1 Rajoitettu optimointi III - epäyhtälörajoitteet, teoriaa

Transkriptio

1 Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-3 Rajoitettu optimointi III - epäyhtälörajoitteet, teoriaa. Perustehtävä Maksimoi f(x) ehdoilla g i (x), i = ; : : : ; k tässä f; g i : R n 7! R, i = ; : : : ; k Optimipisteessä vain osa rajoitteista on yleensä aktiivisia (sitovia) Huom. epäyhtälörajoitteet voidaan muuttaa yhtälörajoitteiksi muuttujia lisäämällä.2 2D tämä temppu ei yleensä helpoita tehtävien ratkaisua ja analysointia (vaan päinvastoin), lähinnä kyseessä on keino johtaa teoreettisia tuloksia (ensimmäisen kertaluvun ehdot) Tarkastellaan tehtävää jossa n = 2 ja k =, eli max f(x ; x 2 ) ja g(x ; x 2 ) Geometrisia havaintoja. jos optimissa g(x) < niin rajoitteesta ei tarvitse välittää tässä pisteessä (ns. sisäpisteoptimi) 2. jos rajoite on aktiivinen geometria vastaa yhtälörajoitettua tapausta Optimi x ja g(x ) = kuten yhtälörajoitetussa tapauksessa rf(x ) ja rg(x ) ovat yhdensuuntaiset, sillä muutoin löytyy käypä kasvusuunta, eli d 6= s.e. f(x + d) > f(x ) tarpeeksi pienillä > ja g(x + d) huom. jos rf(x ) d > niin d on kasvusuunta ja jos rg(x ) d < niin d on käypä suunta pisteessä x Huomataan että rf(x ) ja rg(x ) ovat optimissa yhdensuuntaiset, sillä muutoin löytyy käypä kasvusuunta erona yhtälörajoitettuun tehtävään on se, että gradientit osoittavat nyt samaan suuntaan matemaattisesti rf(x ) = rg(x ), missä (eli nyt rajoitteen kerroin ei voi olla negatiivinen)

2 Ensimmäisen kertaluvun ehto Lagrangen funktion avulla: optimissa x ; )=@x i =, i = ; 2 jollakin ja g(x ) kuten viimeksi L(x ; ) = f(x) g(x), missä :aa kutsutaan rajoitteen Lagrangen kertoimeksi huom. jos rajoite olisi muodossa g(x) b niin Lagrangen funktio olisi L(x ; ) = f(x) [g(x) b] Jos optimi on sisäpisteessä, eli g(x) < niin silloin ensimmäisen kertaluvun ehto toteutuu, kun valitaan =, eli rf(x ) = (vrt. rajoittamaton optimointi) siis voi poiketa nollasta vain kun g(x ) = (tässäkin tapauksessa voi silti olla nolla) optimissa joko g(x ) = tai =, tämän voi kirjoittaa muodossa g(x ) =, tätä ehtoa kutsutaan complementary slackness ehdoksi Kuten yhtälörajoitetussa tehtävässä, jos rg(x ) = ja rajoite on aktiivinen, niin ensimmäisen kertaluvun ehto ei (välttämättä toteudu) vaaditaan constraint kvali kaatio kuten yhtälörajoitetussa: jos rajoite on aktiivinen, niin silloin rg(x ) 6= Erot yhtälörajoittuun tapaukseen samannäköinen ehto gradienteille, mutta Complementary slackness ehto on uutta! ensimmäisen kertaluvun ehdot eivät enää ole yhtälöryhmä vaan nk. komplementaarisuusongelma minimoinnin ja maksimoinnin tapauksessa ehdot ovat hieman erinäköiset toisin kuin yhtälörajoitetussa tapauksessa (palataan tähän myöhemmin).3 Esimerkki max x x 2 rajoitteella x 2 + x 2 2, huom. tehtävällä on geometrinen tulkinta kun x ; x 2 Lagrangen funktio L(x ; x 2 ; ) = x x 2 (x 2 + x 2 2 ) Ensimmäisen kertaluvun ehdot: x 2 + x 2 2 = x 2 2x 2 = x 2x 2 =, (x 2 + x 2 2 ) = (complementary slackness) ja (nk. duaalikäypyys) Lähdetään ratkaisemaan ehtoja kuten yhtälörajoitetussa tapauksessa i =, i = ; 2, antavat = x 2 =(2x ) = x =(2x 2 ), mistä seuraa x 2 = x 2 2 2

3 Tarkastellaan komplementaarisuusehdon mukaisesti tapaukset = ja > jos = niin x = x 2 = ja ens. krt. luvun ehdot toteutuvat kun > niin epäyhtälörajoite on aktiivinen x 2 + x 2 2 =, jolloin x 2 = x 2 2 = =2 ) neljä ratkaisu kandidaattia x:lle (= p 2; = p 2) (kaikki plus-miinus kombinaatiot) koska vaaditaan >, niin osa ratkaisukandidaateista voidaan sulkea pois: joko x = (= p 2; = p 2) tai x = (= p 2; = p 2) ja nämä voidaan molemmat todeta optimaalisiksi.4. kertaluokan ehdot Tehtävä max f(x) rajoitteilla g i (x), i = ; : : : ; k Lause: Oletetaan, että x on tehtävän optimiratkaisu, rajoitteet i = ; : : : ; k ovat aktiivisia ja loput eivät ole, ja aktiivisia rajoitteita vastaava Jacobin matriisi on täyttä rangia. Tällöin löytyy Lagrangen kertoimet siten i = kaikilla i = ; : : : ; n, i g i (x ) = kaikilla i = : : : ; k, ja i kaikilla i = ; : : : ; k. kyseessä on välttämätön optimaalisuusehto (ei riittävä) vaaditaan myös x :n käypyys, eli g i (x ) kaikilla i = ; : : : ; k, mikä voidaan kirjoittaa myös muodossa g(x ), missä g = (g ; : : : ; g k ) komplementaarinen slackness voidaan ilmaista matemaattisesti eri tavoin: () kuten edellä, (2) g i (x ) < ) i =, tai (3) P k i= ig i (x ) = rangiehto (ei-degeneroituneisuus kvali kaatio) koskee Jacobin (x n C. k k (x n ensimmäisen kertaluvun ehtojen koostumus : Lagrangen funktion optimaalisuus (L:n gradientti x:n suhteen nolla), komplementaarinen slackness, (primaali)käypyys, duaalikäypyys ( i ) Lagrangen kertoimia kutsutaan joskus myös duaalimuuttujiksi.5 Epäyhtälöistä yhtälöihin Monissa tapauksissa voidaan päätellä, että jotkin epäyhtälörajoitteet ovat optimissa aktiivisia tällöin epäyhtälörajoitteen voi käsitellä yhtälörajoitteena 3

4 Huom. ennen kuin alkaa ratkoa ensimmäisen kertaluvun ehtoja kannattaa aina miettiä voiko osan aktiivisista rajoitteista päätellä etukäteen Esim. kuluttajan teoriassa max U(x) rajoitteilla p x + : : : + p n x n I ja x i, i = ; ; : : : ; n kun U on kasvava kaikkien argumenttiensa suhteen, niin budjettirajoitteen voi päätellä olevan aktiivinen optimissa. Kuluttajan teoriassa on usein myös U(x) = kun x i = jollakin i ja muutoin U(x) >, mistä voi päätellä, että optimissa x i > kaikilla i.6 Esimerkki ehtojen ratkaisemisesta Tehtävä max x x 2 x 3 rajoitteilla x + x 2 + x 3 ja x i, i = ; 2; 3 (vertaa tyypilliseen kuluttajan tehtävään!) kirjoitetaan -ehdot muodossa x i jo tässä vaiheessa voidaan päätellä, että optimissa x + x 2 + x 3 on aktiivinen ja x i > 8i (ratkaistaan kuitenkin kokeeksi kaikki mahdolliset pisteet jotka toteuttavat ensimmäisen kertaluvun ehdot) Rangiehto: rajoitefunktion (g:n) Jacobin matriisi on B A matriisin rangi on kolme enintään kolme rajoitteista voi olla samaan aikaan aktiivisina! rangiehto toteutuu Lagrangen funktio L(x ; x 2 ; x 3 ; ; 2 ; 3 ; 4 ) = x x 2 x 3 (x + x 2 + x 3 ) 2 ( x ) 3 ( x 2 ) 4 ( x 3 ) 4

5 foc = x 2 x = x x = x x = X x i " ( X i i x i ) x i 8i # = i+ x i = ; 8i i 8i Tarkasteltavana on nyt kaikki mahdolliset kombinaatiot aktiivisia rajoitteita aloitetaan tapauksesta =, jolloin on oltava x 2 x 3 = x x 3 = x x 2 = ja i = kaikilla i (kolme ensimmäistä yhtälöä ehdoissa), mahdollisia ratkaisuja ovat kaikki sellaiset x, joissa kaksi komponenttia on nollia ja yksi on välillä [; ], näitä ratkaisuja vastaten f = oletetaan seuraavaksi, että >. tarkastellaan mitkä muut rajoitteet voivat olla aktiivisia :n ollessa aktiivinen: jos x =, niin r x L = antaa, että 3 = 4 = >, komplementaarisuusehdon mukaan x 2 = x 3 =, jolloin taas rajoite ei voi olla aktiivinen 2. käydään läpi kaikki edellä saadut mahdolliset kombinaatiot aktiivisia ja ei-aktiivisia rajoitteita: nyt saatiin vain yksi vaihtoehto, jossa on aktiivinen ja muut eivät ole, tällöin 2 = 3 = 4 = mistä seuraa x 2 x 3 = x x 3 = x x 2 ja edelleen x i = =3 8i ja = =9 kohdefunktioon sijoittamalla optimi on x = (=3; =3; =3).7 Lagrangen kertoimien tulkinta Yhtälörajoitteelle Lagrangen kerroin voitiin tulkita varjohintana, entä epäyhtälörajoitteille? Tulos: oletetaan, että x(a) on optimi tehtävälle max x f(x) siten, että g(x) a. (huom. g : R n 7! R m ja a 2 R m ). Jos aktiiviset rajoitteet eivät muutu jossakin a:n ympäristössä niin silloin x(a):ta vastaavat Lagrangen kertoimet (a) voidaan tulkita varjohintoina, eli df(x(a); a)=da i = i (a) 5

6 .8 Minimointitehtävät Ensimmäisen kertaluvun ehdot epäyhtälörajoitetulle tehtävälle muuttuvat, kun minimoidaan tai kun rajoite käsitellään muodossa suurempaa kuin nolla ( -muodossa) Esim. muotoile foc tehtävälle min f(x) s.e. g (x) ja g 2 (x)? Ensimmäisen kertaluvun ehdot voidaan kirjoittaa kuten maksimoinnin tapauksessa yhdellä muutoksella kaikkien rajoitteiden Lagrangen kertoimien merkki vaihtuu, eli eo. esimerkissä optimissa vaaditaan tämä voidaan päätellä kirjoittamalla alkuperäinen tehtävä muodossa max f(x) ja kääntämällä kaikki -rajoitteet -rajoitteiksi suositus: älä opettele eri Lagrangen kertoimien merkkikombinaatioita, vaan opettele ehdot maksimointitehtävälle standardimuodossa ja muuta tarvittaessa tehtävä tähän muotoon.9 Portfoliotehtävä Investoijalla on käytössään budjetti I, jonka voi sijoittaa n:ään eri rahoitusinstrumenttiin odotetut tuotot ovat r ; : : : ; r n > jos x i, i = ; : : : ; n, määrät on investoitu eri instrumentteihin, niin koko salkun odotettu tuotto on r x = P i r ix i, salkun varianssi on x V x = P P i j ijx i x j, missä ij on instrumenttien i ja j välinen kovarianssi, matriisi V on kovarianssimatriisi ( ii on instrumentin i tuoton varianssi) Varianssin minimointi tuottovaatimuksella tuottovaatimus r x m, missä m on odotetun tuoton alaraja Tehtävä: min x V x rajoitteilla e x = P i x i I (budjettirajoite), r x m (tuottovaatimus) ja x i kaikilla i (ei-negatiivisuusrajoitteet) Oletuksia: V kääntyvä, optimissa x i >, käypä joukko ei ole tyhjä oletetaan, että budjettirajoite on optimissa aktiivinen oletetaan, että myös tuottavaatimusrajoite on aktiivinen ja katsotaan milloin näin on Tutkitaan miten ratkaisu riippuu I:stä ja m:stä (ratkaistaan tehtävää niin pitkälle kuin tämän selvittäminen vaatii) Ensimmäisen kertaluvun ehdot 6

7 Lagrangen funktio L(x; ; 2 ) = x V x (e x I) + 2 (r x m) optimissa r x L(x; ; 2 ) = ja ; 2 (rajoite 2 käännettiin -rajoitteeksi), lisäksi käypyys ja komplementaarinen slackness r x L(x; ; 2 ) = voidaan kirjoittaa muodossa 2V x e + 2 r = ja saadaan x = 2 V e 2 2 V r Lagrangen kertoimet saadaan ratkaistua sijoittamalla edellä saatu x rajoitteisiin: e x = [e V e] =2 [e V r] 2 =2 = a b 2 = I r x = [r V e] =2 [r V r] 2 =2 = b c 2 = m Saadaan: = (bm ci)=(b 2 ca) ja 2 = (am bi)=(b 2 ca) ) ehdot milloin ; 2 huom. Lagrangen kertoimet ovat lineaarisia m:n ja I:n suhteen ) ratkaisuna saatava x on myös lineaarinen, eli muotoa x(i; m) = v m + v 2 I, missä v ; ja v 2 ovat vektoreita jotka riippuvat V :stä ja r:stä 2 Yleinen epälineaarinen tehtävä, riittävät ehdot 2.. kertaluvun ehdot Yleinen epälineaarinen tehtävä: max f(x) rajoitteilla h (x) = ; : : : ; h m (x) = ja g (x); : : : ; g k (x) Ensimmäisen kertaluvun välttämättömät ehdot oletukset di erentioituvuus, aktiivisten epäyhtälörajoitteiden ja yhtälörajoitteiden perusteella muodostettava Jacobin matriisi on täyttä rangia (ei-degeneroituneisuus) Lagrangen funktion L(x; ; ) = f(x) P i ig i (x) optimissa x löytyy Lagrangen kertoimet siten että Muutama ; ; i = 8i = ; : : : ; n i g i (x ) = 8i = ; : : : ; k g i (x ) 8i = ; : : : ; k h i (x ) = 8i = ; : : : ; m i 8i = ; : : : ; k P j jh j (x) 7

8 edellä olevassa muotoilussa on yhdistetty aikaisemmat tulokset tehtäville, joissa vain yhtälö- tai epäyhtälörajoitteita jos k ensimmäistä epäyhtälörajoitetta ovat aktiivisia, niin silloin eidegeneroituneisuusehto koskee (x k k (x (x n..... B m(x n kuten aikaisemminkin: ehdot = Lagrangen funktion optimaalisuus, komplementaarinen slackness, käypyys ja duaalikäypyys ratkaiseminen tapahtuu samoin kuin tapauksessa, jossa epäyhtälörajoitteita (komplementaarisuusehtojen läpikäynti) ehdot tunnetaan nimellä Karush-Kuhn-Tucker ehdot minimointitehtävän tapauksessa -epäyhtälörajoitteiden Lagrangen kertoimet vaihtavat merkkiä 2.2 Esimerkki Tehtävä max x x 2 2 rajoitteilla x 2 + x 2 2 = 4 ja x ; x 2 Lagrangen funktio L(x; ; ) = x x 2 2 ( x ) 2 ( x 2 ) (x 2 + x 2 2 4) Ensimmäisen kertaluvun välttämättömät = + 2x = 2 = 2x x 2 = (2) x 2 + x 2 2 = 4 (3) x i i = ; 2 (4) i x i = i = ; 2 (5) i i = ; 2 (6) Päätellään mitkä epäyhtälörajoittet voivat olla aktiivisia samaan aikaan, eli mitkä Lagrangen kertoimista voivat olla nollia samaan aikaan selvästikään molemmat epäyhtälörajoitteet eivät voi olla aktiivisia samaan aikaan 8

9 jos = 2 = (esim. kun kumpikaan epäyhtälörajoite ei ole aktiivinen) 2 = saadaan = () x = =2, ei käypä!) tai x 2 = () x = 2; = =4) voiko olla muita ratkaisuja kuin (x ; x 2 ; ; 2 ; ) = (2; ; ; ; =4)? Jos olisi niin silloin x 2 > ja 2 =, ehtojen perusteella olisi oltava = mikä johtaa ei-käypään x :een, eli ei voi olla muita ratkaisuja. 2.3 Ehtojen riittävyys Ensimmäisen kertaluvun ehdot ovat välttämättömät: ne toteutuvat optimipisteessä (kun ei-degeneroituvuus olettamus pätee) kuten olemme havainneet ehdot voivat toteutua myös muissa pisteissä kuin optimissa! milloin voidaan olla varmoja siitä, että ensimmäisen kertaluvun ehdot toteuttava piste todella on optimaalinen? toisen kertaluvun riittävä ehto rajoittamattomassa optimoin- Kertaus: nissa jos rf(x) = ja D 2 f(x) on negatiivide niitti niin silloin x on lokaali maksimi (minimille pos. de niittisyys) miten tämä yleistyy rajoitettuun optimointiin? Negatiivide niittisyys: v T [D 2 f(x)]v < kaikilla v 6= eräs tapa todeta tämä on tutkia Hessin matriisin D 2 f(x) pääminorien determinantteja Hessin matriisi (toiset derivaatat) kertoo funktion kaarevuudesta! huom. de niittisyys liittyy konkaavisuuteen: jos D 2 f(x) on negatiivide niitti (kaikilla x) niin f on aidosti konkaavi kertaluvun riittävät ehdot Lause: Ensimmäisen kertaluvun ehdot toteuttava piste x on optimaalinen (lokaali maksimi), kun Lagrangen funktion Hessin matriisi x:n suhteen D 2 xl(x; ; ) on negatiivide niitti joukossa C =fv 6= : rg i (x) v = ; i = ; : : : k ; rg i (x) v ; i = k + ; : : : ; k ; Dh(x)v = g; missä k ensimmäistä epäyhtälörajoitetta oletetaan aktiivisiksi ja näistä k :n ensimmäisen Lagrangen kertoimet ovat aidosti positiivisia. Huomioita 9

10 neg. def. vaatimus matemaattisesti: v T D 2 xl(x; ; )v < 8v 2 C oletukset: Lagrangen kerroinvektorit ja pistettä x vastaten, eli näillä kertoimilla ens. krt. luvun ehdot toteutuvat x:ssä, kahdesti jatkuvasti di erentioituvuus kun kaikki aktiivisia rajoitteita vastaavat Lagrangen kertoimet ovat positiivisia niin C on aktiivisten epäyhtälörajoitteiden ja yhtälörajoitteiden määräämä tangenttijoukko toisen kertaluvun ehto ei toteudu jos C = ; piste voi olla maksimi vaikka neg. def. vaatimus ei toteudu, pätee kuitenkin ns. toisen kertaluvun välttämätön ehto: maksimissa D 2 xl on neg.sem.def 8v 2 C (kun C 6= ;) negatiivisemide niittisyydestä ei seuraa optimaalisuus Variaatioita toisen kertaluvun ehdosta jos D 2 xl(x; ; ) on neg.def. (kaikilla v), niin x on lokaali maksimi jos ja ovat pistettä x vastaavat Lagrangen kertoimet ens. krt. luvun ehdoissa ja D 2 xl(x; ; ) on neg. def. (kaikilla v) ja kaikilla käyvillä x, niin piste x on globaali maksimi Yhtälörajoitettu tehtävä myös lokaalit minimit voidaan päätellä toisen kertaluvun ehtoja tarkastelemalla: jos D 2 xl(x; ; ) on pos. def. kun v 2 C niin kyseessä lokaali minimi huom. epäyhtälörajoitetulle tehtävälle minimejä ei voida päätellä näin, sillä minimointitehtävälle Lagrangen kertoimet vaihtavat merkkiä, eli samat pisteet eivät (välttämättä) toteuta minimointitehtävän ensimmäisen kertaluvun ehtoja kuin maksimointitehtävän Epäyhtälörajoitetut minimointitehtävät vaaditaan ensimmäisen kertaluvun ehdot ja matriisin D 2 xl(x; ; ) positiivide niittisyys joukossa C 2.5 Portfoliotehtävä Tehtävä min x T V x s.e. e x I ja r x m Lagrangen funktion Hessin matriisi on D 2 xl = D 2 xf = V + V T = 2V (sillä V = V T ) Onko V positiivide niitti? ainakin pos.sem.def. sillä x T V x on portfolion varianssi ( ) tämä tehtävä on lineaarisneliöllinen: Hessin matriisin positiivisemide niittisyys on riittävä ehto lineaaris-neliöllisille minimointitehtäville

11 2.6 De niittisyyden tutkiminen kertausta: symmetrinen matriisi A on negatiide niitti sen johtavien pääminoreiden determinantit vaihtavat merkkiä; ja j <, ja 2 j >, ja 3 j < jne. (tässä indeksi on minorin kertaluku)! esim. D 2 xl:n de niittisyyden määrittäminen (kaikilla v) DxL:n 2 de niittisyyden määrittäminen lineaarisilla rajoitteilla edellyttää reunustetun Hessin matriisin tutkimista, oletetaan että vain yhtälörajoitteita, tällöin reunustettu Hessin matriisi on Dh(x) H = Dh(x) T DxL(x; 2 ) jos h : R n 7! R m niin on tutkittava (n m):n suurimman kertaluvun pääminorin determinantit, jos determinanttien merkit vaihtelevat siten että det(h) merkki on sama kuin ( ) n :n merkki ja (n m) päädeterminanttien merkit vaihtelevat, niin D 2 xl(x; ) on neg. def. esim. n = 2 ja m =, tällöin riittää tutkia vain reunustetun Hessin matriisin determinantti, jos se on positiivinen niin D 2 xl(x; ) on neg. def. 2.7 Toinen esimerkki Tehtävä max ln x +ln x 2 +ln x 3 rajoitteella x 2 +x 2 2 +x 2 3 3, luonnollisesti on oletettava x i > Ensimmäisen kertaluvun ehdot: =x 2x = =x 2 2x 2 = =x 3 2x 3 = (x 2 + x x 2 3 3) = Tehtävä näyttäisi olevan symmetrinen kaikkien muuttujien suhteen joten luultavasti optimissa x = x 2 = x 3, jolloin kaikkien muuttujien on oltava ja = =2 Kohdefunktion Hessin matriisi =x2 =x 2 2 A tämä näyttäisi olevan neg.def. =x Rajoitefunktion Hessin 2 A 2 ( ) kertaa tämä matriisi on mitä ilmeisimmin neg. def.

12 Edellä olevan perusteella D 2 xl on neg. def. kaikilla v ja x (kun x i > ), joten ratkaisu on globaali optimi kertaluvun ehtojen testaaminen Oletetaan, että ensimmäisen kertaluvun ehdoista on saatu ratkaisuna kandidaatti (tai useita) optimiksi Aloita tarkastelu pohtimalla vaikuttaisiko todennäköiseltä, että D 2 L olisi neg.def. kaikilla v tähän pohdintaa ei ole syytä panostaa kohtuuttoman paljon huomaa, että D 2 f on osa D 2 L:ää, eli aloita tarkastelu D 2 f:stä jos näyttää siltä että D 2 f ei ole neg.def. niin tuskin on D 2 L:kään (kaikilla v) jos D 2 f näyttäisi olevan neg.def. niin tee sama pohdinta rajoitteille jos päädyt siihen, että rajoitteiden Hessin matriisit voisivat olla pos.def. (neg.def.) niille rajoitteille joiden kerroin positiivinen (negatiivinen) niin yritä osoittaa, että myös D 2 L on neg. def. kaikilla v. Jos tämä ei tuota tulosta, voi siirtyä tarkastelemaan reunustetun Hessin matriisin de niittisyyttä Huom. on muitakin riittäviä ehtoja kuin toisen kertaluvun ehdot toisen kertaluvun ehdot ovat usein melko työläät tutkia, joten on parempi ensin katsoa olisiko tehtävän rakenteessa jotain sellaista, jonka avulla optimaalisuus olisi helpompi todeta (tähän palataan konkaavien tehtävien yhteydessä) 2.9 Ja kolmas esimerkki Tehtävä max x 2 x 2 rajoitteella 2x 2 + x 2 2 = 3 Ensimmäisen 8 kertaluvun ehdosta saadaan kuusi kandidaattia (x ; x 2 ; ) = >< (; p 3; ) (; ; =2) >: (; ; =2) 2x2 2x Lasketaan Hessin matriisi kohdefunktiolle 2x vaikuttaako negatiivi/positiivi/in-de niitiltä? Tarkastellaan seuraavaksi rajoitetta: Hessin matriisi = 4 2 2

13 D 2 L:n de niittisyys ei vaikuta selvältä D 2 f:n ja D 2 h:n perusteella Pisteet x = (; p 3): huomataan että kun x 2 (x 2 ) niin kohdefunktio on vähintään (enintään) nolla. Tämän perusteella voidaan sanoa, että x = (; p p 3) on lokaali minimi ja x = (; 3) on lokaali maksimi Muille ratkaisukandidaateille voidaan tarkastella reunustettua Hessin matriisia pisteissä x = (; 2 ) saadaan DxL 2 =, jonka de niittisyydestä 2 ei pysty sanomaan mitään (oikeastaan harjaantunut silmä näkee että matriisi on inde niitti), joudutaan siis tarkastelemaan reunustetun 4 2 Hessin matriisin de niittisyyttä. 4 2A 2 2 kertaus: jos muuttujia n ja rajoitteita m niin on tarkasteltava n m suurinta pääminoria tässä tapauksessa n = 2 ja m =, eli riittää tarkastella vain edellä saadun matriisin determinanttia ja se on 48, mistä voidaan päätellä että DxL 2 on pos. def. rajoitteiden määräämässä tangenttijoukossa, joten pisteet ovat lokaaleja minimejä vastaavasti (x ; x 2 ; u) = (; ; =2) ovat lokaaleja maksimeita 3 Optimoinnin teoriaa 3. Weierstrassin lause Vastaus kysymykseen: Milloin voidaan olla varmoja, että optimointitehtävällä on ratkaisu? Lause: Tehtävällä max x2x f(x) on ratkaisu, kun f on jatkuva ja X on kompakti joukko Kompakti R n :n osajoukko = suljettu ja rajoitettu. X suljettu: fx k g k= X, eli jono X:ssä, joka suppenee, eli kx k xk! (merkitään x k! x), kun k!, tällöin x 2 X merkintä kxk = p Pi x2 i (vektorin x normi) 2. X rajoitettu: löytyy M > siten, että x 2 X ) kxk M esim. jos X = fx 2 R n : g(x) ; h(x) = g ja kuvaukset g ja h ovat jatkuvia niin X on suljettu Huomioita 3

14 olemassaolo koskee myös minimiä kun X on suljettu, f jatkuva ja sen ylätasojoukot kompakteja, niin tehtävällä on ratkaisu 3.2 Kuluttajan teoria Kuluttajan tehtävässä käypä joukko on kompakti ) Jos hyötyfunktio on jatkuva kaikilla x, niin tehtävällä on ratkaisu Voidaan koota kaikki edellä kehitelty kuluttajan teoria: kun U on jatkuva, aidosti kvasikonkaavi ja kasvava, niin kysyntäfunktio on määritelty kaikille p ja I > D kun U on lisäksi kahdesti jatkuvasti di erentioituva ja H = 2 U(x) p p T on kääntyvä, niin kysyntäfunktio on jatkuvasti di erentioituva pisteen (p; I) ympäristössä 3.3 EXTRAA: muunnokset optimoinnissa Syitä tehdä muunnoksia optimointitehtävälle kohdefunktion ja/tai rajoitteiden muuntamisen jälkeen tehtävä on (kvasi)konkaavi muunnoksen jälkeen tehtävän ensimmäisen kertaluvun ehdoista tulee helpommin ratkaistavat varoitus: älä tee muunnoksia turhan takia Kohdefunktion muuntaminen: kvasikonkaavin tehtävän ratkaisu ei muutu kun kohdefunktion korvaa funktiolla h(f(x)) missä h on kasvava funktio vaikka ratkaisut eivät, muutu niin tehtävän kvalitatiiviset ominaisuudet voivat muuttua esim. tehtävän min kax + bk ja min kax + bk 2 ratkaisut ovat samat mutta ensimäisen tehtävän kohdefunktio ei ole di erentioituva kun Ax + b = Muunnokset rajoitteille joskus myös rajoitteet kannattaa muuntaa helpommin käsiteltäviksi, esim. kxk a on helpompi käsitellä muodossa kxk 2 a 2 kun muodostaa ensimmäisen kertaluvun ehdot jos muunnos rajoitteelle on muotoa h(g(x)) niin h:n on oltava sellainen, että h(g(x)), g(x) 4

15 ei-di erentiotuvat rajoitteet ja muuttujien lisääminen, esim. rajoite maxfx ; x 2 g a; ota uusi muuttuja z ja kohdefunktio f(x) z, lisää rajoitteet z x, z x 2 ja z a Yhtälörajoitteiden korvaaminen epäyhtälörajoitteilla joissakin tapauksissa ei-konveksi tehtävä voidaan muuttaa konveksiksi korvaamalla rajoite h(x) = rajoitteella h(x), tällöin tehtävän ratkaisu ei kuitenkaan saa muuttua tästä muunnoksesta voi olla hyötyä, kun halutaan näyttää että ensimmäisen kertaluvun ehtojen ratkaisu todella on optimaalinen muunnos rajoitteeksi h(x) voidaan tehdä, kun optimissa rajoiteen Lagrangen kerroin on positiivinen Esim. alkupääoma w (annettu), periodin i kulutus c i, periodin i + pääoma w i+ = f(w i c i ), missä f on konkaavi ja kasvava tuotantofunktio, hyöty u kasvava ja konkaavi, tehtävä max TX i u(c i ) i= s.e. c i w i ; i = ; : : : ; T w i+ = f(w i c i ); i = ; : : : ; T (endogeenisina) muuttujina c ; : : : ; c T ja w ; : : : ; w T tehtävä ei ole edellä muotoiltuna konkaavi (miksi?) kun yhtälörajoite korvataan epäyhtälörajoitteella w i+ f(w i c i ), niin tehtävä on konkaavi (miksi?), huom. optimissa tämä rajoite tulee olemaan aktiivinen (miksi?), joten muunnoksen voi tehdä Muuttujan vaihdokset harvoin tarpeen teoreettisissa tarkasteluissa nk. limited domain ongelman kiertäminen: esim. ln x funktio on määritelty vain kun x >, eli määrittelyjoukko ei ole koko R, tehtävä max x> ln x saadaan muunnoksella x = e y tehtäväksi jossa optimoitava muuttuja y 2 R 5