Hakemisto 1/23 Sisältö A B C D E F G H I J Ka Kl Ko Kä L M N O Pa Pl Po Pä R S T U V W Y Ä
|
|
|
- Annikki Auvinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Hakemisto 1/23 Sisältö A Abel Abel (polynomiyhtälöt) additiivisuus (integraalin) Ahlfors (kompleksiluvut) aikasarja akseli (ellipsin) akseli (hyperbelin) akseli (paraabelin) aksiooma aksiooma aksonometria d Alembert al-kaši al-kaši (pii) al-khwarizmi alaraja-arvo algebra algebrallinen luku algebran peruslause alkeisfunktio alkeistapaus alkio alkuehto alkuluku alkutekijä analyysi analyysin peruslause antiteesi Apollonios arcus-funktio area-funktio argumentti (kompleksiluvun) aritmeettinen jono aritmeettinen summa aritmetiikka Arkhimedes Arkhimedes (geometria) Arkhimedes (integraali) Arkhimedes (pii) assosiatiivisuus aste asteluku asymptootti (hyperbelin) asymptootti (rationaalifunktion) asymptoottikartio (hyperboloidin) avaruusmonikulmio avoin väli
2 Hakemisto 2/23 Sisältö B Babbage Baire Banach Bernoulli Bernoulli Bernoulli (derivaatta) Bernoulli (todennäköisyys) bijektio binomi binomikaava binomikaava binomikerroin binomikerroin binäärijärjestelmä Bolyai Bolyai (geometria) Bolzano Boole Borel Bourbaki (logiikka) Brahe (logaritmi) Brianchon (geometria) Briggs Briggs (logaritmi) Bürgi (logaritmi)
3 Hakemisto 3/23 Sisältö C Cantor Carathéodory Cardano Cardano (polynomiyhtälöt) Cardanon kaavat Cartesiuksen lehti Cartesius Cartesius (geometria) Cauchy Cauchy (derivaatta) Cauchy (integraali) Cauchy (kompleksiluvut) Cavalieri Cavalieri (integraali) Cayley
4 Hakemisto 4/23 Sisältö D data (diskreetti) data (jatkuva) Dedekind derivaatta derivaatta (korkeamman kertaluvun) derivaatta (käänteisfunktion) derivaatta (osamäärän) derivaatta (summan) derivaatta (toinen) derivaatta (tulon) derivaatta (vakiokerrannaisen) derivaatta (yhdistetyn funktion) derivaattafunktio derivointi (alkeisfunktioiden) derivointi (implisiittinen) derivointi (säännöt) derivoituvuus Desargues Desargues (geometria) Descartes Descartes (geometria) desimaaliesitys determinantti diagrammi differentiaali differentiaalikehitelmä differentiaaliyhtälö dimensio dimetrinen ortogonaaliprojektio Diofantos Dirichlet diskriminantti distributiivisuus dodekaedri Dürer
5 Hakemisto 5/23 Sisältö E eksentrisyys (ellipsin) eksentrisyys (hyperbelin) eksentrisyys (paraabelin) eksplisiittisesti määritelty lukujono eksponentti eksponenttifunktio ellipsi ellipsi (ala) ellipsi (kartioleikkauksena) ellipsi (napakoordinaateissa) ellipsi (xy-koordinaateissa) ellipsoidi ellipsoidi (tilavuus) epäeuklidinen epäeuklidinen epäsuora todistus epäyhtälö Eratosthenes erotusosamäärä estimointi etäisyys (pisteiden) Eudoksos Eukleides Eukleides (geometria) Eukleides (geometria) Eukleides (integraali) Eukleides (pii) euklidinen euklidinen euklidinen euklidinen kuvaus Euler Euler (derivaatta) Euler (kompleksiluvut) Euler (merkinnät) Euler (Neperin luku) Euler (pii) Euler (trigonometria) Eulerin kaava Eulerin suora Eulerin yhtälö
6 Hakemisto 6/23 Sisältö F Fermat Fermat (derivaatta) Fermat (todennäköisyys) Ferrari (polynomiyhtälöt) Feuerbachin ympyrä Fibonacci (luvut) Fourier Fourier (derivaatta) fraktaali frekvenssi funktio funktio (alkeis-) funktio (arcus-) funktio (area-) funktio (eksponentti-) funktio (hyperbeli-) funktio (identtinen) funktio (kahden muuttujan) funktio (käänteis-) funktio (käänteis-) funktio (logaritmi-) funktio (rationaali-) funktio (reaali-) funktio (syklometrinen) funktio (trigonometrinen) funktio (usean muuttujan) funktio (vektoriarvoinen) funktio (yhdistetty)
7 Hakemisto 7/23 Sisältö G Galilei Galilei (integraali) Galois Gauss Gauss (derivaatta) Gauss (geometria) Gauss (polynomiyhtälöt) geodeettinen viiva geometria geometria geometria (analyyttinen) geometria (deskriptiivinen) geometria (epäeuklidinen) geometria (epäeuklidinen) geometria (euklidinen) geometria (euklidinen) geometria (projektiivinen) geometria (synteettinen) geometria (vektori-) geometrinen jono geometrinen kuvaus geometrinen probleema geometrinen sarja geometrinen summa Gibbs Gibbs (geometria) graadi Grassmann (geometria) Gregory Gödel
8 Hakemisto 8/23 Sisältö H Haar Hadamard hajaantuminen (lukujonon) hajaantuminen (sarjan) hajonta halkaisija Hamilton Hamilton (geometria) Hardy harmoninen sarja Hausdorff heksadesimaalijärjestelmä heksaedri Hermite Hermite (Neperin luku) Heron Hilbert Hilbert (geometria) Hilbert (logiikka) histogrammi historia historia hitausmomentti hitaussäde l Hospital hyperbeli hyperbeli (kartioleikkauksena) hyperbeli (napakoordinaateissa) hyperbeli (xy-koordinaateissa) hyperbeli- ja trigonometriset funktiot hyperbelifunktio hyperbelikosini hyperbelikotangentti hyperbelisini hyperbelitangentti hyperbolinen kaava hyperboloidi hypotenuusa hyppyepäjatkuvuus
9 Hakemisto 9/23 Sisältö I ikosaedri imaginaariakseli imaginaarinen imaginaariosa imaginaariyksikkö induktio (matemaattinen) injektio integraali (määrätty) integraalifunktio integrointi (kaavat) integrointi (kaavat) integrointi (osittais-) integrointi (sijoitus) irrationaaliluku iso akseli (ellipsin) isoympyrä itseisarvo (kompleksiluvun) itseisarvo (reaaliluvun)
10 Hakemisto 10/23 Sisältö J Jacobi jakauma (binomi-) jakauma (diskreetti) jakauma (jatkuva) jakauma (normaali-) jakauma (tasainen) jakolasku (kompleksilukujen) jakolasku (polynomien) jaksollinen (funktio) jana jaollisuus jatkuva suhde (janan) jatkuvuus johtosuora (paraabelin) joukko joukko-oppi joukkoalgebra juuri (murtopotenssi) juuri (polynomin) juuri (yhtälön) juurifunktio jänne järjestys järjestys
11 Hakemisto 11/23 Sisältö Ka Kl kaaos kaari kalotti kalotti (ala) kanta (kolmion) kantaluku (eksponenttifunktion) kantaluku (logaritmin) kantaluku (lukujärjestelmän) kantaluku (potenssin) kantavektori kartio kartio (katkaistu) kartio (tilavuus) kartio (vaipan ala) kartio (ympyrä-) kartioleikkaus kartiopinta kartiopinta kasvava (funktio) kasvava (funktio) kateetti katenoidi katkaistu kartio (tilavuus) katkaistu kartio (vaipan ala) katkaistu pyramidi (tilavuus) kavaljeeriprojektio kehäkulma kehäkulma (esimerkki) kehäkulma (esimerkki) kellokäyrä Kepler kertolasku (kompleksilukujen) kertolasku (yleensä) kertoma kertymäfunktio keskiarvo (aritmeettinen ja geometrinen) keskiarvo (aritmeettinen) keskiarvo (geometrinen) keskiarvo (painotettu) keskiarvo (tilastollinen) keskihajonta keskihajonta keskijana keskijana (esimerkki) keskijana (esimerkki) keskijana (esimerkki) keskinormaali (janan) keskinormaali (kolmion) keskiverto keskiverto (esimerkki) keskiö keskuskulma keskusprojektio ketjukäyrä ketjusääntö kierto kiertosuunta (negatiivinen) kiertosuunta (positiivinen) kiertosuunta (positiivinen) kiertotekijä kiihtyvyys Klein
12 Hakemisto 12/23 Sisältö Ko Kä kokonaisluku kolmio kolmio (ala) kolmioepäyhtälö Kolmogorov Kolmogorov (todennäköisyys) Kolmogorov (todennäköisyys) kombinaatio kommutatiivisuus kompleksianalyysi kompleksikonjugaatti kompleksiluku kompleksilukualgebra kompleksitaso komplementti (joukon) komplementtitapahtuma komponentti konnektiivi koordinaatisto koordinaatisto (lieriö-) koordinaatisto (napa-) koordinaatisto (oikeakätinen) koordinaatisto (pallo-) koordinaatisto (suorakulmainen) koordinaatisto (suorakulmainen) koordinaatisto (xy-) koordinaatisto (xyz-) koordinaatti koordinaattiakseli koordinaattiakseli koordinaattitaso korkeusjana korrelaatio korrelaatiokerroin kosekantti kosini kosinilause kotangentti Kovalevskaja kreikkalaiset kirjaimet Kronecker kulma (avaruus-) kulma (diedri-) kulma (eksplementti-) kulma (kehä-) kulma (keskus-) kulma (komplementti-) kulma (kovera) kulma (kupera) kulma (oiko-) kulma (risti-) kulma (suora) kulma (suplementti-) kulma (tangentti-) kulma (taso-) kulma (terävä) kulma (tylppä) kulma (täysi) kulma (vierus-) kulmakerroin kulmanpuolittaja kultainen leikkaus kuperuus (käyrän) kuutio kuutiojuuri kuvaaja kuvajoukko kuvaus kvanttori kylki (kolmion) kymmenjärjestelmä kärki (kartion) kärki (monitahokkaan) käyrä (avaruus-) käyrä (taso-) käyrä (toisen asteen) käännepiste käänteisfunktio käänteisfunktio
13 Hakemisto 13/23 Sisältö L laatoitus Lagrange Lagrange (derivaatta) Lambert (hyperbelifunktiot) Lambert (pii) Laplace Laplace (derivaatta) Laplace (todennäköisyys) laskulaki (summa ja tulo) laskulaki (summamerkintä) laskusääntö (eksponenttifunktion) laskusääntö (logaritmin) laventaminen Lebesgue Lebesgue (integraali) Legendre Lehto (kompleksiluvut) Leibniz Leibniz (derivaatta) Leibniz (integraali) Leibniz (merkinnät) leikkaus Leonardo da Vinci Lie lieriö lieriö (tilavuus) lieriö (vaipan ala) lieriö (ympyrä-) lieriöpinta lieriöpinta liittohyperbeli liittoluku liitännäisyys limes inferior limes superior Lindelöf Lindemann (pii) lineaarisuus (integraalin) lineaariyhdistely Lobatševski Lobatševski (geometria) logaritmi (Briggsin) logaritmi (luonnollinen) logaritmifunktio logiikka lukujono lukumäärä (kombinaatioiden) lukumäärä (leikkaavien joukkojen alkioiden) lukumäärä (merkkijonojen) lukumäärä (merkkijonojen) lukumäärä (osajonojen) lukumäärä (osajoukkojen) lukumäärä (permutaatioiden) lukusuora luonnollinen luku lähtöjoukko lävistäjä
14 Hakemisto 14/23 Sisältö M maalijoukko Maclaurin maksimi (absoluuttinen) maksimi (paikallinen) maksimi ja minimi maksimi ja minimi Mandelbrotin joukko Markov massakeskipiste matemaattinen malli matemaattinen malli matematiikan merkinnät Mathematical Reviews mediaani minimi (absoluuttinen) minimi (paikallinen) minuutti Mittag-Leffler de Moivre de Moivre (todennäköisyys) de Moivre (trigonometria) de Morgan Monge monikulmio monitahokas monitahokas (symmetrinen) monomi moodi muistikolmio muistikolmio multinomi multinomikaava multinomikaava multinomikerroin muodostajasuora (kartion) muodostajasuora (lieriön) murtoluku määrittelyjoukko määrätty määrätty integraali
15 Hakemisto 15/23 Sisältö N napakoordinaatit (kompleksitason) napakoordinaatit (tason) napakulma (kompleksiluvun) Napier Napier (logaritmi) Napier (Neperin luku) Nasir ad-din at-tusi neliö neliöjuuri neliöjuurifunktio neljäkäs Neper Neper (logaritmi) Neper (luku) Neperin luku Neperin luku (numeerisesti) Neperin luku (sarja) von Neumann Nevanlinna Nevanlinna (kompleksiluvut) Newton Newton (derivaatta) Newton (integraali) Newton (iteraatio) Newton (merkinnät) Newtonin iteraatio nimittäjä Noether nollavektori nopeus normaali normaalitaso normaalivektori (suoran) normaalivektori (tason)
16 Hakemisto 16/23 Sisältö O odotusarvo oktaalijärjestelmä oktaedri Omar Khaijam Oresme origo origo ortogonaaliprojektio osajono osajoukko osasumma osittelulaki osoittaja otos otosavaruus
17 Hakemisto 17/23 Sisältö Pa Pl paikkavektori painopiste pallo pallo (ala) pallo (tilavuus) pallokolmio pallokolmio pallokoordinaatit (fysikaaliset) pallokoordinaatit (maantieteelliset) pallon ala (integroimalla) pallon tilavuus (integroimalla) pallon tilavuus (integroimalla) pallosegmentti pallosegmentti (tilavuus) pallosektori pallosektori (tilavuus) Pappoksen lause Pappos Pappos (geometria) paraabeli paraabeli (kartioleikkauksena) paraabeli (napakoordinaateissa) paraabeli (xy-koordinaateissa) paraboloidi paralleeliaksiooma paralleeliaksiooma paralleeliaksiooma parametri parametri parametriesitys (avaruuskäyrän) parametriesitys (pinnan) parametriesitys (tasokäyrän) parillinen (funktio) parillinen (luku) pariton (funktio) pariton (luku) Pascal Pascal (geometria) Pascal (todennäköisyys) Pascalin kolmio Peano Pearson peilaus Penrose (laatoitus) permutaatio perspektiivikuva perusjoukko Picard pienin yhteinen jaettava pienin yläraja pii pii (sarja) piirakkadiagrammi piiru pikku akseli (ellipsin) pikkuympyrä pinta pinta (toisen asteen) pinta-ala pinta-ala (integroimalla) pinta-ala (pintojen) pinta-ala (pintojen) pinta-ala (tasokuvioiden) piste pisteen potenssi pistetulo pituus (vektorin) Platon Platon (geometria)
18 Hakemisto 18/23 Sisältö Po Pä pohja (kartion) pohja (katkaistun kartion) pohja (lieriön) Poincaré Poincaré (kompleksiluvut) Poisson polttopiste (ellipsin) polttopiste (hyperbelin) polttopiste (paraabelin) polynomi polynomi (nollakohdat ja kertoimet) polynomi (tekijöihin jako) polynomi (tekijöihin jako) polynomi (tekijöihin jako) polynomifunktio Poncelet Poncelet (geometria) populaatiomalli positiojärjestelmä potenssi (irrationaali-) potenssi (kokonaisluku-) potenssi (kompleksinen) potenssi (murto-) potenssifunktio predikaatti predikaattilogiikka prisma prisma (tilavuus) projektio projektiokuvaus propositio propositio (atomi-) propositio (johdettu) propositiologiikka Ptolemaios Ptolemaios (trigonometria) puoliakseli (ellipsin) puoliakseli (hyperbelin) puoliavoin väli puolisuora puolisuunnikas puolisuunnikas (ala) pyj pylväsdiagrammi pyramidi pyramidi (katkaistu) pyramidi (tilavuus) Pythagoraan lause Pythagoras Pythagoras (geometria) Pythagoras (lause) pyöristysvirhe pyörähdysellipsoidi pyörähdysparaboloidi pyörähdyspinta (ala) päähaara (arcus) päähaara (juuren)
19 Hakemisto 19/23 Sisältö R radiaani raja-arvo (funktion) raja-arvo (lukujonon) raja-arvo (oikeanpuolinen) raja-arvo (standardi-, funktion) raja-arvo (standardi-, lukujonon) raja-arvo (toispuolinen) raja-arvo (vasemmanpuolinen) Ramanujan rationaalifunktio rationaaliluku reaaliakseli reaaliluku reaaliosa Regiomontanus Regiomontanus (trigonometria) rekursiivisesti määritelty lukujono Riemann Riemann (integraali) Riemann (kompleksiluvut) Riemannin summa Riesz riippumattomuus (todennäköisyyslaskennassa) ristikkäinen ristitulo rombidodekaedri ruuvipinta ruuviviiva
20 Hakemisto 20/23 Sisältö S salakirjoitus sarja satulapinta satunnaisilmiö satunnaismuuttuja Schmidt Schwarz segmentti segmentti (ala) sekantti (suora) sekantti (trigonometrinen) sektori sektori (ala) sekunti sieventäminen (yhtälön) siirto sijoitusmenettely sini sinilause sisätulo sivuhaara (arcus) sivuhaara (juuren) sivujana (kartion) sivujana (lieriön) skaalaus skalaari skalaarikolmitulo skalaarikomponentti skalaarilla kertominen (vektorien) skalaaritulo spiraali (Arkhimedeen) spiraali (logaritminen) steradiaani Stirling Stirlingin kaava stokastinen muuttuja (diskreetti) stokastinen muuttuja (jatkuva) suljettu väli summa summamerkintä suora suora (kolmiulotteinen) suora (vektoriesitys) suora (yhtälö) suorakulmio suorakulmio (ala) supistaminen suppeneminen (lukujonon) suppeneminen (sarjan) surjektio suunnikas suunnikas (ala) suuntaissärmiö suuntaissärmiö (tilavuus) suuntajana suuntakulma (suoran) suuntavektori (suoran) suurin alaraja suurin yhteinen tekijä syklometrinen funktio Sylvester syt särmiö (suorakulmainen) särmiö (suuntais-) särmiö (tilavuus) särmä
21 Hakemisto 21/23 Sisältö T U tahko tangentti (suora) tangentti (trigonometrinen) tangenttikulma tangenttitaso tangenttivektori tapahtuma (todennäköisyyslaskennassa) Tartaglia Tartaglia (polynomiyhtälöt) tasakylkinen tasasivuinen taso taso (vektoriesitys) taso (yhtälö) tautologia Taylor tekijä tekijä (luvun) tekijä (polynomin) tekijöihin jako (luvun) tekijöihin jako (polynomin) tekijöihin jako (polynomin) tekijöihin jako (polynomin) termi testaus (tilastollinen) tetraedri tetraedri (esimerkki) Thales Thales (geometria) Thales (Pythagoraan lause) tiheys (irrationaalilukujen) tiheys (rationaalilukujen) tiheysfunktio tilastotiede (matemaattinen) tilavuus tilavuus (integroimalla) tilavuus (kappaleiden) tilavuus (kappaleiden) todennäköisyys (ehdollinen) todennäköisyys (frekvenssitulkinta) todennäköisyys (funktio) todennäköisyys (funktio) todennäköisyys (klassinen) todennäköisyys (piste-) todennäköisyyslaskenta Torricelli transkendenttiluku trigonometria trigonometria trigonometria (funktiot toistensa avulla) trigonometria (johdannaiskaavat) trigonometria (peruskaavat) trigonometrinen funktio (merkkikaavio) trigonometrinen funktio (suorakulmaisessa kolmiossa) trigonometrinen funktio (symmetria) trigonometrinen funktio (yleinen määritelmä) trinomi tulo tulomerkintä Turing tyhjä joukko Tšebyšev unioni
22 Hakemisto 22/23 Sisältö V W vaihdannaisuus vaippa (kartion) vaippa (katkaistun kartion) vaippa (lieriön) van Ceulen (pii) variaatio varianssi vastaoletus vektori vektorikolmitulo vektorikomponentti vektorin pituus vektoritulo vektoritulon laskeminen verranto Vieta Vieta (geometria) Vieta (trigonometria) Viète Viète (geometria) Viète (trigonometria) vino projektio vinoneliö virittäjävektori (tason) Volterra vyöhyke vyöhyke (ala) vähenevä (funktio) vähenevä (funktio) vähennyslasku (kompleksilukujen) väli (reaaliakselin) Weierstrass Weyl Wiener
23 Hakemisto 23/23 Sisältö Y Ä yhdenmuotoisuus (kolmioiden) yhdenmuotoisuuslause (kolmioiden) yhdenmuotoisuussuhde yhdensuuntaisprojektio yhdistetty funktio yhteenlasku (kompleksilukujen) yhteenlasku (vektorien) yhteenlasku (yleensä) yhtenevyys (kolmioiden) yhtenevyyslause (kolmioiden) yhtenevyyslause (kolmioiden) yhtälö yhtälö (eksponentti-) yhtälö (ensimmäisen asteen) yhtälö (itseisarvo-) yhtälö (juuri-) yhtälö (korkeamman asteen) yhtälö (logaritmi-) yhtälö (polynomi-) yhtälö (toisen asteen) yhtälö (transkendentti-) yhtälö (trigonometrinen) yhtälöryhmä yhtälöryhmä (epälineaarinen) yhtälöryhmä (lineaarinen) yksikkövektori yläraja-arvo ympyrä ympyrä (ala) ympyrä (esimerkki) ympyräkartio (suora) ympyräkartio (vino) ympyrälieriö (suora) ympyrälieriö (vino) ympyrän ala (integroimalla) ympyrän ala (integroimalla) Zermelo ääriarvo ääriarvokohta
Sisältö 1/18 Hakemisto
Sisältö 1/18 Hakemisto Sisällön pääryhmät Luvut Potenssit ja polynomit Yhtälöt ja epäyhtälöt Funktio Alkeisfunktiot Lukujonon ja funktion raja-arvo Derivaatta Integraali Geometrian peruskäsitteet Geometriset
Suurin yhteinen tekij ja pienin yhteinen jaettava 47
6 Sis lt 2/18 Luvut Reaaliluvut Reaalilukujoukko 23 Luonnolliset luvut, kokonaisluvut, rationaaliluvut 24 Irrationaaliluvut 25 Desimaaliesitys 26 Rationaali- ja irrationaalilukujen tiheys 27 Algebralliset
Luonnos pitkän matematiikan opetussuunnitelmaksi. Pitkän matematiikan pakollinen oppimäärä
Luonnos pitkän matematiikan opetussuunnitelmaksi 2016 Kaikille lukiolaisille yhteisen johdantokurssin sisältö on luonnoksessa määritelty varsin yksityiskohtaisesti. Kurssin on annettava realistinen kuva
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen
MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin
Ehdotus vuonna 2016 voimaan astuvaksi pitkän matematiikan opetussuunnitelmaksi
Ehdotus vuonna 2016 voimaan astuvaksi pitkän matematiikan opetussuunnitelmaksi Yhteisen johdantokurssin on annettava realistinen kuva pitkän matematiikan sisältöjen käsitteellisyystasosta. Myös lyhyen
EHDOTUS. EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden oppiainekohtaiset osat
EHDOTUS Matemaattisten aineiden opettajien liitto MAOL ry 12.2.2015 Asemamiehenkatu 4 00520 HELSINKI Opetushallitus Hakaniemenranta 6 00530 Helsinki EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden
KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Matematiikka. Matematiikan pitkä oppimäärä. Pakolliset kurssit
Matematiikka Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa.
Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot
Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion
MATEMATIIKKA. MAA Matematiikan pitkä oppimäärä
MATEMATIIKKA Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija matemaattisen
Matemaatikot 1/15 Sisältö ESITIEDOT:
Matemaatikot 1/15 Sisältö Vanha aika, ennen Kristusta Thales Miletolainen n. 600 ekr. Kreikkalainen matemaatikko ja filosofi, ilmeisesti varhaisin tunnettu länsimainen matemaatikko. Perehtyi matkoillaan
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti
8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.
3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.
KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden
1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012
Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)
Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.
Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
3. Lausekkeet ja yhtälöt (ma3) Keskeiset sisällöt polynomin käsite, polynomien yhteen-, vähennys- ja kertolasku
5.6 Matematiikka Perusopetus Opetuksen tavoitteet Matematiikan opetuksen tavoitteena on, että aikuisopiskelija oppii ymmärtämään matemaattisten käsitteiden ja sääntöjen merkityksen sekä oppii näkemään
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
Matematiikan pitkä oppimäärä
Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Pitkän
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
Matematiikan pitkä oppimäärä
Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Pitkän
1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 1 Pekka Salmi 18. syyskuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta 2015 1 / 65 Yleistä Luennot: ma 1214, pe 1012 Luennoitsija: Pekka Salmi, M229 (kahden viikon
Geogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen
Geogebra -koulutus Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen Geogebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelmisto osoitteessa http://www.geogebra.org Geogebra-sovellusversion voi asentaa tietokoneilla ja
Funktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:
x = sinu z = sin2u sinv
9. Toisen asteen käyrät ja pinnat 9.1. Käyrän ja pinnan käsitteet 371. Piirrä seuraavat käyrät: { x = cos3t a) y = sin5t, t [0,2π], b) x = cost t y = sint t, t 0. 372. Lausu napakoordinaattikäyrät a) r
1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
Kompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
Matematiikka vuosiluokat 7 9
Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa
MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet
MATEMATIIKKA VL.7-9 7.LUOKKA Opetuksen tavoitteet Tavoitteisiin liittyvät sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet T1 vahvistaa oppilaan motivaatiota, myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta
PERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
Derivaatta 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, funktion raja-arvo
Derivaatta 1/6 Sisältö Derivaatan määritelmä funktio Olkoon kiinteä tarkastelupiste. Reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion f deri- (reaali-) vaatta tässä pisteessä merkitään f () voidaan luonnetia kadella
Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
![Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on](/thumbs/39/20459750.jpg "Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on")
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä
Kurssikuvausten väljyyttä voidaan käyttää resurssien salliessa keskeisten sisältöjen syventämiseen ja eheyttävien kokonaisuuksien muodostamiseen.
5.6. Matematiikka Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Johdatus reaalifunktioihin
Johdatus reaalifunktioihin 11. syyskuuta 2014 10:28 1. Reaaliluvut ja epäyhtälöt 1.1 Lukualueet = { 1, 2, 3 } luonnolliste n lukujen joukko Suljettu yhteen ja kertolaskujen suhteen: Jos m,n en (eli m en
YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],
9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
GeoGebra. ohjeita ja tehtäviä 2. Pohdin projekti 1
Pohdin projekti 1 GeoGebra ohjeita ja tehtäviä 2 1 Lukuvuosina 2008-2012 Tampereen normaalikoulun matematiikan opetusharjoittelijat ovat olleet rakentamassa joko Capri-oppaita ja niiden pohjalta nyt käsillä
5.6.2 Matematiikan pitkä oppimäärä
5.6.2 Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle ammatillisten ja korkeakouluopintojen edellyttämät matemaattiset valmiudet sekä matemaattinen
cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
15. Suorakulmaisen kolmion geometria
15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Lyhyt matematematiikka. Matematiikan yhteinen opintokokonaisuus
Matematiikan yhteinen opintokokonaisuus Matematiikan yhteisen opintokokonaisuuden tehtävänä on herättää opiskelijan kiinnostus matematiikkaa kohtaan muun muassa tutustuttamalla hänet matematiikan moninaiseen
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka
Laaja-alaiseen osaamiseen liittyvät painotukset matematiikassa vuosiluokilla 1-9
Matematiikan tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaiden loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden ymmärtämiselle
Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,
Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin
KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite
Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot,
Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO
ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA Eeva Kuparinen Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Koordinaatisto 3 2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto............
Kompleksianalyysi Funktiot
Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon
PITKÄ MATEMATIIKKA. Pakolliset kurssit
13 PITKÄ MATEMATIIKKA Suoritusohje: Pakolliset kurssit suoritetaan numerojärjestyksessä, poikkeuksena kurssi MAA6, jonka voi suorittaa jo kurssin MAA2 jälkeen. Syventävien kurssien suoritusjärjestys mainitaan
Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan