Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
|
|
- Seppo Jääskeläinen
- 4 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta Satunnaismuuttujien summa Kahden satunnaismuuttujan summa X + Y on satunnaismuuttuja, jonka jakauma voidaan määrittää X:n ja Y :n yhteisjakaumasta f X,Y (x, y). Summan tiheysfunktioksi saadaan f X+Y (s) = { x f X,Y (x, s x) (diskreetti yhteisjakauma), f X,Y (x, s x) dx (jatkuva yhteisjakauma). Jos summan termit ovat stokastisesti riippumattomat, voidaan ylläolevat kaavat kirjoittaa tiheysfunktioiden f X (x) ja f Y (y) avulla 1 muodossa f X+Y (s) = { x f X(x)f Y (s x) (diskreetti yhteisjakauma), f X(x)f Y (s x) dx (jatkuva yhteisjakauma). (5.1) Esimerkki 5.1 (Kahden satunnaismuuttujan summa). Satunnaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat toisistaan riippumattomat noudattavat lukujoukon {0, 1, 2,... } geometrista jakaumaa parametrina a = 4/5 ja tiheysfunktiona 1 Kaavan (5.1) yhtälöt voidaan tulkita tiheysfunktioiden f X ja f Y konvoluutioina. Yleisesti funktioiden f ja g konvoluutio h = f g määritellään diskreetissä tilanteessa kaavalla h(z) = x f(x)g(z x) ja jatkuvassa tilanteessa kaavalla h(z) = f(x)g(z x) dx. 63
2 0.2 f(x) = (1 a)a x Määritä satunnaismuuttujan X 1 + X 2 jakauma. Satunnaismuuttujan X 1 + X 2 arvojoukko on {0, 1, 2,... } ja tiheysfunktio saadaan määritettyä summakaavasta (5.1). Koska f(x) = 0 pisteissä x < 0, f X1 +X 2 (s) = x f(x)f(s x) = s (1 a)a x (1 a)a s x. x=0 Näin ollen summan jakauma voidaan esittää tiheysfunktiona 0.2 f X1 +X 2 (s) = (1 a) 2 (s + 1)a s Monen satunnaismuuttujien summa S n = X X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia, joiden avulla mallinnetaan satunnaisotannan havaintojen esiintyvyyksiä, kohinaisten mittausten keskiarvoja sekä talouden tuottoja kustannuskertymiä. Silloin kun summan termit ovat stokastisesti riippumattomia ja satunnaismuuttujan X kanssa samoin jakautuneita, voidaan summan S n jakauma määrittää X:n jakaumasta. Yksinkertaisimmassa tilanteessa summan termit ovat {0, 1}-arvoisia ja jakautuneet tiheysfunktion { f(x) = (1 p) 1 x p x 1 p, x = 0, = p, x = 1, mukaan. Tämä on Bernoulli-jakauma parametrina p [0, 1], missä parametri p kertoo tapahtuman X = 1 todennäköisyyden. Tällöin summa S n saa arvon x täsmälleen silloin, kun summattavista x saavat arvon 1 ja loput n x saavat arvon 0. Koska n:stä summattavasta voidaan valita ( n x) tavalla x arvon 1 saavaa termiä, havaitaan että summan S n jakauma noudattaa tiheysfunktiota ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n. x Tämä on binomijakauma parametreina n 1 ja p [0, 1]. Stokastisesti riippumattomien ja samoin jakautuneiden {0, 1}-arvoisten satunnaismuuttujien summan jakauma on siis aina binomijakauma. 64
3 Esimerkki 5.2. Monivalintakokeessa on 20 kysymystä, joista jokaisessa pitää valita yksi oikea vastaus kolmen vaihtoehdon joukosta. Mikä on todennäköisyys saada kokeesta umpimähkään arvaamalla vähintään 19 oikein? Oikeiden vastausten lukumäärä voidaan esittää summana S n = X 1 + +X n, jossa n = 20 ja X i = { 1, jos kysymyksen i vastaus on oikein, 0, muuten. Umpimähkään arvatessa ovat yksittäisten kysymysten vastaukset toisistaan riippumattomat, ja yksittäinen vastaus on oikein todennäköisyydellä 1. Näin ollen 3 termit X 1,..., X 20 ovat toisistaan riippumattomat ja Bernoulli-jakautuneet parametrina p = 1. Tämän seurauksena summa S 3 n noudattaa binomijakaumaa parametreina n = 20 ja p = 1 ja tiheysfunktiona f(x) = ( ) 20 (1/3) x (1 1/3) 20 x. x 0.1 Todennäköisyys saada vähintään 19 oikein on siis 0.0 P(S n 19) = f(19) + f(20) Tiheysfunktion arvot pisteissä x 17 ovat niin pieniä, että ne eivät näy ylläolevassa tiheysfunktion kuvaajassa. Yleisessä tapauksessa, jossa summattavat eivät ole binaariarvoisia, ovat summan jakauman määrittämiseen tarvittavat konvoluutiokaavat ovat yleensä niin monimutkaisia, että summan jakauman lauseketta ei voi kirjoittaa siistissä suljetussa muodossa. Silloin kun summattavien määrä on suuri, voidaan summan jakaumaa kuitenkin arvioida hyvin tarkasti normaali- tai Poisson-jakauman avulla. Tässä luvussa opitaan soveltamaan normaali- ja Poisson-jakaumia käytännön tilanteissa esiintyvien summien ja keskiarvojen analysoimiseen. 5.2 Summan keskihajonta Luvussa 3 esitetty suurten lukujen laki (fakta 3.3) kertoo, että keskiarvo suuresta määrästä riippumattomia X:n tavoin jakautuneita satunnaislukuja (odotusarvo µ, keskihajonta σ) on suurella todennäköisyydellä likimain 1 n n X i µ. i=1 65
4 Suurten lukujen laki ei kuitenkaan kerro sitä, miten tarkka kyseinen arvio on, eikä sitä, miten summattavien lukumäärä n ja summattavien keskihajonta σ vaikuttavat approksimaation tarkkuuteen. Approksimaation tarkkuutta voidaan mitata laskemalla summan keskihajonta ( ) ( 1 n n ) SD X i = 1 n n SD X i. i=1 i=1 Tämän auki laskemiseksi tarvitaan laskentakaava summan keskihajonnalle. Tarkastellaan ensiksi kahden muuttujan tapausta seuraavassa esimerkissä. Esimerkki 5.3 (Kahden satunnaismuuttujan summa). Mitä voidaan sanoa summan X + Y keskihajonnasta, kun tunnetaan odotusarvot µ X = 1 ja µ Y = 1 sekä keskihajonnat σ X = 2 ja σ Y = 3? Kovarianssin lineaarisuuden ja symmetrisyyden perusteella Var(X + Y ) = Cov(X + Y, X + Y ) = Cov(X, X) + Cov(Y, X) + Cov(X, Y ) + Cov(Y, Y ) = Var(X) + 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). Ottamalla ylläolevan yhtälön molemmilta puolilta neliöjuuret ja kirjoittamalla oikean puolen kovarianssitermi muodossa Cov(X, Y ) = ρσ X σ Y, missä ρ = Cor(X, Y ) on X:n ja Y :n korrelaatio, saadaan summan keskihajonnalle kaava σ X+Y = ( σ 2 X + 2ρσ X σ Y + σ 2 Y ) 1/2. (5.2) Summan keskihajontaa ei siis voi laskea tuntematta korrelaatiota. Soveltamalla kaavaan (5.2) korrelaation rajoja 1 ρ 1, saadaan summan keskihajonnalle kuitenkin estimaatit σ X σ Y σ X+Y σ X + σ Y, jotka kysymyksenasettelun lukuarvoilla vastaavat tapausta 1 σ X+Y 5. Jos X ja Y voidaan olettaa stokastisesti riippumattomiksi, voidaan kaavaan (5.2) sijoittaa ρ = 0, jolloin σ X+Y = ( ) σx 2 + σy 2 1/2, mikä kysymyksenasettelun lukuarvoilla tuottaa σ X+Y Ylläolevassa esimerkissä johdettu summan keskihajonnan lauseke (5.2) yleistyy melko pienellä vaivalla myös kahta useamman satunnaismuuttujan summille. Fakta 5.4. Satunnaismuuttujien X 1,..., X n summan keskihajonta saadaan kaavasta ( ) ( SD X i = σi 2 + ) 1/2, σ i σ j ρ i,j (5.3) i i missä σ i = SD(X i ) ja ρ i,j = Cor(X i, X j ). i 66 j:j i
5 Todistus. Kovarianssin lineaarisuudesta ( ) ( Var X i = Cov X i, ) X j i i j = Cov(X i, X j ) i j = Cov(X i, X i ) + Cov(X i, X j ) i i j:j i = σi 2 + σ i σ j ρ i,j, i i j:j i joten väite seuraa ottamalla ylläolevasta yhtälöstä neliöjuuret. Tärkeä erityistapaus ylläolevasta tuloksesta on tilanne, missä X 1,..., X n ovat korreloimattomia (ρ i,j = 0) ja samoin jakautuneita (σ i = σ), jolloin kaava (5.3) pelkistyy muotoon ( n ) SD X i = σ n. (5.4) i=1 Ylläoleva kaava on yksi stokastiikan tärkeimpiä tuloksia, sillä se kertoo tarkasti, miten riippumattomien ja samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien summan keskihajonta käyttäytyy suhteessa summattavien lukumäärään. Erityisen merkillepantavaa on se, että suurilla n:n arvoilla on summan keskihajonta mitättömän pieni suhteessa summan odotusarvoon ( n ) E X i i=1 = µn. Esimerkki 5.5 (Noppapeli). Pelataan n kierrosta noppapeliä, jossa yksittäisellä kierroksella voittaa nopan silmäluvun mukaisen määrän euroja. Laske kertyneen tuoton S = X X n odotusarvo ja keskihajonta tapauksissa n = 10, 100, Yhden kierroksen tuoton odotusarvo on µ X = = 3.5 ja keskihajonta on kahden desimaalin tarkkuudella σ X = ( 1 6 (1 µ) (2 µ) ) 1/2 (6 µ)2 = Koska pelikierrokset ovat stokastisesti riippumattomat ja samoin jakautuneet, saadaan kertyneen tuoton odotusarvoksi µ S = µ X n ja keskihajonnaksi σ S = σ X n. Tulokset eri n:n arvoilla ovat alla. 67
6 n µ S σ S Allaolevassa kuvassa on simuloimalla tuotettuja kertyneen tuoton S n jakaumia. Jokaisessa kuvassa havaitaan, että käytännössä kaikki simuloidut arvot sisältyvät neljän keskihajonnan sisään odotusarvosta. Chebyshevin epäyhtälön (fakta 4.6) mukaan tiedetään, että näin tapahtuu vähintään todennäköisyydellä 15 = 93.75% n = 10 n = 100 n = 1000 Esimerkki 5.6 (Lentoyhtiö). 300 lentolippua myydään lennolle, jossa on 290 matkustajapaikkaa. Arviolta 5% lipun ostaneista jää saapumatta lennolle, toisistaan riippumattomasti. Millä todennäköisyydellä kaikki saapujat mahtuvat lennolle? Lennolle saapuvien matkustajien lukumäärä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujien summana T = X X 300, missä { 1, jos lentolipun i ostaja saapuu lennolle, X i = 0, muuten. Indikaattorimuuttujan X i odotusarvo on µ X = = 0.95 ja keskihajonta σ X = ( 0.05 (0 µ X ) (1 µ X ) 2 ) 1/2 = Koska satunnaismuuttujat X 1, X 2,... ovat stokastisesti riippumattomat ja samoin jakautuneet, saadaan saadaan satunnaismuuttujan T odotusarvoksi µ T = µ X 300 = 285 ja keskihajonnaksi σ T = σ X 300 = Kaikki saapujat 68
7 mahtuvat lennolle silloin, kun N 290. Tämän tapahtuman todennäköisyyttä voidaan Chebyshevin epäyhtälön avulla arvioida muodossa P(T 290) P(T [280, 290]) = P(T = µ T ±1.32σ T ) %. Näin ollen kaikki saapujat mahtuvat lennolle vähintään todennäköisyydellä 42.6%. Tämä alaraja kuulostaa hyvin pessimistiseltä arviolta. Koska T on riippumattomien ja samoin jakautuneiden {0, 1}-arvoisten satunnaismuuttujien summa, tunnetaan sen jakauma itse asiassa tarkasti. Kuten kappaleessa 5.1 todettiin, noudattaa T binomijakaumaa parametreina n = 300 ja p = Tietokoneella voidaan laskea tarkka todennäköisyys P(T 290) = 93.5%. Binomijakaumalle Chebyshevin epäyhtälö antaa siis ylipessimistisiä arvioita 2 Alla on kuva satunnaismuuttujan T jakauman tiheysfunktiosta. Tiheysfunktion arvot ovat aidosti positiivisia kaikilla x {0, 1,..., 300}, mutta tähtitieteellisen pieniä kun x 250, joten ne eivät näy kuvassa Satunnaismuuttujien keskiarvo ja suurten lukujen laki Summan keskihajonnan avulla voidaan todistaa vahvempi versio aiemmasta suurten lukujen laista (fakta 3.3). Summattavien ei tarvitse olla stokastisesti riippumattomia, vaan riittää että ne ovat korreloimattomia. Fakta 5.7. Jos satunnaismuuttujat X 1, X 2,... ovat korreloimattomia, ja kaikilla on sama odotusarvo µ ja keskihajonta σ, niin mielivaltaisen pienellä ɛ > 0, tapahtuman n X k = µ ± ɛ (5.5) n 1 k=1 2 riippumattomien satunnaismuuttujien summille saadaan tarkempia estimaatteja ns. Chernoffin epäyhtälön avulla 69
8 todennäköisyys lähestyy ykköstä suurilla n:n arvoilla 3. Todistus. Merkitään S n = X X n. Tällöin summan S n odotusarvo on µn ja keskihajonta σ n. Tästä seuraa, että satunnaismuuttujan M n = n 1 S n odotusarvo on µ Mn = µ ja keskihajonta σ Mn = σn 1/2. Kun merkitään k = ɛn1/2, σ voidaan tapahtuma (5.5) lausua muodossa M n = µ Mn ± kσ Mn, ja Chebyshevin epäyhtälön tämän tapahtuman todennäköisyys on vähintään P(M n = µ Mn ± kσ Mn ) 1 1 k 2 = 1 σ2 ɛ 2 n. Väite seuraa, koska ylläolevan epäyhtälön oikea puoli lähestyy ykköstä, kun n kasvaa. 5.4 Summan normaaliapproksimaatio Esimerkissä 5.5 simuloitu sadan nopanheiton summan S = S 100 ja esimerkissä 5.6 simuloitu kolmensadan indikaattorimuuttujan summa T ovat muodoltaan samankaltaiset, kuten allaoleva kuva osoittaa S = S 100 (esimerkki 5.5) T (esimerkki 5.6) Jakaumat ovat jopa yllättävän samankaltaiset, sillä noppapelin tuottokertymä S = S 100 ja lennolle saapuvien lukumäärä T liittyvät täysin erilaisiin konteksteihin. Ainoa kyseisiä satunnaismuuttujia yhdistävä tekijä on se, että molemmat voidaan tulkita stokastisesti riippumattomien satunnaismuuttujien summana. 3 Tarkemmin ilmaistuna lim n P( n 1 n k=1 X k µ ɛ) = 1. 70
9 Jakaumien muotoa voi tarkemmin vertailla piirtämällä normitettujen satunnaismuuttujien S = S µ S T µ T ja T = σ S σ T jakaumat. Ne on esitetty kuvassa 5.1. Punaisella piirretty jakaumien muotoa tarkasti approksimoiva funktio on f(t) = 1 2π e t2 /2. (5.6) Kyseinen Gaussin kellokäyränä tunnettu funktio on positiivinen ja integroituu ykköseksi, joten se on erään jatkuvan jakauman tiheysfunktio. Tiheysfunktion (5.6) määrittämä jatkuva jakauma on nimeltään normitettu normaalijakauma S (esimerkki 5.5) T (esimerkki 5.6) Kuva 5.1: Normitettujen satunnaismuuttujien S ja T simuloidut jakaumat. Normitettujen jakaumien samankaltaisuus on universaali matematiikan laki, joka koskee kaikkia stokastisesti riippumattomia satunnaismuuttujien summia. Tämä tärkeä tulos tunnetaan nimellä keskeinen raja-arvolause. Fakta 5.8 (Keskeinen raja-arvolause). Jos summan S n = X 1 + X n termit ovat stokastisesti riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on odotusarvo µ X ja keskihajonta 0 < σ X <, niin normitettu summa S n = S n µ Sn σ Sn, missä µ Sn = µ X n ja σ Sn = σ X n, noudattaa suurilla n arvoilla likimain normitettua normaalijakaumaa. Todistus sivuutetaan tässä yhteydessä. 71
10 5.5 Normaalijakauma Yleinen normaalijakauma parametreina µ (, ) ja σ (0, ) on yhden muuttujan jatkuva jakauma, jonka tiheysfunktio on f(x) = 1 (x µ)2 e 2σ 2. 2πσ 2 Tiheysfunktiota sopivasti osittain integroimalla voidaan vahvistaa, että µ = xf(x) dx ja σ = ( 1/2 (x µ) 2 f(x) dx), joten parametri µ on normaalijakauman odotusarvo ja parametri σ sen keskihajonta. Normaalijakauman kertymäfunktiota tarkastelemalla havaitaan myös, että jos X on normaalijakautunut parametrein µ X ja σ X, niin tällöin Y = a+bx on normaalijakautunut parametrein µ Y = a + bµ X ja σ Y = b σ X. Tästä seuraa, että normitettu satunnaismuuttuja Z = X µ X σ X (5.7) noudattaa normitettua normaalijakaumaa odotusarvona 0 ja keskihajontana 1. Vastaavasti mikä tahansa parametrin µ ja σ normaalijakautunut satunnaismuuttuja voidaan esittää muodossa X = µ + σz, (5.8) missä Z noudattaa normitettua normaalijakaumaa. Normaalijakauman kertymäfunktiota ei voi esittää siistissä suljetussa muodossa, joten siihen liittyvät todennäköisyydet lasketaan kertymäfunktion taulukoiden tai numeeristen ohjelmistojen avulla. Normaalijakauman taulukoissa yleensä raportoidaan vain normitetun normaalijakauman kertymäfunktion arvot, sillä muut normaalijakaumat voidaan palauttaa normitettuun tapaukseen kaavojen (5.7) (5.8) avulla. Esimerkki 5.9 (Älykkyysosamäärä). Yhdeksäsluokkalaisten älykkyysosamäärä noudattaa likimain normaalijakaumaa (µ = 100, σ = 15). Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun yhdeksäsluokkalaisen älykkyysosamäärä on (a) yli 130? (b) välillä ? 72
11 2% 14% 68% 14% 2% σ σ Normitettu satunnaismuuttuja Z = X µ noudattaa normitettua normaalijakaumaa, joten σ ( ) X µ P(X > 130) = P > = P(Z > 2). σ 15 Normitetun normaalijakauman symmetrian ja jatkuvuuden perusteella pätee P(Z > 2) = P(Z < 2) = P(Z 2). Vastaukseksi (a)-kohtaan saadaan normaalijakauman taulukoista P(Z 2) Samaan tapaan ( P(85 X 115) = P 15 = P( 1 Z 1) = P( 1 < Z 1) X µ σ = P(Z 1) P(Z 1), ) joten (b)-kohdan vastaukseksi saadaan normaalijakauman taulukoista P(Z 1) P(Z 1) Esimerkki 5.10 (Noppapeli). Arvioi normaalijakauman avulla, millä todennäköisyydellä esimerkin 5.5 noppapelissä 100 pelikierrokselta kertynyt tuotto on (a) välillä EUR? (b) yli 500 EUR? Merkitään kertynyttä tuottoa S 100 = X X 100. Koska yhden kierroksen tuoton odotusarvo ja keskihajonta (yhden desimaalin tarkkuudella) ovat µ X = 3.5 ja σ X = 1.7, ja tuotot ovat stokastisesti riippumattomat, on 100 pelikierroksen tuoton odotusarvo µ S100 = =
12 ja keskihajonta σ S100 = = 17. Kun normitetun tuottokertymän S jakaumaa arvioidaan normitettua normaalijakaumaa noudattavalla satunnaismuuttujalla Z, saadaan tulokseksi 17 ( P(316 S ) = P 2 S ) P( 2 Z 2) = 1 2P(Z 2) 95.4%. ja ( S P(S 100 > 500) = P 17 P(Z > 8.82) = P(Z 8.82) ) > 8.82 Esimerkki 5.11 (Lentoyhtiö). Arvioi normaalijakauman avulla, millä todennäköisyydellä esimerkissä 5.6 kaikki lennolle saapuvat matkustajat mahtuvat lennolle. Esimerkissä 5.6 johdettiin lennolle saapuvien matkustajien lukumäärän T odotusarvoksi µ T = 285 ja keskihajonnaksi σ T = Lennolle saapuvien matkustajien normitettu lukumäärä on satunnaismuuttuja T µ T σ T = T Kun satunnaismuuttujan T 285 jakaumaa arvioidaan normitettua normaalijakaumaa noudattavalla satunnaismuuttujalla Z, havaitaan että kaikki matkus tajat mahtuvat lennolle todennäköisyydellä ( ) T P(T 290) = P ( ) T 285 = P P(Z 1.33) = 90.8%. Hieman tarkemman arvion saa huomaamalla, kokonaislukuarvoiselle satunnais- 74
13 muuttujalle T pätee P(T 290) = P(T 290.5), jolloin P(T 290) = P(T 290.5) ( ) T = P ( ) T 285 = P P(Z 1.46) = 92.8%. Näin saatu ns. jatkuvuuskorjaus tuottaa hieman tarkemman arvion, sillä tapahtuman tarkka todennäköisyys on binomijakauman mukaan P(T 290) = 93.5%. 5.6 Poisson-approksimaatio Keskeinen raja-arvolause kertoo, että stokastisesti riippumattomien ja samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + X n noudattaa suurilla n:n arvoilla likimain normaalijakaumaa parametrein µ X n ja σ X n, kunhan summattavien keskihajonta σ X on aidosti positiivinen ja äärellinen. Tietyissä tilanteissa tarvitaan arvioita satunnaismuuttujien summalle, jossa σ X on hyvin lähellä nollaa. Tällöin normaaliapproksimaation tarkkuus on heikko. Esimerkki Suositun uutissivuston www-palvelimelle saapuu keskimäärin λ = 2.6 sivupyyntöä sekunnissa. Arvioi todennäköisyys, jolla seuraavan sekunnin aikana palvelimelle saapuu yli 10 sivupyyntöä. Luonnollinen malli sekunnin aikana saapuville sivupyynnöille on satunnaismuuttujien summa S n = n i=1 X i, missä n on uutissivustoa seuraavien käyttäjien lukumäärä ja { 1, jos käyttäjältä i saapuu sivupyyntö, X i = 0, muuten. Summattavien indikaattorimuuttujien odotusarvo on µ X = p ja keskihajonta σ X = (p(1 p)) 1/2, missä p = P(X i = 1). Näin ollen saapuvien sivupyyntöjen odotusarvo voidaan kirjoittaa muodossa E(S n ) = np. Parametreja n ja p ei tehtävänannon pohjalta tunneta, mutta tunnetun odotusarvon λ pohjalta voidaan ratkaista p = λ. Kun uutissivustoa seuraavien käyttäjien lukumäärä n on suuri, n on summattavien keskihajonta likimain σ X = (p(1 p)) 1/2 λ 1/2 n 1/2. Koska σ X on hyvin lähellä nollaa, ei normaaliapproksimaation tarkkuudelle ole takeita. 75
14 Ylläolevan esimerkin tilanteeseen sopiva approksimoiva jakauma on lukujoukon {0, 1, 2,... } diskreetti jakauma tiheysfunktiona f(x) = e λ λx, x = 0, 1, 2,... x! Tämä jakauma on Poisson-jakauma parametrina λ > 0. Jakauma on nimetty ranskalaismatemaatikko Siméon Denis Poissonin ( ) mukaan. Seuraava tulos tunnetaan nimellä pienten lukujen laki. Fakta Jos summan S n = X 1 + X n termit ovat stokastisesti riippumattomia ja samoin jakautuneita {0, 1}-arvoisia satunnaismuuttujia odotusarvona µ X λ/n, niin S n noudattaa suurilla n likimain Poisson-jakaumaa parametrina λ. Todistus. Ylläolevien oletusten vallitessa S n noudattaa binomijakaumaa parametreina n ja p = µ X, joten ( ) n P(S n = x) = p x (1 p) n x. x Kun n on suuri, yllä esiintyvä binomikerroin on likimain ( ) n x = 1 x 1 (n k) = nx x 1 ( 1 k ) x! x! n k=0 k=0 nx x!. Lisäksi kun p λ, pätee px n (1 p) n x ( λ n ( 1 λ n) n x = Yhdistämällä nämä kolme arviota havaitaan, että ) x (, ja kaavan limn 1 + x n n) = e x avulla ( 1 λ ) x ( 1 λ n e n n) λ. P(S n = x) = ( n )p x (1 p) n x nx x x! ( λ n ) x e λ λ λx = e x!. Binomijakaumaa parametreina n ja p voidaan siis arvioida kahdella eri jakaumalla: (i) normaalijakauma parametrein µ = np ja σ = (np(1 p)) 1/2, tarkka silloin kun n on suuri ja p ei kovin lähellä nollaa eikä ykköstä (ii) Poisson-jakauma parametrina λ = np, tarkka silloin kun n on suuri ja p lähellä nollaa. 76
15 Esimerkki Suositun uutissivuston www-palvelimelle saapuu keskimäärin λ = 2.6 sivupyyntöä sekunnissa. Arvioi todennäköisyys, jolla seuraavan sekunnin aikana palvelimelle saapuu yli 10 sivupyyntöä. Saapuvien sivupyyntöjen lukumäärää on luonnollista arvioida binomijakaumalla parametreina n ja p λ. Faktan 5.13 mukaan suurella n kyseinen binomijakauma on likimain Poisson-jakauma parametrina λ. Kysytty todennäköisyys n on siis arviolta P(S n > 10) = 1 P(S n 10) 10 x=0 λ λx e x! Yhteenveto Satunnaismuuttujien summan S n = n i=1 X i odotusarvo ja keskihajonta määräytyvät ao. taulukon kaavoista. Summan termit E( i X i) SD( i X i) Yleiset i µ i ( i σ2 i + ) 1/2 i j:j i σ iσ j ρ i,j Korreloimattomat i µ i ( i σ2 i ) 1/2 Korreloimattomat ja samoin jakautuneet µn σ n Jos satunnaismuuttujien summan S n = X 1 + X n termit ovat stokastisesti riippumattomia ja samoin jakautuneita, odotusarvona µ X ja keskihajontana σ X, niin summan odotusarvo on µ Sn = µ X n ja keskihajonta σ Sn = σ X n. Silloin kun σ X on aidosti positiivinen ja äärellinen, noudattaa normitettu summa Sn µ Sn σ Sn suurilla n likimain normitettua normaalijakaumaa, joten jakauman näkökulmasta S n µ Sn + σ Sn Z, missä Z noudattaa normitettua normaalijakaumaa. Jos summattavat ovat {0, 1}- arvoisia, on summan tarkka jakauma binomijakauma parametreina n ja p = µ X. Kun p ei ole liian lähellä nollaa tai ykköstä, voidaan kyseistä binomijakaumaa arvioida yo. normaalijakaumaa käyttäen. Pienillä p λ/n arvioilla parempi arvio saadaan Poisson-jakaumasta parametrina λ > 0. 77
16 5.8 Sanastoa suomi Bernoulli-jakauma binomijakauma keskeinen raja-arvolause konvoluutio korreloitu korreloimaton normaaliapproksimaatio normaalijakauma normitettu normitettu normaalijakauma Poisson-approksimaatio englanti Bernoulli distribution binomial distribution central limit theorem convolution correlated uncorrelated normal approximation normal distribution, Gaussian distribution normalised standard normal distribution Poisson approximation 78
17 Hakemisto alakvartiili, 76 Bayesin kaava, 15, 92 Bernoulli-jakauma, 59 betajakauma, 96 binomijakauma, 59 binomikerroin, 18 bitti, 43 Chebyshevin epäyhtälö, 50 datajoukko, 72 datakehikko, 72 eksponenttijakauma, 25 entropia, 43 ergodinen, 46 erotus, 9 esiintyvyysharha, 15 estimaattori, 83 harhaton estimaattori, 83 hylkäysalue, 114 hyperparametri, 98 indikaattorifunktio, 26 jakauma, 21 diskreetti, 23 empiirinen, 73 jatkuva, 23 kertoma, 18 kertymäfunktio, 22 keskiarvo, 75 keskihajonta jakauman, 48 satunnaismuuttujan, 48 kombinatoriikka, 16 komplementti, 9 korrelaatio yhteisjakauman, 52 kovarianssi yhteisjakauman, 51 kvantiili, 75 leikkaus, 9 lukumäärä listat, 17 osajoukot, 18 lukumäärä, järjestykset, 18 mediaani, 75 merkitsevyystaso, 111 mitallinen funktio, 34 joukko, 19 momentti, 42 moodi, 75 multinomijakauma, 120 muuttuja, 72 nollahypoteesi, 108 normaalijakauma normitettu, 65 osajoukko, 8 ositus, 8 osituskaava, 14 otoskeskihajonta, 76 otoskorrelaatio, 77 otoskovarianssi, 77 p-arvo, 109 perusjoukko, 7 pistemassafunktio, 23 pistetodennäköisyysfunktio, 23 Poisson-jakauma, 24, 70 posteriorijakauma,
18 priorijakauma, 92 prosentiili, 76 reunajakauma diskreetti, 29 jatkuva, 29 reunatiheysfunktio diskreetti, 29 jatkuva, 29 riippumattomat satunnaismuuttujat, 30 tapahtumat, 12 satunnaismuuttuja, 20 diskreetti, 23 sigma-algebra, 19 suppeneminen stokastinen, 37 suurimman uskottavuuden estimaatti, 81 suurten lukujen laki, 37 vahva, 46 uskottavuusfunktio, 81, 92 logaritminen, 81 varianssi jakauman, 48 satunnaismuuttujan, 48 vastahypoteesi, 108 yhdiste, 9 yhteisjakauma, 25 diskreetti, 27 jatkuva, 27 tiheysfunktio, 27 yläkvartiili, 76 tapahtuma, 7 poissulkevat, 8 tasajakauma diskreetti, 24 jatkuva, 24 tiheysfunktio, 23 empiirinen, 73 tilastollinen merkitsevyys, 109 tilastollinen testi, 108 todennäköisyys aksiooma, 10 ehdollinen, 12 frekvenssitulkinta, 39 jakauma, 10 mitta, 10 monotonisuus, 10 summasääntö, 10 tulosääntö, 12 todennäköisyysfunktio, 23 todennäköisyysväli, 105 toteuma, 7 tulojoukko, 9 tyhjä joukko, 9 124
19 Kirjallisuutta [JP04] Jean Jacod and Philip Protter. Probability Essentials. Springer, second edition, [Kal02] Olav Kallenberg. Foundations of Modern Probability. Springer, second edition, [Wil91] David Williams. Probability with Martingales. Cambridge University Press,
Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia,
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotLuku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017
Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia
LisätiedotOpiskelijanumero Yleisarvio Työläys Hyödyllisyys 12345A K K B U 3 3 3
Luku 6 Datajoukkojen jakaumat, tunnusluvut ja kuvaajat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto. lokakuuta 207 6. Datajoukko ja datakehikko Tässä monisteessa datajoukko tarkoittaa järjestettyä listaa keskenään samantyyppisiä
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotKeskihajonta ja korrelaatio
Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotBayesläiset tilastolliset mallit
Luku 9 Bayesläiset tilastolliset mallit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 8. lokakuuta 07 9. Priorijakauma ja posteriorijakauma Bayesläisen tilastollisen päättelyn lähtökohtana on päivittää satunnaisilmiöön
LisätiedotLiite B. Suomi englanti-sanasto
Liite B Suomi englanti-sanasto Alla tässä monisteessa esiintynyttä sanastoa englanniksi käännettynä. Monet tähän aihepiiriin liittyvät termit eivät kuitenkaan ole täysin vakiintuneita kummassakaan kielessä.
Lisätiedot11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja p-arvo
Luku 11 Tilastolliset testit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 4. joulukuuta 2017 11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja p-arvo Aiemmissa luvuissa opittiin määrittämään piste-estimaatteja ja väliestimaatteja
Lisätiedot11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja poikkeavat havainnot
Luku 11 Tilastolliset testit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. lokakuuta 2017 11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja poikkeavat havainnot Datalähteen tuottamia arvoja mallinnetaan jakaumaa f(x θ) noudattavina
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotTodennäköisyyden käsite ja laskusäännöt
Luku 1 Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 1.1 Todennäköisyyden käsite Todennäköisyys on tapa kuvailla kvantitatiivisesti jonkin tapahtuman uskottavuutta,
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja jakaumat
Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta 207 2. Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista,
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
Lisätiedot11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita
11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMatemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto
Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012
Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotValintahetket ja pysäytetyt martingaalit
4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotTodennäköisyysjakaumia
8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
Lisätiedotb) Jos Ville kaataisikin karkit samaan pussiin ja valitsisi sieltä sattumanvaraisen karkin, niin millä todennäköisyydellä hän saisi merkkarin?
MAA1-harjoituskoe RATKAISUT 1. Villellä on kaksi karkkipussia. Ensimmäisessä pussissa on 3 salmiakkiufoa, 2 merkkaria ja 5 liitulakua. Toisessa pussissa on 5 merkkaria, 3 liitulakua ja 4 hedelmäkarkkia.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
Lisätiedot3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4
Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ
LisätiedotDiskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)
Lisätiedot3.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen
Lisätiedot4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
Lisätiedot(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.9 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
Lisätiedot