Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017
|
|
- Saara Leppänen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia satunnaismuuttujia. Havainnoijan uskomusta tuntemattoman parametrin arvosta kuvastaa priorijakauma p(θ). Havaittuaan datajoukon x hän päivittää uskomuksensa posteriorijakaumaksi p(θ x). Mikä on havainnoijan paras estimaatti tuntemattoman parametrin arvolle? Koska posteriorijakauma p(θ x) sisältää kaiken oleellisen informaation havainnoijan uskomuksesta ja havaitusta datajoukosta x, voidaan sitä pitää estimointitehtävän täydellisenä ratkaisuna. Käytännön tilanteissa on kuitenkin usein tarpeen raportoida yksi luku, joka edustaa jossain mielessä havainnoijan parasta arvausta tuntemattoman parametrin θ arvosta. Parametrin pisteestimaatiksi voidaan valita jokin posteriorijakauman tunnusluku. Yksi vaihtoehto on posteriorijakauman odotusarvo 1 θ E (x) = θ p(θ x) dθ, joka kuvaa millaisia arvoja posteriorijakaumasta keskimäärin saadaan simuloimalla suuri määrä otoksia. Toinen luonteva vaihtoehto on posteriorijakauman moodi eli sellainen parametrin arvo θ M (x), jossa posteriorijakauman tiheysfunktio p(θ x) saavuttaa suurimman arvonsa. 1 diskreetin jakauman tapauksessa integraali korvataan summalla 16
2 Esimerkki 1.1 (Tuntematon kolikko). Kolikkoa, josta ei ennalta tiedetä mitään, heittämällä havaitaan 4 kruunaa ja 1 klaava. Määritä kruunan todennäköisyyttä mallintavan parametrin θ piste-estimaatti käyttäen (a) posteriorijakauman odotusarvoa (b) posteriorijakauman moodia. Koska kolikon luonteesta ei ennalta tiedetä mitään, valitaan parametrin priorijakaumaksi yksikkövälin tasajakauma. Parametrin posterijakauma on tällöin faktan 9.3 mukaan betajakauma parametreina a = 5 ja b = 2. Posteriorijakauman tiheysfunktio voidaan kirjoittaa muodossa { 3 θ 4 (1 θ), θ (, 1), p(θ x) =, muuten. (a) Posteriorijakauman odotusarvo saadaan integraalina θ E (x) = 1 θ p(θ x) dθ = θ 3 θ 4 (1 θ) dθ ( 1 1 ) = 3 θ 5 dθ θ 6 dθ ( 1 = ) = (b) Posteriorijakauman moodin määrittämiseksi etsitään funktion p(θ x) maksimikohta. Posteriotiheyden derivaatta pisteessä θ (, 1) on p (θ x) = 3 d dθ (θ4 θ 5 ) = 3(4θ 3 5θ 4 ) = 3 θ 3 (4 5θ), joten piste θ = 4 on derivaatan ainoa nollakohta välillä (, 1). Derivoimalla 5 toisen kerran voidaan tarkistaa, että p ( 4 ) <, joten kyseinen piste on funktion 5 p(θ x) globaali maksimikohta. Näin ollen posterijakauman moodi on θ M (x) =. Lasketut piste-estimaatit on esitetty kuvassa Kuva 1.1: Havaintoa {4 kruunaa ja 1 klaava} vastaavasta posteriorijakaumasta lasketut piste-estimaatit: odotusarvo θ E (x).714 ja moodi θ E (x) =.8. 17
3 Esimerkki 1.2 (Kohinainen kanava). Esimerkissä 9.6 lähetetyn signaalin priorijakauma oli normaalijakauma odotusarvona µ = 5 ja keskihajontana σ = 1. Posterijakaumaksi vastaanotettujen signaaliarvojen x = (3.1, 7.9, 7.) suhteen saatiin normaalijakauma odotusarvona µ 1 = 5.43 ja keskihajontana σ Määritä lähetetyn signaalin piste-estimaatti käyttäen (a) posteriorijakauman odotusarvoa (b) posteriorijakauman moodia. Normaalijakauman tiheysfunktio on symmetrinen odotusarvonsa suhteen ja saavuttaa maksiminsa odotusarvon kohdalla (kuva 1.2). Näin ollen molempien piste-estimaattien arvoiksi saadaan θ E (x) = θ M (x) = Kuva 1.2: Lähetetyn signaalin posteriorijakaumasta lasketut piste-estimaatit: odotusarvo = moodi = Esimerkki 1.3 (Tasajakauman ylärajan estimointi). Tuntemattoman välin {1, 2,..., θ} tasajakaumaa noudattavasta datalähteestä on havaittu x 1 = 21, x 2 = 7 ja x 3 = 22. Ennakkoon on aihetta uskoa, että tuntemattoman parametrin arvo on todennäköisesti lähellä arvoa 3 ja uskomukseen liittyvä epävarmuus noudattaa Poisson-jakaumaa. Määritä posterijakauman moodia vastaava pisteestimaatti tuntemattoman parametrin arvolle. Poisson-jakauman parametrina λ = 3 tiheysfunktio on p(θ) = e λ λθ, θ =, 1, 2,... θ! Yksittäisen datapisteen x i uskottavuusfunktio on f(x i θ) = { 1 θ 1 x i θ,, muuten, joten datajoukon x = (x 1, x 2, x 3 ) uskottavuusfunktio on f(x 1, x 2, x 3 θ) = 3 f(x i θ) = i=1 18 { 1, θ 3 1 x 1, x 2, x 3 θ,, muuten.
4 Posteriorijakauma lasketaan päivityskaavasta p(θ x) = p(θ)f(x θ) θ p(θ )f(x θ ) = {c 1 3 3θ 1 e, θ! θ 3 θ 22,, muuten, missä normitusvakio on c = θ p(θ )f(x θ ). Normitusvakion tarkka laskeminen on hieman hankalaa, mutta posteriorijakauman moodin määrittämiseksi normitusvakion arvoa ei tarvitse tietää. Riittää etsiä normittamattoman posterioritiheysfunktion θ 3θ 1 maksimi joukossa θ 22. Kokeilemalla eri θ! θ 3 lukuarvoja havaitaan, että maksimi saavutetaan pisteessä θ = 26, joten posteriorijakauman moodi on θ M (x) = Kuva 1.3: Lukumäärän priorijakauma (sininen) ja posteriorijakauma (punainen). 1.2 Bayesläiset väliestimaatit Todennäköisyysvälit ovat käyttökelpoinen tapa kuvailla ja raportoida subjektiivisia uskomuksia, sillä priori- tai posteriorijakaumaa on yleensä melko vaikea kuvailla sanallisesti. Satunnaiselle vastaantulijalle on luultavasti ymmärrettävämpää kertoa, että kuin parametri sisältyy 5% todennäköisyydellä välille [.48,.66] parametri noudattaa betajakaumaa parametreina 8 ja 6. Jakauman todennäköisyysväli tasolla α on lukuväli [a, b], jolle kyseistä jakaumaa noudattava satunnaismuuttuja X toteuttaa P(a X b) = α. 19
5 Todennäköisyysväli on symmetrinen, mikäli lisäksi pätee P(X < a) = P(X > b). Jatkuvien jakaumien todennäköisyysvälejä on käytännössä helpointa määrittää kvantiilien avulla. Jos q s ja q t ovat jakauman kvantiileja tasoilla s ja t, niin tällöin qt q s f(x) dx = qt f(x) dx qs f(x) dx = t s, joten väli [q s, q t ] on jakauman todennäköisyysväli tasolla t s. Tason 5% todennäköisyysvälejä ovat siis esimerkiksi [q.25, q.75 ] ja [q.5, q.5 ]. Näistä [q.25, q.75 ] on symmetrinen. Bayesläisessä tilastollisessa päättelyssä väliestimaatteja voidaan laatia posteriorijakauman todennäköisyysvälejä käyttämällä. Luonnollinen vaihtoehto on määrittää symmetrinen todennäköisyysväli jollain riittävän suurella tasolla, esimerkiksi α =.95. Esimerkki 1.4 (Tuntematon kolikko). Kolikkoa, josta ei ennalta tiedetä mitään, heittämällä havaitaan 4 kruunaa ja 1 klaava. Määritä 95% todennäköisyysväli kruunan todennäköisyyttä mallintavalle parametrille θ. Kun priorijakaumaksi valitaan yksikkövälin tasajakauma, saadaan posteriorijakaumaksi (esimerkki 1.1) betajakauma parametreina a = 5 ja b = 2, tiheysfunktiona { 3 θ 4 (1 θ), θ (, 1), p(θ x) =, muuten. Posteriorijakauman odotusarvoksi saatiin kolmen desimaalin tarkkuudella θ E (x) =.714 ja moodiksi θ M (x) =.8. Posteriorijakauman symmetrinen 95% todennäköisyysväli on väli [q.25, q.975 ], jonka päätepisteet ovat tasojen.25 ja.975 kvantiilit betajakaumalle parametreina a = 5 ja b = 2. Betajakauman taulukoista tai numeerisilla ohjelmistoilla kvantiileiksi saadaan q.25 =.359 ja q.975 = Binaarimallin Bayes-estimointi Aiempien mielipidemittausten perusteella uskotaan, että nykyisen presidentin kannatusosuus tulevissa vaaleissa on noin.4 ja sisältyy välille [.3,.5] noin 95% todennäköisyydellä. Uudessa 2 henkilön satunnaisotokseen pohjautuvassa mielipidemittauksessa havaittiin ehdokkaan kannatusosuudeksi.35. Määritä kannatusosuuden piste-estimaatti, joka ottaa huomioon ennakkouskomuksen ja havaitun mielipidemittauksen. Bayesläisen piste-estimaatin laskemiseksi tulee määrittää tehtävässä kuvattua ennakkouskomusta kuvaava priorijakauma p(θ), jonka odotusarvo on θ p(θ)dθ.4, (1.1) 11
6 ja välin [.3,.5] todennäköisyys on.5.3 p(θ)dθ.95 (1.2) Ylläolevat ehdot eivät määrää priorijakaumaa yksikäsitteisesti. Esimerkiksi seuraavat jakaumat toteuttavat yo. ehdot: 1. Lukuvälin [.295,.55] tasajakauma. 2. Normaalijakauma odotusarvona µ =.4 ja keskihajontana σ = Betajakauma parametreina a = 27 ja b = Tasajakauma (a =.295, b =.55) Normaalijakauma (µ =.4, σ =.5) Betajakauma (a = 27 ja b = 4) Ylläolevista jakaumista tasajakauman käyttö on arveluttavaa, sillä siinä priorijakauma antaa todennäköisyyden nolla välin [.295,.55] ulkopuolelle, mikä vastaa absoluuttista ennakkouskomusta, että parametri 1% varmuudella sisältyy välille [.295,.55]. Normaalijakauma periaatteessa sallii parametrin arvoksi lukuja välin [, 1] ulkopuolelta, mutta käytännössä tällaiset kokoluokkaa 8σ tai suuremmat poikkeamat ovat hyvin epätodennäköisiä. Betajakauma on ylläolevista jakaumista luontevin valinta priorijakaumaksi, sillä sen arvojoukko on lukuväli [, 1] ja se antaa positiivisen todennäköisyyden kaikille yksikkövälin avoimille epätyhjille osaväleille. Betajakauma on myös käytännön laskennan kannalta mukava, sillä binaarimallissa se päivittyy betajakaumaksi (fakta 9.3). Kun havaitaan n = 2 alkion datajoukko, jossa 7 ykköstä ja 13 nollaa (ykkösten osuus = 35%), tällöin betajakauma (a = 27 ja b = 4) päivittyy betajakaumaksi parametreina a + 7 = 97 ja b + 13 = 17. Posteriorijakauman odotusarvoksi saadaan θ E (x) = Bayes-väliestimaatti. Etsitään piste-estimaatin.363 ympäriltä väli, johon posteriorijakaumaa noudattava parametri sisältyy tn:llä 95%. Voidaan valita esimerkiksi symmetrinen väli [q.25, q.975 ]. Betajakauman taulukoista q.25 =.37 ja q.975 =.422. Johtopäätöksenä voidaan ilmoittaa, että ennakkouskomuksen ja havaitun datan valossa sisältyy kannatusosuus välille [.37,.422] todennäköisyydellä 95%. 111
7 Hakemisto Bayesin kaava, 15, 96 Bernoulli-jakauma, 57 betajakauma, 1 binomijakauma, 57 binomikerroin, 18 bitti, 42 Chebyshevin epäyhtälö, 49 eksponenttijakauma, 25 entropia, 42 ergodinen, 45 erotus, 9 esiintyvyysharha, 15 estimaattori, 8 harhaton estimaattori, 81 hylkäysalue, 118 hyperparametri, 12 indikaattorifunktio, 26 jakauma, 21 diskreetti, 23 empiirinen, 7 jatkuva, 23 kertoma, 17 kertymäfunktio, 22 keskihajonta jakauman, 47 satunnaismuuttujan, 47 kombinatoriikka, 16 komplementti, 9 korrelaatio yhteisjakauman, 5 kovarianssi yhteisjakauman, 5 leikkaus, 9 lukumäärä listat, 17 osajoukot, 18 lukumäärä, järjestykset, 17 merkitsevyystaso, 115 mitallinen funktio, 33 joukko, 19 momentti, 41 multinomijakauma, 124 nollahypoteesi, 112 normaalijakauma normitettu, 62 osajoukko, 8 ositus, 8 osituskaava, 14 otoskeskihajonta, 73 otoskorrelaatio, 74 otoskovarianssi, 74 p-arvo, 113 perusjoukko, 7 pistemassafunktio, 23 pistetodennäköisyysfunktio, 23 Poisson-jakauma, 24, 67 posteriorijakauma, 96 priorijakauma, 96 reunajakauma diskreetti, 28 jatkuva, 28 reunatiheysfunktio diskreetti, 28 jatkuva, 28 riippumattomat satunnaismuuttujat, 3 127
8 tapahtumat, 12 satunnaismuuttuja, 2 diskreetti, 23 sigma-algebra, 19 suppeneminen stokastinen, 36 suurimman uskottavuuden estimaatti, 78 suurten lukujen laki, 36 vahva, 45 diskreetti, 26 jatkuva, 26 tiheysfunktio, 27 tapahtuma, 7 poissulkevat, 8 tasajakauma diskreetti, 24 jatkuva, 24 tiheysfunktio, 23 empiirinen, 7 tilastollinen merkitsevyys, 113 tilastollinen testi, 112 todennäköisyys aksiooma, 1 ehdollinen, 12 frekvenssitulkinta, 38 jakauma, 1 mitta, 1 monotonisuus, 1 summasääntö, 1 tulosääntö, 12 todennäköisyysfunktio, 23 todennäköisyysväli, 19 toteuma, 7 tulojoukko, 9 tyhjä joukko, 9 uskottavuusfunktio, 78, 96 logaritminen, 79 varianssi jakauman, 47 satunnaismuuttujan, 47 vastahypoteesi, 112 yhdiste, 9 yhteisjakauma,
9 Kirjallisuutta [JP4] Jean Jacod and Philip Protter. Probability Essentials. Springer, second edition, 24. [Kal2] Olav Kallenberg. Foundations of Modern Probability. Springer, second edition, 22. [Wil91] David Williams. Probability with Martingales. Cambridge University Press,
Bayesläiset tilastolliset mallit
Luku 9 Bayesläiset tilastolliset mallit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 8. lokakuuta 07 9. Priorijakauma ja posteriorijakauma Bayesläisen tilastollisen päättelyn lähtökohtana on päivittää satunnaisilmiöön
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOpiskelijanumero Yleisarvio Työläys Hyödyllisyys 12345A K K B U 3 3 3
Luku 6 Datajoukkojen jakaumat, tunnusluvut ja kuvaajat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto. lokakuuta 207 6. Datajoukko ja datakehikko Tässä monisteessa datajoukko tarkoittaa järjestettyä listaa keskenään samantyyppisiä
Lisätiedot11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja poikkeavat havainnot
Luku 11 Tilastolliset testit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. lokakuuta 2017 11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja poikkeavat havainnot Datalähteen tuottamia arvoja mallinnetaan jakaumaa f(x θ) noudattavina
Lisätiedot11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja p-arvo
Luku 11 Tilastolliset testit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 4. joulukuuta 2017 11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja p-arvo Aiemmissa luvuissa opittiin määrittämään piste-estimaatteja ja väliestimaatteja
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotSatunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Kahden satunnaismuuttujan summa X + Y on satunnaismuuttuja, jonka jakauma
LisätiedotSatunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia,
LisätiedotLiite B. Suomi englanti-sanasto
Liite B Suomi englanti-sanasto Alla tässä monisteessa esiintynyttä sanastoa englanniksi käännettynä. Monet tähän aihepiiriin liittyvät termit eivät kuitenkaan ole täysin vakiintuneita kummassakaan kielessä.
LisätiedotKeskihajonta ja korrelaatio
Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotTodennäköisyyden käsite ja laskusäännöt
Luku 1 Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 1.1 Todennäköisyyden käsite Todennäköisyys on tapa kuvailla kvantitatiivisesti jonkin tapahtuman uskottavuutta,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotMatemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto
Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja jakaumat
Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta 207 2. Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista,
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.9 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.93 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 7. helmikuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.96 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 7. syyskuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastollinen päättely, 10 op, 4 ov
Tilastollinen päättely, 0 op, 4 ov Arto Luoma Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede 3304 TAMPEREEN YLIOPISTO Syksy 2006 Kirjallisuutta Garthwaite, Jolliffe, Jones Statistical Inference,
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Lisätiedot3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4
Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ
LisätiedotStokastiikka ja tilastollinen ajattelu
Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.990 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 8. maaliskuuta 209 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotMaximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
LisätiedotTodennäköisyyden käsite ja laskusäännöt
Luku 1 Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 12. syyskuuta 2017 1.1 Todennäköisyyden käsite Todennäköisyys on tapa kuvailla kvantitatiivisesti jonkin tapahtuman uskottavuutta,
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotMiten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?
21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen aineiston kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotTilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotKertausluento. Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe
Kertausluento Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe Yleistä tietoa TP II -2. kurssikokeesta 2. kurssikoe maanantaina 6.5.2019 klo 12.00-14.30 jossakin Exactumin auditoriossa Kurssikokeeseen ilmoittaudutaan
LisätiedotLuento 2. Yksiparametrisia malleja. Binomi-malli. Posteriorijakauman esittämisestä. Informatiivisista priorijakaumista. Konjugaattipriori.
Luento 2 Binomi-malli Posteriorijakauman esittämisestä Informatiivisista priorijakaumista Konjugaattipriori Slide 1 Yksiparametrisia malleja Binomi Jacob Bernoulli (1654-1705), Bayes (1702-1761) Normaali
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotTilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu
ilastollinen päättely 5.. Johdanto Estimointi, Joukkoestimointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste-estimointi, Väliestimaatti, Väliestimaattori,
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen datan kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
Lisätiedot