Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta: Esitiedot
|
|
|
- Riikka Mäki
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 T (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan T (c) Ilkka Mellin (2004) 2 : Mitä oimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, oeraatiotutkimuksessa, eli- ja äätösteoriassa sekä todennäköisyyslaskennassa. Tässä luvussa tarkastelemme ensin miten uumaisia verkkoja voidaan käyttää auna todennäköisyyslaskennan tehtävien ratkaisemisessa. Samalla esitämme sovellusesimerkkejä ns. äätösuiden käytöstä äätösongelmien ratkaisemisessa. Toisena verkkoteorian sovelluksena tarkastelemme ns. toimintaverkkojen toimintatodennäköisyyksien määräämistä. : sitiedot sitiedot: ks. seuraavia lukuja: Todennäköisyyslaskennan eruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan eruslaskusäännöt T (c) Ilkka Mellin (2004) 3 T (c) Ilkka Mellin (2004) 4 : Lisätiedot Verkkoteorian eruskäsitteet esitetään liitteessä Verkot Todennäköisyyslaskennan eruslaskusääntöjen havainnollistamista uumaisten verkkojen avulla käsitellään liitteessä >> T (c) Ilkka Mellin (2004) 5 T (c) Ilkka Mellin (2004) 6
2 T (c) Ilkka Mellin (2004) 7 Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa: Johdatteleva esimerkki Avainsanat Puudiagrammi Reitti Särmä Tulosääntö uutodennäköisyyksille Verkko Verkkodiagrammi Yhteenlaskusääntö uutodennäköisyyksille onnistumistodennäköisyys 1/6 Tehdään lasten syntymisestä seuraavat (yksinkertaistavat) oletukset: (i) Laset syntyvät aina yksi kerrallaan. (ii) Syntyvän lasen sukuuoli ei riiu aikaisemmin syntyneiden lasten sukuuolesta. (iii) Pr(Poika) = Pr(Tyttö) = 1/2. räs ariskunta haluaa saada tytön, mutta ei halua hankkia neljää lasta enemää. Pariskunta äättää käyttää lasten hankkimisessa seuraavaa strategiaa: (i) Lasia hankitaan kunnes saadaan tyttö. (ii) Lasia ei kuitenkaan hankita neljää enemää. Jos siis neljäskin lasi on oika, ariskunta on eäonnistunut strategiassaan. Mikä on todennäköisyys, että ariskunta onnistuu strategiassaan? T (c) Ilkka Mellin (2004) 8 onnistumistodennäköisyys 2/6 Pariskuntaa kohtaavia taahtumavaihtoehtoja vastaava uudiagrammi on esitetty oikealla. Puudiagrammissa: T = Tyttö ja P = Poika Puudiagrammin vasemmanuoleiset särmät vastaavat strategian onnistumista. Puudiagrammin oikeanuoleiset särmät vastaavat eäonnistumista. Jokaisen särmän todennäköisyys = 1/2. T P 1. lasi T P 2. lasi 3. lasi T P 4. lasi T P onnistumistodennäköisyys 3/6 Olkoon A = Pariskunta onnistuu strategiassaan = i:s lasi on tyttö = i:s lasi on oika T = Syntyy tyttö P = Syntyy oika T i P i Taahtumat T 1, T 2, T 3, T 4 muodostavat joukon A osituksen: A = T 1 T 2 T 3 T 4, T i T j =, i j T (c) Ilkka Mellin (2004) 9 T (c) Ilkka Mellin (2004) 10 onnistumistodennäköisyys 4/6 Taahtumien T i ja P i todennäköisyydet Pr(T i ) ja Pr(P i ), i = 1, 2, 3, 4 voidaan määrätä rekursiivisesti. Riiumattomien taahtumien tulosäännön nojalla: 1 Pr( T1) = Pr( T) = = Pr( P1) Pr( T2) = Pr( T P1) = Pr( T) Pr( P1) = = = Pr( P2) Pr( T3) = Pr( T P2) = Pr( T) Pr( P2) = = = Pr( P3) Pr( T4) = Pr( T P3) = Pr( T) Pr( P3) = = = Pr( P4) onnistumistodennäköisyys 5/6 Strategian onnistumisen todennäköisyydeksi saadaan toisensa oissulkevien taahtumien yhteenlaskusäännön nojalla: Pr( A) = Pr( T1 T2 T3 T4) = Pr( T1) + Pr( T2) + Pr( T3) + Pr( T4) = = 16 T (c) Ilkka Mellin (2004) 11 T (c) Ilkka Mellin (2004) 12
3 T (c) Ilkka Mellin (2004) 13 onnistumistodennäköisyys 6/6 Todennäköisyydet 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 saadaan määräämällä louisteisiin T vievien reittien todennäköisyydet. Reittien todennäköisyydet saadaan reitin muodostavien särmien todennäköisyyksien tulona. Strategian onnistumisen todennäköisyys 15/16 saadaan laskemalla louisteisiin T vievien reittien todennäköisyydet yhteen. T P 1. lasi T P 2. lasi 3. lasi T P 4. lasi T P >> T (c) Ilkka Mellin (2004) 14 Puudiagrammien käyttö todennäköisyyslaskennassa Avainsanat Alkutila Juuri Louiste Loutila Piste Puu Puudiagrammi Puutodennäköisyys Reitti Särmä Taahtumajono Taahtumavaihtoehto Tulosääntö uutodennäköisyyksille Verkko Verkkodiagrammi Yhteenlaskusääntö uutodennäköisyyksille Periaatteessa jokainen alkeistodennäköisyyslaskennan tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä auna ns. uudiagrammeja. Jos tehtävän satunnaisilmiötä osataan kuvata uudiagrammilla, tehtävän ratkaisemisessa tarvittavat uutodennäköisyydet saadaan määrätyksi käyttämällä kahta yksinkertaista laskusääntöä, tulosääntöä ja yhteenlaskusääntöä. T (c) Ilkka Mellin (2004) 15 T (c) Ilkka Mellin (2004) 16 Puudiagrammin konstruointi 1/2 Puudiagrammin konstruointi 2/2 Satunnaisilmiö voidaan kuvata uudiagrammilla, jos ilmiö osataan esittää seuraavassa muodossa: (i) Ilmiöllä on yksi alkutila ja yksi tai useamia loutiloja. (ii) Ilmiö koostuu vaihtoehtoisista taahtumajonoista. (iii) Taahtumajonoissa edetään vaiheittain taahtumasta toiseen lähtien ilmiön alkutilasta ja äätyen johonkin ilmiön loutiloista. (iv) Jokaisessa vaiheessa kohdataan yksi tai useamia taahtumavaihtoehtoja, joista yksi realisoituu ja johtaa uusin taahtumavaihtoehtoihin. T (c) Ilkka Mellin (2004) 17 Satunnaisilmiötä vastaavan uudiagrammin konstruointi: (i) Asetetaan uun juuri vastaamaan ilmiön alkutilaa. (ii) Asetetaan uun louisteet ( oksien kärjet ) vastaamaan ilmiön loutiloja. (iii) Asetetaan uun isteet ( oksien haarautumiskohdat ) vastaamaan ilmiön taahtumia. (iv) Viedään uun jokaisesta isteestä särmä ( oksa ) kaikkiin sellaisiin isteisiin, joita vastaavat taahtumavaihtoehdot ovat ilmiön siinä vaiheessa mahdollisia. (v) Liitetään jokaiseen isteestä lähtevään särmään siinä vaiheessa mahdollisten taahtumavaihtoehtojen todennäköisyydet. T (c) Ilkka Mellin (2004) 18
4 T (c) Ilkka Mellin (2004) 19 Puudiagrammin konstruointi: simerkki 1/3 Puudiagrammin konstruointi: simerkki 2/3 Puudiagrammin konstruointia voidaan havainnollistaa viereisellä kaaviolla. Tarkastellaan satunnaisilmiötä vaiheessa, jossa taahtuma A on sattunut. Olkoot A:n sattumisen jälkeen mahdolliset taahtumavaihtoehdot B i, i = 1, 2,, m B 1 A B k B m Viedään isteestä Asärmä jokaiseen isteistä B i, i = 1, 2,, m Liitetään jokaiseen särmään A (A, B i ), i = 1, 2,, m ehdollinen todennäköisyys i = Pr( Bi A) jossa A 1 k on taahtumajono, B 1 B k joka on tuonut isteeseen A. m B m T (c) Ilkka Mellin (2004) 20 Puudiagrammin konstruointi: simerkki 3/3 Puudiagrammin konstruointi: ommentteja oska A:n sattumisen jälkeen ei ole muita mahdollisia taahtumavaihtoehtoja kuin B i, i = 1, 2,, m, itää todennäköisyyksien i, i = 1, 2,, m toteuttaa ehto m m = Pr( B A) = 1 i i= 1 i= 1 i B 1 1 A B k k m B m Puudiagrammi iirretään tavallisesti joko niin, että sen alkuiste on ylhäällä ja louisteet ovat alhaalla tai niin, että sen alkuiste on vasemmalla ja louisteet ovat oikealla. Useat uun isteet voivat vastata samaa taahtumaa. Mistä tahansa uun isteestä lähtevien särmien todennäköisyyksien summa on 1. T (c) Ilkka Mellin (2004) 21 T (c) Ilkka Mellin (2004) 22 Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydellä tarkoitetaan todennäköisyyttä äästä uun alkuisteestä yhden tai useamman muun uun isteen määräämään yhdistettyyn taahtumaan. Pisteen todennäköisyys saadaan määräämällä alkuisteestä ko. isteeseen vievän reitin todennäköisyys. Reitin todennäköisyys saadaan soveltamalla reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksiin tulosääntöä. Usean isteen määräämän yhdistetyn taahtuman todennäköisyys saadaan soveltamalla ko. isteisiin vievien reittien todennäköisyyksiin yhteenlaskusääntöä. Tulosääntö 1/4 Reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. Sääntöä kutsutaan uutodennäköisyyksien tulosäännöksi. Tulosäännön erustelu: (1) Reitti on taahtumajono, jonka muodostavat reitin isteet. (2) Reitin muodostava taahtumajono sattuu, jos jokainen jonon taahtumista sattuu. (3) Todennäköisyyslaskennan yleisen tulosäännön mukaan reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. T (c) Ilkka Mellin (2004) 23 T (c) Ilkka Mellin (2004) 24
5 T (c) Ilkka Mellin (2004) 25 Tulosääntö 2/4 Olkoon L, A 1, A 2, A 3,, A k yksi niistä vaihtoehtoisista taahtumajonoista, joista satunnaisilmiö muodostuu. Tällöin arit (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) muodostavat satunnaisilmiön alkutilasta L satunnaisilmiön (lou-) tilaan A k vievän reitin särmät. Tulosääntö 3/4 Liitetään reitin (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) särmiin todennäköisyydet seuraavalla tavalla: (L, A 1 ) Pr(A 1 ) = 1 (A 1, A 2 ) Pr(A 2 A 1 ) = 2 (A 2, A 3 ) Pr(A 3 A 1 A 2 ) = 3 (A k 1, A k ) Pr(A k A 1 A 2 A 3 A k 1 ) = k T (c) Ilkka Mellin (2004) 26 Tulosääntö 4/4 Tulosäännön havainnollistus Reitin (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) todennäköisyys on yleisen tulosäännön nojalla: Pr(A 1 A 2 A 3 A k ) = Pr(A 1 ) Pr(A 2 A 1 ) Pr(A 3 A 1 A 2 ) Pr(A k A 1 A 2 A 3 A k 1 ) = k Puutodennäköisyyksien tulosääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä uudiagrammilla. Reitin k todennäköisyys on uutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan Pr(Reitti k) = k L A 2 3 A 3 A k 1 k A k Reitti k 1 A 1 2 T (c) Ilkka Mellin (2004) 27 T (c) Ilkka Mellin (2004) 28 Yhteenlaskusääntö 1/2 Jos useita (lou-) tiloja yhdistetään yhdeksi taahtumaksi, näin saadun yhdistetyn taahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä ko. tiloihin vievien reittien todennäköisyyksien summa. Sääntöä kutsutaan uutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännöksi. Yhteenlaskusäännön erustelu: (1) Puun eri isteisiin vievät reitit ovat toisensa oissulkevia. (2) Toisensa oissulkevien taahtumien yhteenlaskusäännön mukaan useista (lou-) isteistä yhdistämällä saatavan taahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä ko. isteisiin vievien reittien todennäköisyyksien summa. Yhteenlaskusääntö 2/2 Yhdistetään satunnaisilmiön (lou-) tilat B 1, B 2,, B k yhdeksi taahtumaksi C = B 1 B 2 B k Olkoot tiloja B 1, B 2,, B k vastaavat reitit Reitti 1, Reitti 2,, Reitti k oska uun eri isteisiin vievät reitit ovat toisensa oissulkevia, taahtuman C todennäköisyys on toisensa oissulkevien taahtumien yhteenlaskusäännön nojalla: Pr(C) = Pr(Reitti 1 tai Reitti 2 tai tai Reitti k) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + + Pr(Reitti k) T (c) Ilkka Mellin (2004) 29 T (c) Ilkka Mellin (2004) 30
6 T (c) Ilkka Mellin (2004) 31 Yhteenlaskusäännön havainnollistus Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 1/6 Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä uudiagrammilla: Pr(C) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + Pr(Reitti k)... B 1 B 2 B k Reitti: k C Tarkastellaan seuraavaa äätöstilannetta. Munuaistaudissa otilaan munuaiset loettavat vähitellen toimintansa, mikä johtaa otilaan kuolemaan. Oletetaan, että otilas voisi vaaasti valita hoidoksi joko dialyysin (munuaiskoneen) tai munuaisensiirron. umi hoidoista otilaan kannattaa valita, jos hoitojen tuloksista on käytettävissä seuraavalla kalvolla esitetyt tiedot? T (c) Ilkka Mellin (2004) 32 Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 2/6 Dialyysiotilaat: 68 % elää 5:n vuoden kuluttua 32 % on kuollut 5:n vuoden kuluttua Munuaisensiirtootilaat: 48 %:lla siirretty munuainen toimii normaalisti ja otilas elää 5:n vuoden kuluttua 43 %:lla siirretty munuainen ei toimi kunnolla ja he joutuvat dialyysiin 42 % näistä otilaista elää 5:n vuoden kuluttua 58 % näistä otilaista on kuollut 5:n vuoden kuluttua 9 % kuolee siirron aiheuttamiin komlikaatioihin Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 3/6 Merkitään: D = Potilasta hoidetaan dialyysilla S = Potilaalle tehdään munuaisensiirto SD = Siirtootilas joutuu dialyysiin = Potilas elää 5 vuoden kuluttua = Potilas on kuollut 5 vuoden kuluttua Hoitotulokset voidaan esittää seuraavina ehdollisina todennäköisyyksinä: Pr( D) = 0.68 Pr( D) = 0.32 Pr( S) = 0.48 Pr(SD S) = 0.43 Pr( S) = 0.09 Pr( SD) = 0.42 Pr( SD) = 0.58 T (c) Ilkka Mellin (2004) 33 T (c) Ilkka Mellin (2004) 34 Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 4/6 Potilasta kohtaavia vaihtoehtoja voidaan kuvata viereisellä diagrammilla, joka koostuu kahdesta uudiagrammista. Jos otilas haluaa maksimoida todennäköisyyden olla elossa 5:n vuoden kuluttua, hänen on verrattava reitin 1 määräämän taahtuman todennäköisyyttä reittien 3 ja 4 määräämän yhdistetyn taahtuman todennäköisyyteen. D Reitti 1 Reitti 2 S SD Reitti Reitti 4 Reitti 5 Reitti 6 Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 5/6 Reitin 1 määräämän taahtuman todennäköisyys: Pr(Reitti 1) = 0.68 Reitin 3 määräämän taahtuman todennäköisyys: Pr(Reitti 3) = 0.48 Reitin 4 määräämän taahtuman todennäköisyys on uutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan: Pr(Reitti 4) = = D Reitti 1 Reitti 2 S SD Reitti Reitti 4 Reitti 5 Reitti 6 T (c) Ilkka Mellin (2004) 35 T (c) Ilkka Mellin (2004) 36
7 T (c) Ilkka Mellin (2004) 37 Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 6/6 Reittien 3 ja 4 määräämän yhdistetyn taahtuman todennäköisyys on uutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan: Pr(Reitti 3 tai Reitti 4) = = oska Pr(Reitti 3 tai Reitti 4) = < Pr(Reitti 1) = 0.68, otilaan kannattaa valita dialyysi. D Reitti 1 Reitti 2 S SD Reitti Reitti 4 Reitti 5 Reitti 6 >> T (c) Ilkka Mellin (2004) 38 Systeemi ja sen toimintatodennäköisyys Avainsanat omonentti Toimintatodennäköisyys Toimintaverkko Tulosääntö Riiumattomuus Rinnankytkentä Sarjaankytkentä Systeemi Verkko Yhteenlaskusääntö Tehtävänä on määrätä systeemin toimintatodennäköisyys, kun seuraavat oletukset ätevät: (i) Systeemi koostuu komonenteista, jotka on kytketty joko sarjaan tai rinnan. (ii) Jokaisen komonentin toimintatodennäköisyys tunnetaan. (iii) Jokaisen komonentin toiminta on riiumatonta muiden komonenttien toiminnasta. T (c) Ilkka Mellin (2004) 39 T (c) Ilkka Mellin (2004) 40 Systeemit ja toimintaverkot Sarjaankytkentä ja rinnankytkentä Sarjaan ja rinnan kytketyistä komonenteista koostuvaa systeemiä voidaan kuvata toimintaverkolla. Sarjaan- ja rinnankytkennöistä koostuvan toimintaverkon toimintatodennäköisyys voidaan alauttaa sarjaan- ja rinnankytkentöjen toimintatodennäköisyyksiin. koostuvat sarjaan- ja rinnankytkennöistä. Alla olevat kytkentäkaaviot esittävät kahden komonentin ja muodostamia sarjaan- ja rinnankytkentöjä. Sarjaankytkentä: Rinnankytkentä: T (c) Ilkka Mellin (2004) 41 T (c) Ilkka Mellin (2004) 42
8 T (c) Ilkka Mellin (2004) 43 Sarjaankytkennän toiminta Rinnankytkennän toiminta Merkitään T = omonentti toimii F = omonentti ei toimi omonenttien ja sarjaankytkentä toimii, jos toimii ja toimii: ja T T T T F F F T F F F F Merkitään T = omonentti toimii F = omonentti ei toimi omonenttien ja rinnankytkentä toimii, jos toimii tai toimii tai molemmat toimivat: tai T T T T F T F T T F F F T (c) Ilkka Mellin (2004) 44 Sarjaan- ja rinnankytkentöjen toimintatodennäköisyydet 1/2 Määritellään taahtumat A 1 ja A 2 : A1 = "omonentti 1 toimii" A2 = "omonentti 2 toimii" Olkoot taahtumien A 1 ja A 2 todennäköisyydet: Pr( A1) = 1 Pr( A2) = 2 Sarjaankytkennän toimintatodennäköisyys on Pr( A1 A2) Rinnankytkennän toimintatodennäköisyys on Pr( A A ) 1 2 Sarjaan- ja rinnankytkentöjen toimintatodennäköisyydet 2/2 Määrätään komonenttien ja muodostamien sarjaan-ja rinnankytkentöjen toimintatodennäköisyydet komonenttien ja toimintatodennäköisyyksien avulla. Sarjaankytkentä: 1 2 Rinnankytkentä: 1 2 T (c) Ilkka Mellin (2004) 45 T (c) Ilkka Mellin (2004) 46 Sarjaankytkennän toimintatodennäköisyys 1/2 Sarjaankytkennän toimintatodennäköisyys 2/2 Oletetaan, että toimintaverkko koostuu komonenteista ja, jotka on kytketty sarjaan. Olkoot Pr( toimii) = 1 Pr( toimii) = 2 Oletetaan, että taahtumat toimii toimii ovat riiumattomia. Sarjaankytkentä: 1 2 Riiumattomien taahtumien tulosäännön erusteella sarjaankytkennän toimintatodennäköisyys on Pr( toimii ja toimii) = 1 2 Sarjaankytkentä: 1 2 T (c) Ilkka Mellin (2004) 47 T (c) Ilkka Mellin (2004) 48
9 T (c) Ilkka Mellin (2004) 49 Rinnankytkennän toimintatodennäköisyys 1/2 Rinnankytkennän toimintatodennäköisyys 2/2 Oletetaan, että toimintaverkko koostuu komonenteista ja, jotka on kytketty rinnan. Olkoot Pr( toimii) = 1 Pr( toimii) = 2 Oletetaan, että taahtumat toimii toimii ovat riiumattomia. Rinnankytkentä: 1 2 Yleisen yhteenlaskusäännön ja riiumattomien taahtumien tulosäännön erusteella rinnankytkennän toimintatodennäköisyys on Pr( toimii tai toimii) = Pr( toimii) + Pr( toimii) Pr( toimii ja toimii) = Rinnankytkentä: 1 2 T (c) Ilkka Mellin (2004) 50 simerkki 1/3 simerkki 2/3 Oletetaan, että toimintaverkko koostuu 4:stä komonentista,, 3, 4 viereisen kaavion mukaisesti. omonentit ja on kytketty sarjaan. omonentit 3 ja 4 on kytketty sarjaan. omonenttiari ja on kytketty rinnan komonenttiarin 3 ja 4 kanssa. 3 4 Olkoon Pr( i toimii) =, i = 1, 2, 3, 4 Oletetaan lisäksi, että yhdenkään komonentin toiminta ei riiu muiden komonenttien toiminnasta. dellä esitetyn nojalla: Pr( toimii ja toimii) = = 2 Pr( 3 toimii ja 4 toimii) = = 2 Pr(Systeemi toimii) = = T (c) Ilkka Mellin (2004) 51 T (c) Ilkka Mellin (2004) 52 simerkki 3/3 uvio esittää esimerkin systeemin toimintatodennäköisyyttä f() = yksittäisen komonentin toimintatodennäköisyyden funktiona. uviossa on myös suora f() =. uviosta nähdään: (i) f() on :n kasvava funktio. (ii) simerkin systeemin toimintatodennäköisyys voi olla suuremi, ienemi tai yhtä suuri kuin yksittäisen komonentin toimintatodennäköisyys. f ( ) Systeemin toimintatodennäköisyys f ( ) :n funktiona T (c) Ilkka Mellin (2004) 53
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa: Johdatteleva esimerkki Todennäköisyyslaskenta
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden
Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa
Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Verkko eli graafi: Määritelmä 1/2 Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien
5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys
B. Siten A B, jos ja vain jos x A x
Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,
Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa
Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,
Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,
Todennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449
Liitteet Todennäköisyyslaskenta: Liitteet Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK @ Ilkka Mellin (2006) 449 Liitteet TKK @ Ilkka Mellin (2006) 450 Liitteet Sisällys 1.
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,
Testejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan
Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä
Testit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Calkinin-Wiln jono 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5...
Calkinin-Wiln jono Funktio f : X Y on bijektio, jos sillä on käänteisfunktio f : Y X. Joukko X on äärellinen, jos se on thjä tai jos on olemassa bijektio f : X {,,,..., n}. Joukko X on numeroituva, jos
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)
(x, y) 2. heiton tulos y
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen
4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen
Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus
Kenguru Cadet, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos
Ratkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
A = B. jos ja vain jos. x A x B
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Avainsanat: Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin,
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on
Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä
Ohjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2009 1 / 33 Valintakäsky if syote = raw_input("kerro tenttipisteesi.\n") pisteet = int(syote) if pisteet >=
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot
1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Tapahtumat Peruslaskusäännöt todennäköisyydelle Ehdollinen todennäköisyys
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua
Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua 4.1. Yhtälönratkaisu tehtäviä Tehtävä 4.1.1 Ratkaise yhtälöistä tuntematon muuttuja käyttäen oppimiasi muunnoksia. Valitse sarja. Sarja 1) 6 5 37 = 0 Kun eräs luku
Peliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1
May 25, 2015 Tavoitteet Valmius muotoilla strategisesti ja yhteiskunnallisesti kiinnostavia tilanteita peleinä. Kyky ratkaista yksinkertaisia pelejä. Luentojen rakenne 1 Joitain pelejä ajanvietematematiikasta.
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,
TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 8, ti , 8:30-10:00 Tilastolliset yhteydettömät kieliopit, Versio 1.
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely astaukset 8, ti 16.3.2004, 8:30-10:00 Tilastolliset yhteydettömät kielioit, ersio 1.0 1. Jäsennysuun todennäköisyys lasketaan aloittelemalla se säännöstön
Itsestabilointi: perusmääritelmiä ja klassisia tuloksia
Itsestabilointi: perusmääritelmiä ja klassisia tuloksia Jukka Suomela Hajautettujen algoritmien seminaari 12.10.2007 Hajautetut järjestelmät Ei enää voida lähteä oletuksesta, että kaikki toimii ja mikään
Automaatit. Muodolliset kielet
Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
Testit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat
Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,
Alkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskennan
Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti
Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan
Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10
Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa.
5.1 Semanttisten puiden muodostaminen
Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan
D ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
Täydentäviä muistiinpanoja jäsennysalgoritmeista
äydentäviä muistiinpanoja jäsennysalgoritmeista Antti-Juhani Kaijanaho 7. helmikuuta 2012 1 simerkki arleyn algoritmin soveltamisesta arkastellaan kielioppia G : + () c ja sovelletaan arleyn algoritmia
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
Funktioista. Esimerkki 1
Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Seuraavaksi tarkastellaan funktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 1 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka
Puiden karakterisointi
Puiden karakterisointi LuK-tutkielma Airta Ella 2502661 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Johdatus verkkoteoriaan 3 1.1 Verkko käsitteenä.........................
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)