Planck-satelliittidatan simulointi: Signaalivuodon eristäminen matriisi-ikkunafunktiolla

Transkriptio

1 Pro gradu -tutkiema Tähtitiede Panck-sateiittidatan simuointi: Signaaivuodon eristäminen matriisi-ikkunafunktioa Kimmo Kiiveri 2015 Ohjaaja: Tarkastajat: Hannu Kurki-Suonio Hannu Kurki-Suonio Karri Muinonen HELSINGIN YLIOPISTO FYSIIKAN LAITOS PL 64 (Gustaf Häströmin katu 2) Hesingin yiopisto

2 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakutet/Sektion Facuty Laitos Institution Department Matemaattis-uonnontieteeinen Tekijä Författare Author Kimmo Kiiveri Työn nimi Arbetets tite Tite Fysiikan aitos Panck-sateiittidatan simuointi: Signaaivuodon eristäminen matriisi-ikkunafunktioa Oppiaine Läroämne Subject Tähtitiede Työn aji Arbetets art Leve Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoanta Number of pages Pro gradu -tutkiema s. Tiivistemä Referat Abstract Havaittavaan maaimankaikkeuteen ähes tasaisesti jakaantunut ja noin vuotta sitten syntynyt kosminen mikroaatotaustasäteiy on merkittävin yksittäinen havaittavan kosmoogian tiedonähde. Tämä taustasäteiy on matkannut sen syntyhetkestä ähtien haki maaimankaikkeuden aajenemishistorian aina herkkiin mittaaitteisiimme saakka, ja täten se on sekä suora havaintoikkuna nuoreen maaimankaikkeuteen, että tärkeä havaintoaineisto maaimankaikkeuden aajenemishistoriasta. Vuonna 1992 NASA ähetti matkaan ensimmäisen taustasäteiyn epäisotropioita kartoittavan COBE-sateiitin, jonka mittaustuosten ja tätä seuranneiden sateiittimissioiden, WMAPin ja Panckin, ansiosta nykykosmoogiasta on tuut täsmätiedettä. Vuonna 2009 aukaistun Panck-sateiitin perintö kosmoogiae tuee oemaan unohtumaton. Jotta sen tarkat mittaustuokset saadaan uotettaviksi, tuee sateiitin havaintokeiat tuntea hyvin, siä keioista aiheutuvat efektit ovat suuria systemaattisten virheiden ähteitä. Havaintokeioia tarkoitetaan sateiitin yksittäisen detektorin, tai vaihtoehtoisesti useampien detektorien, spatiaaista vastetta, johon on huomioitu sateiitin skannausstrategiasta, datan käsitteystä, detektorista ja optiikasta aiheutuvat efektit. Tavaisesti nämä havaintokeiat on tapana esittää harmonisessa avaruudessa, mitatun tai simuoidun datan jatkoanayysiä varten, jooin niistä käytetään nimitystä skaaari-ikkunafunktio. Näiden skaaari-ikkunafunktioiden on todettu sisätävän yimääräisiä systemaattisia efektejä, erityisesti ämpötia- ja poarisaatiosignaain väistä vuotoa, joiden oetetaan oevan seurausta sateiitin samaan syöttötorveen kytkettyjen kahden detektorin väisten havaintokeiojen eroista. Tässä työssä esitetään uudenainen mai, joa voidaan vähentää kosmisen mikroaatotaustasäteiyn epäisotropioita kartoittavan sateiitin instrumenteista ja skannausstrategiasta aiheutuvia yimääräisiä efektejä, erityisesti signaaivuotoa ämpötian ja poarisaation väiä. Vaikka tätä maia on esitety tässä tutkiemassa erityisesti Panck-sateiitin mataan taajuuden instrumenttien (eng. Low Frequency Instrument, LFI) taustasäteiyä koskevan signaaivuodon eristämiseen, sovetuu se käytettäväksi niin Panckin korkean taajuuden instrumenteie kuin myös signaaivuodon eristämiseen etuaan säteiystä. Tästä maista käytetään nimitystä matriisi-ikkunafunktio, ja se on vuonna 2015 kehitetty Hesingin yiopiston Panck-tutkimusryhmän yhteistyönä. Tässä tutkiemassa tarkasteaan CMB Monte Caro simuaatioiden avua, miten havaintokeiojen eriainen muoto eri detektorien väiä vaikuttaa vuotokomponenttien suuruuteen. Erityisesti matriisi-ikkunafunktiomain simuaatioia näytetään, miten nämä signaaivuodot saadaan tehokkaasti eristettyä omiksi komponenteikseen, ja miten matriisi-ikkunafunktiota voidaan hyödyntää todenmukaisen taivaan ämpötian ja poarisaation kumatehospektrien rekonstruoimiseen. Näistä rekonstruoiduista taivaan kumatehospektreistä voidaan puoestaan sevittää nykykosmoogiae merkittävät kosmoogiset parametrit, jotka karakterisoivat maaimankaikkeuden rakennetta, syntyä ja kehitystä. Avainsanat Nyckeord Keywords Kosmoogia, kosminen taustasäteiy, data-anayysi Säiytyspaikka Förvaringsstäe Where deposited Kumpuan tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additiona information

3 Sisätö 1 Johdanto Maaimankaikkeuden synty Kosmisen mikroaatotaustasäteiyn tutkiminen Tämän tutkieman tavoite Nykykäsitys kosmoogiasta Merkittävimpiä kosmoogisia havaintoja Aika-avaruuden geometria Friedmannin yhtäöt Kosminen infaatio Laakeusongema Horisonttiongema Magneettisten monopoien ongema Yhden kentän sow-ro infatoni ja sen häiriöt Kosmisen taustasäteiyn epäisotropioiden statistiikka Mutipoiekspansio Lämpötiavaihteuiden kumatehospektrit Poarisaation kumatehospektrit Kosmoogiset parametrit Panckin keiat ja ikkunafunktiot Keiojen määritemät Keiojen skaaari-ikkunafunktiot Matriisi-ikkunafunktiot Piksei-ikkunafunktiot Havaitun signaain maintaminen - signaain ja keiojen konvouutio Kartanteko aikajärjestetystä datasta Kartanteko-ongema Kartan ratkaiseminen destriping-menetemää Matriisi-ikkunafunktion simuaatiot CMB Monte Caro simuaatiot Matriisi-ikkunafunktion eementtien arvioiminen Läheisten sivukeiojen vaikutus i

4 ii SISÄLTÖ 5.4 Etäisten sivukeiojen vaikutus Matriisi-ikkunafunktion eementtien käyttäytyminen Matriisi-ikkunafunktioiden vaidointi Yhteenveto 73 Liite A Liitteet 79

5 Luku 1 Johdanto 1.1 Maaimankaikkeuden synty Tarkkoihin kosmoogisiin havaintoihin nojaavan akuräjähdysteorian mukaan maaimankaikkeutemme syntyi äärimmäisen kuumasta ja tiheästä tiasta noin mijardia vuotta sitten. Koska ei tiedetä, kuinka kauan niin kutsuttu maaimankaikkeuden infaatiovaihe on kestänyt 1, voidaan maaimankaikkeuden aun yhteydessä puhua vain infaation aikaisista ja sen jäkeisistä tapahtumista. Infaatiovaiheen aikana maaimankaikkeus koki eksponentiaaisen aajenemisen. Infaatiota ohjanneet kvanttikentät (tai kenttä) vapauttivat infaatiovaiheen päätteeksi vatavan määrän potentiaaienergiaa, mikä synnytti tiheän ja kuuman kvarkki-guonipasman. Tämä erittäin energeettinen hiukkaspuuro ei pystynyt vieä sitomaan hadroneita yhteen, ja vasta kun aati aajeneva maaimankaikkeus oi jäähtynyt hadronien sidosenergioiden (10 6 sekuntia akuräjähdyksestä) aapuoee, pystyivät kvarkit muodostamaan vakaita hadroneita, kuten protoneita ja neutroneita. Hadronien epookin aikoihin maaimankaikkeus oi edeeen iian kuuma muodostaakseen atomeita. Fotonit ja varatut hiukkaset törmäiivät jatkuvasti toisiinsa, mikä teki maaimankaikkeudesta äpinäkymättömän. Vasta, kun aikaa oi kuunut noin vuotta akuräjähdyksestä, oi maaimankaikkeuden energiatiheys pudonnut tarpeeksi, jotta eektronit ja protonit pystyivät yhtymään kevyiksi vety-atomeiksi (massaosuus 75%) ja heium-atomeiksi (massaosuus 25%). Tämän rekombinaatioksi kutsutun prosessin seurauksena maaimankaikkeudesta tui sähköisesti neutraai ja äpinäkyvä, ei fotonit pystyivät nyt ensimmäistä kertaa etenemään vapaasti aajenevassa maaimankaikkeudessa törmäiemättä toisiin hiukkasiin. Nämä fotonit voidaan nykyään havaita kosmisena mikroaatotaustasäteiynä, joka on yksi havaitsevan kosmoogian tärkeimmistä tutkimuskohteista. 1.2 Kosmisen mikroaatotaustasäteiyn tutkiminen Koko havaittavaan maaimankaikkeuteen ähes tasaisesti jakautunut kosminen mikroaatotaustasäteiy (eng. Cosmic Microwave Background, CMB) on viimeisen 50 vuoden ajan out merkittä- 1 Infaatio on pyyhkinyt kaiken informaation sitä mahdoisesti edetäneistä hetkistä ja on myös mahdoista, että infaatiovaihe on kestänyt äärettömän kauan, jooin sitä edetäneet tapahtumat ovat puhdasta spekuaatiota. 1

6 2 LUKU 1. JOHDANTO vin tiedonähde maaimankaikkeuden rakenteesta, koostumuksesta ja geometriasta. Taustasäteiyn syntyhetkeä maaimankaikkeus oi noin 1100 kertaa nykyistä pienempi ja sen ämpötia oi jäähtynyt keskimäärin 3000 Keviniin. Tämä taustasäteiy on kaukaisinta sähkömagneettista säteiyä, jota voimme havaita herkiä radioteeskoopeia. Kosmisen mikroaatotaustasäteiyn öysivät sattumata vuonna 1965 kaksi yhdysvataaista fyysikkoa Arno Penzias ja Robert Wison, mistä he myöhemmin saivat fysiikan Nobe-pakinnon [1]. Varsinainen äpimurto taustasäteiyn tutkimuksessa tapahtui vuonna 1992, kun NASAn ensimmäinen taustasäteiyä kartoittava sateiitti, Cosmic Background Exporer ei COBE, vahvisti pienet, 10 4 K uokkaa oevat, ämpötiapoikkeamat taustasäteiyssä [2]. Ennen näiden ämpötiapoikkeamien ei epäisotropioiden havaitsemista kuitenkin tiedettiin, maanpääisten mittausten ansiosta, että taustasäteiyä on ähes mustan kappaeen säteiyspektri ja sen keskiämpötia on noin 2.7 Keviniä, mitkä myös COBE vahvisti. Wienin siirtymäain mukaisesti tämän säteiyspektrin huippu on noin taajuuden 160 GHz (aaonpituuden λ = 1 mm) kohdaa. Taustasäteiyn ämpötian epäisotropioita vastaavat pienet materian harventumat ja tihentymät, ja näitä tihentymiä pidetään nykyisin havaittavien tähtien ja gaaksien siemeninä. Taustasäteiyn epäisotropioiden akuperä on, nykykäsityksen mukaan, seurausta infaation aikaisista kvanttifuktuaatioista. Siispä taustasäteiy on suora havaintoikkuna hyvin varhaiseen maaimankaikkeuteen. Se tarjoaa puitteet erittäin korkeaenergisen fysiikan tutkimisee tavaa, johon ei nykyiset, eivätkä vättämättä tuevatkaan, hiukkaskiihdyttimet tue energioiaan ytämään. Taustasäteiyn epäisotropioiden tarkka mittaaminen on erittäin tärkeää nykykosmoogian kannata. Mitä herkempi mittaaite on ämpötiavaihteuita mitannut, sitä tarkemman kuvan mittauksiin sovitetut kosmoogiset mait antavat muun muassa maaimankaikkeuden geometriasta, iästä sekä pimeän aineen ja pimeän energian osuuksista. Koska COBE-sateiitia oi varsin karkea, noin 7, kumaerotuskyky, pystyi siä näkemään vain tätä suurempia rakenteita. Myöskään maanpääiset havainnot eivät tuooin tarjonneet merkittävää tarkennusta pienempien kokoskaaojen havaitsemiseen mikroaatoja absorboivan imakehän vuoksi. Niinpä tarkempia taustasäteiyn epäisotropiaa mittaavia sateiitteja tarvittiin. Vuonna 2001 NASA aukaisi toisen koko taivaan mikroaatotaustasäteiyn ämpötiavaihteuita kartoittavan sateiitin, Wikinson Microwave Anisotropy Proben ei WMAPin, joka asetettiin kiertämään Maa-Aurinko-systeemin toista Lagrangen pistettä. Nämä Lagrangen pisteet ovat avaruudessa oevia aueita, joissa kahden massiivisen ja toisiaan kiertävän kappaeen vetovoimat ja keskipakoisvoima kumoavat sopivasti toisensa siten, että komas pienimassainen kappae pystyy pysytteemään ikimain stabiiia radaa suhteessa kahteen muuhun kappaeeseen. WMAPin kumaerotuskyky oi 13, mikä oi 33 kertaa tarkempi kuin COBEa ja WMAP havaitsi ämpötiaeroja viideä eri taajuuskaistaa COBEn komen sijaan. Suurempi taajuuskaistojen määrä tarkoitti sitä, että WMAP kykeni COBEa paremmin vähentämään etuaasta, ei erityisesti Linnunradan säteiyähteistä, toisista gaakseista ja kosmisesta infrapunataustasta, tuevaa vaoa, joka taustasäteiykartoituksissa on usein tieä. WMAP teki yhteensä yhdeksän vuotta mittauksia, ja se poistettiin käytöstä okakuussa Sateiitin viimeisimmät tuokset jukistettiin vuonna Toukokuussa 2009 Euroopan avaruusjärjestö (ESA) aukaisi ensimmäisen oman taustasäteiyn epäisotropioita mittaavan sateiitinsa, Panck-sateiitin, joka oi WMAPin seuraaja. Kuvassa 1.1

7 1.2. KOSMISEN MIKROAALTOTAUSTASÄTEILYN TUTKIMINEN 3 on esitetty Panck-sateiitti ja sen tärkeimmät osat. Panck asetettiin kiertämään, WMAPin tavoin, Maa-Aurinko-systeemin toista Lagrangen pistettä km:n säteisee Lissajous n radae noin 1.5 mijoonan kiometrin etäisyydee Maasta [3]. Kuvassa 1.2 näkyy Panckin kiertorata Auringon ympäri L2-pisteen äheisyydessä. Panckin kumaerotuskyky oi 5 ja se kattoi yhdeksän Kuva 1.1: Kuva Panck-sateiitista. Sisääntueva vao heijastuu pääpeiistä apupeiin kautta pottotasoe. Pottotasoa sijaitsevat mataan taajuuden instrumentit (eng. Low Frequency Instrument, LFI) ja korkean taajuuden instrumentit (eng. High Frequency Instrument, HFI). Pääpeiiä ympäröivä suojaevy vähentää hajavaon pääsyä pottotason mittausinstrumentteihin ja ohjaa instrumenteista tuevan yimääräisen ämpösäteiyn avaruuteen. Huotomodui, joka sisätää kaikki ämpimät eementit, ja hyötykuormamodui, joka on pidettävä herkkien mittauksien vuoksi mataissa ämpötioissa, ovat eristetty toisistaan suippenevia, peiimäisiä kiviä. Sateiitin pyörimisaksei on asetettu osoittamaan aina poispäin Auringosta siten, että sateiitie tehoa antava aurinkokenno osoittaa aina kohti Aurinkoa. Kuvan ähde [3]. taajuuskaistaa 30 GHz:sta 857 GHz:iin, WMAPin viiden taajuuden sijaan. Suomaaisen MiiLabin johdoa rakennetut Panckin 70 GHz:n detektorit oivat mittausten osata tärkeässä rooissa, siä tää taajuuskaistaa taustasäteiyn mittaamista vaikeuttavat häiriöt ovat pienimmiään. Panckin detektorit oivat WMAP-sateiitin detektoreita herkemmät taustasäteiyn poarisaation mittauksie. Yhdeksän taajuuskanavaa takasivat sen, että Panckia voitiin mitata taustasäteiyn ämpötiaerot niin tarkasti, että mittauksista voitiin määrittää keskeiset kosmoogiset parametrit ae prosentin tarkkuudea. Kuvassa 1.3 nähdään COBEn, WMAPin ja Panck-sateiitin kumaerotuskykyvertaiu samasta taivaanaueesta kuvattuna. Lokakuun 3:ntena 2013 Panck oi onnistuneesti suorittanut kaikki tieteeiset operaationsa ja okakuun 9. päivä sateiitti asetettiin aurinkokeskisee kaatopaikkaradae. Viimeinen poiskytkentäkomento ähetettiin Panckie okakuun 23. päivä, mikä päätti sateiitin nejän ja puoen vuoden havaintokauden [4]. Panckin tuokset taustasäteiyn ämpötiavaihteuista jukaistiin maaiskuussa 2013 ja tuokset päivitettiin hemikuussa 2015, jooin samaa Panckin ensimmäiset poarisaatiota koskevat tuokset jukaistiin. Vuoden 2013 jukaistuissa Panckin tuoksissa ei vieä out mukana poarisaatiota johtuen muun muassa sen suurehkoista systemaattisista virheistä. Uusien mittausten ja tarkempien simuaatiokokeiden avua nämä virheet saatiin pienennettyä hyväksyttäväe tasoe.

8 4 LUKU 1. JOHDANTO Kuva 1.2: Panck -sateiitin Lissajous n kiertorata Maa-Aurinko-systeemin Lagrangen toisessa pisteessa. Panckin pyo ra hdysnopeus oman akseinsa ympa ri oi noin 1 rpm. Kuvan a hde [3]. Kuva 1.3: Mikroaatotaustasa teiyn a mpo tian epa isotropioita kuvattuna komen eri sukupoven taustasa teiya mittaavia sateiiteia. COBEn, WMAPin ja Panckin kumaerotuskyvyt parhaimmiaan oivat 7, 130 ja 50. Siniset aueet kuvassa vastaavat hieman kymempia aueita taivaasta ja ketaiset seka punaiset aueet hieman kuumempia aueita. La mpo tiavaihteut kymien ja kuumien aueiden va ia ovat eritta in pienia, uokkaa 10 4 K. (NASA/JPL).

9 1.3. TÄMÄN TUTKIELMAN TAVOITE Tämän tutkieman tavoite Panck-datan simuaatiot ovat kriittisessä asemassa data-anayysin kannata, siä ne tarjoavat hyvin kontrooidun testiaustan varsinaisen raakadatan anaysointityökaujen kehittämisee. Simuoitu data pyritään jäjitteemään raakadatan mukaiseksi ja moemmat kukevat oputa saman anayysiketjun äpi. Koska raakadataan vaikuttavia efektejä ei aina kunnoa tunneta, anaysoidaan niitä simuaatioiden avua, siä simuaatioparametreja voidaan kontrooida toisistaan riippumattomasti ja täten parametrien aiheuttamat efektit seittävät raakadatan käyttäytymistä. Koska Panckin simuaatiodatan tuottaminen vaatii vatavia askentaresursseja, toteutetaan simuaatiot käytännössä Yhdysvaoissa ja Euroopassa sijaitsevia supertietokoneia. Suomessa tehdyissä Panck-simuaatioissa oaan keskitytty erityisesti mataan taajuuden instrumenttidatan simuoimiseen ja näitä simuaatioita ajetaan CSC-supertietokonekeskuksessa, Kajaanissa. Tämän tutkieman päätavoite on esiteä uudenainen mai Panck-sateiitin havaintokeiojen ikkunafunktioie, joka on toteutettu simuoitujen kumatehospektrien avua. Tämä mai tunnetaan nimeä matriisi-ikkunafunktio, ja se on kehitetty Hesingin yiopiston Panck-työryhmän yhteistyönä. Tämän tutkieman matriisi-ikkunafunktion simuaatiotuokset perustuvat Panckin mataan taajuuden instrumentin signaaisimuaatioihin. Vaikka matriisi-ikkunafunktion päätuokset on jukaistu viitteessä [37], ei sitä oa vieä tutkittu tarpeeksi, jotta matriisi-ikkunafunktiomaia voitaisiin käyttää data-anayysin myöhemmissä vaiheissa. Tässä tutkiemassa fenomenoogisesti anaysoidaan matriisi-ikkunafunktion eementtien käyttäytymistä eriaisia havaintokeiojen muodoia 30, 44 ja 70 GHz:a, joista 44 GHz:n tuokset esiteään. Muiden taajuuksien käytös vastaa 44 GHz:n tuoksia. Lisäksi matriisi-ikkunafunktioiden avua rekonstruoidaan onnistuneesti 30, 44 ja 70 GHz:n ämpötian ja poarisaation kumatehospektrit. Tämä todistaa matriisiikkunafunktiomain toimivuuden. Taustasäteiytutkimuksen motivoimiseksi johdantoa seuraavassa uvussa (uku 2) tarjotaan yeiskatsaus nykykosmoogiasta merkittävimpien havaintojen ja kosmoogisen teorian avua. Tämän tutkieman kannata tärkeä teoreettinen osio koskee taustasäteiyn epäisotropian statistiikkaa, (ukua 2.5), jossa määriteään nykykosmoogiae kenties merkittävin havaintoaineisto, ämpötiavaihteuiden ja poarisaation kumatehospektrit. Myös taustasäteiyn signaain anayysissä käytettävä mutipoiekspansio käsiteään tässä uvussa. Luvuissa 3-4 käsiteään Panck-sateiitin taustasäteiyn epäisotropioiden data-anayysiä. Luvussa 3 keskitytään määritteemään Panckin eriaiset keiat ja harmonisessa avaruudessa keiojen profiieja kuvaavat skaaari-, matriisi- ja pikseiikkunafunktiot. Lisäksi tässä uvussa käydään äpi havaitun signaain maintamista, jota tarvitaan myöhemmin uvun 5 CMB Monte Caro simuaatioissa. Luvussa 4 siirrytään käsitteemään Panckin mittaaman tai simuaatioia mainnettavan aikajärjestetyn datan projisoimista karttatasoe. Taivaankartoissa oevaa ämpötiavaihteuiden ja poarisaation signaaia voidaan anaysoida mutipoiekspansioa, jonka avua kartoista voidaan askea havaitut kumatehospektrit, joissa keiojen vaikutukset ovat mukana. Luku 5 keskittyy matriisi-ikkunafunktioiden maintamiseen CMB Monte Caro simuaatioia. Tässä uvussa kuvaiaan tutkiemassa käytettyjä simuaatioita, arvioidaan matriisi-ikkunafunktion eementit simuaatioia ja tarkasteaan matriisi-ikkunafunktion eementtien käyttäytymistä eriaisia keian muodoia. Lopuksi matriisi-ikkunafunktiot vaidoidaan sovetamaa niitä onnistuneesti todenmukaisen taivaan kumatehospektrin rekonstruoimiseen.

10 6 LUKU 1. JOHDANTO

11 Luku 2 Nykykäsitys kosmoogiasta Jotta käsitys kosmisen taustasäteiyn tärkeydestä käy seväksi, kerrotaan tässä uvussa auksi merkittävimmistä kosmoogisista havainnoista ja niiden taustaa oevista kosmoogian teorioista. 2.1 Merkittävimpiä kosmoogisia havaintoja Obersin paradoksi: Saksaaisen tähtitieteiijän, Heinrich Obersin, mukaan nimetty paradoksi esittää yksinkertaisen kysymyksen kosmoogisesta havainnosta: miksi yötaivas on pimeä? Yötaivaan pimeys on ehkä yksi kosmoogian vanhimmista havainnoista, siä jo Johannes Keperin tiedetään vuonna 1610 käyttäneen sitä todisteena maaimankaikkeuden ääreisyydestä. Paradoksi syntyy, jos maaimankaikkeuden oetetaan oevan äärettömän suuri ja tähtien jakautuneen siinä keskimäärin tasaisesti. Täöin katsottaessa mieivataiseen yötaivaan suuntaan, tuisi näkösäteen jossain vaiheessa eikata jonkin kaukaisen tähden pinta. Koska tähden pintakirkkaus ei riipu etäisyydestä, pitäisi yötaivaan oistaa yhtä kirkkaana kuin Auringon pinta. Tämä ei kuitenkaan päde, jooin syntyy paradoksi. Sopiva kaksiuotteinen anaogia Obersin paradoksie on keskeä tiheää metsää mieivataiseen imansuuntaan katsova havaitsija, jonka näkösäde osuu aina puunrunkoon. Nykyään Obersin paradoksia ei enää pidetä ongemana, siä tiedetään, että tähdiä on ääreinen ikä, jooin hyvin kaukaisten tähtien vao ei oe vieä saavuttanut meitä. Obersin paradoksi on siis muuttunut Keperin maaimankaikkeuden ääreisen koon todistuksesta maaimankaikkeuden ääreisen iän todisteeksi, mikä ei riipu tähtien jakaumasta eikä siitä, onko maaimankaikkeus ääreinen vai ääretön. Gaaksijakauman homogeenisuus ja isotrooppisuus: Yksi tärkeimmistä nykyisin toimivista gaaksien kartoitusprojekteista on Soan Digita Sky Survey (SDSS), joka on jo kartoittanut 14,555 neiöastetta ei hieman yi 35% koko taivaasta. Kuvassa 2.1 on esitetty SDSS:n gaaksijakaumakartta gaaksien eriaisie punasiirtymie. Nämä SDSS:n gaaksihavainnot viittaavat siihen, että gaaksien ja gaaksijoukkojen iikkeet ja jakaumat ovat suuressa skaaassa tiastoisesti samanaisia kuin paikaisesti. Gaaksit ovat siis jakautuneet keskimäärin katseusuunnasta riippumattomasti, homogeenisesti, ja havaitsijan sijainnista riippumattomasti, isotrooppisesti. Kosmoogian kannata tämä on merkittävä tuos, siä moderni kosmoogia nojaa kosmoogiseen periaatteeseen, jonka mukaan, ukuun 7

12 8 LUKU 2. NYKYKÄSITYS KOSMOLOGIASTA ottamatta paikaisia epäsäännöisyyksiä, maaimankaikkeus näyttää samanaiseta katsottiinpa sitä mistä pisteestä tahansa. Kuva 2.1: SDSS:n kaksiuotteinen gaaksijakaumakartta, jossa Maapao on ympyrän keskeä. Viipaeissa näkyvät pisteet edustavat yksittäisiä gaakseja. Kartassa näkyvät tyhjät sektorit ovat kartoittamatonta auetta, koska näiä osin Linnunradan pöy estää näkyvyyden kyseisiä suunnia sijaitseviin kaukaisiin gaakseihin. Ympyrän äpimitta on kaksi mijardia vaovuotta. Lähde: SDSS. Hubben aki: Vuonna 1929 Edwin Hubbe vahvisti havainnon, jonka mukaan kaukaiset gaaksikohteiden (etäisyys 10 megaparsekia tai yi) sähkömagneettiset spektrit ovat Doppersiirtyneet kohti spektrin punaista päätä [5]. Punasiirtymän z = (λ λ 0 )/λ 0 avua Hubben aki voidaan imaista muodossa z = H 0 r, (2.1) c missä H 0 on Hubben vakio, c vaonnopeus ja r on gaaksin etäisyys havaitsijasta. Pieniä gaaksin oittonemisnopeuksia (v c) voidaan punasiirtymäe approksimoida z = v/c, jooin Hubben aki saa tunnetumman muodon v = H 0 r. (2.2) Edeä kerrotun kosmoogisen periaatteen ja yeisen suhteeisuusteorian mukaan kaava (2.2) tukitaan nykyisin kuvaamaan avaruuden aajenemista, sen sijaan, että se kuvaisi vanhentuneen geosentrisen maaimankuvan mukaisesti meidän oevan, jostain kummaisesta syystä, maaimankaikkeuden keskipisteessä, josta jokainen gaaksi oittonisi. Kosminen mikroaatotaustasäteiy: Johdannossa esitetiin jo hieman kosmista mikroaatotaustasäteiyä, mutta sen oessa kosmoogian kannata kenties merkittävin havaintoaineisto, kerrotaan tässä taustasäteiystä hieman enemmän.

13 2.1. MERKITTÄVIMPIÄ KOSMOLOGISIA HAVAINTOJA 9 Kosminen mikroaatotaustasäteiy on pieniä, noin 10 4 K suuruisia ämpötiavaihteuita ukuun ottamatta suurea tarkkuudea homogeenista ja isotrooppista. Nämä pienet ämpötiavaihteut ovat kuitenkin erittäin oeeisia, siä ne tarjoavat tärkeää tietoa nykyisin havaittavien gaaksien synnystä sekä maaimankaikkeuden aajenemishistoriasta ja energiasisäöstä. Tämän vuoksi on tärkeää tehdä havaintoja juuri taustasäteiyn ämpötiavaihteuista. Kuvassa 2.2 näkyy tuorein (vuoden 2015) kosmisen taustasäteiyn ämpötiavaihteuiden kartta. Kartan keskimääräistä kymemmät seudut (siniseä) ja keskimääräistä kuumemmat seudut (punaisea) korreoivat materian tiheyden kanssa. Suuria rakenneskaaoia fotonit karkasivat tiheämmitä seuduita, ei poistuivat suuremmasta potentiaaikuopasta ja menettivät samaa enemmän energiastaan suhteessa harvemmata seuduta ähteneisiin fotoneihin. Niinpä suuret kymät seudut kartassa vastaavat tiheitä aueita, ja suuret ämpimät seudut harvoja. Pieniä rakenneskaaoia tianne on päinvastainen. Materian tiheydet kehittyivät painovoiman vaikutuksesta siten, että keskimääräistä tiheämmät seudut keräsivät, suuremman gravitaatiopotentiaainsa ansiosta, ympäritään materiaa, ja vastaavasti harvemmat seudut menettivät tiheämmie seuduie sitä. Niinpä aueita, joia havaitaan keskimääräistä suurempi materiatiheys pidetään nykyisin havaittavien gaaksien syntysijoina. Taustasäteiyn syntyhetkeä kutsutaan viimeiseksi sironnaksi ja paopintaa, mistä säteiyn havaitaan saapuvan, viimeisen sironnan pinnaksi. Havaitsija on tämän paopinnan keskeä ja tämä pinta etääntyy havaitsijasta sekä avaruudeisesti että ajaisesti. Taustasäteiyn teoreettisempiin yksityiskohtiin mennään vieä tarkemmin uvussa 2.5, missä käsiteään taustasäteiyn epäisotropian statistiikkaa, niistä saataavia kumatehospektrejä ja puoestaan kumatehospektreistä saatavia maaimankaikkeuden kehitystä ja rakennetta kuvaavia kosmoogisia parametreja. Kuva 2.2: Tuorein, vuoden 2015 Panckin ja WMAPin yhteistyönä tehty kosmisen mikroaatotaustasäteiyn ämpötian epäisotropiakartta 5 kumaresouutioa. Lähde [6].

14 10 LUKU 2. NYKYKÄSITYS KOSMOLOGIASTA Heiumin runsaus maaimankaikkeudessa: Vaidin kosmoogisen main tuisi antaa seitys myös akuaineiden synnye ja runsauksie. Vanhimpia tähtiä ja tähtienväistä kaasun HII aueita havaitessa heiumin, vedyn jäkeen toiseksi yeisimmän akuaineen, massaosuudeksi on saatu noin 25%. Kosmoogisen standardimain, ΛCDM main, mukaan maaimankaikkeuden synnyn ensimmäisen tunnin aikana vaitsi nukeosynteesiksi kutsuttu prosessi. Nukeosynteesiä kuvaavasta teoriasta saatavat ennusteet sopivat erittäin hyvin yhteen havaitun heiumin massaosuuden kanssa. Nukeosynteesiteorian sopivuus tähtitieteeisiin havaintoihin onkin yksi kosmoogisen standardimain kumakivistä. 2.2 Aika-avaruuden geometria Yeisen suhteeisuusteorian mukaan eämme neiuotteisessa aika-avaruudessa. Sen geometrian määrää maaimankaikkeuden sisätämä energiatiheys, ja metriset komponentit g µν kuvaavat geometrian. Tässä tutkiemassa metristen komponenttien signatuurinotaatioksi on vaittu (, +, +, +). Kosmoogeie vakiintuneen käytännön mukaisesti tässä tutkiemassa käytetään isäksi uonnoisia yksiköitä, eei toisin mainita. Niinpä tästä eteenpäin = c = k B 1. Kosmoogisen periaatteen mukaan maaimankaikkeus on suuressa skaaassa (noin 100 Mpc:n ja tätä suuremmia etäisyyksiä) avaruudeisesti homogeeninen (transaatiosymmetrinen) ja isotrooppinen (rotaatiosymmetrinen), mutta kehittyy ajan myötä. Yeisen suhteeisuusteorian avua imaistuna tämä tarkoittaa sitä, että aika-avaruus voidaan jakaa äärettömäksi määräksi komiuotteisia avaruudenkataisia siivuja ei jokaisee ajan vakioarvoe t, jota kutsutaan myös kosmiseksi ajaksi, on oemassa oma komiuotteinen aiavaruus, joka on homogeeninen ja isotrooppinen. Homogeenisen ja isotrooppisen aika-avaruuden metriikka tunnetaan Friedmann-Lemaître-Robertson- Waker (FLRW) metriikkana [7 11], jonka viivaementti ds 2 voidaan paokoordinaatistossa (r, Ω) kirjoittaa muotoon: [ ds 2 = g µν dx µ dx ν = dt 2 + a 2 dr 2 ] (t) 1 Kr 2 + r2 dω 2 Kaavassa (2.3) on käytetty Einsteinin summausnotaatiota summaten aina vastaavien yä- ja aaindeksien yi. Tässä µ, ν = 0,..., 3, vakioparametri K kuvaa avaruuden kaarevuutta ja a(t) on ajasta riippuva skaaatekijä, joka kertoo miten maaimankaikkeus aajenee (tai kutistuu) ajan funktiona. Skaaatekijän arvoe nykyhetkeä t 0 on vakiintunut käytäntö käyttää normitusta a(t 0 ) a 0 = 1. Kaavan (2.3) koordinaatit ovat mukana aajenevia koordinaatteja (eng. comoving coordinates) ei koordinaattijärjestemä kukee avaruuden aajenemisen mukana siten, että kappaeiden avaruuskoordinaatit pysyvät vakiona avaruuden aajentuessa. Koska kohteiden väiset fysikaaiset etäisyydet kuitenkin kasvavat aajenemisen myötä, on kätevää määriteä mukana aajeneva etäisyys jakamaa fysikaainen etäisyys skaaatekijää a(t). Täöin kahden mukana aajenevassa koordinaatistossa oevan kohteen mukana aajeneva etäisyys säiyy vakiona. (2.3) Hubben parametri (ei yeistys kaavasta (2.2) jokaisee ajanhetkee) voidaan nyt skaaatekijän avua kirjoittaa muotoon H(t) = ȧ(t) a(t), (2.4)

15 2.3. FRIEDMANNIN YHTÄLÖT 11 missä ȧ(t) on skaaaustekijän aikaderivaatta koordinaattiajan suhteen. Hubben parametrin H(t) nykyarvo on siten Hubben vakio H 0, jonka tuoreimmaksi arvoksi on mitattu H 0 = 67.8 ± 0.9 km s 1 Mpc 1 [12]. Kosmoogiassa usein koordinaattiaikaa t hyödyisempi suure on konformiaika τ 1, siä täöin kaavan (2.3) avaruuden osan isäksi myös ajan osa skaaautuu maaimankaikkeuden aajenemisen mukana. Konformiaika riippuu koordinaattiajasta seuraavasti: dτ = dt a(t). (2.5) Havainnot maaimankaikkeuden kaarevuudesta viittaavat siihen, että maaimankaikkeus on spatiaaisesti aakea (K = 0) [6]. Laakeae maaimankaikkeudee voidaan kaava (2.3) kirjoittaa uudestaan karteesisissa, mukana aajenevissa koordinaateissa yksinkertaiseen muotoon ds 2 = dt 2 + a(t) 2 [dx 2 + dy 2 + dz 2 ], (2.6) tai konformiajan avua ds 2 = a(τ) 2 [ dτ 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 ]. (2.7) FLRW-metriikka on määritety mieivataisen skaaatekijän a(t) käyttäytymisee, joten seuraavaksi tuisi yhdistää tämä Einsteinin yhtäöihin ja johtaa näistä tunnetut Friedmannin yhtäöt. Nämä yhtäöt kytkevät skaaatekijän isotrooppisen ja homogeenisen aika-avaruuden energiamäärään. 2.3 Friedmannin yhtäöt Yeisessä suhteeisuusteoriassa maaimankaikkeuden kehitys määräytyy kymmenen Einsteinin kenttäyhtäön kautta, jotka voidaan kirjoittaa kompaktisti tensoriyhtäönä G µ ν = 8πGT ν µ, (2.8) missä G µ ν on Einsteinin tensori, G yeinen gravitaatiovakio ja T ν µ on energiaiikemäärätensori (myös energia-impussitensori). Einsteinin tensori riippuu metriikan komponenteista g µν ja sen koordinaattien x µ suhteen asketuista ensimmäisistä ja toisista osittaisderivaatoista. Symmetrinen energia-iikemäärätensori T ν µ on kuvaus avaruusajan materia- ja energiasisäöstä. Avaruusajan isotrooppisuudesta seuraa, että energia-iikemäärätensori on otava ideaaifuidin muodossa T ν µ = diag( ρ, p, p, p), (2.9) missä ρ on energiatiheys fuidin epokoordinaatistossa ja p on fuidin paine. Maaimankaikkeuden homogeenisuus viittaa nyt siihen, että ideaaifuidin energiatiheys ja paine eivät oe paikan funktioita, vaan ainoastaan ajan, ei ρ = ρ(t) ja p = p(t). Ottamaa kovarianttiderivaatta Einsteinin yhtäön vasemmata puoeta, seuraa Bianchin identiteetin kautta G µ ν;µ = 0, (; µ on kovarianttiderivaatta x µ :n suhteen), jooin puoestaan Einsteinin yhtäöstä seuraa energia-iikemäärän jatkuvuusyhtäö: T ν;µ µ = 0. (2.10) 1 Luvussa 2.6 esiteään optinen syvyys τ konformiajan funktiona. Tästä syystä konformiaika on kyseisessä uvussa merkitty η:a.

16 12 LUKU 2. NYKYKÄSITYS KOSMOLOGIASTA Yhtäö (2.10) on yeistys (okaaeista) energian ja iikemäärän säiymisaeista kaarevaan aikaavaruuteen. Kirjoittamaa tämä yhtäö auki FLRW-metriikassa, saamme [13] tai konformiajae imaistuna τ ρ = 3(ρ + p)ȧ a, (2.11) ρ = 3(ρ + p) a a, (2.12) missä d ȧ dτ. Siinä missä yhtäö (2.11) voidaan esittää Hubben parametrin H = a avua, voidaan vastaavasti yhtäöe (2.12) määrittää mukana aajeneva Hubben parametri H a a. Mukana aajenevan Hubben parametrin ja tavaisen Hubben parametrin väinen yhteys on H = ah. Yhtäö (2.11) (tai (2.12)) kertoo miten materian ja säteiyn energiatiheys kehittyy maaimankaikkeuden aajenemisen mukana, ja joskus tätä yhtäöä kutsutaan yhdeksi Friedmannin yhtäöistä. Yhtäö (2.8) kytkee siis yhteen maaimankaikkeuden geometrian ja sen sisätämän materian ja energian. Koska Einsteinin yhtäö on epäineaarinen kymmenen osittaisdifferentiaaisen yhtäön systeemi, on sen yeinen ratkaisu äärimmäisen vaikea. Kuitenkin FLRW-metriikae Einsteinin yeiset kenttäyhtäöt redusoituvat kymmenen sijaan kahdeksi tavaiseksi epäineaariseksi differentiaaiyhtäöksi, jotka tunnetaan paremmin Friedmannin yhtäöinä: (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ρ K a 2, (2.13) ä a = 4πG (ρ + 3p). (2.14) 3 Yhtäö (2.11) voidaan johtaa näistä kahdesta yhtäöstä. Jos tiedämme, miten energiatiheys ρ käyttäytyy skaaatekijän a funktiona, tarvitsemme itse asiassa vain yhtäöä (2.13) sevittämään miten skaaatekijä tuee käyttäytymään ajan funktiona. Seuraavaksi sevitetään, miten saadaan yhteys energiatiheyden ja skaaatekijän väie. Maaimankaikkeuden energiasisätöä voidaan karakterisoida tianyhtäöparametria w = p ρ, (2.15) joka kytkee yhteen fuidin paineen ja energiatiheyden. Sijoittamaa tianyhtäöparametri energiaiikemäärän jatkuvuusyhtäöön (2.11) ja integroimaa tämä, saadaan energiatiheydee ρ ja skaaatekijäe a yksinkertainen yhteys ρ a 3(1+w). (2.16) Riippuen vain tianyhtäöparametrin w arvosta, voimme jakaa maaimankaikkeuden energiasisäön komeen eri komponenttiin: epäreativistinen materiaan (kuten tähtiin, gaakseihin, tähtienväiseen aineeseen ja pimeään aineeseen), joe p m = 0 w m = 0 ja ρ m a 3, säteiyyn (kuten fotoneihin ja reativistisiin neutriinoihin), joe p r ρ r a 4, ja = ρr 3 w r = 1 3 ja

17 2.4. KOSMINEN INFLAATIO 13 tyhjiön energiaan (erikoistapaus pimeästä energiasta), joe p Λ = ρ Λ = vakio w Λ = 1. Epäreativistisen materian aikakehitys voidaan yksinkertaisesti tukita vain hiukkasten ukumäärätiheyden vähenemisenä maaimankaikkeuden kasvaessa, koska materian massatiheyden väheneminen on suoraan verrannoinen maaimankaikkeuden tiavuuden kasvuun. Säteiyn käytös putoaa materian käytöstä hieman nopeammin, koska vaikka fotonien ukumäärätiheys putoaa yhtä nopeasti kuin materian, menettävät yksittäiset fotonit matkatessaan avaruuden haki energiataan verrannoisena tekijään a 1 johtuen niiden punasiirtymästä. Koska maaimankaikkeuden on todettu muun muassa Tyypin Ia supernovahavaintojen kautta aajenevan [14 16] kiihtyvästi, tarvitaan energiakomponentti, joa on negatiivinen paine, aiheuttamaan tämä kiihtyminen. Täaista energiaa kutsutaan pimeäksi energiaksi ja toistaiseksi yksinkertaisin dataan sopiva mai pimeäe energiae on seainen, joe ρ Λ = p = vakio. Täaista pimeän energian muotoa kutsutaan myös tyhjiön energiaksi. Koska näiden komen komponentin energiatiheyksien kehitykset käyttäytyvät eri tavaa skaaatekijän funktiona, ovat eri energian komponentit dominoineet maaimankaikkeuden kokonaisenergiatiheyttä eri aikoina. Säteiyn energiatiheys kasvaa nopeimmin mentäessä ajassa taaksepäin, jooin kaikkeuden aussa on out säteiyn dominoima ajanjakso, joka akoi akuräjähdyksestä ja päättyi kun maaimankaikkeuden ikä oi noin vuotta (punasiirtymä uokkaa z 3300). Seuraavaksi nopeiten energiatiheys kasvaa tavaisea epäreativistisea materiaa, joten säteiyn dominoimaa ajanjaksoa seurasi materian dominoima ajanjakso, joka päättyi, kun maaimankaikkeuden ikä oi noin 9.8 mijardia vuotta. Koska maaimankaikkeuden aajetessa nämä kaksi energiaajia ovat aati askeneet ja pimeän energian energiatiheys on pysynyt vakiona, dominoi pimeän energian energiatiheys pitkässä aikaskaaassa. Nykytiedon mukaan eämme tää hetkeä pimeän energian dominoimassa maaimankaikkeudessa. Yeensä energiatiheydet on tapana esittää suhteina kriittiseen tiheyteen, joka saadaan Friedmannin yhtäöstä (kaava (2.13)) asettamaa K = 0 ja sijoittamaa yhtäöön H = ȧ. Tästä seuraa a määritemä ρ crit 3H2 8πG, (2.17) joka on se energiatiheys, mikä esittää aakean, nopeudea H aajenavan, isotrooppisen ja homogeenisen maaimankaikkeuden energiatiheyttä. Täöin kokonaisenergiatiheys, joka on summa kaikkien energiakomponenttien energiatiheyksistä, voidaan esittää aakeae avaruudee yksinkertaisessa muodossa Ω tot (t) = Ω r (t) + Ω m (t) + Ω Λ (t) = 1, (2.18) missä Ω(t) ρ = 8πGρ. Kosmoogisten havaintojen mukaan kaavan (2.18) parametrien nykyarvot ovat suuruusuokkaa Ω r0 10 4, Ω m0 0.3 ja Ω Λ0 0.7, missä aaindeksi 0 ρ crit 3H2 viittaa nykypäivän arvoihin. 2.4 Kosminen infaatio Kosmoogiassa infaatio määriteään maaimankaikkeuden kiihtyvän aajenemisen (ä > 0) ajanjaksona erittäin varhaisessa maaimankaikkeudessa, ei nykypäivänä havaittavan maaimankaik-

18 14 LUKU 2. NYKYKÄSITYS KOSMOLOGIASTA keuden kiihtyvänä aajenemisena. Tuona ajanjaksona maaimankaikkeuden tiavuuden oetetaan aajenneen vähintään tekijää Ensimmäiset teoriat kiihtyvästä maaimankaikkeudesta oivat A. Starobinsky vuosina [17, 18] ja A. Guth vuonna 1981 [19]. Vaikka infaatiota ei oa vieä pystytty osoittamaan aukottomasti tapahtuneeksi, on infaatio erittäin tasokas hypoteesi seittämään seaisia FLRW-main ongemia ja kosmoogisia havaintoja, joita iman infaatiota, tai sen kataista tapahtumaa, oisi erittäin vaikea kuvaia. Näitä ongemia ovat aakeuden ongema, horisonttiongema ja magneettisten monopoien ongema. Vuonna 1981 A. Guth pyrki ratkaisemaan horisontti- ja aakeusongeman [19]. Vuonna 1983 A. Linde ehdotti infaatiomaiksi niin kutsuttua kaoottista infaatiota, joka ei aiempien maien sijaan oettanut infaation akuehdoksi termistä tasapainoa [20]. Nykyään kaoottista infaatiota pidetään useiden infaatiomaien prototyyppinä. Kuvaiaan seuraavaksi, miten infaatio poistaa edeä esitetyt FLRW-main ongemat Laakeusongema Kirjoittamaa Friedmannin yhtäö (2.13) kokonaisenergiatiheyden Ω tot (t) = 8πGρ(t) 3H 2 avua ja ottamaa tästä puoittain itseisarvot, saadaan ( ) 1 2 Ω tot (t) 1 = K. (2.19) a(t)h(t) Lähes aakean maaimankaikkeuden tapauksessa tämä yhtäö kuvaa miten kokonaisenergiatiheyden mahdoinen poikkeama tasan ykkösestä vaikuttaa poikkeaman suuruuteen (tai pienuuteen) jonain toisena aikana. Yhtäön (2.19) mukaan, jos Ω tot on täsmäeen yksi (ei avaruuden kaarevuus K = 0) jonain ajan hetkenä, on se sitä aina. Jos kokonaisenergiatiheys poikkeaa mioinkaan ykkösestä, kehittyy se ajan mukana etääntyen yhä kauemmaksi kriittisestä tiheydestä. Tämä nähdään seuraavasti: Tarkasteaan ähes aakeaa ( K 0), omamme kataista maaimankaikkeutta, jossa on vainnut säteiyn dominoima aikakausi (jooin 1/a 2 H 2 t 2/3 ) ja materian dominoima aikakausi (jooin 1/a 2 H 2 t 2/3 ). Kaavasta (2.19) seuraa, että säteiyn dominoimae aikakaudee pätee Ω tot (t) 1 t ja materian dominoimae aikakaudee pätee Ω tot (t) 1 t 2/3, joten pienikin Ω tot (t):n poikkeama ykkösestä kasvattaa poikkeamaa myöhempänä ajan hetkenä (tai päinvastoin poikkeama ykkösestä pienenee mentäessä ajassa taaksepäin). Oettamaa yksinkertaisuuden vuoksi, että täaisessa maaimankaikkeudessa oisi aina out vain säteiyä, voimme arvioida miten pieniä poikkeamien oisi täytynyt oa varhaisemmassa maaimankaikkeudessa, kun poikkeama tätä nykyä (t s) on suuruusuokkaa Ω tot (t 0 ) Ajanhetkeä, kun materia ja säteiy oivat tasapainossa (t eq sekuntia akuräjähdyksestä) oisi täytynyt oa Ω tot (t eq ) Akuräjähdyksen ydinsynteesissä 2 (t BBN 1 sekuntia akuräjähdyksestä) oisi täytynyt oa Ω tot (t BBN ) (eng. Big Bang nuceosynthesis, BBN) oi varhaisen maaimankaikkeuden tapahtuma, jossa ensimmäisen tunnin aikana muodostuivat ensimmäiset atomiytimet 2 H, 3 He, 4 He, 7 Li. Tämä ajanjakso sijoittuu arviota skaaae t 0.01 sekunnista muutamaan tuntiin (T 10 MeV... T 10 kev.)

19 2.4. KOSMINEN INFLAATIO 15 Lähempänä ajan noahetkeä t = 0 (tarkemmin imaistuna Panckin ajae t s), missä vieä oaan kassisen yeisen suhteeisuusteorian pätevyysaueen rajoia, oisi täytynyt oa Ω tot (t) Ongema syntyy, koska ei oe kovin todennäköistä, että tämän katainen Ω tot :n hienosäätö voisi tapahtua sattumata. On toki mahdoista, että maaimankaikkeus oisi outkin austa akaen täysin aakea, mutta tämä on erityistapaus, joka vaatii seityksen. Laakeusongeman ratkaisu infaatioa: Infaation avua aakeusongema katoaa. Laakeusongemassa Ω tot 1 = K /(ah) 2 = K /ȧ 2 kasvaa ajan funktiona, koska ȧ pienenee, ei maaimankaikkeus hidastuu. Jos sen sijaan oetetaan, että maaimankaikkeus kiihtyykin (ä > 0), niin täöin aajenevassa maaimankaikkeudessa ähes mieivatainen Ω tot ähestyy ykköstä ajan funktiona. Infaation ehto ajaa siten Ω tot :n ähee ykköstä, eikä siitä pois päin, kuten akuperäinen kuuma akuräjähdysteoria esitti Horisonttiongema Horisonttiongema iittyy kosmisen taustasäteiyn kausaaisesti kytkettyjen aueiden koon kehitykseen miten täysin eri puoea taivasta oevat aueet voivat oa keskenään termisessä tasapainossa, kun nämä aueet eivät oe tavaisen kuuman akuräjähdysteorian mukaan oe voineet oa vieä vuorovaikutuksessa keskenään. Lasketaan esimerkin vuoksi approksimaatio sie, minkä suuruusuokan rakenteet ovat voineet vuorovaikuttaa keskenään rekombinaation aikana (taustasäteiyn syntyhetkeä), jooin punasiirtymä oi z 1100, kun infaatiota ei huomioida. Tätä varten määritteemme ensin hiukkashorisontin. Hiukkashorisontti: Vaonnopeuden ääreisyys ja maaimankaikkeuden rajainen ikä asettavat rajan (horisontin) havaittavae maaimankaikkeudee. Vao on matkannut ääreisen etäisyyden siitä hetkestä, jooin se ensimmäistä kertaa irtikytkeytyi aineesta, ja toisaata avaruuden aajeneminen on venyttänyt havaittavan maaimankaikkeuden etäisyyksiä. Lisäksi maaimankaikkeuden energiatiheys ja koostumus ovat vaikuttaneet aajenemiseen, jooin horisontin määrittäminen vaatii yeistä suhteeisuusteoriaa. Lähtemää iikkeee FLRW-metriikasta ja ehdosta, että vao etenee pitkin geodeesia (ds 2 = 0), saadaan yhyeä askua mukana aajeneva etäisyys d c 0, jonka vao on kukenut punasiirtymästä z nykypäivään (t 0 = 1, z = 0) 1 d c 0(z) = H z dx ΩΛ0 x 4 + (1 Ω 0 )x 2 + Ω m0 x + Ω r0, (2.20) missä x = a(t)/a 0 = (1 + z) 1 ja Ω 0 = Ω Λ0 + Ω r0 + Ω m0. Maaimankaikkeuden syntyhetkestä (t = 0, a(0) = 0, z = ) nykyhetkeen saamme mukana aajenevae etäisyydee d c hor (z) = H dx ΩΛ0 x 4 + (1 Ω 0 )x 2 + Ω m0 x + Ω r0, (2.21) joka on maksimaain etäisyys, jonka sisää informaation vaihtoa (kausaaista kytkentää aueiden väiä) on voinut tapahtua. Tätä etäisyyttä kutsutaan hiukkashorisontiksi. Säteiyn dominoimassa ja aakeassa maaimankaikkeudessa hiukkashorisontin koko kaavan (2.21) mukaan on

20 16 LUKU 2. NYKYKÄSITYS KOSMOLOGIASTA d c hor = (ah) 1 = H 1.Vastaavasti materian dominoimae ja aakeae maaimankaikkeudee saadaan mukana aajenevan hiukkashorisontin suuruudeksi d c hor = 2(aH) 1 = 2H 1. Niinpä maaimankaikkeudessamme hiukkashorisontin suuruusuokka on out suurimman osan ajasta äheä mukana aajenevaa Hubben pituutta d c hor c H H 1. Mukana aajeneva Hubben pituus H c kasvaa säteiyn tai materian dominoimassa maaimankaikkeudessa, siä täöin p, ρ > 0, jooin Friedmannin toisen yhtäön (2.14) mukaan ä < 0, ei ȧ putoaa ajan funktiona ja H 1 = ȧ 1. Toisin sanoen maaimankaikkeuden ikääntyessä yhä kaukaisemmat aueet saavuttavat siten kausaaisen kytkennän. Kausaaisesti kytkettyjen aueiden suuruusuokka: Ajateaan fotonia iikkumassa radiaaisesti aakeassa avaruudessa (yeistys kaarevaan avaruuteen on suoraviivaista). Kuten jo aiemmin todettiin, fotonit kukevat pitkin geodeesia (ds 2 = dt 2 + a 2 dr 2 = 0), joten mukana aajenevissa koordinaateissa fotoni ehtii kukea matkan d c 0 kahden ajanhetken t 1 ja t 2 väiä d c 0 r 1 r 2 = t2 t 1 dt a(t). (2.22) Oetetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että oemme aakeassa, materian dominoimassa maaimankaikkeudessa. Täöin skaaatekijäe pätee a(t) = (t/t 0 ) 2/3, kun a 0 = 1, jooin Hubben parametri on H = (2/3)t 1 = a 3/2 H 0. Kaavasta (2.22) seuraa, että materian dominoiman maaimankaikkeuden mukana aajeneva etäisyys on d c 0 = 2H 1 0 ( a 2 a 1 ). (2.23) Mukana aajeneva hiukkashorisontin koko kiinnitetyä skaaatekijän a arvoa on se etäisyys, jonka fotoni on matkannut akuräjähdyksen jäkeen (a 1 = a(0) = 0) ei täöin kaavasta (2.23) seuraa d c hor (a) = 2H 1 0 a. (2.24) Kun tarkasteemme kosmista taustasäteiyä, havaitsemme maaimankaikkeutta, kun sen skaaatekijä oi a CMB 1/1100, joten mukana aajeneva etäisyys viimeisen sironnan pinnan ja Maan pinnaa oevan havaitsijan väiä on kaavan (2.23) mukaan d c 0(a CMB ) = 2H 1 0 (1 a CMB ) 2H 1 0. (2.25) Kuitenkin tätä vastaava mukana aajeneva horisontti on kaavan (2.24) mukaan d c hor (a CMB) = 2H 1 0 acmb ) 2H0 1 acmb H0 1. (2.26) Tästä seuraa, että vain ne aueet, joiden kumaetäisyys toisistaan on ae θ dhor c (a CMB ) 2 ovat voineet kuuman akuräjähdysteorian mukaan vuorovaikuttaa keskenään. Siti havaitsemme joka puoea taivasta ähes isotroopisen taustasäteiyn, jonka d 0 (a CMB ) aueiden ämpötiapoikkeamat keskiarvosta ovat vain K. Koska havaitsemme toisistaan hyvin etäisiä aueia ähes samanaisen kehityksen, muodostaa kuuma akuräjähdysteoria horisonttiongeman. Horisonttiongeman ratkaisu infaatioa: Infaation aikana ȧ kasvaa ajan funktiona (ä = d dtȧ > 0), jooin mukana aajeneva Hubben pituus H 1 = ȧ 1 pienenee. Tämä tarkoittaa, että

21 2.4. KOSMINEN INFLAATIO 17 aueet, jotka ennen infaatiota oivat kausaaisesti kytkeytyneet toisiinsa, menettävät kytkennän infaation aikana. Havaitsemme siis seaista maaimankaikkeutta, jonka aussa vaitsi erittäin nopea kiihtymisen vaihe, joka eristi kausaaisesti kytkeytyneet aueet toisistaan. Emme itse asiassa edes havaitse kaikkia infaation venyttämiä aueita, vaan viimeisen sironnan pinta asettaa aarajan infaation kestoe Magneettisten monopoien ongema Maaimankaikkeuden aun erittäin kuumissa oosuhteissa suuret yhtenäisteoriat ennustavat erittäin massiivisten magneettisten monopoien tuotannon [21, 22], mutta siti emme havaitse täaisia nykyisessä maaimankaikkeudessamme. Infaatio antaa myös täe monopoien ongemae järkevän seityksen. Mikäi infaatio akoi magneettisten monopoien tuotannon aikana, tai sen jäkeen, maaimankaikkeuden vatava aajeneminen infaation seurauksena kutisti monopoien energiatiheyden äärimmäisen pieneksi Yhden kentän sow-ro infatoni ja sen häiriöt Tarkasteaan seuraavaksi, miten maaimankaikkeuden pienet epähomogeenisuudet voivat ohjata infaation fysiikkaa. Yksinkertaisuuden vuoksi rajoitutaan tarkasteemaan vain yksittäistä skaaarikentän maia, vaikka infaatio voidaankin saavuttaa myös toisenaisiakin maeia. Tämä yksinkertaisin mai on kuitenkin edeeen hyvin havaintoihin yhteensopiva [23]. Koska infaatioehto vaatii kiihtyvän akumaaimankaikkeuden (ä > 0), niin yhtäöstä (2.14) seuraa, että infaatio on mahdoinen vain, kun p < 1 ρ ei paineen tuee oa negatiivinen. Mikä 3 tahansa komponentti, joa siten on negatiivinen paine, ja joka dominoi maaimankaikkeuden energiatiheyttä voi toimia infaation käynnistäjänä. Tämä poissukee tavaisesta aineesta koostuvan ideaaikaasun, jonka paine on aina positiivinen. Vastaavasti pimeä energia, jonka oetetaan aiheuttavan nykyinen maaimankaikkeuden kiihtyvä aajeneminen, on poissujettu, siä sen vaikutus varhaisessa maaimankaikkeudessa on häviävän pieni suhteessa muihin energiatiheyksiin. Hiukkasta täsmäisempi kuvaus varhaisen maaimankaikkeuden suurissa energiaskaaoissa on kvanttikenttä. Havaintoihin yhteensopiva ja siti kaikista yksinkertaisin täainen kenttä on yksittäinen skaaarikenttä φ, jota, anaogisesti hiukkasten nimeämisen kanssa, kutsutaan infatoniksi. Täe skaaarikentäe voidaan kirjoittaa Lagrangen tiheys muodossa L = 1 2 gµν µ φ ν φ V (φ), (2.27) missä V (φ) on skaaarikentän potentiaaienergia. Kentäe saadaan iikeyhtäö Euer-Lagrangen yhtäöstä kaarevassa avaruudessa ( gl) φ µ ( gl) ( φ) = 0. (2.28) Homogeenisee FLRW-maaimankaikkeudee (joe myös skaaarikenttä on homogeeninen), saadaan kahdesta edeisestä yhtäöstä kentän iikeyhtäöksi φ + 3H φ = V (φ), (2.29)

22 18 LUKU 2. NYKYKÄSITYS KOSMOLOGIASTA missä ( ) on derivaatta kentän φ suhteen. Skaaarikentän energia-iikemäärätensori T µν saadaan kenttää kuvaavasta Lagrangen tiheydestä Mikäi kenttä on homogeeninen, tästä saadaan ratkaisuksi T µν = L ( µ φ) νφ + g µν L. (2.30) ρ = T 00 = 1 2 φ 2 + V (φ), p = 1 3 T i i = 1 2 φ 2 V φ. (2.31) Nyt kaavasta (2.13) seuraa H 2 = 8πG 3 ρ = 8πG 3 ( ) 1 2 φ 2 + V (φ) = 1 ( ) 1 3MP 2 2 φ 2 + V (φ), (2.32) missä M P 1/ 8πG on Panckin massa. Yhtäöistä (2.31) seuraa, että ehto infaatioe (ρ+3p < 0) toteutuu, kun pätee φ 2 < V (φ). (2.33) Yhtäö (2.33) ei oe voimassa, jos φ on kaukana potentiaain V (φ) minimistä, mikä on siti kevoinen akuoetus infaation käynnistymisee. Tämä ei kuitenkaan tuota ongemaa, siä jos potentiaai V (φ) on tarpeeksi aakea, niin täöin yhtäön (2.29) vaimennustermi 3H φ saa φ:n tarpeeksi pieneksi, jotta yhtäö (2.33) on voimassa, vaikka φ oisi outkin auksi kaukana potentiaain minimistä. Vaimennustermi 3H φ hidastaa infatonin φ kehitystä, jooin päädytään herkästi tianteeseen, jossa pätee φ 2 V (φ), φ 3H φ. (2.34) Näitä ehtoja kutsutaan kosmoogiassa sow-ro ehdoiksi. Kun nämä ehdot ovat voimassa, yhtäöt (2.29) ja (2.32) yksinkertaistuvat sow-ro yhtäöiksi H 2 = V 3M 2 P 3H φ = V., (2.35) Potentiaain V (φ) muoto määrittää niin kutsutut sow-ro parametrit, jotka määriteään ɛ(φ) 1 ( ) V 2 M P 2 2, V η(φ) MP 2 V V. (2.36) Jotta sow-ro ehdot täyttyvät, ovat vättämättömät, mutta ei riittävät ehdot sow-ro parametreie ɛ 1 ja η 1. Ehdot eivät oe riittäviä, koska ne rajoittavat vain potentiaain muotoa ja määrittävät potentiaaista vain seaisen kenttäaueen, jossa sow-ro approksimaatio voi toimia. Kentän kehitykseen vaikuttaa potentiaain isäksi sen akuarvot φ, φ, koska kentän iikeyhtäö

23 2.4. KOSMINEN INFLAATIO 19 (2.29) on toista kertaukua. Kuitenkin, koska sow-ro ratkaisu on itse asiassa attraktoriratkaisu [24], voidaan ähes mieivataisia akuarvoia asetettu yeinen ratkaisu saada ähestymään hyvin nopeasti sow-ro ratkaisua. Sovetamaa ineaarista häiriöteoriaa skaaarikentäe, voidaan häiriöiden kehitystä tutkia infaation aikana. Infatonikenttä voidaan jakaa kahtia homogeeniseen taustaosaan ja häiriöön φ(t, x) = φ(t) + δφ(t, x). (2.37) Koska häiriöt riippuvat mitan vainnasta (siirryttäessä koordinaatistosta toiseen), on uonnoista käyttää mittainvariantteja suureita häiriöiden tarkasteuun. Yksi täainen suure on kosmoogisessa häiriöteoriassa usein käytetty mukana aajeneva kaarevuushäiriö R. Infaation aikana mukana aajenevan kaarevuushäiriön R yhteys infatonikentän häiriöihin voidaan esittää aakeassa mitassa [25] R = H δφ φ R k = H δφ k φ. (2.38) Edeä skaaarikenttää on käsitety vain kassisesti, mutta todenmukaisempi kuvaus kentäe infaation aikana tuee kvanttikenttäteoriasta. Täöin, Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen mukaisesti, skaaarikentässä esiintyy fuktuaatioita, joiden tiastoisia ominaisuuksia voidaan karakterisoida. Mikäi suureen g fuktuaatiot ovat jakaumataan gaussisia, sisätää tehospektri P g kaiken tiastoisen informaation tämän suureen fuktuaatioista. Yhtäöstä (2.38) seuraa, että infatonikentän fuktuaatioiden tehospektrie saadaan esitys ( ) H P φ (k) = 2π ah=k, (2.39) missä ah = k tarkoittaa hetkeä, kun tiettyä moodia k vastaava aaonpituus kasvaa Hubben pituutta (tai mukana iikkuvaa Hubbe pituutta H = k) suuremmaksi. Tämän horisontin rajapinnan sisäpuoea häiriöt käyttäytyvät ajan funktiona ja ukopuoea sekä rajapinnassa ah = k jäätyvät paikaeen. Infaation aikana kvanttifuktuaatiot synnyttävät infatonikentän häiriöitä, jotka muutaman Hubben ajan (1/H) jäkeen poistuvat horisontista ei sioin, kun skaaatekijä a on kasvanut tarpeeksi suureksi, jooin pätee k ah. Hubben parametrin H kasvaminen infaation aikana on pientä verrattuna skaaatekijään a. Vastaavasti kaarevuushäiriöiden tehospektriksi saadaan [24] P R (k) = ( ) 2 ( ) 2 H H 2 P φ (k) = φ 2π φ. (2.40) Tämä yhtäö kertoo, miten infaation aikaiset skaaarikentän kvanttifuktuaatiot vaikuttavat kaarevuushäiriön tehospektriin, kun skaaarikentäksi oetetaan yhden kentän sow-ro infatoni. Sijoittamaa H toisesta sow-ro yhtäöstä (2.35) ja φ ensimmäisestä sow-ro ehdosta (2.34) edeiseen yhtäöön, saadaan P R (k) = 1 ( ) 1 V 24π 2 MP 4. (2.41) ɛ ah=k Sow-ro infaation aikana potentiaai V ja sen derivaatta V muuttuvat hitaasti, jooin myös P R (k) muuttuu hitaasti k:n funktiona. Tätä hidasta muuttumista voidaan karakterisoida spektri-

24 20 LUKU 2. NYKYKÄSITYS KOSMOLOGIASTA indeksiä n s (k), joka määriteään kaavaa n s (k) 1 d n P R(k). (2.42) d n k Spektri-indeksi n s (k) on skaaasta vapaa (eng. scae-free), mikäi se on riippumaton k:sta. Primordiaaisee tehospektrie P R (k) saadaan täöin P R (k) = A 2 ( k k p ) ns 1, (2.43) missä k p on vaittu referenssiskaaa (pivot skaaa) ja A on tehospektrin ampitudi tää skaaaa. Spektri-indeksin ja sow-ro parametrien väie voidaan ensimmäisessä kertauvussa johtaa reaatio n s 1 = 4ɛ + 2η. (2.44) Kun sow-ro ehdot ovat voimassa ( η 1 ja ɛ 1), on primordiaainen tehospektri P R (k) ähes skaaainvariantti. Tiivistettynä, yksinkertainen yhden kentän sow-ro infatonimai oettaa primordiaaisen tehospektrin oevan ähes skaaainvariantti n s 1. Suurten skaaojen taustasäteiyn epäisotropiamittauksia voidaan sevittää primordiaaisen tehospektrin muoto (tästä enemmän uvussa 2.5.2). Esimerkiksi Panck mittasi spektri-indeksiksi n s = ± , joten yksinkertainen yhden kentän sow-ro infatoni on voinut toimia infaatiofysiikan ajavana voimana. 2.5 Kosmisen taustasäteiyn epäisotropioiden statistiikka Mutipoiekspansio Jotta voimme mitata koko taivaanpaoa havaittavia taustasäteiyn ämpötian muutoksia keskiarvosta T 0, tarvitsemme ämpötiamuutoksie jonkin kahdesta paokoordinaatiston kumasta riippuvan funktion δt (θ, ϕ)/t 0 T (θ, φ) kuvaamaan niitä. Kumat θ ja ϕ vastaavat poaarikumaa ja atsimuuttikumaa ja T (θ, ϕ) sisätää kaiken informaation ämpötiamuutoksista. Koska mikä tahansa tarpeeksi säännöinen funktio voidaan esittää yksikköpaon pinnaa paoharmonisten funktioiden Y m (θ, ϕ) ineaarikombinaationa, voidaan taivaan ämpötiamuutokset esittää Lapacen sarjana: T (θ, ϕ) = a m Y m (θ, ϕ), (2.45) =0 m= missä a m kuvaa kompeksikertoimia. Indeksi kuvaa oskiaatioiden määrää paon pinnaa ja m kiinnittää näiden suunnan. Mutipoin arvot kukevat = 0, 1, 2,..,, ja m käy äpi arvot m =,..., ei jokaista :n arvoa vastaa m:n arvoa. Kuvassa 2.3 on esimerkkisimuaatio paoharmonisten funktioiden avua tehdyistä simuoiduista kartoista mutipoin arvoia Paoharmonisten funktioiden ominaisuuksista seuraa, että suuremmat mutipoin arvot vastaavat pienempiä kumaskaaoja θ, karkeasti ottaen reaatioa θ π/. Anaogisesti, siinä missä Fourier n sarjan esityksessä on tavoitteena määrittää reaaikertoimet a k ja b k (tai kompeksikertoimet c k ), niin Lapacen sarjan esityksen tavoitteena on määrittää kompeksikertoimet a m. Syy paon pinnaa määriteyn funktion Lapacen sarjan kertoimien määrittämiseen on, että täöin usein numeerinen askenta hepottuu, verrattuna akuperäiseen sarjaan,

25 2.5. KOSMISEN TAUSTASÄTEILYN EPÄISOTROPIOIDEN STATISTIIKKA 21 Kuva 2.3: Esimerkki paoharmonisten funktioiden avua satunnaisgeneroiduista kartoista kasvavan mutipoin funktiona. Vasemmata yhäätä uettuna = 1 (dipoi), 2 (kvadrupoi), 3 (oktupoi), 4,..., 12. Lähde [24].

26 22 LUKU 2. NYKYKÄSITYS KOSMOLOGIASTA johtuen paoharmonisten funktioiden ortogonaaisuudesta paon pinnan yi [26]. Kosmoogiassa taustasäteiysignaaia ämpötiavaihteuita ja poarisaatiota anaysoidaan mutipoiekspansioa. Yhtäöstä (2.45) voidaan kääntäen askea a m -kertoimet seuraavasti a m = Ym (θ, ϕ) T (θ, ϕ)dω, (2.46) missä tähdeä merkitty yäindeksi kuvaa kompeksikonjugaattia ja integraai asketaan koko avaruuskuman dω = sin (θ)dθdϕ yi. Lapacen sarjan ensimmäinen kerroin, a 00, jota kutsutaan myös monopoiksi, kertoo taustasäteiyn keskiämpötian. Keskiämpötian poikkeamia tutkittaessa monopoi on määritemänsä mukaan noa. Sarjan seuraavat kome kerrointa, a 1 1, a 10, a 11, kuvaavat taustasäteiyn dipoia. Karttana dipoi käsittää yhden suuren kuuman ja kymän seudun ja tämä rakenne on kootaan suurin ämpötian epäisotropia. Fysikaaisesti dipoi on kaksiosainen: se koostuu varsinaisia taustasäteiyn rakenteita kuvaavasta kosmoogisesta dipoista sekä dominoivasta Dopper efektistä. Tämä efekti syntyy Aurinkokunnan iikkeestä suhteesta taustasäteiyn epokoordinaatistoon, eikä sitä voida käytännössä erottaa kosmoogisesta dipoista. Tämän vuoksi taustasäteiysignaain mutipoiekspansio aoitetaan tavaisesti mutipoista = 2. Dipoia käytetään erityisesti sateiitin dataa kaibroitaessa ei muunnettaessa sateiitin mittaamaa jännitettä ämpötian vaihteuiksi. Kartanteossa (tästä isää uvussa 4) mutipoiekspansiota ajateaan signaain kannata kaistarajoitetuksi, ei yhtäön (2.45) ensimmäistä summaa jatketaan vain tiettyyn maksimi rajaan asti, jota merkitään max, ja tätä suuremmia :n arvoia signaain teho oetetaan häviävän pieneksi. Myös toisen summan kohdaa yhtäössä (2.45) summa juoksee väitä max, max ja kaikki ne indeksit m, joie m > häviävät. Suurin :n arvo max voidaan määriteä asettamaa suurimman mahdoisen paautettavissa oevien a m -kertoimien määräksi max (2 + 1) = ( max + 1) 2 = 4π, =0 θ res missä θ res on taustasäteiyä kartoittavan sateiitin kumaerotuskyky. Esimerkiksi Panckin korkean taajuuden instrumenttien kumaerotuskyky on pienimmiään θ res 5, joka vastaa max Edeä kuvattuja a m -kertoimia käytetään seuraavassa uvussa 2.5.2, joiden avua määriteään kosmoogisesti merkittävät ämpötian ja poarisaation kumatehospektrit Lämpötiavaihteuiden kumatehospektrit Kosmisen mikroaatotaustasäteiyn ämpötiavaihteun varianssia mutipoin tai kumaskaaan funktiona kutsutaan ämpötian kumatehospektriksi. Erityisesti teoreettisen kosmoogian kannata taivaan kumatehospektri on kenties kaikista tärkein havaintoaineisto, siä kumatehospektriin parhaiten sovitetut kosmoogisen main parametrit antavat tarkat ukuarvot maaimankaikkeuden rakenteesta, geometriasta ja kehityksestä. Kuvassa 2.4 on esimerkki ämpötian kumatehospektristä, joka perustuu vuoden 2015 Panck-tuoksiin. Kuvasta nähdään miten hyvin mai ja havainnot sopivat yhteen, kun käytetään yksinkertaisinta kosmoogista maia, joka tunnetaan nimeä ΛCDM. Yksinkertaistettuna kumatehospektri kertoo, pajonko taustasäteiyn ämpötiakartassa on tietyn suuruista rakennetta tietyä kumaskaaaa. Tarkasteaan seuraavaksi ähemmin kumatehospektrin fysikaaista formuointia. Taustasäteiyn erittäin pienet epäisotropiat ämpötiavaihteut ja materian tiheysvaihteut ovat seurausta infaation aikaisista kvanttifuktuaatioista, jotka, tunnetun kvanttifysiikan mukaan,

27 2.5. KOSMISEN TAUSTASÄTEILYN EPÄISOTROPIOIDEN STATISTIIKKA 23 Kuva 2.4: Panckin tuoreimmista tuoksista (2015) tehty ämpötian kumatehospektri. Yemmässä kuvassa sinisiin datapisteisiin on sovitettu standardimain (ΛCDM) mukainen kumatehospektri punaisea viivaa. Aemmassa paneeissa on datapisteiden residuaait verrattuna teoreettiseen maiin. Mataeia mutipoeia näkyvä epätarkkuus johtuu kosmisesta varianssista. Kuvan ähde: [12]. käyttäytyvät satunnaisesti. Niinpä taustasäteiyn epäisotropioita voidaan kuvata ainoastaan tiastoisten tunnusukujen avua. Luvussa kuvatun kataiset yksinkertaiset ja havaintoihin yhteensopivat infaatioteoriat oettavat näiden satunnaisprosessien käyttäytyvän gaussisesti. Tästä sioin seuraa, että myös taustasäteiyn epäisotropiat ovat uonteetaan gaussisia satunnaismuuttujia. Edeisessä uvussa esitetyt ämpötiavaihteuiden kompeksiset a m -kertoimien häiriöt ovat ineaarisia ensimmäisen kertauvun häiriöteoriassa ja näin oen myöskin gaussisia. Koska gaussista jakaumaa karakterisoi vain kaksi tiastoista tunnusukua, odotusarvo ja varianssi, sisätävät nämä uvut täydeisen informaation ämpötiavaihteuista. Kertoimet a m edustavat ämpötian poikkeamia keskiämpötiasta, jooin niiden odotusarvo häviää, ei a m = 0. Ainoaksi noasta poikkeavaksi tunnusuvuksi jää a m -kertoimien varianssi, joka tunnetaan kosmoogiassa paremmin ämpötiavaihteuiden teoreettisena kumatehospektrinä C a m a m = m= am 2 (2.47) On syytä huomata, ettei kumatehospektri riipu suuria taustasäteiyn epäisotropioita kuvaavasta indeksistä m, koska taustasäteiy on tiastoisesti isotrooppista. Kumatehospektri iittää myös ämpötiavaihteuiden varianssin eri suuruisten rakenteiden kokoskaaoie [24] T (θ, ϕ) 2 = π C. (2.48) Tästä seuraa, että mikäi käyrä (2+1)C /4π esitetään ineaarisesti :n funktiona, käyrän rajaama

28 24 LUKU 2. NYKYKÄSITYS KOSMOLOGIASTA pinta-aa kertoo ämpötiavaihteuiden varianssin ei odotusarvon ämpötian neiöisie poikkeamie keskiarvosta. Kumatehospektrin ja primordiaaisten häiriöiden tehospektrin P R (k) väie voidaan johtaa suuria skaaoia (pieniä :n arvoia) reaatio [24] C = 4π d 3 k 25 0 k 3 P R(k)j (kx) 2, (2.49) missä j on Bessein paofunktio. Koska yksinkertaiset infaatioteoriat ennustavat ähes skaaainvariantin tehospekrin P R A s = vakio, voidaan täöin yhtäö (2.49) integroida muotoon C = A2 s 2π 25 ( + 1), (2.50) joka voidaan uudeeen kirjoittaa ( + 1)C /(2π) = A 2 s/25 = vakio. Tämän vuoksi kumatehospektrin käyrä on tavaisesti esitettynä muodossa D ( + 1)C, (2.51) 2π käyrän (2 + 1)C /4π sijaan. Täöin on hepompi nähdä, että kumatehospektri on todea skaaainvariantti (vakio) mataimmia mutipoeia ( 100). Edeä esitetty teoreettinen kumatehospektri ottaa huomioon kaikki mahdoiset a m -kertoimien joukot ja kuvaa näiden yi askettua odotusarvoa, mutta todeisuudessa emme voi havaita kuin vain yhden täaisen joukon, omaa maaimankaikkeutamme kuvaavat a m -kertoimet. Niinpä havaintoja varten voidaan määriteä tämän yksittäisen joukon yi asketun keskiarvon a m avua havaittu kumatehospektri C = a m 2. (2.52) Lämpötiavaihteuiden varianssi havaitun kumatehospektrin avua imaistuna on vain (T (θ, ϕ)) 2 keskiarvo taivaanpaon yi 1 4π m (T (θ, ϕ)) 2 dω = π C. (2.53) Kuviteaan seuraavaksi joukko maaimankaikkeuksia, reaisaatioita, jotka ovat syntyneet samasta satunnaisprosessista, mutta joia kuakin on oma taivaan kumatehospektri C. Yhtäöt (2.48) ja (2.53) eroavat toisistaan siten, että ensimmäinen kuvaa useasta taivaan reaisaatiosta saatua ämpötiavaihteuiden odotusarvoa ja jäkimmäinen yksittäisen taivaan reaisaation yi askettua ämpötiavaihteuiden keskiarvoa. Eri reaisaatioiden yi askettu odotusarvo vastaa siten teoreettista kumatehospektriä C = C C C = 0. (2.54) Tämä yhtäö kertoo, että teoreettinen ja havaittu kumatehospektri ovat äheä toisiaan. Se, kuinka pajon havaitun kumatehospektrit keskimäärin vaihteevat teoreettisesta kumatehospektristä kutsutaan kosmiseksi varianssiksi, joe pätee [24] ( C C ) 2 = C2. (2.55)

29 2.5. KOSMISEN TAUSTASÄTEILYN EPÄISOTROPIOIDEN STATISTIIKKA 25 Yhtäöstä (2.55) voidaan todeta, että varianssi on suurinta mataimmia mutipoeia ja pienenee suuremmie mutipoeie mentäessä. Syy tähän on imeinen. Jokaista mutipoia kohti on vain otosta, jooin pieniä :n arvoia ei suuria kokoskaaoia otoshajonta on väistämättä suurempi kuin suuria :n arvoia. Niinpä kosminen varianssi rajoittaa havaitun ja teoreettisen kumatehospektrin väistä tarkkuutta. Laajennetaan seuraavaksi kumatehospektrejä koskevat määritemät yeisemmäe tasoe ottamaa myös poarisaatio huomioon Poarisaation kumatehospektrit Kuten uvussa 2.1 jo mainittiin, taustasäteiyn pintaa kutsutaan viimeisen sironnan pinnaksi. Tämä nimi juontaa siitä, että ennen irtikytkeytymistä tätä pinnata ähteneet fotonit Thomsonsirosivat viimeisen kerran varatuista hiukkasista. Tunnetusti Thomsonin sironnassa vao poarisoituu ineaarisesti. Poarisoitua vaoa on optiikassa tapana kuvata Stokesin parametreia. Ajateaan kuitenkin auksi ähes monokromaattista sähkömagneettista tasoaatoa, joka heiahteee z-aksein suuntaisesti. Lähes monokromaattinen tarkoittaa tässä yhteydessä, että taajuuskomponentti on jakautunut hyvin pienee aueee keskitaajuuden ω 0 ympärie. Täöin tasoaaon sähkökentän vektorikomponentit E x ja E y, jotka ovat kohtisuorassa aaon etenemissuuntaan nähden, voidaan kirjoittaa muotoon [27] E x = a x (t)e i[ω 0t+θ x(t)], (2.56) E y = a y (t)e i[ω 0t+θ y(t)]. Aaon monokromaattisuus takaa, että vaihekumat θ x ja θ y sekä ampitudit a x ja a y muuttuvat hitaasti suhteessa aaon taajuuden käänteisukuun. Aato määriteään sioin poarisoituneeksi, mikäi minkä tahansa yhtäön (2.56) komponenttien väiä on oemassa korreaatio. Näiden komponenttien kautta voidaan nyt määriteä Stokesin parametrit: I E x 2 + E y 2 = a 2 x + a 2 y, Q E x 2 E y 2 = a 2 x a 2 y, U E x E y + E y E x = 2Re(E x E y) = 2a x a y cos(θ x θ y ), (2.57) V i(e x Ey E y Ex) = 2Im(ExE y ) = 2a x a y sin(θ y θ x ). Tässä keskiarvot on otettu seaisen aikaväin yi, joka on pitkä suhteessa aaon taajuuden käänteisukuun. Ensimmäinen Stokesin parametri I kuvaa säteiyn intensiteettiä. Taustasäteiyn intensiteetti noudatteee tarkasti mustan kappaeen säteiyakia, joka kytkee säteiyn intensiteetin ämpötiaan. Tämän vuoksi taustasäteiyn ämpötiakartoista käytetään toisinaan nimitystä I-kartta. Kome muuta parametria määrittävät säteiyn poarisaatiotian. Esimerkiksi poarisoimattomae säteiye Q = U = V = 0. Parametri V kuvaa ympyräpoarisaatiota, jota Thomsonin sironnassa ei synny, joten taustasäteiyä kuvaa täydeisesti Stokesin kome ensimmäistä parametria. Parametrit I ja V säiyvät invariantteina koordinaatistomuunnoksissa, mutta Q ja U riippuvat x ja y akseeiden suunnasta. Poarisaatioe pitäisi siis öytää seainen muoto, joka ei riipu vaitusta koordinaatistosta. Voidaan osoittaa, että kierrettäessä x y tasoa kuman ψ verran, kuvaa seuraava

30 26 LUKU 2. NYKYKÄSITYS KOSMOLOGIASTA koordinaatistomuunnos akuperäistä aatoa [28] Q = Q cos(2ψ) + U sin(2ψ), U = Q sin(2ψ) + U cos(2ψ), (2.58) jonka ineaarikombinaatioksi saadaan Q + iu = e 2iψ (Q + iu), Q iu = e +2iψ (Q iu). (2.59) Jäkimmäisee yhtäöe saadaan nyt kehitettyä uvun mukainen mutipoiekspansio spin-2 paoharmonisten funktioiden avua [27] Q ± iu = m a ±2,m ±2Ym (θ, ϕ). (2.60) Näiden spin-2 paoharmonisten funktioiden kertoimien ineaarikombinaatioista a E m 1 2 (a 2,m + a 2,m ), a B m i 2 (a 2,m a 2,m ), (2.61) voidaan viimein määrittää fysikaaisesti mitattavat ja koordinaatistosta riippumattomat poarisaatiota kuvaavat suureet E(θ, ϕ) ja B(θ, ϕ) E(θ, ϕ) = m B(θ, ϕ) = m a E m Y m(θ, φ), a B m Y m(θ, ϕ). (2.62) Matemaattisesti tämä jaotteu on anaoginen vektorin jakamisesta gradientista ja divergenssistä riippuviin osiin. Niinpä näitä kenttiä kutsutaan E-moodin (tai G-moodin, eng. gradient) ja B- moodin (tai C-moodin, eng. cur) poarisaatioksi. Kuvassa 2.5 on esitetty mahdoiset E- ja B- moodin poarisaatiokenttien muodot. Kuva 2.5: E-moodi ja B-moodi poarisaatiokenttien muodot. B-moodin erottaa E-moodista heposti sen poarisaatiosuuntien kierteisyydestä. Jatkossa ämpötian a m -kertoimet indeksöidään tarvittaessa T:ä, muodossa a T m, erotuksena poarisaation a m -kertoimista. Vastaavasti kuten ämpötian mutipoiekspansioe, voidaan teoreettinen kumatehospektri yeisesti määriteä kaikie ämpötian ja poarisaation a m -kertoimie C XY = a X m ay m, (2.63)

31 2.6. KOSMOLOGISET PARAMETRIT 27 missä X, Y = T, E, B. Lämpötian ja poarisaation autokorreaatioiden kumatehospektreie X = Y, ristikorreaatioie X Y. Kaavasta (2.63) nähdään, että ristikorreaatiospektrit ovat symmetrisiä, ei esimerkiksi C T E = C ET. (a) Panckia mitatut TE:n kumatehospektri. (b) Panckia mitatut EE:n kumatehospektri. Kuva 2.6: Yemmissä paneeeissa punaisea käyrää sovitettu standardi ΛCDM-mai Panckia mitattuihin datapisteisiin (siniseä) ja aemmissa paneeeissa main residuaait. Lähde [12]. Tavaisesti gaussisissa kosmoogisissa maeissa oetetaan, että akuperäiset tiheysvaihteut säiyttivät pariteettisymmetrian. Toisin sanoen maaimankaikkeuttamme ei pitäisi voida tunnistaa toisenaiseksi sen peiikuvasta. Siispä taustasäteiystä mitattavia kumatehospektrejä on kuuden, C EE, C BB ja C T E. Esimerkki Panckia mitatuista TE:n ja EE:n kumate- sijaan vain nejä, C T T hospekreistä näkyy kuvassa 2.6. Tässä kohtaa on syytä huomioida, että TE:n kumatehospektrit käyvät tietyiä mutipoin arvoia noassa. Tää käyttäytymiseä on tämän tutkieman simuaatioiden kannata tärkeä merkitys, ja aiheeseen paataan tarkemmin uvussa 5.2. Eksoottisemmissa kahtaistaittumisen (eng. birefringence) maeissa oetetaan taivaaa esiintyvän myös hyvin pieniä, mutta noasta poikkeavia TB- ja EB -korreaatioita. Tämä tutkiema keskittyy käsitteemään vain gaussisia kosmoogisia maeja. Vaikka uvussa 5 esitetyt matriisiikkunafunktiot sisätävätkin TB -ja EB-komponentteja, ovat nämä otettu huomioon vain sen vuoksi, koska menetemää voidaan sovetaa myös etuaan säteiye, joka sisätää kyseisiä komponentteja. 2.6 Kosmoogiset parametrit Yksinkertainen ΛCDM-mai, joka sopii hyvin yhteen tuoreimpien havaintojen - tarkasti askettujen kumatehospektrien - kanssa, riippuu vain kouraisesta parametreja. Tavaisessa ΛCDMmaissa on mahdoista vaita 6-uotteisesta parametriavaruudesta eri tavoin toisistaan riippumattomia parametreja, mutta tietyt vainnat ovat toisia parempia. Yksi tavaisesti käytetty vaintakriteeri on, että vaitut parametrit vaikuttavat mahdoisimman eri tavoin taivaan kumatehospektriin sovitettavan main muotoon, jooin parametrien aiheuttamat degeneraatiot minimoituvat. Koska kosmoogiset havainnot eivät viittaa kaarevaan avaruuteen eikä kaarevuutta tarvita seittämään havaintoja, voidaan kaarevuustekijä K asettaa noaksi, jooin Ω 0 = 1. Jos isäksi

32 28 LUKU 2. NYKYKÄSITYS KOSMOLOGIASTA Hubben parametri H asetetaan muista parametreista riippuvaksi, saadaan ΛCDM-maie kuusi riippumatonta parametria, jotka on esitetty tauukossa 2.1. Parametri Kuvaus Paras estimaatti Ω b h 2 Fysikaainen baryonien energiatiheys ± Ω ch 2 Fysikaainen kymän pimeän aineen energiatiheys ± Ω Λ Pimeän energian energiatiheys ± τ Reionisaation optinen syvyys ± n(10 10 A s) Primordiaaisen tehospektrin ampitudi ± n s Primordiaaisen tehospektrin spektri-indeksi ± Tauukko 2.1: ΛCDM-main perusparametrien tuoreimmat arvot, jotka on saatu sovittamaa ΛCDM-mai Panckin ämpötian kumatehospektriin. Lähde: [12]. Tiheysparametrit vastaavat nykyhetkeä ja niitä skaaaava tekijä h on dimensioton Hubben parametri, joka saadaan Hubben parametrista H 0 = h 100 km/s Mpc, ja jonka nykyarvo on h = [12]. Energiatiheyksiä on esitety yhyesti uvussa 2.3 ja uvussa on esitety primordiaaisen tehospektrin ampitudi ja spektri-indeksi. Kuvaiaan vieä yhyesti kuudes ΛCDM-main parametri, reionisaation optinen syvyys τ. Optinen syvyys voidaan määriteä konformiajan funktiona muodossa τ(η) = η0 η a(η)n e (η)σ T dη, (2.64) missä σ T on Thomson-sironnan vaikutusaa ja n e on vapaiden eektronien ukumäärätiheys. Sen avua voidaan sevittää niiden fotoneiden suhteeinen osuus f(η) = dτ dη e τ(η), jotka eivät oe sironneet eektroneista ähtöhetken η ja havaintohetken η 0 väiä. Yeisesti, kun τ 1 on maaimankaikkeus äpinäkymätön tai, kun τ 1 on se äpinäkyvä. Taustasäteiytutkimuksessa on tärkeää tuntea optisen syvyyden käyttäytyminen sekä rekombinaatiossa että myöhemmässä maaimankaikkeuden reionisaatiossa, ei sioin, kun gaaksien väinen kaasu uudeeen ionisoitui. Jäkimmäisessä tapauksessa voidaan määriteä reionisaation optinen syvyys τ r τ(η r ), missä η r on konformiaika aikaskaae ennen reionisaatiota, mutta rekombinaation jäkeen. Reionisaation ja rekombinaation monimutkaisen uonteen vuoksi sen tarkempi anayysi sivuutetaan. Kattavampi kuvaus kosmoogisten parametrien arvioimisesta mittausdatasta öytyy esimerkiksi vuoden 2014 jukaistusta Saveaisen väitöskirjasta [29], joka käsitteee primordiaaisten häiriöiden karakterisoimista havainnoia.

33 Luku 3 Panckin keiat ja ikkunafunktiot Tässä osiossa käydään äpi Panck-sateiitin mataan taajuuden instrumentin keioja ja ikkunafunktioita koskevat määritemät, keiojen matemaattinen formaismi sekä perehdytetään ukija skaaari- ja matriisi-ikkunafunktioihin. Kuva 3.1: Esimerkki eiptisestä gaussisesta keiasta, joka approksimoi sateiitin yksittäisen radiometrin herkkyyttä vastaanottaa sähkömagneettisen säteiyn intensiteettiä kumaetäisyyden funktiona. Keian herkkyys putoaa mentäessä suuremmie kumaetäisyyksie ei kauemmaksi keian keskipisteestä. Oikeassa kuvassa radiometrin katseusuunnasta vasemman kuvan positiivisen z- aksein suunnasta esitetty keian profiii, jonka äpimitta on verrannoinen sateiitin yksittäisen syöttötorven äpimittaan. 3.1 Keiojen määritemät Panckin mataan taajuuden instrumentti (LFI) koostuu 11 syöttötorvesta, joista kukin on kytketty muuntajaan, joka jakaa syöttötorveen saapuvan sähkömagneettisen signaain kahtia toisiinsa nähden kohtisuorassa saapuviksi ineaarisesti poarisoituneiksi komponenteiksi. Kumpikin poarisaatiokomponentti saapuu erikseen muuntajan toisessa päässä oevie kahdee radiometrie LFIXXM ja LFIXXS, jotka eivät itsessään oe poarisaatioherkkiä. Tässä XX kuvaa radiometrien numerointia, joka kukee 18:sta 28:aan. Aun perin mukana oivat myös numerot 1:stä 17:ään, jotka kuuuivat 100 GHz:n torvie, mutta nämä poistettiin opuisesta pottotason torvikonfigu- 29

34 30 LUKU 3. PLANCKIN KEILAT JA IKKUNAFUNKTIOT raatiosta. Torvet LFI27:stä LFI28:aan kuuuvat Ka-kaistaan ja ne havaitsevat taivasta nimeistaajuuksia GHz. Näitä torvia kutsutaan tässä tutkiemassa ja viraisesti Panck-projektissa 30 GHz:ksi. Torvet LFI24:stä LFI26:een ovat V-kaistaa ja näitä vastaavat nimeistaajuudet ovat GHz. Näitä kutsutaan jatkossa 44 GHz:ksi. Torvet LFI18:sta LFI23:een ovat V-kaistaa ja havaitsevat nimeistaajuuksia GHz. Näitä kutsutaan jatkossa 70 GHz:ksi. Kuvassa 3.2 (a) on esitetty Panck-sateiitin pottotaso, jossa sekä mataan taajuuden instrumentit että korkean taajuuden instrumentit (HFI) sijaitsevat. (a) Panckin pottotaso. (b) Panckin LFI torvien pääkeiat. Kuva 3.2: Kuvassa (a) Panckin pottotasoa sijaitsevat LFI:n (reunaa) ja HFI:n (keskeä) syöttötorvet. LFI:n torvet näkyvät numeroituna. Kuvassa (b) LFI torvien pääkeiat taivaaa nähtynä suunnasta, josta havaitsija katseee kohti pottotasoa. Numerot vastaavat 70 GHz:n torvia, numerot vastaavat 44 GHz:n torvia ja vastaavat 30 GHz:n torvia. Sateiitin skannaussuunta on merkitty kuvan oikeaan aitaan. Kuvaajan koko on noin Kuvien ähde: [30] Torvien tai radiometrien herkkyyttä mitata taivaata saapuvaa sähkömagneettista säteiyä intensiteettiä ja poarisaatiota eri tuosuunnista kutsutaan spatiaaiseksi vasteeksi, keian vasteeksi tai yhyemmin keiaksi (katso kuva 3.1). Tämä herkkyys imoitetaan desibeeinä siten, että db = 0 keian keskipisteessä ja askee tätä suuremmia kumaetäisyyksiä. Tavaisesti nämä keiat esitetään useae torvee tai radiometrie tasokäyrinä sateiitin pottotason epokoordinaatistossa (katso kuvat 3.2 (b) ja 3.3), siten, että havaitsija katsoo kohti pottotasoa. Kuvan 3.2 (b) yksiköt ovat imoitettu u v koordinaateissa, jotka on Panckia määritety u = sin θ mb cos ϕ mb ja v = sin θ mb sin ϕ mb, missä θ mb ja ϕ mb ovat referenssikoordinaatiston mukaiset paokoordinaatit (katso kuva 3.4). Tässä referenssikoordinaatistossa määriteään suunta, jossa torvi on herkimmiään E-moodin poarisaatioe (kopoaarinen suunta) ja B-moodin poarisaatioe (ristipoaarinen suunta). Muuttujien θ mb ja ϕ mb aaindeksi mb viittaa tietyn torven pääkeian (eng. main beam) koordinaatistoon ja indeksin on tarkoitus seventää, että jokaisea keiaa on oma koordinaatistonsa.

35 3.1. KEILOJEN MÄÄRITELMÄT 31 Kuva 3.3: LFI:n moempien M ja S radiometrien pääkeiojen profiiikuvat, jotka ovat mitattu nejästä Jupiterin ohituksesta. M radiometrit ovat esitetty vasemmassa kuvassa ja S radiometrit oikeassa kuvassa. 30, 44 ja 70 GHz:n keiat ovat esitetty kuvaajissa vioetia, pinkiä ja vihreää, tässä järjestyksessä. Tasa-arvokäyrät ovat 70 GHz:a mitattu 3, 10, 20 ja 25 db:n päähän keian keskipisteestä, 44 ja 30 GHz:a 3, 10 ja 20 db:n päähän keian keskipisteestä. Lähde: [31]. Kuva 3.4: Referenssikoordinaatisto, joa Panck-projektissa määriteään keian kopoaarinen (eng. co-poar) ja ristipoaarinen (eng. cross-poar) suunta paokoordinaattien θ mb ja ϕ mb avua. Kuvan ähde: [32].

36 32 LUKU 3. PLANCKIN KEILAT JA IKKUNAFUNKTIOT Jotta kosmoogian kannata merkittävä kumatehospektri saadaan mitattua tarkasti, tuee sateiitin keiojen muodot tietää tarkasti, siä keioista aiheutuvat efektit ovat kumatehospektrin suuri systemaattisen virheen ähde [33 35]. Nämä efektit tasoittavat taivaan epäisotropioita vaimentaen kumatehospektrin korkeita mutipoeja ei pienen skaaan rakenteita ja tää tavoin pyyhkivät pois kosmoogista informaatiota [34]. Tyypiisesti yksittäinen keia tuee askea ae 30 db:n päähän keian huipusta, jotta saadaan 1% tarkkuus kumatehospektrie [36]. Mitä suu- Kuva 3.5: Esimerkki keiojen jaotteusta pääkeiaan ja sivukeioihin 70 GHz:a (LFI18S). Jaotteu äheiseen ja kaukaiseen sivukeiaan on toki mieivataista, ja Panckissa tämä raja on vedetty 5 asteen päähän pääkeian keskipisteestä. Suurin etäisten sivukeiojen vuotoähde erottuu kuvan oikeassa aaaidassa suurena piikkinä noin 90 päässä keian keskipisteestä. Lähde: [37]. rempi kumaetäisyys keian keskipisteestä vaitaan, sitä enemmän keian herkkyys putoaa (katso kuva 3.5). Koska keian koko on kääntäen verrannoinen taajuuteen ovat keiat pienimmiään (ja erotuskyvytä tarkimmiaan) korkean taajuuden instrumenteia. Tässä tutkiemassa, kuten viraisesti Panck-sateiitin mataan taajuuden instrumentteja koskevissa jukaisussa, keiat määriteään kumaetäisyyksien perusteea komeen osaan: Pääkeiat: Panck-sateiitin mataan taajuuden instrumenteie pääkeia on määritety uottumaan 1.9, 1.3 ja 0.9 :n päähän keian keskipisteestä näitä vastaavia 30, 44 ja 70 GHz:n taajuuksia. Signaaista noin 99% osuu pääkeioihin, ja oput menevät sivukeioihin (näiden määritemä seuraa aempana). Tätä pääkeioista yi menevää signaaia kutsutaan hajavaoksi, joka on merkittävä systemaattinen virheähde. Pääkeian muotoa voidaan matemaattisesti kuvata kenttänä taivaaa B(n, n 0, ψ), joka riippuu komesta muuttujasta: joukosta paokoordinaatteja n = (θ, ϕ), jotka kuvaavat kentän eri pisteiden koordinaatteja, sopivasti vaitusta suunnasta n 0 = (θ 0, ϕ 0 ), joka esimerkiksi voi oa suunta, jossa keia on intensiteetitään suurimmiaan, ja kumasta ψ, joka kuvaa keian orientaatiota n 0 :n suhteen. Mikäi sivukeioja ei huomioida, voidaan pääkeiat normittaa ykköseen 4π dωb(n, n 0, ψ) = 1. Mieivatainen keian suunta B(n, n 0, ψ) taivaaa saadaan pyörittämää ja kiertämää keiaa referenssipisteestä todeiseen keian suuntaan n 0 ja

37 3.1. KEILOJEN MÄÄRITELMÄT 33 orientaatioon ψ. Tavaisesti referenssisuunnaksi vaitaan n 0 = ẑ ei suunta, joka osoittaa kartan pohjoisnavae ja ψ = 0. Täöin keia voidaan esittää kierto-operaattorin ˆD avua B(n, n 0, ψ) = ˆD(n 0, ψ)b(n, ẑ, 0), (3.1) missä ˆD(n 0, ψ) = ˆD(ϕ 0, θ 0, ψ) kuvaa oikean käden säännön mukaista aktiivisen muunnoksen kierto-operaattoria, jonka kumamuuttujat ovat Euerin kumia α = ϕ 0, β = θ 0 ja γ = ψ [38]. B(n, ẑ, 0) kuvaa keiaa referenssiasennossa ja orientaatiossa, mistä voidaan tehdä myös paoharmoninen kehitemä B(n, ẑ, 0) = b m Y m (n), (3.2) m missä b m ovat kehitemän kertoimet. Sijoittamaa nyt saatu kehitemä yhtäöön (3.1) ja käyttämää reaatiota [39] ˆD(n 0, ψ)y m (n) = Dm m (ϕ 0, θ 0, ψ)y m (n), (3.3) m = missä Dm m (ϕ 0, θ 0, ψ) on rotaatio-operaattorin matriisieementit (Wignerin D-funktio [38]), saadaan yhteys kertoimien b m ja keian mieivataisen asennon väie B(n, n 0, ψ) = m b m (n 0, ψ)y m (n). (3.4) Yhtäöstä (3.4) voidaan huomata, että kertoimet b m (n, ψ) riippuvat keian katseusuunnasta ja orientaatiosta b m (n, ψ) = b m Dmm (ϕ 0, θ 0, ψ). (3.5) m = Edeä saatu esitys on siis yeinen paoharmoninen kehitemä pääkeiae. Kuitenkin, koska Panck-sateiitin pääkeiat taivaaa kattavat vain pienen avaruuskuman kerraa (esimerkiksi 30 GHz:n suurimman keian FWHM 33 ), voidaan täöin keioja approksimoida paomaisen taivaan sijaan aakeae taivaae eiptisinä gaussisina keioina [40, 41]. Tarkasteaan seuraavaksi seaista eiptistä gaussista pääkeiaa, joka osoittaa referenssipisteeseen (n 0 = ẑ). Tämän pääkeian isoaksei on tasokoordinaateissa x-aksein suuntainen ja pikkuaksei y-aksein suuntainen (katso kuva 3.6 (a)). Kuvasta 3.6(a) nähdään keiaa kuvaavien tasokoordinaattien (x,y) ja paokoordinaattien (θ, ϕ) väinen yhteys. Eiptisee gaussisee keiae referenssipisteessä saadaan muoto [41] B(n, ẑ, 0) = B(x, y) = 1 e 2πσ x σ y x 2 2σx 2 y2 2σ 2 y, (3.6) missä σ x ja σ y ovat keian iso- ja pikkuaksei. Keiaa on Panckissa tapana kuvata näiden muuttujien sijaan keian eiptisyyden, puoiarvoeveyksien (FWHM) geometrisen keskiarvon ja keian orientaation ψ avua. Keian eiptisyys määriteään ɛ σ x /σ y, ɛ 1, isoaksein puoiarvoeveydeksi saadaan FWHM x = 8 n 2σ x, pikkuaksein puoiarvoeveydeksi saadaan FWHM y = 8 n 2σy ja puoiarvoeveyden geometrinen keskiarvo on FWHM = 8 n 2σ x σ y. Tarkemmin ottaen Panck-projektissa ei yeensä imoiteta keian kiertosuuntaa ψ kartan pohjoisnavan suhteen,

38 34 LUKU 3. PLANCKIN KEILAT JA IKKUNAFUNKTIOT. (a). (b) Kuva 3.6: Kuvassa (a) eiptisen gaussisen keian muoto kartan pohjoisnavaa. Kuvan pohjoisnapa ei z-aksei osoittaa kohti katsojaa. Tämä pieni osa taivasta on approksimoitu aakeaksi tasoksi, jota kuvaa (x,y)-koordinaatisto. Kuvasta nähdään eipsin isoaksei σ x, joka on x-aksein suuntainen ja pikkuaksei σ y, joka on y-aksein suuntainen. Kuvan ähde: [42]. Kuvassa (b) geometrinen kuvaus keian orientaation ψ e :n määritemästä. Pääkeian koordinaattiakseit (xy) mb ovat määritety suunniksi, joissa pääkeia on herkkä poarisaatioe. ψ e määriteään täöin eiptisen, gaussisen pääkeian isoaksein ja pääkeian koordinaatiston x-aksein väiseksi kumaksi. Lähde: [31] (a) Panck-sateiitin yivuodot. (b) 30 GHz:n simuoidut etäiset sivukeiat. Kuva 3.7: Kuvassa (a) Panck-sateiitin pää- ja sivuvuodon suunnat, ja pääkeiasta tuevan säteiyn heijastuminen peiien kautta pottotasoa oeviin detektoreihin. Lähde: [43]. Kuva (b) esittää simuoituja 30 GHz:n etäisiä sivukeioja. Pääkeia osoittaa kartassa yöspäin, joka on määritety pääkeian suuntakumaksi θ = 0. Pää- ja sivuvuotoaueet näkyvät punaisea korostettuina tasokäyrinä. Päävuotoaue on suurimmiaan noin 2 dbi ja se osoittaa noin 85 kumaan pääkeian suuntakumasta. Sivuvuotoaue on suurimmiaan noin -8 dbi. Lähde: [37].

39 3.1. KEILOJEN MÄÄRITELMÄT 35 vaan tämä kiertosuunta (ψ e, erotuksena ψ:stä) määräytyy pääkeian koordinaatiston (xy) mb ja keian isoaksein suunnan väiseksi kumaksi (katso kuva 3.6 (b)). Keian todeinen muoto voidaan mitata, kun sateiitin näkökenttä eikkaa pisteähteen, joa on korkea signaai-kohinasuhde ja joka ei oe poarisoitunut. Panckissa LFI:n keiojen muodot on mitattu kirkkaasta, ei-poarisoituneesta Jupiterista ja HFI:n keiat Marsista. Kun näihin mittauksiin tehdään paras yhtäön (3.4) mukainen sovite, saadaan sevie pääkeian muotoa approksimoivat parametrit, puoiarvoeveys, eiptisyys ja keian orientaatio. Viraiset Panckin pääkeiaa kuvaavat parhaimman gaussisen sovituksen parametrit on esitetty tauukossa 3.1, joita käytetään muutamissa tämän tutkieman simuaatioissa. Kuitenkin, tarkempi sovite todeisie keioie saadaan keiojen GRASP-simuaatioista. GRASPia (eng. Genera Refector Antenna Software Package) tarkoitetaan Kööpenhaminassa toimivan kaupaisen Ticra-yhtiön tekemää monikäyttöistä koodia, jonka Muti GTD isäosa osaa jäjittää säteiden tuosuunnat esimerkiksi Panck-sateiitin kataiseen monimutkaiseen optiseen systeemiin. Kaikki Panck-sateiittia koskevat todenmukaiset keiat on uotu kyseiseä GRASP-koodia ja näistä keioista käytetään tässä tutkiemassa ja yeensä Panck-jukaisussa nimitystä GRASP-keia. Harmonisessa avaruudessa eiptisen ja gaussisen keian paoharmonisen kehitemän kertoimet b m ovat [44] [ ( + m )! b m = 4π ( m )! ] 1 2 m I m /2 [ ( + 1)σ 2 (ɛ 1/ɛ) 4 ] [ exp ( + ] 1)σ2 (ɛ + 1/ɛ). (3.7) 4 Tässä I ν kuvaa ensimmäisen kertauvun modifioitua Bessein funktiota ja σ eiptisen gaussisen funktion isoaksein ja pikkuaksein geometrista keskiarvoa σ = σ x σ y. Koska keiat ovat 180 asteen suhteen kiertosymmetrisiä, häviävät täöin seaiset kertoimet, joie m on pariton. Erikoistapaus keiojen b m -kertoimista on pyöreä gaussinen keia (ɛ = 1), joe noasta poikkeavat m:n arvot häviävät ja jäjee jää ne kertoimet, joe m = 0 ei [ b 0 = 4π ] 1 2 exp [ ] ( + 1)σ2. (3.8) 2 Läheiset sivukeiat: Vaikka äheisten ja etäisten sivukeiojen aku- ja oppuosat voidaan määriteä mieivataisesti, on äheiset sivukeiat sovittu Panckin keioia uottumaan pääkeiasta 5 päähän keian keskipisteestä. Kuvasta 3.5 voidaan havaita äheisten sivukeiojen tyypiinen herkkyys sekä muoto. Läheiset sivukeiat voivat oa merkittävä systemaattinen virheähde, kun sateiitti skannaa taivasta äheä Linnunradan tasoa, tai kun keia on äheä kirkasta pisteähdettä, kuten paneettaa. Niinpä Panckissa äheisten sivukeiojen systemaattiset efektit minimoidaan maskaamaa sopivasti sekä Linnunradan taso että kirkkaat pisteähteet [45]. Etäiset sivukeiat: Tärkeä systemaattisten efektien virheähde Panck-sateiitissa ovat etäiset sivukeiat, jotka ovat määritety uottumaan yksittäiseä keiaa 5 yi pääkeian keskipisteestä. Sen huomioiminen on kriittistä, siä sivukeioista aiheutuva hajavao vaikuttaa suoraan havaittuun ikkunafunktioon ja fotometriseen kaibraatioon. Hajavao on jakaantunut epätasaisesti taivaae, mutta siä on kaksi keskittymää, jotka on nimetty pää- ja sivuvuotoaueiksi. Päävuotoaue syntyy suurimmaksi osaksi säteistä, jotka heijastuvat sateiitin sivupeiin aaosasta. Päävuotoaueen intensiteetti on ae 50 db (tai ajatetaessa detektoria isotrooppisena antennina tämä on noin

40 36 LUKU 3. PLANCKIN KEILAT JA IKKUNAFUNKTIOT 2 dbi) pääkeian intensiteetistä [37]. Sen suunta on yhdensuuntainen sateiitin pyörimisaksein kanssa ei päävuotoaue on noin 85 päässä pääkeian katseusuunnasta. Sivuvuotoaue puoestaan syntyy säteistä, jotka eivät oe kosketuksissa oenkaan sateiitin peieihin. Näiden intensiteetti on pienempi kuin päävuotoaueea ja suunta on noin 20 pääkeiasta. Kuvassa 3.7 (a) näkyvät pääja sivuvuodon suunnat, josta hajavao saapuu pottotason detektoreihin ja kuvassa 3.7 (b) on esitetty mitä nämä vuodot näyttävät karttatasoa. Erityisesti 30 GHz:n taajuuskaistaa hajavao on ongemainen, koska tää taajuudea diffuusit Linnunradan emissiokomponentit ovat varsin voimakkaita muihin taajuuksiin nähden. Vuoden 2013 LFI:n keioja koskevassa Panck-jukaisussa arvioitiin koko säteiykeian tehosta noin 1% tuevan hajavaosta mataan taajuuden instrumenteie [31]. Pääkeian tehoa skaaattiin täöin sopivaa tekijää, jotta tämä puuttuva teho saatiin normitettua oikein. Vastaavassa, vuoden 2015 Panck-jukaisussa puoestaan käytettiin pääkeian sijaan jo koko keiaa, jonka suhteen myös normitus tehtiin [37]. Koska hajavaon käyttäytyminen on erittäin monimutkainen suorien mittausten kannata, joudutaan hajavaoa tutkimaan optisten simuaatioiden avua. Panckissa hajavaosta aiheutuvaa efektiä on korjattu kahdessa osassa: ensin sateiitista saatu data on kaibroitu siten, että hajavaosta aiheutuva efekti on huomioitu mukaan [46], jonka jäkeen Linnunradan hajavaon mai on vähennetty varsinaisesta datasta ja hajavaosta jäjee jäävää osaa on käsitety kohinana [37]. Varsinainen hajavaon signaai on arvioitu taivaan emissioähteistä muodostetun main avua sekä etäisten sivukeiojen maista, joka pohjautuu GRASP-keioihin ja radiometrien keiojen muotoihin. Näiden komen keiatyypin isäksi keioie on oemassa Panckissa seuraavat tärkeät määritemät: Optinen keia: Tämä määriteään teeskoopin syöttötorven optisena vasteena, joka on riippumaton yksittäisen radiometrin vasteesta ja sateiitin iikkeestä (pyörimisestä ja skannausstrategiasta). Optinen keia edustaa siten täysin puhdasta ikkunafunktiota (ikkunafunktioista isää aempana). Optisten keiojen ominaisuudet saadaan pääkeioie arvioitua Maassa tehdyiä mittauksia varmistettujen optisten simuaatioiden kautta. Havaintokeia: Tämä keia saadaan suoraan Panck-sateiitia tehdyistä paneettahavaintoja koskevista mittauksista, ja se poikkeaa optisesta keiasta siten, että se huomioi sekä yksittäisen radiometrin vasteen että sateiitin iikkeen. Sateiittin iike venyttää keiaa sateiittin skannaussuunnassa ja tämän seurauksena havaintokeiaa on optista keiaa hieman suurempi eiptisyys, avaruuskuma ja kumaresouutio. Efektiivinen keia: Tämä keia määriteään karttatasossa. Se saadaan jokaisee kartan pikseie askettua erikseen askemaa keskiarvo niiden havaintokeiojen yi, joiden keskipiste on osunut kyseiseen pikseiin, kun sateiitin skannausstrategia ja keian orientaatio otetaan huomioon. Niinpä yhdeä radiometria on vain yksi havaintokeia ja optinen keia, mutta efektiivisiä keioja on yhtä monta kuin kartassa on pikseeitä. Efektiivisen keian konvouutio signaain kanssa saa aikaan havaitun taivaan kartan. Tästä seuraa, että efektiiviä keioja kuvaavat ikkunafunktiot kuvaavat todeisten ja havaittujen kumatehospektrien väisiä eroja [31].

41 3.1. KEILOJEN MÄÄRITELMÄT 37 Beam FWHM Eipticity ɛ ψ e (arcmin) (degrees) 70 GHz 18M ± ± ± S ± ± ± M ± ± ± S ± ± ± M ± ± ± S ± ± ± M ± ± ± S ± ± ± M ± ± ± S ± ± ± M ± ± ± S ± ± ± GHz 24M ± ± ± S ± ± ± M ± ± ± S ± ± ± M ± ± ± S ± ± ± GHz 27M ± ± ± S ± ± ± M ± ± ± S ± ± ± 0.33 Tauukko 3.1: Tärkeimmät havaintokeiaa kuvaavat parametrit ±1 σ epävarmuudea imoitettuna. Lähde: [37] Kuva 3.8: Panckin viraiset CMB Monte Caro simuaatioia asketut ämpötian skaaariikkunafunktiot 30, 44 ja 70 GHz:n pääkeioie. Lisäksi kuvassa on esitetty 70 GHz:n torvipareie LFI18-23, LFI19-22 ja LFI20-21 ämpötian skaaari-ikkunafunktiot pääkeioie. Nämä ikkunafunktiot on askettu 102:sta reaisaatiosta käyttämää pääkeioina viraisia vuoden 2013 Panckin havaintokeioja [31].

42 38 LUKU 3. PLANCKIN KEILAT JA IKKUNAFUNKTIOT 3.2 Keiojen skaaari-ikkunafunktiot Kuten jo edeä mainittiin, keiojen profiiit vaimentavat eniten todeisen kumatehospektrin pienimpiä kokoskaaoja, mutta myös nämä skaaat sisätävät kosmoogisesti merkittävää informaatiota. Keiojen vaikutus hautaan siis poistaa havaituista kumatehospektreistä. Koska kumatehospektrit on määritety harmonisessa avaruudessa, on myös käytännöistä kuvata keiojen profiieja tässä avaruudessa. Harmonisessa avaruudessa detektorien mittausherkkyyttä kutsutaan keian siirtofunktioksi tai ikkunafunktioksi. Tässä tutkiemassa on tarkoitus erottaa tavainen ikkunafunktio (skaaariikkunafunktio) matriisi-ikkunafunktiosta, joten, eei toisin mainita, termiä ikkunafunktio tarkoitetaan nimenomaan skaaari-ikkunafunktiota. Instrumentin havaittu signaai T (n 0, ψ) tietyä katseusuunnaa n 0 ja keian orientaatioa ψ on konvouutio ääreisen kumaresouution omaavan keian B(n, n 0, ψ) ja varsinaisen signaain T (n 0 ) väiä T (n 0, ψ) = 4π dω n B(n, n 0, ψ) T (n 0 ), (3.9) missä * tarkoittaa kompeksikonjugaattia. Harmonisessa avaruudessa tämä vastaa mataakaistasuodatinta ja tässä avaruudessa yhtäö (3.9) voidaan kirjoittaa muodossa 1 T (n 0, ψ) = m b m (n 0, ψ)a m. (3.10) Yhtäöistä (3.10), (2.47),(2.52), (2.53) ja ehdosta, jonka mukaan a m -kertoimet ovat toisistaan riippumattomia ( a m a m = C δ mm δ ) seuraa, että harmonisessa avaruudessa ja täydeä taivaan peitoa keiojen aiheuttamat efektit havaittuun kumatehospektriin voidaan kirjoittaa muotoon W sca = Ĉ /C, (3.11) missä W sca on keian skaaari-ikkunafunktio, joka sisätää keiojen aiheuttamat efektit ja on odotusarvo, joka on askettu taivaan eri reaisaatioiden yi. Käytännössä tämä odotusarvo asketaan CMB Monte Caro simuaatioia, jota käydään tarkemmin äpi uvussa 5.1. Kaavan (3.11) ikkunafunktiot ovat tarkkoja ainoastaan ämpötian ja E-moodin autokorreaatioie. B-moodie, tämän ristikorreaatioie ja ämpötian ja E-moodin ristikorreaatioe skaaari-ikkunafunktiot eivät oe tarkkoja, koska näiden kumatehospektrit kukevat tietyiä mutipoeia noan äheä. Kuvassa 3.8 on havainnoisuuden vuoksi esitetty CMB Monte Caro simuaatioia asketut ämpötian skaaari-ikkunafunktiot pääkeioie sekä kaikia komea LFI:n taajuudea että 70 GHz:n torvipareia. Seuraavassa uvussa on esitetty myös kuva simuoidusta E-moodin skaaariikkunafunktiosta. Todeinen taivaan kumatehospektri C saadaan sevie, kun sateiitin havaitsema kumatehospektri Ĉ jaetaan skaaari-ikkunafunktioa ei C = (W sca ) 1 Ĉ. (3.12) 1 Voidaan osoittaa, että mikäi kahden taivaaa oevan kentän F (n) ja G(n) paoharmoniset kertoimet ovat f m ja g m, niin täöin pätee 4π dωnf (n)g(n) = m f mg m.

43 3.3. MATRIISI-IKKUNAFUNKTIOT 39 Todeisuudessa taivaan peitto ei oe koskaan ähes täydeinen, siä ne aueet, joita etuaan säteiy, kuten innunradan taso ja kirkkaat pisteähteet, dominoi peitetään kartta-avaruudessa maskia, jooin yhtäö (3.11) ei enää päde. Tämän sijaan maskattujen karttojen havaituie kumatehospektreie käytetään arviota Ĉ = M W C, (3.13) missä kytkentämatriisi M sisätää geometrisen mutipoista toiseen kytkennän, joka syntyy maskatusta taivaasta. Voidaan kuitenkin osoittaa [31], että ero täyden taivaan ja maskatun taivaan ikkunafunktioiden väiä on marginaaisen pieni verrattuna ikkunafunktioiden virheiden verhokäyrään. Tästä syystä maskatun taivaan skaaari-ikkunafunktiot voidaan edeeen arvioida yhtäöstä (3.11). 3.3 Matriisi-ikkunafunktiot Tässä osassa esiteään mitä matriisi-ikkunafunktiot ovat, miten ne määriteään ja mihin niitä tarvitaan. Näihin tuaan paaamaan takaisin uvussa 5.1, jossa matriisi-ikkunafunktioita vaidoidaan ja tarkasteaan ähemmin simuaatioiden avua. Vuoden 2015 mataan taajuuden instrumenttien keioja koskevassa Panck-jukaisussa [37] tui esie skaaari-ikkunafunktioita koskeva ongema ämpötiasignaaia vuotaa poarisaatioon. Efektiä on havainnoiistettu tekemää kome 70 GHz:n torviparin 18/23 puhdasta taustasäteiyä sisätävää simuaatiota (kuva 3.9, vasen kuvaaja), jotka poikkeavat toisistaan vain eriaisia havaintokeioia: yksi on toteutettu pyöreiä gaussisia keioia, toinen eiptisiä gaussisia keioia ja komas todenmukaisia GRASP-keioia. Koska nämä kome simuaatioita sisäsivät vain taustasäteiyn signaaia, kuvaajassa 3.9 näkyvät efektit eivät täöin johdu ainkaan etuaan säteiystä. Lämpötiavuoto poarisaatioon (T E vuoto) ja skaaari-ikkunafunktioiden riippuvuus käytetystä kumatehospektrin maista on päätety siitä, että ikkunafunktioissa 3.9 havaittavat heiahteut, jotka näkyvät vain simuaatioissa, joissa on käytetty todenmukaisia tai eiptisiä keioja, osuvat niie :n arvoie, jotka sijaitsevat ämpötian kumatehospektrin akustisten piikkien kohdia. Koska pyöreiä gaussisia keioia tätä efektiä ei havaita, voidaan tästä pääteä, että T E vuoto johtuu siitä, miten sateiitin skannausstrategia ja havaintokeian muoto kytkeytyvät toisiinsa. Kuvan 3.9 oikeanpuoeisesta kuvaajasta nähdään, että suurinta vuotoa aiheuttaa keian eiptisyys, erityisesti suuria :n arvoia (uokkaa 900), jossa vuodon osuus on suurimmiaan noin 15 %. Koska myös todenmukaiset keiat ovat muodotaan eiptisiä, on imeistä, että myös todenmukaisten keiojen skaaari-ikkunafunktioissa näkyy suuri T E vuoto. Skannausstrategian ja keiojen muodon kytkennän isäksi skaaari-ikkunafunktiot riippuvat isäksi oetetusta kumatehospektrin muodosta. Ikkunafunktion hauttaisiin kuitenkin oevan taivaata tuevasta signaaista riippumaton suure, joka kuvaa vain instrumenttien ja skannausstrategian vaikutuksia havaintoihin. Signaaivuoto ei rajoitu skaaari-ikkunafunktioia pekästään ämpötiasta E-moodi poarisaatioon, vaan yhtäaia ämpötiasignaaia vuotaa myös B-moodi poarisaatioon ja päinvastoin poarisaatiota voi vuotaa ämpötiaan. Tästä eteenpäin mitä tahansa vuotoa komponentista toiseen tuaan kutsumaan T P vuodoksi.

44 40 LUKU 3. PLANCKIN KEILAT JA IKKUNAFUNKTIOT Kuva 3.9: Vasen kuvaaja: E-moodi poarisaation skaaari-ikkunafunktioiden vertaiua eriaisia pääkeian muodoia. Sininen käyrä: Simuoiduista GRASP-keioista askettu ikkunafunktio. Punainen käyrä: Pyöreiä gaussisia keioia ja GRASP-keiojen puoiarvoeveyksiä askettu ikkunafunktio. Vihreä käyrä: Eiptisiä gaussisia keioia ja GRASP-keioja kuvaavia keiojen parametreia askettu ikkunafunktio. Oikea kuvaaja: Eri muotoisten E-moodi poarisaation skaaari-ikkunafunktioiden suhdekuvaaja prosenteissa. Sininen käyrä: GRASP-keioista asketun ikkunafunktion ja pyöreistä gaussisista keioista asketun ikkunafunktion suhde. Vihreä käyrä: Eiptisistä keioista asketun ikkunafunktion ja pyöreistä gaussisista keioista asketun ikkunafunktion suhde. Lähde: [37].

45 3.3. MATRIISI-IKKUNAFUNKTIOT 41 Jotta T P vuodosta aiheutuva efekti saadaan erotetua ikkunafunktioista, joiden avua taivaansignaai rekonstruoidaan, voidaan harmonisessa avaruudessa määriteä matriisi-ikkunafunktio. Tämä matriisi-ikkunafunktio on kehitetty Hesingin yiopiston Panck-ryhmän yhteistyönä uudenaiseksi ikkunafunktioiden maiksi, jonka teoreettisen osuuden aati akatemiatutkija Eina Keihänen. Tässä yhteydessä on sekeyden vuoksi tärkeää yhyesti eriteä kome toisistaan poikkeavaa kumatehospektriä: Teoreettinen kumatehospektri C : Teoreettinen kumatehospektri määritetiin jo aiemmin uvussa Havaittu kumatehospektri Ĉ: Sateiitin tai vastaavan instrumentin havaitsema taivaan kumatehospektri, jossa on mukana instrumentin skannausstrategiasta ja optiikasta aiheutuvat efektit, joita ikkunafunktiot efektiivisesti kuvaavat. Tässä tutkiemassa havaitue kumatehospektrie käytetään yäpuoisena tarkkeena sirkumfeksiä (ˆ). Taivaan kumatehospektri C : Taivaan kumatehospektrissä ei oe mukana instrumenteista tai skannausstrategiasta aiheutuvia efektejä. Tässä tutkiemassa taivaan kumatehospektrie käytetään yäpuoisena tarkkeena tideä ( ) erotuksena muista kumatehospektreistä. Havaittu kumatehospektri eroaa taivaan kumatehospektristä vain kumatehospektriä kertovaa ikkunafunktioa. 2 Matriisi-ikkunafunktio voidaan määriteä ähtemää iikkeee kahdesta oetuksesta: 1) askettaessa paoharmonisten kertoimien a m tuoja, eri mutipoit eivät sekoitu keskenään, mutta saman mutipoin eri a m :t voivat sekoittua - jokaista havaittua â m :ää vastaa saman mutipoin taivaan ã m, mutta m ja m voivat poiketa toisistaan ja 2) havaitut â m -kertoimet kytkeytyvät ineaarisesti taivaan ã m -kertoimiin seuraavasti â X m = m X K mm XX ãx m, (3.14) missä X = T, E, B, ja KXX mm kuvaa (kompeksista) kytkentämatriisia, joka kytkee ineaarisesti eri m:n arvot, ja T :n E:n ja B:n toisiinsa. Sijoittamaa taivaan ã m -kertoimet kaavasta (3.14) havaitun kumatehospektrin määritemään, seuraa Ĉ XY = m â X mây m m K mm XX Kmm Y Y ãx m ãy m X m Y m, (3.15) missä Y = T, E, B. Kaava (3.15) kertoo, miten yksittäinen havaittu kumatehospektri Ĉ riippuu yksittäisen taivaan ã m -kertoimista, mutta koska tämä hautaan kytkeä kaavan teoreettiseen kumatehospektriin C X Y, joka riippuu suuresta joukosta taivaan kumatehospektrejä (C = C ), 2 Itse asiassa uvun yhteydessä mainittu havaittu kumatehospektri on tässä taivaan kumatehospektri, mutta sekä Ĉ että C voidaan määriteä kaavasta 2.52.

46 42 LUKU 3. PLANCKIN KEILAT JA IKKUNAFUNKTIOT asketaan odotusarvo kaavan (3.15) yi. Täöin saadaan ĈXY = m m X = mm = X Y W XY X Y CX Y, K mm XX Kmm Y Y m Y K mm Y XX Kmm Y Y CX X Y ã X m ãy m (3.16) missä matriisi-ikkunafunktio on määritety WX XY Y = mm Kmm XX K mm Y Y. Lisäksi on oetettu, että taivaan paoharmonisten funktioiden vakiokertoimet ã m ovat toisistaan riippumattomia satunnaismuuttujia ei ã X m ã Y m = C X Y δ m m, missä δ m m on Kroneckerin deta. Yäesitetystä kaavasta (3.16) nähdään, että myös havaitut kumatehospektrit riippuvat ineaarisesti taivaan kumatehospektreistä, ei havaituie komponentin u kumatehospektreie Ĉu pätee reaatio Ĉ u = u W uu C u, (3.17) missä u, u = T T, EE, BB, T E, T B, EB. Tässä tutkiemassa käytetään todeisiin havaintoihin perustuvaa oetusta, jonka mukaan maaimankaikkeutemme syntyi gaussisista satunnaisprosesseista. Täöin taustasäteiyn signaaissa ei oeteta esiintyvän TB ja EB väisiä korreaatioita, mutta koska main oetetaan toimivan myös etuaan säteiye, joka voi sisätää kyseisiä korreaatioita, otetaan täydeisyyden vuoksi kaikki kuusi termiä huomioon. Matriisimuodossa kaava (3.17) voidaan kirjoittaa Ĉ = W C, (3.18) missä Ĉ ja C ovat 6 1 vektoreita ja W on 6 6 matriisi, joka aukikirjoitettuna on W = W T T,T T W EE,T T W BB,T T W T E,T T W T B,T T W EB,T T W T T,EE W EE,EE W BB,EE W T E,EE W T B,EE W EB,EE W T T,BB W EE,BB W BB,BB W T E,BB W T B,BB W EB,BB W T T,T E W EE,T E W BB,T E W T E,T E W T B,T E W EB,T E W T T,T B W EE,T B W BB,T B W T E,T B W T B,T B W EB,T B W T T,EB W EE,EB W BB,EB W T E,EB W T B,EB W EB,EB, (3.19) missä diagonaaia sijaitsevat vuotokorjatut TT, EE, BB, TE, TB ja EB ikkunafunktiot ja eidiagonaaia vuotoeementit. Matriisin indeksit kertovat, mistä komponentista signaaia vuotaa mihin, esimerkiksi W T T,EE kuvaa vuotoa EE:stä TT:hen. 3.4 Piksei-ikkunafunktiot Taustasäteiyn ämpötiakartassa jokaista pikseiä vastaa tietty ämpötia, joka on piksein pintaaan yi asketun todeisen ämpötiakentän keskiarvo. Samanainen kentän keskiarvoistaminen pätee myös taustasäteiyn poarisaatiokartoie. Siispä, yksittäinen piksei toimii, anaogisesti keian tapaan, ikkunana, joka tasoittaa varsinaista ämpötian tai poarisaation kenttää. Kuten keiojen profiiit, myös pikseit voidaan esittää harmonisessa avaruudessa ikkunafunktiona. Kuvassa

47 3.4. PIKSELI-IKKUNAFUNKTIOT 43 (a) Lämpötian ja poarisaation pikseiikkunafunktiot, kun Nside=1024. (b) Lämpötian ja poarisaation pikseiikkunafunktioiden erotus, kun Nside=1024. Kuva 3.10: Kuvassa (a) on esitetty tässä tutkiemassa käytetyt ämpötian ja poarisaation pikseiikkunafunktiot kuvattuna = 1700 asti. Kuvassa (b) on esitetty näiden erotus. Koska tämä erotus on suuruusuokkaa 10 8, näkyvät kuvan (a) kaksi käyrää pääekkäin (a) näkyvät tässä tutkiemassa käytetyt ämpötian ja poarisaation piksei-ikkunafunktiot esitettynä = 2000 asti ja kuvassa 3.10 (b) on esitetty näiden erotus. Piksei-ikkunafunktiot hautaan poistaa havaituista kumatehospektreistä, siä ne tasoittavat todeisia kumatehospektrejä. Oetetaan jatkossa, että yksittäisen piksein pinta-aa on Ω pix ja merkitään kartassa oevien pikseeiden määrää N pix. Täöin pikseöity signaai f(p) voidaan esittää varsinaisen signaain yi askettuna keskiarvona pikseissä p [0, N pix 1] seuraavasti [47] f(p) = dnw p (n)f(n), (3.20) missä n = (θ, ϕ) kuvaa joukkoa paokoordinaatteja, jotka kattavat piksein p pinta-aan. Piksein painokerroin w p on piksein sisää w p (n) = 1/Ω pix ja tämän ukopuoea noa, jooin dnw p (n) = 1. Kehittämää yempi yhtäö erikseen ämpötian ja poarisaation mutipoiekspansioiksi tiettyyn max arvoon asti, saadaan pikseöidyn signaain mutipoiekspansioiksi T (p) = E(p) = B(p) = max =0 m max =2 m max =2 a T m wt m (p), a E m we m (p), a B m wb m (p), m (3.21) missä w X m = dnw p (n) X Y m (n) (3.22) on piksein p painokertoimen paoharmoninen muunnos ja X = T, E, B. Tarkemmin ottaen w m :ien oetetaan oevan poarisaation suhteen identtisiä ei w P we m = wb m. Yhtäön (3.22) pik-

48 44 LUKU 3. PLANCKIN KEILAT JA IKKUNAFUNKTIOT seeiden painokertoimien wm X käsittey eksaktisti tässä tutkiemassa käytetyssä kartan HEALPixpikseisaatiossa on askennaisesti erittäin raskasta, joten painokertoimen käsitteyn yksinkertaistamista tarvitaan. Mikäi piksein koko on pieni suhteessa keiojen kokoon, voidaan piksein sisäinen rakenne unohtaa ja oettaa, että wm X (p) = wx (p)y m(p), (3.23) missä w X (p) on ikkunafunktio, joka on askettu indeksin m keskiarvon yi ( w X (p) = 4π ) 1/2 wm X (p) 2, (3.24) m= joka on riippumaton piksein sijainnista taivaan kartassa. Varsinainen (efektiivinen) piksei-ikkunafunktio w X määriteään w X (p):n neiöisenä keskiarvona w X 1 N pix N pix 1 p=0 (w X (p))2 1/2. (3.25) Edeä kuvatuista yhtäöistä (2.45), (2.52), (2.62), (3.20) ja (3.21) seuraa, että pikseöidyn ja pikseöimättömän signaain havaitue kumatehospektreie pätee Ĉ XY (unpix) = 1 w X wy Ĉ XY (pix), (3.26) missä X, Y = T, E. Tästä seuraa, että piksei-ikkunafunktion vaikutus keiojen skaaari- ja matriisiikkunafunktioihin on skaaari-ikkunafunktioie muotoa W XY (unpix) = 1 w X wy missä X = Y = T, E ja matriisi-ikkunafunktioie muotoa W XY (pix), (3.27) W uu (unpix) = 1 w X wy W uu (pix), (3.28) missä u, u = T T,EE,BB,T E,T B,EB. Yhtäön (3.28) piksei-ikkunafunktioiden indeksit X ja Y määräytyvät u:n mukaan. Jos u = T T, niin X = Y = T, jos u = EE, BB, niin X = Y = P tai jos u = T E, T B, EB, niin X = T, Y = P. Yhtäöiden (3.27) ja (3.28) W (unpix) ikkunafunktiot ovat nyt riippumattomia kartan pikseisaatiosta, joten ne sovetuvat käytettäväksi esimerkiksi eri resouutioisten karttojen kumatehospektrien arvioimiseen. Tavaisesti kartanteko toteutetaan resouutioparametrin arvoa N side = 1024 (kartanteosta isää uvussa 4), mutta piksei-ikkunafunktiot on askettu tarkasti yhtäöistä (3.24) ja (3.25) vain tapauksie N side 128. Kun N side > 128, on piksei-ikkunafunktioiden tarkka askeminen jokaisee :n arvoe askentaresurssien kannata iian kaista. Täöin ämpötian piksei-ikkunafunktio on ekstrapooitu tapauksesta N side = 128 oettamaa, että mutipoit skaaautuvat, kuten aatikkomaisen piksei-ikkunafunktion :t. Poarisaation piksei-ikkunafunktio oetetaan verrannoiseksi ämpötian piksei-ikkunafunktioon siten, että verrannoisuuskerroin määräytyy mataien mutipoien w :n tarkasta askennasta.

49 3.5. HAVAITUN SIGNAALIN MALLINTAMINEN - SIGNAALIN JA KEILOJEN KONVOLUUTIO Havaitun signaain maintaminen - signaain ja keiojen konvouutio Koska minkä tahansa instrumentin, kuten simän, kameran tai Panckin torven tai detektorin, havaitsema signaai on aina konvouutio instrumentista aiheutuvien efektien ja todeisen signaain väiä, täytyy havaitun signaain maintamiseksi taivaiden a m -kertoimet konvooida sateiitin havaintokeioia. Kuten jo uvussa 3.2 mainittiin, konvouutio keian ja signaain väie voidaan kirjoittaa muodossa T (n 0, ψ) = m Yhdistämää yempään yhtäöön yhtäö (3.5), saadaan T (n 0, ψ) = max =0 mm = b m (n 0, ψ)a m. (3.29) b m a md mm (n 0, ψ), (3.30) missä b m kuvaa keian paoharmonisia kertoimia referenssisuunnassa ja -orientaatiossa. Tässä on myös oetettu sekä keian että taivaan oevan kaistarajoitettuja johonkin korkeaan max. Käyttämää sekä Wignerin D-funktioiden määritemää D mm (ϕ 0, θ 0, ψ) = e imϕ 0 d mm (θ 0)e im ψ (3.31) että reaatiota D mm (ϕ 0, θ 0, ψ) = m = d mm (π/2)d m m (π/2)e i(mϕ 0+m θ 0 +m ψ), (3.32) voidaan havaittu ämpötia T (ϕ 0, θ 0, ψ) imaista harmonisessa avaruudessa muodossa T (ϕ 0, θ 0, ψ) = max m,m,m = max T mm m ei(mϕ0+m θ0+m ψ). (3.33) Tässä d mm kuvaa redusoituja Wignerin matriiseja ja T mm m on havaitun ämpötiakentän T (ϕ 0, θ 0, ψ) paoharmoninen esitys max T mm m = =0 b m a md mm (π/2)d m m (π/2). (3.34) Mikäi keia on vain hieman epäsymmetrinen, voidaan myös m:n arvot rajoittaa sopivae väie ( m max, m max ), kunhan m max max. Vaitsemaa sopiva m max ja tarpeeksi suuri max, voidaan kaavojen (3.33) ja (3.34) avua rakentaa jokaisee detektorie ja Stokesin parametrie I, Q ja U interpoaatiotauukko, joka kuvaa detektorin havaittua intensiteettiä tai poarisaatiota kaikia keian eri suunnia (θ, ϕ) ja orientaatioia ψ. Tämän tauukon tiheysväi on sitä tiheämpi, mitä suurempia max ja m max ovat. Kun detektorien katseusuunnat tiedetään eri taivaan pisteissä, voidaan vaita sopivan kertauvun poynomifunktio, joka sovitetaan kukemaan detektorin katseusuunnan koordinaattipisteiden ja näiden pisteiden ähiympäristössä oevien interpoaatiotauukon pisteiden kautta (katso kuva 3.11).

50 46 LUKU 3. PLANCKIN KEILAT JA IKKUNAFUNKTIOT Kuva 3.11: Yksittäisen detektorin interpoaatiotauukko keian eriaisia asennoia n 0 = (θ 0, ϕ 0 ) ja orientaatioia ψ. Käyrä, joka kukee tauukon haki kuvaa detektorin varsinaista skannausreittiä. Kuvan siniset ruksit ovat niitä tauukon arvoja (Stokesin parametreja I,Q,U), joiden kautta skannausreittiä kuvaava poynomifunktio on sovitettu kukemaan. Sovituksen intensiteetit ja poarisaatiot ovat vieä tässä vaiheessa ajasta riippumattomia. Kun tähän yhdistetään tieto sateiitin skannausstrategiasta, ei mioin kukin detektori on katseut tiettyyn taivaan koordinaatin suuntaan, voidaan simuoida detektoreia havaittua intensiteettiä ja poarisaatioita ajan funktiona. Tämä on tapana esittää aikajärjestettynä datana (TOD), joka voidaan projisoida erikseen ämpötian ja poarisaation taivaankartoiksi.

51 Luku 4 Kartanteko aikajärjestetystä datasta Panck-sateiitin skannatessa taivasta sen detektoreihin saapuvat eriaisia energioia etenevät fotonit, jotka sateiitti mittaa jännite-eroina noatasosta. Niinpä jokaisee taivaan pisteee on oemassa kyseisestä pisteestä havaittu jännite. Sateiitin raakadata, joka on vastaanotettu Maahan, onkin vain jännite ajan funktiona, jota kutsutaan myös aikajärjestetyksi dataksi (eng. Time Ordered Data, TOD). Jotta tästä raakadatasta, joka koostuu sekä signaaista että detektorien kohinasta, saadaan irti kosmoogian kannata oeeista informaatiota, kaibroidaan se sekä Aurinkokunnan että sateiitin iikkeestä aiheutuvan Dopper-efektin avua, mikä projisoituna kartaksi muodostaa dipoirakenteen, josta on kerrottu enemmän uvussa Kuitenkin, koska dipoia kaibroidun datan määrä on Panck-sateiitia vatava, jokaista Panckin detektoria kohden noin näytettä vuodessa [3], on tämä data saatava kompressoitua sen jäkikäsitteyä varten tavaa, joka hävittää mahdoisimman vähän informaatiota. Niinpä kartanteko on järkevä esitystapa raakadatae, siä se kompressoi datan, oikein tehtynä säiyttää mahdoisimman pajon kosmoogista informaatiota datasta, ja isäksi visuaisoi sen. Ongemaa, miä tavoin data, ja erityisesti kohina, tuisi kompressoida karttatasoa kutsutaan kartanteko-ongemaksi, jota käsiteään seuraavaksi. 4.1 Kartanteko-ongema Oetetaan, että aikajärjestetty data voidaan esittää vektorina y, joka riippuu ineaarisesti taivaan signaaista s ja instrumenttikohinasta n y = s + n. (4.1) Signaaivektori voidaan kirjoittaa muotoon s = Pm, (4.2) missä vektori m kuvaa pikseöityä taivaan karttaa, joka koostuu N pix tai 3N pix määrästä pikseeitä riippuen siitä, esitetäänkö kartta pekkänä ämpötian vai ämpötian ja poarisaation karttana. Taivaan signaai voidaan siis esittää vektorina, joka sisätää diskreetin määrän toisistaan poikkeavia arvoja, ja tämä määrä vastaa kartan pikseeitä. Signaaia on oemassa oma vakioarvo jokaisessa pikseissä, mikä puoestaan viittaa siihen, että kartan pikseeiden on otava tarpeeksi pieniä suhteessa detektorin keian ei instrumenttikeian kokoon, jotta tämä oetus on voimassa. 47

52 48 LUKU 4. KARTANTEKO AIKAJÄRJESTETYSTÄ DATASTA Panck-projektissa kartat on tapana esittää HEALPix-pikseisaatiossa [47] resouutioparametrin N side avua, jonka yhteys kartassa oevien pikseeiden määrään on N pix = 12Nside 2. Myös tämän tutkieman kartat ovat esitetty kyseisessä pikseisaatiossa. Lämpötiakartae jokaista piksein arvoa vastaa oma Stokesin parametri I sekä poarisaatiokartoie Q että U. Ottamaa kartanteossa poarisaatio huomioon, voidaan näytteen i havaittu signaai s i kirjoittaa muodossa s i = I i + Q i cos(2ψ i ) + U i sin(2ψ i ), (4.3) missä ψ i on suunta, jossa detektorit ovat herkkiä poarisaatioe. Tämä suunta vaihteee sekä sateiitin sen hetkisen orientaation että pottotasossa oevien detektorien orientaation mukaan. Kertoimet 1, cos(2ψ i ), sin(2ψ i ) muodostavat kaavan 4.2 pointing-matriisin, P. Se esittää sateiitin skannausstrategiaa ja siten kytkee signaainäytteeseen s i tuevan signaain taivaan pikseistä p i. Mikäi poarisaatiota ei huomioida (kosini- ja sinitermit kaavassa 4.3 häviävät), ei pointing-matriisi sisää tietoa poarisaatioherkkyyden asennosta. Yhtäöstä 4.3 nähdään, että pointing-matriisin P on otava erittäin harva. Jokainen matriisin rivi sisätää joko yhden tai kome noasta poikkeavaa arvoa riippuen siitä hautaanko detektorin poarisaatio huomioida. Yä esitetyt oetukset viittaavat siihen, ettei kartanteossa korjata instumenttikeiaa dekonvouutioa. Symmetrisen keian tapauksessa kartta tuee täöin tasoitettua (smoothattua) kyseisen keian kooa. Epäsymmetriseä keiaa puoestaan kartan efektiivinen tasoittaminen riippuu keian asennosta. Kartan tasoittaminen tietyssä pisteessä riippuu detektorien orientaatiosta, jossa ne ovat ohittaneet kyseisen pisteen taivaaa. Mikäi detektori on käynyt äpi kaikki taivaan pisteet tasaisesti jakautuen ja kaikia keian orientaatioia, sioin kartan efektiivinen tasoitus paautuu symmetrisen keian tapaukseen. Mikään detektori Panckin epähomogeenisea skannausstrategiaa ei kuitenkaan käy äpi kaikkia keian orientaatioita. Tarkasteaan seuraavaksi kaavan 4.1 kohinatermiä. Kartanteossa tämän tiastoiset ominaisuudet aikatasossa oetetaan tunnetuiksi. Sopivasta kohinamaista kohinae voidaan siis uoda joukko kohinakarttoja, joista kohinan tiastoiset ominaisuudet voidaan karttatasossa askea. Tästä eteenpäin oetetaan kohina gaussiseksi, jonka odotusarvo on noa ja kovarianssi N n = 0, nn T = N, (4.4) missä esittää odotusarvoa eri kohinareaisaatioiden yi. Tavaisesti kohinan tiastoiset ominaisuudet oetetaan ajan suhteen stationaarisiksi. Stationaarisuuden vuoksi kohina voidaan esittää korreaatiofunktiona aikatasossa tai vaihtoehtoisesti tehospektrinä taajuustasossa. Kartanteon ideana on siis antaa mahdoisimman tarkka estimaatti kartasta operoimaa joain sopivaa ineaarisea operaattoria L datavektoriin y ei ˆm = Ly. Optimaaisesti kartan ratkaiseminen voidaan esittää suurimman uskottavuuden estimaatin ˆm avua, joka saadaan ratkaisemaa seuraava yeinen pienimmän neiösumman yhtäö [48] ˆm = (P T N 1 P) 1 P T N 1 y. (4.5) Lineaarinen operaattori L on tässä tapauksessa (P T N 1 P) 1 P T N 1. Seaisie vatavan suurie resouutiokartoia, joita Panck-sateiitin datasta voidaan tehdä, on operaattorin L askeminen

53 4.2. KARTAN RATKAISEMINEN DESTRIPING-MENETELMÄLLÄ 49 ähes mahdotonta. Käytännössä kuitenkin iteratiivisia menetemiä yhtäö 4.5 on askettavissa. Varsinainen Panckin mataan taajuuden instrumenttien kartanteko on toteutettu Hesingin yiopistoa kehitetyä iteratiivisea Madam-koodia (eng. Map-making through Destriping for Anisotropy Measurements), joka askee TOD:sta kartat destriping-menetemää. Koska Madamia käytetään myös tämän tutkieman simuoitujen karttojen rakentamiseen, kuvaiaan seuraavaksi tätä Madamissa käytettyä menetemää. 4.2 Kartan ratkaiseminen destriping-menetemää Destriping [49 55] on approksimatiivinen menetemä, joa voidaan nopeasti ratkaista kartta siten, että yhtäö 4.5 on askennaisesti kevyt ja ratkaisu on riittävän äheä täydeisesti asketun kartan ratkaisua. Destriping-menetemässä yhtäön 4.1 kohinaosa jaetaan korreoituun kohinakomponenttiin n c ja vakoiseen kohinaan n w n = n c + n w, (4.6) missä korreoidun kohinan ( 1/f-kohinan ) osa voidaan esittää sopivissa vakiopätkissä. Aikajärjestetye datae tämä voidaan tehdä jakamaa data n b osaan yhtä pitkiä pätkiä n base ei n = n b n base, missä n kuvaa vektorin n c pituutta. Jokaisee osae määriteään vakiopoikkeama, josta kartanteossa käytetään nimitystä baseine. Nämä vakiopoikkeamat maintavat siten mataan taajuuden korreoidun kohinan, joka hautaan poistaa varsinaisista kartoista. Korreoidue kohinae voidaan siten kirjoittaa esitys n c = Fa, (4.7) missä vektori a sisätää tuntemattomat vakiopoikkeaman ampitudit ja n b n base kokoinen matriisi F kertoo, mihin kohtaan kukin ampitudi TOD:stä kuuuu. Kuvassa 4.1 on esitetty viiden minuutin pituinen pätkä simuoitua taustasäteiyn TOD:tä, jonka korreoituun kohinaan on sovitettu eri pituisia vakiopoikkeamia. Oettamaa korreoitu kohina ja vakoinen kohina toisistaan riippumattomaksi, voidaan kokonaiskohinakovarianssimatriisi kirjoittaa muotoon N = nn T = FN a F T + N n, (4.8) missä N n = n w n T w on vakoisen kohinan kovarianssimatriisi ja Na = aa T on ampitudien kovarianssimatriisi. Koska tavaisesti vakoisen kohinan kovarianssimatriisi tunnetaan, jää tehtäväksi ratkaista vain tuntemattomat ampitudit a. Ampitudeja kuvaava matriisi N a voidaan kuitenkin esitietona, priorina, oettaa myös tunnetuksi, mikäi kohinaspektri tunnetaan. Täöin N a :ta kutsutaan kohinaprioriksi. Kohinapriori asettaa yimääräisen rajoitteen, joka saii destriping-menetemän aajentamisen erittäin yhyie vakiopoikkeamie. Kohinapriori voidaan rakentaa tunnettujen kohinaparametrien, povitaajuuden, kohinaspektrin katevuuden ja vakoisen kohinan varianssin avua [48], mutta, koska tämä tutkiema keskittyy puhtaan signaain simuaatioihin, näiden yksityiskohtaisempi kuvaieminen on tämän tutkieman ukopuoea. Aiheesta kiinnostunut voi ukea instrumenttikohinan maintamisesta taustasäteiyanayysissä esimerkiksi vuonna 2014 jukaistusta Lindhomin tutkiemasta [56].

54 50 LUKU 4. KARTANTEKO AIKAJÄRJESTETYSTÄ DATASTA Kuva 4.1: Simuoitu viiden minuutin pätkä aikajärjestettyä dataa. Simuoitu korreoitu 1/f kohina on esitetty kuvassa vihreää, johon on sovitettu yhden minuutin (mustaa), 10 sekunnin (pinkiä) ja sekunnin (siniseä) pituiset vakiopoikkeamat. Pystysuorat katkoviivat rajaavat sateiitin yhden minuutin pituisen skannausperiodin aun ja opun. Varsinainen signaain TOD on kuvassa punaisea käyrää. Korkeat piikit signaaissa syntyvät, kun sateiitti skannaa Linnunradan tason. Lähde: [48]. Yä kuvattujen oetusten mukaan, paras estimaatti vakiopoikkeamien vektorie â voidaan nyt ratkaista ineaarisena yhtäöryhmänä [57] (F T N 1 w ZF + N 1 a )â = F T N 1 w Zy, (4.9) missä Z = I P(P T N 1 w P) 1 P T N 1 n. (4.10) Tässä I esittää yksikkömatriisia ja N n on diagonaaimatriisi, jonka diagonaaieementteinä ovat vakoisen kohinan varianssit σ 2 t. Yhtäön (4.9) vakiopoikkeaman ampitudit voidaan ratkaista numeerisesti. Yksi ratkaisutapa on Madam-koodissakin käytetty konjugaattigradienttimenetemä [58], siä yhtäön (4.9) suuissa oeva matriisi täyttää menetemän ehdot se on symmetrinen, reaaiarvoinen ja positiividefiniitti. Varsinainen suurimman uskottavuuden raidoista poistettu kartta (eng. destriped map) ˆm saadaan nyt yhtäöstä (4.5), kun datasta y poistetaan korreoidun kohinan paras estimaatti ˆn c = Fâ: ˆm = (P T N 1 w P) 1 P T N 1 w (y Fâ). (4.11) Katsotaan tarkemmin miten kaavan (4.11) eri operaatiot vaikuttavat datavektoriin y ja unohdetaan tässä kohtaa vektori Fâ. Operaatiosta P T N 1 w saadaan (kohinainen) summakartta P T N 1 w y,

55 4.2. KARTAN RATKAISEMINEN DESTRIPING-MENETELMÄLLÄ 51 jossa jokaista Stokesin parametria esittää tiettyyn pikseiin p osuneiden havaintojen summa I p = i p Q p = i p U p = i p 1 y i, σ 2 i 1 cos(2ψ i )y i, 1 sin(2ψ i )y i. σ 2 i σ 2 i (4.12) Tässä σ 2 i esittää tietyn instrumentin vakoisen kohinan varianssia, joka tavaisesti voidaan oetetaan yksittäisen detektorin osata stationaariseksi ei σi 2 = σ 2. Summakartat eivät itsessään oe kovinkaan järkeviä, siä jokaisessa summakartan pikseissä on summa kyseiseen pikseiin osuneista havainnoista. Järkevämpi mittari on siten kyseisten pikseeiden yi askettu keskiarvo. Tämä keskiarvokartta saadaan askettua operoimaa summakarttaa operaattoria (P T N 1 w P) 1, joka sisätää informaation montako havaintoa on tietyssä pikseissä. Keskiarvokartasta käytetään myös nimitystä binnattu kartta, joka nyt saadaan kaavasta ˆm = (P T N 1 w P) 1 P T N 1 w y. (4.13) Varsinainen mittausdata sisätää taustasäteiysignaain ja kohinan isäksi etuaan säteiyä. Tämä säteiy tuee pääasiassa Linnunradan synkrotronisäteiystä, free-free säteiystä, Linnunradassa oevan pöyn infrapunasäteiystä, ja pienempi osuus tuee muiden gaaksien säteiystä sekä kosmisesta infrapunasäteiystä. Koska tämä etuaan säteiyn tehospektri eroaa joko ämpötiansa puoesta taustasäteiystä tai se ei oe mustan kappaeen säteiyä, voidaan karttatasoa etuaan säteiy erottaa taustasäteiystä, kun taivasta havaitaan useaa taajuuskanavaa yhtä aikaa. Näiden säteiykomponenttien erotteumenetemä kartta-avaruudessa on tämän tutkieman ukopuoea, mutta aiheesta kiinnostunut voi tutustua säteiyähteiden erotteumenetemistä keskittyvään vuonna 2010 jukaistuun Sirviön tutkiemaan [59], jonka aiheena on taustasäteiyn anaysoiminen. Tiivistettynä, mikäi kartoissa oetetaan oevan korreoitua kohinaa, saadaan kohinaa vähennettyä tehokkaasti poistamaa raidat kartasta ei ratkaisemaa kaava (4.11). Toisaata, mikäi kartoissa ei oeteta oevan korreoitua kohinaa, kuten pekkää signaaia sisätävissä simuaatiokartoissa, on tavaisempaa ratkaista binnattu kartta ei kaava (4.13). Raidoista poistettu kartta ja binnattu kartta eivät kuitenkaan täöin eroa merkittävästi toisistaan. Koska tämän tutkieman matriisi-ikkunafunktiot ovat askettu puhtaan taustasäteiyn signaaisimuaatioista, ovat näiden simuaatioiden karttoina käytetty binnattuja taustasäteiyn karttoja. Kuvassa 4.2 on esitetty havainnoisuuden vuoksi raidoista poistettu taustasäteiyn kartta ja binnattu taustasäteiyn kartta, jotka on saatu puhtaan taustasäteiysignaain simuaatioista. Luvussa 3 esitetyt keiojen muodot vääristävät taustasäteiykarttoja ja saavat näin aikaan signaaivuotoa ämpötian ja poarisaation karttojen väie. Jotta tästä vuodosta päästään eroon, voidaan keioista aiheutuvat efektit poistaa joko dekonvooimaa kartat karttatasossa tai harmonisessa avaruudessa (matriisi-)ikkunafunktioia. Taustasäteiyanayysin kannata jäkimmäinen tapa on suositetavampi, siä kartan suora dekonvooiminen vaikuttaa monimutkaisea tavaa kartassa oevan kohinan käyttäytymiseen.

56 52 LUKU 4. KARTANTEKO AIKAJA RJESTETYSTA DATASTA (a) Simuoitu taustasa teiyn kartta, joka on saatu suoraan raakadatasta. (b) Simuoitu, raidoista poistettu kartta. Kuva 4.2: Kuvassa (a) suoraan kartaksi tehty sovitus simuoidusta raakadatasta. Kuvassa na kyy seva raitamainen rakenne, mika huonontaa taustasa teiyn kumatehospektrin ma a ritta mista kartasta. Kuvassa (b) on esitetty samasta simuaatiosta tehty raidoista poistettu kartta. Kuvat: Anna-Stiina Suur-Uski.

57 Luku 5 Matriisi-ikkunafunktion simuaatiot Luvussa 4 käsitetiin, miten sateiitin mittaamasta (tai simuoidusta) aikajärjestetystä datasta saadaan ämpötian ja poarisaation taivaankarttoja. Nämä taivaankartat sisätävät taustasäteiyn ämpötian ja poarisaation signaain, joe voidaan kehittää harmonisessa avaruudessa mutipoiekspansio, kuten uvussa on esitetty. Tämän ekspansion a m -kertoimista voidaan askea havaittu kumatehospektri, jossa sateiitin keiojen vaikutukset ovat mukana. Nämä vaikutukset, jotka harmonisessa avaruudessa on sisäytetty keiojen ikkunafunktioihin, tuisi saada poistettua, jotta taivaan kumatehospektri saadaan sevie. Keiojen ikkunafunktioita ei kuitenkaan voida Panckin kataisee monimutkaisee optisee järjestemäe sevittää tarkasti anayyttisesti, joten taustasäteiyn simuaatioita tarvitaan niiden ratkaisemiseksi. Tässä yhteydessä voitaisiin simuaatioia sevittää uvussa 3.2 esitetyt skaaari-ikkunafunktiot. Nämä kuitenkin sisätävät ei-toivottua signaaivuotoa eri komponenttien väiä, joka oisi tärkeää saada eristettyä omiksi komponenteikseen. Tämä voidaan toteuttaa uvussa 3.3 esitetyiä matriisi-ikkunafunktioia, joiden matriisieementit saadaan arvioitua CMB Monte Caro simuaatioia. Yhteensä tämän tutkieman simuaatiot kuuttivat noin CPUh ja ne ajettiin 1728 ytimeä CSC:n Sisu Cray-XC30:ä. 5.1 CMB Monte Caro simuaatiot Kuten uvussa jo kerrottiin, teoreettinen kumatehospektri C määriteään odotusarvona yi suuren määrän satunnaisprosessissa syntyneiden a m -kertoimien joukkoja, mutta todeisuudessa voimme havaita vain yhden joukon näistä kertoimista oman havaittavan maaimankaikkeutemme a m -kertoimet. Käytännössä minkä tahansa taustasäteiyn epäisotropioita kartoittavan sateiitin, kuten Panckin, datasta anaysoidaan oman maaimankaikkeutemme a m -kertoimet, sitä suuremmie mutipoin arvoie sevitettynä, mitä herkempi mittaaite on taustasäteiyn epäisotropioita mitannut. Näistä kertoimista voidaan askea kaavan (2.52) avua taivaan ämpötian ja poarisaation kumatehospektrit. Jotta taivaan kumatehospektreistä saadaan sevie matriisiikkunafunktion eementit, voidaan hyödyntää CMB Monte Caro simuaatioita. CMB Monte Caro simuaatioissa teoreettisen kumatehospektrin ympäritä satunnaisotannaa generoidaan joukkoja a m -kertoimia, joista kukin joukko vastaa yksittäistä taivaan reaisaatiota, ja täten kuakin reaisaatioa on myös sie ominainen taivaan kumatehospektri C. Näin 53

58 54 LUKU 5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION SIMULAATIOT tehtynä annettu teoreettinen kumatehospektri toimii spektrien yi askettuna odotusarvona, ei C = C. (5.1) Kaavassa (5.1) oevat taivaan reaisaatioiden kumatehospektrit, C :t, vastaavat seaisia kumatehospektrejä, joissa sateiitin skannausstrategian ja keiojen väisiä vaikutuksia ei oe mukana. Havaittua signaaia voidaan simuoida tekemää uvussa 3.5 esitetyä tavaa signaain a m - kertoimie ja keian a m -kertoimie konvouutiot jokaisee Stokesin parametrie erikseen ja kirjoittamaa nämä komisarakkeiseksi interpoaatiotauukoksi. Kun sateiitin detektorien pottotason geometria ja sateiitin skannausstrategia ovat tiedossa, voidaan interpoaatiotauukon avua sevittää simuoidut havaitut intensiteetit ja poarisaatiot sateiitin skannausreitiä ajan funktiona, mikä voidaan esittää aikajärjestettynä datana ei TOD:na. Nämä TOD:t voidaan projisoida, uvussa 4 esitetyä tavaa, taivaankartoiksi. Taivaankartoista voidaan sitten askea kuekin taivaae ominainen havaittu kumatehospektri Ĉ, josta keiojen vaikutus tuee poistaa jakamaa havaittu kumatehospektri skaaari-ikkunafunktioa (tai kertomaa se käänteiseä matriisiikkunafunktioa), jotta varsinainen rekonstruoitu kumatehospektri C (reco) saadaan esiin. Käytännössä ikkunafunktiot poikkeavat hieman eri reaisaatioiden väiä, koska ne riippuvat eri reaisaatioiden taivaan kumatehospektreistä. Matriisi-ikkunafunktioista saadaan uotettavampia tuoksia, kun tehdään simuaatioita, joissa on suuri joukko reaisaatioita. Tässä uvussa esitetyt matriisi-ikkunafunktiosimuaatioiden vaidoinnit on toteutettu 25 reaisaatioa (taivaan reaisaatioia ) ja simuaatiot, joissa on erikseen tutkittu eri eementtien käyttäytymistä on tehty yhdeä taivaan reaisaatioa askentaresurssien säästämiseksi. Tässä tutkiemassa simuoitu signaai on konvooitu erikseen komea eri keiaa (pääkeiaa, äheisiä ja etäisiä sivukeioia) jokaisee komee LFI:n taajuudee. Tauukossa 5.1 näkyy konvouutiossa ja interpoaatiossa käytetyt parametrit. Parametri conv max kuvaa suurinta mutipoia, johon asti havaittua signaaia mainnetaan ja mainnuksen tarkkuus heikkenee äheä tätä mutipoia. Tarkkuutta voidaan parantaa kasvattamaa parametreja max out ja interpo order, joista ensimmäiseä parametria säädeään interpoaatiotauukon spatiaaista tarkkuutta hauttuun max,out max asti aajentamaa tauukkoa opusta yimääräisiä noia (eng. zero-padding) ennen Fourier-muunnosta ja jäkimmäiseä parametria päätetään interpoaatiotauukkoon sovitetun poynomifunktion kertauku. Parametria beammmax säädeään mainnettavan atsimuuttisuuntaisen rakenteen tarkkuutta. Tässä tutkiemassa tehdyt simuoidut taivaankartat on tehty erikseen pääkeiojen, pääkeiojen ja äheisten sivukeiojen yhdistemän ja koko keian TOD:eie Madam-koodia. Madamia varten on käytetty samoja parametriasetuksia kuin mitä on käytetty Panckin todeisie taivaankartoie, mitkä öytyvät vuoden 2015 LFI:n kartantekoa käsitteevästä Panck-jukaisusta [57]. Tää tavoin on saatu kaikie komee LFI:n taajuudee koko Panck-mission (4,5 vuoden) kattavat taivaankartat HEALPix-resouutioa N side = 1024, joista on askettu havaitut kumatehospektrit Ĉ.

59 5.2. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION ELEMENTTIEN ARVIOIMINEN 55 Pääkeia Läheiset sivukeiat Etäiset sivukeiat parametri 30&44 GHz 70 GHz 30&44 GHz 70 GHz 30&44 GHz 70 GHz conv_max max_out beammmax interpo_order Tauukko 5.1: Simuaatioissa käytetyt konvouution ja interpoaation parametrit eri keian osie. 5.2 Matriisi-ikkunafunktion eementtien arvioiminen Siirrytään seuraavaksi tarkasteemaan matriisi-ikkunafunktion eementtien arvioimista CMB Monte Caro simuaatioia. Havaittujen kumatehospektrien autokorreaatioista voidaan matriisiikkunafunktion eementit arvioida kaavaa W uu = 1 w X wy ˆ Cu Cu, (5.2) missä kuvaa odotusarvoa CMB Monte Caro reaisaatioiden yi ja u = T T, EE, BB, T E, T B, EB, u = T T, EE, BB, X, Y = T, P ja w on uvussa 3.4 esitety, ja N side = 1024 asti askettu, piksei-ikkunafunktio. Kaavassa (5.2) oisi todenmukaisempaa jakaa havaittujen kumatehospektrien odotusarvot simuaatioon syötetyä kumatehospektrin maia C (mode). Kuitenkin tiastoisesti tämänkatainen formaismi pätee vain vatavan suuree joukoe reaisaatioita. Kaava (5.2) ei seaisenaan päde taivaan signaain ristikorreaatioiden kumatehospektreie ja seitys tähän annetaan aa. Simuaatio-ongema kumatehospektrien ristikorreaatioissa: Simuaatioiden kannata pienehkön ongeman muodostaa kumatehospektrien ristikorreaatiot, siä TE-ristikorreaation kumatehospektri voi tietyiä mutipoeia käydä noassa. Täöin näiä mutipoeia matriisiikkunafunktio oisi huonosti määritety kaavan (5.2) nimittäjässä oisi noa. Ratkaisu ongemaan on käyttää simuaatioissa todenmukaisten kumatehospektrien sijaan noasta poikkeavia vakiospektrejä ristikorreaatioie, siä keskimäärin matriisi-ikkunafunktio ei määritemänsä mukaan riipu simuaatioon syötetystä spektristä. Kuten uvussa mainittiin, on taivaan kumatehospektrien käyrät tapana kertoa tekijää. Täöin simuaatioiden kannata ( + 1) 2π on kätevämpää määriteä suoraan D u = ( + 1) 2π C u = vakio, (5.3) missä u = T T, EE, BB, T E, T B, EB. Tämän tutkieman matriisi-ikkunafunktion simuaatioihin vaittiin kumatehospektriksin maiksi D T T,EE,BB T E,T B,EB = 1000 ja D = 500, jotta ristikorreaatioiden osuus oisi puoet niitä vastaavista autokorreaatioista. Taivaan kumatehospektrit C u on tässä askettu mutipoista = 2 mutipoiin = 2048 asti. Tässä oisi toki voinut oa toi-

60 56 LUKU 5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION SIMULAATIOT senainenkin ristikorreaation osuus, koska kuten edeä mainittiin, matriisi-ikkunafunktiot eivät keskimäärin riipu syötetystä signaaista. Kun edeä esitetty simuaatio-ongema on saatu kierrettyä, voidaan seuraavaksi yhtäön (5.3) kumatehospektrin ympäritä satunnaisgeneroida joukko a T m, ae m ja ab m -kertoimia, jooin noasta poikkeavat D :t synnyttävät korreaatioita a m -kertoimien väie. Nämä voidaan T E,T B,EB kir- joittaa komisarakkeiseksi tauukoksi. Yksittäinen matriisieementti W uu voidaan rakentaa komea eriiseä simuaatioa, joissa aina yksi tauukon sarake, a T m, ae m tai ab m, on asetettu noasta poikkeavaksi ja kaksi muuta saraketta noaksi. Tää tavoin saadaan simuoitua komea eriiseä simuaatioa niin kutsuttuja T-, E- ja B-karttoja. Tässä T-kartta ei tarkoita, että kartassa oisi puhdasta ämpötian signaaia, vaan se on saatu simuaatiosta, jossa vain a T m -kertoimet ovat oeet noasta poikkeavia. Täten T-kartta sisätää juuri E-moodista ja B-moodista tueen vuodon ämpötiaan. Ristikorreaatioita varten ei tarvitse tehdä eriisiä simuaatioita, siä kahden eri komponenttikartan summakartan kumatehospekristä voidaan askea muihin komponentteihin tueva kontribuutio. Esimerkiksi T-kartan ja E-kartan summakartan (T+E kartan) havaituista kumatehospektristä saadaan askettua TE-kontribuutio komponentteihin TT, EE, BB, TB, ja EB. Ristikorreaatioiden kumatehospektrejä askettaessa on tosin huomattava, että koska kaksi komponenttikarttaa ovat keskenään korreoituneita, täytyy summakartan havaituista kumatehospektristä vähentää vieä yksittäisten karttojen havaitut kumatehospektrit. Kaavana tämä voidaan esittää u Ĉ (XY u) = Ĉ u (XY summap) Ĉu (X-ony) Ĉu (Y-ony), (5.4) missä Ĉu (XY u) on ristikorreaatiosta (XY = T E, T B, EB) tueva vuoto komponentie u ja Ĉu (summap) on summakartasta askettu havaittu kumatehospektri. Lisäksi Ĉu (X-ony) ja (Y-ony), (X Y ; X, Y = T, E, B) ovat vain tiettyä signaaikomponenttia sisätävistä kartoista Ĉ u asketut havaitut kumatehospektrit. Esimerkiksi, mikäi simuaatioon oisi syötetty D T E = 0, oisi täöin yhtäön (5.4) vasen puoi out noa, ei TE:ä oisi out noakontribuutio muihin komponentteihin. Kaavan (5.4) avua voimme arvioida matriisi-ikkunafunktion TE-kontribuutiot ja jakamaa nämä yhtäön (3.28) mukaisesti piksei-ikkunafunktioia, saamme: Ĉu (XY summap) Ĉu (X-ony) Ĉu (Y-ony) W u,xy = 1 w U wv, (5.5) CXY missä w on piksei-ikkunafunktio, U, V = T, P. Kuvassa 5.1 (iitteen kuvassa A.3) on esitetty 25:stä reaisaatiosta asketut 70 GHz:n matriisi-ikkunafunktioiden kuusi diagonaaieementtiä ensimmäisessä paneeissa ja 30 ei-diagonaaieementtiä komessa muussa paneeissa. Vastaavat kuvaajat 30 ja 44 GHz:e öytyvät iitteiden kuvista A.1 ja A.2. Kuvassa 5.2 (iitteen kuvassa A.6) on esitetty 70 GHz:n mataien mutipoien ( 50) matriisiikkunafunktion diagonaaieementit, jokaisee komponentie sekä pääkeiae, pääkeian ja äheisen sivukeian yhdistemäe ja koko keiae erikseen. Vastaavat kuvaajat 30 ja 44 GHz:e öytävät iitteiden kuvista A.4 ja A.5. Ikkunafunktioiden komponenttien korreaatiot kukevat siten, että yimpänä kukee ämpötian ikkunafunktio, aempana ämpötiasta riippuvien ristikorreaatioiden

61 5.2. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION ELEMENTTIEN ARVIOIMINEN 57 TE:n ja TB:n ikkunafunktiot ja aimpana kukee pekästä poarisaatiosta riippuvien korreaatioiden EE, BB ja EB ikkunafunktiot. Mataimmia mutipoeia ( 20) on havaittavissa erityisesti 30 ja 70 GHz:n osata pientä heiahteua, joka syntyy etäisen sivukeian suuresta rakenteesta (katso kuva 3.7(b)). Lisäksi näistä kuvista nähdään, miten sivukeiojen huomioon ottaminen kasvattaa ikkunafunktion tehoa - sivukeiat nostavat ikkunafunktion arvot ähemmäksi ykköstä, kun = 0. Kuva 5.1: 70 GHz:n pääkeiasta asketut matriisi-ikkunafunktion diagonaaieementit ensimmäisessä paneeissa ja ei-diagonaaieementit komessa muussa paneeissa. Kuvissa X,Y = TT,EE,BB,TE,TB,EB ja W X,Y tarkoittavat vuotoa komponentista Y komponentie X. Koska diagonaaieementit ovat keskenään ikimain yhtäsuuret, on ensimmäisessä paneeissa askettu myös erokäyrät TT-komponenttiin nähden. Nämä erokäyrät kukevat äheä noainjaa, ja niiden asteikko näkyy ensimmäisen paneein oikeassa reunassa. Ei-diagonaaieementit on jaotetu komeen kategoriaan: Ne vuotokomponentit, jotka ovat suurimmiaan mutipoiskaaan keskivaiheia ovat esitetty oikeaa yärivissä, ne komponentit, jotka ovat mutipoiskaaassa suurimmiaan mataia mutipoeia ovat esitetty vasemmaa aarivissä. Komponentit, jotka ovat pienimmiään koko mutipoiskaaaa ovat esitetty oikeaa aarivissä. Koska useimmat käyrät kukevat pääekkäin, on käyrien sekeyttämiseksi kuvatekstien komponentit esitetty simämääräisesti suuruusjärjestyksessä suurimmasta pienimpään.

62 58 LUKU 5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION SIMULAATIOT Kuva 5.2: 70 GHz:n matriisi-ikkunafunktioiden diagonaaieementit esitettynä ensimmäisee 50:e mutipoie. Yimpänä matriisi-ikkunafunktion diagonaaieementit esitettynä pääkeiae, keskeä diagonaaieementit esitettynä pääkeian ja äheisen sivukeian yhdistemäe ja aimpana diagonaaieementit esitettynä koko keiae.

63 5.3. LÄHEISTEN SIVUKEILOJEN VAIKUTUS Läheisten sivukeiojen vaikutus Kun pääkeian isäksi simuaatioihin huomioidaan äheiset sivukeiat, eivät tuokset merkittävästi poikkea pekästä pääkeiasta tehtyjen simuaatioiden tuoksista. Tämä onkin oetettavaa, siä äheiset sivukeiat ovat ähes pääkeian suuntaisia (määritemänsä mukaan korkeintaan 5 päässä pääkeian keskipisteestä), toisin kuin etäiset sivukeiat, jotka poikkeavat pääkeiasta ähes 90. Liitteen kuvissa A.7, A.8 ja A.9 on esitetty 30, 44 ja 70 GHz:n diagonaaieementeie pääkeiojen ja äheisten sivukeiojen yhdistemän suhteet pääkeioihin ja ei-diagonaaieementeie pääkeiojen ja äheisten sivukeiojen yhdistemän erotukset pääkeioihin. Ei-diagonaaieementeie erotus on järkevämpi mitta, koska jotkin komponentit vaihtavat etumerkkiään tietyiä mutipoeia, jooin keiojen väinen suhde näiden mutipoien ähiympäristössä oisi out epätarkka. Diagonaaieementeie äheisten sivukeiojen suhteeiset vaikutukset ovat mataia mutipoeia karkeasti uokkaa , ja , 44 ja 70 GHz:a. Erotukset ei-diagonaaieementteihin ovat mataia mutipoeia karkeasti uokkaa , ja , 44, ja 70 GHz:a. 5.4 Etäisten sivukeiojen vaikutus Etäisten sivukeiojen vaikutus matriisi-ikkunafunktion eementteihin dominoi kaikia taajuuksia mutipoiskaaan akupäässä 20. Näiden vaikutus on diagonaaieementeie uokkaa , ja , 44 ja 70 GHz:a. Erot koko keian ja pääkeian ei-diagonaaieementtien väiä ovat mataia mutipoeia karkeasti uokkaa , ja , 44, ja 70 GHz:a. Liitteen kuvissa A.10, A.11 ja A.12 on esitetty mutipoie = 180 asti 30, 44 ja 70 GHz:n diagonaaieementeie koko keian suhteet pääkeioihin ja ei-diagonaaieementeie koko keian erot pääkeioihin. 5.5 Matriisi-ikkunafunktion eementtien käyttäytyminen Sen ymmärtämiseksi, mitkä keiojen ominaisuudet vaikuttavat mitenkin matriisi-ikkunafunktioihin erityisesti niiden ei-diagonaaieementteihin, jotka kuvaavat ämpötia- ja poarisaatiosignaain vuotoa toisiinsa tutkitaan seuraavaksi, miten keioja kuvaavat parametrit, puoiarvoeveys (FWHM) ja eiptisyys, vaikuttavat matriisi-ikkunafunktion eementteihin, kun pottotasossa oevien radiometrien ψ e kumat pysyvät kiinnitettyinä. Tässä tutkiemassa on esitetty matriisiikkunafunktion eementtien käyttäytyminen 44 GHz:n pääkeiae, mutta matriisieementtien käytös on vastaava myös toisia taajuuksia, tai mikäi sivukeiat huomioitaisiin. Nämä taustasäteiyn simuaatiot on ajettu muuten samoia parametreia kuin uvussa 5.1, mutta askentaresurssien säästämiseksi vain yksittäiseä reaisaatioa (jooin Monte Caro kohina on suurempi) ja todenmukaisten keiojen sijaan on käytetty eriaisia gaussisia keioja. Oetetusti T P vuodot aiheutuvat saman torven M ja S radiometrien eriaisisista keiojen muodoista ei eriaisista FWHM:istä ja eiptisyyksistä. Niinpä tätä tutkimusta varten on ajettu kahdeksan eriaista yksittäisen reaisaation signaaisimuaatiotapausta eriaisia simuaatioon syötettyjen pääkeiojen parametrikombinaatioia:

64 60 LUKU 5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION SIMULAATIOT Simuaatio I) Niin sanottu eementtien noaus, ei tähän on vaittu kaikkien radiometrien gaussisten pääkeiojen FWHM:t identtisiksi (FWHM = 30 ) ja pääkeiojen muodot pyöreiksi (eiptisyys=1.0). Tämä on ideaaitapaus, jossa sateiitin skannaustrategia yhdessä keian epäsymmetrisen muodon kanssa ei muodostakaan efektiivisten keiojen poarisaatioartefakteja. Täöin signaaivuoto on marginaaisen pieni, ja pekkä skaaari-ikkunafunktio on täaisessa ideaaitapauksessa riittävä formaismi jatkoanayysiä varten. Todeisuudessa keiat eivät oe pyöreitä, eivät täysin gaussisia, eivätkä keskenään identtisiä. Simuaatio II) Tässä FWHM:t ovat vaittu kaikkien radiometrien gaussisia pääkeioia identtisiksi (FWHM = 30 ) ja pääkeiojen muodot epäsymmetrisiksi (eiptisyys = 1.2). Tämä tapaus demonstroi, miainen vaikutus eiptisyyden kasvattamisea on matriisi-ikkunafunktion eementteihin. Simuaatio III) Gaussisten pääkeiojen muodot ovat symmetrisiä (eiptisyys = 1.0), mutta saman torven M ja S radiometreie on vaittu M radiometrin mukaiset pääkeiojen FWHM:t, jotka ovat otettu tauukosta 3.1 (LFI24:e FWHM = 23.18, LFI25:e FWHM = ja LFI26:e FWHM = ). Tämä tapaus kertoo miten FWHM:ien erot eri torvien väiä vaikuttaa matriisi-ikkunafunktion eementteihin. Simuaatio IV) Muuten kuin tapaus III, mutta eiptisyydet ovat asetettu sekä M että S radiometreia M radiometrien mukaisesti ja näiden arvot on otettu tauukosta 3.1 (LFI24:ä eiptisyys=1.388, LFI25:ä eiptisyys=1.191 ja LFI26:a eiptisyys=1.191). Tämä demonstroi, miten eri torvien eriaiset eiptisyydet sekä FWHM:t vaikuttavat yhdessä matriisiikkunafunktion eementteihin. Simuaatio V) Tähän on vaittu gaussisten pääkeiojen FWHM:t identtisiksi (FWHM = 30 ), mutta M radiometrien pääkeioie on vaittu eiptisyydet hieman suuremmiksi (1.25) kuin S radiometrien pääkeioie (1.20). Tämä tapaus kertoo, miten saman torven M radiometrin suurempi eiptisyys vaikuttaa matriisi-ikkunafunktion eementteihin. Simuaatio VI) Tähän on vaittu gaussisten pääkeiojen FWHM:t identtisiksi (FWHM = 30 ), mutta S radiometrien pääkeioie on vaittu eiptisyydet hieman suuremmiksi (1.25) kuin M radiometrien pääkeioie (1.20). Tämä tapaus demonstroi, miten saman torven S radiometrin suurempi eiptisyys vaikuttaa matriisi-ikkunafunktion eementteihin. Simuaatio VII) Tähän simuaatioon on otettu tauukon 3.1 mukaiset gaussisten pääkeiojen FWHM:t ja eiptisyydet. Tämä simuaatio demonstroi monimutkaisinta tapausta gaussisia pääkeioia, missä jokaisea radiometrin keiaa on toisistaan poikkeavat FWHM:t ja eiptisyydet. Simuaatio VIII) Tässä simuaatiotapauksessa on gaussisten pääkeiojen sijaan käytetty todenmukaisia pääkeioja, jotka efektiivisesti vastaavat tapauksessa VII kuvattuja gaussisia keioja parametreineen. Tämä tapaus demonstroi miainen vaikutus todenmukaisia pääkeioia on matriisi-ikkunafunktioiden eementteihin.

65 5.5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION ELEMENTTIEN KÄYTTÄYTYMINEN 61 Case/radiometer LFI24M LFI24S LFI25M LFI25S LFI26M LFI26S FWHM [ ] Eipticity FWHM [ ] Eipticity FWHM [ ] Eipticity FWHM [ ] Eipticity FWHM [ ] Eipticity FWHM [ ] Eipticity I II III IV V VI VII Tauukko 5.2: Syötettyjen gaussisten pääkeiojen puoiarvoeveydet ja eiptisyydet 44 GHz:n seitsemässä eriaisessa simuaatiotapauksessa. Simuaation VII parametrit vastaavat efektiivisesti simuaation VIII parametreja.

66 62 LUKU 5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION SIMULAATIOT Näiden seitsemän ensimmäisen simuaatiotapauksen syötettyjen gaussisten pääkeiojen FWHM:t ja eiptisyydet ovat esitetty tauukossa 5.2. Koska simuaatiotapauksen VIII parametrit vastaavat efektiivisesti tapauksen VII parametreja, ei tapausta VIII oe erikseen tauukossa. Kuvan 5.3 yin paneei vasemmaa esittää simuaation I, yin paneei oikeaa simuaation II, ain paneei vasemmaa simuaation III ja ain paneei oikeaa simuaation IV diagonaaieementtejä. Vastaavasti kuvassa 5.4 näkyvät samassa järjestyksessä uetetuna simuaatioiden IV-VIII diagonaaieementit. Lisäksi simuaatioiden I-VIII ei-diagonaaieementit on kategorioitu komeen kuvakoaasiin 5.5, 5.6, 5.7 seuraavasti: kuvassa 5.5 esiintyvät seaiset ei-diagonaaieementit, jotka ovat suurimmiaan mutipoiskaaan keskivaiheia, kuvassa 5.6 näkyvät seaiset eementit, jotka ovat suurimmiaan mutipoiskaaan akuosassa ja kuvassa 5.7 esiintyvät ne ei-diagonaaieementit, jotka ovat pienimmiään mutipoiskaaassa. Simuaatiotapaukset I-VIII on järjestetty näissä kaikissa komessa kuvakoaasissa vasemmata yhäätä oikeae aas. Kuvan 5.3 kahdesta ensimmäisestä paneeista yhäätä uettuna voidaan todeta eiptisyyden kasvattamisen 1.0:sta (täysin pyöreästä keiasta) 1.2:een isäävän kohinaisuutta diagonaaieementtien eroihin TT:n eementistä. Myöskään kohinan taso ei juurikaan muutu, vaikka saman torven M ja S radiometrien keioia oisikin hieman toisistaan poikkeavat eiptisyydet (yhdeä 1.2 ja toisea 1.25), mikä nähdään, kun verrataan kuvan 5.4 kahta yintä paneeia keskenään. Näiden kahden eri simuaation V ja VI diagonaaieementtien suhteeiset erot, kun 600, ovat 0.02% suuruusuokkaa ja pienenevät tästä mentäessä kohti mataampia mutipoeja. Tämän vuoksi kuvan 5.4 ensimmäinen ja toinen paneei näyttävät ähes identtisitä. FWHM:ien muuttaminen eri torvien väiä toisistaan poikkeavaksi aiheuttaa diagonaaieementtien ja TT:n erotuksie aaspäin askevat käyrät, mitkä näkyvät kuvien 5.3 ja 5.4 komansissa paneeeissa. Mikäi saman torven eri radiometrien keiojen väisten FWHM:ien poikkeamien isäksi asetetaan eiptisyydet toisistaan poikkeaviksi eri torvien väiä, isääntyy kohinan taso, mikä nähdään kun verrataan keskenään kuvan 5.3 komatta ja nejättä paneeia. Tässä nejännessä paneeissa FWHM:t ja eiptisyydet ovat eriaiset vain eri torvien väiä, mutta identtiset saman torven eri radiometrien väiä. Muutos on marginaainen, mikäi vieä FWHM:t ja eiptisyydet asetetaan kaikie radiometreie hieman toisistaan poikkeaviksi, tauukon 3.1 FWHM:ien ja eiptisyyksien mukaisesti, mikä nähdään, kun verrataan keskenään kuvan 5.3 nejättä paneeia (symmetrisen gaussisen keian ikkunafunktioita) kuvan 5.4 komanteen paneeiin. Näiden kahden eri tapauksen diagonaaieementtien suhteeinen ero, kun 600, on 3% suuruusuokkaa ja ero pienenee mentäessä tätä pienemmie mutipoin arvoie. Kaikkein todenmukaisin tapaus diagonaaieementtien eroista saadaan kuitenkin, kun käytetään Jupiterin yikukujen avua askettuja GRASP-keioja. Skannausstrategia yhdessä todenmukaisen GRASP-keiae ominaisen asymmetrian kanssa saa aikaan suuria efektiivisen keian muodon muutoksia eri osissa taivasta, ja täöin symmetrisempi gaussinen keia ei anna yhtä tarkkaa kuvaa opuisesta matriisi-ikkunafunktiosta. Tarkempi keian muoto askee diagonaaieementtien erotuskäyriä mataimmia mutipoeia noasta ja jakaa käyrät kahteen osaan: niihin, jotka riippuvat ämpötiasta (TT, TE ja TB) ja täöin poikkeavat mataia mutipoeia vähemmän TT:n käyrästä, ja niihin, jotka riippuvat E- ja B-moodin poarisaatiosta ja näiden ristikorreaatioista (EE,BB,EB) ja täöin poikkeavat enemmän TT:n käyrästä. Käyrien jakautuminen ei johdu

67 5.5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION ELEMENTTIEN KÄYTTÄYTYMINEN 63 vajaasta pääkeian tehosta, siä vastaava jakautuminen on havaittu myös koko keioie. Tutkitaan seuraavaksi ei-diagonaaieementtien käytöstä. Kuvan 5.5 ensimmäisestä ja toisesta paneeista yhäää voidaan todeta, että eiptisyyden kasvattaminen 1.0:sta 1.2:een askee hieman niiden ei-diagonaaieementtien käyriä, jotka ovat tavaisesti pienimmiään mutipoiskaaan keskivaiheia. Saman kuvan komannesta paneeista käy imi, että mikäi torvien radiometrien keioia on edeeen keskenään samat FWHM:t, mutta torvien väiä nämä poikkeavat toisistaan, on ero uokkaa verrattuna tapaukseen, jossa FWHM:t ovat kaikia radiometreia identtiset (ensimmäinen paneei). Jos torvien väiset FWHM:t sekä eiptisyydet ovat toisistaan poikkeavat, mutta identtiset saman torven M ja S radiometrien väiä, kääntyvät muutamat ei-diagonaaieementtien käyrät hieman positiivisiksi, mikä nähdään kun verrataan komatta ja nejättä paneeia keskenään. Kaikkein voimakkain muutos käyrien muotoon kuitenkin tapahtuu, mikäi eiptisyydet asetetaan saman torven eri radiometrien väiä poikkeamaan hieman toisistaan. Mikäi saman torven M radiometrin keian eiptisyys on hieman suurempi kuin S radiometrin, ovat osa ei-diagonaaieementtien käyristä sekeästi negatiivisia, mikä näkyy viidennessä paneeissa. Käytös on päinvastainen, mikäi saman torven S radiometrin keia on eiptisyydetään suurempi kuin M radiometrin keia, mikä puoestaan näkyy paneeissa kuusi. M ja S radiometrien väiset eiptisyyden poikkeamat toisistaan synnyttävät siis pääasiassa näiden ei-diagonaaieementtien käyrien muodot ja paneeissa seitsemän näkyy gaussisten keiojen ei-diagonaaieementtejä, joista osa on sekeästi negatiivisia. Tämä ei oe yättävää, koska gaussisten keiojen eiptisyydet ovat kaikia torvia M radiometrien suhteen suurempia S radiometreihin verrattuna, mikä näkyy tauukosta 3.1, jonka mukaan gaussiset keiat on rakennettu. Täydeisyyden vuoksi on myös esitetty todenmukainen GRASP-keia paneeissa kahdeksan, josta nähdään, että todenmukaisea pääkeiaa vuotokäyrät TE:stä TT:hen, TE:stä EE:hen, EB:stä TB:hen, EE:stä TE:hen, TB:stä EB:hen ja TT:stä TE:hen ovat sekeästi negatiivisia 44 GHz:a. Gaussisiin keioihin verrattuna todenmukaiset keiat ovat näiden ei-diagonaaieementtien suhteen voimakkaampia ja hieman kohinaisempia. Eri taajuuksien eriaiset ei-diagonaaieementtien käyrien muodot niiden ei-diagonaaieementtien osata, jotka ovat suurimmiaan mutipoiskaaaan keskivaiheia johtuvat siis pohjimmitaan saman torven M ja S radiometrien keiojen eiptisyyksien eroista. Kuten tauukosta 3.1 havaitaan, on 30 ja 70 GHz:a S radiometrien keiojen eiptisyydet suurempia kuin M radiometrien, joten täöin voimakkaimmat 30 ja 70 GHz:n eidiagonaaieementtien käyrät ovat positiivisia, mikä näkyy 30 GHz:n osata iitteen kuvan A.13(a) ja 70 GHz:n osata kuvan 5.8(a) toisesta paneeista. Niihin ei-diagonaaieementteihin, jotka ovat suurimmiaan mutipoiskaaan akuarvoia, eivät eiptisyyden kasvattamiset tai M ja S radiometrien eri keiojen FWHM:ien tai eiptisyyksien erot juuri tuo muutoksia, eeivät erot oe jokaisen radiometrin väiä toisistaan poikkeavat. Nämä marginaaiset erot esiintyvät kuvan 5.6 paneeeissa 2 6, ja ne poikkeavat vain suuremmaa kohinaa seaisesta simuaatiosta, jossa jokaisen radiometrin keiaa on identtinen FWHM ja eiptisyys. Kuvan 5.6 toisen paneein ja komannen paneein käyrien väiset erot ovat suurimmiaan noin , samoin toisen ja nejännen paneein käyrien väiset erot. Toisen ja viidennen paneein käyrien väiset erot ovat noin , samoin toisen ja kuudennen paneein käyrien

68 64 LUKU 5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION SIMULAATIOT väiset erot. Vasta kun jokaisen radiometrin keiaa on toisistaan hieman poikkeava eiptisyys ja FWHM, jakaantuvat osa ei-diagonaaieementtien käyristä positiivisiksi ja osa negatiivisiksi, mikä näkyy kuvan 5.6 seitsemännessä paneeissa. Vertaamaa keskenään gaussisten keiojen ja GRASPkeiojen ei-diagonaaieementtejä (paneeeita seitsemän ja kahdeksan) nähdään, että todenmukaiset keiat eivät näiden ei-diagonaaieementtien osata poikkea, suurempaa kohinaa ukuun ottamatta, muodotaan gaussisten keiojen ei-diagonaaieementeistä. Kuvan 5.7 ensimmäisestä ja toisesta paneeista voidaan todeta, että eiptisyyden kasvattaminen 1.0:sta 1.2:een ei vaikuta, EE:stä BB:hen tai BB:stä EE:hen eementtejä ukuunottamatta, merkittävästi niihin ei-diagonaaieementteihin, jotka ovat pienimmiään mutipoiskaaassa. FWHM:n asettaminen eri torvien väiä toisistaan poikkeavaksi kasvattaa EE:stä BB:hen ja BB:stä EE:hen käyrien ampitudeja (komas paneei), mutta ei tuo muihin ei-diagonaaieementteihin merkittävää muutosta. Eiptisyyden vaihtaminen eriaiseksi eri torvien väiä (nejäs paneei) ei aiheuta muuta kuin käyrien EE:stä BB:hen ja BB:stä EE:hen ampitudien kasvua entisestään. M tai S radiometrien keiojen toisistaan poikkeavat eiptisyydet saavat TT:stä EE:hen eementit kasvamaan hieman positiviisen puoee ja vastaavasti TT:stä BB:hen eementin askemaan negatiivisen puoee, mikä nähdään viidennessä ja kuudennessa paneeissa. Koska näissä kahdessa paneeissa FWHM:t ovat samat kaikia radiometreia, ei ei-diagonaaieementtien BB:stä EE:hen ja EE:stä BB:hen ampitudit oe yhtä voimakkaat kuin paneeeissa kome ja nejä. Vasta, kun kaikki radiometrit ovat toisistaan poikkeavia sekä FWHM:ien että eiptisyyksien suhteen (paneei seitsemän), saadaan ei-diagonaaieementit ähestymään todenmukaisia keioja (paneei kahdeksan). Todenmukaisten GRASP-keiojen matriisi-ikkunafunktion BB:stä EE:hen ja EE:stä BB:hen eementtien suuruus ja muoto ovat näiden simuaatioiden vaossa seitettävissä eiptisyyden ja erityisesti FWHM:ien poikkeavuudea toisistaan eri torvien väiä. Muiden ei-diagonaaieementtien muoto syntyy saman torven eri radiometrien eiptisyyksien ja FWHM:ien pienistä eroista. Tiivistettynä, vuodosta aiheutuvat efektit poistuvat, jos saman taajuuden kaikkien radiometrien havaintokeiat oisivat keskenään identtisiä. Etuaan säteiye signaaivuodot on ymmärretty saman torven M ja S radiometrien väisten erojen aiheuttamaksi [45], ja tätä syytä oetettiin myös tässä tutkiemassa taustasäteiyn signaaivuodoie. Kuitenkin saman torven M ja S radiometrien eriaiset keian muodot eivät yksinään riitä seittämään T P vuotoa, vaan myös torvien väiset erot aiheuttavat sitä. Suurempia vuotoimiöitä akaa esiintyä muun muassa EE:stä BB:hen ja päinvastoin, jos torvien keian FWHM:t poikkeavat hieman toisistaan, vaikka saman torven radiometrit oisivat keskenään identtiset. Tässä tutkiemassa keiojen FWHM:ien ero eri torvien väiä oi suurimmiaan noin 7. Saman torven radiometrien keiojen pienet erot eiptisyydessä kääntävät tiettyjen vuotoeementtien käyrät päinvastaisiksi riippuen kumman radiometrin eiptisyys on suurempi. Tämän tutkieman aajentamiseksi oisi vieä voinut tutkia, miten saman torven M ja S radiometrin toisistaan poikkeavat FWHM:t vaikuttavat vuotokomponentteihin, kun radiometrien eiptisyys pidetään samassa torvessa identtisenä. Ajan puutteen vuoksi tästä simuaatiotapauksesta jouduttiin kuitenkin uopumaan. Tästä huoimatta on sevää, että monimutkaisen optisen järjestemän, kuten Panckin, vuotoefektit ovat tietyä LFI:n taajuuskaistaa seurausta niin saman torven yksiöisistä M ja S radiometreista kuin myös torvien keskinäisistä eroista ja keiojen eriainen eiptisyys tai FWHM ei yksinään riitä seittämään vuotoimiöitä.

69 5.5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION ELEMENTTIEN KÄYTTÄYTYMINEN 65 Kuva 5.3: Nejä eriaista yksittäisen reaisaation eusimuaatiota matriisi-ikkunafunktion diagonaaieementtien käyttäytymisestä gaussisen pääkeian eriaisia FWHM:iä ja eiptisyyksiä 44 GHz:a. Ensimmäinen paneei: Kaikkien radiometrien gaussiset pääkeiat pyöreitä identtisiä puoiarvoeveyksiä (FWHM = 30 ). Toinen paneei: radiometrien pääkeioia eiptisyys 1.2 ja identtiset puoiarvoeveydet (FWHM = 30 ). Komas paneei: kaikkien radiometrien gaussisia pääkeioia eiptisyys 1.0 ja torvien väiä toisistaan poikkeavat gaussisten pääkeiojen puoiarvoeveydet (LFI24:ä FWHM = 23.18, LFI25:ä FWHM = 30.02, LFI26:a FWHM = ), mutta saman torven M ja S radiometreia moemmia M radiometrin mukainen gaussisen pääkeian puoiarvoeveys. Nejäs paneei: saman torven M ja S radiometreia moemmia M radiometrin mukainen gaussisen pääkeian eiptisyys (LFI24:ä eiptisyys = 1.388, LFI25:ä eiptisyys = ja LFI26:a eiptisyys = 1.191) ja FWHM:t kuten komannessa paneeissa. Kuvien väisten vertaiujen hepottamiseksi kaikissa paneeeissa on käytetty samaa asteikkoa.

70 66 LUKU 5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION SIMULAATIOT Kuva 5.4: Toiset nejä eriaista yksittäisen reaisaation eusimuaatiota matriisi-ikkunafunktion diagonaaieementtien käyttäytymisestä pääkeian eriaisia puoiarvoeveyksiä ja eiptisyyksiä 44 GHz:a. Ensimmäinen paneei: kaikkien radiometrien gaussisia pääkeioia identtiset FWHM:t (FWHM = 30 ) ja M radiometreia gaussisten pääkeiojen eiptisyys = 1.25 ja S radiometreia eiptisyys = 1.2. Toinen paneei: identtiset FWHM:t, M radiometreia gaussisten pääkeiojen eiptisyys = 1.2 ja S radiometreia eiptisyys = Komas paneei: tuoreimmasta pottotasotietokannasta (eng. focapane database) uettu gaussisten pääkeiojen FWHM:t ja eiptisyydet, joia toteutettu CMB Monte Caro simuaatio, josta on saatu matriisi-ikkunafunktion diagonaaieementit. Nejäs paneei: tuoreimmista GRASP pääkeioista tehty yksittäisen reaisaation CMB Monte Caro simuaatio, josta saatu matriisi-ikkunafunktion diagonaaieementit.

71 5.5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION ELEMENTTIEN KÄYTTÄYTYMINEN 67 Kuva 5.5: Niiden ei-diagonaaieementtien käytös eriaisia pääkeian FWHM:iä ja eiptisyyksiä, mitkä ovat suurimmiaan tai pienimmiään mutipoiskaaan keskivaiheia. Nejän yimmän paneein sisätö on seitetty kuvassa 5.3 ja nejän aimman kuvassa 5.4.

72 68 LUKU 5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION SIMULAATIOT Kuva 5.6: Niiden ei-diagonaaieementtien käytös eriaisia pääkeian FWHM:iä ja eiptisyyksiä, mitkä ovat suurimmiaan mutipoiskaaan akuosassa. Kuvien sisätö on seitetty kuvissa 5.3 ja 5.4.

73 5.5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION ELEMENTTIEN KÄYTTÄYTYMINEN 69 Kuva 5.7: Niiden ei-diagonaaieementtien käytös eriaisia pääkeian FWHM:iä ja eiptisyyksiä, mitkä ovat mutipoiskaaassa pienimmiään. Kuvien sisätö on seitetty kuvissa 5.3 ja 5.4.

74 70 LUKU 5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION SIMULAATIOT 5.6 Matriisi-ikkunafunktioiden vaidointi Rekonstruoitu taivaan kumatehospektri C (reco) voidaan rakentaa kääntämää yhtäö (3.18), ei sovetamaa matriisi-ikkunafunktion käänteismatriisia W 1 havaittuun kumatehospektriin Ĉ. Kaavana tämä voidaan kirjoittaa C (reco) = W 1 Ĉ, missä C (reco) ja Ĉ ovat moemmat 6 1 vektoreita ja W on 6 6 matriisi. Tätä rekonstruoitua kumatehospektriä voidaan verrata simuaatioon syötettyyn taivaan kumatehospektriin, jotta nähdään, miten hyvin rekonstruktio vastaa taivaan kumatehospektriä. Koska on kiinnostavaa nähdä, miten hyvin vakio D -spektriä tehty matriisi-ikkunafunktio toimii todenmukaisen taivaan kumatehospektrin C rekonstruktioon, vaidointia varten on tehty yksi seainen CMB Monte Caro reaisaatio, joka sisätää identtisen skannausstrategian ja samanaiset keiat kuin matriisi-ikkunafunktiosimuaatiossa, mutta johon on vakio D -spektrin sijaan syötetty todeista taivaan kumatehospektriä vastaava kumatehospektri. Tämä vaidointi on toteutettu jokaisee Panckin mataan taajuuden instrumentie erikseen ja vaidoinnin tuokset näkyvät 70 GHz:e kuvassa 5.8(a) (iitteen kuva A.15(a)). Vastaavat vaidoinnin tuokset 30 ja 44 GHz:e öytyvät iitteen kuvista A.13(a) ja A.14(a). Rekonstruktio on onnistunut, kun rekonstruoidun taivaan kumatehospektrit (vihreät käyrät) kukevat taivaan kumatehospektrien (sinisten käyrien) päää. Taivaan kumatehospektreissä näkyvä kohina on kosmista varianssia, josta kerrottiin uvussa Rekonstruoidun taivaan kohinaa dominoi Monte Caro varianssi σ 2 MC, joka pienenee verrannoisena Monte Caro reaisaatioiden määrän n neiöjuureen ei σ 2 MC 1 n. On syytä huomata, että 30 ja 44 GHz:n BB:iden kumatehospektreiä on varsin suuret suhteeiset virheet korkeia ( 600) mutipoeia. Tämä on oetettavaa, siä todenmukaiseen CMB Monte Caro simuaatioon syötetty BB:n kumatehospektri on erittäin pieni 1 suhteessa muihin kumatehospektreihin (suurimmiaan simuaatioon syötetty D BB 40µK 2 ja D T E 0.1µK 2, mutta D T T 6000µK 2, D EE 140µK 2 ), jooin suurten efektien vaikutusten korjaaminen pienestä signaaista aiheuttaa suhteeisen virheen kasvua. Tämä efekti on suurimmiaan 44 GHz:n rekonstruoidussa D BB :ssä, siä tää taajuudea saman torven kahden radiometrin (M ja S) keiojen väiset poikkeamat keioja karakterisoivien parametrien osata ovat suurempia kuin muia taajuuksia, mikä aiheuttaa yimääräistä signaaivuotoa. Kuvassa 5.8(b) (iitteen kuvassa A.15(b)) on esitetty kuudessa paneeissa 70 GHz:n rekonstruoidun ja taivaan D :ien vertaiukäyrät mutipoie = 50 asti. Vastaavat rekonstruktiokuvaajat 30 ja 44 GHz:e öytyvät iitteen kuvista A.13(b) ja A.14(b). Kuuden paneein ensimmäiseä riviä ovat D :ien autokorreaatiot, järjestyksessä TT, EE ja BB, ja toisea riviä ristikorreaatiot, järjestyksessä TE, TB ja EB. Koska taivaan C T T on ainoa, joka on positiivinen kaikia mutipoin arvoia, on TT-käyrien vertaiut askettu rekonstruktion ja taivaan D :ien suhteena ja muie komponenteie näiden erotuksena. Erityisesti 44 ja 70 GHz:n TT-käyrät poikkeavat eniten noatasosta. Näiden poikkeamien suuruusuokka on kuitenkin suurimmiaan (absouuttisena erona 1 Simuaatiossa käytetty taivaan kumatehospektri on peräisin havaintoihin pohjautuvasta teoreettisesta maista, jossa ei oe mukana primordiaaisia tensorihäiriöitä, jotka synnyttävät merkittävää B-moodin poarisaatiota. Vain heikko E-moodista gravitaatioinssi-imiön kautta syntynyt B-moodi oi mukana.

75 5.6. MATRIISI-IKKUNAFUNKTIOIDEN VALIDOINTI 71 3µK 2 ), ja TT kumatehospektrin residuaait ovat näiä mutipoeia suuruusuokkaa 60µK 2 (kuva 2.4), joten erot eivät oe merkittäviä. Erot saattavat johtua matriisi-ikkunafunktiomain oetuksesta, jonka mukaan kahden eri a m -kertoimen :t eivät sekoitu keskenään. Näiden pienien erojen tarkempi anayysi on kuitenkin tämän tutkieman ukopuoea. Muiden korreaatioiden erot rekonstruoidun ja taivaan kumatehospektrin väiä ovat mataia mutipoeia suurimmiaan 30 GHz:e 0.7µK 2 (TE:ssä, kun = 2), 44 GHz:e 0.08µK 2 ja 70 GHz:e 0.07µK 2. Nämä erot ovat kuitenkin pieniä verrattuna TE ja EE mataien mutipoien kumatehospektrien residuaaeihin (kuviin 2.6(a) ja 2.6(b)). Hyvä esimerkki main toimivuudesta näkyy 70 GHz:n TB:ssä (kuvan 5.8(a) keskimmäinen paneei ahaata). Tässä keioista aiheutuvat efektit ovat varsin voimakkaasti muokanneet taivaan kumatehospektriä ei havaittua kumatehospektriä (punainen käyrä), jonka tuisi kukea keskimäärin noassa (sininen käyrä). Sovetamaa havaittuun kumatehospektriin käänteistä matriisiikkunafunktiota, saadaan todeinen taivaan kumatehospektrin muoto paautettua (vihreä käyrä). Vaidointitestien perusteea rekonstruoitu taivaan kumatehospektri C (reco) saadaan muodostettua tarkasti jokaisee komponentie, joten näitä matriisi-ikkunafunktioita voidaan sovetaa todeisen taivaan signaain rekonstruktioon. Tätä toimivaa matriisi-ikkunafunktiomaia on jo suositetu käytettäväksi osana viraista Panckin data-anayysiketjua. Se tarjoaa uudenaisen ja tarkan menetemän Panckin ikkunafunktioissa havaittujen signaaivuotojen erotteuun tarkentaen näin taivaan kumatehospektrien rekonstruktiota ja pohjimmitaan nykykosmoogiae merkittävien kosmoogisten parametrien tarkkuutta.

76 72 LUKU 5. MATRIISI-IKKUNAFUNKTION SIMULAATIOT (a) 70 GHz:n taivaan kumatehospektrien rekonstruktiot. (b) 70 GHz:n rekonstruoitujen kumatehospektrien ja simuoidun taivaan kumatehospektrien vertaiukäyrät mutipoie = 50 asti. Kuva 5.8: Kuuden paneein kuvakoaasissa (a) vihreiä käyriä esitetty 70 GHz:n käänteisen matriisi-ikkunafunktion W 1 avua tehtyjen simuoidun taivaan kumatehospektrien autokorreaatioiden (TT,EE,BB; yempi rivi) ja ristikorreaatioiden (TE,TB,EB; aempi rivi) rekonstruktiot. Punaiset käyrät kuvaavat havaittuja kumatehospektrejä, joissa keiojen ja sateiitin skannausstrategian väinen vaikutus on mukana ja siniset käyrät esittävät simuaatioon syötettyjä taivaan kumatehospektrejä. Rekonstruktio on onnistunut, kun vihreä käyrä kukee mahdoisimman hyvin sinisen käyrän päää. Kuvakoaasin (b) ensimmäisessä paneeissa vihreää käyrää esitetty TT:n havaitun kumatehospektrin ja simuoidun taivaan kumatehospektrin väinen suhde (kuvakoaasin (a) ensimmäisen paneein vihreän ja sinisen käyrän suhde) ja viidessä muussa paneeissa on esitetty havaittujen kumatehospektrien ja simuoidun taivaan kumatehospektrien erotukset (kuvakoaasin (a) viiden muun paneein vihreiden ja sinisten käyrien erotukset).

77 Luku 6 Yhteenveto Tämän tutkieman tutkimuskenttänä on kosmisen mikroaatotaustasäteiyn havaitseminen ja taustasäteiyn data-anayysi, erityisesti Panck-sateiitin mataan taajuuden instrumenttien eriaisista havaintokeioista aiheutuvien signaaivuotojen vähentäminen ikkunafunktioista. Nämä ikkunafunktiot, joiden on tarkoitus kuvata puhtaasti sateiitin instrumenteista ja skannausstrategiasta aiheutuvia efektejä, ovat kriittisessä rooissa Panckin kumatehospektrin arvioimisessa, siä keioista aiheutuvat efektit ovat kumatehospektrin suuri systemaattisen virheen ähde. Nämä efektit tasoittavat taivaan pieniä epäisotropioita vaimentaen kumatehospektrin korkeita mutipoeja ja täten pyyhkivät pois tärkeää kosmoogista informaatiota. Tämä tutkiema on rakentunut karkeasti ottaen komeen osaan. Ensimmäisessä osassa on esitety nykykosmoogian teoreettista taustaa (uku 2), jotta ukijae muodostuu käsitys teorian ja havaintojen väisestä yhteydestä. Tämä uku ei oetetusti kata hyvin aajaa aihepiiriä, vaan tarkoituksena on motivoida taustasäteiyanayysin tutkimista. Tämän tutkieman toinen osa (uvut 3 ja 4) keskittyy taustasäteiydatan anaysointiin. Tässä osassa määriteään tämän tutkieman kannata tärkeät keiat ja niihin äheisesti iittyvät skaaarija matriisi-ikkunafunktiot. Taustasäteiyanayysin keskiössä on myös kartanteko varsinaisesta tai simuoidusta aikajärjestetystä datasta. Nämä taivaankartat sisätävät taustasäteiyä kartoittavan sateiitin keioia konvooidun taivaan signaain, josta voidaan mutipoiekspansioa kehittää ämpötiae ja poarisaatioe erikseen havaitut kumatehospektrit. Koska havaitut kumatehospektrit ovat verrannoisia keiojen ikkunafunktion ja taivaan kumatehospektrin tuoon, saadaan taivaan signaai rekonstruoitua sovetamaa käänteistä ikkunafunktiota havaittuun kumatehospektriin. Vaikka keian muoto tunnetaan, ei sateiitin skannausstrategiasta aiheutuvien efektien vuoksi keiojen ikkunafunktioita tunneta etukäteen, vaan ne voidaan arvioida tekemää suuri joukko taivaan reaisaatioita CMB Monte Caro simuaatioa. Ideaaisesti ikkunafunktion tuisi puhtaasti kuvata sateiitin instrumenteista ja skannausstrategiasta aiheutuvia efektejä havaittuun kumatehospektriin. Kuitenkin on huomattu, että usein käytetyt skaaari-ikkunafunktiot eivät anna tarkkaa kuvaa ikkunafunktioista, vaan sateiitin skannausstrategian ja instrumenteista aiheutuvien efektien isäksi nämä riippuvat CMB Monte Caro simuaatioon syötetyistä kumatehospektreistä ja täten aiheuttavat ikkunafunktioihin signaaivuotoa ämpötian ja poarisaation väie. Tämän vuoksi tarvitaan uudenainen mai skaaari-ikkunafunktioiden tiae, mikä ei keskimäärin riipu simuaatioon syötetystä taivaan kumatehospektristä. Tämä mai tunnetaan nimeä 73

78 74 LUKU 6. YHTEENVETO matriisi-ikkunafunktio ja sen menetemä ja menetemän avua asketut matriisi-ikkunafunktiot on jukaistu viitteessä [37]. Komas osa (uku 5) painottuu matriisi-ikkunafunktion simuoimiseen ja tämän tutkieman päätuoksiin. Simuaatioiden ähtökohtana on oetus, etteivät matriisi-ikkunafunktiot riipu keskimäärin simuaatioon syötetyistä taivaan kumatehospektreistä, joten mieivataisen muotoista kumatehospektrien maia voidaan käyttää matriisi-ikkunafunktion eementtien arvioimiseen, kunhan Monte Caro reaisaatioita on tarpeeksi. Kuitenkin taivaan ämpötian ja poarisaation kumatehospektrien maiksi on järkevintä vaita vakioarvoinen kumatehospektri, jotta vätytään epätarkoita matriisi-ikkunafunktion arvioimisita kohdissa, joissa jonkin kumatehospektrin arvo on poikkeukseisen pieni. Tämän tutkieman matriisi-ikkunafunktiot arvioitiin 25 CMB Monte Caro reaisaatioa jokaisee pääkeiae, pääkeian ja äheisen sivukeian yhdistemäe ja koko keiae erikseen 30, 44 ja 70 GHz:a. Tämän isäksi tehtiin kahdeksan eri yksittäisen reaisaation 44 GHz:n pääkeian simuaatiota, joissa varioitiin radiometrien keiojen eiptisyyksiä ja FWHM:iä. Tää tavoin tutkittiin, miten näiden kahden parametrin muutokset vaikuttavat signaaivuotoihin ei matriisiikkunafunktion eementteihin. Etuaan säteiye signaaivuodot on ymmärretty saman torven M ja S radiometrien väisten erojen aiheuttamaksi [45]. Kuitenkin CMB Monte Caro simuaatioiden tuoksista havaittiin, että saman torven M ja S radiometrien eriaiset keian muodot eivät yksinään riitä seittämään signaaivuotoa, vaan myös erot torvien väiä aiheuttavat sitä. Lisäksi huomattiin, että saman torven radiometrien keiojen pienet erot eiptisyydessä kääntävät tiettyjen vuotoeementtien käyrät päinvastaisiksi riippuen kumman radiometrin eiptisyys on suurempi. Lopuksi, matriisi-ikkunafunktiot vaidoitiin sovetamaa käänteistä matriisi-ikkunafunktiota todeista taivasta vastaavaan yksittäiseen CMB Monte Caro reaisaatioon. Tästä saadut tuokset osoittavat, että matriisi-ikkunafunktioia voidaan rekonstruoida akuperäiset taivaan kumatehospektrit niin ämpötiae kuin poarisaatioe. Rekonstruoidun ämpötian autokorreaatioiden kumatehospektrin, CT T (reco):n, suhteeinen poikkeama taivaan kumatehospektristä on mataia mutipoeia 50 korkeintaan , ja taajuuksia 30, 44 ja 70 GHz, kun keioina käytetään pääkeioja. Muiden korreaatioiden erot rekonstruoidun ja taivaan kumatehospektrin väiä ovat mataia mutipoeia suurimmiaan 30 GHz:e 0.7µK 2 (TE:ssä, kun = 2), 44 GHz:e 0.08µK 2 ja 70 GHz:e 0.07µK 2. Näiden erot ovat kuitenkin pieniä verrattuna kosmiseen varianssiin ja residuaaikohinaan. Kumatehospektrien rekonstruktio pääkeioia toimii 30 GHz:a 800 (BB:e 600), 44 GHz:e 900 ja 70 GHz:e 1700 asti. Läheisten ja etäisten sivukeiojen huomioon ottaminen ei merkittävästi paranna tuoksia. Vaikka tässä tutkiemassa rajoituttiin tarkasteemaan Panckin mataan taajuuden instrumenttien keioja ja puhdasta taustasäteiyn signaaia, sovetuu matriisi-ikkunafunktion mai yhtä aia Panckin korkean taajuuden instrumenteie, etuaan säteiyn vuotokomponenttien erotteuun, ja toisten monimutkaisen pottotasokonfiguraation omaavien taustasäteiyä kartoittavien sateiittien, kuten WMAPin, data-anayysiin. Panckin perintö tarkkuuskosmoogiae on riippuvainen sen anayysiketjussa käytetyistä menetemistä. Tässä tutkiemassa esitetyä matriisi-ikkunafunktion maia on kaavaitu osaksi Panckin viraista data-anayysiketjua, ja sen toivotaan jo oevan mukana tuevissa vuoden 2016 Panck-jukaisuissa.

79 Kirjaisuutta [1] A. A. Penzias and R. W. Wison. A Measurement of Excess Antenna Temperature at 4080 Mc/s. ApJ, 142: , [2] G. F. Smoot, C. L. Bennett, A. Kogut, et a. Structure in the COBE differentia microwave radiometer first-year maps. ApJ, 396:L1 L5, [3] The Panck Coaboration. The Scientific Programme of Panck (Bue Book). arxiv:astroph/ , [4] Panck Coaboration I. Panck 2013 resuts: Overview of Panck Products and Scientific Resuts (p01). A&A, [5] E. Hubbe. A Reation between Distance and Radia Veocity among Extra-Gaactic Nebuae. Proceedings of the Nationa Academy of Science, 15: , [6] R. Adam et a. Panck 2015 resuts. I. Overview of products and scientific resuts. arxiv: [astro-ph.co], [7] A. Friedmann. Über die Krümmung des Raumes. Zeitschrift fur Physik, 10: , [8] G. Lemaître. L Univers en expansion. Annaes de a Société Scientifique de Bruxees, 53:51, [9] H. P. Robertson. Kinematics and Word-Structure. ApJ, 82:284, [10] H. P. Robertson. Kinematics and Word-Structure II. ApJ, 83:187, [11] H. P. Robertson. Kinematics and Word-Structure III. ApJ, 83:257, [12] Panck Coaboration, P. A. R. Ade, et a. Panck 2015 resuts. XIII. Cosmoogica parameters. arxiv: [astro-ph.co], [13] S.M. Carro. Spacetime and Geometry: An Introduction to Genera Reativity. Addison Wesey, [14] S. Permutter et a. Discovery of a supernova exposion at haf the age of the Universe and its cosmoogica impications. Nature, 391:51 54, [15] A. G. Riess et a. Observationa evidence from supernovae for an acceerating universe and a cosmoogica constant. Astron.J., 116: ,

80 76 KIRJALLISUUTTA [16] B. P. Schmidt et a. The High Z supernova search: Measuring cosmic deceeration and goba curvature of the universe using type Ia supernovae. ApJ, 507:46 63, [17] A. A. Starobinsky. Spectrum of reict gravitationa radiation and the eary state of the universe. ZhETF Pisma Redaktsiiu, 30: , [18] A. A. Starobinsky. A New Type of Isotropic Cosmoogica Modes Without Singuarity. Phys. Lett., B91:99 102, [19] A. H. Guth. The Infationary Universe: A Possibe Soution to the Horizon and Fatness Probems. Phys. Rev., D23: , [20] A. D. Linde. Chaotic Infating Universe. JETP Lett., 38: , [21] A. H. Guth. Eterna infation and its impications. J. Phys., A40: , [22] J Preski. Cosmoogica Production of Superheavy Magnetic Monopoes. Phys. Rev. Lett., 43:1365, [23] Panck Coaboration, P. A. R. Ade, et a. Panck 2015 resuts. XVII. Constraints on primordia non-gaussianity. arxiv: [astro-ph.co], [24] S. Räsänen. Cosmoogy I & II. Luentomuistiinpanot hesinki.fi/~cosmoogy/cosmo2014_12.pdf. [25] H. Kurki-Suonio. Lecture notes on Cosmoogica Perturbation theory. fi/~hkurkisu/cosper.pdf. [26] M. Reinecke, K. Doag, R. He, M. Bartemann, and T. A. Enßin. A simuation pipeine for the Panck mission. A&A, 445:373, [27] H. Kurki-Suonio. CMB Physics Lecture Notes, cmbphysics/notes2007/y5.pdf. [28] Arthur Kosowsky. Introduction to microwave background poarization. New Astron. Rev., 43:157, [29] M. Saveainen. Characterization of Primordia Perturbations by Observations. PhD thesis, Hesingin yiopisto, [30] M. Bersanei et a. Panck pre-aunch status: Design and description of the Low Frequency Instrument. A&A, 520:A4, [31] Panck Coaboration, N. Aghanim, et a. Panck 2013 resuts. IV. Low Frequency Instrument beams and window functions. A&A, 571:A4, [32] Ansari et a. Panck parameter definition document (draft ). Technica report, ESA, 2003.

81 KIRJALLISUUTTA 77 [33] R. S. Hi et a. Five-Year Wikinson Microwave Anisotropy Probe Observations: Beam Maps and Window Functions. ApJS, 180: , [34] K. M. Huffenberger et a. Measuring Panck beams with panets. A&A, 510:A58, [35] M. R. Nota et a. Five-Year Wikinson Microwave Anisotropy Probe Observations: Anguar Power Spectra. ApJS, 180: , [36] L. Page, C. Barnes, Hinshaw, et a. First-Year Wikinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Beam Profies and Window Functions. ApJS, 148:39 50, [37] Panck Coaboration, P. A. R. Ade, et a. Panck 2015 resuts. IV. Low Frequency Instrument beams and window functions. arxiv: [astro-ph.co], [38] D. M. Brink and G. R. Satcher. Anguar Momentum. Oxford University Press, Oxford, [39] T. Risbo. Fourier transform summation of Legendre series and D-functions. Journa of Geodesy, 70(383), [40] C. Burigana, D. Maino, N. Mandoesi, et a. Beam distortion effects on anisotropy measurements of the cosmic microwave background. A&As, 130: , [41] P. Fosaba, O. Dore, and F. R. Bouchet. Eiptica beams in CMB temperature and poarization anisotropy experiments: An Anaytic approach. Phys. Rev., D65:063003, [42] T. Poutanen. Making and Power Spectrum Estimation for Cosmic Microwave Background Temperature Anisotropies. PhD thesis, Hesingin yiopisto, [43] Panck Coaboration III. Panck 2013 resuts: LFI systematic uncertainties (p02a). A&A, [44] Sanjit Mitra, Anand S. Sengupta, and Tarun Souradeep. CMB power spectrum estimation using non-circuar beam. Phys. Rev., D70:103002, [45] Panck Coaboration, P. A. R. Ade, et a. Panck 2015 resuts. III. LFI systematic uncertainties. arxiv: [astro-ph.co], [46] Panck Coaboration, P. A. R. Ade, et a. Panck 2015 resuts. V. LFI caibration. arxiv: [astro-ph.im], May [47] K. M. Gorski, B. D. Wandet, F. K. Hansen, E. Hivon, and A. J. Banday. The HEALPix Primer. arxiv:astro-ph/ , [48] E. Keihänen, R. Keskitao, H. Kurki-Suonio, T. Poutanen, and A.-S. Sirviö. Making cosmic microwave background temperature and poarization maps with MADAM. A&A, 510:A57, [49] C. Burigana, M. Maaspina, N. Mandoesi, L. Danse, D. Maino, M. Bersanei, and M. Matoni. A preiminary study on destriping techniques of PLANCK/LFI measurements versus observationa strategy. arxiv:astro-ph/ , 1999.

82 78 KIRJALLISUUTTA [50] J. Deabrouie. Anaysis of the accuracy of a destriping method for future cosmic microwave background mapping with the PLANCK SURVEYOR sateite. A&As, 127: , [51] Maino, D. and Burigana, C. and Gorski, K. M. and others. Removing 1/f noise stripes in cosmic microwave background anisotropy observations. A&A, 387: , [52] Revenu, B. and Kim, A. and Ansari, and others. Destriping of poarized data in a CMB mission with a circuar scanning strategy. A&As, 142: , [53] Sbarra, C. and Carretti, E. and Cortigioni, S. and others. An iterative destriping technique for diffuse background poarization data. A&A, 401: , [54] Poutanen, T. and Maino, D. and Kurki-Suonio, H. and Keihänen, E. and Hivon, E. Cosmic microwave background power spectrum estimation with the destriping technique. MNRAS, 353:43 58, [55] Keihänen, E. and Kurki-Suonio, H. and Poutanen, T. and Maino, D. and Burigana, C. A maximum ikeihood approach to the destriping technique. A&A, 428: , [56] Lindhom V. Instrumenttikohina taustasäteiyanayysissä. Pro gradu -tutkiema, Hesingin yiopisto, [57] Panck Coaboration, P. A. R. Ade, et a. Panck 2015 resuts. VI. LFI mapmaking. arxiv: [astro-ph.co], [58] Y. Saad. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. Society for Industria and Appied Mathematics, Phiadephia, PA, USA, 2nd edition, [59] Sirviö A-S. Anayzing the Cosmic Microwave Background Radiation. Pro gradu -tutkiema, Hesingin yiopisto, 2010.

83 Liite A Liitteet 79

84 80 LIITE A. LIITTEET Kuva A.1: 30 GHz:n pääkeiasta asketut matriisi-ikkunafunktion diagonaaieementit ensimmäisessä paneeissa ja ei-diagonaaieementit komessa muussa paneeissa. Kuvissa X,Y = TT,EE,BB,TE,TB,EB ja W X,Y tarkoittavat vuotoa komponentista Y komponentie X. Koska diagonaaieementit ovat keskenään ikimain yhtäsuuret, on ensimmäisessä paneeissa askettu myös erokäyrät TT-komponenttiin nähden. Nämä erokäyrät kukevat äheä noainjaa, ja niiden asteikko näkyy ensimmäisen paneein oikeassa reunassa. Ei-diagonaaieementit on jaotetu komeen kategoriaan: Ne vuotokomponentit, jotka ovat suurimmiaan mutipoiskaaan keskivaiheia ovat esitetty oikeaa yärivissä, ne komponentit, jotka ovat mutipoiskaaassa suurimmiaan mataia mutipoeia ovat esitetty vasemmaa aarivissä. Komponentit, jotka ovat pienimmiään koko mutipoiskaaaa ovat esitetty oikeaa aarivissä. Koska useimmat käyrät kukevat pääekkäin, on käyrien sekeyttämiseksi kuvatekstien komponentit esitetty simämääräisesti suuruusjärjestyksessä suurimmasta pienimpään.

85 81 Kuva A.2: 44 GHz:n pääkeiasta asketut matriisi-ikkunafunktion diagonaaieementit ensimmäisessä paneeissa ja ei-diagonaaieementit komessa muussa paneeissa.

86 82 LIITE A. LIITTEET Kuva A.3: 70 GHz:n pääkeiasta asketut matriisi-ikkunafunktion diagonaaieementit ensimmäisessä paneeissa ja ei-diagonaaieementit komessa muussa paneeissa.

87 83 Kuva A.4: 30 GHz:n matriisi-ikkunafunktioiden diagonaaieementit esitettynä ensimmäisee 50:e mutipoie. Yimpänä matriisi-ikkunafunktion diagonaaieementit esitettynä pääkeiae, keskeä diagonaaieementit esitettynä pääkeian ja äheisen sivukeian yhdistemäe ja aimpana diagonaaieementit esitettynä koko keiae.

88 84 LIITE A. LIITTEET Kuva A.5: 44 GHz:n matriisi-ikkunafunktioiden diagonaaieementit esitettynä ensimmäisee 50:e mutipoie.

89 85 Kuva A.6: 70 GHz:n matriisi-ikkunafunktioiden diagonaaieementit esitettynä ensimmäisee 50:e mutipoie.

90 86 LIITE A. LIITTEET Kuva A.7: 30 GHz:n pääkeiojen ja äheisten sivukeiojen yhdistemästä saatujen matriisiikkunafunktion diagonaaieementtien suhde pekistä pääkeioista saatuihin diagonaaieementteihin (ensimmäinen paneei) ja vaikutukset pääkeiojen ja äheisten sivukeiojen yhdistemän erotuksista pääkeioihin (kome muuta paneeia).

91 87 Kuva A.8: Pääkeiojen ja äheisten sivukeiojen yhdistemän vaikutukset diagonaaieementteihin ja ei-diagonaaieementteihin 44 GHz:a.

92 88 LIITE A. LIITTEET Kuva A.9: Pääkeiojen ja äheisten sivukeiojen yhdistemän vaikutukset diagonaaieementteihin ja ei-diagonaaieementteihin 70 GHz:a.

93 89 Kuva A.10: 30 GHz:n pääkeian ja etäisten sivukeian yhdistemästä saatujen matriisiikkunafunktion diagonaaieementtien suhde pekistä pääkeioista saatuihin diagonaaieementteihin (ensimmäinen paneei) ja vaikutukset koko keian erotuksista pääkeioihin (kome muuta paneeia).

94 90 LIITE A. LIITTEET Kuva A.11: Pääkeiojen ja etäisten sivukeiojen yhdistemän vaikutukset diagonaaieementteihin ja ei-diagonaaieementteihin 44 GHz:a.

95 91 Kuva A.12: Pääkeiojen ja etäisten sivukeiojen yhdistemän vaikutukset diagonaaieementteihin ja ei-diagonaaieementteihin 70 GHz:a.

96 92 LIITE A. LIITTEET (a) 30 GHz:n rekonstruoitu C (vihreää), simuoidun taivaan C (siniseä) ja havaittu C (punaisea). (b) 30 GHz:n rekonstruoitujen kumatehospektrien ja simuoidun taivaan kumatehospektrien vertaiukäyrät mutipoie = 50 asti. Kuva A.13: Kuuden paneein kuvakoaasissa (a) vihreiä käyriä esitetty 30 GHz:n käänteisen matriisi-ikkunafunktion W 1 avua tehtyjen simuoidun taivaan kumatehospektrien autokorreaatioiden (TT,EE,BB; yempi rivi) ja ristikorreaatioiden (TE,TB,EB; aempi rivi) rekonstruktiot. Punaiset käyrät kuvaavat havaittuja kumatehospektrejä, joissa keiojen ja sateiitin skannausstrategian väinen vaikutus on mukana ja siniset käyrät esittävät simuaatioon syötettyjä taivaan kumatehospektrejä. Rekonstruktio on onnistunut, kun vihreä käyrä kukee mahdoisimman hyvin sinisen käyrän päää. Kuvakoaasin (b) ensimmäisessä paneeissa vihreää käyrää esitetty TT:n havaitun kumatehospektrin ja simuoidun taivaan kumatehospektrin väinen suhde (kuvakoaasin (a) ensimmäisen paneein vihreän ja sinisen käyrän suhde) ja viidessä muussa paneeissa on esitetty havaittujen kumatehospektrien ja simuoidun taivaan kumatehospektrien erotukset (kuvakoaasin (a) viiden muun paneein vihreiden ja sinisten käyrien erotukset).

97 93 (a) 44 GHz:n taivaan kumatehospektrien rekonstruktiot. (b) 44 GHz:n rekonstruoitujen kumatehospektrien ja simuoidun taivaan kumatehospektrien vertaiukäyrät mutipoie = 50 asti.

98 94 LIITE A. LIITTEET (a) 70 GHz:n taivaan kumatehospektrien rekonstruktiot. (b) 70 GHz:n rekonstruoitujen kumatehospektrien ja simuoidun taivaan kumatehospektrien vertaiukäyrät mutipoie = 50 asti.