Jos nimittäin ne ovat samat, seuraa siitä, että itse elementtienkin tulee olla samat, koska normalisoitujen elementtien summan tulee olla 1. Tarkastellaan elementtien välisiä suhteita.. Lasketaan pj :n ja pk:n välinen suhde kummallakin menetelmällä. McFadden: pj = (aj + bj) 2 /Σ S 2 ja pk = (ak + bk) 2 /Σ S 2 Niiden suhde on: [(aj + bj) 2 /Σ S 2 ]/[(ak + bk) 2 /Σ S 2 ] eli (aj + bj) 2 /(ak + bk) 2 DPM: pj = ajbj/σ (ajbj) ja pk = akbk/σ (ajbj) Niiden suhde on: [ajbj/σ (ajbj)] / [akbk/σ (ajbj)] eli ajbj/akbk Tässä yleisessä tapauksessa siis menetelmät ovat tuottaneet erilaisen tuloksen. Kaksoisrakokokeen elementeille kokeen rakenteen vuoksi asetetut rajoitukset kuitenkin vaikuttavat sen, että kummassakin arvausvektorissa symmetrian suhteen vastinelementtien tulee olla yhtä suuret. Niihin on siis voimassa aj = bj ja ak = bk, jolloin edellä esitetyt suhteet ovat McFaddenin menetelmällä: (bj + bj) 2 /(bk + bk) 2 = 4bj 2 / 4bk 2 = bj 2 / bk 2. DPM- menetelmällä: bjbj /bkbk = bj 2 / bk 2 Kaksoisrakokokeen tapauksessa siis saadaan sama tulos kummallakin menetelmällä, mutta se selittyy sillä erityispiirteellä, että vastinelementtien todennäköisyydet ovat yhtä suuret. Voidaan tarkastella myös toisenlaista tapausta: aj = bk ja ak = bj (Tämä on tilanne, jos j on L- maksimi ja k on R- maksimi tai päinvastoin.) Suhteet ovat nyt: McFadden: (bk + bj) 2 / (bj + bk) 2 = 1 ja DPM: bkbj/bjbk = 1. Menetelmät tuottavat siis tässäkin saman tuloksen p- arvojen suhteita laskettaessa. Yksi, keskeinen selitys sille, että on saatu eri menetelmillä sama tulos on: vektorin normalisointi ei muuta elementtien välisiä suhteita. Vektorin muoto säilyy normalisoimisessa ennallaan. Kaksoisrakokokeessa tämä muoto määräytyy täysin niistä symmetriaehdoista, jotka edellä on esitetty. On mahdollista tehdä vielä toinenkin vertailu käyttämällä Harrisonin kaksoisrakokeen simulointia: Kaksoisrakokoe, Harrison-simulaatio Google- haulla: two- slit experiment The Feynman Double- Slit löytyy David Harrisonin artikkeli (2002), jossa on mukana simulaatioesitys yksittäisistä peräkkäisistä osumista double- slit- kokeessa. (Internetin käyttäjä voi seurata videona yksittäisten osumien asettumista vähitellen jakautumakuvioksi näytölle.)

5 5 Seuraavassa on selostus simulaatiotuloksista laskettuna kolmesta simulaatiosta, joissa yhteensä 1200 osumaa. Tulokset näkyvät simulaatiossa 42 luokassa. Seuraavassa luokat on yhdistetty 9 luokaksi, laskettu luokkafrekvenssit ja edelleen suhteelliset frekvenssit: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Σ Simul. p: R1 R2 Luokat 3 ja 7 edustavat selvästikin rakojen jakautumien keskikohtia, rakomaksimeja. Interferenssikuvion maksimiksi sensijaan tulee luokka 5 ja luokat 3 ja 7 ovat siinä ns. sivumaksimeja. Arvausvektoreiksi otettiin (kahden arvauksen jälkeen) : R1: max. R2: max. (Huomaa R1:n ja R2:n symmetria maksiminsa suhteen.) Interferenssi DPM:n mukaan: Interf.: Normalisoituna p: Vertailu kahdella desimaalilla Harrison- simulaation tuloksiin: Simul. p: DPM p: DPM- estimaatti on erittäin osuva. Interferenssi McFadden- reseptin mukaan (toinen arvauskerta): Ψ L: (1+2.0i) (1+1i) (1+2.4i) (1+1i) (1+2.0i) (1+1i) (1+1.2i) (1+1i) (1+1.2i) Ψ R: (1+1.2i) (1+1i) (1+1.2i) (1+1i) (1+2.0i) (1+1i) (1+2.4i) (1+1i) (1+2.0i) Ψ L 2 : (Σ = 28.72) Ψ R 2 : (Σ = 28.72) S: S 2 : Σ = 411,8 Normalisoidut S 2 - arvot: p: Σ = desim.:.14, Σ = 1.02 Simul. p: Estimaatti on tässäkin tapauksessa varsin osuva. Voidaan laskea myös DPM:n mukainen vektori- interferenssi Ψ - arvoista lähtien. Seuraavassa NL on Ψ L 2 normalisoituna ja NR = Ψ L 2 normalisoituna. NL Σ = NR Σ = Paritulot: Σ =.114 Normalisoidut: p: Σ = desim.: Σ =..98

6 6 Vertailu: Simulaatio. p: Σ = 1.01 DPM p: Σ = 1.01 McFadden p:.14, Σ = 1.02 DPM- Ψ : p: Σ =..98 Pohdintaa On aihetta tarkastella asiaa vielä kaksoisrakokokeen interferenssin teorian kannalta. Eikö se, että (standardimallissa) käytetään todennäköisyyksien yhteenlaskua, merkitse, että osumaksi hyväksytään ne tapaukset, joissa voidaan ajatella systeemin kulkeneen joko L:n (vasen rako) tai R:n (oikea rako) kautta, mutta ei molempien? Jos näin ajatellaan, tulisi silloin kuitenkin kustakin summasta vähentää yhteenlaskussa käytettyjen todennäköisyyksien tulo!. DPM- laskutapa taas perustuu ajatukseen, että ehtona määrätylle osumalle on, että systeemi on ikään kuin kulkenut molempien rakojen kautta. Tähänhän viittaa se empiirinen seikka, että interferenssiä ei esiinny, jos toisen raon kautta kulkeminen estetään. Aaltofunktion reduktio eli romahtaminen ( mittauksen yhteydessä kuten tavallisesti ajatellaan) on askarruttanut tutkijoita kauan. Standardimallin ja DPM:n vertailu tuottaa tässä kohdassa mielenkiintoisen tuloksen: DPM:n mukaisesti ajatellaan, että säteen absorptiossa detektori esiintyy yksikkövektorina, joka interferoi kvanttisysteemin (interferenssin jälkeisen) tilavektorin kanssa. Kaksoisrakokokeessa tämä detektori- interferenssi olisi siten olettaen, että absorboiva tila ( kaista ) olisi 3: Tila pinterf : Σ = 1.0 Detektori: Σ = 1 DPM: detektori- interferenssi: Paritulot, p: Σ = 1 McFadden: pinterf : Σ = 1.01 Detektori: Σ = 1 McFadden: detektori- interferenssi : Parisummat: Σ = 2.0 Pinterf.07 : Σ = 1.03 DPM antaa selkeän tuloksen: detektorin tuottama tila on määrätty (tila 3), mutta standardimentelmän mukaan laskettaessa systeemi jää superpositiotlaan eikä siis aaltofunktio romahda.vaan jää edelleen mysteeriksi. Vai olisiko niin, ettei edellä esitetty (McFaddenin) standardimalli olekaan se, mitä kvanttimekaniikan standardimallina käytetään? Osittais-interferenssistä saatavat tulokset eroavat toisistaan, mutta sitä on turha tässä tarkastella, koska tiettävästi ei ole olemassa mitään muuta osittais- interferenssin laskutapaa kuin DPM:n mukainen. Vai onko? * McFadden, pp : Just like a real wave, Ψ splits when it meets the slits, into two wave function beams: Ψ L and Ψ R.Once the beams reach the plate, their amplitude must again be squared to convert them into classical probabilities. However, before we can do this, we must first add together the amplitudes of the wave functions that have arrived from the left or right

7 7 slits: Ψ L and Ψ R. The summed amplitudes are once again [?,kurs. KR] squared to generate probabilities that we can plot as black and white dots. The pattern of dots will form a series of light and dark strips on the screen that will reproduce the interference pattern. Paul Talvio Hei Kullervo Kaksoisrakokokeessa havaitaan ilmiönä vain fotoniläde (myös elektroni ja fullereni ovat mahdollisia) ja iskemät varjostimella. Mitään havaintoa ei matkalla olevasta fotonista voi tehdä tuhoamatta interferenssiä. Fotonia itseään ei käsittääkseni muutenkaan ole koskaan nähty, vain sen tuhoutumisen seuraukset. Kaikki tapahtumat lähteen ja varjostimen välillä (kuten aaltofunktio ja sen romahtaminen) ovat pelkkää mielikuvitusta. Ihmisen laatimaa kuvausta kaikki tietomme reaalimaailmasta on muutenkin, mutta tässä ja yleensä kvanttimekaniikassa se on vielä tavallista ilmeisempää. Tutkit siis kahta kuvaustapaa. Jos ne tuottavat saman tuloksen, niin yksinkertaisempaa on pidettävä parempana. Parempaa yhtäpitävyyttä itse ilmiön kanssa on turha pohtia. Ihailen matematiikan taitojasi ja loogista ajattelukykyäsi. Ikäkään ei näytä mitään rapauttaneen. Oma matematiikan taitoni ei edes riitä juttusi yksityiskohtaiseen läpikäyntiin. Kunnioituksen tuntein Paul Heikki Mäntylä Hyvä veli Kullervo, Vastaukseni on taas viipynyt. Terveisiä Unkarista. Tuollaista, kuvan mukaista maisemma siellä yllätyksekseen näki. Moni ei taida tietääkään noista tulivuorista Balaton- järven lähellä. Paikalliset kertoivat, että ne syöksivät tulta viimeksi n 10 miljoonaa vuotta sitten. Näin s- postissa myös Paulin vastauksen kirjeeseesi ja täytyy sanoa, että yhdyn hänen näkemyksensä täysin. Matemaattisten kykyjeni vajavuudenhan olen tunnustanut jo aiemmin. Kuvittelen kyllä ymmärtäväni turhautumisen tunteesi, kun et tunnu saavan aikaan älykästä mieliipiteen vaihtoa tästä aiheesta Malaskan poismenon jälkeen. Näin vajavaista on insinöörikoulutus ollut. Lieneekö vieläkin. Olemme juuri lähdössä mökille Pohjaan. Öitä emme ole siellä vielä viettäneet, ainoastaan siivoilleet ja hiukan korjailleet syksyisen myrskyn aikaansaannoksia. Löysäily jatkuu. Toivotan Sinulle voimia ja terveyttä jatkaa tuolla henkisellä rintamalla. Yhdyn myös Paulin tunnetilaan. Kunnioituksen tuntein, Heikki