Demo 1: Pareto-optimaalisuus
|
|
- Markus Halttunen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 6 Ehtamo Demo 1: Pareto-optimaalisuus Tunnista Pareto-optimaaliset ratkaisut. a) Risk FTW solutions ltd. Creative Solutions ltd. Focus inc. SoftCorp inc. Tull brothers Obligations Bank account b) Quantity Expected profit Quality Ratkaisu a) Pareto-optimaaliset ratkaisut ovat ratkaisuja, joissa yhden kohdefunktion arvoa ei voi parantaa ilman että toisen kohdefunktion arvo huononee. Tässä tehtävässä kohdefunktioina on tuotto-odotus (Expected profit) ja riski (Risk). Tuottoa maksimoidaan ja riskiä minimoidaan. Pareto-optimaaliset ratkaisut on merkitty kuvaan ympyrällä, ja ne ovat Bank account, Obligations, Tull Brothers ja SoftCorp Inc. Muut eivät ole Paretooptimaalisia, koska esimerkiksi SoftCrop Inc.:llä on parempi tuotto-odotus ja matalampi riski kuin yhdelläkään kolmesta ei-pareto-optimaalisista vaihtoehdoista. 1
2 Risk FTW solutions ltd. Creative Solutions ltd. Focus inc. SoftCorp inc. Tull brothers Obligations Bank account Expected profit b) Tehtävässä maksimoidaan sekä määrää (Quantity) ja laatua (Quality). Paretooptimaaliset pisteet on piirretty kuvaan tummennetulla. Huomaa. Pareto-optimaaliset pisteet ovat aina alueen reunapisteitä. Quantity Quality Demo 2: Painokerroinmenetelmä Ruotsalainen Sven Dufva on perustamassa Suomeen uutta energiayhtiötä nimeltään Svennovoima. Alkajaisiksi hänen tulisi päättää, minkä tyyppisiä voimaloita yhtiön kannattaa rakentaa. Käytettävissä on kolme erityyppistä voimalaa: ydin-, hiili- ja tuulivoimala. Kunkin voimalatyypin odotettu tuotto ja tuotetut ilmansaasteet jokaista tuotettua gigawattituntia kohden on lueteltu alla olevaan taulukkoon: Voimala Tuotto/GWh CO 2 -päästöt/gwh Ydinvoimala 40 e 26 kg Hiilivoimala 70 e 900 kg Tuulisähkö 20 e 14 kg Kysyntä arvioidaan olevan ensimmäisen 10 vuoden ajan keskimäärin 10 GWh. Rakennuskustannukset on otettu huomioon tuotoissa. Kuinka monta GWh kannattaa kullakin voimalatyypillä tuottaa, jos... a) Sven haluaa suurimman mahdollisen tuoton? 2
3 b) Sven on ympäristöystävällinen, eikä välitä rahasta lainkaan? c) Svenin mielestä 1 e tuotto on kaksi kertaa niin tärkeä kuin kilogramma CO 2 päästöjä? Ratkaisu a) Jos Sven arvostaa vain tuottoa, hänen kannattaa tuottaa kaikki 10 GWh hiilivoimalla, koska sen tuotto per GWh on suurin. b) Tuulisähkö tuottaa vähiten hiilidioksidipäästöjä, joten kaikki 10 GWh kannattaa tuottaa sillä. c) Rakennetaan tehtävän ratkaisemiseksi optimointimalli. Valitaan päätösmuuttujat x 1 := Ydinvoimalla tuotettu sähkömäärä (GWh) x 2 := Hiilivoimalla tuotettu sähkömäärä (GWh) x 3 := Tuulivoimalla tuotettu sähkömäärä (GWh) Svennovoiman kokonaistuotto voidaan laskea kaavalla ja kokonaispäästöt p = 40x x x 3, w = 26x x x 3. Koska Svenin mielestä tuotto on kaksi kertaa niin tärkeä kuin päästöt, täytyy kohdefunktio rakentaa niin, että yhden yksikön kasvu tuotossa p vastaa yhtä suurta muutosta kohdefunktiossa kuin kahden yksikön lasku päästöissä w. Tälläinen kohdefunktio on: f(x 1, x 2, x 3 ) = 2p w = (80 26)x 1 + ( )x 2 + (40 14)x 3. = 54x 1 760x x 3 Sähköä täytyi tuottaa yhteensä 10 GWh, josta saammekin optimointitehtävän max f(x 1, x 2, x 3 ) = 54x 1 760x x 3 s.e. x 1 + x 2 + x 3 = 10 Tehtävä on tavallinen lineaarinen optimointitehtävä ja voidaan ratkaista esimerkiksi Excelillä. Tehtävän ratkaisu on x 1 = 10, x 2 = x 3 = 0. Svenin kannattaa siis tuottaa kaikki sähkö ydinvoimalla. Demo 3: Tavoiteoptimointi Karin tehtävänä on päättää yrityksen investointikohteista. Lopulliseen kolmikkoon on päätynyt 3 projektia. Kullakin projektilla on jokin tuotto-odotus (12 %, 9 % ja 15 %), työvoimatarve (5, 3 ja 4 henkilöä/investoitu 100 e), ja arvio todennäköisistä lisäkustannuksista (5, 7 ja 8 e/investoitu 100 e). Johtoryhmä on asettanut seuraavat vaatimukset: kokonaistuoton on oltava yli 125 e, työvoimatarpeen on pysyttävä entisellä, 40 hengen tasollaan ja lisäkustanuksia saa olla korkeintaan 55 e. Näppäränä diplomi-insinöörinä Kari on tehnyt ongelmasta seuraavan lineaarisen tavoiteohjelmointitehtävän. Muuttuja x i kertoo, kuinka montaa sataa euroa kohteeseen i investoidaan. 12x 1 + 9x x x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 40 5x 1 + 7x 2 + 8x 3 55 x 1 0, x 2 0, x 3 0 3
4 Kari koittaa kuumeisesti ratkoa jotain sopivaa portfoliota (x 1, x 2, x 3 ), mutta hetken pohdiskelun jälkeen hän huomaa, että ei ole olemassa sellasta portfoliota, jolla kaikki tavoitteet saavutettaisiin. Johtoryhmän ohjeiden mukaan, tässä tilanteessa hänen tulee valita siten, että tuottotavoite on kaikista tärkein, työvoimatavoite toiseksi tärkein ja lisäkustannusten määrä vähiten tärkein. Formuloi Karin ongelma lineaarisena monitavoiteoptimointitehtävänä. Ratkaisu Kari ei pystynyt löytämään sellaista ratkaisua, joka toteuttaisi annetut ehdot. Nyt hänen täytyykin etsiä sellainen ratkaisu, joka rikkoo rajoitteita mahdollisimman vähän. Lisätään slack- ja surplus-muuttujat, jotka kertovat, kuinka paljon kutakin rajoitetta rikotaan: 12x 1 + 9x x 3 + s x 1 + 3x 2 + 4x 3 +s + 2 s 2 = 40 5x 1 + 7x 2 + 8x 3 s 3 55 x 1 0, x 2 0, x 3 0, s i 0 Toinen apumuuttuja s 2 on jaettu kahteen osaan, koska sekä positiiviset että negatiiviset poikkeamat ovat ei toivottuja. Rajoitteissa 1 ja 3 riittää yhdensuuntainen apumuuttuja. Tehtävältä puuttuu enää kohdefunktio. Tavoitteena on minimoida poikkeamia rajoitteista, eli apumuuttujia s i. Koska tavoite 1 on tärkein, sille voidaan antaa suuri painokerroin, jolloin pienetkin poikkeamat aiheuttavat suuria muutoksia kohdefunktioon. Vastaavasti tavoitteelle 2 voidaan antaa pienempi, mutta kuitenkin tavoitetta 3 suurempi painokerroin. Valitaan painokertoimiksi M 1 = , M 2 = ja M 3 = 1, jolloin kohdefunktiomme on: f(x 1, x 2, x 3 ) = M 1 s 1 + M 2 (s s 2 ) + M 3s 3 Ratkaistaan tehtävä Excelillä. Kirjataan taulukkoon tavalliseen tapaan päätösmuuttujat ja lasketaan kunkin rajoitusehdon arvo. Ratkaisuksi saadaan x 1 3.7, x 2 = 0, x s 3 6.4, muut apumuuttujat ovat nollia. Tämä tarkoittaa, että 370 e sijoitetaan kohteeseen 1, 537 e kohteeseen 3 ja kohteeseen 2 ei sijoiteta lainkaan. Näin ainoastaan vähiten tärkeä tavoite 3 jää vajaaksi, 6.4 e:lla. 4
5 Tehtävä 1: Pareto-optimaalisuus Tunnista Pareto-optimaaliset ratkaisut. a) Healthiness Product A Product B Product C Product D Product E Product G Product F Tastiness b) Time consumed Tasks completed Ratkaisu a) Kuvan pareto-optimaaliset tuotteet on merkitty ympyröillä. Tuote on Paretooptimaalinen, josta ei voida vaihtaa toiseen ilman että vähintään yhden kohdefunktion arvo heikkenee. 5
6 Healthiness Product A Product B Product C Product D Product E Product G Product F Tastiness b) Pareto-optimaaliset pisteet on merkitty kuvaan tummalla viivalla. Time consumed Tasks completed Tehtävä 2: Kuntosaliharrastajan arkea Rane harrastaa kehonrakennusta. Tärkeintä hänelle on suuret lihakset, mutta hän haluaa myös nauttia elämästä. Harrastukselleen omistautunut Rane käyttää päivänsä pitkälti kolmeen perustoimintoon: harjoittelu T, syöminen E, ja nukkuminen S. Hän on huomannut lihasmassan kasvun M (g / 24 h) noudattavan kaavaa M = 2(4 (T 8) 2 + S) E. Lisäksi Ranen mielihyvä P riippuu pitkälti unen ja ruuan määrästä, tarkemmin P = E S. Miten Ranen kannattaa suunnitella päivänsä, kun käytettävissä on vuorokauden kaikki 24 tuntia? Ranen rahat eivät riitä ruokaan, jos syöminen vie enemmän kuin yhden neljäsosan treenaamiseen käytetystä ajasta. Mikä on Ranen optimaalinen harjoitusaikataulu, kun... a) hän haluaa maksimoida lihasmassan kasvun? b) 10 g päivittäinen lihasmassan kasvu on Ranen mielestä yhtä hyvä kuin 1 mielihyväyksikkö? Muotoile tehtävä monitavoiteoptimoinnin tehtävänä ja ratkaise se. 6
7 Ratkaisu Tehtävän luonnolliset päätösmuuttujat ovat päivän aikana eri toimintoihin käytetyt ajat: T E ja S. Ensimmäinen rajoitusehto saadaan siitä, että vuorokaudessa on 24 tuntia: T + E + S = 24 Syöminen ei saanut viedä yli neljäsosaa treenaamiseen käytetystä ajasta, eli: E 1 4 T a) Jos Rane haluaa maksimoida lihasmassaa, voidaan kohdefunktioksi valita suoraan lihasmassan kaava: max M = 2(4 (T 8) 2 + S) E. Tehtävä voidaan nyt syöttää Exceliin, jolloin ratkaisuksi saadaan: T = 7.9, E = 2.0, ja S = 14.1 b) Ranen mielestä 10 g päivittäinen lihasmassan kasvu on yhtä hyvä kuin 1 mielihyväyksikkö. Tällöin 10 yksikön muutoksella M:ään on oltava yhtä suuri vaikutus kohdefunktioon kuin yhden yksikön muutos mielihyvässä P. Tälläinen kohdefunktio on: max f(t, E, S) = M/10 + P Tehtävä voidaan nyt ratkaista Excelillä, joilloin ratkaisuksi saadaan T = 7.3, E = 1.8 ja S = Tehtävä 3: Viljafarmilla Raunon tulisi päättää, mitä viljalajikkeita hän aikoo kasvattaa ensi vuonna. Hänellä on käytössään 30 ha peltopinta-alaa. Järkeviä vaihtoehtoja on 3: vehnä, ohra ja kaura. Raunolla on seuraavanlaiset tavoitteet jaon suhteen: 1) Elannon turvaamiseksi, Raunon on saatava e tuottoa viljasta. 2) Hän on tehnyt sopimuksen Paimion Osuuskaupan kanssa, että hän toimittaa vähintään 111 tonnia viljaa myyntiin. 3) Rauno ei pidä työhaastatteluiden pitämisestä saati potkujen antamisesta, joten hän haluaa pitää työvoiman määrän vakiona, 12 henkikössä. Seuraavassa taulukossa on kunkin lajikkeen rahallinen tuotto, sato ja vaatimat työpaikat yhtä hehtaaria kohden: Vehnä Ohra Kaura Tuotto (e/ha) Sato (kg/ha) Työpaikat (hlö/ha) 0,9 0,6 0,4 Määritä kuinka monta hehtaaria kutakin lajiketta Raunon kannattaa kylvää, jos hänen mielestään a) Tavoite 1 on tärkein, 2 toiseksi tärkein ja 3 vähiten tärkeä b) 1000 e vajaus elannossa, 2 tonnin toimitusvaje osuuskaupalle, 1 henkilön erottaminen ja 2 lisähenkilön palkkaaminen ovat yhtä tärkeitä. Muotoile tehtävä tavoiteoptimoinnin tehtävänä ja ratkaise se. 7
8 Ratkaisu Valitaan päätösmuuttujiksi x 1 := Vehnän viljelyyn käytetty peltopinta-ala (ha) x 2 := Ohran viljelyyn käytetty peltopinta-ala (ha) x 3 := Kauran viljelyyn käytetty peltopinta-ala (ha) Kertomalla kukin muuttuja lajin hehtaarikohtaisella tuotolla, saadaan koko peltoalan tuotoksi 610x x x 3 Tuoton tulisi olla suurempi kuin e, jolloin saamme ensimmäisen tavoitteen. Vastaavasti voidaan rakentaa satoa ja työpaikkoja kuvaavat tavoitteet. Peltopintaalaa oli kokonaisuudessaan käytettävissä 30 ha, eli päätösmuuttujien summan tulee olla 30. Näin saamme tavoiteoptimoinnin tehtävän: 610x x x x x x x x x 3 = 12 x 1 + x 2 + x 3 = 30 x 1 0, x 2 0, x 3 0 Seuraavaksi etsitään tehtävän ratkaisu. Lisätään tavoitteisiin slack- ja surplus-muuttujat, jotka kuvaavat, kuinka paljon tavoitteista joudutaan joustamaan. Tavoitteista 1 ja 2 joudutaan joustamaan vain alaspäin, joten riittää lisätä pelkät slack-muuttujat. Tavoitteessa 3 molemmansuuntaiset poikkeamat ovat ei-toivottuja, joten tarvitaan sekä slack- että surplus-muuttujat. 610x x x 3 + s x x x 3 + s x x x 3 + s + 3 s 3 = 12 x 1 0, x 2 0, x 3 0, s i 0 a) Koska tavotteilla on selkeä järjestys, tulee kohdefunktio valita niin, että tärkein tavoite tulee varmasti toteutumaan. Tavoitteena oli minimoida vajetta tuotossa (s 1 ), vajetta tuotannossa (s 2 ) ja poikkeamia työvoiman määrässä (s + 3 ja s 3 ). Valitaan kohdefunktioksi näiden summa, jossa tärkein kerrotaan suurella vakiolla ja vähiten tärkeä pienellä vakiolla. Kohdefunktioksi saadaan: min f(x i, s i ) = 10 6 s s 2 + (s s 3 ). Tehtävä voidaan nyt ratkaista Excelin Solverilla, jolloin ratkaisuksi saadaan: x 1 = 25.7, x 2 = 4.3, x 3 = 0. Apumuuttujien arvot ovat: s 1 = 0, s 2 = , s + 3 = 0, s 3 = Tämä tarkoittaa, että tavoite 1 saavutettiin, tavoitteesta 2 jouduttiin tinkimään noin 5143 kg, ja jouduttiin palkkaamaan 14 työntekijää lisää. b) 1000 e vajaus elannossa, 2 tonnin toimitusvaje, 1 henkilön erottaminen ja 2 henkilön palkkaaminen ovat nyt yhtä tärkeitä, ja kohdefunktio täytyy valita niin, että vastaavan muutoksen tapahtuminen missä tahansa tavoitteessa aiheuttaa samanlaisen muutoksen kohdefunktiossa. Valitaan funktioksi: min f(x i, s i ) = s 1 / s 2 / s s 3 /2. Nyt tehtävä voidaan ratkaista Excelillä, ja ratkaisuksi saadaan: x 1 = 0, x 2 = 30, x 3 = 0. Apumuuttujat saavat arvot: s 1 = 1800, s 2 = 0, s + 3 = 0, s 3 = 6. Tämä tarkoittaa, että tuotto jäi 1800e vajaaksi, ja jouduttiin palkkaamaan 6 työntekijää lisää. 8
9 Tehtävä 4: Pareto-optimaalinen ajankäyttö Teemu haluaa suunnitella ajankäyttönsä seuraavasti: Vuorokauden tunnit käytetään nukkumiseen, opiskeluun ja huvitteluun. Nukkumiseen käytetään korkeintaan kaksitoista tuntia vuorokaudessa. Opiskeluun käytettävä aika ei ylitä huvitteluajan ja kaksinkertaisen nukkumisajan summaa. Formuloi tehtävä monitavoiteoptimoinnin tehtävänä ja tunnista Pareto-optimaaliset pisteet päätösavaruudessa, kun tavoitteena on maksimoida kaikkiin kolmeen ajankäyttötapaan käytettyjä tuntimääriä. Ratkaisu Merkitään käytettyjä aikamääriä: nukkuminen S, opiskelu T ja huvittelu P. Teemu haluaa maksimoida kaikkeen kolmeen käytetyn aikamäärän, eli hänen kohdefunktionsa ovat: max S, max T ja max P Nukkumiseen käytetään korkeintaan 12 tuntia, eli S 12 Opiskeluun käytettävä aika ei ylitä huvitteluajan ja kaksinkertaisen nukkumisajan summaa, eli T P + 2S. Lisäksi päivässä on 24 tuntia, ja ajat ovat aina positiivisia: S + T + P = 24 S 0, T 0, P 0. Rajoitteet on piirretty oheiseen kuvaan. Kolmas rajoite ja positiivisuusrajoitteet rajaavat harmaalla merkityn alueen. Ehto 1 rajoittaa tätä aluetta ylhäältä (vihreä taso) ja ehto 2 alhaalta (punainen taso sinisen alla). Pareto-pinta on sinisellä väritetty pinta. Pareto-pinnan rajaa positiiviset koordinaattiakselit, sekä rajoitepintojen leikkaussuorat. Teemun kannattaa valita oma päivärytminsä jostain Pareto-pinnalta. Tarkka optimipiste riippuu Teemun mieltymyksistä ja siitä, mitä ajanviettotapaa hän pitää mieluisampana. Jos tuntisimme Teemun painokertoimet kullekin kohdefunktiolle, voisimme laskea Teemun kannalta optimaalisen pisteen. 9
10 10
Demo 1: Pareto-optimaalisuus
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Harjoitus 6 Ehtamo Oppimistavoitteet: ˆ Pareto-optimaalisuus ˆ Monitavoiteoptimointitehtävän ratkaiseminen Demo 1: Pareto-optimaalisuus Tunnista Pareto-optimaaliset ratkaisut.
LisätiedotLuento 6: Monitavoiteoptimointi
Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotLuento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
LisätiedotMonitavoiteoptimointi
Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa
LisätiedotHarjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.
LisätiedotDemo 1: Excelin Solver -liitännäinen
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
LisätiedotDemo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 2 Ehtamo Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä graafisesti ja Excelin Solverin avulla.
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotHarjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
LisätiedotLineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Jerri Nummenpalo 17.09.2012 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut
Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)
Lisätiedot, tuottoprosentti r = X 1 X 0
Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
LisätiedotDemo 1: Branch & Bound
MS-C05 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 7 Ehtamo Demo : Branch & Bound Ratkaise lineaarinen kokonaislukuoptimointitehtävä käyttämällä Branch & Boundalgoritmia. max x + x s.e. x + 4x 9 5x + x 9 x Z
LisätiedotLuento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
Lisätiedot1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta
Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotLP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo
LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla
LisätiedotStokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely)
Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely) Esitelmöijä Olli Rentola päivämäärä 21.1.2013 Ohjaaja: TkL Anssi Käki Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa
LisätiedotHarjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien
LisätiedotTIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi
TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
LisätiedotReferenssipiste- ja referenssisuuntamenetelmät
Referenssipiste- ja referenssisuuntamenetelmät Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 1 Esitelmän sisältö Menetelmien ideat Menetelmien soveltaminen Menetelmien ominaisuuksia Optimointiopin seminaari
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotKimppu-suodatus-menetelmä
Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.
LisätiedotOvatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.
5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan
LisätiedotTentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.
Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
Lisätiedot30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset
30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 19 / orms.30 Talousmatematiikan perusteet 8. harjoitus, viikko 11 (11.03..03.19) L Ma 12 A2 R0 Ti 14 16 F43 R01 Ma 12 14 F43 L To 08 A2 R02 Ma 16 18 F43 R06 To 12 14 F140 R03 Ti 08 F42 R07 Pe 08
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
LisätiedotDiskreettiaikainen dynaaminen optimointi
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u
LisätiedotLP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto.
LP-mallit, L8 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotHarjoitus 10: Optimointi II (Matlab / Excel)
Harjoitus 10: Optimointi II (Matlab / Excel) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen ja ratkaiseminen
LisätiedotDynaaminen optimointi
Dynaaminen optimointi Tapa ratkaista optimointitehtävä Tehtävä ratkaistaan vaiheittain ja vaiheet yhdistetään rekursiivisesti Perustuu optimaalisuusperiaatteeseen: Optimaalisen ratkaisupolun loppuosa on
LisätiedotLuku 2 Sähköhuolto. Asko J. Vuorinen Ekoenergo Oy. Pohjana: Energiankäyttäjän käsikirja 2013
Luku 2 Sähköhuolto Asko J. Vuorinen Ekoenergo Oy Pohjana: Energiankäyttäjän käsikirja 2013 1 Sisältö Uusiutuvat lähteet Ydinvoima Fossiiliset sähköntuotantotavat Kustannukset Tulevaisuusnäkymät 2 Maailman
LisätiedotVILJAMARKKINAT. Tilannekatsaus Maaliskuussa 2011
VILJAMARKKINAT Tilannekatsaus Maaliskuussa 2011 Viljan hintoihin vaikuttavat tekijät Tarjonta ja kysyntä tuotannon ja kulutuksen tasapaino Varastotilanne Valuuttakurssit rahan saanti (luotto, korot) Kuljetuskustannukset
LisätiedotLuento 3: Simplex-menetelmä
Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,
LisätiedotTTY Porin laitoksen optimointipalvelut yrityksille
TTY Porin laitoksen optimointipalvelut yrityksille Timo Ranta, TkT Frank Cameron, TkT timo.ranta@tut.fi frank.cameron@tut.fi Automaation aamukahvit 28.8.2013 Optimointi Tarkoittaa parhaan ratkaisun valintaa
LisätiedotHarjoitus 9: Optimointi I (Matlab)
Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x
LisätiedotMalliratkaisut Demot 6,
Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotViljakaupan rooli ympäristöviestinnässä. Jaakko Laurinen Kehityspäällikkö Raisio Oyj
Viljakaupan rooli ympäristöviestinnässä Jaakko Laurinen Kehityspäällikkö Raisio Oyj 2.11.2011 Ympäristöasioita viljaketjussa Väestö lisääntyy nyt 7 mrd. vuonna 2050 9 mrd. Samaan aikaan ruokavalio muuttuu
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotViherryttämistuki. Neuvo 2020-koulutus Syksy Materiaali perustuu esityshetkellä käytettävissä oleviin tietoihin.
Viherryttämistuki Neuvo 2020-koulutus Syksy 2014 Viherryttämistuki Uusi suora EU-tuki Vuosittain noin 157 milj. Kaksi tukialuetta ja tukitasoa: AB ja C Kolme vaatimusta: Viljelyn monipuolistaminen Pysyvän
LisätiedotTyövuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely)
Työvuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely) Pekka Alli 1.12.2015 Ohjaaja: Tuuli Haahtela Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotLineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen
Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen
Lisätiedot2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa
Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät
LisätiedotOPERAATIOANALYYSI ORMS.1020
VAASAN YLIOPISTO Talousmatematiikka Prof. Ilkka Virtanen OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 Tentti 2.2.2008 1. Yrityksen tavoitteena on minimoida tuotannosta ja varastoinnista aiheutuvat kustannukset 4 viikon
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan
LisätiedotMikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti
Tehtävä 1. Mikä neljästä numeroidusta kuviosta jatkaa alkuperäistä kuviosarjaa? Perustele lyhyesti a) 1 4 b) 1 4 a) - kuvio, annetaan 1,5 p - ympyrä täyttyy neljänneksen kerrallaan, annetaan 1,5 p b) -
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)
LisätiedotProf. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen
Harjoitukset 3. 1. (a) Dismalandissa eri puolueiden arvostukset katusiivoukselle ovat Q A (P ) = 60 6P P A (Q) = 10 Q/6 Q B (P ) = 80 5P P B (Q) = 16 Q/5 Q C (P ) = 50 2P P C (Q) = 25 Q/2 Katusiivous on
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotMaatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset
Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin
LisätiedotLineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!
Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x
Lisätiedot