Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi Johdanto Luottamusvälien konstruointi Luottamusvälien vertailu"

Transkriptio

1 ilastollinen päättely 5.. Johdanto Estimointi, Joukkoestimointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste-estimointi, Väliestimaatti, Väliestimaattori, Väliestimointi 5.2. uottamusvälien konstruointi. lajin virhe, Estimointi, Hylkäysalue, Hylkäysvirhe, Hypoteesi, Hyväksymisalue, Joukkoestimointi, Kertymäfunktion saranointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, Nollahypoteesi, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste-estimointi, Saranasuure, Saranointi, esti, estin taso, estisuure, Vaihtoehtoinen hypoteesi, Väliestimaatti, Väliestimaattori, Väliestimointi 5.3. uottamusvälien vertailu. lajin virhe, Estimointi, Harhattomuus, Hylkäysalue, Hylkäysvirhe, Hypoteesi, Hyväksymisalue, Joukkoestimointi, Kertymäfunktion saranointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, uottamusvälin pituus, Nollahypoteesi, Optimaalisuus, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste-estimointi, Saranasuure, Saranointi, arkkuus, esti, estin taso, estisuure, Vaihtoehtoinen hypoteesi, Väliestimaatti, Väliestimaattori, Ilkka Mellin (200) /5

2 @ Ilkka Mellin (200) 2/5

3 5.. Johdanto uottamusvälit Olkoon f ( x; ) satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio, joka riippuu tuntemattomasta parametrista. Olkoon X, X 2,, X n satunnaisotos satunnaismuuttujan X jakaumasta. ällöin havainnot X, X 2,, X n ovat riippumattomia, identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on sama pistetodennäköisyystai tiheysfunktio f(x;): Olkoon X, X,, X 2 n X f ( x; ), i, 2,, n i X = (X, X 2,, X n ) satunnaismuuttujien X, X 2,, X n muodostama n-vektori. Olkoot satunnaismuuttujien X, X 2,, X n havaitut arvot Merkitään tätä: x, x 2,, x n X = x, X 2 = x 2,, X n = x n Satunnaismuuttujien X, X 2,, X n havaitut arvot x, x 2,, x n määräävät havaintopisteen Väliestimointi x = (x, x 2,, x n ) uvussa 3 tarkasteltiin todennäköisyysjakauman parametrin piste-estimointia. ällöin päättelyn kohteena oli yksi parametrin arvo. ässä luvussa tarkastellaan parametrin joukkoestimointia. Joukkoestimoinnissa päättelyn kohteena ovat muotoa " C " olevat väitteet, joissa C on jokin parametriavaruuden osajoukko: Joukko C C C( x) määrätään havaintopisteen x ( x, x2,, x n ) avulla. Jos on reaaliarvoinen parametri, joukko C on tavallisesti jokin reaaliakselin väli, jolloin puhumme Ilkka Mellin (200) 3/5

4 Olkoon x (,,, ) x x2 x n havaintopiste. Funktiot ( x) ja ( x) jos [ ( x), ( x)] ( x) ( x) muodostavat reaaliarvoisen parametrin väliestimaatin kaikille havaintopisteille x. Jos olemme havainneet havaintopisteen X = x, niin voimme tehdä väliestimaatin [ ( x), ( x)] perusteella parametrin arvosta johtopäätöksen Satunnaista väliä ( x) ( x) [ ( X), ( X)] kutsutaan parametrin väliestimaattoriksi. Huomaa, että satunnaismuuttujien ( X) ja ( X) muodostama pari [ ( X), ( X)] viittaa parametrin väliestimaattoriin, kun taas merkintä [ ( x), ( x)] viittaa väliestimaattorin [ ( X), ( X)] havaittuun tai realisoituneeseen arvoon. avallisesti ( x) ja ( x) ovat äärellisiä, mutta joko ( x) tai ( x) ( x) niin väliestimaattiin liittyvä väite on muotoa Jos taas " ( x)" ( x) niin väliestimaattiin liittyvä väite on muotoa " ( x) " ällöin puhumme yksipuolisista väliestimaateista. Edellä väliestimaatti määriteltiin suljettuna välinä [ ( X), ( X)] mutta väliestimaatti saattaa olla myös avoin väli tai puoliavoin väli tai puoliavoin väli ( ( X), ( X)) [ ( X), ( X)) ( ( X), ( X)] voi olla myös ääretön. Ilkka Mellin (200) 4/5

5 uottamustaso ja luottamusväli Olkoon [ ( X), ( X)] parametrin väliestimaattori. ällöin Pr ( [ ( X ), ( X )]) Pr( [ ( X ), ( X )] ) on todennäköisyys, että väli [ ( X), ( X)] peittää parametrin todellisen arvon. Kutsumme tätä todennäköisyyttä peittotodennäköisyydeksi. uottamusväliin [ ( X), ( X)] liittyvä luottamustaso on peittotodennäköisyyden infimum parametrin suhteen: inf Pr ( [ ( X), ( X)]) uottamustaso ilmoitetaan usein prosentteina, jolloin puhumme 00( ) %:n luottamusvälistä parametrille. Koska parametrin todellinen arvo on tuntematon, myös peittotodennäköisyys Pr ( [ ( X ), ( X )]) on tuntematon ja voimme taata vain sen, että peittotodennäköisyys ei ylitä luottamustasoa. osin monissa tilanteissa peittotodennäköisyys ei riipu parametrista, jolloin peittotodennäköisyys yhtyy luottamustasoon uottamusvälien konstruointi Seuraavassa esitetään kolme luottamusvälien konstruointimenetelmää: testisuureen kääntäminen, saranasuureen käyttö, kertymäfunktion saranointi. Kaikki kolme menetelmää perustavat olennaisesti testisuureen kääntämiseen. estisuureen kääntäminen uottamusjoukkojen ja testien välillä on seuraava yhteys: ause: Olkoon A( 0 ) sellaisen tasoa olevan testin hyväksymisalue, jonka nollahypoteesi on muotoa H : jossa 0 on mielivaltainen parametriavaruuden alkio. Olkoon x havaintopiste ja määritellään joukko C( x) { x A( )} ällöin satunnaisjoukko C(X) on parametrin luottamusjoukko Ilkka Mellin (200) 5/5

6 odistus: Kääntäen, olkoon C(X) on parametrin luottamusjoukko luottamustasolla. ällöin joukko A( ) { x C( x)} on sellaisen tasoa olevan testin hyväksymisalue, jonka nollahypoteesi on muotoa H : Olkoon testauksen kohteena oleva nollahypoteesi muotoa (i) (ii) Saranasuure H : odistetaan lauseen ensimmäinen osa: Koska A( 0 ) on tasoa olevan testin hyväksymisalue, niin ja siten Satunnaismuuttuja Pr ( X A( )) Pr ( X A( )) Koska 0 on mielivaltainen parametriavaruuden alkio, voimme korvata 0 :n merkinnällä. Siten joukon C(X) peittotodennäköisyys toteuttaa epäyhtälön Pr ( C( X)) Pr ( X A( )) joten C(X) on parametrin luottamusjoukko luottamustasolla. odistetaan lauseen toinen osa:. lajin virheen eli hylkäysvirheen todennäköisyys testille, jonka hyväksymisalue on A( ) { x C( x)} toteuttaa epäyhtälön Pr ( X A( )) Pr ( C( X)) 0 0 joten testin taso on. Q X Q X X 2 X n ( ; ) (,,, ; ) sanotaan saranasuureeksi, jos sen jakauma ei riipu mistään parametreista. ällä tarkoitetaan sitä, että jos X F( x; ) niin satunnaismuuttujalla Q(X;) on sama jakauma Ilkka Mellin (200) 6/5

7 Funktio Q(X;) riippuu tavallisesti sekä parametrista että otoksesta X jonkin otostunnusluvun kautta. Sen sijaan todennäköisyys Pr { Q( X; ) A} ei saa riippua parametrista olipa A mikä tahansa (mitallinen) joukko. Jos haluamme konstruoida parametrille luottamusjoukon saranasuureen avulla, meidän on löydettävä sarana Q(x;) ja konstruoitava sellainen joukko A, että parametriavaruuden osajoukko { Q( x; ) A} kelpaa parametrin joukkoestimaatiksi. Kertymäfunktion saranointi Edellisessä kappaleessa nähtiin, että saranasuureen Q löytäminen johtaa muotoa C( x) { a Q( x, ) b} olevaan luottamusjoukkoon. Jos funktio Q(x;) on jokaiselle havaintopisteelle x parametrin monotoninen funktio, niin luottamusjoukko C(x) on aina väli. Esimerkiksi paikka- ja skaalamuunnokset johtavat monotonisiin saranasuureisiin ja siten luottamusväleihin. ause: Jatkuvan kertymäfunktion saranointi Olkoon tunnusluku, jolla on jatkuva kertymäfunktio F (t;). Olkoot ja 2 kiinteitä reaalilukuja ja olkoon + 2 =, jossa 0 < <. Määritellään funktiot (t) ja (t) seuraavalla tavalla: (i) (ii) odistus: Jos F (t;) on jokaiselle t parametrin arvojen vähenevä funktio, niin valitaan funktiot (t) ja (t) niin, että ja F ( t; ( t)) F ( t; ( t)) 2 Jos F (t;) on jokaiselle t parametrin arvojen kasvava funktio, niin valitaan funktiot (t) ja (t) niin, että ja F ( t; ( t)) F ( t; ( t)) ällöin satunnaisväli [ ( ), ( )] on parametrin luottamusväli luottamustasolla. (i) 2 Oletetaan, että olemme konstruoineet tasoa olevan hyväksymisalueen { t F ( t; ) } 0 Ilkka Mellin (200) 7/5

8 (ii) Koska F (t;) on jokaiselle t parametrin arvojen vähenevä funktio ja niin siten 2 > (t) < (t) ja (t) ja (t) ovat yksikäsitteisiä. Koska lisäksi niin avallisesti valitaan F ( t; ) ( t) F ( t; ) ( t) 2 { F ( t; ) } { ( ) ( )} 0 2 Kohta (ii) todistetaan vastaavalla tavalla kuin kohta (i). = 2 = /2 jolloin luottamusväliä sanotaan symmetriseksi. ämä valinta ei kuitenkaan ole välttämättä optimaalinen; ks. kohtaa 5.3. Jos haluamme yksipuolisen luottamusvälin, valitsemme tilanteesta riippuen joko tai = 0 2 = 0 ause: Diskreetin kertymäfunktion saranointi Olkoon diskreetti tunnusluku, jonka kertymäfunktio on F (t;). Olkoot ja 2 kiinteitä reaalilukuja ja olkoon + 2 =, jossa 0 < <. Määritellään funktiot (t) ja (t) seuraavalla tavalla: (i) (ii) Jos F (t;) on jokaiselle t parametrin arvojen vähenevä funktio, niin valitaan funktiot (t) ja (t) niin, että ja Pr( t ( t)) Pr( t ( t)) 2 Jos F (t;) on jokaiselle t parametrin arvojen kasvava funktio, niin valitaan funktiot (t) ja (t) niin, että ja Pr( t ( t)) Pr( t ( t)) Ilkka Mellin (200) 8/5

9 odistus: ällöin satunnaisväli [ ( ), ( )] on parametrin luottamusväli luottamustasolla. (i) (ii) odetaan ensin, että satunnaismuuttuja F (;) on stokastisesti suurempi kuin jatkuvaa tasaista jakaumaa niform(0,) noudattava satunnaismuuttuja X. Stokastinen suuremmuus: Siten Olkoon X FX ja Y FY. Satunnaismuuttuja X on stokastisesti suurempi tai yhtä suuri kuin satunnaismuuttuja Y, jos F ( t) F ( t) X kaikille t. ällöin Y Pr( X t) Pr( Y t) kaikille t. Jos X on stokastisesti suurempi kuin Y, niin satunnaismuuttujalla X on taipumus saada suurempia arvoja kuin satunnaismuuttujalla Y. Pr( F ( ; ) x) x Sama ominaisuus on funktiolla F ( ; ) Pr( t ) joten joukko { F ( ; ) ja F ( ; ) } 2 on parametrin luottamusjoukko luottamustasolla. Koska F (;) on jokaiselle t parametrin arvojen vähenevä funktio, niin F ( ; ) jokaiselle t parametrin arvojen ei-vähenevä funktio. Siten ja ( t) F ( t; ) / 2 ( t) F ( t; ) / 2 { F ( ; ) ja F ( ; ) } { ( ) ( )} 2 Kohta (ii) todistetaan vastaavalla tavalla kuin kohta (i). Ilkka Mellin (200) 9/5

10 5.3. uottamusvälien vertailu Peittotodennäköisyys ja luottamusjoukon koko Oletetaan, että luottamusvälin peittotodennäköisyys kiinnitetään. Miten valitaan lyhyin niistä luottamusväleistä, joilla on sama peittotodennäköisyys? ause: odistus: Olkoon tiheysfunktio f(x) unimodaalinen ja olkoon x funktion f(x) moodi. Oletetaan, että väli [a, b] toteuttaa seuraavat ehdot: b (i) f ( x ) dx a (ii) f ( a) f ( b) 0 (iii) a x b ällöin väli [a, b] on lyhyin niistä väleistä, jotka toteuttavat ehdon (i). Olkoon [a, b ] reaaliakselin suljettu väli, joka toteuttaa ehdon Näytämme, että b a b a b a f ( x) dx arkastelemme vain tapausta a a. apaus a > a todistetaan vastaavalla tavalla. Jaetaan todistus kahteen osaan sen mukaan onko b a vai b > a. Olkoon b a. ällöin ja siten a b a x b a f ( x) dx f ( b)( b a) x b x f ( x) f ( b) joten tapaus b a on todistettu. Olkoon b > a. ällöin sillä, jos f ( a)( b a) b a x f ( b) f ( a) a a < b < b b b b f ( x) dx b a b a ja f ( a) 0 a (ii),(iii) ja unimodaalisuus f ( x) f ( a), kun a x Ilkka Mellin (200) 0/5

11 niin tällöin b a b a mikä on vastoin oletusta. Siten f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx b b a b a a a b a b ( ) f ( x) dx f ( x) dx a b ja siten väite on todistettu, jos hakasulkulauseke [] on negatiivinen. Koska funktio f(x) on unimodaalinen ja a a < b < b niin kohdasta (ii) seuraa, että ja Siten a f ( x ) dx f ( a )( a a ) a b f ( x ) dx f ( b )( b b ) b a a b f ( x ) dx f ( x ) dx f ( a )( a a ) f ( b )( b b ) b f ( a)[( a a) ( b b)] f ( a) f ( b) f ( a)[( b a) ( b a)] mikä on negatiivinen, jos b a < b a ja f(a) > 0 Siten myös tapaus b a on todistettu. uottamusvälien optimaalisuus ja testit Koska luottamusvälien ja testien välillä on kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus (ks. kappale 5.2), on luontevaa, että luottamusvälin optimaalisuuden käsite määritellään sellaisella tavalla, että se heijastelee jollakin tavalla vastaavan testin optimaalisuutta. uottamusvälin optimaalisuutta ei kuitenkaan kannata liittää suoraan testin kokoon, vaan todennäköisyyteen sille, että väärä parametrin arvo tulee peitetyksi. odennäköisyys sille, että väärä parametrin arvo tulee peitetyksi mittaa epäsuorasti luottamusjoukon kokoa. Koska pieni luottamusjoukko peittää pienemmän osan parametrin mahdollisista arvoista kuin suuri luottamusjoukko, niin todennäköisyys sille, että luottamusjoukko peittää vääriä parametrin arvoja pitäisi olla pienelle joukolle pienemmän kuin suurelle Ilkka Mellin (200) /5

12 Alla esitetään yhtälö, joka liittää toisiinsa luottamusjoukon koon ja todennäköisyyden peittää väärä parametrin arvo. arkastellaan yleistä tilannetta, jossa otoksen X = (X, X 2,, X n ) yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on f(x;). Olkoon A() sellaisen tasoa olevan testin hyväksymisalue, jonka nollahypoteesi on muotoa H : Konstruoidaan parametrille luottamusjoukko C(X) luottamustasolla kääntämällä hyväksymisalue A(). uottamusjoukkoon C(X) liittyvä todennäköisyys sille, että oikea parametrin arvo tulee peitetyksi eli peittotodennäköisyys on parametrin funktio. Pr ( C( X )) odennäköisyys sille, että väärä parametrin arvo tulee peitetyksi, on parametrin arvojen ja funktio, jonka määrittelee todennäköisyys peittää parametrin arvo, kun oikea parametrin arvo on. ämän todennäköisyyden antaa kaavat Pr ( C ( X )),, jos C ( X ) [ ( X ), ( X )] Pr ( C ( X )),, jos C ( X ) [ ( X ), ] Pr ( C ( X )),, jos C ( X ) [, ( X )] uottamusjoukkoa, joka minimoi todennäköisyyden peittää väärä parametrin arvo niiden luottamusjoukkojen luokassa, joiden luottamustaso on, kutsutaan tasaisesti kaikkein tarkimmaksi. ause: Olkoon X f ( x; ) jossa on reaaliarvoinen parametri. arkastellaan tasaisesti voimakkainta tasoa olevaa testiä nollahypoteesille H : vaihtoehtoista hypoteesia H : 0 0 (H : ) vastaan. Olkoon A ( 0 ) testin hyväksymisalue ja olkoon C (x) hyväksymisalue A ( 0 ) kääntämällä muodostettu parametrin luottamusjoukko luottamustasolla. Jos C on jokin toinen parametrin luottamusjoukko luottamustasolla, niin kaikille < ( > ). Pr ( C ( X)) Pr ( C( Ilkka Mellin (200) 2/5

13 odistus: Olkoon <. Olkoon C parametrin luottamusjoukko luottamustasolla. arkastellaan tasoa olevaa testiä nollahypoteesille H : 0 joka on muodostettu kääntämällä C ja olkoon A( ) testin hyväksymisalue. Koska A ( ) on hyväksymisalue tasaisesti voimakkaimmalle testille nollahypoteesille H : vaihtoehtoista hypoteesia 0 H : vastaan ja koska >, niin Pr ( C ( X)) Pr ( X A ( )) Käännetään luottamusjoukko C hyväksymisalueeksi A Pr ( X A( )) A on tasaisesti voimakkaimman testin hyväksymisalue Pr ( C( X)) Käännetään hyväksymisalue A luottamusjoukoksi C Koska molemmat hyväksymisalueen todennäköisyydet tässä epäyhtälöketjussa ovat testin voimakkuus niin näemme, että tasaisesti voimakkain testi minimoi hyväksymisalueen todennäköisyyden. Siten olemme näyttäneet, että tapauksessa < todennäköisyys sille, että väärä parametrin arvo tulee peitetyksi minimoituu, jos luottamusjoukko konstruoidaan kääntämällä tasaisesti voimakkain testi nollahypoteesille H : vaihtoehtoista hypoteesia vastaan. 0 H : apaus > todistetaan vastaavalla tavalla. Harhattomuus on eräs keskeisistä vaatimuksista testeille (ks. lukua 4). Koska testien ja luottamusjoukkojen välillä on edellä esitetty vastaavuus, harhattomuuden käsite on syytä pyrkiä liittämään myös luottamusjoukkoihin. Kutsumme luottamusjoukkoa C(x) luottamustasolla ( )-harhattomaksi, jos kaikille. Pr ( C ( Ilkka Mellin (200) 3/5

14 Jos luottamusjoukko on harhaton, todennäköisyys, että väärä parametrin arvo tulee peitetyksi on korkeintaan yhtä suuri kuin pienin mahdollinen todennäköisyys sille, että oikea parametrin arvo tulee peitetyksi. Harhaton luottamusjoukko voidaan konstruoida kääntämällä harhaton testi. Olkoon siis A( 0 ) harhattoman tasoa olevan testin hyväksymisalue, kun testattavana on nollahypoteesi H : vaihtoehtoista hypoteesia H : 0 vastaan. Konstruoidaan parametrille luottamusjoukko C(x) luottamustasolla kääntämällä hyväksymisalue A( 0 ). ällöin luottamusjoukko C(x) on harhaton. Prattin teoreema: odistus: Olkoon reaaliarvoisen satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f ( x ; ), jossa on reaaliarvoinen parametri. Olkoon C( x) [ ( x), ( x)] parametrin luottamusväli luottamustasolla. Jos (x) ja (x) ovat molemmat muuttujan x kasvavia (väheneviä) funktioita, niin kaikille. E ( ( X ) ( X )) Pr ( C( X )) d odistamme Prattin teoreeman vain siinä tapauksessa, että luottamusvälin C(x) päätepisteet (x) ja (x) ovat molemmat muuttujan x kasvavia funktioita. Odotusarvon määritelmän mukaan E ( ( X ) ( X )) ( ( x) ( x)) f ( x; ) dx Odotusarvon määritelmä ( x) d f ( x; ) dx on dummy-muuttuja ( x) ( ) f ( x; ) dx d Integroimisjärjetyksen vaihto ( ) Pr ( ( ) X ( )) Määritelmä Pr ( C( X )) d Käännetään hyväksymisalue = Pr ( C( X )) d Yhden pisteen tn 0 d jossa on kaikkien mahdollisten pisteiden x Ilkka Mellin (200) 4/5

15 Integroimisjärjestyksen vaihto yo. yhtälöketjussa voidaan perustella Fubinin lauseen avulla, mutta voidaan helposti nähdä oikeutetuksi myös suoraan olettaen, että kaikki integroitavat ovat äärellisiä. Hyväksymisalueen kääntäminen perustuu siihen, että ja oletettiin kasvaviksi, jolloin { ( x) ( x)} x { x ( ) x ( )} Prattin teoreeman mukaan väliestimaattorin pituuden C( X ) [ ( X ), ( X )] ( X ) ( X ) odotusarvo yhtyy summaan (so. integraaliin) todennäköisyyksistä sille, että väärä parametrin arvo tulee Ilkka Mellin (200) 5/5

Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi. 5.1. Johdanto. 5.2. Luottamusvälien konstruointi. 5.3. Luottamusvälien vertailu

Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi. 5.1. Johdanto. 5.2. Luottamusvälien konstruointi. 5.3. Luottamusvälien vertailu ilastollinen päättely 5.. Johdanto Estimointi, Joukkoestimointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste estimointi, Väliestimaatti, Väliestimaattori,

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2015/1 MTTTP1, luento 6.10.2015 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen

Lisätiedot

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 14..2017 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon θ positiivinen parametri, ja asetetaan 2θ 1 y exp y 2 /θ), kun y > 0 fy; θ) = 0, muuten

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. 5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot