Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta"

Transkriptio

1 Maanmittaus 83:2 (2008) 5 Maanmittaus 83:2 (2008) Saapunut ja tarkistettuna Hyväksytty Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta Pasi Häkli, Hannu Koivula ja Jyrki Puupponen Geodeettinen laitos Geodesian ja geodynamiikan osasto Geodeetinrinne 2, Masala Tiivistelmä. Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli selvittää staattisen GPSmittauksen tarkkuuden, vektorin pituuden ja havaintoajan välinen yhteys. Tuloksena esitetään kuva, josta voidaan arvioida yksi näistä tekijöistä, kun kaksi muuta tiedetään. Kuvasta voidaan vertailla myös satelliittien lähettämillä (broadcast) ja tarkoilla (precise) radoilla saatavia tarkkuuksia. Tutkimuksessa käytettiin havaintoaineistoa, joka kattaa vektorinpituudet 0,6 ja km välillä. Havaintoajat vaihtelivat 10 minuutista täyteen vuorokauteen. Havaintoaineistosta laskettiin yli GPS-vektoria käyttäen molempia ratatietoja. Laskettu data valittiin satunnaisesti eri vuorokauden ja vuoden ajoilta, jotta mahdolliset muut vaikutukset (kuten satelliittigeometrian ja ilmakehän vaikutukset) keskiarvoistuvat. Tutkimme yksittäisten vektoreiden tarkkuutta eli verkkotasoitusta ei suoritettu. Kutakin vektorinpituus/havaintoaikaväliä kohden saatiin 20 tarkkuustulosta, joista laskettiin rms-arvo. Rms-arvojen muodostamaan hilaan sovitettiin pinta. Aineistoa kuvaavimman pinnan löytämiseksi suoritettiin lukuisia testejä, ja paras yhteensopivuus valittiin. Parhaan sovituksen R2- arvo on 0,91 satelliittien lähettämille ja 0,87 tarkoille radoille, mikä kertoo pinnan kuvaavan aineistoa hyvin. Lopputuloksiin sovitettiin 1 5 cm regressioviivat kuvaamaan GPS:n tarkkuutta vektorinpituuden ja havaintoajan suhteen. Avainsanat: staattinen GPS, tarkkuus, havaintoaika, vektorin pituus. 1 Johdanto Uusista tosiaikaisista GPS-mittausmenetelmistä huolimatta perinteinen staattinen GPS-mittaus on edelleen tarkin menetelmä. Kiintopisteiden mittauksessa on erittäin suositeltavaa käyttää staattista mittausta. Esimerkiksi kaavoitusmittausohjeen mukaisesti peruskiintopisteiden mittaamisessa tulee käyttää joko staattista GPSmittausta tai jonomittausta (MML 2003). Vaikka staattista GPS-mittausta on harjoitettu Suomessa jo yli 20 vuotta, siihen liittyvä ohjeistus on ollut osin puutteellista. Yhdenmukaista tietoa tarkkuuden,

2 6 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta vektorin pituuden ja havaintoajan yhteydestä on vaikea saada, ja eri lähteistä saadut tiedot voivat olla hyvinkin erilaisia. Tyypillisesti GPS:n tarkkuutta esitetään vakiotermillä ja etäisyydestä riippuvalla termillä (esim. 5 mm ± 1 ppm). Tämä luku ei kuitenkaan ilmoita kuinka pitkään tulee havaita, jotta kyseinen tarkkuus saavutetaan. Havaintoajan pituuteen puolestaan löytyy kirjallisuudesta ohjeita kuten 20 min + 2 min/km (Hofmann-Wellenhof ym. 2001). Kaavoitusmittausohjeet puolestaan antavat havaintojakson pituuksia eri mittausluokille. Esimerkiksi peruskiintopisteille suositellaan minuutin havaintoja ja käyttöpisteille lyhyempiä aikoja riippuen siitä, missä mittausluokassa havainnot tehdään (MML 2003). Kaikista ohjeista ja erityisesti omasta mittaus- ja laskentakokemuksestaan GPS-mittajat ovat oppineet omat nyrkkisääntönsä. Staattisen GPS:n tuottavuutta voidaan lisätä optimoimalla havaintojaksojen pituuksia halutun tarkkuuden mukaan. Saavutettavaan tarkkuuteen vaikuttavat havaintoajan ja havaittavan vektorin pituuden lisäksi mm. havaintopaikka, satelliittien lukumäärä, satelliittigeometria, käytettävä laitteisto sekä havaitsijan huolellisuus sisältäen optisen luodin säännöllisen tarkistamisen. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on antaa vastaus siihen kuinka pitkään hyvissä havainto-olosuhteissa tulee mitata halutun kolmiulotteisen tarkkuuden saavuttamiseksi. Tutkimuksessa laskettiin kaupallisella ohjelmistolla tuhansia eripituisia vektoreita erilaisilla havaintoajoilla. Laskenta suoritettiin sekä satelliittien lähettämillä että tarkoilla radoilla. 2 Testikenttä ja referenssikoordinaatit Tutkimuksen testikentän pisteiksi hyväksyttiin vain hyvillä havaintopaikoilla sijaitsevia pysyviä GPS-asemia tai pilareita, joihin antennit voidaan asentaa aina samalla tavalla. Näin kolmijalkojen pystytystarkkuus, optisen luodin virheet, antennin korkeudenmittaustarkkuus tai ympäristön esteet eivät vaikuta lopputuloksiin. Pisteet valittiin siten, että vektorinpituudet kattavat etäisyydet muutamasta sadasta metristä tuhanteen kilometriin saakka. Näin ne kattavat kaikki Suomessa mitattavissa olevat vektorinpituudet. Testikentän (kuva 1) muodostavat Suomen pysyvä GPS-verkko FinnRef (Koivula 2006), Posivan (Ahola ym. 2006) ja GeoSatakunta-projektien (Ahola ja Poutanen 2006) deformaatiotutkimusverkot sekä Virossa oleva Suurupin pysyvä GPS-asema. Yhteensä testissä käytettiin 26 GPS-asemaa tai pilaria. Kaikilla pisteillä antennit on kiinnitetty joko betonipilareille tai metallimastoihin. Asemien stabilius on varmistettu useiden vuosien aikana kerätyin GPS-havainnoin ja säännöllisesti toistetuin tarkistusmittauksin. Testikentän pisteille laskettiin koordinaatit ITRF2000-koordinaatistossa (Boucher ym. 2004) käyttäen vähintään 24 h GPS-havaintoja. Koordinaattien laskentaan käytetty data on eri ajanhetkeltä kuin testissä käytetty data, jotta tulokset eivät vääristyisi. Referenssikoordinaatit laskettiin Bernese-ohjelmistolla käyttäen IGS:n tarkkoja ratatietoja. Referenssikoordinaattien havaintohetkeksi valittiin , joka on testissä käytettyjen havaintojen keskiepookki. Tällä tavalla varmistettiin referenssikoordinaattien tasalaatuisuus.

3 Maanmittaus 83:2 (2008) 7 Kuva 1. Tutkimuksessa käytetty testikenttä. Kolmiot ovat Suomen pysyvän GPS-verkon asemia, neliö on Suurupin GPS-asema Virossa ja ympyrät ovat Satakunnan alueella olevia tutkimuskäyttöön rakennettuja pilareita. 3 Testidata ja sen laskenta Testissä käytettiin vuosien mittauskampanjoista ja pysyviltä GPS-asemilta kerättyä dataa. Havainnot kerättiin samanlaisilla kaksitaajuusvastaanottimilla ja vaimennusrenkailla varustetuilla (ns. choke ring) GPS-antenneilla. Havaintovälinä oli 30 s ja katkaisukulmana datankeräysvaiheessa 5 astetta. Testiverkosta muodostettiin 38 vektoria, jotka kattavat vektorinpituudet 0,6 ja km välillä mahdollisimman tasavälein (kuva 2). Noin 60 km asti vektoreita on tiheämmin, koska tämä on yleisin GPS-mittaajien toiminta-alue. Eri vektorinpituuksista kerättiin satunnaisotoksella dataa erilaisilla havaintoajoilla 10 minuutista 24 tuntiin (kuva 3). Jokaiselle havaintoaika/vektorinpituus-vaihtoehdolle kerättiin dataa 20 eri ajanhetkeltä ja muodostaen siten 20 vektoria/vaihtoehto. Havaintoaineisto laskettiin kaupallisella GPS-laskentaohjelmistolla (Trimble Total Control, TTC) käyttäen pääsääntöisesti ohjelman suosittelemia oletusparametreja. Trimblen antennimallin sijaan käytimme kuitenkin NGS:n antennimallia (NGS 2008), joka löytyy yhtenä mallivaihtoehtona TTC:stä. NGS on jo vuosia kalibroinut kaikkien GPS-vastaanotinvalmistajien antenneja ja heidän kalibrointitaulukoitaan käytetään laajasti GPS-laskennassa. Antennimallilla huomioidaan

4 8 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta Kaikki vektorit [km] Alle 60 km vektorit Kuva 2. Tutkimuksessa käytetyt vektorinpituudet. Alemmassa kuvassa on esitetty kaikki vektorit ja päällä olevasta kuvasta näkee tarkemmin alle 60 km pitkien vektoreiden jakauman. km 03:00 02:00 01:00 00:30 00:15 00:10 24:00 12:00 06:00 Havaintoaika [h] Kuva 3. Tutkimuksessa käytetyt havaintoajat. (m) 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 3D-tarkkuus 3h havaintovälillä 0, Vektorin pituus (km) Kuva 4. Esimerkki GPS:n 3D-tarkkuudesta eri vektorinpituuksilla. Havaintoaika on kolme tuntia ja laskenta on tehty satelliittien lähettämillä radoilla.

5 Maanmittaus 83:2 (2008) 9 antennin sähköisen keskipisteen paikka (paikka, johon kerätyt havainnot viittaavat) antennin referenssipisteen ARP:n (useimmiten antennin pohja) suhteen. Ohjelma laskee GPS-ratkaisut useilla eri lineaarikombinaatioilla ja valitsee niistä parhaan ratkaisun. Tutkimuksessa laskettiin yksittäisiä vektoreita ilman verkkotasoitusta. Jokaisen vektorin tulokset tallennettiin jatkokäsittelyä varten. Vektorilaskennan antamien koordinaattien avulla laskettiin jokaiselle vektorille 3D-tarkkuusarvo (pistekeskivirhe), joka kuvaa laskettujen koordinaattien poikkeamaa referenssikoordinaateista. Kuvassa 4 on esitetty 3D-tarkkuusarvot kolmen tunnin havaintojaksolla kaikille lasketuille vektorinpituuksille. Kuvasta nähdään hyvin vektorin pituuden vaikutus GPS:n tarkkuuteen. Testissä laskettiin yhteensä n vektoria molemmilla radoilla eli yhteensä noin vektoria. 4 GPS-tulosten analysointi Lasketut poikkeamat referenssikoordinaateista lajiteltiin vektorin pituuden ja havaintoajan perusteella. Näin saatiin muodostettua hila, jonka akseleina ovat vektorin pituus ja havaintoaika (kuva 5). Jokainen hilapiste koostuu noin 20 havainnosta, joiden rms antaa hilapisteen arvon. Rms kuvaa tarkkuutta, jota parempia tuloksia noin 68 % mittauksista normaalijakautuneessa aineistossa antaa. Kuvassa 6 on esitetty hilan yhden tunnin rivin rms-arvot molemmille radoille. Satelliittien lähettämien ratojen tapauksessa hilassa oli 267 pistettä (5 062 vektoria) ja tarkoilla radoilla 275 pistettä (5 178 vektoria). 4.1 Havaintojen esikäsittely Jotta voimme löytää yhteyden vektorin pituuden, havaintoajan ja tarkkuuden välille, tulee hilapisteisiin sovittaa pinta. Ennen pinnan sovittamista havaintoaineisto esikäsiteltiin, jotta hila-aineisto saatiin yhtenäisemmäksi. Ongelmallisia pisteitä olivat erityisen suuret rms-arvot, joita saatiin, kun lyhyillä havaintoajoilla pyrittiin havaitsemaan mahdollisimman pitkiä vektoreita. Ilman esikäsittelyä nämä hilapisteet heikentävät merkittävästi pinnan sovittamista. Aineisto käsiteltiin ensin havaintotasolla, eli yksittäisten hilapisteiden sisältämiä vektoreita tarkasteltiin kokonaisuutena. Mikäli yksittäisen vektorin ratkaisu poikkesi yli 0,5 m referenssikoordinaateista, se luokiteltiin karkeaksi virheeksi ja Kuva 5. Hilapisteistö, jonka jokainen piste kuvaa yhtä vektorin pituuden ja havaintoajan yhdistelmää. Hilapisteessä arvona on rms-tarkkuus.

6 10 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta 0,35 Havaintoaika 1h 0,30 0,25 rms (m) 0,20 0,15 0,10 0,05 0, vektorin pituus (km) Kuva 6. Hilapisteille lasketut rms-arvot yhden tunnin havaintoajalla. Mustat pallot kuvaavat arvoa satelliittien lähettämillä radoilla ja harmaat tarkoilla radoilla. poistettiin. Raja-arvon valinta on sattumanvarainen, mutta ratkaisuja, jotka poikkeavat yli 0,5 m referenssiarvoista, ei voi kutsua geodeettisiksi tuloksiksi. Toinen esikäsittelyehto perustuu olettamukseen aineiston normaalijakautuneisuudesta. Mikäli havainto poikkesi yli 3σ referenssiarvosta, jossa σ on hilapisteen kaikkien arvojen rms, se luokiteltiin karkeaksi virheeksi. Kuitenkaan yhtään havaintoa, jonka virhe oli pienempi kuin 1 cm ± 1 ppm, ei poistettu vaikka se olisi luokiteltu karkeaksi virheeksi. Aineiston läpikäymiseksi vaadittiin muutama iteraatiokierros, joiden aikana hylättiin noin 1,5 % havainnoista. Seuraavassa vaiheessa käsiteltiin hilapisteitä. On selvää, että esimerkiksi erittäin lyhyillä havaintoajoilla mitatut pitkät vektorit johtavat suuriin rms-arvoihin. Mikäli tätä aineistoa ei puhdisteta, joudutaan pinnan sovittamisessa käyttämään kohtuuttoman korkea-asteisia termejä. Hilapisteet käsiteltiin sarjoina siten, että sarjassa havaintoaika pysyi vakiona tarkkuuden ja vektorin pituuden muuttuessa (vrt. kuva 6). Jokaisesta sarjasta etsittiin karkeita virheitä ja katkaisukohtia. Katkaisukohtina käsitellään kohtia, jonka jälkeen GPS-havainnot eivät riitä hyvän ratkaisun saamiseksi. Tämän pisteen jälkeen tarkkuus heikkenee nopeasti ja usein tarkkuudessa tapahtuu selvä hyppy. Näin tapahtuu lähinnä pitkillä vektoreilla käytettäessä liian lyhyttä havaintoaikaa. Karkeiden virheiden automaattiseen etsimiseen käytettiin polynomisovitusmenetelmää. Ensimmäiseksi etsittiin polynomille asteluku sovituksen keskivirheen avulla. Tämän jälkeen n-asteinen polynomi sovitettiin aineistoon. Kunkin hilapisteen sovitusvirhettä e verrattiin sovituksen kolminkertaiseen keskivirheeseen (3σ e ). Mikäli sovitusvirhe oli suurempi, hilapiste hylättiin. Menetelmä on erittäin konservatiivinen hyläten vain voimakkaasti poikkeavat havainnot. Käytettävästä aineistosta hylättiin vain muutama hilapiste. Esimerkiksi tunnin havaintoaineistolla (kuva 6) polynomin asteluku oli molemmille sarjoille 11 ja yhtään hilapistettä ei hylätty.

7 Maanmittaus 83:2 (2008) 11 Karkeiden virheiden poistamisen jälkeen datasta etsittiin katkaisukohdat. Katkaisukohtia etsittiin erotusmenetelmällä, jossa peräkkäisten hilapisteiden arvot vähennettiin toisistaan. Neliöön korotetut erotushavainnot näyttävät aikasarjoissa olevat epäjatkuvuuskohdat selvinä piikkeinä. Piikit tarkistettiin vielä erikseen 3σ säännöllä. Tällä keinolla löysimme sarjoista joitakin selviä katkaisukohtia, joita pidempiä vektoreita ei kyseisellä havaintoajalla kannata mitata. Esimerkiksi 10 ja 15 minuutin sarjat katkaistiin noin 20 km kohdalta. Tunnin havainnot satelliittien lähettämillä radoilla katkaistiin 544 km kohdalta. Esikäsittelyvaiheessa hylättiin 44 hilapistettä satelliittien lähettämillä radoilla ja 24 pistettä tarkoilla radoilla. Hylätyt hilapisteet olivat lähes kaikki katkaisukohtien jälkeisiä pisteitä. 4.2 Pinnan sovitus Esikäsittelyn jälkeen hilapisteisiin sovitettiin empiirisellä menetelmällä pinta. Dataa parhaiten kuvaavan pinnan löytämiseksi testattiin lukuisia pintavaihtoehtoja. Testeissä ilmeni, että parhaan mahdollisen sovituksen saavuttamiseksi tarvitaan joko korkea-asteisia pintoja tai datan linearisointia. Näistä valittiin ensimmäisen asteen pinnan sovittaminen ja datan linearisointi. Kymmenien linearisointitapojen testauksen jälkeen päädyttiin parhaat tunnusluvut antavaan ratkaisuun. Data linearisoitiin 10-kantaisella logaritmilla ja neliöjuurella tekemällä tasosovitus kaavalla log ( z) = a+ b log ( x) + c y, missä x on vektorin pituus kilometreinä, y on havaintoaika tunteina, z on havaintojen rms metreinä. a, b ja c ovat sovituksen kertoimet. Taso sovitettiin aineistoon pienimmän neliösumman menetelmällä iteratiivisesti. Iteroinnissa hilapisteille laskettiin sovitusvirheet (e i = z i Z i ) ja hilapiste hylättiin, mikäli sovitusvirhe oli suurempi kuin 3σ e. Iterointia jatkettiin kunnes hylättäviä pisteitä ei enää löytynyt. Pinnan sovituksen aikana hylättiin 24 pistettä satelliittien lähettämillä ja 12 tarkoilla radoilla. Hylätyt pisteet sijaitsivat pääasiassa alueella, joka ei ole geodeettisesti kiinnostava eli rms oli erittäin suuri. Pinnan sovituksen hyvyyttä tarkasteltiin R 2 -arvon ja sovituksen rms:n avulla. R 2 kertoo sen, kuinka hyvin pinta kuvaa dataa, johon se on sovitettu arvon 1,0 kuvatessa täydellistä sopivuutta. Normaalijakautuneen aineiston tapauksessa rms kuvaa arvoa, jonka alle 68 % havainnoista jää. Niinpä pinnan sovituksen rms sisältää 68-prosenttisesti sovituksen virheet. Sovituksen rms oli 8,2 mm satelliittien lähettämille radoille ja 10,9 mm tarkoille radoille. Iteroiminen paransi rms-tarkkuutta muutamalla millimetrillä. Ensimmäisen kierroksen jälkeiset rms-arvot olivat 13,6 mm ja 13,0 mm. R 2 -arvot olivat 0,91 satelliittien lähettämille ja 0,87 tarkoille radoille. Sovitukseen liittyviä tunnuslukuja on kerätty taulukkoon 1. Kuvissa 7 8 esitetään sovitusten jäännösvirheet hilapisteissä. Kuviin on piirretty myös 1 5 cm regressioviivat rms-tarkkuuksille. Alle 5 cm rms-tarkkuus (1)

8 12 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta Kuva 7. Sovituksen jäännösvirheet hilapisteille (ympyrät) satelliittien lähettämillä radoilla. Ympyrät kuvaavat sovitusvirheen suuruutta. Kuva 8. Sovituksen jäännösvirheet hilapisteille (ympyrät) tarkoilla radoilla. Ympyrät kuvaavat sovitusvirheen suuruutta.

9 Maanmittaus 83:2 (2008) 13 vastaa mielestämme geodeettista tarkkuutta painottuen tarkempaan 1 2 cm alueeseen. Kuvista nähdään, että suurimmat sovitusvirheet ovat juuri huonomman tarkkuuden alueella. Mikäli tarkastelemme sovituksen rms-virhettä vain 5 cm paremmalla tarkkuusalueella, se on 7,3 mm satelliittien lähettämille radoille ja 8,7 mm tarkoille radoille. Taulukko 1. Joitakin pinnan sovituksen tunnuslukuja. R 2 ja rms osoittavat pinnan kuvaavan dataa hyvin. Rms (geod) viittaa rms-arvoon alueella jossa z < 5cm. Arvo Sat. läh. radat Tarkat radat R 2 [ ] 0,91 0,87 Rms [mm] 8,2 10,9 Rms (geod) [mm] 7,3 8,7 Max. virhe [mm] 23,6 32,4 Iteraatiot 7 4 Hilapisteiden määrä Staattisen GPS:n 3D-tarkkuus Kuvassa 9 on esitetty tämän tutkimuksen lopputuloksena yhteys tarkkuuden, vektorin pituuden ja havaintoajan välille. Kuvasta voidaan arvioida kolmas tekijä, jos kaksi muuta tunnetaan. Jos esimerkiksi mitattavan vektorin pituus tunnetaan ja tiedetään haluttu tarkkuus, etsitään kuvasta vektorin pituuden ja tarkkuuskäyrän leikkauspiste ja luetaan vähimmäishavaintoaika pystyakselilta. Samassa yhteydessä voidaan päättää, käytetäänkö tarkkoja ratoja ja vaikuttaako niiden käyttäminen havaintoaikaan. Kuvassa sekä havaintoaikaa kuvaava akseli että vektorin pituutta kuvaava akseli ovat logaritmisia. Regressioviivat kuvaavat kolmiulotteisen geodeettisen GPS:n rms-tarkkuutta sekä satelliittien lähettämillä radoilla (yhtenäinen viiva) että tarkoilla radoilla (katkoviiva). Yleisesti ottaen tarkkojen ratojen käyttäminen parantaa pitkien vektoreiden tarkkuutta. Kuvassa on merkitty harmaalla alueet, joissa sovitus ei ole voimassa. Harmaalla alueella datamäärä ei ole riittänyt geodeettisen tarkkuuden saavuttamiseksi tai siellä ei ole ollut hilapisteitä. Näin ollen käyriä ei tule ekstrapoloida näille alueille. Sen sijaan käyrien välillä interpolointi on sallittu. Kuvaa 9 tarkkuuden arviointiin käytettäessä on huomattava, että regressioviivat on generoitu rms-arvoihin mikä tarkoittaa, että noin 68 % tuloksista on parempia kuin kuvan antama tarkkuus. Mikäli halutaan korkeampaa kuin 68 % luotettavuustasoa, ei kuvan arvoja voi suoraan käyttää. Karkeana nyrkkisääntönä voidaan rms kertoa esim. kahdella, jolloin saadaan likimäärin 95 % luotettavuus (2σ ~ 95 % luotettavuus). Tällöin esimerkiksi 5 cm:n rms-tarkkuutta vastaisi noin 10 cm:n tarkkuus 95 % luotettavuustasolla. Kuvaa tulkittaessa kannattaa muistaa, että se perustuu kolmiulotteiseen tarkkuuteen. GPS:n tasotarkkuuden tiedetään olevan 2 3 kertaa parempi kuin korkeustarkkuuden. Mikäli lopputuloksina halutaan tasokoordinaatteja, kuva 9 antaa hieman pessimistisiä tarkkuusarvioita. Toisaalta kuvaa käyttämällä päästään suuremmalla todennäköisyydellä haluttuun tarkkuuteen. On myös huomattava, että kuva

10 14 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta Kuva 9. Staattisen GPS:n geodeettinen 3D-tarkkuus. Sekä havaintojakson pituuden että havaintoajan akselit ovat logaritmisia. Rms-tarkkuutta kuvataan 1 5 cm regressioviivoilla, jotka ovat satelliittien lähettämillä radoilla yhtenäisiä ja tarkoilla radoilla katkoviivoja. Kuvasta voidaan arvioida esim. 30 km:n vektorille ja 2 cm:n rms-tarkkuudelle vastaava havaintoaika, joka on noin 1,5 tuntia satelliittien lähettämillä ja noin 1 tunti tarkoilla radoilla. antaa yksittäisen vektorin tarkkuuden ja siksi hyvin suunniteltu GPS-verkko ja verkkotasoitus todennäköisesti parantaa verkon pisteiden koordinaattitarkkuutta. 6 Johtopäätöksiä Tämän tutkimuksen lopputuloksena esitetään yksi kuva (kuva 9), josta voidaan lukea GPS:n tarkkuuden, vektorin pituuden ja vaadittavan havaintoajan välinen yhteys sekä satelliittien lähettämille että tarkoille radoille. Tarkkuudesta tulee huomioida, että tutkimus koskee yksittäisen vektorin tarkkuutta. Kun käytetään hyvää verkkogeometriaa ja tasoituslaskentaa, on syytä olettaa, että lopullinen pisteen koordinaattitarkkuus on parempi kuin yksittäisen vektorin tarkkuus. Kuvaa käytettäessä tulee huomioida, että tulokset ovat hyvillä GPS-havaintopaikoilla tehdyistä havainnoista muodostettuja estimaatteja. Omien havaintojen tarkkuuteen vaikuttavat myös lukuiset tekijät, joiden vaikutusta ei välttämättä kuvassa ole otettu huomioon. Tutkimus tehtiin kiinteästi asennetuilla antenneilla, joten keskistys- tai korkeudenmittausvirheitä ei esiinny. Mikäli havaintoja tehdään peitteisillä alueilla kuten rakennusten lähellä, kaupungeissa tai metsässä, on mahdollista, että tulokset ovat huonompia kuin kuva osoittaa. Sen sijaan ilmakehän ja satelliittigeometrian vaikutukset on pyritty huomioimaan valitsemalla havainnot eri vuoden ja vuorokauden ajoilta. Myös jälkilaskentaohjelmissa on eroja. Tämä tutkimus kertoo millaisiin tuloksiin päästään yhdellä kaupallisella ohjelmistolla

11 Maanmittaus 83:2 (2008) 15 käyttäen ohjelman suosittelemia oletusparametreja. Kokenut käyttäjä voi päästä parempiin tuloksiin, kunhan tietää, mitä tekee. Tämä tutkimus tehtiin 30 s havaintovälillä kerätyllä datalla. Havaintovälin vaikutusta tuloksiin testattiin lisätutkimuksella, jossa mittaukset tehtiin kolmijaloilta toisella testikentällä. Dataa kerättiin 5, 10, 15 ja 30 sekunnin havaintoväleillä vektorien pituuksien vaihdellessa 1,8 32,5 km välillä. Laskenta suoritettiin samalla tavalla kuin päätestissä. Havaintovälin tihentämisen ei havaittu vaikuttavan merkittävästi geodeettiseen tarkkuuteen tai vaadittavaan havaintoaikaan. Testissä käytetty 30 s havaintovälin data riittää siis kuvaamaan staattisen GPS:n kolmiulotteista tarkkuutta. Tehtäessä olettamuksia saavutettavasta koordinaattitarkkuudesta tulee muistaa myös koordinaattihierarkia. Perinteisesti kkj-koordinaatistossa mittaukset tehtiin hierarkkisesti siten, että ne sidottiin luokkaa ylempiin lähtöpisteisiin. Pysyvien GPS-asemien, GPS:n tarkkuuden ja uuden EUREF-FIN-koordinaatiston yhteisvaikutuksena on ilmaantunut osittain tarpeellista ja osittain tarpeetonta mittaamista yli luokkarajojen. On huomattava, että vaikka pystymme mittaamaan kymmenien tai jopa satojen kilometrien pituisen GPS-vektorin senttimetritarkkuudella, se ei tarkoita, että saadut koordinaatit olisivat tällä tarkkuudella yhtenevät alueella jo olevien pisteiden koordinaattien kanssa. Vierekkäisten pisteiden koordinaattien alueelliseen yhteensopivuuteen päästään luotettavasti vain mittaamalla hierarkkisesti. Kuvassa 10 on esitelty EUREF-FIN-koordinaatiston luokkahierarkia. E1- luokka (EUREF I lk) on GL:n mittaama EUREF-FIN-koordinaatiston määrittävä pistejoukko (Ollikainen ym. 2000). E1b-luokan (EUREF Ib) muodostaa GL:n mittaama tihennys, jolla EUREF-FIN-koordinaatit tuotiin helpommin saavutetta- EUREF-FIN määritelmä FINNREF EUREF96-97 E1-12 FinnRef-asemaa - 91 I lk:n kolmiopistettä -6 mareografia -3 tarkkavaaituspistettä EUREF98-99 EUREF II luokka EUREF III luokka E1b tihennyspistettä E2 - n MML:n tihennyspistettä E3 Kuva 10. EUREF-FIN-koordinaatiston hierarkia (Puupponen ym. 2008).

12 16 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta viin paikkoihin (Ollikainen ym. 2001). Tästä pisteistöä on tihentänyt mm. Maanmittauslaitos II ja III luokilla (E2 ja E3). Mitattaessa pitkiä vektoreita tulee muistaa, että Suomessa maa kohoaa enimmillään liki senttimetrin vuodessa. Pienimmilläänkin maankohoaminen on muutaman millimetrin luokkaa. Mikäli mitataan esimerkiksi vektoria Vaalimaalta Vaasaan, maankohoamisten ero on yli puoli senttimetriä vuodessa. Maankohoamisesta ei muodostu ongelmaa mitattaessa EUREF-FIN-koordinaatistossa hierarkkisesti kuvan 10 luokkahierarkiaa noudattaen siten, että mittaukset sidotaan aina lähimpiin ylemmän luokan pisteisiin. Tällöin maankohoaminen muuttaa naapuripisteitä samalla tavalla. Varoittavana esimerkkinä vektori Vaalimaalta Vaasaan mitattuna v antaa maankohoamisesta johtuen yli 50 mm vääriä korkeuksia verrattuna naapuripisteisiin EUREF-FIN-koordinaatistossa. Tämä johtuu 11 vuoden ( ) maankohoamiserosta kyseisten pisteiden välillä. Ajanhetki on EUREF-FIN:n referenssiepookki. Tässä tutkimuksessa käytettiin tarkkaa ITRF-koordinaatistoa havaintohetken epookissa, joten maankohoaminen ei vaikuttanut tuloksiin. Mikäli koordinaatit muunnetaan laskennan jälkeen johonkin muuhun koordinaatistoon, tulee muistaa, että muunnoksesta voi aiheutua GPS:n tarkkuutta huomattavasti suurempia virheitä. Muunnosten tarkkuudet eivät sisälly tämän tutkimuksen tuloksiin. Kiitokset. Kiitämme DI Joel Aholaa mahdollisuudesta käyttää GeoSatakunta-projektin ja Posivan tutkimusalueiden dataa tässä tutkimuksessa. Lisäksi kiitämme Inese Eveleä ja Olli Wilkmania GPS-vektoreiden laskentaan käytetystä ajasta. Viiteluettelo Ahola, J. ja M. Poutanen (2006). GPS-mittaukset Satakunnassa. GeoSatakunta 2005, Geologian tutkimuskeskus, Raportti P , toim. Pekka Huhta. Ahola, J., M. Ollikainen, H. Koivula ja J. Jokela (2006). GPS Operations at Olkiluoto, Kivetty and Romuvaara in Working Report Posiva Oy. 172 s. Boucher, C., Z. Altamimi, P. Sillard ja M. Feissel-Vernier (2004). The ITRF2000. IERS Technical Note No. 31. IERS ITRS Centre. Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie. Frankfurt am Main. Hofmann-Wellenhof, B., H. Lichtenegger ja J. Collins (2001). GPS Theory and Practice. Fifth revised edition. Springer-Verlag. ISBN Koivula, H. (2006). Implementation and Prospects for Use of a High Precision Geodetic GPS Monitoring Network (FinnRef) Covering Finland. Lisensiaatintyö. Teknillinen korkeakoulu, Espoo, MML (2003). Kaavoitusmittausohjeet. Maanmittauslaitoksen julkaisu n:o 94. NGS (2008). GPS antenna calibration homepage. (viitattu )

13 Maanmittaus 83:2 (2008) 17 Ollikainen, M., H. Koivula ja M. Poutanen (2000). The densification of the EUREF network in Finland. Suomen Geodeettisen laitoksen julkaisuja n:o 129, 61 s. Ollikainen, M., H. Koivula ja M. Poutanen (2001). EUREF-FIN-koordinaatisto ja EU- REF-pistetihennykset Suomessa. Geodeettisen laitoksen tiedote 24. Puupponen, J., P. Häkli, H. Koivula ja M. Poutanen (2008). Suomen geodeettiset koordinaatistot ja niiden väliset muunnokset. Geodeettisen laitoksen tiedote 30.

RAPORTTI 04013522 12lUMVl2001. Urpo Vihreäpuu. Jakelu. OKMElOutokumpu 2 kpl PAMPALON RTK-KIINTOPISTEET. Sijainti 1:50 000. Avainsanat: RTK-mittaus

RAPORTTI 04013522 12lUMVl2001. Urpo Vihreäpuu. Jakelu. OKMElOutokumpu 2 kpl PAMPALON RTK-KIINTOPISTEET. Sijainti 1:50 000. Avainsanat: RTK-mittaus RAPORTTI 04013522 12lUMVl2001 Urpo Vihreäpuu Jakelu OKMElOutokumpu 2 kpl PAMPALON RTK-KIINTOPISTEET - 4333 07 Sijainti 1:50 000 Avainsanat: RTK-mittaus OUTOKUMPU MINING OY Mairninetsnnta RAPORTTI 04013522

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Mittaushavaintojen täsmällinen käsittelymenenetelmä

Mittaushavaintojen täsmällinen käsittelymenenetelmä Tasoituslaskun periaate Kun mittauksia on tehty enemmän kuin on toisistaan teoreettisesti riippumattomia suureita, niin tasoituslaskun tehtävänä ja päätarkoituksena on johtaa tuntemattomille sellaiset

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

JHS xxx Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä

JHS xxx Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä JHS xxx Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä Versio: 16.03.2012 Julkaistu: xx.xx.2012 Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto... 2 2 Soveltamisala... 2 3 Viittaukset... 2 4

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Valtakunnallinen N60 N2000-muunnos

Valtakunnallinen N60 N2000-muunnos 32 Valtakunnallinen N60 N2000-muunnos Maanmittaus 86:2 (2011) Geodesian tietoisku Valtakunnallinen N60 N2000-muunnos Mikko Ahola ja Matti Musto mikko.ahola@hel.fi matti.musto@maanmittauslaitos.fi 1 Johdanto

Lisätiedot

Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu

Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu TUTKIMUSSELOSTUS NRO RTE9 (8) LIITE Kahden laboratorion mittaustulosten vertailu Sisältö Sisältö... Johdanto... Tulokset.... Lämpökynttilät..... Tuote A..... Tuote B..... Päätelmiä.... Ulkotulet.... Hautalyhdyt,

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Palautekooste: JHS 153 / JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa

Palautekooste: JHS 153 / JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa Palautekooste: JHS 153 / JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa 1. Organisaatio - Yksityishenkilö - Yksityishenkilö - Puolustusvoimat - Joensuun kaupunki - Sosiaali- ja terveysministeriö

Lisätiedot

JHS 196 EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa

JHS 196 EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa JHS 1 EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa Versio: 1.0 / 7..016 Julkaistu: 5.4.016 Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto... 1 Soveltamisala... 3 Viittaukset... 4 Termit ja

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

Satelliittipaikannuksen tarkkuus hakkuukoneessa. Timo Melkas Mika Salmi Jarmo Hämäläinen

Satelliittipaikannuksen tarkkuus hakkuukoneessa. Timo Melkas Mika Salmi Jarmo Hämäläinen Satelliittipaikannuksen tarkkuus hakkuukoneessa Timo Melkas Mika Salmi Jarmo Hämäläinen Tavoite Tutkimuksen tavoite oli selvittää nykyisten hakkuukoneissa vakiovarusteena olevien satelliittivastaanottimien

Lisätiedot

VRT Finland Oy SAKKA-ALTAAN POHJATOPOGRAFIAN MÄÄRITTÄMINEN KAIKULUOTAAMALLA

VRT Finland Oy SAKKA-ALTAAN POHJATOPOGRAFIAN MÄÄRITTÄMINEN KAIKULUOTAAMALLA VRT Finland Oy SAKKA-ALTAAN POHJATOPOGRAFIAN MÄÄRITTÄMINEN KAIKULUOTAAMALLA TARKASTUSRAPORTTI 1 (7) Sisällys 1. Kohde... 2 1.1 Kohteen kuvaus... 2 1.2 Tarkastusajankohta... 2 1.3 Työn kuvaus... 2 2. Havainnot...

Lisätiedot

Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara

Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset 15.7. 14.11.2014 Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara Avaintulokset 2500 2000 Ylös vaellus pituusluokittain: 1500 1000 500 0 35-45 cm 45-60 cm 60-70 cm >70 cm 120

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Koordinaattimuunnospalvelut Reino Ruotsalainen

Koordinaattimuunnospalvelut Reino Ruotsalainen Koordinaattimuunnospalvelut 11.12.2009 Reino Ruotsalainen MAANMITTAUSLAITOS TIETOA MAASTA 2009 Lisätietoja: http://www.fgi.fi/julkaisut/pdf/gltiedote30.pdf Geodeettisen laitoksen tiedote 30/2009: SUOMEN

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

METEORIEN HAVAINNOINTI III VISUAALIHAVAINNOT 3.1 YLEISTÄ

METEORIEN HAVAINNOINTI III VISUAALIHAVAINNOT 3.1 YLEISTÄ 23 METEORIEN HAVAINNOINTI III VISUAALIHAVAINNOT 3.1 YLEISTÄ Tässä metodissa on kyse perinteisestä. luettelomaisesta listaustyylistä, jossa meteorit kirjataan ylös. Tietoina meteorista riittää, kuuluuko

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

JHS 180 Paikkatiedon sisältöpalvelut Liite 4 INSPIRE-palvelujen laadun testaus

JHS 180 Paikkatiedon sisältöpalvelut Liite 4 INSPIRE-palvelujen laadun testaus JHS 180 Paikkatiedon sisältöpalvelut Liite 4 INSPIRE-palvelujen laadun testaus Versio: 28.2.2013 Julkaistu: 28.2.2013 Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Yleiset vaatimukset... 2 2 Latauspalvelun

Lisätiedot

KUITUPUUN PINO- MITTAUS

KUITUPUUN PINO- MITTAUS KUITUPUUN PINO- MITTAUS Ohje KUITUPUUN PINOMITTAUS Ohje perustuu maa- ja metsätalousministeriön 16.6.1997 vahvistamaan pinomittausmenetelmän mittausohjeeseen. Ohjeessa esitettyä menetelmää sovelletaan

Lisätiedot

JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa

JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa Versio: 29.9.2014 (luonnos palautekierrosta varten) Julkaistu: Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto...

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte

Lisätiedot

Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla

Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Sari Ropponen 13.5.2009 1 Agenda Korvausvastuu vahinkovakuutuksessa Korvausvastuun arviointi Ennustevirhe Ennustejakauma Bootstrap-/simulointimenetelmä

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Tilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa. Tapio Nummi Tampereen yliopisto

Tilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa. Tapio Nummi Tampereen yliopisto Tilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa Tapio Nummi Tampereen yliopisto Runkokäyrän ennustaminen Jotta runko voitaisiin katkaista optimaalisesti pitäisi koko runko mitata etukäteen. Käytännössä

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ

VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ 56 VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ Hyvällä havaitsijalla keskimääräinen virhe tähdenlennon kirkkauden arvioimisessa on noin 0.4 magnitudia silloin, kun meteori näkyy havaitsijan näkökentän keskellä.

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Johdanto. I. TARKKUUS Menetelmä

Johdanto. I. TARKKUUS Menetelmä Accu-Chek Aviva -järjestelmän luotettavuus ja tarkkuus Johdanto Järjestelmän tarkkuus on vahvistettu ISO 15197:2003 -standardin mukaisesti. Ulkopuolinen diabetesklinikka toimitti diabeetikoilta otetut

Lisätiedot

Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006.

Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006. Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006 Seppo Elo - 2 - GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Tekijät Seppo Elo KUVAILULEHTI

Lisätiedot

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen kuudennen luokan matematiikan koe 2014

Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen kuudennen luokan matematiikan koe 2014 Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry Valtakunnallinen kuudennen luokan matematiikan koe 2014 MFKA-Kustannus Oy Rautatieläisenkatu 6, 0020 HELSINKI, puh. (09) 102 378 http://www.mfka.fi Peruskoulun

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Yhden muuttujan funktion minimointi

Yhden muuttujan funktion minimointi Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Varjoliidon ja Riippuliidon Suomen ennätysten suorittaminen

Varjoliidon ja Riippuliidon Suomen ennätysten suorittaminen 1 Varjoliidon ja Riippuliidon Suomen ennätysten suorittaminen Suomen Ilmailuliiton Liidintoimikunta on hyväksynyt nämä säännöt 14.4.2015. Säännöt astuvat voimaan välittömästi ja ovat voimassa toistaiseksi.

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

GPS:n käyttömahdollisuudet mareografitutkimuksessa

GPS:n käyttömahdollisuudet mareografitutkimuksessa GPS:n käyttömahdollisuudet mareografitutkimuksessa Maaria Tervo, Markku Poutanen ja Hannu Koivula Geodeettinen laitos, maaria.tervo@fgi.fi Abstract Sea level monitoring is an important part of oceanography

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi 1 MITTAAMINEN I Tehtävät sopivat peruskoulun alaluokille. Ne on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomeista I IV. Sivunumerot viittaavat näiden diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä: oma

Lisätiedot

JHS 196 EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa

JHS 196 EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa JHS 196 EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa JHS 197 EUREF-FIN - koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako MARKKU POUTANEN Paikkatietokeskus FGI Taustaa

Lisätiedot

Ilmasta kerättävien näytteiden otto Kirkonkylän koulu

Ilmasta kerättävien näytteiden otto Kirkonkylän koulu Ilmasta kerättävien näytteiden otto Kirkonkylän koulu Kohde: Pinta-ala: - Rakennusvuosi: Koulurakennus Rakennusala: - Käyttötarkoitus: Koulu... Tilavuus: - 66400 Laihia Kerrosluku: 3 Näytteenoton tilaaja:

Lisätiedot

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Kvantitatiiviset menetelmät

Kvantitatiiviset menetelmät Kvantitatiiviset menetelmät HUOM! Tentti pidetään tiistaina.. klo 6-8 Vuorikadulla V0 ls Muuttujien muunnokset Usein empiirisen analyysin yhteydessä tulee tarve muuttaa aineiston muuttujia Esim. syntymävuoden

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Iso-Lamujärven alustava pohjapatolaskelma

Iso-Lamujärven alustava pohjapatolaskelma Pohjois-Pohjanmaan ELY-keskus Iso-Lamujärven alustava pohjapatolaskelma 28.9.2015 Insinööritoimisto Pekka Leiviskä www.leiviska.fi 2 Sisällysluettelo 1 ASETETTU TAVOITE... 3 2 KÄYTETTÄVISSÄ OLEVA AINEISTO...

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

Korkeusmallien vertailua ja käyttö nitraattiasetuksen soveltamisessa

Korkeusmallien vertailua ja käyttö nitraattiasetuksen soveltamisessa Korkeusmallien vertailua ja käyttö nitraattiasetuksen soveltamisessa Valtakunnallisesti kattavaa laserkeilausaineistoa ei vielä ole. Kaltevuusmallit perustuvat tällä hetkellä digitaalisen korkeusmallin

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

Miten mittayksiköiden muunnoksia hallitaan luokilla 5 ja 6?

Miten mittayksiköiden muunnoksia hallitaan luokilla 5 ja 6? Miten mittayksiköiden muunnoksia hallitaan luokilla 5 ja 6? Missä: Kolme paikkakuntaa ja neljä koulua. Milloin: Vuoden 2014 lopussa tai vuoden 2015 alussa. Oppilaita: yhteensä 385 (mukana on myös erityisopetuksen

Lisätiedot

Materiaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta osoitteessa:

Materiaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta osoitteessa: Kevään Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Nämä ratkaisut tehty alusta loppuun TI-Nspire CX CAS -ohjelmistolla ja tallennettu lopuksi PDF -muotoon. Tarkoituksena on havainnollistaa,

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu TI00AA : Ohjelmointi Kotitehtävät 3 opettaja: Pasi Ranne

Metropolia ammattikorkeakoulu TI00AA : Ohjelmointi Kotitehtävät 3 opettaja: Pasi Ranne Seuraavista tehtävistä saatu yhteispistemäärä (max 7 pistettä) jaetaan luvulla 3.5 ja näin saadaan varsinainen kurssipisteisiin laskettava pistemäärä. Bonustehtävien pisteet jaetaan luvulla 4 eli niistä

Lisätiedot

Materiaalifysiikan perusteet P Ratkaisut 1, Kevät 2017

Materiaalifysiikan perusteet P Ratkaisut 1, Kevät 2017 Materiaalifysiikan perusteet 51104P Ratkaisut 1, Kevät 017 1. Kiderakenteen alkeiskopin hahmottamiseksi pyritään löytämään kuvitteellisesta rakenteesta sen pienin toistuva yksikkö (=kanta). Kunkin toistuvan

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO Johdanto Inertiaalikoordinaatisto on koordinaatisto, jossa Newtonin mekaniikan lait pätevät. Tällaista koordinaatistoa ei reaalimaailmassa kuitenkaan ole. Epäinertiaalikoordinaatisto

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Yläilmakehän luotaukset Synoptiset säähavainnot antavat tietoa meteorologisista parametrestä vain maan pinnalla Ilmakehän

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

INVENTOINTIRAPORTTI Pyhäjoki / Hanhikivi Meriläjitys alueen vedenalainen inventointi 24-25.6.2013

INVENTOINTIRAPORTTI Pyhäjoki / Hanhikivi Meriläjitys alueen vedenalainen inventointi 24-25.6.2013 INVENTOINTIRAPORTTI Pyhäjoki / Hanhikivi Meriläjitys alueen vedenalainen inventointi 24-25.6.2013 2/7 Sisällysluettelo 1. Arkisto- ja rekisteritiedot 3 2. Johdanto 4 3. Pyhäjoen alueen ympäristö- ja kulttuurihistoria

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Ratatarkastusraportti

Ratatarkastusraportti Radan tiedot Radan nimi Sipoon motocrossrata Radan omistaja / käyttäjä Sipoon moottorikerho Ry Osoite Öljytie 618 04131 Sipoo Sijainti Sipoo Puhelinnumero / fax / e-mail Tarkastusajankohta Tarkastaja 09.06.2015

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Epävarmuuden hallinta bootstrap-menetelmillä

Epävarmuuden hallinta bootstrap-menetelmillä 1/17 Epävarmuuden hallinta bootstrap-menetelmillä Esimerkkinä taloudellinen arviointi Jaakko Nevalainen Tampereen yliopisto Metodifestivaalit 2015 2/17 Sisältö 1 Johdanto 2 Tavanomainen bootstrap Bootstrap-menettelyn

Lisätiedot

Leica Sprinter Siitä vain... Paina nappia

Leica Sprinter Siitä vain... Paina nappia Sprinter Siitä vain... Paina nappia Sprinter 50 Tähtää, paina nappia, lue tulos Pölyn ja veden kestävä Kompakti ja kevyt muotoilu Virheettömät korkeuden ja etäisyyden lukemat Toiminnot yhdellä painikkeella

Lisätiedot

Suomenhevosten askelja hyppyominaisuuksien periytyvyys. Suomenhevosten jalostuspäivät 10.2.2016 Aino Aminoff

Suomenhevosten askelja hyppyominaisuuksien periytyvyys. Suomenhevosten jalostuspäivät 10.2.2016 Aino Aminoff Suomenhevosten askelja hyppyominaisuuksien periytyvyys Suomenhevosten jalostuspäivät 10.2.2016 Aino Aminoff Suomenhevosten laatuarvostelu Suomenhevosten laatuarvostelu on 3-5 v. suomenhevosille suunnattu

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Operaattorivertailu SELVITYS LTE VERKKOJEN NOPEUDESTA

Operaattorivertailu SELVITYS LTE VERKKOJEN NOPEUDESTA Operaattorivertailu SELVITYS LTE VERKKOJEN NOPEUDESTA SISÄLLYSLUETTELO TIIVISTELMÄ... 3 YLEISTÄ... 4 TAVOITE... 5 PAIKKAKUNNAT... 5 MITATUT SUUREET JA MITTAUSJÄRJESTELMÄ... 6 MITATUT SUUREET... 6 MITTAUSJÄRJESTELMÄ...

Lisätiedot

Harha mallin arvioinnissa

Harha mallin arvioinnissa Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö

Lisätiedot

JHS 197 EUREF-FIN -koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako Liite 2: Projektiokaavat

JHS 197 EUREF-FIN -koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako Liite 2: Projektiokaavat JHS 197 EUREF-FIN -koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako Liite 2: Projektiokaavat Versio: 1.0 / 5.2.2016 Julkaistu: 5.4.2016 Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1

Lisätiedot

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot