Dynaaminen optimointi

Transkriptio

1 Dynaaminen optimointi Tapa ratkaista optimointitehtävä Tehtävä ratkaistaan vaiheittain ja vaiheet yhdistetään rekursiivisesti Perustuu optimaalisuusperiaatteeseen: Optimaalisen ratkaisupolun loppuosa on optimaalinen myös tehtävälle, jossa tarkastellaan vain loppuosaa omana tehtävänään 1

2 Koneen optimaalinen vaihto Tarkastellaan N:n vuoden periodia, yhden vuoden jaksoissa Jokaisen vuoden alussa vanha kone voidaan vaihtaa uuteen tai säilyttää vanha kone Tavoite: Määrää, milloin kone vaihdetaan, jotta kokonaiskustannukset minimoituvat p = uuden koneen (ikä 0 vuotta) hinta c(i) = koneen käyttökustannukset vuodessa, kun kone i vuoden ikäinen t(i) = koneesta vaihdossa saatava hyvitys, kun kone i vuoden ikäinen s(i) = koneen loppuarvo, kun se vuoden N lopussa on i vuoden ikäinen 2

3 Dynaamisen optimoinnin vaiheet: Aloitetaan periodin viimeisestä vuodesta Jokaisen vuoden k alussa tutkitaan kaikki vaihtoehdot, joiden mukaan k:s vuosi voidaan toimia Seuraavan vuoden alusta toimitaan optimaalisesti periodin loppuun Paras vaihtoehto vuoden k alussa on se, joka antaa parhaan kokonaistuloksen vuodesta k periodin loppuun asti Edetään kohti periodin alkua vuosi kerrallaan 3

4 Rekursiofunktiot: f k (i) =optimaaliset kokonaiskustannukset vuodesta k periodin loppuun asti, kun aloitetaan vuoden k alussa i vuoden ikäisellä koneella Vaihtoehdot vuoden k alussa: Ei vaihdeta: kustannukset = c(i) + f k+1 (i + 1) Vaihdetaan: kustannukset = p t(i) + c(0) + f k+1 (1) = f k (i) = min{c(i) + f k+1 (i + 1), p t(i) + c(0) + f k+1 (1)} 4

5 Optimaalinen kustannus periodin lopussa eli vuoden N + 1 alussa: f N+1 (i) = koneen loppuarvo = s(i) Lasketaan takenevasti f k (i):t kaikilla k = N,...,1 ja kaikilla tarvittavilla tai mahdollisilla i Optimaalinen ratkaisupolku nähdään f k (i):n arvoista, alkaen ensimmäisestä vuodesta 5

6 Esimerkki: N = 5 p = 50 c(0) = 10 i c(i) t(i) s(i) Merkitään: 1 = ei vaihdeta, 2 = vaihdetaan 6

7 f 6 (i) = s(i) i f 6 (i) f 5 (i) f 4 (i) f 3 (i) f 2 (i) f 1 (i)

8 f 5 (i) = min{c(i) + f 6 (i + 1),60 t(i) + f 6 (1)} i f 6 (i) f 5 (i) f 4 (i) f 3 (i) f 2 (i) f 1 (i)

9 f 4 (i) = min{c(i) + f 5 (i + 1),60 t(i) + f 5 (1)} i f 6 (i) f 5 (i) f 4 (i) f 3 (i) f 2 (i) f 1 (i)

10 f 3 (i) = min{c(i) + f 4 (i + 1),60 t(i) + f 4 (1)} i f 6 (i) f 5 (i) f 4 (i) f 3 (i) f 2 (i) f 1 (i)

11 f 2 (i) = min{c(i) + f 3 (i + 1),60 t(i) + f 3 (1)} i f 6 (i) f 5 (i) f 4 (i) f 3 (i) f 2 (i) f 1 (i)

12 f 1 (i) = min{c(i) + f 2 (i + 1),60 t(i) + f 2 (1)} i f 6 (i) f 5 (i) f 4 (i) f 3 (i) f 2 (i) f 1 (i)

13 Esimerkki: Vuoden 1 alussa kone on 2 vuoden ikäinen = f 1 (2) = 115 kun kone vaihdetaan vuoden 1 alussa = f 2 (1) = 76 kun konetta ei vaihdeta vuoden 2 alussa = f 3 (2) = 63 kun kone vaihdetaan vuoden 3 alussa = f 4 (1) = 24 kun kone vaihdetaan vuoden 4 alussa = f 5 (1) = 4 kun konetta ei vaihdeta vuoden 5 alussa 13

14 Sijoittajan ongelma Kokonaissumma T voidaan sijoittaa n:ään eri kohteeseen Tavoite: Määrää kuhunkin kohteeseen sijoitettava summa siten, että kokonaistuotto maksimoituu x i = kohteeseen i sijoitettava summa p i (s) = kohteen i tuotto, kun siihen sijoitetaan summa s 14

15 Optimointitehtävä: max p 1 (x 1 ) + + p n (x n ) kun x x n = T x 1,..., x n 0 Rekursiofunktiot: = f j (s) = kokonaistuotto, kun sijoitetaan summa s optimaalisella tavalla kohteisiin j,..., n f n (s) = p n (s) (oletus: p n kasvaa kun s kasvaa) f j (s) = max x j {p j (x j ) + f j+1 (s x j ) x j s}, j < n 15

16 Esimerkki: s p 1 (s) p 2 (s) p 3 (s) p 4 (s)

17 f 4 (s) = p 4 (s) s f 4 (s) x 4 f 3 (s) x 3 f 2 (s) x 2 f 1 (s) x , ,4, ,4,5,6 17

18 f 3 (s) = max x 3 {p 3 (x 3 ) + f 4 (s x 3 ) x 3 s} s f 4 (s) x 4 f 3 (s) x 3 f 2 (s) x 2 f 1 (s) x , , ,4, ,4,5,6 12 2,3 18

19 f 2 (s) = max x 2 {p 2 (x 2 ) + f 3 (s x 2 ) x 2 s} s f 4 (s) x 4 f 3 (s) x 3 f 2 (s) x 2 f 1 (s) x , 2 8 0, , 1, , ,2, ,4, ,3, ,4,5,6 12 2,3 16 3,4 19

20 f 1 (s) = max x 1 {p 1 (x 1 ) + f 2 (s x 1 ) x 1 s} s f 4 (s) x 4 f 3 (s) x 3 f 2 (s) x 2 f 1 (s) x , 2 8 0, , 1, , , ,2,3 14 1, ,4, ,3,4 16 1, ,4,5,6 12 2,3 16 3,4 18 1,2 20

21 Esimerkki: Kokonaissumma on T = 6 = f 1 (6) = 18 kun sijoitetaan x 1 = 1 (myös x 1 = 2 käy) = f 2 (5) = 14 kun sijoitetaan x 2 = 2 (myös x 2 = 3 tai 4 käyvät) = f 3 (3) = 10 kun sijoitetaan x 3 = 2 = f 4 (1) = 2 kun sijoitetaan x 4 = 1 21

22 Sijoittajan ongelman yleistys Kokonaissumma T voidaan sijoittaa n:ään eri kohteeseen Sijoituksen tuotto ja kulut vaihtelevat käyttöasteen mukaan Tavoite: Määrää kuhunkin kohteeseen sijoitettava summa siten, että kokonaistuotto maksimoituu x i = kohteen i käyttöaste p i (x i ) = kohteen i tuotto, kun sen käyttöaste on x i r i (x i ) = kohteen i kulut, kun sen käyttöaste on x i 22

23 Optimointitehtävä: max p 1 (x 1 ) + + p n (x n ) kun r 1 (x 1 ) + + r n (x n ) T x 1,..., x n 0 Rekursiofunktiot: = f j (s) = kokonaistuotto, kun sijoitetaan summa s optimaalisella tavalla kohteisiin j,..., n f n (s) = max x n {p n (x n ) r n (x n ) s} f j (s) = max x j {p j (x j ) + f j+1 (s r j (x j )) r j (x j ) s}, j < n 23

24 Pakkausongelma Valittavana on erilaisia esineitä, joiden yhteispaino saa olla enintään W Tavoite: Määrää mukaan otettavien esineiden lukumäärä siten, että niiden yhteisarvo maksimoituu x i = esineiden i lukumäärä a i = esineen i arvo w i = esineen i paino 24

25 Optimointitehtävä: max a 1 x a n x n kun w 1 x w n x n W x 1,..., x n N Rekursiofunktiot: = f j (w) = pakkauksen optimaalinen arvo, kun paino on enintään w ja mukana saa olla vain esineitä j,..., n f n+1 (w) = 0 (kuvitteellisen esineen n + 1 arvo) f j (w) = max x j {a j x j + f j+1 (w w j x j ) w j x j w}, j n 25

26 Kapsäkkiongelma Kuten pakkausongelma, paitsi että kutakin esinettä voidaan ottaa korkeintaan yksi kappale Optimointitehtävä: max a 1 x a n x n kun w 1 x w n x n W x 1,..., x n = 0 tai 1 26

27 Pelurin ongelma Lyödään vetoa neljä kertaa Yhden vedonlyönnin voiton todennäköisyys on 0.4, häviön 0.6 Voittosumma yhdessä vedonlyönnissä on sama kuin panos Alussa pelurilla on rahaa 2 yksikköä Tavoite: Maksimoida todennäköisyys sille, että pelin lopussa pelurilla on rahaa ainakin 6 yksikköä 27

28 Rekursiofunktiot: f j (d) = todennäköisyys sille, että lopussa on ainakin 6 yksikköä, kun pelataan optimaalisesti kerroilla j,..., 4 ja kun käytössä on d yksikköä ennen kertaa j = f 4 (d) = 0.0 kun 0 d kun 3 d kun d 6 f j (d) = max b j {0.4 f j+1 (d + b j ) f j+1 (d b j ) b j d}, j < 4 28

29 f 4 (d) = 0.0 kun 0 d kun 3 d kun d 6 d f 4 (d) b 4 f 3 (d) b 3 f 2 (d) b 2 f 1 (d) b

30 f 3 (d) = max b 3 {0.4 f 4 (d + b 3 ) f 4 (d b 3 ) b 3 d} d f 4 (d) b 4 f 3 (d) b 3 f 2 (d) b 2 f 1 (d) b

31 f 2 (d) = max b 2 {0.4 f 3 (d + b 2 ) f 3 (d b 2 ) b 2 d} d f 4 (d) b 4 f 3 (d) b 3 f 2 (d) b 2 f 1 (d) b

32 f 1 (d) = max b 1 {0.4 f 2 (d + b 1 ) f 2 (d b 1 ) b 1 d} d f 4 (d) b 4 f 3 (d) b 3 f 2 (d) b 2 f 1 (d) b

33 Alkusumma 2 yksikköä = f 1 (2) = kun pelataan b 1 = 1 Jatko riippuu siitä, voitetaanko vai ei Esimerkiksi, jos ensimmäisellä kerralla voitetaan = f 2 (3) = kun pelataan b 2 = 0 = f 3 (3) = 0.40 kun pelataan b 3 = 0 = f 4 (3) = 0.4 kun pelataan b 4 = 3 33

34 Jatkuva dynaaminen optimointi Määrä q (missä q > 0) halutaan jakaa n:ään osaan siten, että osien tulo on mahdollisimman suuri Merkitään osia y i :llä, i = 1,..., n Optimointitehtävä: max y 1 y n kun y y n = q y 1,..., y n 0 34

35 Systeemin tila: x i = se osa määrästä q, joka varataan osille 1,..., i Rekursioyhtälöt: f 1 (x 1 ) = max y 1 {y 1 0 y 1 x 1 } f j (x j ) = max y j {y j f j 1 (x j y j ) 0 y j x j }, j > 1 35

36 Merkitään maksimoitavia funktioita g j :llä, ts. f j (x j ) = max yj g j (y j, x j ) = g 1 (y 1, x 1 ) = y 1 0 y 1 x 1 = y 1 = x 1 f 1 (x 1 ) = x 1 36

37 = g 2 (y 2, x 2 ) = y 2 f 1 (x 2 y 2 ) = y 2 (x 2 y 2 ) y 2 g 2 (y 2, x 2 ) = x 2 2y 2 = 0 = y 2 = 1 2 x 2 f 2 (x 2 ) = 1 2 x 2 ( x 2 1 ) 2 x 2 = ( ) x

38 = g 3 (y 3, x 3 ) = y 3 f 2 (x 3 y 3 ) = y 3 ( x3 y 3 2 y 3 g 3 (y 3, x 3 ) = 1 4 (x2 3 4x 3y 3 + 3y 2 3 ) = 0 = y 3 = 1 3 x 3 ) 2 f 3 (x 3 ) = 1 3 x 3 x x = ( ) x

39 =... [induktiolla]... = y i = x i i f i (x i ) = ( ) xi i i 39

40 Siten ratkaisu on x n = q y n = x n n = q n x n 1 = q y n = n 1 n q y n 1 = x n 1 n 1 = q n x n 2 = q y n y n 1 = n 2 n q y n 2 = x n 2 n 2 = q n.. x 1 = 1 n q y 1 = q n 40