Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta"

Transkriptio

1 Maanmittaus 83:2 (2008) 5 Maanmittaus 83:2 (2008) Saapunut ja tarkistettuna Hyväksytty Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta Pasi Häkli, Hannu Koivula ja Jyrki Puupponen Geodeettinen laitos Geodesian ja geodynamiikan osasto Geodeetinrinne 2, Masala Tiivistelmä. Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli selvittää staattisen GPSmittauksen tarkkuuden, vektorin pituuden ja havaintoajan välinen yhteys. Tuloksena esitetään kuva, josta voidaan arvioida yksi näistä tekijöistä, kun kaksi muuta tiedetään. Kuvasta voidaan vertailla myös satelliittien lähettämillä (broadcast) ja tarkoilla (precise) radoilla saatavia tarkkuuksia. Tutkimuksessa käytettiin havaintoaineistoa, joka kattaa vektorinpituudet 0,6 ja km välillä. Havaintoajat vaihtelivat 10 minuutista täyteen vuorokauteen. Havaintoaineistosta laskettiin yli GPS-vektoria käyttäen molempia ratatietoja. Laskettu data valittiin satunnaisesti eri vuorokauden ja vuoden ajoilta, jotta mahdolliset muut vaikutukset (kuten satelliittigeometrian ja ilmakehän vaikutukset) keskiarvoistuvat. Tutkimme yksittäisten vektoreiden tarkkuutta eli verkkotasoitusta ei suoritettu. Kutakin vektorinpituus/havaintoaikaväliä kohden saatiin 20 tarkkuustulosta, joista laskettiin rms-arvo. Rms-arvojen muodostamaan hilaan sovitettiin pinta. Aineistoa kuvaavimman pinnan löytämiseksi suoritettiin lukuisia testejä, ja paras yhteensopivuus valittiin. Parhaan sovituksen R2- arvo on 0,91 satelliittien lähettämille ja 0,87 tarkoille radoille, mikä kertoo pinnan kuvaavan aineistoa hyvin. Lopputuloksiin sovitettiin 1 5 cm regressioviivat kuvaamaan GPS:n tarkkuutta vektorinpituuden ja havaintoajan suhteen. Avainsanat: staattinen GPS, tarkkuus, havaintoaika, vektorin pituus. 1 Johdanto Uusista tosiaikaisista GPS-mittausmenetelmistä huolimatta perinteinen staattinen GPS-mittaus on edelleen tarkin menetelmä. Kiintopisteiden mittauksessa on erittäin suositeltavaa käyttää staattista mittausta. Esimerkiksi kaavoitusmittausohjeen mukaisesti peruskiintopisteiden mittaamisessa tulee käyttää joko staattista GPSmittausta tai jonomittausta (MML 2003). Vaikka staattista GPS-mittausta on harjoitettu Suomessa jo yli 20 vuotta, siihen liittyvä ohjeistus on ollut osin puutteellista. Yhdenmukaista tietoa tarkkuuden,

2 6 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta vektorin pituuden ja havaintoajan yhteydestä on vaikea saada, ja eri lähteistä saadut tiedot voivat olla hyvinkin erilaisia. Tyypillisesti GPS:n tarkkuutta esitetään vakiotermillä ja etäisyydestä riippuvalla termillä (esim. 5 mm ± 1 ppm). Tämä luku ei kuitenkaan ilmoita kuinka pitkään tulee havaita, jotta kyseinen tarkkuus saavutetaan. Havaintoajan pituuteen puolestaan löytyy kirjallisuudesta ohjeita kuten 20 min + 2 min/km (Hofmann-Wellenhof ym. 2001). Kaavoitusmittausohjeet puolestaan antavat havaintojakson pituuksia eri mittausluokille. Esimerkiksi peruskiintopisteille suositellaan minuutin havaintoja ja käyttöpisteille lyhyempiä aikoja riippuen siitä, missä mittausluokassa havainnot tehdään (MML 2003). Kaikista ohjeista ja erityisesti omasta mittaus- ja laskentakokemuksestaan GPS-mittajat ovat oppineet omat nyrkkisääntönsä. Staattisen GPS:n tuottavuutta voidaan lisätä optimoimalla havaintojaksojen pituuksia halutun tarkkuuden mukaan. Saavutettavaan tarkkuuteen vaikuttavat havaintoajan ja havaittavan vektorin pituuden lisäksi mm. havaintopaikka, satelliittien lukumäärä, satelliittigeometria, käytettävä laitteisto sekä havaitsijan huolellisuus sisältäen optisen luodin säännöllisen tarkistamisen. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on antaa vastaus siihen kuinka pitkään hyvissä havainto-olosuhteissa tulee mitata halutun kolmiulotteisen tarkkuuden saavuttamiseksi. Tutkimuksessa laskettiin kaupallisella ohjelmistolla tuhansia eripituisia vektoreita erilaisilla havaintoajoilla. Laskenta suoritettiin sekä satelliittien lähettämillä että tarkoilla radoilla. 2 Testikenttä ja referenssikoordinaatit Tutkimuksen testikentän pisteiksi hyväksyttiin vain hyvillä havaintopaikoilla sijaitsevia pysyviä GPS-asemia tai pilareita, joihin antennit voidaan asentaa aina samalla tavalla. Näin kolmijalkojen pystytystarkkuus, optisen luodin virheet, antennin korkeudenmittaustarkkuus tai ympäristön esteet eivät vaikuta lopputuloksiin. Pisteet valittiin siten, että vektorinpituudet kattavat etäisyydet muutamasta sadasta metristä tuhanteen kilometriin saakka. Näin ne kattavat kaikki Suomessa mitattavissa olevat vektorinpituudet. Testikentän (kuva 1) muodostavat Suomen pysyvä GPS-verkko FinnRef (Koivula 2006), Posivan (Ahola ym. 2006) ja GeoSatakunta-projektien (Ahola ja Poutanen 2006) deformaatiotutkimusverkot sekä Virossa oleva Suurupin pysyvä GPS-asema. Yhteensä testissä käytettiin 26 GPS-asemaa tai pilaria. Kaikilla pisteillä antennit on kiinnitetty joko betonipilareille tai metallimastoihin. Asemien stabilius on varmistettu useiden vuosien aikana kerätyin GPS-havainnoin ja säännöllisesti toistetuin tarkistusmittauksin. Testikentän pisteille laskettiin koordinaatit ITRF2000-koordinaatistossa (Boucher ym. 2004) käyttäen vähintään 24 h GPS-havaintoja. Koordinaattien laskentaan käytetty data on eri ajanhetkeltä kuin testissä käytetty data, jotta tulokset eivät vääristyisi. Referenssikoordinaatit laskettiin Bernese-ohjelmistolla käyttäen IGS:n tarkkoja ratatietoja. Referenssikoordinaattien havaintohetkeksi valittiin , joka on testissä käytettyjen havaintojen keskiepookki. Tällä tavalla varmistettiin referenssikoordinaattien tasalaatuisuus.

3 Maanmittaus 83:2 (2008) 7 Kuva 1. Tutkimuksessa käytetty testikenttä. Kolmiot ovat Suomen pysyvän GPS-verkon asemia, neliö on Suurupin GPS-asema Virossa ja ympyrät ovat Satakunnan alueella olevia tutkimuskäyttöön rakennettuja pilareita. 3 Testidata ja sen laskenta Testissä käytettiin vuosien mittauskampanjoista ja pysyviltä GPS-asemilta kerättyä dataa. Havainnot kerättiin samanlaisilla kaksitaajuusvastaanottimilla ja vaimennusrenkailla varustetuilla (ns. choke ring) GPS-antenneilla. Havaintovälinä oli 30 s ja katkaisukulmana datankeräysvaiheessa 5 astetta. Testiverkosta muodostettiin 38 vektoria, jotka kattavat vektorinpituudet 0,6 ja km välillä mahdollisimman tasavälein (kuva 2). Noin 60 km asti vektoreita on tiheämmin, koska tämä on yleisin GPS-mittaajien toiminta-alue. Eri vektorinpituuksista kerättiin satunnaisotoksella dataa erilaisilla havaintoajoilla 10 minuutista 24 tuntiin (kuva 3). Jokaiselle havaintoaika/vektorinpituus-vaihtoehdolle kerättiin dataa 20 eri ajanhetkeltä ja muodostaen siten 20 vektoria/vaihtoehto. Havaintoaineisto laskettiin kaupallisella GPS-laskentaohjelmistolla (Trimble Total Control, TTC) käyttäen pääsääntöisesti ohjelman suosittelemia oletusparametreja. Trimblen antennimallin sijaan käytimme kuitenkin NGS:n antennimallia (NGS 2008), joka löytyy yhtenä mallivaihtoehtona TTC:stä. NGS on jo vuosia kalibroinut kaikkien GPS-vastaanotinvalmistajien antenneja ja heidän kalibrointitaulukoitaan käytetään laajasti GPS-laskennassa. Antennimallilla huomioidaan

4 8 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta Kaikki vektorit [km] Alle 60 km vektorit Kuva 2. Tutkimuksessa käytetyt vektorinpituudet. Alemmassa kuvassa on esitetty kaikki vektorit ja päällä olevasta kuvasta näkee tarkemmin alle 60 km pitkien vektoreiden jakauman. km 03:00 02:00 01:00 00:30 00:15 00:10 24:00 12:00 06:00 Havaintoaika [h] Kuva 3. Tutkimuksessa käytetyt havaintoajat. (m) 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 3D-tarkkuus 3h havaintovälillä 0, Vektorin pituus (km) Kuva 4. Esimerkki GPS:n 3D-tarkkuudesta eri vektorinpituuksilla. Havaintoaika on kolme tuntia ja laskenta on tehty satelliittien lähettämillä radoilla.

5 Maanmittaus 83:2 (2008) 9 antennin sähköisen keskipisteen paikka (paikka, johon kerätyt havainnot viittaavat) antennin referenssipisteen ARP:n (useimmiten antennin pohja) suhteen. Ohjelma laskee GPS-ratkaisut useilla eri lineaarikombinaatioilla ja valitsee niistä parhaan ratkaisun. Tutkimuksessa laskettiin yksittäisiä vektoreita ilman verkkotasoitusta. Jokaisen vektorin tulokset tallennettiin jatkokäsittelyä varten. Vektorilaskennan antamien koordinaattien avulla laskettiin jokaiselle vektorille 3D-tarkkuusarvo (pistekeskivirhe), joka kuvaa laskettujen koordinaattien poikkeamaa referenssikoordinaateista. Kuvassa 4 on esitetty 3D-tarkkuusarvot kolmen tunnin havaintojaksolla kaikille lasketuille vektorinpituuksille. Kuvasta nähdään hyvin vektorin pituuden vaikutus GPS:n tarkkuuteen. Testissä laskettiin yhteensä n vektoria molemmilla radoilla eli yhteensä noin vektoria. 4 GPS-tulosten analysointi Lasketut poikkeamat referenssikoordinaateista lajiteltiin vektorin pituuden ja havaintoajan perusteella. Näin saatiin muodostettua hila, jonka akseleina ovat vektorin pituus ja havaintoaika (kuva 5). Jokainen hilapiste koostuu noin 20 havainnosta, joiden rms antaa hilapisteen arvon. Rms kuvaa tarkkuutta, jota parempia tuloksia noin 68 % mittauksista normaalijakautuneessa aineistossa antaa. Kuvassa 6 on esitetty hilan yhden tunnin rivin rms-arvot molemmille radoille. Satelliittien lähettämien ratojen tapauksessa hilassa oli 267 pistettä (5 062 vektoria) ja tarkoilla radoilla 275 pistettä (5 178 vektoria). 4.1 Havaintojen esikäsittely Jotta voimme löytää yhteyden vektorin pituuden, havaintoajan ja tarkkuuden välille, tulee hilapisteisiin sovittaa pinta. Ennen pinnan sovittamista havaintoaineisto esikäsiteltiin, jotta hila-aineisto saatiin yhtenäisemmäksi. Ongelmallisia pisteitä olivat erityisen suuret rms-arvot, joita saatiin, kun lyhyillä havaintoajoilla pyrittiin havaitsemaan mahdollisimman pitkiä vektoreita. Ilman esikäsittelyä nämä hilapisteet heikentävät merkittävästi pinnan sovittamista. Aineisto käsiteltiin ensin havaintotasolla, eli yksittäisten hilapisteiden sisältämiä vektoreita tarkasteltiin kokonaisuutena. Mikäli yksittäisen vektorin ratkaisu poikkesi yli 0,5 m referenssikoordinaateista, se luokiteltiin karkeaksi virheeksi ja Kuva 5. Hilapisteistö, jonka jokainen piste kuvaa yhtä vektorin pituuden ja havaintoajan yhdistelmää. Hilapisteessä arvona on rms-tarkkuus.

6 10 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta 0,35 Havaintoaika 1h 0,30 0,25 rms (m) 0,20 0,15 0,10 0,05 0, vektorin pituus (km) Kuva 6. Hilapisteille lasketut rms-arvot yhden tunnin havaintoajalla. Mustat pallot kuvaavat arvoa satelliittien lähettämillä radoilla ja harmaat tarkoilla radoilla. poistettiin. Raja-arvon valinta on sattumanvarainen, mutta ratkaisuja, jotka poikkeavat yli 0,5 m referenssiarvoista, ei voi kutsua geodeettisiksi tuloksiksi. Toinen esikäsittelyehto perustuu olettamukseen aineiston normaalijakautuneisuudesta. Mikäli havainto poikkesi yli 3σ referenssiarvosta, jossa σ on hilapisteen kaikkien arvojen rms, se luokiteltiin karkeaksi virheeksi. Kuitenkaan yhtään havaintoa, jonka virhe oli pienempi kuin 1 cm ± 1 ppm, ei poistettu vaikka se olisi luokiteltu karkeaksi virheeksi. Aineiston läpikäymiseksi vaadittiin muutama iteraatiokierros, joiden aikana hylättiin noin 1,5 % havainnoista. Seuraavassa vaiheessa käsiteltiin hilapisteitä. On selvää, että esimerkiksi erittäin lyhyillä havaintoajoilla mitatut pitkät vektorit johtavat suuriin rms-arvoihin. Mikäli tätä aineistoa ei puhdisteta, joudutaan pinnan sovittamisessa käyttämään kohtuuttoman korkea-asteisia termejä. Hilapisteet käsiteltiin sarjoina siten, että sarjassa havaintoaika pysyi vakiona tarkkuuden ja vektorin pituuden muuttuessa (vrt. kuva 6). Jokaisesta sarjasta etsittiin karkeita virheitä ja katkaisukohtia. Katkaisukohtina käsitellään kohtia, jonka jälkeen GPS-havainnot eivät riitä hyvän ratkaisun saamiseksi. Tämän pisteen jälkeen tarkkuus heikkenee nopeasti ja usein tarkkuudessa tapahtuu selvä hyppy. Näin tapahtuu lähinnä pitkillä vektoreilla käytettäessä liian lyhyttä havaintoaikaa. Karkeiden virheiden automaattiseen etsimiseen käytettiin polynomisovitusmenetelmää. Ensimmäiseksi etsittiin polynomille asteluku sovituksen keskivirheen avulla. Tämän jälkeen n-asteinen polynomi sovitettiin aineistoon. Kunkin hilapisteen sovitusvirhettä e verrattiin sovituksen kolminkertaiseen keskivirheeseen (3σ e ). Mikäli sovitusvirhe oli suurempi, hilapiste hylättiin. Menetelmä on erittäin konservatiivinen hyläten vain voimakkaasti poikkeavat havainnot. Käytettävästä aineistosta hylättiin vain muutama hilapiste. Esimerkiksi tunnin havaintoaineistolla (kuva 6) polynomin asteluku oli molemmille sarjoille 11 ja yhtään hilapistettä ei hylätty.

7 Maanmittaus 83:2 (2008) 11 Karkeiden virheiden poistamisen jälkeen datasta etsittiin katkaisukohdat. Katkaisukohtia etsittiin erotusmenetelmällä, jossa peräkkäisten hilapisteiden arvot vähennettiin toisistaan. Neliöön korotetut erotushavainnot näyttävät aikasarjoissa olevat epäjatkuvuuskohdat selvinä piikkeinä. Piikit tarkistettiin vielä erikseen 3σ säännöllä. Tällä keinolla löysimme sarjoista joitakin selviä katkaisukohtia, joita pidempiä vektoreita ei kyseisellä havaintoajalla kannata mitata. Esimerkiksi 10 ja 15 minuutin sarjat katkaistiin noin 20 km kohdalta. Tunnin havainnot satelliittien lähettämillä radoilla katkaistiin 544 km kohdalta. Esikäsittelyvaiheessa hylättiin 44 hilapistettä satelliittien lähettämillä radoilla ja 24 pistettä tarkoilla radoilla. Hylätyt hilapisteet olivat lähes kaikki katkaisukohtien jälkeisiä pisteitä. 4.2 Pinnan sovitus Esikäsittelyn jälkeen hilapisteisiin sovitettiin empiirisellä menetelmällä pinta. Dataa parhaiten kuvaavan pinnan löytämiseksi testattiin lukuisia pintavaihtoehtoja. Testeissä ilmeni, että parhaan mahdollisen sovituksen saavuttamiseksi tarvitaan joko korkea-asteisia pintoja tai datan linearisointia. Näistä valittiin ensimmäisen asteen pinnan sovittaminen ja datan linearisointi. Kymmenien linearisointitapojen testauksen jälkeen päädyttiin parhaat tunnusluvut antavaan ratkaisuun. Data linearisoitiin 10-kantaisella logaritmilla ja neliöjuurella tekemällä tasosovitus kaavalla log ( z) = a+ b log ( x) + c y, missä x on vektorin pituus kilometreinä, y on havaintoaika tunteina, z on havaintojen rms metreinä. a, b ja c ovat sovituksen kertoimet. Taso sovitettiin aineistoon pienimmän neliösumman menetelmällä iteratiivisesti. Iteroinnissa hilapisteille laskettiin sovitusvirheet (e i = z i Z i ) ja hilapiste hylättiin, mikäli sovitusvirhe oli suurempi kuin 3σ e. Iterointia jatkettiin kunnes hylättäviä pisteitä ei enää löytynyt. Pinnan sovituksen aikana hylättiin 24 pistettä satelliittien lähettämillä ja 12 tarkoilla radoilla. Hylätyt pisteet sijaitsivat pääasiassa alueella, joka ei ole geodeettisesti kiinnostava eli rms oli erittäin suuri. Pinnan sovituksen hyvyyttä tarkasteltiin R 2 -arvon ja sovituksen rms:n avulla. R 2 kertoo sen, kuinka hyvin pinta kuvaa dataa, johon se on sovitettu arvon 1,0 kuvatessa täydellistä sopivuutta. Normaalijakautuneen aineiston tapauksessa rms kuvaa arvoa, jonka alle 68 % havainnoista jää. Niinpä pinnan sovituksen rms sisältää 68-prosenttisesti sovituksen virheet. Sovituksen rms oli 8,2 mm satelliittien lähettämille radoille ja 10,9 mm tarkoille radoille. Iteroiminen paransi rms-tarkkuutta muutamalla millimetrillä. Ensimmäisen kierroksen jälkeiset rms-arvot olivat 13,6 mm ja 13,0 mm. R 2 -arvot olivat 0,91 satelliittien lähettämille ja 0,87 tarkoille radoille. Sovitukseen liittyviä tunnuslukuja on kerätty taulukkoon 1. Kuvissa 7 8 esitetään sovitusten jäännösvirheet hilapisteissä. Kuviin on piirretty myös 1 5 cm regressioviivat rms-tarkkuuksille. Alle 5 cm rms-tarkkuus (1)

8 12 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta Kuva 7. Sovituksen jäännösvirheet hilapisteille (ympyrät) satelliittien lähettämillä radoilla. Ympyrät kuvaavat sovitusvirheen suuruutta. Kuva 8. Sovituksen jäännösvirheet hilapisteille (ympyrät) tarkoilla radoilla. Ympyrät kuvaavat sovitusvirheen suuruutta.

9 Maanmittaus 83:2 (2008) 13 vastaa mielestämme geodeettista tarkkuutta painottuen tarkempaan 1 2 cm alueeseen. Kuvista nähdään, että suurimmat sovitusvirheet ovat juuri huonomman tarkkuuden alueella. Mikäli tarkastelemme sovituksen rms-virhettä vain 5 cm paremmalla tarkkuusalueella, se on 7,3 mm satelliittien lähettämille radoille ja 8,7 mm tarkoille radoille. Taulukko 1. Joitakin pinnan sovituksen tunnuslukuja. R 2 ja rms osoittavat pinnan kuvaavan dataa hyvin. Rms (geod) viittaa rms-arvoon alueella jossa z < 5cm. Arvo Sat. läh. radat Tarkat radat R 2 [ ] 0,91 0,87 Rms [mm] 8,2 10,9 Rms (geod) [mm] 7,3 8,7 Max. virhe [mm] 23,6 32,4 Iteraatiot 7 4 Hilapisteiden määrä Staattisen GPS:n 3D-tarkkuus Kuvassa 9 on esitetty tämän tutkimuksen lopputuloksena yhteys tarkkuuden, vektorin pituuden ja havaintoajan välille. Kuvasta voidaan arvioida kolmas tekijä, jos kaksi muuta tunnetaan. Jos esimerkiksi mitattavan vektorin pituus tunnetaan ja tiedetään haluttu tarkkuus, etsitään kuvasta vektorin pituuden ja tarkkuuskäyrän leikkauspiste ja luetaan vähimmäishavaintoaika pystyakselilta. Samassa yhteydessä voidaan päättää, käytetäänkö tarkkoja ratoja ja vaikuttaako niiden käyttäminen havaintoaikaan. Kuvassa sekä havaintoaikaa kuvaava akseli että vektorin pituutta kuvaava akseli ovat logaritmisia. Regressioviivat kuvaavat kolmiulotteisen geodeettisen GPS:n rms-tarkkuutta sekä satelliittien lähettämillä radoilla (yhtenäinen viiva) että tarkoilla radoilla (katkoviiva). Yleisesti ottaen tarkkojen ratojen käyttäminen parantaa pitkien vektoreiden tarkkuutta. Kuvassa on merkitty harmaalla alueet, joissa sovitus ei ole voimassa. Harmaalla alueella datamäärä ei ole riittänyt geodeettisen tarkkuuden saavuttamiseksi tai siellä ei ole ollut hilapisteitä. Näin ollen käyriä ei tule ekstrapoloida näille alueille. Sen sijaan käyrien välillä interpolointi on sallittu. Kuvaa 9 tarkkuuden arviointiin käytettäessä on huomattava, että regressioviivat on generoitu rms-arvoihin mikä tarkoittaa, että noin 68 % tuloksista on parempia kuin kuvan antama tarkkuus. Mikäli halutaan korkeampaa kuin 68 % luotettavuustasoa, ei kuvan arvoja voi suoraan käyttää. Karkeana nyrkkisääntönä voidaan rms kertoa esim. kahdella, jolloin saadaan likimäärin 95 % luotettavuus (2σ ~ 95 % luotettavuus). Tällöin esimerkiksi 5 cm:n rms-tarkkuutta vastaisi noin 10 cm:n tarkkuus 95 % luotettavuustasolla. Kuvaa tulkittaessa kannattaa muistaa, että se perustuu kolmiulotteiseen tarkkuuteen. GPS:n tasotarkkuuden tiedetään olevan 2 3 kertaa parempi kuin korkeustarkkuuden. Mikäli lopputuloksina halutaan tasokoordinaatteja, kuva 9 antaa hieman pessimistisiä tarkkuusarvioita. Toisaalta kuvaa käyttämällä päästään suuremmalla todennäköisyydellä haluttuun tarkkuuteen. On myös huomattava, että kuva

10 14 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta Kuva 9. Staattisen GPS:n geodeettinen 3D-tarkkuus. Sekä havaintojakson pituuden että havaintoajan akselit ovat logaritmisia. Rms-tarkkuutta kuvataan 1 5 cm regressioviivoilla, jotka ovat satelliittien lähettämillä radoilla yhtenäisiä ja tarkoilla radoilla katkoviivoja. Kuvasta voidaan arvioida esim. 30 km:n vektorille ja 2 cm:n rms-tarkkuudelle vastaava havaintoaika, joka on noin 1,5 tuntia satelliittien lähettämillä ja noin 1 tunti tarkoilla radoilla. antaa yksittäisen vektorin tarkkuuden ja siksi hyvin suunniteltu GPS-verkko ja verkkotasoitus todennäköisesti parantaa verkon pisteiden koordinaattitarkkuutta. 6 Johtopäätöksiä Tämän tutkimuksen lopputuloksena esitetään yksi kuva (kuva 9), josta voidaan lukea GPS:n tarkkuuden, vektorin pituuden ja vaadittavan havaintoajan välinen yhteys sekä satelliittien lähettämille että tarkoille radoille. Tarkkuudesta tulee huomioida, että tutkimus koskee yksittäisen vektorin tarkkuutta. Kun käytetään hyvää verkkogeometriaa ja tasoituslaskentaa, on syytä olettaa, että lopullinen pisteen koordinaattitarkkuus on parempi kuin yksittäisen vektorin tarkkuus. Kuvaa käytettäessä tulee huomioida, että tulokset ovat hyvillä GPS-havaintopaikoilla tehdyistä havainnoista muodostettuja estimaatteja. Omien havaintojen tarkkuuteen vaikuttavat myös lukuiset tekijät, joiden vaikutusta ei välttämättä kuvassa ole otettu huomioon. Tutkimus tehtiin kiinteästi asennetuilla antenneilla, joten keskistys- tai korkeudenmittausvirheitä ei esiinny. Mikäli havaintoja tehdään peitteisillä alueilla kuten rakennusten lähellä, kaupungeissa tai metsässä, on mahdollista, että tulokset ovat huonompia kuin kuva osoittaa. Sen sijaan ilmakehän ja satelliittigeometrian vaikutukset on pyritty huomioimaan valitsemalla havainnot eri vuoden ja vuorokauden ajoilta. Myös jälkilaskentaohjelmissa on eroja. Tämä tutkimus kertoo millaisiin tuloksiin päästään yhdellä kaupallisella ohjelmistolla

11 Maanmittaus 83:2 (2008) 15 käyttäen ohjelman suosittelemia oletusparametreja. Kokenut käyttäjä voi päästä parempiin tuloksiin, kunhan tietää, mitä tekee. Tämä tutkimus tehtiin 30 s havaintovälillä kerätyllä datalla. Havaintovälin vaikutusta tuloksiin testattiin lisätutkimuksella, jossa mittaukset tehtiin kolmijaloilta toisella testikentällä. Dataa kerättiin 5, 10, 15 ja 30 sekunnin havaintoväleillä vektorien pituuksien vaihdellessa 1,8 32,5 km välillä. Laskenta suoritettiin samalla tavalla kuin päätestissä. Havaintovälin tihentämisen ei havaittu vaikuttavan merkittävästi geodeettiseen tarkkuuteen tai vaadittavaan havaintoaikaan. Testissä käytetty 30 s havaintovälin data riittää siis kuvaamaan staattisen GPS:n kolmiulotteista tarkkuutta. Tehtäessä olettamuksia saavutettavasta koordinaattitarkkuudesta tulee muistaa myös koordinaattihierarkia. Perinteisesti kkj-koordinaatistossa mittaukset tehtiin hierarkkisesti siten, että ne sidottiin luokkaa ylempiin lähtöpisteisiin. Pysyvien GPS-asemien, GPS:n tarkkuuden ja uuden EUREF-FIN-koordinaatiston yhteisvaikutuksena on ilmaantunut osittain tarpeellista ja osittain tarpeetonta mittaamista yli luokkarajojen. On huomattava, että vaikka pystymme mittaamaan kymmenien tai jopa satojen kilometrien pituisen GPS-vektorin senttimetritarkkuudella, se ei tarkoita, että saadut koordinaatit olisivat tällä tarkkuudella yhtenevät alueella jo olevien pisteiden koordinaattien kanssa. Vierekkäisten pisteiden koordinaattien alueelliseen yhteensopivuuteen päästään luotettavasti vain mittaamalla hierarkkisesti. Kuvassa 10 on esitelty EUREF-FIN-koordinaatiston luokkahierarkia. E1- luokka (EUREF I lk) on GL:n mittaama EUREF-FIN-koordinaatiston määrittävä pistejoukko (Ollikainen ym. 2000). E1b-luokan (EUREF Ib) muodostaa GL:n mittaama tihennys, jolla EUREF-FIN-koordinaatit tuotiin helpommin saavutetta- EUREF-FIN määritelmä FINNREF EUREF96-97 E1-12 FinnRef-asemaa - 91 I lk:n kolmiopistettä -6 mareografia -3 tarkkavaaituspistettä EUREF98-99 EUREF II luokka EUREF III luokka E1b tihennyspistettä E2 - n MML:n tihennyspistettä E3 Kuva 10. EUREF-FIN-koordinaatiston hierarkia (Puupponen ym. 2008).

12 16 Staattisen GPS-mittauksen geodeettisesta 3D-tarkkuudesta viin paikkoihin (Ollikainen ym. 2001). Tästä pisteistöä on tihentänyt mm. Maanmittauslaitos II ja III luokilla (E2 ja E3). Mitattaessa pitkiä vektoreita tulee muistaa, että Suomessa maa kohoaa enimmillään liki senttimetrin vuodessa. Pienimmilläänkin maankohoaminen on muutaman millimetrin luokkaa. Mikäli mitataan esimerkiksi vektoria Vaalimaalta Vaasaan, maankohoamisten ero on yli puoli senttimetriä vuodessa. Maankohoamisesta ei muodostu ongelmaa mitattaessa EUREF-FIN-koordinaatistossa hierarkkisesti kuvan 10 luokkahierarkiaa noudattaen siten, että mittaukset sidotaan aina lähimpiin ylemmän luokan pisteisiin. Tällöin maankohoaminen muuttaa naapuripisteitä samalla tavalla. Varoittavana esimerkkinä vektori Vaalimaalta Vaasaan mitattuna v antaa maankohoamisesta johtuen yli 50 mm vääriä korkeuksia verrattuna naapuripisteisiin EUREF-FIN-koordinaatistossa. Tämä johtuu 11 vuoden ( ) maankohoamiserosta kyseisten pisteiden välillä. Ajanhetki on EUREF-FIN:n referenssiepookki. Tässä tutkimuksessa käytettiin tarkkaa ITRF-koordinaatistoa havaintohetken epookissa, joten maankohoaminen ei vaikuttanut tuloksiin. Mikäli koordinaatit muunnetaan laskennan jälkeen johonkin muuhun koordinaatistoon, tulee muistaa, että muunnoksesta voi aiheutua GPS:n tarkkuutta huomattavasti suurempia virheitä. Muunnosten tarkkuudet eivät sisälly tämän tutkimuksen tuloksiin. Kiitokset. Kiitämme DI Joel Aholaa mahdollisuudesta käyttää GeoSatakunta-projektin ja Posivan tutkimusalueiden dataa tässä tutkimuksessa. Lisäksi kiitämme Inese Eveleä ja Olli Wilkmania GPS-vektoreiden laskentaan käytetystä ajasta. Viiteluettelo Ahola, J. ja M. Poutanen (2006). GPS-mittaukset Satakunnassa. GeoSatakunta 2005, Geologian tutkimuskeskus, Raportti P , toim. Pekka Huhta. Ahola, J., M. Ollikainen, H. Koivula ja J. Jokela (2006). GPS Operations at Olkiluoto, Kivetty and Romuvaara in Working Report Posiva Oy. 172 s. Boucher, C., Z. Altamimi, P. Sillard ja M. Feissel-Vernier (2004). The ITRF2000. IERS Technical Note No. 31. IERS ITRS Centre. Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie. Frankfurt am Main. Hofmann-Wellenhof, B., H. Lichtenegger ja J. Collins (2001). GPS Theory and Practice. Fifth revised edition. Springer-Verlag. ISBN Koivula, H. (2006). Implementation and Prospects for Use of a High Precision Geodetic GPS Monitoring Network (FinnRef) Covering Finland. Lisensiaatintyö. Teknillinen korkeakoulu, Espoo, MML (2003). Kaavoitusmittausohjeet. Maanmittauslaitoksen julkaisu n:o 94. NGS (2008). GPS antenna calibration homepage. (viitattu )

13 Maanmittaus 83:2 (2008) 17 Ollikainen, M., H. Koivula ja M. Poutanen (2000). The densification of the EUREF network in Finland. Suomen Geodeettisen laitoksen julkaisuja n:o 129, 61 s. Ollikainen, M., H. Koivula ja M. Poutanen (2001). EUREF-FIN-koordinaatisto ja EU- REF-pistetihennykset Suomessa. Geodeettisen laitoksen tiedote 24. Puupponen, J., P. Häkli, H. Koivula ja M. Poutanen (2008). Suomen geodeettiset koordinaatistot ja niiden väliset muunnokset. Geodeettisen laitoksen tiedote 30.

EUREF ja GPS. Matti Ollikainen Geodeettinen laitos. EUREF-päivä 29.1.2004 Teknillinen korkeakoulu Espoo

EUREF ja GPS. Matti Ollikainen Geodeettinen laitos. EUREF-päivä 29.1.2004 Teknillinen korkeakoulu Espoo EUREF ja GPS Matti Ollikainen Geodeettinen laitos EUREF-päivä 29.1.2004 Teknillinen korkeakoulu Espoo Kuinka EUREF sai alkunsa? EUREF (European Reference Frame) o Perustettiin Kansainvälisen geodeettisen

Lisätiedot

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN JA KORKEUDET Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN:n joitain pääominaisuuksia ITRF96-koordinaatiston kautta globaalin koordinaattijärjestelmän paikallinen/kansallinen realisaatio

Lisätiedot

JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä

JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä EUREF-II -päivä 2012 Marko Ollikainen Kehittämiskeskus Maanmittauslaitos MAANMITTAUSLAITOS TIETOA MAASTA Mittausohjeiden uudistamisesta

Lisätiedot

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Parempaa tarkkuutta satelliittimittauksille EUREF/N2000 - järjestelmissä Ympäristösi parhaat tekijät 2 EUREF koordinaattijärjestelmän käyttöön otto on Suomessa sujunut

Lisätiedot

ETRS89- kiintopisteistön nykyisyys ja tulevaisuus. Jyrki Puupponen Kartastoinsinööri Etelä-Suomen maanmittaustoimisto

ETRS89- kiintopisteistön nykyisyys ja tulevaisuus. Jyrki Puupponen Kartastoinsinööri Etelä-Suomen maanmittaustoimisto ETRS89- kiintopisteistön nykyisyys ja tulevaisuus Jyrki Puupponen Kartastoinsinööri Etelä-Suomen maanmittaustoimisto Valtakunnalliset kolmiomittaukset alkavat. Helsingin järjestelmä (vanha valtion järjestelmä)

Lisätiedot

JHS-suositus 184: Kiintopistemittaus EUREF-FINkoordinaattijärjestelmässä. Pasi Häkli Geodeettinen laitos

JHS-suositus 184: Kiintopistemittaus EUREF-FINkoordinaattijärjestelmässä. Pasi Häkli Geodeettinen laitos JHS-suositus 184: Kiintopistemittaus EUREF-FINkoordinaattijärjestelmässä Pasi Häkli Geodeettinen laitos Geodesian teemapäivä, Tieteiden talo, 10.9.2014 Taustaa Kiintopistemittaukset on perinteisesti tehty

Lisätiedot

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti TTY Mittausten koekenttä Käyttö Tampereen teknillisen yliopiston mittausten koekenttä sijaitsee Tampereen teknillisen yliopiston välittömässä läheisyydessä. Koekenttä koostuu kuudesta pilaripisteestä (

Lisätiedot

Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen

Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen Mittausten laadun tarkastus ja muunnoskertoimien laskenta Kyösti Laamanen 2.0 4.10.2013 Prosito 1 (9) SISÄLTÖ 1 YLEISTÄ...

Lisätiedot

KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa

KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa ESITYKSEN SISÄLTÖ: Koordinaattijärjestelmän uudistus (EUREF-FIN) Korkeusjärjestelmän uudistus (N2000) MML:n tasokiintopistemittaukset MML:n korkeuskiintopistemittaukset Mittaukset

Lisätiedot

EUREF-Teemapäivä II 04.09.2012, Tieteiden talo

EUREF-Teemapäivä II 04.09.2012, Tieteiden talo EUREF-Teemapäivä II 04.09.2012, Tieteiden talo KOORDINAATTI- JA KORKEUSJÄRJESTELMIEN VAIHTO Porissa ja Porin seudulla Kalervo Salonen / Seppo Mäkeläinen 04.09.2012 Miksi juuri nyt ( v. 2008 / syksy 2010

Lisätiedot

Markku.Poutanen@fgi.fi

Markku.Poutanen@fgi.fi Global Navigation Satellite Systems GNSS Markku.Poutanen@fgi.fi Kirjallisuutta Poutanen: GPS paikanmääritys, Ursa HUOM: osin vanhentunut, ajantasaistukseen luennolla ilmoitettava materiaali (erit. suomalaiset

Lisätiedot

Reaaliaikaisen GPS-mittauksen laatu

Reaaliaikaisen GPS-mittauksen laatu Maanmittaus 80:1-2 (2005) 5 Maanmittaus 80:1-2 (2005) Saapunut 23.3.2005 Hyväksytty 31.8.2005 Reaaliaikaisen GPS-mittauksen laatu Pasi Häkli ja Hannu Koivula Geodeettinen laitos, Geodesian ja geodynamiikan

Lisätiedot

Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä

Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Markku Poutanen Geodeettinen laitos Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Taustaa Uuden koordinaattijärjestelmän perusteet JHS ja käyttöönotto Uusi korkeusjärjestelmä

Lisätiedot

Radiotekniikan sovelluksia

Radiotekniikan sovelluksia Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina

Lisätiedot

JHS xxx Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä

JHS xxx Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä JHS xxx Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä Versio: 16.03.2012 Julkaistu: xx.xx.2012 Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto... 2 2 Soveltamisala... 2 3 Viittaukset... 2 4

Lisätiedot

RAPORTTI 04013522 12lUMVl2001. Urpo Vihreäpuu. Jakelu. OKMElOutokumpu 2 kpl PAMPALON RTK-KIINTOPISTEET. Sijainti 1:50 000. Avainsanat: RTK-mittaus

RAPORTTI 04013522 12lUMVl2001. Urpo Vihreäpuu. Jakelu. OKMElOutokumpu 2 kpl PAMPALON RTK-KIINTOPISTEET. Sijainti 1:50 000. Avainsanat: RTK-mittaus RAPORTTI 04013522 12lUMVl2001 Urpo Vihreäpuu Jakelu OKMElOutokumpu 2 kpl PAMPALON RTK-KIINTOPISTEET - 4333 07 Sijainti 1:50 000 Avainsanat: RTK-mittaus OUTOKUMPU MINING OY Mairninetsnnta RAPORTTI 04013522

Lisätiedot

JHS 184 Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä

JHS 184 Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä JHS 184 Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä Versio: 1.0 Julkaistu: 5.12.2012 Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto... 2 2 Soveltamisala... 2 3 Viittaukset... 2 4 Termit

Lisätiedot

Geodeettisen laitoksen koordinaattimuunnospalvelu

Geodeettisen laitoksen koordinaattimuunnospalvelu Geodeettisen laitoksen koordinaattimuunnospalvelu Janne Kovanen Geodeettinen laitos 10.3.2010 Koordinaattimuunnospalvelusta lyhyesti Ilmainen palvelu on ollut tarjolla syksystä 2008 lähtien. Web-sovellus

Lisätiedot

JHS 196 EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa

JHS 196 EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa JHS 1 EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa Versio: 1.0 / 7..016 Julkaistu: 5.4.016 Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto... 1 Soveltamisala... 3 Viittaukset... 4 Termit ja

Lisätiedot

Valtakunnallinen N60 N2000-muunnos

Valtakunnallinen N60 N2000-muunnos 32 Valtakunnallinen N60 N2000-muunnos Maanmittaus 86:2 (2011) Geodesian tietoisku Valtakunnallinen N60 N2000-muunnos Mikko Ahola ja Matti Musto mikko.ahola@hel.fi matti.musto@maanmittauslaitos.fi 1 Johdanto

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin

Lisätiedot

Palautekooste: JHS 153 / JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa

Palautekooste: JHS 153 / JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa Palautekooste: JHS 153 / JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa 1. Organisaatio - Yksityishenkilö - Yksityishenkilö - Puolustusvoimat - Joensuun kaupunki - Sosiaali- ja terveysministeriö

Lisätiedot

Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet:

Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: PALKKIANTURI Työssä tutustutaan palkkianturin toimintaan ja havainnollistetaan sen avulla pienten ainepitoisuuksien havainnointia. Työn mittaukset on jaettu kolmeen osaan,

Lisätiedot

JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa

JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa JHS XXX EUREF-FIN -järjestelmän mukaiset koordinaatit Suomessa Versio: 29.9.2014 (luonnos palautekierrosta varten) Julkaistu: Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto...

Lisätiedot

Geodeettisen laitoksen GNSS -palvelu

Geodeettisen laitoksen GNSS -palvelu Geodeettisen laitoksen GNSS -palvelu Hannu Koivula Hannu.koivula@fgi.fi Geodesian teemapäivä 10.9.2014 Tieteiden talo Esityksen sisältö 1. Geodeettinen laitos 2. Mikä on FinnRef? 3. Miksi FinnRef on rakennettu?

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

SUOMEN GEOIDIMALLIT JA NIIDEN KÄYTTÄMINEN KORKEUDEN MUUNNOKSISSA

SUOMEN GEOIDIMALLIT JA NIIDEN KÄYTTÄMINEN KORKEUDEN MUUNNOKSISSA 009 GEODEETTINEN LAITOS TIEDOTE 9 Mirjam Bilker-Koivula Matti Ollikainen SUOMEN GEOIDIMALLIT JA NIIDEN KÄYTTÄMINEN KORKEUDEN MUUNNOKSISSA ISBN-13: 978-951-711-59-8 ISSN: 0787-917 pdf-isbn: 978-951-711-60-4

Lisätiedot

Accu-Chek Compact- ja Accu-Chek Compact Plus -järjestelmien luotettavuus ja tarkkuus. Johdanto. Menetelmä

Accu-Chek Compact- ja Accu-Chek Compact Plus -järjestelmien luotettavuus ja tarkkuus. Johdanto. Menetelmä Accu-Chek Compact- ja Accu-Chek Compact Plus -järjestelmien luotettavuus ja tarkkuus I. TARKKUUS Järjestelmän tarkkuus on vahvistettu ISO 15197 -standardin mukaiseksi. Johdanto Tämän kokeen tarkoituksena

Lisätiedot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot Logistinen regressio, separoivat hypertasot Topi Sikanen Logistinen regressio Aineisto jakautunut K luokkaan K=2 tärkeä erikoistapaus Halutaan mallintaa luokkien vedonlyöntikertoimia (odds) havaintojen

Lisätiedot

Geotrim TAMPEREEN SEUTUKUNNAN MITTAUSPÄIVÄT 29.3.2006

Geotrim TAMPEREEN SEUTUKUNNAN MITTAUSPÄIVÄT 29.3.2006 Geotrim TAMPEREEN SEUTUKUNNAN MITTAUSPÄIVÄT 29.3.2006 Satelliittimittauksen tulevaisuus GPS:n modernisointi, L2C, L5 GALILEO GLONASS GNSS GPS:n modernisointi L2C uusi siviilikoodi L5 uusi taajuus Block

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

- mittayksikkö eli yksikkö on mittaamisessa tarvittava apuväline. - yksiköiden avulla voidaan verrata mitattujen suureiden arvoja

- mittayksikkö eli yksikkö on mittaamisessa tarvittava apuväline. - yksiköiden avulla voidaan verrata mitattujen suureiden arvoja - 26 - - mittayksikkö eli yksikkö on mittaamisessa tarvittava apuväline - yksiköien avulla voiaan verrata mitattujen suureien arvoja - suure on jonkin esineen tai asian mitattava ominaisuus, jonka arvo

Lisätiedot

Seuratiedote 2/09 LIITE 4

Seuratiedote 2/09 LIITE 4 CSA-järjestelmä Johdantoa USGAn Course Rating -järjestelmässä todetaan: USGAn Course Ratingin ja Slope Ratingin määritysten tulee vastata olosuhteita kauden aikana, jolloin suurin osa kierroksista pelataan.

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

GPS:n mittausmoodit ja tarkkuus. Pysyvät asemat; aikasarjat, muutokset. Absoluuttinen paikannus

GPS:n mittausmoodit ja tarkkuus. Pysyvät asemat; aikasarjat, muutokset. Absoluuttinen paikannus GPS:n mittausmoodit ja tarkkuus 0 m m Navigointi; koodi; yksi vastaanotin DGPS; koodi + tukiasema 0. m 0.0 m 0.00m RTK; vaihehavainnot + tukiasema Staattinen; vaihehavainnot, verkko, jälkilaskenta Pysyvät

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Ratapihaan liittyvien alueiden sekä kaupungintalon tontin asemakaavamuutoksen tärinäselvitys Suonenjoen kaupunki

Ratapihaan liittyvien alueiden sekä kaupungintalon tontin asemakaavamuutoksen tärinäselvitys Suonenjoen kaupunki Ratapihaan liittyvien alueiden sekä kaupungintalon tontin asemakaavamuutoksen tärinäselvitys Suonenjoen kaupunki 27.8.2014 1 Taustatiedot Suonenjoen kaupungin keskustassa on käynnissä asemakaavatyö, jonka

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

PHYS-A1110 Laboratoriotyöosuus. Vastaava opettaja Jani Sainio puh: 050-5756914 jani.sainio@aalto.fi huone 138 (OK 4A)

PHYS-A1110 Laboratoriotyöosuus. Vastaava opettaja Jani Sainio puh: 050-5756914 jani.sainio@aalto.fi huone 138 (OK 4A) PHYS-A1110 Laboratoriotyöosuus Vastaava opettaja Jani Sainio puh: 050-5756914 jani.sainio@aalto.fi huone 138 (OK 4A) Kurssin järjestelyt Miksi? Fysiikka on havaintoja ja niiden selittämistä / ennustamista

Lisätiedot

Lahden kaupunki ja EUREF, kokemuksia 7-vuoden yhteiselosta. EUREF-päivä 2.0 4.9.2012

Lahden kaupunki ja EUREF, kokemuksia 7-vuoden yhteiselosta. EUREF-päivä 2.0 4.9.2012 Lahden kaupunki ja EUREF, kokemuksia 7-vuoden yhteiselosta EUREF-päivä 2.0 4.9.2012 ETRS-89 /EUREF-FIN muunnos Lahden kaupungissa 1. Taustaa 2. Muunnosprosessi 2.1 testaus 3. Vaikutukset toimintaympäristöön

Lisätiedot

Koordinaatistoista. Markku Poutanen Geodeettinen laitos. Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio

Koordinaatistoista. Markku Poutanen Geodeettinen laitos. Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaatistoista Markku Poutanen Geodeettinen laitos Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaattijärjestelmä sisältää määritelmät, Reference system contains definitions koordinaatisto

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3 : http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin

Lisätiedot

GPS:n käyttömahdollisuudet mareografitutkimuksessa

GPS:n käyttömahdollisuudet mareografitutkimuksessa GPS:n käyttömahdollisuudet mareografitutkimuksessa Maaria Tervo, Markku Poutanen ja Hannu Koivula Geodeettinen laitos, maaria.tervo@fgi.fi Abstract Sea level monitoring is an important part of oceanography

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

METEORIEN HAVAINNOINTI III VISUAALIHAVAINNOT 3.1 YLEISTÄ

METEORIEN HAVAINNOINTI III VISUAALIHAVAINNOT 3.1 YLEISTÄ 23 METEORIEN HAVAINNOINTI III VISUAALIHAVAINNOT 3.1 YLEISTÄ Tässä metodissa on kyse perinteisestä. luettelomaisesta listaustyylistä, jossa meteorit kirjataan ylös. Tietoina meteorista riittää, kuuluuko

Lisätiedot

KUITUPUUN PINO- MITTAUS

KUITUPUUN PINO- MITTAUS KUITUPUUN PINO- MITTAUS Ohje KUITUPUUN PINOMITTAUS Ohje perustuu maa- ja metsätalousministeriön 16.6.1997 vahvistamaan pinomittausmenetelmän mittausohjeeseen. Ohjeessa esitettyä menetelmää sovelletaan

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Maa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP

Maa-57.260. Kameran kalibrointi. TKK/Fotogrammetria/PP Kameran kalibrointi Kameran kalibroinnilla tarkoitetaan sen kameravakion, pääpisteen paikan sekä optiikan aiheuttamien virheiden määrittämistä. Virheillä tarkoitetaan poikkeamaa ideaalisesta keskusprojektiokuvasta.

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1

Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1 Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1 Risto Taipale 20.9.2013 1 Tehtävä 1 Erään lämpömittarin vertailu kalibrointistandardiin antoi keskimääräiseksi eroksi standardista 0,98 C ja eron keskihajonnaksi

Lisätiedot

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen 1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki

Lisätiedot

Operaattorivertailu SELVITYS PÄÄKAUPUNKISEUDULLA TOIMIVIEN 3G MATKAVIESTINVERKKOJEN DATANOPEUKSISTA

Operaattorivertailu SELVITYS PÄÄKAUPUNKISEUDULLA TOIMIVIEN 3G MATKAVIESTINVERKKOJEN DATANOPEUKSISTA Operaattorivertailu SELVITYS PÄÄKAUPUNKISEUDULLA TOIMIVIEN 3G MATKAVIESTINVERKKOJEN DATANOPEUKSISTA SISÄLLYSLUETTELO TIIVISTELMÄ... 3 YLEISTÄ... 4 TAVOITE... 4 PAIKKAKUNNAT... 5 MITATUT SUUREET JA MITTAUSJÄRJESTELMÄ...

Lisätiedot

TIEDÄ SIJAINTISI. Koordinaattihaku. satakunta.punainenristi.fi

TIEDÄ SIJAINTISI. Koordinaattihaku. satakunta.punainenristi.fi TIEDÄ SIJAINTISI Koordinaattihaku satakunta.punainenristi.fi Hätäpuhelun soittajan on hyvä tietää sijaintinsa Karttakoordinaattien avulla on mahdollista selvittää tarkka sijainti Koordinaatit on mahdollista

Lisätiedot

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä määritetään putoamiskiihtyvyys kolmella eri tavalla. Ennakko-oletuksena mietitään, pitäisikö jollain tavoista

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

YLEISKUVA - Kysymykset

YLEISKUVA - Kysymykset INSIGHT Käyttöopas YLEISKUVA - Kysymykset 1. Insight - analysointityökalun käytön mahdollistamiseksi täytyy kyselyn raportti avata Beta - raportointityökalulla 1. Klikkaa Insight välilehteä raportilla

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen Opetusmateriaali Tämän opetusmateriaalin tarkoituksena on opettaa kiihtyvyyttä mallintamisen avulla. Toisena tarkoituksena on hyödyntää pikkuautoa ja lego-ukkoa fysiikkaan liittyvän ahdistuksen vähentämiseksi.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

RAPORTTI ISOVERIN ERISTEIDEN RADIOTAAJUISTEN SIGNAALIEN VAIMENNUKSISTA

RAPORTTI ISOVERIN ERISTEIDEN RADIOTAAJUISTEN SIGNAALIEN VAIMENNUKSISTA RAPORTTI ISOVERIN ERISTEIDEN RADIOTAAJUISTEN SIGNAALIEN VAIMENNUKSISTA Tämä on mittaus mittauksista, joilla selvitettiin kolmen erilaisen eristemateriaalin aiheuttamia vaimennuksia matkapuhelinverkon taajuusalueilla.

Lisätiedot

Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006.

Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006. Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006 Seppo Elo - 2 - GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Tekijät Seppo Elo KUVAILULEHTI

Lisätiedot

Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio

Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaattijärjestelmä sisältää määritelmät, koordinaatisto on sen realisaatio maastossa ja karttaprojektio tämän esitysmuoto kaksiulotteisella kartalla

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä

Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

KOORDINAATTI- JA KORKEUSJÄRJESTELMIEN VAIHTO TURUSSA 15.2.2010

KOORDINAATTI- JA KORKEUSJÄRJESTELMIEN VAIHTO TURUSSA 15.2.2010 KOORDINAATTI- JA KORKEUSJÄRJESTELMIEN VAIHTO TURUSSA 15.2.2010 Ilkka Saarimäki Kaupungingeodeetti Kiinteistöliikelaitos Kaupunkimittauspalvelut ilkka.saarimaki@turku.fi VANHAT JÄRJESTELMÄT Turun kaupungissa

Lisätiedot

DirAir Oy:n tuloilmaikkunaventtiilien mittaukset 30.11.2012

DirAir Oy:n tuloilmaikkunaventtiilien mittaukset 30.11.2012 Tampereen teknillinen yliopisto Teknisen suunnittelun laitos Pentti Saarenrinne Tilaaja: DirAir Oy Kuoppakatu 4 1171 Riihimäki Mittausraportti: DirAir Oy:n tuloilmaikkunaventtiilien mittaukset 3.11.212

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Laskennallinen menetelmä puun biomassan ja oksien kokojakauman määrittämiseen laserkeilausdatasta

Laskennallinen menetelmä puun biomassan ja oksien kokojakauman määrittämiseen laserkeilausdatasta Laskennallinen menetelmä puun biomassan ja oksien kokojakauman määrittämiseen laserkeilausdatasta Pasi Raumonen, Mikko Kaasalainen ja Markku Åkerblom Tampereen teknillinen ylipisto, Matematiikan laitos

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Päällysteiden laadun tutkimusmenetelmien laadun parantamiseksi. Tutkimushankkeet, joissa PANK ry on mukana

Päällysteiden laadun tutkimusmenetelmien laadun parantamiseksi. Tutkimushankkeet, joissa PANK ry on mukana Tutkimushankkeet Päällysteiden laadun tutkimusmenetelmien laadun parantamiseksi PANK -menetelmäpäivä 2 Tutkimushankkeet, joissa PANK ry on mukana MARA - Rakennetta rikkomattomat mittausmenetelmät maanrakentamisessa

Lisätiedot

3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet. Mikael Hornborg

3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet. Mikael Hornborg 3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet Mikael Hornborg Luennon sisältö 1. Optiset koordinaattimittauskoneet 2. 3D skannerit 3. Sovelluskohteet Johdanto Optiset mittaustekniikat perustuvat valoon ja

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla 1(8) Kymmenjärjestelmä desimaalilukujen ja mittayksiköiden muunnosten pohjana A. Miten saadaan desimaalilukuihin ymmärrystä 10-järjestelmän avulla? B. Miten saadaan mittayksiköiden muunnoksiin ymmärrystä

Lisätiedot

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte

Lisätiedot

Määrittelydokumentti

Määrittelydokumentti Määrittelydokumentti Aineopintojen harjoitustyö: Tietorakenteet ja algoritmit (alkukesä) Sami Korhonen 014021868 sami.korhonen@helsinki. Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin yliopisto 23. kesäkuuta

Lisätiedot

Varjoliidon ja Riippuliidon Suomen ennätysten suorittaminen

Varjoliidon ja Riippuliidon Suomen ennätysten suorittaminen 1 Varjoliidon ja Riippuliidon Suomen ennätysten suorittaminen Suomen Ilmailuliiton Liidintoimikunta on hyväksynyt nämä säännöt 14.4.2015. Säännöt astuvat voimaan välittömästi ja ovat voimassa toistaiseksi.

Lisätiedot

PANK PANK-4122 ASFALTTIPÄÄLLYSTEEN TYHJÄTILA, PÄÄLLYSTETUTKAMENETELMÄ 1. MENETELMÄN TARKOITUS

PANK PANK-4122 ASFALTTIPÄÄLLYSTEEN TYHJÄTILA, PÄÄLLYSTETUTKAMENETELMÄ 1. MENETELMÄN TARKOITUS PANK-4122 PANK PÄÄLLYSTEALAN NEUVOTTELUKUNTA ASFALTTIPÄÄLLYSTEEN TYHJÄTILA, PÄÄLLYSTETUTKAMENETELMÄ Hyväksytty: Korvaa menetelmän: 9.5.2008 26.10.1999 1. MENETELMÄN TARKOITUS 2. MENETELMÄN SOVELTAMISALUE

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien

Lisätiedot

Samuel Ritakallio Suomen pysyvän GPS-verkon uudistaminen GNSS-yhteensopivaksi

Samuel Ritakallio Suomen pysyvän GPS-verkon uudistaminen GNSS-yhteensopivaksi Metropolia Ammattikorkeakoulu Maanmittaustekniikan koulutusohjelma Samuel Ritakallio Suomen pysyvän GPS-verkon uudistaminen GNSS-yhteensopivaksi Insinöörityö 4.6.2009 Ohjaaja: erikoistutkija Hannu Koivula

Lisätiedot

MAANMITTAUSLAITOS MÄÄRÄYS 1 (1) Keskushallinto

MAANMITTAUSLAITOS MÄÄRÄYS 1 (1) Keskushallinto MAANMITTAUSLAITOS MÄÄRÄYS 1 (1) Keskushallinto 31.1.2003 MML/1/012/2003 KAAVOITUSMITTAUSOHJEET Maanmittauslaitos on tänään antanut maankäyttö- ja rakennuslain (132/1999) 206 :n 3 momentissa tarkoitetut,

Lisätiedot

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

JHS 180 Paikkatiedon sisältöpalvelut Liite 4 INSPIRE-palvelujen laadun testaus

JHS 180 Paikkatiedon sisältöpalvelut Liite 4 INSPIRE-palvelujen laadun testaus JHS 180 Paikkatiedon sisältöpalvelut Liite 4 INSPIRE-palvelujen laadun testaus Versio: 28.2.2013 Julkaistu: 28.2.2013 Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Yleiset vaatimukset... 2 2 Latauspalvelun

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Koordinaatit, korkeus, kartat ja GPS

Koordinaatit, korkeus, kartat ja GPS Koordinaatit, korkeus, kartat ja GPS Markku Poutanen Geodeettinen laitos Markku.Poutanen@fgi.fi Paikan esittämiseen tarvitaan koordinaatit. Vaikka koordinaattien tuottaminen onkin GPS-mittausten perustehtäviä,

Lisätiedot

SUDOKU - ratkaisuohjeet. Jarno Tuimala 18.9.2005

SUDOKU - ratkaisuohjeet. Jarno Tuimala 18.9.2005 SUDOKU - ratkaisuohjeet Jarno Tuimala 18.9.2005 Japanilainen sudoku Seuraavassa on esitetty ohjeet japanilaistyyppisten sudoku-ristikoiden ratkontaan. Japanilaisia ristikoita luonnehtivat seuraavat piirteet:

Lisätiedot

TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE

TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE Ryhmä Tekijä 1 Pari Tekijä 2 Päiväys Assistentti Täytä mittauslomake lyijykynällä. Muista erityisesti virhearviot ja suureiden yksiköt! 4 Esitehtävät 1. Mitä tarkoitetaan

Lisätiedot